Napisz równanie płaszczyzny wykorzystując 3 punkty. Równanie płaszczyzny. Jak napisać równanie płaszczyzny? Wzajemne ustawienie płaszczyzn. Zadania

Możesz ustawić na różne sposoby(jeden punkt i wektor, dwa punkty i wektor, trzy punkty itp.). Mając to na uwadze, równanie płaszczyzny może mieć różne typy. Ponadto, pod pewnymi warunkami, płaszczyzny mogą być równoległe, prostopadłe, przecinające się itp. Porozmawiamy o tym w tym artykule. Dowiemy się jak utworzyć ogólne równanie płaszczyzny i nie tylko.

Normalna postać równania

Powiedzmy, że istnieje przestrzeń R 3, która ma prostokątny układ współrzędnych XYZ. Zdefiniujmy wektor α, który zostanie uwolniony z punktu początkowego O. Przez koniec wektora α rysujemy płaszczyznę P, która będzie do niego prostopadła.

Oznaczmy dowolny punkt na P jako Q = (x, y, z). Oznaczmy wektor promienia punktu Q literą p. W tym przypadku długość wektora α jest równa р=IαI i Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Jest to wektor jednostkowy skierowany w bok, podobnie jak wektor α. α, β i γ to kąty utworzone pomiędzy wektorem Ʋ a dodatnimi kierunkami osi przestrzennych, odpowiednio x, y, z. Rzut dowolnego punktu QϵП na wektor Ʋ jest wartością stałą równą p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Powyższe równanie ma sens, gdy p=0. Tyle, że płaszczyzna P w tym przypadku przetnie punkt O (α = 0), będący początkiem współrzędnych, a wersor jednostkowy Ʋ wypuszczony z punktu O będzie prostopadły do ​​P, pomimo jego kierunku, który oznacza, że ​​wektor Ʋ jest wyznaczany z dokładnością do znaku. Poprzednie równanie jest równaniem naszej płaszczyzny P, wyrażonym w postaci wektorowej. Ale we współrzędnych będzie to wyglądać tak:

P jest tutaj większe lub równe 0. Znaleźliśmy równanie płaszczyzny w przestrzeni w postaci normalnej.

Równanie ogólne

Jeśli pomnożymy równanie we współrzędnych przez dowolną liczbę różną od zera, otrzymamy równanie równoważne temu, określające właśnie tę płaszczyznę. Będzie to wyglądać tak:

Tutaj A, B, C są liczbami jednocześnie różnymi od zera. Równanie to nazywa się ogólnym równaniem płaszczyzny.

Równania płaszczyzn. Specjalne przypadki

Równanie w widok ogólny mogą ulec zmianie z zastrzeżeniem dodatkowych warunków. Przyjrzyjmy się niektórym z nich.

Załóżmy, że współczynnik A wynosi 0. Oznacza to, że płaszczyzna ta jest równoległa do zadanej osi Wółu. W tym przypadku zmieni się postać równania: Ву+Cz+D=0.

Podobnie postać równania zmieni się w następujących warunkach:

• Po pierwsze, jeśli B = 0, to równanie zmieni się na Ax + Cz + D = 0, co będzie wskazywało równoległość do osi Oy.
• Po drugie, jeśli C=0, to równanie zostanie przekształcone na Ax+By+D=0, co będzie wskazywało równoległość do zadanej osi Oz.
• Po trzecie, jeśli D=0, równanie będzie wyglądać jak Ax+By+Cz=0, co będzie oznaczać, że płaszczyzna przecina O (początek układu współrzędnych).
• Po czwarte, jeśli A=B=0, to równanie zmieni się na Cz+D=0, co okaże się równoległe do Oxy.
• Po piąte, jeśli B=C=0, to równanie przyjmuje postać Ax+D=0, co oznacza, że ​​płaszczyzna do Oyz jest równoległa.
• Po szóste, jeśli A=C=0, wówczas równanie przyjmie postać Ву+D=0, to znaczy będzie zgłaszać równoległość do Oxz.

Rodzaj równania w odcinkach

W przypadku, gdy liczby A, B, C, D są różne od zera, równanie (0) może mieć następującą postać:

x/a + y/b + z/c = 1,

w którym a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Otrzymamy w rezultacie. Warto zauważyć, że płaszczyzna ta przetnie oś Wółu w punkcie o współrzędnych (a,0,0), Oy - (0,b,0) i Oz - (0,0,c). ).

Biorąc pod uwagę równanie x/a + y/b + z/c = 1, nietrudno wizualnie wyobrazić sobie położenie płaszczyzny względem zadanego układu współrzędnych.

Normalne współrzędne wektora

Wektor normalny n do płaszczyzny P ma współrzędne będące współczynnikami równanie ogólne danej płaszczyzny, czyli n (A, B, C).

Aby wyznaczyć współrzędne normalnej n, wystarczy znać ogólne równanie danej płaszczyzny.

Stosując równanie w odcinkach, które ma postać x/a + y/b + z/c = 1, podobnie jak w przypadku równania ogólnego, można zapisać współrzędne dowolnego wektora normalnego danej płaszczyzny: (1/a + 1/b + 1/ Z).

Warto zauważyć, że wektor normalny pomaga rozwiązać wiele problemów. Do najpowszechniejszych zalicza się zadania polegające na wykazaniu prostopadłości lub równoległości płaszczyzn, problemy ze znalezieniem kątów pomiędzy płaszczyznami lub kątów pomiędzy płaszczyznami i prostymi.

Rodzaj równania płaszczyzny ze względu na współrzędne punktu i wektora normalnego

Niezerowy wektor n prostopadły do ​​danej płaszczyzny nazywa się normalnym dla danej płaszczyzny.

Załóżmy, że w przestrzeni współrzędnych (prostokątny układ współrzędnych) Oxyz podane są:

• punkt Mₒ o współrzędnych (xₒ,yₒ,zₒ);
• wektor zerowy n=A*i+B*j+C*k.

Należy utworzyć równanie płaszczyzny, która przejdzie przez punkt Mₒ prostopadły do ​​normalnej n.

Wybieramy dowolny punkt w przestrzeni i oznaczamy go M (x y, z). Niech wektor promienia dowolnego punktu M (x,y,z) będzie wynosić r=x*i+y*j+z*k, a wektor promienia punktu Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkt M będzie należeć do danej płaszczyzny, jeśli wektor MₒM jest prostopadły do ​​wektora n. Zapiszmy warunek ortogonalności za pomocą iloczynu skalarnego:

[MₒM, n] = 0.

Ponieważ MₒM = r-rₒ, równanie wektorowe płaszczyzny będzie wyglądać następująco:

Równanie to może mieć inną postać. Aby to zrobić, wykorzystuje się właściwości iloczynu skalarnego i dokonuje się transformacji lewa strona równania

= - . Jeżeli oznaczymy to jako c, otrzymamy równanie: - c = 0 lub = c, które wyraża stałość rzutów na wektor normalny wektorów promieni danych punktów należących do płaszczyzny.

Teraz możemy otrzymać postać współrzędnych zapisu równania wektorowego naszej płaszczyzny = 0. Ponieważ r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, oraz n = A*i+B *j+С*k, mamy:

Okazuje się, że mamy równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez punkt prostopadły do ​​normalnej n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Rodzaj równania płaszczyzny według współrzędnych dwóch punktów i wektora współliniowego z płaszczyzną

Zdefiniujmy dwa dowolne punkty M′ (x′,y′,z′) i M″ (x″,y″,z″) oraz wektor a (a′,a″,a‴). Teraz możemy utworzyć równanie dla danej płaszczyzny, która będzie przechodzić przez istniejące punkty M′ i M″ oraz dowolny punkt M o współrzędnych (x, y, z) równolegle dany wektor

A.

W tym przypadku wektory M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) i M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) muszą być współpłaszczyznowe z wektorem a=(a′,a″,a‴), co oznacza, że ​​(M′M, M″M, a)=0.

Zatem nasze równanie płaszczyzny w przestrzeni będzie wyglądać następująco:

Rodzaj równania płaszczyzny przecinającej trzy punkty

Załóżmy, że mamy trzy punkty: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), które nie należą do tej samej prostej. Należy napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez dane trzy punkty. Teoria geometrii twierdzi, że taki rodzaj płaszczyzny istnieje naprawdę, jest jednak jedyny i niepowtarzalny. Ponieważ płaszczyzna ta przecina punkt (x′,y′,z′), jej równanie będzie miało następującą postać:

Tutaj A, B, C są jednocześnie różne od zera. Ponadto dana płaszczyzna przecina jeszcze dwa punkty: (x″,y″,z″) i (x‴,y‴,z‴). W tym zakresie muszą zostać spełnione następujące warunki:

Teraz możemy stworzyć jednorodny układ z niewiadomymi u, v, w: w naszym lub z pełni rolę dowolnego punktu spełniającego równanie (1). Mając dane równanie (1) oraz układ równań (2) i (3), układ równań pokazany na powyższym rysunku jest spełniony przez wektor N (A,B,C), który jest nietrywialny. Dlatego wyznacznik tego układu jest równy zeru.

Równanie (1), które otrzymaliśmy, jest równaniem płaszczyzny. Przechodzi dokładnie przez 3 punkty i łatwo to sprawdzić. Aby to zrobić, musimy rozszerzyć nasz wyznacznik na elementy pierwszego rzędu. Z istniejących własności wyznacznika wynika, że ​​nasza płaszczyzna przecina jednocześnie trzy początkowo dane punkty (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Oznacza to, że rozwiązaliśmy powierzone nam zadanie.

Kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyznami

Kąt dwuścienny reprezentuje przestrzeń figura geometryczna, utworzony przez dwie półpłaszczyzny, które wychodzą z jednej linii prostej. Innymi słowy, jest to część przestrzeni ograniczona tymi półpłaszczyznami.

Załóżmy, że mamy dwie płaszczyzny z następującymi równaniami:

Wiemy, że wektory N=(A,B,C) i N¹=(A¹,B¹,C¹) są prostopadłe do podanych płaszczyzn. Pod tym względem kąt φ między wektorami N i N¹ jest równy kątowi (dwuściennemu) znajdującemu się między tymi płaszczyznami. Produkt kropkowy ma postać:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

właśnie dlatego

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA1+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Wystarczy wziąć pod uwagę, że 0≤φ≤π.

W rzeczywistości dwie przecinające się płaszczyzny tworzą dwa kąty (dwuścienne): φ 1 i φ 2. Ich suma jest równa π (φ 1 + φ 2 = π). Jeśli chodzi o ich cosinusy, ich wartości bezwzględne są równe, ale różnią się znakiem, to znaczy cos φ 1 = -cos φ 2. Jeśli w równaniu (0) zastąpimy A, B i C liczbami odpowiednio -A, -B i -C, to równanie, które otrzymamy, będzie wyznaczało tę samą płaszczyznę, jedyną, kąt φ w równaniu cos φ= NN 1 /|. N||N 1 | zostanie zastąpione przez π-φ.

Równanie płaszczyzny prostopadłej

Płaszczyzny, pomiędzy którymi kąt wynosi 90 stopni, nazywane są prostopadłymi. Korzystając z materiału przedstawionego powyżej, możemy znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do drugiej. Załóżmy, że mamy dwie płaszczyzny: Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Można powiedzieć, że będą one prostopadłe, jeśli cosφ=0. Oznacza to, że NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Równanie płaszczyzny równoległej

Dwie płaszczyzny, które nie zawierają wspólnych punktów, nazywane są równoległymi.

Warunek (ich równania są takie same jak w poprzednim akapicie) jest taki, że wektory N i N¹, które są do nich prostopadłe, są współliniowe. Oznacza to, że spełnione są następujące warunki proporcjonalności:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jeśli rozszerzymy warunki proporcjonalności - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

oznacza to, że płaszczyzny te pokrywają się. Oznacza to, że równania Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisują jedną płaszczyznę.

Odległość do płaszczyzny od punktu

Załóżmy, że mamy płaszczyznę P, która jest dana równaniem (0). Należy znaleźć odległość do niego od punktu o współrzędnych (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Aby to zrobić, musisz doprowadzić równanie płaszczyzny P do postaci normalnej:

(ρ,v)=р (р≥0).

W w tym przypadkuρ (x,y,z) to promień naszego punktu Q znajdującego się na P, p to długość prostopadłej P, która została uwolniona z punktu zerowego, v to wektor jednostkowy, który jest zlokalizowany w kierunku a.

Różnica wektora promienia ρ-ρº pewnego punktu Q = (x, y, z), należącego do P, jak również wektor promienia danego punktu Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) jest takim wektorem, wartość bezwzględna rzutu na v równa się odległości d, którą należy znaleźć od Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ale

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Okazuje się, że

d=|(ρ 0,v)-р|.

W ten sposób znajdziemy wartość bezwzględną wynikowego wyrażenia, czyli pożądane d.

Używając języka parametrów, otrzymujemy oczywistość:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jeśli punkt zadany Q 0 znajduje się po drugiej stronie płaszczyzny P, podobnie jak początek współrzędnych, wówczas pomiędzy wektorem ρ-ρ 0 i v znajduje się zatem:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

W przypadku, gdy punkt Q 0 wraz z początkiem współrzędnych leży po tej samej stronie P, wówczas powstały kąt jest ostry, czyli:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

W rezultacie okazuje się, że w pierwszym przypadku (ρ 0 ,v)>р, w drugim (ρ 0 ,v)<р.

Płaszczyzna styczna i jej równanie

Płaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie styku M° jest płaszczyzną zawierającą wszystkie możliwe styczne do krzywych poprowadzonych przez ten punkt na powierzchni.

Przy tego typu równaniu powierzchni F(x,y,z)=0 równanie płaszczyzny stycznej w punkcie stycznym M°(x°,y°,z°) będzie wyglądać następująco:

F x (xş,yş,zş)(x- xş)+ F x (xş, yş, zş)(y- yş)+ F x (xş, yş,zş)(z-zş)=0.

Jeśli określisz powierzchnię w jawnej postaci z=f (x,y), wówczas płaszczyzna styczna będzie opisana równaniem:

z-zş =f(xş, yş)(x- xş)+f(xş, yş)(y- yş).

Przecięcie dwóch płaszczyzn

W układzie współrzędnych (prostokątnym) znajduje się Oxyz, dane są dwie płaszczyzny П′ i П″, które przecinają się i nie pokrywają. Ponieważ dowolną płaszczyznę umieszczoną w prostokątnym układzie współrzędnych wyznacza równanie ogólne, założymy, że P′ i P″ są dane równaniami A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x +B″y+ С″z+D″=0. W tym przypadku mamy normalne n′ (A′,B′,C′) płaszczyzny P′ i normalne n″ (A″,B″,C″) płaszczyzny P″. Ponieważ nasze płaszczyzny nie są równoległe i nie pokrywają się, wektory te nie są współliniowe. Używając języka matematyki, możemy zapisać ten warunek w następujący sposób: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Niech prostą leżącą na przecięciu P′ i P″ oznaczymy literą a, w tym przypadku a = P′ ∩ P″.

a jest linią prostą składającą się ze zbioru wszystkich punktów (wspólnych) płaszczyzn P′ i P″. Oznacza to, że współrzędne dowolnego punktu należącego do prostej a muszą jednocześnie spełniać równania A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x+B″y+C″z+D″=0 . Oznacza to, że współrzędne punktu będą częściowym rozwiązaniem następującego układu równań:

W rezultacie okazuje się, że (ogólne) rozwiązanie tego układu równań wyznaczy współrzędne każdego z punktów prostej, która będzie punktem przecięcia P′ i P″ oraz wyznaczy prostą a w (prostokątnym) układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni.

W tym materiale przyjrzymy się, jak znaleźć równanie płaszczyzny, jeśli znamy współrzędne trzech różnych punktów, które nie leżą na tej samej linii prostej. Aby to zrobić, musimy pamiętać, czym jest prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej. Na początek przedstawimy podstawową zasadę tego równania i pokażemy dokładnie, jak ją wykorzystać do rozwiązania konkretnych problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najpierw musimy pamiętać o jednym aksjomacie, który brzmi następująco:

Definicja 1

Jeżeli trzy punkty nie pokrywają się ze sobą i nie leżą na tej samej prostej, to w przestrzeni trójwymiarowej przechodzi przez nie tylko jedna płaszczyzna.

Innymi słowy, jeśli mamy trzy różne punkty, których współrzędne nie pokrywają się i których nie można połączyć linią prostą, to możemy wyznaczyć płaszczyznę przechodzącą przez nie.

Załóżmy, że mamy prostokątny układ współrzędnych. Oznaczmy to O x y z. Zawiera trzy punkty M o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), których nie można połączyć linia prosta. Na podstawie tych warunków możemy zapisać równanie potrzebnej płaszczyzny. Istnieją dwa podejścia do rozwiązania tego problemu.

1. Pierwsze podejście wykorzystuje ogólne równanie płaszczyzny. W formie literowej jest zapisywany jako A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Za jego pomocą można zdefiniować w prostokątnym układzie współrzędnych pewną płaszczyznę alfa przechodzącą przez pierwszy podany punkt M 1 (x 1, y 1, z 1). Okazuje się, że wektor normalny płaszczyzny α będzie miał współrzędne A, B, C.

Definicja N

Znając współrzędne wektora normalnego oraz współrzędne punktu, przez który przechodzi płaszczyzna, możemy zapisać ogólne równanie tej płaszczyzny.

Od tego będziemy postępować w przyszłości.

Zatem zgodnie z warunkami zadania mamy współrzędne pożądanego punktu (nawet trzech), przez który przechodzi samolot. Aby znaleźć równanie, musisz obliczyć współrzędne jego wektora normalnego. Oznaczmy to n → .

Pamiętajmy o zasadzie: każdy niezerowy wektor danej płaszczyzny jest prostopadły do ​​wektora normalnego tej samej płaszczyzny. Wtedy mamy, że n → będzie prostopadłe do wektorów złożonych z pierwotnych punktów M 1 M 2 → i M 1 M 3 → . Wtedy możemy oznaczyć n → jako iloczyn wektorowy postaci M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Ponieważ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dowody tych równości podano w artykule poświęconym obliczaniu współrzędnych wektora ze współrzędnych punktów), wówczas okazuje się, że:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = ja → jot → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Jeśli obliczymy wyznacznik, otrzymamy współrzędne wektora normalnego n → potrzebujemy. Teraz możemy zapisać równanie potrzebne dla płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty.

2. Drugie podejście do znalezienia równania przechodzącego przez M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), opiera się na koncepcji współpłaszczyznowości wektorów.

Jeżeli mamy zbiór punktów M (x, y, z), to w prostokątnym układzie współrzędnych wyznaczają one płaszczyznę dla danych punktów M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) tylko w przypadku, gdy wektory M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) i M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) będą współpłaszczyznowe .

Na schemacie będzie to wyglądać następująco:

Będzie to oznaczać, że iloczyn mieszany wektorów M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → będzie równy zeru: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , ponieważ jest to główny warunek współpłaszczyznowości: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) i M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Zapiszmy powstałe równanie w postaci współrzędnych:

Po obliczeniu wyznacznika możemy otrzymać równanie płaszczyzny potrzebne dla trzech punktów, które nie leżą na tej samej prostej M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Z powstałego równania można przejść do równania płaszczyzny w odcinkach lub do równania normalnego płaszczyzny, jeśli wymagają tego warunki zadania.

W następnym akapicie podamy przykłady tego, jak wskazane przez nas podejścia są wdrażane w praktyce.

Przykłady problemów z ułożeniem równania płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty

Wcześniej zidentyfikowaliśmy dwa podejścia, które można zastosować do znalezienia pożądanego równania. Przyjrzyjmy się, jak są one wykorzystywane do rozwiązywania problemów i kiedy należy wybrać każdy z nich.

Przykład 1

Istnieją trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej, o współrzędnych M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez nie.

Rozwiązanie

Obie metody stosujemy naprzemiennie.

1. Znajdź współrzędne dwóch wektorów, których potrzebujemy M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Teraz obliczmy ich iloczyn wektorowy. Nie będziemy opisywać obliczeń wyznacznika:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = ja → jot → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 ja → + 30 jot → + 2 k →

Mamy wektor normalny płaszczyzny przechodzącej przez trzy wymagane punkty: n → = (- 5, 30, 2) . Następnie musimy wziąć jeden z punktów, na przykład M 1 (- 3, 2, - 1) i zapisać równanie płaszczyzny o wektorze n → = (- 5, 30, 2). Otrzymujemy, że: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

To jest równanie potrzebne dla płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty.

2. Przyjmijmy inne podejście. Zapiszmy równanie płaszczyzny z trzema punktami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) w następujący formularz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Tutaj możesz zastąpić dane z opisu problemu. Ponieważ x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, w rezultacie otrzymujemy:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Otrzymaliśmy równanie, którego potrzebowaliśmy.

Odpowiedź:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

A co jeśli dane punkty nadal leżą na tej samej prostej i trzeba dla nich stworzyć równanie płaskie? Tutaj trzeba od razu powiedzieć, że warunek ten nie będzie całkowicie poprawny. Przez takie punkty może przechodzić nieskończona liczba płaszczyzn, dlatego nie da się obliczyć jednej odpowiedzi. Rozważmy taki problem, aby wykazać błędność takiego sformułowania pytania.

Przykład 2

Mamy prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej, w którym umieszczone są trzy punkty o współrzędnych M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1) . Konieczne jest utworzenie równania przechodzącej przez nią płaszczyzny.

Rozwiązanie

Skorzystajmy z pierwszej metody i zacznijmy od obliczenia współrzędnych dwóch wektorów M 1 M 2 → i M 1 M 3 →. Obliczmy ich współrzędne: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Iloczyn krzyżowy będzie równy:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = ja → jot → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ja ⇀ + 0 jot → + 0 k → = 0 →

Ponieważ M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, to nasze wektory będą współliniowe (przeczytaj ponownie artykuł o nich, jeśli zapomniałeś definicji tego pojęcia). Zatem początkowe punkty M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) leżą na tej samej prostej, a nasz problem ma nieskończenie wiele opcje odpowiadają.

Jeśli zastosujemy drugą metodę, otrzymamy:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 lat + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Z otrzymanej równości wynika również, że dane punkty M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) leżą na tej samej linii.

Jeśli chcesz znaleźć przynajmniej jedną odpowiedź na ten problem spośród nieskończonej liczby jego opcji, musisz wykonać następujące kroki:

1. Zapisz równanie linii prostej M 1 M 2, M 1 M 3 lub M 2 M 3 (w razie potrzeby spójrz na materiał na temat tego działania).

2. Weź punkt M 4 (x 4, y 4, z 4), który nie leży na linii prostej M 1 M 2.

3. Zapisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy różne punkty M 1, M 2 i M 4, które nie leżą na tej samej prostej.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Aby można było poprowadzić pojedynczą płaszczyznę przez dowolne trzy punkty w przestrzeni, konieczne jest, aby punkty te nie leżały na tej samej linii prostej.

Rozważ punkty M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) w ogólnym kartezjańskim układzie współrzędnych.

Aby dowolny punkt M(x, y, z) leżał w tej samej płaszczyźnie z punktami M 1, M 2, M 3, konieczne jest, aby wektory były współpłaszczyznowe.

Definicja 2.1.

Dwie linie w przestrzeni nazywane są równoległymi, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają wspólnych punktów.

Jeśli dwie linie aib są równoległe, to tak jak w planimetrii napisz a || B. W przestrzeni linie można układać tak, aby się nie przecinały lub były równoległe. Ten przypadek jest szczególny dla stereometrii.

Definicja 2.2.

Linie, które nie mają wspólnych punktów i nie są równoległe, nazywane są przecinającymi się.

Twierdzenie 2.1.

Przez punkt znajdujący się poza daną linią można poprowadzić linię równoległą do danej i tylko jedną.

25.Znak równoległości linii i płaszczyzny

Twierdzenie

Jeśli linia nie należąca do płaszczyzny jest równoległa do jakiejś linii tej płaszczyzny, to jest równoległa do samej płaszczyzny.

Dowód

Niech α będzie płaszczyzną, prostą w niej nie leżącą, zaś a1 linią w płaszczyźnie α równoległą do prostej a. Narysujmy płaszczyznę α1 poprzez linie a i a1. Płaszczyzny α i α1 przecinają się na prostej a1. Jeżeli wykreślamy przecinaną płaszczyznę α, to punkt przecięcia będzie należał do prostej a1. Ale jest to niemożliwe, ponieważ linie a i a1 są równoległe. W związku z tym linia a nie przecina płaszczyzny α, a zatem jest równoległa do płaszczyzny α. Twierdzenie zostało udowodnione.

27.Istnienie płaszczyzny równoległej do danej płaszczyzny

Twierdzenie

Przez punkt znajdujący się poza daną płaszczyzną można poprowadzić płaszczyznę równoległą do danej i tylko jedną.

Dowód

Narysujmy w tej płaszczyźnie α dowolne dwie przecinające się linie a i b. Przez dany punkt A rysujemy równoległe do nich proste a1 i b1. Płaszczyzna β przechodząca przez proste a1 i b1, zgodnie z twierdzeniem o równoległości płaszczyzn, jest równoległa do płaszczyzny α.

Załóżmy, że przez punkt A przechodzi inna płaszczyzna β1, również równoległa do płaszczyzny α. Zaznaczmy na płaszczyźnie β1 punkt C, który nie leży w płaszczyźnie β. Narysujmy płaszczyznę γ przez punkty A, C i jakiś punkt B płaszczyzny α. Płaszczyzna ta przecina płaszczyzny α, β i β1 wzdłuż linii prostych b, a i c. Linie a i c nie przecinają linii b, ponieważ nie przecinają płaszczyzny α. Są zatem równoległe do linii b. Ale w płaszczyźnie γ tylko jedna prosta równoległa do linii b może przechodzić przez punkt A. co jest sprzeczne z założeniem. Twierdzenie zostało udowodnione.

28.Właściwości płaszczyzn równoległych t

29.

Prostopadłe linie w przestrzeni. Dwie linie w przestrzeni nazywamy prostopadłymi, jeśli kąt między nimi wynosi 90 stopni. C. M. k. k. M. C. k. Krzyżujący. Krzyżowanie ras.

Twierdzenie 2 1. WŁASNOŚĆ PROSTYCH I PŁASZCZYZN PROSTOPADŁYCH. Jeśli płaszczyzna jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej.
Dowód: Niech a 1 i a 2 - 2 będą prostymi równoległymi i płaszczyzną prostopadłą do prostej a 1. Udowodnimy, że płaszczyzna ta jest prostopadła do prostej a 2. Narysujmy na płaszczyźnie dowolną linię x 2 przechodzącą przez punkt A 2 przecięcia prostej a 2 z płaszczyzną. Narysujmy w płaszczyźnie przechodzącej przez punkt A 1 przecięcie prostej a 1 z linią x 1 równoległą do prostej x 2. Ponieważ linia a 1 jest prostopadła do płaszczyzny, zatem linie a 1 i x 1 są prostopadłe. I zgodnie z Twierdzeniem 1, przecinające się linie proste a 2 i x 2 równoległe do nich są również prostopadłe. Zatem linia a 2 jest prostopadła do dowolnej linii x 2 na płaszczyźnie. A to (z definicji) oznacza, że ​​linia prosta a 2 jest prostopadła do płaszczyzny. Twierdzenie zostało udowodnione. Zobacz także zadanie pomocnicze nr 2.
Twierdzenie 3 2. WŁASNOŚĆ PROSTYCH I PŁAszczyZn PROSTOPADŁYCH. Dwie linie prostopadłe do tej samej płaszczyzny są równoległe.
Dowód: Niech a i b będą dwiema prostymi prostopadłymi do płaszczyzny. Załóżmy, że proste a i b nie są równoległe. Wybierzmy punkt C na prostej b, który nie leży na płaszczyźnie. Narysujmy linię b 1 przechodzącą przez punkt C, równoległą do linii a. Linia b 1 jest prostopadła do płaszczyzny zgodnie z Twierdzeniem 2. Niech B i B 1 będą punktami przecięcia prostych b i b 1 z płaszczyzną. Następnie prosta BB 1 jest prostopadła do przecinających się linii b i b 1. A to jest niemożliwe. Doszliśmy do sprzeczności. Twierdzenie zostało udowodnione.

33.Prostopadły, obniżony z danego punktu na danej płaszczyźnie, to odcinek łączący dany punkt z punktem na płaszczyźnie i leżący na prostej prostopadłej do tej płaszczyzny. Koniec tego odcinka leżący w płaszczyźnie nazywa się podstawa prostopadłej.
Skłonny poprowadzony z danego punktu do danej płaszczyzny to dowolny odcinek łączący dany punkt z punktem na płaszczyźnie, który nie jest do niej prostopadły. Nazywa się koniec odcinka leżącego na płaszczyźnie pochylona podstawa. Nazywa się odcinek łączący podstawy prostopadłej z nachyloną narysowaną z tego samego punktu ukośna projekcja.

AB jest prostopadła do płaszczyzny α.
AC – skośny, CB – występ.

Stwierdzenie twierdzenia

Jeżeli linia prosta poprowadzona na płaszczyźnie przez podstawę płaszczyzny pochyłej jest prostopadła do jej rzutu, to jest prostopadła do pochyłej.

Dowód

Pozwalać AB- prostopadle do płaszczyzny α, AC- skłonny i C- prosta w płaszczyźnie α przechodząca przez ten punkt C i prostopadle do rzutu przed Chrystusem. Zróbmy bezpośredni CK równolegle do linii AB. Prosty CK jest prostopadła do płaszczyzny α (ponieważ jest równoległa AB), a zatem dowolna linia prosta tej płaszczyzny, zatem CK prostopadle do linii prostej C. Rysujmy przez linie równoległe AB I CK płaszczyzna β (linie równoległe definiują płaszczyznę i tylko jedną). Prosty C prostopadle do dwóch przecinających się linii leżących w płaszczyźnie β, to jest przed Chrystusem zgodnie z warunkiem i CK konstrukcyjnie oznacza to, że jest prostopadła do dowolnej linii należącej do tej płaszczyzny, czyli jest prostopadła do prostej AC.

Aby można było poprowadzić pojedynczą płaszczyznę przez dowolne trzy punkty w przestrzeni, konieczne jest, aby punkty te nie leżały na tej samej linii prostej.

Rozważ punkty M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) w ogólnym kartezjańskim układzie współrzędnych.

Aby dowolny punkt M(x, y, z) leżał w tej samej płaszczyźnie z punktami M 1, M 2, M 3, konieczne jest, aby wektory były współpłaszczyznowe.

(
) = 0

Zatem,

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty:

Równanie płaszczyzny, mając dane dwa punkty i wektor współliniowy z płaszczyzną.

Niech będą dane punkty M 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2) i wektor
.

Utwórzmy równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez dane punkty M 1 i M 2 oraz dowolny punkt M (x, y, z) równoległy do ​​wektora .

Wektory
i wektor
muszą być współpłaszczyznowe, tj.

(
) = 0

Równanie płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny za pomocą jednego punktu i dwóch wektorów,

współliniowy do płaszczyzny.

Niech zostaną dane dwa wektory
I
, płaszczyzny współliniowe. Następnie dla dowolnego punktu M(x, y, z) należącego do płaszczyzny wektory
muszą być współpłaszczyznowe.

Równanie płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny przez punkt i wektor normalny .

Twierdzenie. Jeżeli punkt M jest dany w przestrzeni 0 (X 0 , j 0 , z 0 ), to równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M 0 prostopadle do wektora normalnego (A, B, C) ma postać:

A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dowód. Dla dowolnego punktu M(x, y, z) należącego do płaszczyzny tworzymy wektor. Ponieważ wektor jest wektorem normalnym, to jest prostopadły do ​​płaszczyzny, a zatem prostopadły do ​​wektora
. Następnie iloczyn skalarny

= 0

W ten sposób otrzymujemy równanie płaszczyzny

Twierdzenie zostało udowodnione.

Równanie płaszczyzny w odcinkach.

Jeżeli w równaniu ogólnym Ax + Bi + Cz + D = 0 dzielimy obie strony przez (-D)

,

wymiana
, otrzymujemy równanie płaszczyzny w odcinkach:

Liczby a, b, c to punkty przecięcia płaszczyzny odpowiednio z osiami x, y, z.

Równanie płaszczyzny w postaci wektorowej.

Gdzie

- wektor promienia aktualnego punktu M(x, y, z),

Wektor jednostkowy mający kierunek prostopadły upuszczony na płaszczyznę z początku układu współrzędnych.

,  i  to kąty utworzone przez ten wektor z osiami x, y, z.

p jest długością tej prostopadłej.

We współrzędnych równanie to wygląda następująco:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Odległość punktu od płaszczyzny.

Odległość dowolnego punktu M 0 (x 0, y 0, z 0) od płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 wynosi:

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny, wiedząc, że punkt P(4; -3; 12) jest podstawą prostopadłej spuszczonej z początku układu współrzędnych na tę płaszczyznę.

Zatem A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, korzystamy ze wzoru:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwa punkty P(2; 0; -1) i

Q(1; -1; 3) prostopadle do płaszczyzny 3x + 2y – z + 5 = 0.

Wektor normalny do płaszczyzny 3x + 2y – z + 5 = 0
równolegle do żądanej płaszczyzny.

Otrzymujemy:

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(2, -1, 4) i

B(3, 2, -1) prostopadle do płaszczyzny X + Na + 2z – 3 = 0.

Wymagane równanie płaszczyzny ma postać: A X+B y+C z+ D = 0, wektor normalny do tej płaszczyzny (A, B, C). Wektor
(1, 3, -5) należy do płaszczyzny. Podana nam płaszczyzna, prostopadła do pożądanej, ma wektor normalny (1, 1, 2). Ponieważ punkty A i B należą do obu płaszczyzn, a zatem płaszczyzny są do siebie prostopadłe

Zatem wektor normalny (11, -7, -2). Ponieważ punkt A należy do żądanej płaszczyzny, to jego współrzędne muszą spełniać równanie tej płaszczyzny, tj. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

W sumie otrzymujemy równanie płaszczyzny: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny, wiedząc, że punkt P(4, -3, 12) jest podstawą prostopadłej spuszczonej z początku na tę płaszczyznę.

Znajdowanie współrzędnych wektora normalnego
= (4, -3, 12). Wymagane równanie płaszczyzny ma postać: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Aby znaleźć współczynnik D, podstawiamy współrzędne punktu P do równania:

16 + 9 + 144 + D = 0

W sumie otrzymujemy wymagane równanie: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Przykład. Podano współrzędne wierzchołków piramidy: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Znajdź długość krawędzi A 1 A 2.

Znajdź kąt pomiędzy krawędziami A 1 A 2 i A 1 A 4.

Znajdź kąt pomiędzy krawędzią A 1 A 4 i ścianą A 1 A 2 A 3.

Najpierw znajdujemy wektor normalny do ściany A 1 A 2 A 3 jako iloczyn wektorów
I
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Znajdźmy kąt między wektorem normalnym a wektorem
.

-4 – 4 = -8.

Pożądany kąt  między wektorem a płaszczyzną będzie równy  = 90 0 - .

Znajdź obszar twarzy A 1 A 2 A 3.

Znajdź objętość piramidy.

Znajdź równanie płaszczyzny A 1 A 2 A 3.

Skorzystajmy ze wzoru na równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

W przypadku korzystania z wersji komputerowej „ Wyższy kurs matematyki” możesz uruchomić program, który rozwiąże powyższy przykład dla dowolnych współrzędnych wierzchołków piramidy.

Aby uruchomić program, kliknij dwukrotnie ikonę:

W otwartym oknie programu wprowadź współrzędne wierzchołków piramidy i naciśnij Enter. W ten sposób można po kolei zdobyć wszystkie punkty decyzyjne.

Uwaga: Aby uruchomić program, na komputerze musi być zainstalowany program Maple ( Waterloo Maple Inc.) w dowolnej wersji, począwszy od MapleV Release 4.

Załóżmy, że musimy znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na tej samej prostej. Oznaczając ich wektory promieniowe przez i bieżący wektor promieniowy przez , możemy łatwo otrzymać wymagane równanie w postaci wektorowej. W rzeczywistości wektory muszą być współpłaszczyznowe (wszystkie leżą w żądanej płaszczyźnie). Dlatego iloczyn wektorowo-skalarny tych wektorów musi być równy zeru:

Jest to równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty w postaci wektorowej.

Przechodząc do współrzędnych otrzymujemy równanie we współrzędnych:

Jeżeli trzy dane punkty leżą na tej samej linii prostej, to wektory będą współliniowe. Zatem odpowiadające sobie elementy dwóch ostatnich linii wyznacznika w równaniu (18) byłyby proporcjonalne, a wyznacznik byłby identycznie równy zeru. W konsekwencji równanie (18) stałoby się identyczne dla dowolnych wartości x, y i z. Geometrycznie oznacza to, że przez każdy punkt przestrzeni przechodzi płaszczyzna, w której leżą podane trzy punkty.

Uwaga 1. Ten sam problem można rozwiązać bez użycia wektorów.

Oznaczając odpowiednio współrzędne trzech podanych punktów, zapiszemy równanie dowolnej płaszczyzny przechodzącej przez pierwszy punkt:

Aby otrzymać równanie żądanej płaszczyzny należy wymagać, aby równanie (17) było spełnione przez współrzędne dwóch pozostałych punktów:

Z równań (19) należy określić stosunek dwóch współczynników do trzeciego i wprowadzić znalezione wartości do równania (17).

Przykład 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez pierwszy z tych punktów będzie miało postać:

Warunki przejścia płaszczyzny (17) przez dwa inne punkty i pierwszy punkt są następujące:

Dodając drugie równanie do pierwszego, otrzymujemy:

Podstawiając do drugiego równania otrzymujemy:

Podstawiając do równania (17) zamiast odpowiednio A, B, C, 1, 5, -4 (liczby proporcjonalne do nich) otrzymujemy:

Przykład 2. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Równanie dowolnej płaszczyzny przechodzącej przez punkt (0, 0, 0) będzie miało postać]

Warunki przejścia tej płaszczyzny przez punkty (1, 1, 1) i (2, 2, 2) są następujące:

Zmniejszając drugie równanie o 2, widzimy, że aby określić dwie niewiadome, istnieje jedno równanie

Stąd dostajemy. Podstawiając teraz wartość płaszczyzny do równania, otrzymujemy:

To jest równanie pożądanej płaszczyzny; to zależy od arbitralności

wielkości B, C (mianowicie z zależności tj. przez trzy dane punkty przechodzi nieskończona liczba płaszczyzn (trzy dane punkty leżą na tej samej prostej).

Uwaga 2. Problem przeciągnięcia płaszczyzny przez trzy dane punkty, które nie leżą na tej samej prostej, można łatwo rozwiązać w postaci ogólnej, jeśli zastosujemy wyznaczniki. Rzeczywiście, ponieważ w równaniach (17) i (19) współczynniki A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zeru, to rozważając te równania jako układ jednorodny z trzema niewiadomymi A, B, C, piszemy konieczny i wystarczający warunek istnienia rozwiązania tego układu, różnego od zera (Część 1, Rozdział VI, § 6):

Rozbudowując ten wyznacznik na elementy pierwszego rzędu, otrzymujemy równanie pierwszego stopnia w odniesieniu do bieżących współrzędnych, które spełnią w szczególności współrzędne trzech podanych punktów.

Możesz to również sprawdzić bezpośrednio, podstawiając współrzędne dowolnego z tych punktów zamiast . Po lewej stronie otrzymujemy wyznacznik, w którym albo elementy pierwszego wiersza są zerami, albo istnieją dwa identyczne wiersze. Zatem skonstruowane równanie przedstawia płaszczyznę przechodzącą przez trzy dane punkty.