>

Średnia arytmetyczna liczb 6 i 5. Jak znaleźć średnią arytmetyczną i średnią geometryczną liczb

Gubi się w obliczaniu średniej.

Przeciętny oznaczający zbiór liczb jest równy sumie liczb S podzielonej przez liczbę tych liczb. To znaczy, okazuje się, że przeciętny oznaczający równa się: 19/4 = 4,75.

Uwaga

Jeśli chcesz znaleźć średnią geometryczną tylko dla dwóch liczb, nie potrzebujesz kalkulatora inżynierskiego: weź drugi pierwiastek ( pierwiastek kwadratowy) z dowolnej liczby można wykonać za pomocą najzwyklejszego kalkulatora.

Przydatne rady

W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej, na średnią geometryczną nie wpływają tak silnie duże odchylenia i wahania pomiędzy poszczególnymi wartościami w zbiorze badanych wskaźników.

Źródła:

Przeciętny wartość jest jedną z cech zbioru liczb. Reprezentuje liczbę, która nie może znajdować się poza zakresem określonym przez największy i najniższe wartości w tym zestawie liczb. Przeciętny Wartość arytmetyczna jest najczęściej używanym typem średniej.

Instrukcje

Dodaj wszystkie liczby w zestawie i podziel je przez liczbę wyrazów, aby otrzymać średnią arytmetyczną. W zależności od konkretnych warunków obliczeń czasami łatwiej jest podzielić każdą z liczb przez liczbę wartości w zbiorze i zsumować wynik.

Użyj na przykład zawartego w systemie operacyjnym Windows, jeśli nie da się obliczyć średniej arytmetycznej w głowie. Można go otworzyć za pomocą okna dialogowego uruchamiania programu. Aby to zrobić, naciśnij klawisze skrótu WIN + R lub kliknij przycisk Start i wybierz Uruchom z menu głównego. Następnie wpisz calc w polu wejściowym i naciśnij klawisz Enter lub kliknij przycisk OK. To samo można zrobić za pomocą menu głównego - otwórz je, przejdź do sekcji „Wszystkie programy”, a następnie w sekcji „Standard” i wybierz wiersz „Kalkulator”.

Wprowadź kolejno wszystkie liczby w zestawie, naciskając klawisz Plus po każdej z nich (oprócz ostatniej) lub klikając odpowiedni przycisk w interfejsie kalkulatora. Liczby można także wprowadzać z klawiatury lub klikając odpowiednie przyciski interfejsu.

Po wprowadzeniu naciśnij klawisz ukośnika lub kliknij go w interfejsie kalkulatora ostatnia wartość ustawia i drukuje liczbę liczb w sekwencji. Następnie naciśnij znak równości, a kalkulator obliczy i wyświetli średnią arytmetyczną.

W tym samym celu możesz użyć edytora tabel. Microsoft Excel. W takim przypadku uruchom edytor i wprowadź wszystkie wartości ciągu liczb do sąsiednich komórek. Jeśli po wpisaniu każdej liczby naciśniesz klawisz Enter lub klawisz strzałki w dół lub w prawo, edytor sam przeniesie fokus wejściowy do sąsiedniej komórki.

Kliknij komórkę obok ostatnio wprowadzonej liczby, jeśli nie chcesz wyświetlać tylko średniej. Rozwiń menu rozwijane greckiej sigma (Σ) dla poleceń Edytuj na karcie Narzędzia główne. Wybierz linię „ Przeciętny", a edytor wstawi do wybranej komórki żądany wzór na obliczenie średniej arytmetycznej. Naciśnij klawisz Enter, a wartość zostanie obliczona.

Średnia arytmetyczna jest jedną z miar tendencji centralnej, szeroko stosowaną w matematyce i obliczeniach statystycznych. Znalezienie średniej arytmetycznej dla kilku wartości jest bardzo proste, ale każde zadanie ma swoje własne niuanse, które po prostu trzeba znać, aby wykonać prawidłowe obliczenia.

Co to jest średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna określa średnią wartość całej oryginalnej tablicy liczb. Innymi słowy, z pewnego zbioru liczb wybierana jest wartość wspólna dla wszystkich elementów, której matematyczne porównanie ze wszystkimi elementami jest w przybliżeniu równe. Średnią arytmetyczną wykorzystuje się przede wszystkim przy sporządzaniu raportów finansowych i statystycznych lub przy obliczaniu wyników podobnych eksperymentów.

Jak znaleźć średnią arytmetyczną

Znalezienie średniej arytmetycznej tablicy liczb należy rozpocząć od ustalenia sumy algebraicznej tych wartości. Przykładowo, jeśli w tablicy znajdują się liczby 23, 43, 10, 74 i 34, to ich suma algebraiczna będzie równa 184. Podczas zapisu średnią arytmetyczną oznaczamy literą μ (mu) lub x (x z bar). Następnie sumę algebraiczną należy podzielić przez liczbę liczb w tablicy. W rozważanym przykładzie było pięć liczb, zatem średnia arytmetyczna wyniesie 184/5 i wyniesie 36,8.

Funkcje pracy z liczbami ujemnymi

Jeśli tablica zawiera liczby ujemne, średnią arytmetyczną oblicza się przy użyciu podobnego algorytmu. Różnica istnieje tylko podczas obliczeń w środowisku programistycznym lub jeśli problem ma dodatkowe warunki. W takich przypadkach znalezienie średniej arytmetycznej liczb za pomocą różne znaki sprowadza się do trzech kroków:

1. Wyznaczanie ogólnej średniej arytmetycznej metodą standardową;
2. Znajdowanie średniej arytmetycznej liczb ujemnych.
3. Obliczanie średniej arytmetycznej liczb dodatnich.

Odpowiedzi dla każdej akcji są zapisywane oddzielone przecinkami.

Ułamki naturalne i dziesiętne

Jeśli prezentowana jest tablica liczb miejsca dziesiętne, rozwiązanie przeprowadza się metodą obliczania średniej arytmetycznej liczb całkowitych, ale wynik jest zmniejszany zgodnie z wymaganiami problemu dotyczącymi dokładności odpowiedzi.

Podczas pracy z frakcje naturalne należy je dowieźć wspólny mianownik, która jest mnożona przez liczbę liczb w tablicy. Licznik odpowiedzi będzie sumą podanych liczników pierwotnych elementów ułamkowych.

Kalkulator inżynieryjny.

Instrukcje

Należy pamiętać, że ogólnie średnią geometryczną liczb oblicza się, mnożąc te liczby i pobierając z nich pierwiastek mocy, który odpowiada liczbie liczb. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć średnią geometryczną pięciu liczb, musisz wyodrębnić pierwiastek mocy z iloczynu.

Aby znaleźć średnią geometryczną dwóch liczb, skorzystaj z podstawowej reguły. Znajdź ich produkt, a następnie weź z niego pierwiastek kwadratowy, ponieważ liczba wynosi dwa, co odpowiada mocy pierwiastka. Na przykład, aby znaleźć średnią geometryczną liczb 16 i 4, znajdź ich iloczyn 16 4=64. Z otrzymanej liczby wyodrębnij pierwiastek kwadratowy √64=8. Będzie to pożądana wartość. Należy pamiętać, że średnia arytmetyczna tych dwóch liczb jest większa i równa 10. Jeżeli nie zostanie wyodrębniony cały pierwiastek, wynik zaokrąglij do żądanej kolejności.

Aby znaleźć średnią geometryczną więcej niż dwóch liczb, skorzystaj również z podstawowej reguły. Aby to zrobić, znajdź iloczyn wszystkich liczb, dla których musisz znaleźć średnią geometryczną. Z powstałego produktu wyodrębnij pierwiastek mocy równej liczbie liczb. Na przykład, aby znaleźć średnią geometryczną liczb 2, 4 i 64, znajdź ich iloczyn. 2 4 64=512. Ponieważ musisz znaleźć wynik średniej geometrycznej trzech liczb, weź trzeci pierwiastek iloczynu. Trudno to zrobić ustnie, dlatego użyj kalkulatora inżynierskiego. W tym celu posiada przycisk „x^y”. Wybierz numer 512, naciśnij przycisk „x^y”, następnie wybierz cyfrę 3 i naciśnij przycisk „1/x”, aby znaleźć wartość 1/3, naciśnij przycisk „=”. Otrzymujemy wynik podniesienia 512 do potęgi 1/3, co odpowiada trzeciemu pierwiastkowi. Uzyskaj 512^1/3=8. Jest to średnia geometryczna liczb 2,4 i 64.

Za pomocą kalkulatora inżynierskiego możesz znaleźć średnią geometryczną w inny sposób. Znajdź przycisk dziennika na klawiaturze. Następnie weź logarytm dla każdej z liczb, znajdź ich sumę i podziel ją przez liczbę liczb. Z otrzymanej liczby weź antylogarytm. Będzie to średnia geometryczna liczb. Na przykład, aby znaleźć średnią geometryczną tych samych liczb 2, 4 i 64, wykonaj zestaw operacji na kalkulatorze. Wybierz numer 2, następnie naciśnij przycisk log, naciśnij przycisk „+”, wybierz numer 4 i naciśnij log i ponownie „+”, wybierz 64, naciśnij log i „=”. Wynikiem będzie liczba równa sumie logarytmy dziesiętne liczb 2, 4 i 64. Otrzymaną liczbę podziel przez 3, ponieważ jest to liczba liczb, dla których szukana jest średnia geometryczna. Z wyniku weź antylogarytm, przełączając przycisk wielkości liter i użyj tego samego klucza dziennika. Wynikiem będzie liczba 8, jest to pożądana średnia geometryczna.

W matematyce średnia arytmetyczna liczb (lub po prostu średnia) to suma wszystkich liczb w danym zbiorze podzielona przez liczbę liczb. Jest to najbardziej uogólniona i rozpowszechniona koncepcja wartości średniej. Jak już zrozumiałeś, aby znaleźć, musisz zsumować wszystkie podane liczby i podzielić wynikowy wynik przez liczbę wyrazów.

Co to jest średnia arytmetyczna?

Spójrzmy na przykład.

Przykład 1. Dane liczby: 6, 7, 11. Trzeba znaleźć ich średnią wartość.

Rozwiązanie.

Najpierw znajdźmy sumę wszystkich tych liczb.

Teraz podziel uzyskaną sumę przez liczbę wyrazów. Ponieważ mamy trzy wyrazy, podzielimy zatem przez trzy.

Zatem średnia liczb 6, 7 i 11 wynosi 8. Dlaczego 8? Tak, ponieważ suma 6, 7 i 11 będzie taka sama jak trzy ósemki. Można to wyraźnie zobaczyć na ilustracji.

Średnia jest trochę jak „wyrównanie” serii liczb. Jak widać, stosy ołówków stały się na tym samym poziomie.

Spójrzmy na inny przykład, aby utrwalić zdobytą wiedzę.

Przykład 2. Dane liczby: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Trzeba znaleźć ich średnią arytmetyczną.

Rozwiązanie.

Znajdź kwotę.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Podziel przez liczbę terminów (w tym przypadku - 15).

Dlatego średnia wartość tej serii liczb wynosi 22.

Przyjrzyjmy się teraz liczbom ujemnym. Pamiętajmy, jak je podsumować. Na przykład masz dwie liczby 1 i -4. Znajdźmy ich sumę.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Wiedząc o tym, spójrzmy na inny przykład.

Przykład 3. Znajdź średnią wartość ciągu liczb: 3, -7, 5, 13, -2.

Rozwiązanie.

Znajdź sumę liczb.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Ponieważ istnieje 5 wyrazów, podziel uzyskaną sumę przez 5.

Dlatego średnia arytmetyczna liczb 3, -7, 5, 13, -2 wynosi 2,4.

W dobie postępu technologicznego znacznie wygodniej jest używać programów komputerowych do znajdowania wartości średniej. Jednym z nich jest Microsoft Office Excel. Znalezienie średniej w Excelu jest szybkie i łatwe. Co więcej, program ten jest zawarty w pakiecie oprogramowania Microsoft Office. Rozważmy krótkie instrukcje, wartość za pomocą tego programu.

Aby obliczyć średnią wartość ciągu liczb, należy skorzystać z funkcji ŚREDNIA. Składnia tej funkcji jest następująca:
= Średnia(argument1, argument2, ...argument255)
gdzie argument1, argument2, ... argument255 to liczby lub odwołania do komórek (komórki odnoszą się do zakresów i tablic).

Aby było to jaśniejsze, wypróbujmy zdobytą wiedzę.

  1. Wpisz liczby 11, 12, 13, 14, 15, 16 w komórkach C1 - C6.
  2. Wybierz komórkę C7, klikając na nią. W tej komórce wyświetlimy wartość średnią.
  3. Kliknij kartę Formuły.
  4. Wybierz opcję Więcej funkcji > Statystyka, aby otworzyć
  5. Wybierz ŚREDNIE. Następnie powinno otworzyć się okno dialogowe.
  6. Zaznacz i przeciągnij tam komórki C1-C6, aby ustawić zakres w oknie dialogowym.
  7. Potwierdź swoje działania przyciskiem „OK”.
  8. Jeśli wszystko zrobiłeś poprawnie, powinieneś mieć odpowiedź w komórce C7 - 13.7. Po kliknięciu komórki C7 na pasku formuły pojawi się funkcja (=Średnia(C1:C6)).

Ta funkcja jest bardzo przydatna w księgowości, fakturach lub gdy potrzebujesz znaleźć średnią z bardzo długiego ciągu liczb. Dlatego często wykorzystuje się go w biurach i dużych firmach. Pozwala to zachować porządek w dokumentacji i pozwala szybko coś obliczyć (np. średni miesięczny dochód). Możesz także użyć programu Excel, aby znaleźć średnią wartość funkcji.

Aby znaleźć średnią wartość w Excelu (nieważne, czy jest to wartość liczbowa, tekstowa, procentowa czy inna), istnieje wiele funkcji. A każdy z nich ma swoje własne cechy i zalety. Rzeczywiście, w tym zadaniu można postawić pewne warunki.

Na przykład średnie wartości serii liczb w programie Excel są obliczane za pomocą funkcji statystycznych. Możesz także ręcznie wprowadzić własną formułę. Rozważmy różne opcje.

Jak znaleźć średnią arytmetyczną liczb?

Aby znaleźć średnią arytmetyczną, należy dodać wszystkie liczby w zestawie i podzielić sumę przez ilość. Np. oceny ucznia z informatyki: 3, 4, 3, 5, 5. Co wchodzi w skład kwartału: 4. Średnią arytmetyczną obliczyliśmy ze wzoru: =(3+4+3+5+5) /5.

Jak szybko to zrobić za pomocą Funkcje Excela? Weźmy na przykład serial losowe liczby w linii:

Lub: utwórz aktywną komórkę i po prostu wprowadź formułę ręcznie: =ŚREDNIA(A1:A8).

Zobaczmy teraz, co jeszcze potrafi funkcja ŚREDNIA.


Znajdźmy średnią arytmetyczną pierwszych dwóch i trzech ostatnie cyfry. Wzór: =ŚREDNIA(A1:B1,F1:H1). Wynik:



Stan średni

Warunkiem znalezienia średniej arytmetycznej może być kryterium numeryczne lub tekstowe. Skorzystamy z funkcji: =ŚREDNIA JEŻELI().

Znajdź średnią liczby arytmetyczne, które są większe lub równe 10.

Funkcja: =ŚREDNIAJEŻELI(A1:A8,">=10")


Wynik użycia funkcji ŚREDNIA JEŻELI pod warunkiem „>=10”:

Trzeci argument – ​​„Zakres uśredniania” – zostaje pominięty. Przede wszystkim nie jest to wymagane. Po drugie, zakres analizowany przez program zawiera TYLKO wartości liczbowe. Komórki określone w pierwszym argumencie zostaną przeszukane zgodnie z warunkiem określonym w drugim argumencie.

Uwaga! Kryterium wyszukiwania można określić w komórce. I utwórz link do niego w formule.

Znajdźmy średnią wartość liczb, korzystając z kryterium tekstowego. Na przykład średnia sprzedaż produktu „stoły”.

Funkcja będzie wyglądać następująco: =ŚREDNIA JEŻELI($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Asortyment – ​​kolumna z nazwami produktów. Kryterium wyszukiwania stanowi odnośnik do komórki zawierającej słowo „tabele” (zamiast linku A7 można wstawić słowo „tabele”). Zakres uśredniania – te komórki, z których zostaną pobrane dane do obliczenia wartości średniej.

W wyniku obliczenia funkcji otrzymujemy następna wartość:

Uwaga! Dla kryterium tekstowego (warunku) należy podać zakres uśredniania.

Jak obliczyć średnią ważoną cenę w Excelu?

Jak ustaliliśmy średnią ważoną cenę?

Wzór: =SUMA(C2:C12,B2:B12)/SUMA(C2:C12).


Korzystając ze wzoru SUMPRODUCT, obliczamy całkowity przychód po sprzedaży całej ilości towaru. Natomiast funkcja SUMA sumuje ilość towaru. Dzieląc całkowity przychód ze sprzedaży towarów przez łączną liczbę jednostek towaru, otrzymaliśmy średnią ważoną cenę. Wskaźnik ten uwzględnia „wagę” każdej ceny. Jego udział w ogólnej masie wartości.

Odchylenie standardowe: wzór w Excelu

Istnieją odchylenia standardowe dla populacji ogólnej i próby. W pierwszym przypadku jest to pierwiastek wariancji ogólnej. W drugim, z wariancji próbki.

Aby obliczyć ten wskaźnik statystyczny, sporządzany jest wzór dyspersji. Wyciąga się z niego korzeń. Ale w Excelu istnieje gotowa funkcja do znajdowania odchylenia standardowego.


Odchylenie standardowe jest powiązane ze skalą danych źródłowych. Nie wystarczy to do graficznego przedstawienia zmienności analizowanego zakresu. Aby uzyskać względny poziom rozproszenia danych, oblicza się współczynnik zmienności:

odchylenie standardowe / średnia arytmetyczna

Formuła w programie Excel wygląda następująco:

STDEV (zakres wartości) / ŚREDNIA (zakres wartości).

Współczynnik zmienności oblicza się w procentach. Dlatego ustawiamy format procentowy w komórce.

Pojęcie średniej arytmetycznej liczb oznacza wynik prostej sekwencji obliczeń wartości średniej dla określonej z góry liczby liczb. Należy zauważyć, że wartość ta w dany czas powszechnie stosowane przez specjalistów z wielu branż. Na przykład wzory są znane podczas wykonywania obliczeń przez ekonomistów lub pracowników branży statystycznej, gdzie wymagana jest wartość tego typu. Ponadto wskaźnik ten jest aktywnie wykorzystywany w wielu innych branżach powiązanych z powyższym.

Jedna z cech obliczeń podana wartość jest prostota procedury. Wykonaj obliczenia Każdy może to zrobić. Aby to zrobić, nie musisz mieć edukacja specjalna. Często nie ma potrzeby korzystania z technologii komputerowej.

Aby odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć średnią arytmetyczną, rozważ kilka sytuacji.

Najbardziej prosta opcja obliczenie danej wartości to obliczenie jej dla dwóch liczb. Procedura obliczeniowa w tym przypadku jest bardzo prosta:

  1. Na początku należy przeprowadzić operację dodawania wybranych liczb. Często można to zrobić, jak mówią, ręcznie, bez użycia sprzętu elektronicznego.
  2. Po dodaniu i uzyskaniu wyniku należy przeprowadzić dzielenie. Operacja ta polega na podzieleniu sumy dwóch dodanych liczb przez dwa – liczbę dodanych liczb. To działanie pozwoli ci uzyskać wymaganą wartość.

Formuła

Zatem wzór na obliczenie wymaganej wartości w przypadku dwóch będzie wyglądać następująco:

(A+B)/2

W formule tej zastosowano następującą notację:

A i B to wstępnie wybrane liczby, dla których należy znaleźć wartość.

Znalezienie wartości dla trzech

Obliczenie tej wartości w sytuacji wybrania trzech liczb nie będzie się zbytnio różnić od poprzedniej opcji:

  1. Aby to zrobić, wybierz liczby potrzebne do obliczeń i dodaj je, aby otrzymać sumę.
  2. Po znalezieniu tej sumy trzech należy powtórzyć procedurę dzielenia. W takim przypadku uzyskaną kwotę należy podzielić przez trzy, co odpowiada liczbie wybranych liczb.

Formuła

Zatem wzór niezbędny do obliczenia trójki arytmetycznej będzie wyglądał następująco:

(A+B+C)/3

W tej formule Akceptowana jest następująca notacja:

A, B i C to liczby, dla których należy znaleźć średnią arytmetyczną.

Obliczanie średniej arytmetycznej z czterech

Jak można już zobaczyć analogicznie do poprzednich opcji, obliczenie tej wartości dla ilości równej cztery będzie przebiegać w następującej kolejności:

  1. Wybrano cztery cyfry, dla których należy obliczyć średnią arytmetyczną. Następnie przeprowadzane jest sumowanie i uzyskiwany jest końcowy wynik tej procedury.
  2. Teraz, aby uzyskać końcowy wynik, należy wziąć wynikową sumę czterech i podzielić ją przez cztery. Otrzymane dane będą wymaganą wartością.

Formuła

Z sekwencji działań opisanych powyżej w celu znalezienia średniej arytmetycznej dla czterech można uzyskać następujący wzór:

(A+B+C+E)/4

W tej formule zmienne mają następujące znaczenie:

A, B, C i E to te, dla których konieczne jest znalezienie wartości średniej arytmetycznej.

Korzystając z tego wzoru, zawsze będzie można obliczyć wymaganą wartość dla danej liczby liczb.

Obliczanie średniej arytmetycznej z pięciu

Wykonanie tej operacji będzie wymagało określonego algorytmu działań.

  1. Przede wszystkim musisz wybrać pięć liczb, dla których zostanie obliczona średnia arytmetyczna. Po tym wyborze liczby te, podobnie jak w poprzednich opcjach, wystarczy dodać i uzyskać ostateczną kwotę.
  2. Otrzymaną kwotę należy podzielić przez ich liczbę przez pięć, co pozwoli uzyskać wymaganą wartość.

Formuła

Zatem, podobnie jak w przypadku wcześniej rozważanych opcji, otrzymujemy następujący wzór na obliczenie średniej arytmetycznej:

(A+B+C+E+P)/5

W tym wzorze zmienne są oznaczone w następujący sposób:

A, B, C, E i P to liczby, dla których należy obliczyć średnią arytmetyczną.

Uniwersalny wzór obliczeniowy

Przeprowadzenie przeglądu różne opcje formuły obliczyć średnią arytmetyczną, można zwrócić uwagę na to, że mają one ogólny wzór.

Dlatego bardziej praktyczne będzie użycie ogólnego wzoru do znalezienia średniej arytmetycznej. W końcu zdarzają się sytuacje, w których liczba i wielkość obliczeń może być bardzo duża. Dlatego rozsądniej byłoby zastosować uniwersalny wzór, a nie opracowywać za każdym razem indywidualnej technologii obliczania tej wartości.

Najważniejsze przy ustalaniu formuły jest zasada obliczania średniej arytmetycznej O.

Zasada ta, jak widać z podanych przykładów, wygląda następująco:

  1. Zliczana jest liczba liczb określona w celu uzyskania wymaganej wartości. Operację tę można przeprowadzić ręcznie, używając niewielkiej liczby liczb, lub przy użyciu technologii komputerowej.
  2. Wybrane liczby są sumowane. Ta operacja w większości sytuacji jest wykonywana przy użyciu technologii komputerowej, ponieważ liczby mogą składać się z dwóch, trzech lub więcej cyfr.
  3. Kwotę uzyskaną poprzez dodanie wybranych liczb należy podzielić przez ich liczbę. Wartość tę określa się na początkowym etapie obliczania średniej arytmetycznej.

Zatem ogólny wzór na obliczenie średniej arytmetycznej szeregu wybranych liczb będzie wyglądał następująco:

(A+B+…+N)/N

Ta formuła zawiera następujące zmienne:

A i B to liczby wybrane wcześniej w celu obliczenia ich średniej arytmetycznej.

N to liczba liczb, które zostały wzięte do obliczenia wymaganej wartości.

Podstawiając za każdym razem wybrane liczby do tego wzoru, zawsze możemy otrzymać wymaganą wartość średniej arytmetycznej.

Jak widać, znalezienie średniej arytmetycznej to prosta procedura. Należy jednak zachować ostrożność w przeprowadzanych obliczeniach i sprawdzać uzyskane wyniki. Podejście to tłumaczy się tym, że nawet w najprostszych sytuacjach istnieje możliwość otrzymania błędu, który może następnie wpłynąć na dalsze obliczenia. W związku z tym zaleca się stosowanie technologii komputerowej zdolnej do wykonywania obliczeń o dowolnej złożoności.

) i średnia(e) próbki.

Encyklopedyczny YouTube

  • 1 / 5

    Oznaczmy zbiór danych X = (X 1 , X 2 , …, X N), wówczas średnia próbki jest zwykle wskazywana przez poziomą kreskę nad zmienną (wymawiane „ X z linią”).

    Grecka litera μ jest używana do oznaczenia średniej arytmetycznej całej populacji. Dla zmiennej losowej, dla której wyznaczana jest wartość średnia, μ wynosi średnia probabilistyczna lub matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej. Jeśli zestaw X jest zbiorem liczb losowych o średniej probabilistycznej μ, to dla dowolnej próbki X I z tego zbioru μ = E( X I) jest matematycznym oczekiwaniem dla tej próbki.

    W praktyce różnica między μ i x ¯ (\ Displaystyle (\ bar (x))) jest to, że μ jest typową zmienną, ponieważ można zobaczyć próbkę, a nie całą populację. Dlatego też, jeśli próbka jest reprezentowana losowo (z punktu widzenia teorii prawdopodobieństwa), to x ¯ (\ Displaystyle (\ bar (x)))(ale nie μ) można traktować jako zmienną losową mającą rozkład prawdopodobieństwa w próbie (rozkład prawdopodobieństwa średniej).

    Obie te wielkości oblicza się w ten sam sposób:

    x ¯ = 1 n ∑ ja = 1 n x ja = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) .

    (\ Displaystyle (\ bar (x)) = (\ Frac (1) (n)) \ suma _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ Frac (1) (n)) (x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

    • Przykłady Dla trzy liczby
    musisz je dodać i podzielić przez 3: cztery liczby

    musisz je dodać i podzielić przez 4:

    x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 .

    (\ Displaystyle (\ Frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)

    Lub prościej 5+5=10, 10:2. Ponieważ dodawaliśmy 2 liczby, co oznacza, ile liczb dodajemy, dzielimy przez tę liczbę.

    Ciągła zmienna losowa

    Chociaż średnie arytmetyczne są często używane jako średnie lub tendencje centralne, koncepcja ta nie jest solidną statystyką, co oznacza, że ​​na średnią arytmetyczną duży wpływ mają „duże odchylenia”. Warto zauważyć, że w przypadku rozkładów o dużym współczynniku skośności średnia arytmetyczna może nie odpowiadać pojęciu „średniej”, a wartości średniej z solidnych statystyk (na przykład mediany) mogą lepiej opisywać centralny tendencja.

    Klasycznym przykładem jest obliczanie średniego dochodu. Średnią arytmetyczną można błędnie zinterpretować jako medianę, co prowadzi do wniosku, że osoby z duży dochód więcej, niż jest w rzeczywistości. „Przeciętny” dochód interpretuje się w ten sposób, że większość ludzi ma dochody w okolicach tej kwoty. Ten „przeciętny” (w sensie średniej arytmetycznej) dochód jest wyższy od dochodów większości ludzi, gdyż wysoki dochód przy dużym odchyleniu od średniej powoduje, że średnia arytmetyczna jest mocno wypaczona (w przeciwieństwie do przeciętnego dochodu na medianie „przeciwstawia się” takiemu zniekształceniu). Jednak ten „przeciętny” dochód nie mówi nic o liczbie osób w pobliżu średniego dochodu (i nie mówi nic o liczbie osób w pobliżu dochodu modalnego). Jeśli jednak lekceważyć pojęcia „przeciętny” i „większość ludzi”, można wyciągnąć błędny wniosek, że większość ludzi ma dochody wyższe niż w rzeczywistości. Na przykład raport o „średnim” dochodzie netto w Medynie w stanie Waszyngton, obliczonym jako średnia arytmetyczna wszystkich rocznych dochodów netto mieszkańców, zaskakująco da duża liczba z powodu Billa Gatesa. Rozważ próbkę (1, 2, 2, 2, 3, 9). Średnia arytmetyczna wynosi 3,17, ale pięć z sześciu wartości jest poniżej tej średniej.

    Odsetki składane

    Jeśli liczby zwielokrotniać, nie zginać, należy użyć średniej geometrycznej, a nie średniej arytmetycznej. Najczęściej taki incydent ma miejsce przy obliczaniu zwrotu z inwestycji w finanse.

    Na przykład, jeśli akcje spadły o 10% w pierwszym roku i wzrosły o 30% w drugim, wówczas błędne jest obliczanie „średniego” wzrostu w ciągu tych dwóch lat jako średniej arytmetycznej (-10% + 30%) / 2 = 10%; poprawną średnią w tym przypadku podaje złożona roczna stopa wzrostu, która daje roczną stopę wzrostu tylko około 8,16653826392% ≈ 8,2%.

    Dzieje się tak dlatego, że procenty za każdym razem mają nowy punkt wyjścia: 30% to 30% od liczby mniejszej niż cena na początku pierwszego roku: jeśli akcja zaczynała się od 30 dolarów i spadła o 10%, na początku drugiego roku jest warta 27 dolarów. Gdyby akcje wzrosły o 30%, na koniec drugiego roku byłyby warte 35,1 dolara. Średnia arytmetyczna tego wzrostu wynosi 10%, ale ponieważ akcje wzrosły jedynie o 5,1 dolara w ciągu 2 lat, średni wzrost o 8,2% daje ostateczny wynik w wysokości 35,1 dolara:

    [30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Jeśli w ten sam sposób użyjemy średniej arytmetycznej wynoszącej 10%, nie otrzymamy rzeczywistej wartości: [30 dolarów (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 dolarów].

    Oprocentowanie składane na koniec 2 lat: 90% * 130% = 117%, czyli łączny wzrost wynosi 17%, a średnioroczne oprocentowanie składane 117% ≈ 108,2% (\ Displaystyle (\ sqrt (117 \ %)) \ około 108,2 \%), czyli średnioroczny wzrost na poziomie 8,2%. Liczba ta jest błędna z dwóch powodów.

    Wartość średnia dla zmiennej cyklicznej obliczona według powyższego wzoru zostanie sztucznie przesunięta względem średniej rzeczywistej w stronę środka zakresu liczbowego. Z tego powodu średnią oblicza się inaczej, a mianowicie jako wartość średnią wybiera się liczbę o najmniejszej wariancji (punkt środkowy). Ponadto zamiast odejmowania stosowana jest odległość modułowa (czyli odległość obwodowa). Na przykład odległość modułowa pomiędzy 1° a 359° wynosi 2°, a nie 358° (na okręgu pomiędzy 359° a 360°==0° - jeden stopień, pomiędzy 0° a 1° - łącznie także 1° - 2°).