Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do osiągnięcia sukcesu zdanie jednolitego egzaminu państwowego z matematyki na 60-65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z egzaminu państwowego Profile Unified z matematyki. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!
Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.
Cała niezbędna teoria. Szybkie sposoby rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.
Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.
Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązania złożone zadania 2 części jednolitego egzaminu państwowego.
Definicja 1. Powierzchnia pryzmatyczna
Twierdzenie 1. O równoległych odcinkach powierzchni pryzmatycznej
Definicja 2. Przekrój prostopadły powierzchni pryzmatycznej
Definicja 3. Pryzmat
Definicja 4. Wysokość pryzmatu
Definicja 5. Pryzmat prawy
Twierdzenie 2. Pole powierzchni bocznej pryzmatu
Równoległościan:
Definicja 6. Równoległościan
Twierdzenie 3. Na przecięciu przekątnych równoległościanu
Definicja 7. Równoległościan prawy
Definicja 8. Równoległościan prostokątny
Definicja 9. Pomiary równoległościanu
Definicja 10. Kostka
Definicja 11. Romboedr
Twierdzenie 4. O przekątnych równoległościanu prostokątnego
Twierdzenie 5. Objętość pryzmatu
Twierdzenie 6. Objętość prostopadłościanu
Twierdzenie 7. Objętość równoległościanu prostokątnego
Pryzmat jest wielościanem, którego dwie ściany (podstawy) leżą w równoległych płaszczyznach, a krawędzie nie leżące w tych ścianach są do siebie równoległe.
Nazywa się ściany inne niż podstawy boczny.
Nazywa się boki ścian bocznych i podstaw żebra pryzmowe, nazywane są końce krawędzi wierzchołki pryzmatu. Boczne żebra nazywamy krawędzie, które nie należą do podstaw. Nazywa się połączeniem ścian bocznych powierzchnia boczna pryzmatu, a połączenie wszystkich ścian nazywa się całą powierzchnię pryzmatu. Wysokość pryzmatu nazywana prostopadłą spuszczoną z punktu górnej podstawy do płaszczyzny dolnej podstawy lub długością tej prostopadłej. 
Prosty pryzmat zwany pryzmatem, którego boczne żebra są prostopadłe do płaszczyzn podstaw. 
Prawidłowy zwany prostym pryzmatem (ryc. 3), u podstawy którego leży foremny wielokąt.
Oznaczenia:
l - żebro boczne;
P - obwód podstawy;
S o - powierzchnia bazowa;
H - wysokość;
P^ - obwód przekroju prostopadłego;
S b - powierzchnia boczna;
V - objętość;
S p to powierzchnia całkowitej powierzchni pryzmatu.
|
V=SH |
*Zakłada się, że co dwie kolejne płaszczyzny przecinają się i że ostatnia płaszczyzna przecina pierwszą
Twierdzenie 1 . Przekroje powierzchni pryzmatycznej płaszczyznami równoległymi do siebie (ale nie równoległymi do jej krawędzi) są wielokątami równymi.
Niech ABCDE i A"B"C"D"E" będą przekrojami powierzchni pryzmatycznej przez dwie równoległe płaszczyzny. Aby mieć pewność, że te dwa wielokąty są równe, wystarczy pokazać, że trójkąty ABC i A"B"C" są są równe i mają ten sam kierunek obrotu, to samo dotyczy trójkątów ABD i A"B"D", ABE i A"B"E". Ale odpowiednie boki tych trójkątów są równoległe (na przykład AC jest równoległe do AC), jak linia przecięcia pewnej płaszczyzny z dwiema równoległymi płaszczyznami; wynika z tego, że te boki są równe (na przykład AC jest równe A"C"), jak przeciwne strony równoległoboku, oraz że kąty utworzone przez te boki są równe i mają ten sam kierunek.
Definicja 2 . Przekrój prostopadły powierzchni pryzmatycznej to przekrój tej powierzchni przez płaszczyznę prostopadłą do jej krawędzi. Bazując na poprzednim twierdzeniu, wszystkie prostopadłe przekroje tej samej powierzchni pryzmatycznej będą równymi wielokątami.
Definicja 3
. Pryzmat to wielościan ograniczony powierzchnią pryzmatyczną i dwiema płaszczyznami równoległymi do siebie (ale nie równoległymi do krawędzi powierzchni pryzmatycznej)
Nazywa się twarze leżące w tych ostatnich płaszczyznach podstawy pryzmatyczne; twarze należące do powierzchni pryzmatycznej - boczne twarze; krawędzie powierzchni pryzmatycznej - boczne żebra pryzmatu. Na mocy poprzedniego twierdzenia podstawą pryzmatu jest równe wielokąty. Wszystko boczne twarze pryzmaty - równoległoboki; wszystkie żebra boczne są sobie równe.
Oczywiście, jeśli podana jest podstawa pryzmatu ABCDE oraz jedna z krawędzi AA" pod względem wielkości i kierunku, to można skonstruować pryzmat rysując krawędzie BB", CC", ... równe i równoległe do krawędzi AA" .
Definicja 4 . Wysokość pryzmatu to odległość między płaszczyznami jego podstaw (HH").
Definicja 5
. Pryzmat nazywa się prostym, jeśli jego podstawy są prostopadłymi odcinkami powierzchni pryzmatycznej. W tym przypadku wysokość pryzmatu jest oczywiście jego boczne żebro; boczne krawędzie będą prostokąty.
Pryzmaty można klasyfikować ze względu na liczbę ścian bocznych, równa liczba boki wielokąta stanowiącego jego podstawę. Zatem pryzmaty mogą być trójkątne, czworokątne, pięciokątne itp.
Twierdzenie 2
. Pole powierzchni bocznej pryzmatu jest równe iloczynowi krawędzi bocznej i obwodu przekroju prostopadłego.
Niech ABCDEA"B"C"D"E" będzie danym pryzmatem i abcde jego prostopadłym przekrojem tak, aby odcinki ab,bc,.. były prostopadłe do jego bocznych krawędzi. Powierzchnia ABA"B" jest równoległobokiem, a jej pole jest równy iloczynowi podstawy AA " do wysokości pokrywającej się z ab; powierzchnia twarzy ВСВ „С” jest równa iloczynowi podstawy ВВ” przez wysokość bc itd. W związku z tym powierzchnia boczna (tj. suma pól powierzchni bocznych) jest równa iloczynowi krawędzi bocznej, czyli sumaryczna długość odcinków AA", ВВ", .., dla kwoty ab+bc+cd+de+ea.
Wielościany
Głównym przedmiotem badań stereometrii są ciała przestrzenne. Ciało reprezentuje część przestrzeni ograniczoną określoną powierzchnią.
Wielościan jest ciałem, którego powierzchnia składa się ze skończonej liczby płaskich wielokątów. Wielościan nazywa się wypukłym, jeśli znajduje się po jednej stronie płaszczyzny każdego wielokąta płaskiego na jego powierzchni. Nazywa się część wspólną takiej płaszczyzny i powierzchni wielościanu krawędź. Ściany wielościanu wypukłego są płaskimi wielokątami wypukłymi. Nazywa się boki twarzy krawędzie wielościanu, a wierzchołki są wierzchołki wielościanu.
Na przykład sześcian składa się z sześciu kwadratów, które są jego ścianami. Zawiera 12 krawędzi (boki kwadratów) i 8 wierzchołków (wierzchołki kwadratów).
Najprostszymi wielościanami są pryzmaty i piramidy, które będziemy badać dalej.
Pryzmat
Definicja i właściwości pryzmatu
Pryzmat jest wielościanem składającym się z dwóch płaskich wielokątów leżących w równoległych płaszczyznach połączonych równoległym translacją oraz wszystkich odcinków łączących odpowiednie punkty tych wielokątów. Nazywa się wielokąty podstawy pryzmatyczne, a segmenty łączące odpowiednie wierzchołki wielokątów to boczne krawędzie pryzmatu.
Wysokość pryzmatu nazywa się odległością między płaszczyznami jego podstaw (). Nazywa się odcinek łączący dwa wierzchołki pryzmatu, które nie należą do tej samej ściany przekątna pryzmatu(). Pryzmat nazywa się n-węgiel, jeśli jego podstawą jest n-kąt.
Każdy pryzmat ma następujące właściwości, wynikające z faktu, że podstawy pryzmatu są łączone poprzez równoległe przesunięcie:
1. Podstawy pryzmatu są równe.
2. Boczne krawędzie pryzmatu są równoległe i równe.
Powierzchnia pryzmatu składa się z podstaw i powierzchnia boczna. Powierzchnia boczna pryzmatu składa się z równoległoboków (wynika to z właściwości pryzmatu). Pole powierzchni bocznej pryzmatu jest sumą pól ścian bocznych.
Prosty pryzmat
Pryzmat nazywa się bezpośredni, jeżeli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw. W przeciwnym razie nazywa się pryzmat skłonny.
Ściany prawego pryzmatu są prostokątami. Wysokość prostego pryzmatu jest równa jego ścianom bocznym.
Pełna powierzchnia pryzmatu nazywa się sumą pola powierzchni bocznej i pól podstaw.
Z odpowiednim pryzmatem zwany pryzmatem prawym, którego podstawą jest wielokąt foremny.
Twierdzenie 13.1. Pole powierzchni bocznej prostego pryzmatu jest równe iloczynowi obwodu i wysokości pryzmatu (lub, co jest takie samo, krawędzi bocznej).
Dowód. Boczne ściany prawego pryzmatu to prostokąty, których podstawy to boki wielokątów u podstaw pryzmatu, a wysokości to boczne krawędzie pryzmatu. Zatem z definicji pole powierzchni bocznej wynosi:
,
gdzie jest obwód podstawy prostego graniastosłupa.
Równoległościan
Jeśli równoległoboki leżą u podstaw pryzmatu, nazywa się to równoległościan. Wszystkie ściany równoległościanu są równoległobokami. W tym przypadku przeciwne ściany równoległościanu są równoległe i równe.
Twierdzenie 13.2. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i są podzielone na pół przez punkt przecięcia.
Dowód. Rozważmy na przykład dwie dowolne przekątne i . Ponieważ ściany równoległościanu są równoległobokami, a następnie i , co oznacza, według To, że istnieją dwie proste równoległe do trzeciej. Ponadto oznacza to, że linie proste i leżą w tej samej płaszczyźnie (płaszczyźnie). Płaszczyzna ta przecina płaszczyzny równoległe i wzdłuż linii równoległych i . Zatem czworokąt jest równoległobokiem i zgodnie z właściwością równoległoboku jego przekątne przecinają się i dzielą na pół w punkcie przecięcia, co należało udowodnić.
Nazywa się równoległościan prawy, którego podstawa jest prostokątem prostokątny równoległościan. Wszystkie ściany równoległościanu prostokątnego są prostokątami. Długości nierównoległych krawędzi prostokątnego równoległościanu nazywane są jego wymiarami liniowymi (wymiarami). Istnieją trzy takie rozmiary (szerokość, wysokość, długość).
Twierdzenie 13.3. W prostopadłościanie prostokątnym kwadrat dowolnej przekątnej równa sumie kwadraty jego trzech wymiarów 
(udowodniono przez dwukrotne zastosowanie pitagorejskiego T).
Nazywa się równoległościanem prostokątnym, którego wszystkie krawędzie są równe sześcian.
Zadania
13.1 Ile ma przekątnych? N-pryzmat węglowy
13.2 W nachylonym trójkątnym pryzmacie odległości między krawędziami bocznymi wynoszą 37, 13 i 40. Znajdź odległość między większą krawędzią boczną a krawędzią przeciwległą.
13.3 Przez bok dolnej podstawy foremnego trójkątnego pryzmatu rysuje się płaszczyznę, przecinającą ściany boczne wzdłuż odcinków o kącie między nimi. Znajdź kąt nachylenia tej płaszczyzny do podstawy pryzmatu.
Definicja. Pryzmat- jest to wielościan, którego wszystkie wierzchołki znajdują się w dwóch równoległych płaszczyznach, a w tych samych dwóch płaszczyznach leżą dwie ściany pryzmatu, które są odpowiednio równymi wielokątami boki równoległe, a wszystkie krawędzie nie leżące w tych płaszczyznach są równoległe.
Dwa równe twarze są nazywane podstawy pryzmatyczne(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Wszystkie pozostałe ściany pryzmatu nazywane są boczne twarze(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Tworzą się wszystkie ściany boczne powierzchnia boczna pryzmaty .
Wszystkie boczne ściany pryzmatu są równoległobokami .
Krawędzie, które nie leżą u podstaw, nazywane są bocznymi krawędziami pryzmatu ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Przekątna pryzmatu to odcinek, którego końcami są dwa wierzchołki pryzmatu, które nie leżą na tej samej ścianie (AD 1).
Nazywa się długość odcinka łączącego podstawy pryzmatu i prostopadłego do obu podstaw jednocześnie wysokość pryzmatu .
Oznaczenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najpierw w kolejności przechodzenia zaznaczono wierzchołki jednej podstawy, a następnie w tej samej kolejności wierzchołki drugiej; końce każdej krawędzi bocznej oznaczono tymi samymi literami, oznaczono jedynie wierzchołki leżące w jednej podstawie literami bez indeksu, a w drugiej - z indeksem)
Nazwa pryzmatu związana jest z liczbą kątów na figurze leżącej u jego podstawy, np. na rycinie 1 u podstawy znajduje się pięciokąt, dlatego pryzmat nazywa się pryzmat pięciokątny. Ale ponieważ taki pryzmat ma 7 ścian, to tak siedmiościan(2 ściany - podstawy pryzmatu, 5 ścian - równoległoboki, - jego ściany boczne)
Wśród prostych pryzmatów wyróżnia się szczególny typ: pryzmaty regularne.
Nazywa się prosty pryzmat prawidłowy, jeśli jego podstawy są foremnymi wielokątami.
Równoległościan
Równoległościan jest czworokątnym pryzmatem, u podstawy którego leży równoległobok (nachylony równoległościan). Prawy równoległościan- równoległościan, którego boczne krawędzie są prostopadłe do płaszczyzn podstawy.Prostokątny równoległościan- prostopadłościan, którego podstawa jest prostokątem.
Właściwości i twierdzenia:
Niektóre właściwości równoległościanu są podobne do znanych właściwości równoległoboku. Nazywa się równoległościanem prostokątnym o równych wymiarach sześcian
.W sześcianie wszystkie kwadraty są równe. Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów jej trzech wymiarów 
,
gdzie d jest przekątną kwadratu;
a to bok kwadratu.
Pomysł na pryzmat podaje:
- różny konstrukcje architektoniczne;
- zabawki dla dzieci;
- pudełka do pakowania;
- designerskie przedmioty itp.
Powierzchnia całkowita i boczna pryzmatu
Całkowita powierzchnia pryzmatu jest sumą pól wszystkich jego ścian Powierzchnia boczna nazywa się sumą pól jego ścian bocznych. Podstawą pryzmatu są równe wielokąty, wówczas ich pola są równe. DlategoS pełny = strona S + 2S główny,
Gdzie Pełny- powierzchnia całkowita, Strona S-powierzchnia boczna, Baza S- powierzchnia podstawy
Pole powierzchni bocznej prostego pryzmatu jest równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.
Strona S= P podstawowy * h,
Gdzie Strona S-obszar powierzchni bocznej prostego pryzmatu,
P główny - obwód podstawy prostego graniastosłupa,
h jest wysokością prostego pryzmatu, równą żebro boczne.
Objętość pryzmatu
Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.