Zależność zmiennej y od zmiennej x, w której każda wartość x odpowiada pojedynczej wartości y, nazywana jest funkcją. Do oznaczenia należy stosować zapis y=f(x). Każda funkcja ma szereg podstawowych właściwości, takich jak monotoniczność, parzystość, okresowość i inne.
Przyjrzyj się bliżej właściwości parzystości.
Funkcja y=f(x) wywoływana jest nawet wtedy, gdy spełnia dwa warunki:
2. Wartość funkcji w punkcie x, należąca do dziedziny definicji funkcji, musi być równa wartości funkcji w punkcie -x. Oznacza to, że dla dowolnego punktu x musi być spełniona równość z dziedziny definicji funkcji: f(x) = f(-x).
Wykres funkcji parzystejJeśli narysujesz wykres funkcji parzystej, będzie on symetryczny względem osi Oy.
Na przykład funkcja y=x^2 jest parzysta. Sprawdźmy to. Dziedziną definicji jest cała oś liczbowa, czyli jest ona symetryczna względem punktu O.
Weźmy dowolne x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Zatem f(x) = f(-x). Zatem oba warunki są spełnione, co oznacza, że funkcja jest parzysta. Poniżej znajduje się wykres funkcji y=x^2.
Rysunek pokazuje, że wykres jest symetryczny względem osi Oy.
Wykres funkcji nieparzystejFunkcję y=f(x) nazywamy nieparzystą, jeżeli spełnia dwa warunki:
1. Dziedzina definicji danej funkcji musi być symetryczna względem punktu O. To znaczy, jeśli jakiś punkt a należy do dziedziny definicji funkcji, to odpowiadający mu punkt -a także musi należeć do dziedziny definicji funkcji danej funkcji.
2. Dla dowolnego punktu x musi być spełniona równość z dziedziny definicji funkcji: f(x) = -f(x).
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu O – początku współrzędnych. Na przykład funkcja y=x^3 jest nieparzysta. Sprawdźmy to. Dziedziną definicji jest cała oś liczbowa, czyli jest ona symetryczna względem punktu O.
Weźmy dowolne x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Zatem f(x) = -f(x). Zatem oba warunki są spełnione, co oznacza, że funkcja jest nieparzysta. Poniżej znajduje się wykres funkcji y=x^3.
Rysunek wyraźnie to pokazuje Nie nawet funkcjonować y=x^3 jest symetryczne względem początku.
Ukryj Pokaż
Metody określania funkcjiNiech funkcję będzie dana wzorem: y=2x^(2)-3. Przypisując dowolne wartości zmiennej niezależnej x, można za pomocą tego wzoru obliczyć odpowiadające wartości zmiennej zależnej y. Na przykład, jeśli x=-0,5, to korzystając ze wzoru stwierdzamy, że odpowiadająca wartość y wynosi y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.
Biorąc dowolną wartość przyjmowaną przez argument x we wzorze y=2x^(2)-3, można obliczyć tylko jedną wartość funkcji, która jej odpowiada. Funkcję można przedstawić w postaci tabeli:
| X | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Korzystając z tej tabeli, możesz zobaczyć, że wartości argumentu -1 odpowiada wartość funkcji -3; a wartość x=2 będzie odpowiadać y=0 itd. Ważne jest również, aby wiedzieć, że każda wartość argumentu w tabeli odpowiada tylko jednej wartości funkcji.
Więcej funkcji można określić za pomocą wykresów. Za pomocą wykresu ustala się, która wartość funkcji koreluje z określoną wartością x. Najczęściej będzie to przybliżona wartość funkcji.
Funkcja parzysta i nieparzystaFunkcja jest funkcją parzystą, gdy f(-x)=f(x) dla dowolnego x w dziedzinie. Taka funkcja będzie symetryczna względem osi Oy.
Funkcja jest funkcją nieparzystą, gdy f(-x)=-f(x) dla dowolnego x w dziedzinie. Taka funkcja będzie symetryczna względem początku O (0;0).
Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta i nazywa się ją funkcją widok ogólny, gdy nie ma symetrii względem osi lub początku.
Przeanalizujmy następującą funkcję parzystości:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) z symetryczną dziedziną definicji względem początku. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3) -7x^(7))= -f(x) .
Oznacza to, że funkcja f(x)=3x^(3)-7x^(7) jest nieparzysta.
Funkcja okresowaFunkcja y=f(x) , w dziedzinie której zachodzi równość f(x+T)=f(x-T)=f(x) dla dowolnego x, nazywana jest funkcją okresową z okresem T \neq 0 .
Powtórzenie wykresu funkcji na dowolnym odcinku osi x o długości T.
Przedziały, w których funkcja jest dodatnia, czyli f(x) > 0, są odcinkami osi odciętych odpowiadającymi punktom wykresu funkcji leżącym nad osią odciętych.
f(x) > 0 on (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Przedziały, w których funkcja jest ujemna, czyli f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
k(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
Funkcja y=f(x), x \in X jest zwykle nazywana ograniczoną poniżej, gdy istnieje liczba A, dla której nierówność f(x) \geq A zachodzi dla dowolnego x \in X .
Przykład funkcji ograniczonej od dołu: y=\sqrt(1+x^(2)) ponieważ y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 dla dowolnego x .
Funkcja y=f(x), x \in X nazywana jest powyżej ograniczoną, jeśli istnieje liczba B, dla której nierówność f(x) \neq B zachodzi dla dowolnego x \in X .
Przykład funkcji ograniczonej od dołu: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] ponieważ y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 for dowolne x \ w [-1;1] .
Funkcja y=f(x), x \in X jest zwykle nazywana ograniczoną, gdy istnieje liczba K > 0, dla której nierówność \left | f(x)\prawo | \neq K dla dowolnego x \in X .
Przykład ograniczona funkcja: y=\sin x jest ograniczone na całej osi liczbowej, ponieważ \left | \sin x \right | \neq 1 .
Funkcja rosnąca i malejącaZwyczajowo mówi się o funkcji, która rośnie w rozpatrywanym przedziale, jako o funkcji rosnącej, gdy wyższa wartość x będzie odpowiadać większej wartości funkcji y=f(x) . Wynika z tego, że biorąc dwie dowolne wartości argumentu x_(1) i x_(2) z rozważanego przedziału, przy x_(1) > x_(2) , wynikiem będzie y(x_(1)) > y(x_(2)).
Funkcję malejącą w rozpatrywanym przedziale nazywamy funkcją malejącą, gdy większa wartość x odpowiada mniejszej wartości funkcji y(x). Wynika z tego, że biorąc dwie dowolne wartości argumentu x_(1) i x_(2) z rozważanego przedziału, przy x_(1) > x_(2) , wynikiem będzie y(x_(1))< y(x_{2}) .
Pierwiastki funkcji nazywane są zwykle punktami, w których funkcja F=y(x) przecina oś odciętych (uzyskuje się je rozwiązując równanie y(x)=0).
a) Jeżeli dla x > 0 funkcja parzysta rośnie, to dla x maleje< 0
b) Gdy funkcja parzysta maleje przy x > 0, to rośnie przy x< 0
.png)
c) Gdy funkcja nieparzysta rośnie przy x > 0, to również rośnie przy x< 0
d) Gdy funkcja nieparzysta maleje dla x > 0, to zmniejsza się również dla x< 0
.png)
Punkt minimalny funkcji y=f(x) nazywa się zwykle punktem x=x_(0), którego otoczenie będzie miało inne punkty (z wyjątkiem punktu x=x_(0)), a dla nich wówczas nierówność f( x ) > f(x_(0)) . y_(min) - oznaczenie funkcji w punkcie min.
Maksymalny punkt funkcji y=f(x) nazywa się zwykle punktem x=x_(0), w którym w jej sąsiedztwie będą znajdowały się inne punkty (z wyjątkiem punktu x=x_(0)), a dla nich wówczas nierówność f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Warunek wstępnyZgodnie z twierdzeniem Fermata: f”(x)=0, gdy funkcja f(x) różniczkowalna w punkcie x_(0) będzie miała w tym punkcie ekstremum.
Stan wystarczającyKroki obliczeniowe:
Jak wstawić wzory matematyczne na stronę internetową?
Jeśli kiedykolwiek będziesz musiał dodać jedną lub dwie formuły matematyczne do strony internetowej, najłatwiej to zrobić w sposób opisany w artykule: formuły matematyczne można łatwo wstawić na stronę w postaci obrazów, które są automatycznie generowane przez Wolfram Alpha . Oprócz prostoty, ta uniwersalna metoda pomoże poprawić widoczność witryny w wyszukiwarkach. Działa od dawna (i myślę, że będzie działać wiecznie), ale jest już moralnie przestarzały.
Jeśli regularnie korzystasz z formuł matematycznych na swojej stronie, to polecam skorzystać z MathJax – specjalnej biblioteki JavaScript, która wyświetla notację matematyczną w przeglądarkach internetowych przy użyciu znaczników MathML, LaTeX lub ASCIIMathML.
Istnieją dwa sposoby rozpoczęcia korzystania z MathJax: (1) użycie prosty kod możesz szybko podłączyć do swojej witryny skrypt MathJax, który zostanie automatycznie załadowany ze zdalnego serwera w odpowiednim czasie (lista serwerów); (2) pobierz skrypt MathJax ze zdalnego serwera na swój serwer i podłącz go do wszystkich stron swojej witryny. Druga metoda - bardziej złożona i czasochłonna - przyspieszy ładowanie stron Twojej witryny, a jeśli z jakiegoś powodu nadrzędny serwer MathJax stanie się chwilowo niedostępny, nie będzie to miało żadnego wpływu na Twoją witrynę. Pomimo tych zalet wybrałem pierwszą metodę, ponieważ jest prostsza, szybsza i nie wymaga umiejętności technicznych. Podążaj za moim przykładem, a już za 5 minut będziesz mógł korzystać ze wszystkich funkcji MathJax na swojej stronie.
Możesz połączyć skrypt biblioteki MathJax ze zdalnym serwerem, korzystając z dwóch opcji kodu pobranych z głównej witryny MathJax lub ze strony dokumentacji:
Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.
Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML, a będziesz gotowy do wstawiania formuł matematycznych na stronach internetowych swojej witryny.
Każdy fraktal jest skonstruowany według pewnej reguły, którą konsekwentnie stosuje się nieograniczoną liczbę razy. Każdy taki moment nazywany jest iteracją.
Iteracyjny algorytm konstruowania gąbki Mengera jest dość prosty: oryginalny sześcian o boku 1 jest podzielony płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 równych sześcianów. Usuwa się z niego jedną środkową kostkę i 6 sąsiadujących z nią kostek. Rezultatem jest zestaw składający się z pozostałych 20 mniejszych kostek. Robiąc to samo z każdą z tych kostek, otrzymamy zestaw składający się z 400 mniejszych kostek. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy gąbkę Mengera.
Funkcja nazywa się parzystą (nieparzystą), jeśli dla dowolnego i równości 
.
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi 
.
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.
Przykład 6.2.
1)
;
2)
;
3)
.
Zbadaj, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta.
Rozwiązanie 
1) Funkcja jest zdefiniowana, gdy 
.
. Znajdziemy 
Te. . Oznacza, tę funkcję
jest równa. 
. Znajdziemy 
2) Funkcja jest zdefiniowana, gdy
. Zatem ta funkcja jest nieparzysta.
,
3) funkcja jest zdefiniowana dla , tj. Dla
3. Badanie funkcji monotoniczności. 
Funkcjonować
nazywa się rosnącym (malejącym) w pewnym przedziale, jeśli w tym przedziale każda większa wartość argumentu odpowiada większej (mniejszej) wartości funkcji.
Funkcje rosnące (malejące) w pewnym przedziale nazywane są monotonicznymi. 
Jeśli funkcja 
i ma dodatnią (ujemną) pochodną 
, a następnie funkcja 
wzrasta (maleje) w tym przedziale.
Przykład 6.3. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji
1)
;
3)
.
Zbadaj, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta.
1) Funkcja ta jest zdefiniowana na całej osi liczbowej. Znajdźmy pochodną.
Pochodna jest równa zeru, jeśli 
I 
. Dziedziną definicji jest oś liczbowa podzielona kropkami 
,
niegęsto. Wyznaczmy znak pochodnej w każdym przedziale.
W przerwie 
pochodna jest ujemna, funkcja maleje w tym przedziale.
W przerwie 
pochodna jest dodatnia, zatem funkcja rośnie w tym przedziale.
2) Ta funkcja jest zdefiniowana jeśli 
Lub
.
W każdym przedziale wyznaczamy znak trójmianu kwadratowego.
Zatem dziedzina definicji funkcji
Znajdźmy pochodną 
,
, Jeśli 
, tj. 
, Ale 
. Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach 
.
W przerwie 
pochodna jest ujemna, zatem funkcja maleje na przedziale 
. W przerwie 
pochodna jest dodatnia, funkcja rośnie w przedziale 
.
Kropka 
nazywany maksymalnym (minimalnym) punktem funkcji 
, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu 
to dla wszystkich 
z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność 
.
Punkty maksymalne i minimalne funkcji nazywane są punktami ekstremalnymi.
Funkcje rosnące (malejące) w pewnym przedziale nazywane są monotonicznymi. 
w tym punkcie 
ma ekstremum, to pochodna funkcji w tym punkcie jest równa zero lub nie istnieje (warunek konieczny istnienia ekstremum).
Punkty, w których pochodna wynosi zero lub nie istnieje, nazywane są krytycznymi.
5. Warunki wystarczające na istnienie ekstremum.Zasada 1. Jeśli podczas przejścia (od lewej do prawej) przez punkt krytyczny 
pochodna 
zmienia znak z „+” na „–”, a następnie w punkcie 
funkcjonować 
ma maksimum; jeśli od „–” do „+”, to minimum; Jeśli 
nie zmienia znaku, to nie ma ekstremum.
Zasada 2. Niech w punkt 
pierwsza pochodna funkcji 
równy zeru 
, a druga pochodna istnieje i jest różna od zera. Jeśli 
, To 
– maksymalny punkt, jeśli 
, To 
– minimalny punkt funkcji.
Przykład 6.4. Poznaj funkcje maksymalne i minimalne:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Rozwiązanie.
1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na przedziale 
.
Znajdźmy pochodną 
i rozwiązać równanie 
, tj. 
.Stąd 
– punkty krytyczne.
Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach, 
.
Podczas przechodzenia przez punkty 
I 
pochodna zmienia znak z „–” na „+”, zatem zgodnie z zasadą 1 
– minimalna liczba punktów.
Podczas przechodzenia przez punkt 
pochodna zmienia znak z „+” na „–”, tj 
– maksymalny punkt.
,
.
2) Funkcja jest określona i ciągła w przedziale 
. Znajdźmy pochodną 
.
Po rozwiązaniu równania 
, znajdziemy 
I 
– punkty krytyczne. Jeśli mianownik 
, tj. 
, to pochodna nie istnieje. Więc, 
– trzeci punkt krytyczny. Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach.
Zatem funkcja ma w tym punkcie minimum 
, maksimum w punktach 
I 
.
3) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła jeśli 
, tj. Na 
.
Znajdźmy pochodną 
.
Znajdźmy punkty krytyczne: 
Sąsiedztwa punktów 
nie należą do dziedziny definicji, zatem nie są ekstremami. Przeanalizujmy zatem punkty krytyczne 
I 
.
4) Funkcja jest określona i ciągła na przedziale 
. Skorzystajmy z zasady 2. Znajdź pochodną 
.
Znajdźmy punkty krytyczne:
Znajdźmy drugą pochodną 
i określ jego znak w punktach 
W punktach 
funkcja ma minimum.
W punktach 
funkcja ma maksimum.
nawet jeśli dla wszystkich \(x\) z jego dziedziny definicji prawdziwe jest: \(f(-x)=f(x)\) .
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \(y\):
Przykład: funkcja \(f(x)=x^2+\cos x\) jest parzysta, ponieważ \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcję \(f(x)\) nazywamy nieparzystą, jeśli dla wszystkich \(x\) z jej dziedziny definicji prawdziwe jest: \(f(-x)=-f(x) \) .
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku:
Przykład: funkcja \(f(x)=x^3+x\) jest nieparzysta, ponieważ \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, nazywane są funkcjami w postaci ogólnej. Funkcję taką można zawsze jednoznacznie przedstawić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej.
Na przykład funkcja \(f(x)=x^2-x\) jest sumą funkcji parzystej \(f_1=x^2\) i nieparzystej \(f_2=-x\) .
\(\czarnytrójkątprawy\) Niektóre właściwości:
1) Iloczyn i iloraz dwóch funkcji o tej samej parzystości jest funkcją parzystą.
2) Iloczyn i iloraz dwóch funkcji o różnych parzystościach jest funkcją nieparzystą.
3) Suma i różnica funkcji parzystych - funkcja parzysta.
4) Suma i różnica funkcji nieparzystych - funkcja nieparzysta.
5) Jeśli \(f(x)\) jest funkcją parzystą, to równanie \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ma unikalny pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy \( x =0\) .
6) Jeśli \(f(x)\) jest funkcją parzystą lub nieparzystą, a równanie \(f(x)=0\) ma pierwiastek \(x=b\), to równanie to koniecznie będzie miało drugą korzeń \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcja \(f(x)\) nazywana jest okresową na \(X\), jeśli dla pewnej liczby \(T\ne 0\) zachodzi: \(f(x)=f( x+T) \) , gdzie \(x, x+T\w X\) . Najmniejszy \(T\), dla którego spełniona jest ta równość, nazywany jest głównym (głównym) okresem funkcji.
Funkcja okresowa ma dowolną liczbę w postaci \(nT\) , gdzie \(n\in \mathbb(Z)\) będzie także kropką.
Przykład: dowolny funkcja trygonometryczna jest okresowy;
dla funkcji \(f(x)=\sin x\) i \(f(x)=\cos x\) okres główny jest równy \(2\pi\), dla funkcji \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) i \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) główny okres jest równy \(\pi\) .
Aby skonstruować wykres funkcji okresowej, można wykreślić jej wykres na dowolnym odcinku długości \(T\) (okres główny); wówczas wykres całej funkcji uzupełniamy przesuwając skonstruowaną część o całkowitą liczbę okresów w prawo i w lewo:
\(\blacktriangleright\) Dziedzina \(D(f)\) funkcji \(f(x)\) to zbiór składający się ze wszystkich wartości argumentu \(x\), dla których funkcja ma sens (jest zdefiniowany).
Przykład: funkcja \(f(x)=\sqrt x+1\) ma dziedzinę definicji: \(x\in
Zadanie 1 #6364
Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu
Przy jakich wartościach parametru \(a\) wykonuje się równanie
ma jedno rozwiązanie?
Zauważ, że ponieważ \(x^2\) i \(\cos x\) są parzystymi funkcjami, jeśli równanie ma pierwiastek \(x_0\) , będzie miało również pierwiastek \(-x_0\) .
Rzeczywiście, niech \(x_0\) będzie pierwiastkiem, czyli równość \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) jest prawdziwa. Zastąp \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .
Zatem jeśli \(x_0\ne 0\) , to równanie będzie już miało co najmniej dwa pierwiastki. Dlatego \(x_0=0\) . Następnie:
Otrzymaliśmy dwie wartości dla parametru \(a\) . Zauważ, że wykorzystaliśmy fakt, że \(x=0\) jest dokładnie pierwiastkiem pierwotnego równania. Ale nigdy nie korzystaliśmy z faktu, że jest ten jedyny. Dlatego należy podstawić otrzymane wartości parametru \(a\) do pierwotnego równania i sprawdzić, dla jakiego konkretnego \(a\) pierwiastka \(x=0\) będzie naprawdę unikalny.
1) Jeżeli \(a=0\) , to równanie przyjmie postać \(2x^2=0\) . Oczywiście to równanie ma tylko jeden pierwiastek \(x=0\) . Dlatego odpowiada nam wartość \(a=0\).
2) Jeżeli \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , to równanie przyjmie postać \ Przepisujemy równanie do postaci \ Ponieważ \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , następnie \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . W związku z tym wartości prawej strony równania (*) należą do odcinka \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .
Ponieważ \(x^2\geqslant 0\) , to lewa strona równania (*) jest większa lub równa \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Zatem równość (*) może być prawdziwa tylko wtedy, gdy obie strony równania są równe \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Oznacza to, że \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Zatem wartość \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nam odpowiada.
Odpowiedź:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Zadanie 2 #3923
Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu
Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdej z nich wykres funkcji \
symetrycznie względem początku.
Jeśli wykres funkcji jest symetryczny względem początku, to taka funkcja jest nieparzysta, to znaczy \(f(-x)=-f(x)\) zachodzi dla dowolnego \(x\) z dziedziny definicji funkcji. Dlatego wymagane jest znalezienie tych wartości parametrów, dla których \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]
Ostatnie równanie musi być spełnione dla wszystkich \(x\) z dziedziny definicji \(f(x)\) , zatem \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .
Odpowiedź:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Zadanie 3 #3069
Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu
Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdej z nich równanie \ ma 4 rozwiązania, gdzie \(f\) jest parzystą funkcją okresową z okresem \(T=\dfrac(16)3\) zdefiniowane na całej osi liczbowej , oraz \(f(x)=ax^2\) dla \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Zadanie od subskrybentów)
Ponieważ \(f(x)\) jest funkcją parzystą, jej wykres jest symetryczny względem osi rzędnych, zatem dla \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\) . Zatem dla \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , a jest to odcinek długości \(\dfrac(16)3\), funkcja ma postać \(f(x)=ax^2\ ) .
1) Niech \(a>0\) . Wtedy wykres funkcji \(f(x)\) będzie wyglądał następująco: 
Następnie, aby równanie miało 4 rozwiązania konieczne jest, aby wykres \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) przeszedł przez punkt \(A\) : 
Dlatego \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\end(wyrównane)\end(zebrane)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zebrane)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( zebrane)\right.\] Ponieważ \(a>0\) , to \(a=\dfrac(18)(23)\) jest odpowiednie.
2) Niech \(a0\) ). Jeśli iloczyn dwóch pierwiastków jest dodatni, a ich suma jest dodatnia, to same pierwiastki będą dodatnie. Dlatego potrzebujesz: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a