Cylinder (pochodzi z Język grecki, od słów „lodowisko”, „rolka”) - to jest geometryczne ciało, który jest ograniczony zewnętrznie przez powierzchnię zwaną cylindryczną i dwie płaszczyzny. Płaszczyzny te przecinają powierzchnię figury i są do siebie równoległe.
Powierzchnia cylindryczna to powierzchnia utworzona przez linię prostą w przestrzeni. Ruchy te polegają na tym, że wybrany punkt tej prostej przesuwa się wzdłuż krzywej typ płaski. Taka linia prosta nazywana jest tworzącą, a linia zakrzywiona nazywana jest prowadnicą.
Cylinder składa się z pary podstaw i bocznej powierzchni cylindrycznej. Istnieje kilka rodzajów cylindrów:
1. Okrągły, prosty cylinder. Taki cylinder ma podstawę i prowadnicę prostopadłą do linii generującej i tak jest
2. Pochylony cylinder. Jego kąt między linią tworzącą a podstawą nie jest prosty.
3. Cylinder o innym kształcie. Hiperboliczne, eliptyczne, paraboliczne i inne.
Powierzchnia cylindra, a także powierzchnia pełna powierzchnia dowolnego cylindra można znaleźć, dodając pola podstaw tej figury i pole powierzchni bocznej.
Wzór na obliczenie całkowitej powierzchni cylindra dla okrągłego, prostego cylindra:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
Stwierdzono, że powierzchnia powierzchni bocznej jest nieco bardziej skomplikowana niż powierzchnia całego cylindra; oblicza się ją, mnożąc długość linii tworzącej przez obwód przekroju utworzonego przez płaszczyznę prostopadłą. do linii tworzącej.
Dany cylinder dla cylindra okrągłego, prostego jest rozpoznawany poprzez opracowanie tego obiektu.
Zabudowa to prostokąt o wysokości h i długości P, która jest równa obwodowi podstawy.
Wynika z tego obszar boczny cylinder jest równy obszar przemiatania i można go obliczyć za pomocą następującego wzoru:
Jeśli weźmiemy okrągły, prosty cylinder, to dla niego:
P = 2p R i Sb = 2p Rh.
Jeżeli cylinder jest nachylony, wówczas powierzchnia powierzchni bocznej powinna być równa iloczynowi długości jego linii generującej i obwodu przekroju prostopadłego do tej linii generującej.
Niestety nie ma prostego wzoru na wyrażenie pola powierzchni bocznej walca pochyłego w funkcji jego wysokości i parametrów podstawy.
Aby obliczyć cylinder, musisz znać kilka faktów. Jeśli przekrój ze swoją płaszczyzną przecina podstawy, to taki przekrój jest zawsze prostokątem. Ale te prostokąty będą różne, w zależności od położenia sekcji. Jeden z boków przekroju osiowego figury, prostopadły do podstaw, jest równy wysokości, a drugi jest równy średnicy podstawy cylindra. A powierzchnia takiego przekroju jest odpowiednio równa iloczynowi jednego boku prostokąta przez drugi, prostopadły do pierwszego, lub iloczynowi wysokości danej figury i średnicy jej podstawy.
Jeżeli przekrój jest prostopadły do podstaw figury, ale nie przechodzi przez oś obrotu, wówczas powierzchnia tego przekroju będzie równa iloczynowi wysokości tego cylindra i określonej cięciwy. Aby uzyskać cięciwę, musisz zbudować okrąg u podstawy walca, narysować promień i na nim wykreślić odległość, w której znajduje się przekrój. I od tego punktu musisz narysować prostopadłe do promienia od przecięcia z okręgiem. Punkty przecięcia są połączone ze środkiem. A podstawa trójkąta jest pożądana, której szukają takie dźwięki: „Suma kwadratów dwóch nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej”:
C2 = A2 + B2.
Jeśli przekrój nie wpływa na podstawę cylindra, a sam cylinder jest okrągły i prosty, wówczas obszar tego przekroju jest określany jako obszar koła.
Pole koła wynosi:
Środ.S. = 2п R2.
Aby znaleźć R, musisz podzielić jego długość C przez 2n:
R = C\2n, gdzie n to pi, stała matematyczna obliczona do pracy z danymi okręgowymi i równa 3,14.
Pole każdej podstawy cylindra wynosi π R 2, pole obu podstaw będzie wynosić 2π R 2 (rys.).Pole powierzchni bocznej walca jest równe polu prostokąta, którego podstawa wynosi 2π R, a wysokość jest równa wysokości cylindra H, tj. 2π rh.
Całkowita powierzchnia walca będzie wynosić: 2π R 2 + 2π rh= 2π R(R+ H).
Przyjmuje się obszar powierzchni bocznej cylindra obszar zamiatania jego powierzchni bocznej.
Dlatego powierzchnia bocznej powierzchni prawego okrągłego cylindra jest równa powierzchni odpowiedniego prostokąta (ryc.) i jest obliczana według wzoru
S. p.n.e. = 2πRH, (1)
Jeśli do pola powierzchni bocznej cylindra dodamy pole jego dwóch podstaw, otrzymamy całkowitą powierzchnię cylindra
Pełny =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Objętość prostego cylindra
Twierdzenie. Objętość prostego cylindra jest równa iloczynowi pola jego podstawy i jego wysokości , tj.gdzie Q jest polem podstawy, a H jest wysokością cylindra.
Ponieważ powierzchnia podstawy walca wynosi Q, wówczas istnieją sekwencje wielokątów opisanych i wpisanych o obszarach Q N i Q' N takie, że
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ N= pytanie
Skonstruujmy ciągi pryzmatów, których podstawą są opisane i wpisane wielokąty omówione powyżej, oraz żebra boczne równoległe do tworzącej danego walca i mają długość H. Pryzmaty te są opisane i wpisane na dany cylinder. Ich objętości można znaleźć za pomocą wzorów
V N=P N H i V' N= Q' N H.
Stąd,
V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ N H = QH.
Konsekwencja.
Objętość prawego walca okrągłego oblicza się ze wzoru
V = π R 2 H
gdzie R jest promieniem podstawy, a H jest wysokością walca.
Ponieważ podstawą okrągłego cylindra jest okrąg o promieniu R, wówczas Q = π R 2, a zatem
Cylinder to bryła geometryczna ograniczona dwiema równoległymi płaszczyznami i powierzchnią cylindryczną. W artykule porozmawiamy o tym, jak znaleźć pole cylindra i korzystając ze wzoru, rozwiążemy na przykład kilka problemów.
Cylinder ma trzy powierzchnie: górną, dolną i powierzchnia boczna.
Góra i podstawa cylindra mają kształt okręgów i są łatwe do zidentyfikowania.
Wiadomo, że pole koła jest równe πr 2. Dlatego wzór na pole dwóch okręgów (góry i podstawy walca) będzie wynosił πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Trzecia, boczna powierzchnia cylindra, to zakrzywiona ściana cylindra. Aby lepiej wyobrazić sobie tę powierzchnię, spróbujmy ją przekształcić, aby uzyskać rozpoznawalny kształt. Wyobraź sobie, że cylinder to zwykła puszka, która nie ma górnej pokrywy ani dna. Zróbmy pionowe nacięcie na bocznej ścianie od góry do podstawy puszki (Krok 1 na rysunku) i spróbujmy maksymalnie otworzyć (wyprostować) powstałą figurę (Krok 2).
Po całkowitym otwarciu powstałego słoika zobaczymy znajomą figurę (krok 3), jest to prostokąt. Pole prostokąta jest łatwe do obliczenia. Ale zanim to wróćmy na chwilę do oryginalnego cylindra. Wierzchołek pierwotnego walca jest okręgiem, a wiemy, że obwód oblicza się ze wzoru: L = 2πr. Na rysunku jest on zaznaczony na czerwono.
Kiedy ścianka boczna cylindra jest całkowicie otwarta, widzimy, że obwód staje się długością powstałego prostokąta. Bokami tego prostokąta będzie obwód (L = 2πr) i wysokość walca (h). Pole prostokąta jest równe iloczynowi jego boków - S = długość x szerokość = L x h = 2πr x h = 2πrh. W rezultacie otrzymaliśmy wzór na obliczenie pola powierzchni bocznej cylindra.
Wzór na powierzchnię boczną cylindra
Strona S = 2πrh
Całkowita powierzchnia cylindra
Wreszcie, jeśli dodamy pole wszystkich trzech powierzchni, otrzymamy wzór na całkowitą powierzchnię walca. Pole powierzchni cylindra jest równe powierzchni górnej części cylindra + powierzchni podstawy cylindra + powierzchni bocznej cylindra lub S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Czasami wyrażenie to zapisuje się identycznie jak wzór 2πr (r + h).
Wzór na całkowitą powierzchnię cylindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – promień cylindra, h – wysokość cylindra
Przykłady obliczania pola powierzchni cylindra
Aby zrozumieć powyższe wzory, spróbujmy obliczyć pole powierzchni walca na przykładach.
1. Promień podstawy cylindra wynosi 2, wysokość wynosi 3. Określ pole powierzchni bocznej cylindra.
Powierzchnię całkowitą oblicza się ze wzoru: bok S. = 2πrh
Strona S = 2 * 3,14 * 2 * 3
Strona S = 6,28 * 6
Strona S = 37,68
Pole powierzchni bocznej cylindra wynosi 37,68.
2. Jak znaleźć powierzchnię walca, jeśli wysokość wynosi 4, a promień wynosi 6?
Powierzchnię całkowitą oblicza się ze wzoru: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Wzór na promień cylindra:
gdzie V jest objętością cylindra, h jest wysokością
Cylinder to bryła geometryczna uzyskana poprzez obrót prostokąta wokół jego boku. Cylinder jest również ciałem ograniczonym powierzchnią cylindryczną i przecinającymi ją dwiema równoległymi płaszczyznami. Powierzchnia ta powstaje, gdy linia prosta porusza się równolegle do siebie. W tym przypadku wybrany punkt prostej porusza się po określonej krzywej płaskiej (prowadnicy). Ta linia prosta nazywana jest generatorem powierzchni cylindrycznej.
Wzór na promień cylindra:
gdzie Sb to powierzchnia boczna, h to wysokość
Cylinder to bryła geometryczna uzyskana poprzez obrót prostokąta wokół jego boku. Cylinder jest również ciałem ograniczonym powierzchnią cylindryczną i przecinającymi ją dwiema równoległymi płaszczyznami. Powierzchnia ta powstaje, gdy linia prosta porusza się równolegle do siebie. W tym przypadku wybrany punkt prostej porusza się po określonej krzywej płaskiej (prowadnicy). Ta linia prosta nazywana jest generatorem powierzchni cylindrycznej.
Wzór na promień cylindra:
gdzie S to całkowita powierzchnia, h to wysokość
Jest to bryła geometryczna ograniczona dwiema równoległymi płaszczyznami i powierzchnią cylindryczną.
Cylinder składa się z powierzchni bocznej i dwóch podstaw. Wzór na powierzchnię walca obejmuje oddzielne obliczenie pola podstawy i powierzchni bocznej. Ponieważ podstawy w cylindrze są równe, jego całkowite pole zostanie obliczone ze wzoru:
Rozważymy przykład obliczenia powierzchni cylindra po poznaniu wszystkich niezbędnych wzorów. Najpierw potrzebujemy wzoru na pole podstawy cylindra. Ponieważ podstawą cylindra jest okrąg, będziemy musieli zastosować: 
Pamiętamy, że w tych obliczeniach stosuje się stałą liczbę Π = 3,1415926, którą oblicza się jako stosunek obwodu koła do jego średnicy. Liczba ta jest stałą matematyczną. Przyjrzymy się również przykładowi obliczenia pola podstawy walca nieco później.
Powierzchnia boczna cylindra
Wzór na pole powierzchni bocznej walca jest iloczynem długości podstawy i jej wysokości:
Przyjrzyjmy się teraz problemowi, w którym musimy obliczyć całkowitą powierzchnię cylindra. Na podanym rysunku wysokość wynosi h = 4 cm, r = 2 cm. Znajdźmy całkowitą powierzchnię cylindra.
Najpierw obliczmy pole podstaw:
Spójrzmy teraz na przykład obliczenia pola powierzchni bocznej cylindra. Po rozwinięciu reprezentuje prostokąt. Jego powierzchnię oblicza się według powyższego wzoru. Podstawmy do niego wszystkie dane:
Całkowita powierzchnia koła to suma podwójnego pola podstawy i boku:
Zatem korzystając ze wzorów na pole podstaw i powierzchnię boczną figury, udało nam się znaleźć całkowitą powierzchnię walca.
Przekrój osiowy cylindra jest prostokątem, którego boki są równe wysokości i średnicy cylindra.
Wzór na pole przekroju osiowego cylindra wyprowadza się ze wzoru obliczeniowego: