V matematiki se vprašanje, kako izluščiti koren, šteje za relativno preprosto. Če kvadrirate števila iz naravna serija: 1, 2, 3, 4, 5...n, potem dobimo naslednjo vrsto kvadratov: 1, 4, 9, 16...n 2. Vrstica kvadratov je neskončna in če jo natančno pogledate, boste videli, da v njej ni prav veliko celih števil. Zakaj je tako, bomo razložili malo kasneje.
Koren števila: pravila za izračun in primeri
Torej, kvadrirali smo število 2, torej ga pomnožili s samim seboj in dobili 4. Kako izluščiti koren števila 4? Recimo takoj, da so lahko korenine kvadratne, kubične in poljubne stopnje do neskončnosti.
Korenska stopnja – vedno naravno število, to pomeni, da je nemogoče rešiti takšno enačbo: koren na potenco 3,6 od n.
Kvadratni koren
Vrnimo se k vprašanju, kako izluščiti kvadratni koren iz 4. Ker smo kvadrirali število 2, bomo izluščili tudi kvadratni koren. Da bi pravilno izluščili koren iz 4, morate samo izbrati pravo število, ki bi na kvadrat dalo število 4. In to je seveda 2. Poglejte primer:
- 2 2 =4
- Koren iz 4 = 2
Ta primer je precej preprost. Poskusimo izvleči kvadratni koren iz 64. Katero število, pomnoženo s samim seboj, da 64? Očitno je 8.
- 8 2 =64
- Koren iz 64=8
Kockasti koren
Kot je bilo rečeno zgoraj, koreni niso samo kvadratni; na primeru bomo poskušali bolj jasno razložiti, kako jih izluščiti kockasti koren ali tretji koren. Načelo pridobivanja kubičnega korena je enako kot pri kvadratnem korenu, razlika je le v tem, da je bilo zahtevano število sprva pomnoženo samo s seboj ne enkrat, ampak dvakrat. To pomeni, da smo vzeli naslednji primer:
- 3x3x3=27
- Seveda je kubični koren iz 27 tri:
- Koren 3 od 27 = 3
Recimo, da morate najti kubični koren iz 64. Za rešitev te enačbe je dovolj, da poiščete število, ki bi, če bi ga povišali na tretjo potenco, dalo 64.
- 4 3 =64
- Koren 3 od 64 = 4
Izluščite koren števila na kalkulatorju
Seveda pa se je najbolje naučiti izvleči kvadratne, kockaste in druge korene z vajo, z reševanjem številnih primerov in pomnjenjem tabel kvadratov in kock majhnih števil. V prihodnosti bo to močno olajšalo in skrajšalo čas reševanja enačb. Čeprav je treba opozoriti, da je včasih potrebno izvleči koren takega veliko število da bi bilo iskanje pravilnega števila na kvadrat zelo težko, če bi bilo sploh mogoče. Običajni kalkulator bo priskočil na pomoč pri pridobivanju kvadratnega korena. Kako izluščiti koren na kalkulatorju? Zelo preprosto vnesite številko, iz katere želite najti rezultat. Zdaj pa natančno poglejte gumbe kalkulatorja. Tudi najpreprostejši med njimi ima ključ s korensko ikono. S klikom nanj boste takoj dobili končni rezultat.
Vsake številke ni mogoče izluščiti cela korenina, razmislite o naslednjem primeru:
Koren iz 1859 = 43,116122…
Ta primer lahko hkrati poskusite rešiti na kalkulatorju. Kot lahko vidite, dobljeno število ni celo število; poleg tega nabor števk za decimalno vejico ni končen. Posebni inženirski kalkulatorji lahko dajo natančnejši rezultat, vendar se celoten rezultat preprosto ne prilega na zaslon navadnih. In če nadaljujete niz kvadratov, ki ste ga začeli prej, v njem ne boste našli števila 1859 ravno zato, ker število, ki je bilo kvadrirano, da bi ga dobili, ni celo število.
Če morate izvleči tretjo korenino preprost kalkulator, potem morate dvakrat klikniti gumb s korenskim znakom. Na primer, vzemite zgoraj uporabljeno številko 1859 in iz nje vzemite kubični koren:
Koren 3 iz 1859 = 6,5662867…
To pomeni, da če številko 6,5662867 ... dvignemo na tretjo potenco, potem dobimo približno 1859. Tako pridobivanje korenin iz števil ni težko, le spomniti se morate zgornjih algoritmov.
V predgovoru k svoji prvi izdaji "V kraljestvu iznajdljivosti" (1908) E. I. Ignatiev piše: "... intelektualne pobude, hitre pameti in "iznajdljivosti" ni mogoče nikomur "vrtati" v glavo. Rezultati so zanesljivi le, če je uvod v področje matematičnega znanja narejen na enostaven in prijeten način, s predmeti in primeri iz običajnih in vsakdanjih situacij, izbranih s primerno duhovitostjo in zabavo.«
V predgovoru k izdaji iz leta 1911 "Vloga spomina v matematiki" E.I. Ignatiev piše: "... v matematiki si ni treba zapomniti formul, ampak proces razmišljanja."
Za pridobivanje kvadratnega korena obstajajo tabele kvadratov za dvomestna števila; glavni dejavniki in izvlecite kvadratni koren produkta. Tabela kvadratov včasih ni dovolj, pridobivanje korena s faktorizacijo je zamudno opravilo, ki tudi ne vodi vedno do želenega rezultata. Poskusite vzeti kvadratni koren iz 209764? Faktoriranje na prafaktorje da produkt 2*2*52441. S poskusi in napakami, izbira - to je seveda mogoče storiti, če ste prepričani, da je to celo število. Metoda, ki jo želim predlagati, vam omogoča, da v vsakem primeru vzamete kvadratni koren.
Nekoč so nas na inštitutu (Permski državni pedagoški inštitut) seznanili s to metodo, o kateri zdaj želim govoriti. Nikoli se nisem spraševal, ali ima ta metoda dokaz, zato sem moral zdaj nekaj dokazov izpeljati sam.
Osnova te metode je sestava števila =.
=&, tj. & 2 =596334.
1. Število (5963364) razdelite na pare od desne proti levi (5`96`33`64)
2. Izluščite kvadratni koren prve skupine na levi (- številka 2). Tako dobimo prvo števko &.
3. Poiščite kvadrat prve števke (2 2 =4).
4. Poiščite razliko med prvo skupino in kvadratom prve števke (5-4=1).
5. Odpišemo naslednji dve števki (dobimo številko 196).
6. Podvojimo prvo najdeno števko in jo zapišemo levo za črto (2*2=4).
7. Sedaj moramo poiskati drugo števko števila &: podvojitev prve števke, ki smo jo našli, postane desetica števila, ki jo pomnožimo s številom enot, moramo dobiti število, manjše od 196 (to je število 4, 44*4=176). 4 je druga številka &.
8. Poišči razliko (196-176=20).
9. Rušimo naslednjo skupino (dobimo številko 2033).
10. Podvojimo število 24, dobimo 48.
V številu je 11,48 desetic, ko jih pomnožimo s številom enic, bi morali dobiti število manjše od 2033 (484*4=1936). Enica, ki smo jo našli (4), je tretja številka števila &.
Podal sem dokazila za naslednje primere:
1. Izvleček kvadratnega korena trimestnega števila;
2. Izvleček kvadratnega korena štirimestnega števila.
Približne metode pridobivanja kvadratnih korenov (brez uporabe kalkulatorja).
1. Stari Babilonci so uporabili naslednjo metodo, da bi našli približno vrednost kvadratnega korena svojega števila x. Število x sta predstavila kot vsoto a 2 + b, kjer je a 2 natančen kvadrat naravnega števila a (a 2 ? x), ki je najbližje številu x, in uporabila formulo 
. (1)
S formulo (1) izvlečemo na primer kvadratni koren iz števila 28:
Rezultat pridobivanja korena 28 z uporabo MK je 5,2915026.
Kot vidimo, daje babilonska metoda dober približek natančna vrednost korenina
2. Isaac Newton je razvil metodo za pridobivanje kvadratnih korenov, ki sega v Herona iz Aleksandrije (okoli 100 AD). Ta metoda (znana kot Newtonova metoda) je naslednja.
Naj a 1- prvi približek števila (kot 1 lahko vzamete vrednosti kvadratnega korena naravnega števila - natančen kvadrat ne presega X) .
Nato natančnejši približek a 2številke
najdemo s formulo 
.
Korenske formule. Lastnosti kvadratnih korenov.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
V prejšnji lekciji smo ugotovili, kaj je kvadratni koren. Čas je, da ugotovimo, kateri obstajajo formule za korenine kaj so lastnosti korenin, in kaj se da narediti z vsem tem.
Formule korenin, lastnosti korenin in pravila za delo s koreninami- to je v bistvu ista stvar. Obstaja presenetljivo malo formul za kvadratne korene. Kar me zagotovo veseli! Oziroma lahko napišete veliko različnih formul, a za praktično in samozavestno delo s koreninami so dovolj le tri. Vse ostalo izhaja iz teh treh. Čeprav se mnogi zmedejo v formulah treh korenin, ja...
Začnimo z najpreprostejšim. Tukaj je:
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Bibliografski opis: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Metode pridobivanja kvadratnega korena // Mladi znanstvenik. 2017. št. 2.2. Str. 76-77..02.2019).
Ključne besede : kvadratni koren, ekstrakcija kvadratnega korena.
Pri pouku matematike sem se seznanil s pojmom kvadratni koren, ter operacijo izluščitve kvadratnega korena. Zanimalo me je, ali je izvlekanje kvadratnega korena možno samo s pomočjo tabele kvadratov, s pomočjo kalkulatorja ali obstaja možnost, da ga izvlečem ročno. Našel sem več načinov: formula Stari Babilon, preko reševanja enačb, metoda zavrženja polni kvadrat, Newtonova metoda, geometrijska metoda, grafična metoda (, ), metoda ugibanja, metoda odštevanja lihih števil.
Razmislite o naslednjih metodah:
Razložimo na prafaktorje z uporabo merila deljivosti 27225=5*5*3*3*11*11. torej
- TO Kanadska metoda. to hitra metoda so odkrili mladi znanstveniki na eni od vodilnih kanadskih univerz v 20. stoletju. Njegova natančnost ni večja od dveh do treh decimalnih mest.
kjer je x število, iz katerega je treba izluščiti koren, c je število najbližjega kvadrata), na primer:
=5,92
- V stolpcu. Ta metoda vam omogoča, da poiščete približno vrednost korena katerega koli realnega števila s poljubno vnaprej določeno natančnostjo. Slabosti te metode vključujejo naraščajočo kompleksnost izračuna, saj se število najdenih števk povečuje. Za ročno ekstrahiranje korena se uporablja zapis, podoben dolgemu deljenju
Algoritem kvadratnega korena
1. Ločeno od vejice ločimo ulomek in celo število na meji dvomestne številke v vsakem obrazu ( poljub del - od desne proti levi; ulomek- od leve proti desni). Možno je, da celo število vsebuje eno števko, ulomek pa ničle.
2. Ekstrakcija se začne od leve proti desni in izberemo število, katerega kvadrat ne presega števila v prvi strani. To število kvadriramo in zapišemo pod številko na prvi strani.
3. Poišči razliko med številom na prvi strani in kvadratom izbranega prvega števila.
4. Naslednji razliki dodamo naslednji rob, dobljeno število bo deljivo. Izobražujmo se delilnik. Prvo izbrano števko odgovora podvojimo (pomnožimo z 2), dobimo število desetic delitelja, število enot pa naj bo takšno, da njegov zmnožek s celotnim deliteljem ne presega dividende. Izbrano številko zapišemo kot odgovor.
5. Vzamemo naslednji rob do nastale razlike in izvedemo dejanja v skladu z algoritmom. Če se izkaže, da je ta ploskev ploskev ulomka, potem v odgovor postavimo vejico. (Slika 1.)
|
|
|
S to metodo lahko izločite števila z različnimi natančnostmi, na primer do tisočink. (slika 2)
Ob upoštevanju različne načineČe izvlečemo kvadratni koren, lahko sklepamo: v vsakem posameznem primeru se morate odločiti za izbiro najučinkovitejšega, da boste porabili manj časa za reševanje
Literatura:
- Kiselev A. Elementi algebre in analize. Prvi del.-M.-1928
Ključne besede: square root, kvadratni koren.
Opomba: Članek opisuje metode pridobivanja kvadratnih korenov in podaja primere pridobivanja korenov.