Ile ścian bocznych ma piramida trójkątna? Piramida. Wzory i właściwości piramidy

16.10.2019

Tutaj znajdziesz podstawowe informacje o piramidach oraz związanych z nimi wzorach i pojęciach. Wszystkie z nich uczą się pod okiem nauczyciela matematyki w ramach przygotowań do jednolitego egzaminu państwowego.

Rozważmy płaszczyznę, wielokąt , leżący w nim i punkt S, nie leżący w nim. Połączmy S ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta. Powstały wielościan nazywa się piramidą. Segmenty nazywane są żebrami bocznymi. Wielokąt nazywany jest podstawą, a punkt S jest wierzchołkiem piramidy. W zależności od liczby n piramidę nazywamy trójkątną (n=3), czworokątną (n=4), pięciokątną (n=5) i tak dalej. Alternatywna nazwa piramidy trójkątnej to tetraedr. Wysokość piramidy to prostopadła schodząca z jej wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

Piramidę nazywamy regularną jeśli wielokąt foremny, a podstawa wysokości piramidy (podstawa prostopadłej) jest jej środkiem.

Komentarz nauczyciela:
Nie należy mylić pojęć „regularnej piramidy” i „regularnego czworościanu”. U zwykła piramida krawędzie boczne niekoniecznie są równe krawędziom podstawy, ale w czworościanie foremnym wszystkie 6 krawędzi są równe. To jest jego definicja. Łatwo udowodnić, że z równości wynika, że środek P wielokąta pokrywa się o wysokości podstawy, więc czworościan foremny jest piramidą regularną.

Co to jest apotem?
Apothem piramidy to wysokość jej ściany bocznej. Jeśli piramida jest regularna, wówczas wszystkie jej apotemy są równe. Odwrotność nie jest prawdą.

Korepetytor matematyki o swojej terminologii: 80% pracy z piramidami opiera się na dwóch rodzajach trójkątów:
1) Zawierający apotem SK i wysokość SP
2) Zawierający krawędź boczną SA i jej występ PA

Aby uprościć odniesienia do tych trójkątów, wygodniej jest nauczycielowi matematyki wywołać pierwszy z nich apotemiczny i drugi żebrowy. Niestety tej terminologii nie znajdziesz w żadnym podręczniku, a nauczyciel musi ją wprowadzić jednostronnie.

Wzór na objętość piramidy:
1) , gdzie jest polem podstawy piramidy i jest wysokością piramidy
2) , gdzie jest promieniem wpisanej kuli, a jest polem pełna powierzchnia piramidy.
3) , gdzie MN jest odległością między dowolnymi dwoma przecinającymi się krawędziami i jest obszarem równoległoboku utworzonego przez środki czterech pozostałych krawędzi.

Własność podstawy wysokości piramidy:

Punkt P (patrz rysunek) pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego u podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:
1) Wszystkie apotemy są równe
2) Wszystkie ściany boczne są jednakowo nachylone w stosunku do podstawy
3) Wszystkie apothemy są jednakowo nachylone do wysokości piramidy
4) Wysokość piramidy jest jednakowo nachylona do wszystkich ścian bocznych

Komentarz nauczyciela matematyki: Należy pamiętać, że wszystkie punkty łączy jedna wspólna właściwość: tak czy inaczej, ściany boczne są wszędzie zaangażowane (apothemy są ich elementami). Dlatego nauczyciel może zaoferować mniej dokładne, ale wygodniejsze do nauki sformułowanie: punkt P pokrywa się ze środkiem wpisanego koła, podstawą piramidy, jeśli istnieją równe informacje o jej bocznych ścianach. Aby to udowodnić, wystarczy pokazać, że wszystkie trójkąty apotemów są równe.

Punkt P pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego w pobliżu podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z trzech warunków:
1) Wszystkie krawędzie boczne są równe
2) Wszystkie żebra boczne są jednakowo nachylone w stosunku do podstawy
3) Wszystkie żebra boczne są jednakowo nachylone do wysokości

apotem- wysokość bocznej powierzchni regularnej piramidy, która jest rysowana z jej wierzchołka (dodatkowo apothem jest długością prostopadłej, która jest obniżona ze środka wielokąta foremnego na jeden z jego boków);
boczne twarze (ASB, BSC, CSD, DSA) - trójkąty spotykające się w wierzchołku;
żebra boczne ( JAK , B.S. , CS , DS ) — wspólne strony ścian bocznych;
szczyt piramidy (t.S) - punkt łączący żebra boczne i nie leżący w płaszczyźnie podstawy;
wysokość ( WIĘC ) - odcinek prostopadły poprowadzony przez wierzchołek piramidy do płaszczyzny jej podstawy (końcami takiego odcinka będzie wierzchołek piramidy i podstawa prostopadłej);
przekątna piramidy- część piramidy przechodząca przez górę i przekątną podstawy;
opierać (ABCD) - wielokąt nienależący do wierzchołka piramidy.

Właściwości piramidy.

1. Gdy wszystkie krawędzie boczne są tej samej wielkości, to:

łatwo jest opisać okrąg w pobliżu podstawy piramidy, a wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
żebra boczne tworzą kąt równy z płaszczyzną podstawy;
Co więcej, prawdą jest również coś odwrotnego, tj. kiedy boczne żebra tworzą się z płaszczyzną podstawy równe kąty, lub gdy w pobliżu podstawy piramidy można opisać okrąg, a wierzchołek piramidy zostanie rzucony na środek tego okręgu, co oznacza, że wszystkie boczne krawędzie piramidy są tej samej wielkości.

2. Gdy ściany boczne mają kąt nachylenia do płaszczyzny podstawy o tej samej wartości, to:

łatwo jest opisać okrąg w pobliżu podstawy piramidy, a wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
wysokości ścian bocznych są równej długości;
powierzchnia powierzchni bocznej jest równa ½ iloczynu obwodu podstawy i wysokości ściany bocznej.

3. Kulę można opisać wokół piramidy, jeśli u podstawy piramidy znajduje się wielokąt, wokół którego można opisać okrąg (warunek konieczny i wystarczający). Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących przez środki prostopadłych do nich krawędzi piramidy. Z tego twierdzenia wnioskujemy, że kulę można opisać zarówno wokół dowolnego trójkąta, jak i wokół dowolnej regularnej piramidy.

4. W ostrosłup można wpisać kulę, jeżeli dwusieczne kątów dwuściennych wewnętrznych ostrosłupa przecinają się w pierwszym punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt stanie się środkiem kuli.

Najprostsza piramida.

Na podstawie liczby kątów podstawa piramidy jest podzielona na trójkątną, czworokątną i tak dalej.

Będzie piramida trójkątny, czworokątny i tak dalej, gdy podstawą piramidy jest trójkąt, czworokąt i tak dalej. Trójkątna piramida to czworościan - czworościan. Czworokątny - pięciokątny i tak dalej.

Koncepcja piramidy

Definicja 1

Figura geometryczna, utworzony przez wielokąt i punkt nie leżący w płaszczyźnie zawierającej ten wielokąt, połączony ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta, nazywany jest piramidą (ryc. 1).

Wielokąt, z którego zbudowana jest piramida, nazywany jest podstawą piramidy; powstałe trójkąty, gdy są połączone z punktem, są bocznymi ścianami piramidy, boki trójkątów są bokami piramidy, a punkt wspólny. dla wszystkich trójkątów jest wierzchołek piramidy.

Rodzaje piramid

W zależności od liczby kątów u podstawy piramidy można ją nazwać trójkątną, czworokątną i tak dalej (ryc. 2).

Rysunek 2.

Innym rodzajem piramidy jest piramida zwykła.

Przedstawmy i udowodnijmy własność regularnej piramidy.

Twierdzenie 1

Wszystkie boczne ściany regularnej piramidy są trójkątami równoramiennymi, które są sobie równe.

Dowód.

Rozważmy regularną piramidę $n-$gonal z wierzchołkiem $S$ o wysokości $h=SO$. Narysujmy okrąg wokół podstawy (ryc. 4).

Rysunek 4.

Rozważmy trójkąt $SOA$. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa otrzymujemy

Oczywiście każda krawędź boczna zostanie zdefiniowana w ten sposób. W związku z tym wszystkie krawędzie boczne są sobie równe, to znaczy wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Udowodnijmy, że są sobie równi. Ponieważ podstawą jest wielokąt foremny, podstawy wszystkich ścian bocznych są sobie równe. W konsekwencji wszystkie ściany boczne są równe zgodnie z III kryterium równości trójkątów.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Wprowadźmy teraz następującą definicję związaną z pojęciem regularnej piramidy.

Definicja 3

Apothem regularnej piramidy jest wysokość jej bocznej ściany.

Oczywiście, zgodnie z twierdzeniem pierwszym, wszystkie apotemy są sobie równe.

Twierdzenie 2

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy określa się jako iloczyn półobwodu podstawy i apotemu.

Dowód.

Oznaczmy bok podstawy piramidy $n-$gonalnej przez $a$, a apotem przez $d$. Dlatego obszar powierzchni bocznej jest równy

Ponieważ zgodnie z Twierdzeniem 1 wszystko strony są więc równe

Twierdzenie zostało udowodnione.

Innym rodzajem piramidy jest piramida ścięta.

Definicja 4

Jeśli przez zwykłą piramidę poprowadzono płaszczyznę równoległą do jej podstawy, wówczas figura utworzona między tą płaszczyzną a płaszczyzną podstawy nazywana jest piramidą ściętą (ryc. 5).

Rysunek 5. Ścięta piramida

Boczne ściany ściętej piramidy są trapezami.

Twierdzenie 3

Pole powierzchni bocznej regularnej ściętej piramidy określa się jako iloczyn sumy półobwodów podstaw i apotemów.

Dowód.

Oznaczmy boki podstaw piramidy $n-$gonalnej odpowiednio przez $a\ i\ b$, a apotem przez $d$. Dlatego obszar powierzchni bocznej jest równy

Skoro więc wszystkie strony są równe

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykładowe zadanie

Przykład 1

Znajdź pole powierzchni bocznej ściętej trójkątnej piramidy, jeśli jest ona uzyskana z regularnej piramidy o boku podstawy 4 i apotemie 5, odcinając płaszczyznę przechodzącą przez linię środkową ścian bocznych.

Rozwiązanie.

Z twierdzenia o linia środkowa stwierdzamy, że górna podstawa ściętej piramidy jest równa $4\cdot \frac(1)(2)=2$, a apothem jest równa $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Następnie, z Twierdzenia 3, otrzymujemy

Definicja

Piramida jest wielościanem złożonym z wielokąta $A_1A_2...A_n$ i $n$ trójkątów o wspólnym wierzchołku $P$ (nie leżącym w płaszczyźnie wielokąta) i przeciwległych mu bokach, pokrywających się z boki wielokąta.
Oznaczenie: $PA_1A_2...A_n$ .
Przykład: piramida pięciokątna $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

Trójkąty $PA_1A_2, \PA_2A_3$ itp. są nazywane boczne twarze piramidy, segmenty $PA_1, PA_2$ itp. – żebra boczne, wielokąt $A_1A_2A_3A_4A_5$ – podstawa, punkt $P$ – szczyt.

Wysokość piramidy to prostopadła schodząca ze szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy.

Nazywa się piramidą mającą u podstawy trójkąt tetraedr.

Piramida nazywa się prawidłowy, jeżeli jego podstawą jest wielokąt foremny i spełniony jest jeden z poniższych warunków:

$(a)$ boczne krawędzie piramidy są równe;

$(b)$ wysokość piramidy przechodzi przez środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy;

$(c)$ żebra boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.

$(d)$ ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.

Regularny czworościan- Ten trójkątna piramida, którego wszystkie ściany są równymi trójkątami równobocznymi.

Twierdzenie

Warunki $a), (b), (c), (d)$ są równoważne.

Dowód

Znajdźmy wysokość piramidy $PH$ . Niech $\alpha$ będzie płaszczyzną podstawy piramidy.

1) Udowodnijmy, że z $(a)$ wynika $(b)$ . Niech $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

Ponieważ $PH\perp \alpha$, wówczas $PH$ jest prostopadła do dowolnej prostej leżącej w tej płaszczyźnie, co oznacza, że trójkąty są prostokątne. Oznacza to, że te trójkąty mają wspólną nogę $PH$ i przeciwprostokątną $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ . Oznacza to $A_1H=A_2H=...=A_nH$ . Oznacza to, że punkty $A_1, A_2, ..., A_n$ znajdują się w tej samej odległości od punktu $H$, zatem leżą na tym samym okręgu o promieniu $A_1H$ . Okrąg ten z definicji jest opisany na wielokącie $A_1A_2...A_n$ .

2) Udowodnijmy, że $(b)$ implikuje $(c)$ .

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ prostokątny i równy na dwóch nogach. Oznacza to, że ich kąty są również równe, zatem $\kąt PA_1H=\kąt PA_2H=...=\kąt PA_nH$.

3) Udowodnijmy, że $(c)$ implikuje $(a)$ .

Podobnie jak w przypadku pierwszego punktu, trójkąty $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ prostokątne i wzdłuż nogi i ostry róg. Oznacza to, że ich przeciwprostokątne są również równe, czyli $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) Udowodnijmy, że z $(b)$ wynika $(d)$ .

Ponieważ w wielokącie foremnym środki okręgu opisanego i wpisanego pokrywają się (ogólnie punkt ten nazywany jest środkiem wielokąta foremnego), wówczas $H$ jest środkiem okręgu wpisanego. Narysujmy prostopadłe z punktu $H$ do boków podstawy: $HK_1, HK_2$ itd. Są to promienie okręgu wpisanego (z definicji). Wtedy zgodnie z TTP ($PH$ jest prostopadłą do płaszczyzny, $HK_1, HK_2$, itd. są rzutami, prostopadle do boków) ukośny $PK_1, PK_2$, itp. prostopadle do boków $A_1A_2, A_2A_3$ itd. odpowiednio. Tak z definicji $\kąt PK_1H, \kąt PK_2H$ równy kątom pomiędzy ścianami bocznymi a podstawą. Ponieważ trójkąty $PK_1H, PK_2H, ...$ są równe (z dwóch stron prostokątne), to kąty $\kąt PK_1H, \kąt PK_2H, ...$ są równe.

5) Udowodnijmy, że $(d)$ implikuje $(b)$ .

Podobnie jak w punkcie czwartym, trójkąty $PK_1H, PK_2H, ...$ są równe (jako prostokąt wzdłuż ramienia i kąt ostry), co oznacza, że odcinki $HK_1=HK_2=...=HK_n$ są równy. Oznacza to z definicji, że $H$ jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Ale ponieważ W przypadku wielokątów foremnych środki okręgów wpisanego i opisanego pokrywają się, wówczas $H$ jest środkiem opisanego okręgu. czt.

Konsekwencja

Boczne ściany regularnej piramidy są równymi trójkątami równoramiennymi.

Definicja

Nazywa się wysokość bocznej ściany regularnej piramidy narysowanej od jej wierzchołka apotem.
Apotemy wszystkich bocznych ścian regularnej piramidy są sobie równe i są także środkowymi i dwusiecznymi.

Ważne uwagi

1. Wysokość regularnej trójkątnej piramidy przypada na punkt przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) podstawy (podstawa jest regularnym trójkątem).

2. Wzrost jest prawidłowy czworokątna piramida przypada w miejscu przecięcia przekątnych podstawy (podstawa jest kwadratem).

3. Wysokość regularnej sześciokątnej piramidy przypada na punkt przecięcia przekątnych podstawy (podstawa jest foremnym sześciokątem).

4. Wysokość piramidy jest prostopadła do dowolnej linii prostej leżącej u podstawy.

Definicja

Piramida nazywa się prostokątny, jeżeli jedna z jego krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Ważne uwagi

1. W piramidzie prostokątnej krawędź prostopadła do podstawy jest wysokością piramidy. Oznacza to, że $SR$ jest wysokością.

2. Ponieważ $SR$ jest zatem prostopadła do dowolnej linii wychodzącej z podstawy $\trójkąt SRM, \trójkąt SRP$– trójkąty prostokątne.

3. Trójkąty $\trójkąt SRN, \trójkąt SRK$- również prostokątne.
Oznacza to, że dowolny trójkąt utworzony przez tę krawędź i przekątną wychodzącą z wierzchołka tej krawędzi leżącą u podstawy będzie prostokątny.

\[(\Large(\text(Objętość i powierzchnia piramidy)))\]

Twierdzenie

Objętość piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości piramidy: \

Konsekwencje

Niech $a$ będzie bokiem podstawy, $h$ będzie wysokością piramidy.

1. Objętość regularnej trójkątnej piramidy wynosi $V_(\text(trójkąt prawy.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h$,

2. Objętość regularnej czworokątnej piramidy wynosi $V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h$.

3. Objętość regularnej sześciokątnej piramidy wynosi $V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h$.

4. Objętość regularnego czworościanu wynosi $V_(\text(prawy tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3$.

Twierdzenie

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothemu.

\[(\Duży(\text(Frustum)))\]

Definicja

Rozważmy dowolną piramidę $PA_1A_2A_3...A_n$ . Narysujmy płaszczyznę równoległą do podstawy piramidy przez pewien punkt leżący na bocznej krawędzi piramidy. Ta płaszczyzna podzieli piramidę na dwa wielościany, z których jeden jest piramidą ($PB_1B_2...B_n$), a drugi nazywa się ścięta piramida($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$ ).

Ścięta piramida ma dwie podstawy - wielokąty $A_1A_2...A_n$ i $B_1B_2...B_n$, które są do siebie podobne.

Wysokość ściętej piramidy jest prostopadłą poprowadzoną od pewnego punktu górnej podstawy do płaszczyzny dolnej podstawy.

Ważne uwagi

1. Wszystkie boczne ściany ściętej piramidy są trapezami.

2. Odcinek łączący środki podstaw regularnej piramidy ściętej (to znaczy piramidy uzyskanej przez przekrój regularnej piramidy) to wysokość.

Piramida. Ścięta piramida

Piramida jest wielościanem, którego jedna z ścian jest wielokątem ( opierać ), a wszystkie pozostałe ściany są trójkątami ze wspólnym wierzchołkiem ( boczne twarze ) (ryc. 15). Piramida nazywa się prawidłowy , jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy (ryc. 16). Nazywa się ostrosłupem trójkątnym, którego wszystkie krawędzie są równe tetraedr .

Boczne żebro ostrosłupa to bok ściany bocznej, który nie należy do podstawy Wysokość piramida to odległość jej wierzchołka od płaszczyzny podstawy. Wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są sobie równe, wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Nazywa się wysokość ściany bocznej regularnej piramidy narysowanej od wierzchołka apotem . Przekrój ukośny nazywa się przekrojem piramidy płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

Powierzchnia boczna piramida to suma pól wszystkich ścian bocznych. Całkowita powierzchnia nazywa się sumą pól wszystkich ścian bocznych i podstawy.

Twierdzenia

1. Jeżeli w piramidzie wszystkie boczne krawędzie są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy rzutuje się na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

2. Jeśli w piramidzie wszystkie boczne krawędzie mają równe długości, następnie wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

3. Jeżeli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy zostanie rzucony na środek okręgu wpisanego w podstawę.

Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, poprawny wzór to:

Gdzie V- tom;

Baza S– powierzchnia podstawy;

H– wysokość piramidy.

W przypadku zwykłej piramidy poprawne są następujące wzory:

Gdzie P– obwód podstawy;

h– apotem;

H- wysokość;

Pełny

Strona S

Baza S– powierzchnia podstawy;

V– objętość regularnej piramidy.

Ścięta piramida nazywana częścią piramidy zamkniętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy (ryc. 17). Regularna ścięta piramida jest częścią regularnej piramidy ujętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy.

Fusyścięta piramida - podobne wielokąty. Boczne twarze – trapezy. Wysokość piramidy ściętej to odległość między jej podstawami. Przekątna ścięta piramida to odcinek łączący jej wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie. Przekrój ukośny to przekrój ściętej piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

W przypadku piramidy ściętej obowiązują następujące wzory:

(4)

Gdzie S 1 , S 2 – obszary podstawy górnej i dolnej;

Pełny– powierzchnia całkowita;

Strona S– powierzchnia boczna;

H- wysokość;

V– objętość ściętej piramidy.

Dla regularnej piramidy ściętej wzór jest poprawny:

Gdzie P 1 , P 2 – obwody podstaw;

h– apotem w kształcie regularnej ściętej piramidy.

Przykład 1. W regularnej piramidzie trójkątnej kąt dwuścienny u podstawy wynosi 60°. Znajdź tangens kąta nachylenia żebro boczne do płaszczyzny bazowej.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 18).

Piramida jest poprawna, czyli u podstawy trójkąt równoboczny a wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Kąt dwuścienny u podstawy to kąt nachylenia bocznej ściany piramidy do płaszczyzny podstawy. Kąt liniowy to kąt A pomiędzy dwiema prostopadłymi: itd. Wierzchołek piramidy rzutowany jest na środek trójkąta (środek okręgu opisanego i okrąg wpisany w trójkąt ABC). Kąt nachylenia krawędzi bocznej (np S.B.) to kąt pomiędzy samą krawędzią a jej rzutem na płaszczyznę podstawy. Na żebro S.B. ten kąt będzie kątem SBD. Aby znaleźć styczną, musisz znać nogi WIĘC I O.B.. Niech długość odcinka BD równa się 3 A. Kropka O segment BD jest podzielony na części: i Od znajdujemy WIĘC: Z znajdujemy:

Odpowiedź:

Przykład 2. Znajdź objętość regularnej ściętej czworokątnej piramidy, jeśli przekątne jej podstaw są równe cm i cm, a jej wysokość wynosi 4 cm.

Rozwiązanie. Aby znaleźć objętość ściętej piramidy, używamy wzoru (4). Aby znaleźć obszar podstaw, musisz znaleźć boki kwadratów podstawowych, znając ich przekątne. Boki podstaw wynoszą odpowiednio 2 cm i 8 cm. Oznacza to pola podstaw i Podstawiając wszystkie dane do wzoru, obliczamy objętość ściętej piramidy:

Odpowiedź: 112cm3.

Przykład 3. Znajdź pole powierzchni bocznej regularnej trójkątnej ściętej piramidy, której boki podstaw wynoszą 10 cm i 4 cm, a wysokość piramidy wynosi 2 cm.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 19).

Boczna ściana tej piramidy jest trapezem równoramiennym. Aby obliczyć pole trapezu, musisz znać podstawę i wysokość. Podstawy podano według stanu, nieznana pozostaje jedynie wysokość. Znajdziemy ją skąd A 1 mi prostopadle do punktu A 1 na płaszczyźnie dolnej podstawy, A 1 D– prostopadle od A 1 os AC. A 1 mi= 2 cm, ponieważ jest to wysokość piramidy. Aby znaleźć DE Zróbmy dodatkowy rysunek przedstawiający widok z góry (ryc. 20). Kropka O– rzut środków podstawy górnej i dolnej. ponieważ (patrz ryc. 20) i Z drugiej strony OK– promień wpisany w okrąg i OM– promień wpisany w okrąg:

MK = DE.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa z

Powierzchnia boczna:

Odpowiedź:

Przykład 4. U podstawy piramidy leży trapez równoramienny, którego podstawy A I B (A> B). Każda ściana boczna tworzy kąt równy płaszczyźnie podstawy piramidy J. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 21). Całkowita powierzchnia piramidy SABCD równa sumie pól i pola trapezu ABCD.

Skorzystajmy ze stwierdzenia, że jeśli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek jest rzutowany na środek okręgu wpisanego w podstawę. Kropka O– rzut wierzchołkowy S u podstawy piramidy. Trójkąt DARŃ jest rzutem ortogonalnym trójkąta CSD do płaszczyzny podstawy. Według twierdzenia o obszarze rzutu ortogonalnego płaska figura otrzymujemy:

Podobnie to znaczy W ten sposób problem został zredukowany do znalezienia pola trapezu ABCD. Narysujmy trapez ABCD osobno (ryc. 22). Kropka O– środek okręgu wpisanego w trapez.

Ponieważ okrąg można wpisać w trapez, to lub Z twierdzenia Pitagorasa mamy