>

Jak skonstruować przekrój czworościanu z płaszczyzną. Budowa przekrojów czworościanu i

Temat: „Budowa odcinków czworościanu i równoległościanu.”

Przedmiot: geometria

Klasa: 10

Wykorzystane technologie pedagogiczne:

technologia nauczania metodą projektów, technologia informacyjna.

Temat lekcji: Konstrukcja odcinków czworościanu i równoległościanu

Typ lekcji: lekcja utrwalania i rozwijania wiedzy.

Formy pracy na lekcji: frontalny, indywidualny

Wykaz wykorzystanych źródeł oraz oprogramowania i narzędzi pedagogicznych:

1. . Geometria. 10-11 klas, - M: Edukacja, 2006.

2. . Zadania z zakresu opracowania koncepcji przestrzennych. Książka dla nauczycieli. - M.: Edukacja, 1991.

3. G. Prokopenko. Metody rozwiązywania problemów przy konstruowaniu przekrojów wielościanów. 10. klasa. ChPGU, Czelabińsk. Tygodnik edukacyjno-metodyczny „Matematyka” 31/2001.

4. A. Mordkovich. Seminarium dziewiąte. Temat: Konstrukcja przekrojów wielościanów (zagadnienia pozycyjne). Dodatek tygodniowy do gazety „Pierwszy września”. Matematyka. 3/94.

5. Multimedialny kurs interaktywny „Matematyka otwarta. Stereometria”. Fizykon

6. „Żywa geometria”

Edukacyjny:

Sprawdź swoją wiedzę z materiału teoretycznego na temat wielościanów (czworościanu, równoległościanu).

Kontynuuj rozwijanie umiejętności analizy rysunku, wyróżniania głównych elementów podczas pracy z modelem wielościanu, zarysowania przebiegu rozwiązania problemu i przewidywania wyniku końcowego.

Rozwijanie umiejętności rozwiązywania problemów polegających na konstruowaniu przekrojów wielościanów.

Rozwijaj kulturę graficzną i mowę matematyczną.

Kształcenie umiejętności wykorzystania technologii komputerowej na lekcjach geometrii.

Edukacyjny:

Rozwijać zainteresowanie poznawcze studenci.

Kształtowanie i rozwijanie wyobraźni przestrzennej uczniów.

Edukacyjny:

Promuj niezależność, dokładność i ciężką pracę.

Rozwijaj umiejętność samodzielnej pracy nad zadaniem.

Rozwijaj wolę i wytrwałość, aby osiągnąć ostateczne rezultaty.

Wsparcie techniczne:

Komputer z zainstalowanymi programami „Living Geometry”, Power Point, projektor multimedialny.

Rozdawać:

Formularze z zadaniami do pracy praktycznej, czyste karty z odpowiedziami do wzajemnego sprawdzania, podpórki - notatki, prezentacja na temat „Aksjomaty stereometrii, konsekwencje z nich”, prezentacja studencka „Budowa przekrojów równoległościanu”, kredki.

Struktura lekcji.

Pozdrowienia. Moment organizacyjny.

Ustalenie celu i założeń lekcji.

Powtórzenie przestudiowanego materiału za pomocą prezentacji.

Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Praktyczna praca do budowy sekcji.

Recenzja partnerska.

Praca domowa

Odbicie.

Postęp lekcji:

1) Powitanie. Moment organizacyjny.

2) Ustalenie celu i założeń lekcji.

Zagadnienia konstruowania przekrojów wielościanów zajmują ważne miejsce w toku stereometrii. Ich rola wynika z faktu, że rozwiązywanie tego typu problemów przyczynia się do przyswojenia aksjomatów stereometrii, ich konsekwencji, rozwoju koncepcji przestrzennych i umiejętności konstrukcyjnych. Umiejętność rozwiązywania problemów związanych z konstrukcją przekrojów jest podstawą do studiowania niemal wszystkich zagadnień kursu stereometrii. Przy rozwiązywaniu wielu problemów stereometrycznych stosuje się płaskie przekroje wielościanów.

Na poprzednich lekcjach poznaliśmy aksjomaty stereometrii, wnioski z aksjomatów i twierdzeń o równoległości prostych i płaszczyzn w przestrzeni. Przyjrzeliśmy się algorytmom konstruowania prostych przekrojów sześcianu, czworościanu i równoległościanu. Przekroje te z reguły wyznaczano punktami znajdującymi się na krawędziach lub ścianach wielościanu. Dzisiaj na lekcji powtórzymy twierdzenia geometryczne, które pozwalają nam sformułować zasady konstruowania przekrojów. Nauczymy się także wykorzystywać tę wiedzę przy rozwiązywaniu zadania konstruowania odcinka czworościanu i równoległościanu z płaszczyzną przechodzącą przez trzy dane punkty tak, aby żadne trzy z tych punktów nie leżały na tej samej ścianie.

3) Powtórzenie przestudiowanego materiału poprzez prezentację.

Przyjrzyjmy się niektórym pytaniom teoretycznym.

    Co to jest płaszczyzna cięcia? Jak zdefiniować płaszczyznę cięcia? Jaki jest przekrój czworościanu (równoległościanu)? Jakie wielokąty otrzymaliśmy konstruując przekroje czworościanu? A jakie wielokąty możemy uzyskać konstruując odcinki równoległościanu? Przyjrzyjmy się aksjomatom stereometrii, ich konsekwencjom i metodom definiowania płaszczyzny (prezentacja 1, slajdy 1-10)

4) Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Prezentacja studencka „Budowa odcinków równoległościanu”.

Przypomnijmy sobie teraz algorytm konstruowania przekroju czworościanu na przykładzie dwóch problemów (prezentacja 1, slajdy 11-12).(konstrukcja jest komentowana krok po kroku przez nauczyciela).

Aleksiej Paszczenko za pomocą swojej prezentacji przypomni nam o algorytmach konstruowania odcinków równoległościennych (prezentacja 2, slajdy 1-5) (uczeń demonstruje slajdy, komentując kolejność budowy)

https://pandia.ru/text/78/168/images/image002_167.gif" szerokość="327" wysokość="244">

Praktyczna praca nad konstruowaniem odcinków równoległościanu. Załącznik 1

Dodatek 2

Wsparcie przypomnienia

    Aksjomat1 . Przez dowolne trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii, przechodzi płaszczyzna i tylko jeden. Aksjomat2 . Jeżeli dwa punkty prostej leżą na płaszczyźnie, to wszystkie punkty prostej leżą na tej płaszczyźnie. Aksjomat3 . Jeśli dwie płaszczyzny mają wspólny punkt, to mają wspólną linię prostą, na której leżą wszystkie wspólne punkty tych płaszczyzn.

Wnioski z aksjomatów:

Lekcja na ten temat:

„Konstrukcja odcinków czworościanu i równoległościanu”

Cele lekcji

1. Zapoznanie się z podstawami rozwiązywania problemów polegających na konstruowaniu odcinków czworościanu i równoległościanu przez płaszczyznę.

2. Identyfikować rodzaje problemów przy konstruowaniu przekrojów.

3. Rozwijanie umiejętności rozwiązywania problemów polegających na konstruowaniu odcinków czworościanu i równoległościanu.

4. Kształtowanie wyobraźni przestrzennej.

Postęp lekcji.

I Moment organizacyjny.

II Sprawdzanie pracy domowej.

Chłopaki, jakie ciała geometryczne badaliśmy? ostatnie lekcje? (czworościan, równoległościan).

Jak nazywa się czworościan?

Jak nazywa się równoległościan?

Sprawdźmy teraz ustną pracę domową.

W podręczniku na stronie 31 czytamy i odpowiadamy na pytania 14,15.

14. Czy istnieje czworościan mający pięć prostych narożników?

(Nie, ponieważ w czterech tworzących się trójkątach mogą być tylko cztery kąty proste, co najwyżej po jednym w każdym).

15. Czy istnieje równoległościan, który ma:

A) Tylko jedna ściana jest prostokątem. (Nie, ponieważ przeciwne strony równoległościanu są równe).

B) Tylko dwie sąsiednie ściany są rombami. (Nie, tylko przeciwległe ściany mogą być diamentami).

V) Wszystkie kąty krawędzi są ostre. (Nie, równoległobok ma zarówno kąt ostry, jak i rozwarty, a każda ściana jest równoległobokiem).

G) Wszystkie kąty twarzy są prawidłowe. (Tak, w prostokątnym równoległościanie).

D) Liczba wszystkich ostre zakręty twarzy nie jest równa liczbie wszystkich kątów rozwartych twarzy. (Nie, na każdej ścianie jest równa ilość kątów ostrych i rozwartych).

III Wyjaśnienie nowego tematu.

Przejdźmy teraz do nowy temat. Zapisz temat lekcji. Cel dzisiejszej lekcji:

1. Zapoznanie się z podstawami rozwiązywania problemów polegających na konstruowaniu odcinków czworościanu i równoległościanu przez płaszczyznę.

2. Identyfikować rodzaje problemów przy konstruowaniu przekrojów.

3. Rozwijanie umiejętności rozwiązywania problemów polegających na konstruowaniu odcinków czworościanu i równoległościanu.

4. Kształtowanie wyobraźni przestrzennej.

Tak więc, aby rozwiązać wiele problemów geometrycznych związanych z czworościanem i równoległościanem, przydatna jest umiejętność narysowania ich przekrojów różne samoloty.

Co mamy na myśli płaszczyzna cięcia ? W podręczniku na stronie 27 znajdziemy odpowiedź na to pytanie.

Płaszczyzna tnąca nazwać dowolną płaszczyznę, po obu stronach której znajdują się punkty danego wielościanu.

Następna koncepcja to sekcja. I znowu zwracamy się o pomoc do podręcznika. Teraz spójrz, jak wygląda dokładna definicja sekcji.

v Gdzie znajdują się boki wielokąta będącego przekrojem?

v Gdzie znajdują się wierzchołki wielokąta będącego przekrojem?

Teraz odpowiedzmy na pytanie. Co to znaczy skonstruować odcinek wielościanu z płaszczyzną. Zatem w każdej ścianie skonstruujemy odcinki, wzdłuż których płaszczyzna cięcia przecina ściany.

Aby poprawnie skonstruować przekrój poprzeczny, trzeba umieć zastosować różne twierdzenia i właściwości. Odpowiedzmy na pytanie.

Które z tych stwierdzeń może być przydatne podczas konstruowania sekcji?

1. Jeżeli dwie płaszczyzny mają wspólny punkt, to przecinają się wzdłuż prostej zawierającej ten punkt.

2. Jeżeli prosta leżąca w jednej z przecinających się płaszczyzn przecina inną płaszczyznę, to przecina linię przecięcia płaszczyzn.

3. Jeżeli dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią, wówczas linie przecięcia płaszczyzn są równoległe.

4. Sieczna płaszczyzna przecina ścianę wielościanu wzdłuż linii przerywanej.

5. Na odcinku równoległościanu płaszczyzną może się okazać:

w segment

w trójkąt

w czworoboczny

w pięciokąt

w sześciokąt

w Siedmiokąt

Przypomnijmy sobie teraz jak zdefiniować płaszczyznę:

Podczas konstruowania sekcji ważne jest, aby wiedzieć:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" szerokość="559" wysokość="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" szerokość="564" wysokość="355 src=">

Teraz w podręczniku rozważymy główne zadania konstruowania sekcji. I tak zadanie pierwsze, w którym należy skonstruować odcinek czworościanu z trzech punktów należących do siecznej płaszczyzny, dwa z nich leżą w jednej płaszczyźnie, a trzeci w innej płaszczyźnie.
.jpg" szerokość="588" wysokość="359 src=">

Rozwiązywanie problemów. Sprawdzenie poprawności rozwiązania za pomocą slajdów.

V Podsumowanie lekcji.

Wyobraź sobie sytuację:

Twój kolega z klasy zachorował i opuścił lekcje, na których poruszany był temat „Konstruowanie przekrojów wielościanów”. Temat należy wyjaśnić przez telefon. Sformułuj algorytm krok po kroku.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" szerokość="600" wysokość="284 src=">

Teraz zrobię kilka testów. W ramach tego zadania musisz wykonać trzy zadania trzy minuty. Wybierz i zapisz liczbę rysunków przedstawiających prawidłowe przekroje czworościanu i równoległościanu oraz właściwy rysunek.

VI Praca domowa . nr 14, pytanie 16, nr 000,106. Wymyśl i rozwiąż jedno zadanie dotyczące budowy odcinka czworościanu lub równoległościanu.

Na tej lekcji przyjrzymy się czworościanowi i jego elementom (krawędź czworościanu, powierzchnia, ściany, wierzchołki). Rozwiążemy kilka problemów związanych z konstruowaniem przekrojów czworościanu, stosując ogólną metodę konstruowania przekrojów.

Temat: Równoległość linii i płaszczyzn

Lekcja: czworościan. Zagadnienia konstruowania przekrojów czworościanu

Jak zbudować czworościan? Weźmy dowolny trójkąt ABC. Dowolny punkt D, nie leżącego w płaszczyźnie tego trójkąta. Otrzymujemy 4 trójkąty. Powierzchnia utworzona przez te 4 trójkąty nazywana jest czworościanem (ryc. 1.). Wewnętrzne punkty ograniczone tą powierzchnią są również częścią czworościanu.

Ryż. 1. Czworościan ABCD

Elementy czworościanu
A,B, C, D - wierzchołki czworościanu.
AB, AC, OGŁOSZENIE, przed Chrystusem, BD, płyta CD - krawędzie czworościanu.
ABC, ABD, BDC, ADC - twarze czworościanu.

Komentarz: można brać na płasko ABC Do podstawa czworościanu, a następnie wskaż D Jest wierzchołek czworościanu. Każda krawędź czworościanu jest przecięciem dwóch płaszczyzn. Na przykład żebro AB- to jest przecięcie płaszczyzn ABD I ABC. Każdy wierzchołek czworościanu jest przecięciem trzech płaszczyzn. Wierzchołek A leży w płaszczyznach ABC, ABD, ADZ. Kropka A jest przecięciem trzech wyznaczonych płaszczyzn. Fakt ten zapisano w następujący sposób: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definicja czworościanu

Więc, tetraedr to powierzchnia utworzona przez cztery trójkąty.

Krawędź czworościanu- linia przecięcia dwóch płaszczyzn czworościanu.

Z 6 zapałek utwórz 4 równe trójkąty. Nie da się rozwiązać problemu w samolocie. A jest to łatwe do zrobienia w kosmosie. Weźmy czworościan. 6 zapałek to jego krawędzie, cztery ściany czworościanu i będzie ich cztery równe trójkąty. Problem został rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M należy do krawędzi czworościanu AB, punkt N należy do krawędzi czworościanu WD i okres R należy do krawędzi DZ(ryc. 2.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną MNP.

Ryż. 2. Rysunek do zadania 2 - Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy ścianę czworościanu DSłoneczny. Z tej strony N I P należą do twarzy DSłoneczny, a zatem czworościan. Ale zgodnie z warunkiem punktu N., P należą do płaszczyzny cięcia. Oznacza, N.P.- jest to linia przecięcia dwóch płaszczyzn: płaszczyzna twarzy DSłoneczny i płaszczyzna cięcia. Załóżmy, że linie proste N.P. I Słoneczny nie równolegle. Leżą w tej samej płaszczyźnie DSłoneczny. Znajdźmy punkt przecięcia linii N.P. I Słoneczny. Oznaczmy to mi(ryc. 3.).

Ryż. 3. Rysunek problemu 2. Znalezienie punktu E

Kropka mi należy do płaszczyzny przekroju MNP, ponieważ leży na prostej NP i linię prostą NP leży całkowicie w płaszczyźnie przekroju MNP.

Wskaż także mi leży w samolocie ABC, ponieważ leży na prostej Słoneczny z samolotu ABC.

Rozumiemy to EM- linia przecięcia płaszczyzn ABC I MNP, od punktów mi I M leżą jednocześnie w dwóch płaszczyznach - ABC I MNP. Połączmy kropki M I mi i jedź dalej prosto EM do przecięcia z linią AC. Punkt przecięcia linii EM I AC oznaczmy Q.

Więc w tym przypadku NPQМ- wymagana sekcja.

Ryż. 4. Rysunek problemu 2. Rozwiązanie problemu 2

Rozważmy teraz przypadek, kiedy N.P. równoległy przed Chrystusem. Jeśli prosto N.P. równolegle do jakiejś linii, na przykład linii prostej Słoneczny z samolotu ABC, potem prosto N.P. równolegle do całej płaszczyzny ABC.

Żądana płaszczyzna przekroju przechodzi przez linię prostą N.P., równolegle do płaszczyzny ABC, i przecina płaszczyznę po linii prostej MQ. Zatem linia przecięcia MQ równolegle do linii N.P.. Dostajemy, NPQМ- wymagana sekcja.

Kropka M leży na boku ADW tetraedr ABCD. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez ten punkt M równolegle do podstawy ABC.

Ryż. 5. Rysunek do zadania 3 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Płaszczyzna tnąca φ równolegle do płaszczyzny ABC zgodnie z warunkiem oznacza to, że ten samolot φ równolegle do linii AB, AC, Słoneczny.
W samolocie ABD przez punkt M zróbmy bezpośredni PQ równoległy AB(ryc. 5). Prosty PQ leży w samolocie ABD. Podobnie w samolocie ACD przez punkt R zróbmy bezpośredni PR równoległy AC. Mam rację R. Dwie przecinające się linie PQ I PR samolot PQR odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii AB I AC samolot ABC, czyli samoloty ABC I PQR równoległy. PQR- wymagana sekcja. Problem został rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M- punkt wewnętrzny, punkt na ścianie czworościanu ABD. N- punkt wewnętrzny odcinka DZ(ryc. 6.). Skonstruuj punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 6. Rysunek do zadania 4

Rozwiązanie:
Aby rozwiązać ten problem, zbudujemy płaszczyznę pomocniczą DMN. Niech będzie prosto DM przecina prostą AB w punkcie DO(ryc. 7.). Następnie, SKD- to jest fragment samolotu DMN i czworościan. W samolocie DMN kłamstwa i prosto N.M. i wynikową linię prostą SK. Więc jeśli N.M. nie równolegle SK, to w pewnym momencie się przetną R. Kropka R i pojawi się pożądany punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 7. Rysunek problemu 4. Rozwiązanie problemu 4

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. M- wewnętrzny punkt twarzy ABD. R- wewnętrzny punkt twarzy ABC. N- punkt wewnętrzny krawędzi DZ(ryc. 8.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, N I R.

Ryż. 8. Rysunek do zadania 5 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy pierwszy przypadek, gdy linia prosta MN nie jest równoległy do ​​płaszczyzny ABC. W poprzednim zadaniu znaleźliśmy punkt przecięcia prostej MN i samoloty ABC. O to właśnie chodzi DO, uzyskuje się to za pomocą płaszczyzny pomocniczej DMN, tj. prowadzimy DM i mamy punkt F. Wykonujemy CF i na skrzyżowaniu MN zdobywamy punkt DO.

Ryż. 9. Rysunek problemu 5. Znalezienie punktu K

Zróbmy bezpośredni KR. Prosty KR leży zarówno w płaszczyźnie przekroju, jak i w płaszczyźnie ABC. Zdobycie punktów P 1 I R2. Złączony P 1 I M i jako kontynuacja rozumiemy sedno M 1. Łączenie kropki R2 I N. W rezultacie otrzymujemy pożądaną sekcję P 1 P 2 NM 1. W pierwszym przypadku problem został rozwiązany.
Rozważmy drugi przypadek, gdy linia prosta MN równolegle do płaszczyzny ABC. Samolot MNP przechodzi przez linię prostą MN równolegle do płaszczyzny ABC i przecina płaszczyznę ABC wzdłuż jakiejś linii prostej R 1 R 2, potem prosto R 1 R 2 równolegle do danej linii MN(ryc. 10.).

Ryż. 10. Rysunek problemu 5. Wymagana sekcja

Teraz narysujmy linię prostą R1 M i mamy punkt M 1.P 1 P 2 NM 1- wymagana sekcja.

Przyjrzeliśmy się więc czworościanowi i rozwiązaliśmy kilka kwestii typowe zadania do czworościanu. W następnej lekcji przyjrzymy się równoległościanowi.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chory. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalizowany)

2. Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory. Geometria. Klasy 10-11: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - wydanie 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s. :il. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego obejmujący pogłębioną i specjalistyczną naukę matematyki

Dodatkowe zasoby internetowe

2. Jak skonstruować przekrój czworościanu. Matematyka ().

3. Festiwal idei pedagogicznych ().

Rozwiązuj w domu zadania na temat „Czworościan”, jak znaleźć krawędź czworościanu, ściany czworościanu, wierzchołki i powierzchnię czworościanu

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il. Zadania 18, 19, 20 s. 50

2. Punkt miżyłka MAMA tetraedr MAVS. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty B, C I mi.

3. W czworościanie MABC punkt M należy do ściany AMB, punkt P należy do ściany BMC, punkt K należy do krawędzi AC. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, R, K.

4. Jakie kształty można uzyskać w wyniku przecięcia czworościanu z płaszczyzną?

, slajdy 1-2)

    nauczyć się stosować aksjomaty stereometrii przy rozwiązywaniu problemów;

    nauczyć się znajdować położenie punktów przecięcia płaszczyzny cięcia z krawędziami czworościanu;

    główne metody konstruowania tych sekcji

    formularz aktywność poznawcza, umiejętność logicznego myślenia;

    stwarzać warunki do samokontroli zdobywania wiedzy i umiejętności.

Typ lekcji: Tworzenie nowej wiedzy.

Postęp lekcji

I. Moment organizacyjny

II. Aktualizowanie wiedzy uczniów

Badanie frontalne. (Aksjomaty stereometrii, własności płaszczyzn równoległych)

Słowo nauczyciela

Aby rozwiązać wiele problemów geometrycznych związanych z czworościanem, przydatna jest umiejętność ich narysowaniasekcje różne samoloty. (slajd 3). Zadzwońmypłaszczyzna cięcia czworościan to dowolna płaszczyzna, po obu stronach której znajdują się punkty danego czworościanu. Płaszczyzna cięcia przecina ściany czworościanu wzdłuż segmentów. Nazywa się wielokąt, którego bokami są te segmentyprzekrój czworościanu . Ponieważ czworościan ma cztery ściany, jego przekroje mogą składać się tylko z trójkątów i czworokątów. Należy również pamiętać, że aby skonstruować przekrój, wystarczy skonstruować punkty przecięcia płaszczyzny przekroju z krawędziami czworościanu, po czym pozostaje narysować odcinki łączące każde dwa skonstruowane punkty leżące na tej samej ścianie.

Na tej lekcji będziesz mógł szczegółowo przestudiować przekroje czworościanu i opanować metody konstruowania tych przekrojów. Poznasz pięć zasad konstruowania przekrojów wielościanów, nauczysz się znajdować położenie punktów przecięcia płaszczyzny cięcia z krawędziami czworościanu.

Aktualizacja koncepcji wspierających

    Pierwsza zasada. Jeżeli dwa punkty należą zarówno do płaszczyzny przecięcia, jak i płaszczyzny jakiejś ściany wielościanu, to prosta przechodząca przez te dwa punkty jest linią przecięcia płaszczyzny przecięcia z płaszczyzną tej ściany (konsekwencja aksjomatu o przecięcie płaszczyzn).

    Druga zasada . Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do pewnej płaszczyzny, to te dwie płaszczyzny przecinają się z dowolną ścianą wzdłuż równoległych linii (właściwość dwóch równoległych płaszczyzn przeciętych przez trzecią).

    Trzecia zasada. Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do linii leżącej w pewnej płaszczyźnie (na przykład płaszczyźnie jakiejś ściany), to linia przecięcia płaszczyzny cięcia z tą płaszczyzną (twarzą) jest równoległa do tej prostej (właściwość linia równoległa do płaszczyzny).

    Czwarta zasada. Płaszczyzna tnąca przecina równoległe ściany wzdłuż równoległych linii prostych (właściwość równoległych płaszczyzn przeciętych przez trzecią).

    Piąta zasada . Niech dwa punkty A i B należą do płaszczyzny cięcia, a punkty A 1 i B 1 są równoległymi rzutami tych punktów na jakąś ścianę. Jeśli proste AB i A 1 B 1 są równoległe, wówczas płaszczyzna cięcia przecina tę ścianę wzdłuż linii prostej równoległej do A 1 B 1 . Jeśli proste AB i A 1 B 1 przecinają się w pewnym punkcie, to punkt ten należy zarówno do płaszczyzny przecięcia, jak i płaszczyzny tej ściany (pierwsza część tego twierdzenia wynika z własności prostej równoległej do płaszczyzny, a druga wynika z dodatkowych właściwości równoległej występ).

III. Nauka nowego materiału (kształtowanie wiedzy, umiejętności)

Wspólne rozwiązywanie problemów z wyjaśnieniem (slajd 4)

Zadanie 1. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty K = AD, M = DS, E = BC.

Przyjrzyjmy się uważnie rysunkowi. Ponieważ punkty K i M należą do tej samej płaszczyzny, znajdujemy przecięcie płaszczyzny cięcia z powierzchnią ADS - jest to odcinek KM. Punkty M i E również leżą w tej samej płaszczyźnie, co oznacza, że ​​przecięciem płaszczyzny cięcia i powierzchni VDS jest odcinek ME. Znajdujemy punkt przecięcia prostych KM i AC, które leżą w tej samej płaszczyźnie ADS. Teraz punkt X leży na ścianie ABC, wówczas można go połączyć z punktem E. Rysujemy prostą XE, która przecina się z AB w punkcie P. Odcinek PE jest przecięciem płaszczyzny cięcia ze ścianą ABC, a odcinek KP jest przecięciem płaszczyzny cięcia ze ścianą ABC. Dlatego czworokąt KMER jest naszą pożądaną sekcją. Zapisz rozwiązanie w swoim notatniku:

Rozwiązanie.

    KM = α ∩ ADS

    ME = α ∩ VDS

    X = KM ∩ AC

    P = XE ∩ AB

    PE = α ∩ ABC

    KR = α ∩ PRZYSŁ

    KMER – sekcja wymagana

Zadanie 2. (slajd 5)

Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty K = ABC, M = VDS, N = AD

Rozważmy rzuty kilku dwóch punktów. W czworościanie rzuty punktów znajdują się od wierzchołka do płaszczyzny podstawy, tj. M → M 1 , N → A. Znalezienie przecięcia prostych NM i AM 1 punkt X. Punkt ten należy do płaszczyzny przecięcia, ponieważ leży na prostej NM, należy do płaszczyzny ABC, ponieważ leży na prostej AM 1 . Oznacza to, że teraz w płaszczyźnie ABC mamy dwa punkty, które można połączyć, otrzymujemy prostą KX. Prosta przecina bok BC w punkcie L i bok AB w punkcie H. W powierzchni ABC znajdujemy linię przecięcia, która przechodzi przez punkty H i K - to jest NL. W ścianie ABP linia przecięcia to НN, w ścianie VDS rysujemy linię przecięcia przez punkty L i M - to jest LQ, a w ścianie ADS otrzymujemy odcinek NQ. Wymaganą sekcją jest czworobok HNQL.

Rozwiązanie

    M → M 1 N → A

    X = NM ∩ AM 1

    L = KX ∩ BC

    H = KX ∩ AB

    НL = α ∩ АВС, К є НL

    НN = α ∩ АВД,

    LQ = α ∩ VDS, М є LQ

    NQ = α ∩ ADS

    HNQL – sekcja wymagana

IV. Konsolidacja wiedzy

Rozwiązanie problemu z późniejszą weryfikacją

Zadanie 3. (slajd 6)

Skonstruuj odcinek czworościanu DAWS z płaszczyzną przechodzącą przez punkty K є BC, M є ADV, N є VDS.

Rozwiązanie

    1. M → M 1 , N → N 1

    X = NM ∩ N 1 M 1

    R = KX ∩ AB

    RL = α ∩ АВД, М є RL

    KR = α ∩ VDS, N є KR

    LP = α ∩ ADS

    RLPK – sekcja wymagana

V. Niezależna praca(według opcji)

(slajd 7)

Zadanie 4. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M = AB, N = AC, K = AD.

Rozwiązanie

    KM = α ∩ AVD,

    МN = α ∩ АВС,

    KN = α ∩ ADS

    KMN – sekcja wymagana

Zadanie 5. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M = AB, K = DS, N = DV.

Rozwiązanie

    MN = α ∩ AVD

    NK = α ∩ VDS

    X = NK ∩ BC

    P = AC ∩ MX

    RK = α ∩ ADS

    MNKP – sekcja wymagana

Zadanie 6. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M = ABC, K = VD, N = DS

Rozwiązanie

    KN = α ∩ LÓD

    Х = КN ∩ ВС

    T = MX ∩ ABP = TX ∩ AC

    RT = α ∩ ABC, M є RT

    PN = α ∩ ADS

    TP N K – wymagany odcinek

VI. Podsumowanie lekcji.

(slajd 8)

Tak więc dzisiaj nauczyliśmy się konstruować najprostsze problemy na przekrojach czworościanu. Przypomnę, że przekrój wielościanu to wielokąt powstały w wyniku przecięcia wielościanu z określoną płaszczyzną. Sama płaszczyzna nazywana jest płaszczyzną tnącą. Konstruowanie przekroju oznacza określenie, które krawędzie przecina płaszczyzna cięcia, rodzaj powstałego przekroju oraz dokładne położenie punktów przecięcia płaszczyzny cięcia z tymi krawędziami. Oznacza to, że cele wyznaczone na lekcji zostały osiągnięte.

VII. Praca domowa.

(slajd 9)

Praca praktyczna „Konstruuj przekroje czworościanu” w formie elektronicznej lub papierowej. (Każdy otrzymał indywidualne zadanie