>

Skonstruuj przekrój czworościanu, korzystając z płaszczyzny mnp. Nauka budowania sekcji

Slajd 2

Informacje dla nauczycieli. Celem stworzenia tej prezentacji jest jasne zademonstrowanie algorytmów konstruowania punktu przecięcia prostej i płaszczyzny, linii przecięcia płaszczyzn i odcinków czworościanu. Nauczyciel może wykorzystać prezentację podczas prowadzenia lekcji na ten temat lub polecić ją samokształcenie dla uczniów, którzy z jakiegoś powodu opuścili naukę lub dla nich, aby powtórzyli pewne pytania. Studenci dołączają do zapoznania się z prezentacją, wypełniając krótkie podsumowanie.

Slajd 3

Informacja dla studenta. Celem stworzenia tej prezentacji jest jasne zademonstrowanie algorytmów rozwiązywania problemów związanych z budową w przestrzeni. Staraj się uważnie i powoli przestudiować komentarze do objaśnień i porównać je z rysunkiem. Wpisać krótkie podsumowanie wszystkie pominięcia. Rozwiązując problemy samodzielnie, należy najpierw samodzielnie przemyśleć rozwiązanie, a następnie przyjrzeć się temu zaproponowanemu przez autora. Zapisz pytania do nauczyciela i zadaj je na lekcji.

Slajd 4

I. Prosta a przecina płaszczyznę α. Zbuduj punkt przecięcia.

α β P m a Odpowiedź: I. Aby skonstruować punkt przecięcia prostej a z płaszczyzną α należy: 1) narysować (znaleźć) płaszczyznę β przechodzącą przez linię a i płaszczyznę przecinającą α wzdłuż prostej m 2) skonstruować punkt P przecięcia prostych a i m. Przez prostą a rysujemy płaszczyznę β przecinającą płaszczyznę α wzdłuż prostej t. Przecinamy prostą a z linią przecięcia płaszczyzn α i β: linia prosta t Punkt P jest punktem wspólnym prostej a i płaszczyzna α, ponieważ prosta m leży w płaszczyźnie α. Zapisz algorytm w krótkim podsumowaniu.

Slajd 5

1) Skonstruuj punkt przecięcia prostej MN i płaszczyzny BDC.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Odpowiedź: Płaszczyzna ABC przechodzi przez prostą MN i przecina płaszczyznę BDC wzdłuż prostej BC. Prosta MN przecina prostą BC w punkcie P. Prosta BC leży w płaszczyźnie BDC, co oznacza, że ​​prosta MN przecina płaszczyznę BDC w punkcie P.

Slajd 6

2) Skonstruuj punkt przecięcia prostej MN i płaszczyzny ABD.

D B A C M N P Odpowiedź: Zobacz rozwiązanie Prosta MN należy do płaszczyzny ВDC, która przecina płaszczyznę АВD wzdłuż prostej DB. Przetnijmy proste MN i DB. Następny

Slajd 7

II. Niech prosta AB nie będzie równoległa do płaszczyzny α. Skonstruuj linię przecięcia płaszczyzn α i ABC, jeśli punkt C należy do płaszczyzny α

B C A α β P m Skonstruujmy punkt przecięcia prostej AB z płaszczyzną α. Ze względu na stan i konstrukcję punkty C i P są wspólne płaszczyznom ABC i α. Ze względu na stan i konstrukcję punkty C i P są wspólne płaszczyznom ABC i α. Oznacza to, że prosta CP jest pożądaną prostą przecięcia płaszczyzn ABC i α. II. Aby skonstruować linię przecięcia płaszczyzny α i płaszczyzny ABC (C α, (A, B) α, AB || α), należy: skonstruować punkt przecięcia prostej AB i płaszczyzny α - punkt P; 2) punkty P i C są punktami wspólnymi płaszczyzn (ABC) oraz α, co oznacza (ABC) α = CP Zapisz algorytm w krótkim podsumowaniu.

Slajd 8

3).Skonstruuj prostą przecięcia płaszczyzn MNP i ADB.

Skonstruuj przecięcie płaszczyzny MNP i ściany ADB. M D B A C N P X Q R Odpowiedź: Skonstruujmy punkt przecięcia prostej MR z płaszczyzną ADB (punkt X). Prosta MR leży w płaszczyźnie ADC, która przecina płaszczyznę ADB wzdłuż prostej AD. Prosta MR leży w płaszczyźnie ADC, która przecina płaszczyznę ADB wzdłuż prostej AD. Punkty X i N są punktami wspólnymi płaszczyzn ADB i MNP. Oznacza to, że przecinają się one wzdłuż linii prostej XN. Zapisuj postęp budowy w krótkim podsumowaniu.

Slajd 9

Przekrój czworościanu.

C D B A M N P α Wielokąt złożony z odcinków, wzdłuż których płaszczyzna przecięcia przecina ściany wielościanu, nazywany jest przekrojem wielościanu. Segmenty tworzące przekrój nazywane są śladami płaszczyzny cięcia na ścianach. ∆ MNP – przekrój. Niech płaszczyzna przecina czworościan, wtedy nazywa się to płaszczyzną cięcia. Płaszczyzna przecina krawędzie czworościanu punkty M, N, P

, a ściany - wzdłuż odcinków MN, MP, NP... Trójkąt MNP nazywa się przekrojem czworościanu przez tę płaszczyznę... Zapisz to w krótkiej notatce.

Slajd 10

Przekrój czworościanu może być również czworokątem.

A C D B M N P Q α MNPQ – przekrój.

Slajd 11

Algorytm konstrukcji przekroju czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez trzy dane punkty M, N, P.

Sekcja MNPQ jest wymagana. D B A C M N P Q X Utwórz ślady płaszczyzny cięcia na tych ścianach, które mają z nią 2 punkty wspólne. 3) Przez zbudowane punkty poprowadź linię prostą, wzdłuż której płaszczyzna cięcia przecina płaszczyznę wybranej ściany ABC. 4) Zaznacz i zaznacz punkty, w których linia ta przecina krawędzie ściany ABC i uzupełnij pozostałe ślady. 2) Wybierz twarz, która nie ma jeszcze śladu.

Skonstruuj punkty przecięcia prostych zawierających już skonstruowane ścieżki z płaszczyzną wybranej ściany: ABC.

Slajd 12

Skonstruuj przekrój metodą płaszczyzny czworościennej MNP.2.

D B A C M N P Q X MNPQ – wymagana sekcja.

Q D A C M N P X B X Zobacz rozwiązanie Druga metoda: Dalej

Slajd 14

Nr 2. (Zdecyduj sam). Skonstruuj przekrój czworościanu, korzystając z płaszczyzny MNP, jeśli P należy do ściany ADC.

Slajd 15

Nr 3. Skonstruuj przekrój, korzystając z płaszczyzny czworościennej α, równoległej do krawędzi CD i przechodzącej przez punkt F leżący na płaszczyźnie DBC i punkt M.

3)α (ADB)= MN, α (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Dane: α||DC, (M;F) α, F (BDC), M AD. Skonstruuj przekrój czworościanu DABC. α||DC, wtedy (DBC) α=FP i FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Ponieważ α||DC, to (DAC) α=MQ i MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP i NP α, oznaczają DC||α, zatem MNPQ jest pożądaną sekcją. Kontynuuj zdanie: Jeżeli dana prosta a jest równoległa do pewnej płaszczyzny α, to każda płaszczyzna przechodząca przez tę prostą a i nierównoległa do płaszczyzny α przecina płaszczyznę α wzdłuż prostej b………………… ……………… równolegle do prostej A. Kontynuuj... α||DC, wówczas płaszczyzna BDC przecina α wzdłuż prostej równoległej do DC i przechodzącej przez punkt F α||DC, wówczas płaszczyzna ADC przecina α wzdłuż prostej równoległej do DC i przechodzącej przez punkt m

Slajd 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P#4. Skonstruuj przekrój płaszczyzny czworościennej α równoległej do ściany BDC i przechodzącej przez punkt M. B A C M N D Dane: α||DBC, M α, M AD. Skonstruuj przekrój czworościanu DABC przez płaszczyznę α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP jest sekcją wymaganą, ponieważ………. Kontynuuj zdanie: Jeśli dwie równoległe płaszczyzny przecina trzecia płaszczyzna, to linie ich przecięcia……………………… są równoległe. dwie przecinające się linie MN i MP płaszczyzny α są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii DB i DC płaszczyzny (DBC), co oznacza α||(DBC). α||DВC, wówczas płaszczyzny AВ i ADC przecinają płaszczyzny α i (ВДС) wzdłuż prostych MN i МР, równoległych odpowiednio do DB i DC i przechodzących przez punkt M.

Slajd 17

Dalej M R B A C N Nr 5. Rozwiąż samodzielnie i zapisz rozwiązanie. Skonstruuj przekrój czworościanu przez płaszczyznę α przechodzącą przez punkt M i odcinek PN, jeżeli PN||AB i M należą do płaszczyzny (ABC). P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQ AC=R. α (ADC)=NR, α (BDC)=PQ.

Przekrój wymagany przez RNPQ. Zobacz rozwiązanie NP||(ABC), co oznacza, że ​​płaszczyzna MNP przecina płaszczyznę ABC po prostej MQ równoległej do NP i przechodzącej przez punkt M.

Slajd 18

Nie zapomnij sformułować pytań do nauczyciela, jeśli coś nie było jasne, a także zaleceń dotyczących ulepszenia tej prezentacji.

Przy tworzeniu prezentacji wykorzystano podręczniki i podręczniki: 1. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzow i inni. Geometria 10-11. M. „Oświecenie” 2008. 2.B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakhansky Problemy z geometrii 7-11.M. „Oświecenie” 2000

Wyświetl wszystkie slajdy

Na tej lekcji przyjrzymy się czworościanowi i jego elementom (krawędź czworościanu, powierzchnia, ściany, wierzchołki). Rozwiążemy kilka problemów związanych z konstruowaniem przekrojów czworościanu, stosując ogólną metodę konstruowania przekrojów.

Temat: Równoległość linii i płaszczyzn

Lekcja: czworościan. Zagadnienia konstruowania przekrojów czworościanu

Jak zbudować czworościan? Weźmy dowolny trójkąt ABC. Dowolny punkt D, nie leżącego w płaszczyźnie tego trójkąta. Otrzymujemy 4 trójkąty. Powierzchnia utworzona przez te 4 trójkąty nazywana jest czworościanem (ryc. 1.). Wewnętrzne punkty ograniczone tą powierzchnią są również częścią czworościanu.

Ryż. 1. Czworościan ABCD

Elementy czworościanu
A,B, C, D - wierzchołki czworościanu.
AB, AC, OGŁOSZENIE, przed Chrystusem, BD, płyta CD - krawędzie czworościanu.
ABC, ABD, BDC, ADC - twarze czworościanu.

Komentarz: można brać na płasko ABC Do podstawa czworościanu, a następnie wskaż D Jest wierzchołek czworościanu. Każda krawędź czworościanu jest przecięciem dwóch płaszczyzn. Na przykład żebro AB- to jest przecięcie płaszczyzn ABD I ABC. Każdy wierzchołek czworościanu jest przecięciem trzech płaszczyzn. Wierzchołek A leży w płaszczyznach ABC, ABD, ADZ. Kropka A jest przecięciem trzech wyznaczonych płaszczyzn. Fakt ten zapisano w następujący sposób: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definicja czworościanu

Więc, tetraedr to powierzchnia utworzona przez cztery trójkąty.

Krawędź czworościanu- linia przecięcia dwóch płaszczyzn czworościanu.

Z 6 zapałek utwórz 4 równe trójkąty. Nie da się rozwiązać problemu w samolocie. A jest to łatwe do zrobienia w kosmosie. Weźmy czworościan. 6 zapałek to jego krawędzie, cztery ściany czworościanu i będzie ich cztery równe trójkąty. Problem został rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M należy do krawędzi czworościanu AB, punkt N należy do krawędzi czworościanu WD i okres R należy do krawędzi DZ(ryc. 2.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną MNP.

Ryż. 2. Rysunek do zadania 2 - Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy ścianę czworościanu DSłoneczny. Z tej strony N I P należą do twarzy DSłoneczny, a zatem czworościan. Ale zgodnie z warunkiem punktu N., P należą do płaszczyzny cięcia. Oznacza, N.P.- jest to linia przecięcia dwóch płaszczyzn: płaszczyzna twarzy DSłoneczny i płaszczyzna cięcia. Załóżmy, że linie proste N.P. I Słoneczny nie równolegle. Leżą w tej samej płaszczyźnie DSłoneczny. Znajdźmy punkt przecięcia linii N.P. I Słoneczny. Oznaczmy to mi(ryc. 3.).

Ryż. 3. Rysunek problemu 2. Znalezienie punktu E

Kropka mi należy do płaszczyzny przekroju MNP, ponieważ leży na prostej NP i linię prostą NP leży całkowicie w płaszczyźnie przekroju MNP.

Wskaż także mi leży w samolocie ABC, ponieważ leży na prostej Słoneczny z samolotu ABC.

Rozumiemy to EM- linia przecięcia płaszczyzn ABC I MNP, od punktów mi I M leżą jednocześnie w dwóch płaszczyznach - ABC I MNP. Połączmy kropki M I mi i jedź dalej prosto EM do przecięcia z linią AC. Punkt przecięcia linii EM I AC oznaczmy Q.

Więc w tym przypadku NPQМ- wymagana sekcja.

Ryż. 4. Rysunek problemu 2. Rozwiązanie problemu 2

Rozważmy teraz przypadek, kiedy N.P. równoległy przed Chrystusem. Jeśli prosto N.P. równolegle do jakiejś linii, na przykład linii prostej Słoneczny z samolotu ABC, potem prosto N.P. równolegle do całej płaszczyzny ABC.

Żądana płaszczyzna przekroju przechodzi przez linię prostą N.P., równolegle do płaszczyzny ABC, i przecina płaszczyznę po linii prostej MQ. Zatem linia przecięcia MQ równolegle do linii N.P.. Dostajemy, NPQМ- wymagana sekcja.

Kropka M leży na bocznej krawędzi ADW tetraedr ABCD. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez ten punkt M równolegle do podstawy ABC.

Ryż. 5. Rysunek do zadania 3 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Płaszczyzna cięcia φ równolegle do płaszczyzny ABC zgodnie z warunkiem oznacza to, że ten samolot φ równolegle do linii AB, AC, Słoneczny.
W samolocie ABD przez punkt M zróbmy bezpośredni PQ równoległy AB(ryc. 5). Prosty PQ leży w samolocie ABD. Podobnie w samolocie ACD przez punkt R zróbmy bezpośredni PR równoległy AC. Mam rację R. Dwie przecinające się linie PQ I PR samolot PQR odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii AB I AC samolot ABC, czyli samoloty ABC I PQR równoległy. PQR- wymagana sekcja. Problem został rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M- punkt wewnętrzny, punkt na ścianie czworościanu ABD. N- punkt wewnętrzny odcinka DZ(ryc. 6.). Skonstruuj punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 6. Rysunek do zadania 4

Rozwiązanie:
Aby rozwiązać ten problem, zbudujemy płaszczyznę pomocniczą DMN. Niech będzie prosto DM przecina w punkcie prostą AB DO(ryc. 7.). Następnie, SKD- to jest fragment samolotu DMN i czworościan. W samolocie DMN kłamstwa i prosto N.M. i wynikową linię prostą SK. Więc jeśli N.M. nie równolegle SK, to w pewnym momencie się przetną R. Kropka R i pojawi się pożądany punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 7. Rysunek problemu 4. Rozwiązanie problemu 4

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. M- wewnętrzny punkt twarzy ABD. R- wewnętrzny punkt twarzy ABC. N- punkt wewnętrzny krawędzi DZ(ryc. 8.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, N I R.

Ryż. 8. Rysunek do zadania 5 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy pierwszy przypadek, gdy linia prosta MN nie jest równoległy do ​​płaszczyzny ABC. W poprzednim zadaniu znaleźliśmy punkt przecięcia prostej MN i samoloty ABC. O to właśnie chodzi DO, uzyskuje się to za pomocą płaszczyzny pomocniczej DMN, tj. prowadzimy DM i mamy punkt F. Wykonujemy CF i na skrzyżowaniu MN zdobywamy punkt DO.

Ryż. 9. Rysunek problemu 5. Znalezienie punktu K

Zróbmy bezpośredni KR. Prosty KR leży zarówno w płaszczyźnie przekroju, jak i w płaszczyźnie ABC. Zdobywanie punktów P 1 I R2. Złączony P 1 I M i jako kontynuacja rozumiemy sedno M 1. Łączenie kropki R2 I N. W rezultacie otrzymujemy pożądaną sekcję P 1 P 2 NM 1. W pierwszym przypadku problem został rozwiązany.
Rozważmy drugi przypadek, gdy linia prosta MN równolegle do płaszczyzny ABC. Samolot MNP przechodzi przez linię prostą MN równolegle do płaszczyzny ABC i przecina płaszczyznę ABC wzdłuż jakiejś linii prostej R 1 R 2, potem prosto R 1 R 2 równolegle do danej linii MN(ryc. 10.).

Ryż. 10. Rysunek problemu 5. Wymagana sekcja

Teraz narysujmy linię prostą R1 M i mamy punkt M 1.P 1 P 2 NM 1- wymagana sekcja.

Przyjrzeliśmy się więc czworościanowi i rozwiązaliśmy kilka kwestii typowe zadania do czworościanu. W następnej lekcji przyjrzymy się równoległościanowi.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chory. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalizowany)

2. Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory. Geometria. Klasy 10-11: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Wydanie 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s. :il. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego obejmujący pogłębioną i specjalistyczną naukę matematyki

Dodatkowe zasoby internetowe

2. Jak skonstruować przekrój czworościanu. Matematyka ().

3. Festiwal idei pedagogicznych ().

Rozwiązuj w domu zadania na temat „Czworościan”, jak znaleźć krawędź czworościanu, ściany czworościanu, wierzchołki i powierzchnię czworościanu

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il. Zadania 18, 19, 20 s. 50

2. Punkt miżyłka MAMA tetraedr MAVS. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty B, C I mi.

3. W czworościanie MABC punkt M należy do ściany AMV, punkt P należy do ściany BMC, punkt K należy do krawędzi AC. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, R, K.

4. Jakie kształty można uzyskać w wyniku przecięcia czworościanu z płaszczyzną?

, slajdy 1-2)

    nauczyć się stosować aksjomaty stereometrii przy rozwiązywaniu problemów;

    nauczyć się znajdować położenie punktów przecięcia płaszczyzny cięcia z krawędziami czworościanu;

    główne metody konstruowania tych sekcji

    formularz aktywność poznawcza, umiejętność logicznego myślenia;

    stwarzać warunki do samokontroli zdobywania wiedzy i umiejętności.

Typ lekcji: Tworzenie nowej wiedzy.

Postęp lekcji

I. Moment organizacyjny

II. Aktualizowanie wiedzy uczniów

Badanie frontalne. (Aksjomaty stereometrii, własności płaszczyzn równoległych)

Słowo nauczyciela

Aby rozwiązać wiele problemów geometrycznych związanych z czworościanem, przydatna jest umiejętność ich narysowaniasekcje różne samoloty. (slajd 3). Zadzwońmypłaszczyzna cięcia czworościan to dowolna płaszczyzna, po obu stronach której znajdują się punkty danego czworościanu. Płaszczyzna cięcia przecina ściany czworościanu wzdłuż segmentów. Nazywa się wielokąt, którego bokami są te segmentyprzekrój czworościanu . Ponieważ czworościan ma cztery ściany, jego przekroje mogą składać się tylko z trójkątów i czworokątów. Należy również pamiętać, że aby skonstruować przekrój, wystarczy skonstruować punkty przecięcia płaszczyzny przekroju z krawędziami czworościanu, po czym pozostaje narysować odcinki łączące każde dwa skonstruowane punkty leżące na tej samej ścianie.

Na tej lekcji będziesz mógł szczegółowo przestudiować przekroje czworościanu i opanować metody konstruowania tych przekrojów. Poznasz pięć zasad konstruowania przekrojów wielościanów, nauczysz się znajdować położenie punktów przecięcia płaszczyzny cięcia z krawędziami czworościanu.

Aktualizacja koncepcji wspierających

    Pierwsza zasada. Jeżeli dwa punkty należą zarówno do płaszczyzny przecięcia, jak i płaszczyzny jakiejś ściany wielościanu, to prosta przechodząca przez te dwa punkty jest linią przecięcia płaszczyzny przecięcia z płaszczyzną tej ściany (konsekwencja aksjomatu o przecięcie płaszczyzn).

    Druga zasada . Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do pewnej płaszczyzny, to te dwie płaszczyzny przecinają się z dowolną ścianą wzdłuż równoległych linii (właściwość dwóch równoległych płaszczyzn przeciętych przez trzecią).

    Trzecia zasada. Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do linii leżącej w pewnej płaszczyźnie (na przykład płaszczyźnie jakiejś ściany), to linia przecięcia płaszczyzny cięcia z tą płaszczyzną (twarzą) jest równoległa do tej prostej (właściwość linia równoległa do płaszczyzny).

    Czwarta zasada. Płaszczyzna tnąca przecina równoległe ściany wzdłuż równoległych linii prostych (właściwość równoległych płaszczyzn przeciętych przez trzecią).

    Piąta zasada . Niech dwa punkty A i B należą do płaszczyzny cięcia, a punkty A 1 i B 1 są równoległymi rzutami tych punktów na jakąś ścianę. Jeśli proste AB i A 1 B 1 są równoległe, wówczas płaszczyzna cięcia przecina tę ścianę wzdłuż linii prostej równoległej do A 1 B 1 . Jeśli proste AB i A 1 B 1 przecinają się w pewnym punkcie, to punkt ten należy zarówno do płaszczyzny przecięcia, jak i płaszczyzny tej ściany (pierwsza część tego twierdzenia wynika z własności prostej równoległej do płaszczyzny, a druga wynika z dodatkowych właściwości równoległej występ).

III. Nauka nowego materiału (kształtowanie wiedzy, umiejętności)

Wspólne rozwiązywanie problemów z wyjaśnieniem (slajd 4)

Zadanie 1. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty K є AD, M є DS, E є BC.

Przyjrzyjmy się uważnie rysunkowi. Ponieważ punkty K i M należą do tej samej płaszczyzny, znajdujemy przecięcie płaszczyzny cięcia z powierzchnią ADS - jest to odcinek KM. Punkty M i E również leżą w tej samej płaszczyźnie, co oznacza, że ​​przecięciem płaszczyzny cięcia i powierzchni VDS jest odcinek ME. Znajdujemy punkt przecięcia prostych KM i AC, które leżą w tej samej płaszczyźnie ADS. Teraz punkt X leży na ścianie ABC, wówczas można go połączyć z punktem E. Rysujemy prostą XE, która przecina się z AB w punkcie P. Odcinek PE jest przecięciem płaszczyzny cięcia ze ścianą ABC, a odcinek KP jest przecięciem płaszczyzny cięcia ze ścianą ABC. Dlatego czworokąt KMER jest naszą pożądaną sekcją. Zapisz rozwiązanie w swoim notatniku:

Rozwiązanie.

    KM = α ∩ ADS

    ME = α ∩ VDS

    X = KM ∩ AC

    P = XE ∩ AB

    PE = α ∩ ABC

    KR = α ∩ PRZYSŁ

    KMER – sekcja wymagana

Zadanie 2. (slajd 5)

Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty K = ABC, M = VDS, N = AD

Rozważmy rzuty kilku dwóch punktów. W czworościanie rzuty punktów znajdują się od wierzchołka do płaszczyzny podstawy, tj. M → M 1 , N → A. Znalezienie przecięcia prostych NM i AM 1 punkt X. Punkt ten należy do płaszczyzny przecięcia, ponieważ leży na prostej NM, należy do płaszczyzny ABC, ponieważ leży na prostej AM 1 . Oznacza to, że teraz w płaszczyźnie ABC mamy dwa punkty, które można połączyć, otrzymujemy prostą KX. Prosta przecina bok BC w punkcie L i bok AB w punkcie H. W powierzchni ABC znajdujemy linię przecięcia, która przechodzi przez punkty H i K - to jest NL. W ścianie ABP linia przecięcia to НN, w ścianie VDS rysujemy linię przecięcia przez punkty L i M - to jest LQ, a w ścianie ADS otrzymujemy odcinek NQ. Wymaganą sekcją jest czworobok HNQL.

Rozwiązanie

    M → M 1 N → A

    X = NM ∩ AM 1

    L = KX ∩ BC

    H = KX ∩ AB

    НL = α ∩ АВС, К є НL

    НN = α ∩ АВД,

    LQ = α ∩ VDS, М є LQ

    NQ = α ∩ ADS

    HNQL – sekcja wymagana

IV. Konsolidacja wiedzy

Rozwiązanie problemu z późniejszą weryfikacją

Zadanie 3. (slajd 6)

Skonstruuj odcinek czworościanu DAWS z płaszczyzną przechodzącą przez punkty K є BC, M є ADV, N є VDS.

Rozwiązanie

    1. M → M 1 , N → N 1

    X = NM ∩ N 1 M 1

    R = KX ∩ AB

    RL = α ∩ АВД, М є RL

    KR = α ∩ VDS, N є KR

    LP = α ∩ ADS

    RLPK – sekcja wymagana

V. Niezależna praca(według opcji)

(slajd 7)

Zadanie 4. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M = AB, N = AC, K = AD.

Rozwiązanie

    KM = α ∩ AVD,

    МN = α ∩ АВС,

    KN = α ∩ ADS

    KMN – sekcja wymagana

Zadanie 5. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M = AB, K = DS, N = DV.

Rozwiązanie

    MN = α ∩ AVD

    NK = α ∩ VDS

    X = NK ∩ BC

    P = AC ∩ MX

    RK = α ∩ ADS

    MNKP – sekcja wymagana

Zadanie 6. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M = ABC, K = VD, N = DS

Rozwiązanie

    KN = α ∩ LÓD

    Х = КN ∩ ВС

    T = MX ∩ ABP = TX ∩ AC

    RT = α ∩ ABC, M є RT

    PN = α ∩ ADS

    TP N K – wymagany odcinek

VI. Podsumowanie lekcji.

(slajd 8)

Tak więc dzisiaj nauczyliśmy się konstruować najprostsze problemy na przekrojach czworościanu. Przypomnę, że przekrój wielościanu to wielokąt powstały w wyniku przecięcia wielościanu z określoną płaszczyzną. Sama płaszczyzna nazywana jest płaszczyzną tnącą. Konstruowanie przekroju oznacza określenie, które krawędzie przecina płaszczyzna cięcia, rodzaj powstałego przekroju oraz dokładne położenie punktów przecięcia płaszczyzny cięcia z tymi krawędziami. Oznacza to, że cele wyznaczone na lekcji zostały osiągnięte.

VII. Praca domowa.

(slajd 9)

Praktyczna praca„Konstruuj przekroje czworościanu” w formie elektronicznej lub papierowej. (Wszyscy otrzymali zadanie indywidualne

Dzisiaj ponownie przyjrzymy się, jak to zrobić skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną.
Rozważmy najprostszy przypadek (poziom obowiązkowy), gdy 2 punkty płaszczyzny przekroju należą do jednej ściany, a trzeci punkt należy do drugiej ściany.

Przypomnijmy algorytm konstruowania przekrojów tego typu (przypadek: 2 punkty należą do tej samej ściany).

1. Szukamy ściany zawierającej 2 punkty płaszczyzny przekroju. Narysuj linię prostą przechodzącą przez dwa punkty leżące na tej samej ścianie. Znajdujemy punkty jego przecięcia z krawędziami czworościanu. Część linii prostej kończąca się na powierzchni to bok przekroju.

2. Jeśli wielokąt można zamknąć, oznacza to, że przekrój został skonstruowany. Jeśli zamknięcie nie jest możliwe, znajdujemy punkt przecięcia skonstruowanej linii i płaszczyzny zawierającej trzeci punkt.

1. Widzimy, że punkty E i F leżą na tej samej ścianie (BCD), narysuj linię prostą EF na płaszczyźnie (BCD).
2. Znajdźmy punkt przecięcia prostej EF z krawędzią czworościanu BD, jest to punkt H.
3. Teraz musisz znaleźć punkt przecięcia prostej EF i płaszczyzny zawierającej trzeci punkt G, tj. płaszczyzna (ADC).
Prosta CD leży w płaszczyznach (ADC) i (BDC), co oznacza, że ​​przecina prostą EF, a punkt K jest punktem przecięcia prostej EF i płaszczyzny (ADC).
4. Następnie znajdujemy jeszcze dwa punkty leżące w tej samej płaszczyźnie. Są to punkty G i K, oba leżą w płaszczyźnie lewej ściany bocznej. Rysujemy linię GK i zaznaczamy punkty, w których linia ta przecina krawędzie czworościanu. Są to punkty M i L.
4. Pozostaje „zamknąć” sekcję, czyli połączyć punkty leżące na tej samej powierzchni. Są to punkty M i H, a także L i F. Obydwa te odcinki są niewidoczne, rysujemy je linią przerywaną.


Przekrój okazał się czworokątem MHFL. Wszystkie jego wierzchołki leżą na krawędziach czworościanu. Wybierzmy wynikową sekcję.

Teraz sformułujmy „właściwości” poprawnie skonstruowanej sekcji:

1. Wszystkie wierzchołki wielokąta będącego przekrojem leżą na krawędziach czworościanu (równoległościanu, wielokąta).

2. Wszystkie boki przekroju leżą na ścianach wielościanu.
3. Każda ściana wielokąta może zawierać nie więcej niż jeden (jeden lub żaden!) bok przekroju