A. Naj sta podani dve premici. Te premice, kot je navedeno v 1. poglavju, tvorijo različne pozitivne in negativne kote, ki so lahko ostri ali topi. Če poznamo enega od teh kotov, zlahka najdemo katerega koli drugega.
Mimogrede, za vse te kote je številčna vrednost tangente enaka, razlika je lahko le v znaku
Enačbe premic. Številke so projekcije smernih vektorjev prve in druge premice, ki so enake enemu od kotov, ki jih tvorijo premice. Zato se problem zmanjša na določitev kota med vektorji, ki jih dobimo
Zaradi poenostavitve se lahko strinjamo, da kot med dvema ravnima črtama razumemo kot oster pozitivni kot (kot na primer na sliki 53).
Potem bo tangens tega kota vedno pozitiven. Če je torej na desni strani formule (1) znak minus, ga moramo zavreči, torej shraniti samo absolutno vrednost.
Primer. Določite kot med ravnimi črtami
Po formuli (1) imamo
z. Če je označeno, katera od stranic kota je njegov začetek in katera je njegov konec, potem lahko iz formule (1) vedno izluščimo smer kota v nasprotni smeri urinega kazalca. Kot je enostavno videti iz sl. 53 bo znak, dobljen na desni strani formule (1), pokazal, kakšen kot - oster ali tup - tvori druga ravna črta s prvo.
(Dejansko na sliki 53 vidimo, da je kot med prvim in drugim smernim vektorjem enak želenemu kotu med ravnima črtama ali pa se od njega razlikuje za ±180°.)
d. Če sta premici vzporedni, potem sta njuna smerna vektorja vzporedna. Če uporabimo pogoj vzporednosti dveh vektorjev, dobimo!
To je nujen in zadosten pogoj za vzporednost dveh premic.
Primer. Neposredno
so vzporedni, ker
e. Če sta premici pravokotni, sta pravokotna tudi njuna smerna vektorja. Z uporabo pogoja pravokotnosti dveh vektorjev dobimo pogoj pravokotnosti dveh premic, in sicer
Primer. Neposredno
so pravokotni zaradi dejstva, da
V povezavi s pogoji vzporednosti in pravokotnosti bomo rešili naslednja dva problema.
f. Skozi točko nariši premico, ki je vzporedna z dano premico
Rešitev se izvaja takole. Ker je želena premica vzporedna s to premico, potem lahko za njen smerni vektor vzamemo enakega kot dana premica, to je vektor s projekcijama A in B. In potem bo enačba želene premice zapisana v obrazec (§ 1)
Primer. Enačba premice, ki poteka skozi točko (1; 3) vzporedno s premico
naslednji bo!
g. Skozi točko nariši premico, pravokotno na dano premico
Pri tem ni več primerno vzeti vektorja s projekcijama A in za vodilni vektor, ampak je treba vzeti vektor pravokoten nanj. Projekcije tega vektorja moramo torej izbrati glede na pogoj pravokotnosti obeh vektorjev, tj.
Ta pogoj je mogoče izpolniti na nešteto načinov, saj je tukaj ena enačba z dvema neznankama. Najlažje pa je, da jo vzamemo v obliki
Primer. Enačba premice, ki poteka skozi točko (-7; 2) v pravokotni premici
bo naslednje (po drugi formuli)!
h. V primeru, ko so premice podane z enačbami oblike
Oh-oh-oh-oh-oh ... no, težko je, kot da bi sam sebi bral stavek =) Vendar bo sprostitev kasneje pomagala, sploh ker sem danes kupila ustrezne dodatke. Zato pojdimo na prvi del, upam, da bom do konca članka ohranil veselo razpoloženje.
Relativni položaj dveh ravnih črt
To je v primeru, ko občinstvo zapoje v zboru. Dve ravni črti lahko:
1) ujemanje;
2) biti vzporedna: ;
3) ali sekajo v eni točki: .
Pomoč za telebane : Zapomnite si matematični znak križišča, pojavljal se bo zelo pogosto. Zapis pomeni, da se premica seka s premico v točki .
Kako določiti relativni položaj dveh črt?
Začnimo s prvim primerom:
Dve premici sovpadata, če in samo če sta njuna ustrezna koeficienta sorazmerna, to pomeni, da obstaja število "lambda", tako da so enakosti izpolnjene
Oglejmo si premice in iz ustreznih koeficientov sestavimo tri enačbe: . Iz vsake enačbe sledi, da torej te premice sovpadajo.
Dejansko, če so vsi koeficienti enačbe 
pomnožite z –1 (spremenite predznake) in vse koeficiente enačbe 
zmanjšano za 2, dobite isto enačbo: .
Drugi primer, ko sta črti vzporedni:
Dve premici sta vzporedni, če in samo če sta njuna koeficienta spremenljivk sorazmerna: 
, Ampak.
Kot primer razmislite o dveh ravnih črtah. Preverimo sorazmernost ustreznih koeficientov za spremenljivke: 
Vendar pa je povsem očitno, da.
In tretji primer, ko se črte sekajo:
Dve premici se sekata, če in samo če njuni koeficienti spremenljivk NISO sorazmerni, to pomeni, da NI take vrednosti "lambda", da so enakosti izpolnjene 
Torej, za ravne črte bomo ustvarili sistem: 
Iz prve enačbe sledi , iz druge enačbe pa: , kar pomeni sistem je nedosleden(brez rešitev). Tako koeficienti spremenljivk niso sorazmerni.
Zaključek: črte se sekajo
Pri praktičnih problemih lahko uporabite shemo rešitev, o kateri smo pravkar razpravljali. Mimogrede, zelo spominja na algoritem za preverjanje kolinearnosti vektorjev, ki smo si ga ogledali v razredu Koncept linearne (ne)odvisnosti vektorjev. Osnova vektorjev. Vendar obstaja bolj civilizirana embalaža:
Primer 1
Ugotovite relativne položaje črt: 
rešitev na podlagi preučevanja usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:
a) Iz enačb poiščemo smerne vektorje premic: 
.
, kar pomeni, da vektorji niso kolinearni in se premice sekajo.
Za vsak slučaj bom na razpotje postavil kamen z znaki:
Ostali skočijo čez kamen in sledijo naprej, naravnost do Kaščeja Nesmrtnega =)
b) Poiščite smerne vektorje premic: 
Premici imata enak smerni vektor, kar pomeni, da sta vzporedni ali sovpadajoči. Tukaj ni treba šteti determinante.
Očitno je, da so koeficienti neznank sorazmerni in .
Ugotovimo, ali enakost velja: 
torej
c) Poiščite smerne vektorje premic: 
Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz koordinat teh vektorjev: 
, zato so smerni vektorji kolinearni. Črte so vzporedne ali pa sovpadajo.
Proporcionalni koeficient "lambda" je enostavno videti neposredno iz razmerja vektorjev kolinearne smeri. Lahko pa ga najdemo tudi preko koeficientov samih enačb: 
.
Zdaj pa ugotovimo, ali enakost drži. Oba prosta izraza sta nič, torej:
Dobljena vrednost ustreza ta enačba(katera koli številka ga na splošno zadovolji).
Tako črte sovpadajo.
Odgovori:
Kmalu se boste naučili (ali ste se že naučili) rešiti problem, o katerem govorite ustno, dobesedno v nekaj sekundah. V zvezi s tem ne vidim smisla ponujati ničesar za neodvisno rešitev, bolje je postaviti še eno pomembno opeko v geometrijski temelj:
Kako zgraditi premico, ki je vzporedna z dano?
Zaradi nevednosti tega najpreprostejša naloga Slavček razbojnik strogo kaznuje.
Primer 2
Ravna črta je podana z enačbo. Napišite enačbo za vzporedno premico, ki poteka skozi točko.
rešitev: Neznano vrstico označimo s črko . Kaj stanje pove o njej? Premica poteka skozi točko. In če sta črti vzporedni, potem je očitno, da je smerni vektor ravne črte "tse" primeren tudi za konstrukcijo ravne črte "de".
Iz enačbe vzamemo smerni vektor:
Odgovori:
Primer geometrije je videti preprost: 
Analitično testiranje je sestavljeno iz naslednjih korakov:
1) Preverimo, ali imata premici enak smerni vektor (če enačba premice ni pravilno poenostavljena, bosta vektorja kolinearna).
2) Preverite, ali točka ustreza nastali enačbi.
V večini primerov je analitično testiranje enostavno opraviti ustno. Poglejte obe enačbi in mnogi boste hitro ugotovili vzporednost premic brez risbe.
Primeri za samostojne rešitve danes bodo ustvarjalni. Ker boste še vedno morali tekmovati z Babo Yago, in ona, veste, je ljubiteljica vseh vrst ugank.
Primer 3
Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točko, ki je vzporedna s premico
Obstaja racionalen in manj racionalen način za rešitev. večina bližnjica- na koncu lekcije.
Malo smo delali z vzporednimi črtami in se bomo k njim vrnili kasneje. Primer sovpadajočih črt ni zanimiv, zato razmislimo o problemu, ki vam je znan iz šolski kurikulum:
Kako najti presečišče dveh črt?
Če naravnost 
sekata v točki , potem so njegove koordinate rešitev sistemi linearnih enačb 
Kako najti presečišče črt? Reši sistem.
Izvolite geometrijski pomen sistemi dveh linearne enačbe z dvema neznankama- to sta dve sekajoči se (najpogosteje) premici na ravnini.
Primer 4
Poiščite presečišče črt
rešitev: Obstajata dva načina reševanja - grafični in analitični.
Grafična metoda je, da preprosto narišete dane črte in ugotovite presečišče neposredno iz risbe: 
Tukaj je naša poanta: . Če želite preveriti, morate njene koordinate nadomestiti z vsako enačbo premice; Z drugimi besedami, koordinate točke so rešitev sistema. V bistvu smo si ogledali grafično rešitev sistemi linearnih enačb z dvema enačbama, dvema neznankama.
Grafična metoda seveda ni slaba, vendar so opazne slabosti. Ne, ne gre za to, da se sedmošolci tako odločijo, gre za to, da bo za izdelavo pravilne in NATANČNE risbe potreben čas. Poleg tega nekaterih ravnih črt ni tako enostavno zgraditi, sama presečišča pa se lahko nahajajo nekje v tridesetem kraljestvu zunaj lista zvezka.
Zato je presečišče smotrneje iskati z analitično metodo. Rešimo sistem: 
Za rešitev sistema je bila uporabljena metoda seštevanja enačb po členih. Če želite razviti ustrezne veščine, vzemite lekcijo Kako rešiti sistem enačb?
Odgovori:
Preverjanje je trivialno - koordinate presečišča morajo zadostiti vsaki enačbi sistema.
Primer 5
Poiščite presečišče premic, če se sekajo.
To je primer, ki ga morate rešiti sami. Nalogo je priročno razdeliti na več stopenj. Analiza stanja kaže, da je potrebno:
1) Zapišite enačbo premice.
2) Zapišite enačbo premice.
3) Ugotovite relativni položaj črt.
4) Če se črti sekata, poiščite točko presečišča.
Razvoj akcijskega algoritma je značilen za številne geometrijske probleme in na to se bom večkrat osredotočil.
Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije:
Niti par čevljev ni bil obrabljen, preden smo prišli do drugega dela lekcije:
Pravokotne črte. Razdalja od točke do črte.
Kot med ravnimi črtami
Začnimo s tipičnim in zelo pomembna naloga. V prvem delu smo se naučili zgraditi ravno črto, vzporedno s to, zdaj pa se bo koča na piščančjih nogah obrnila za 90 stopinj:
Kako zgraditi premico, pravokotno na dano?
Primer 6
Ravna črta je podana z enačbo. Napiši enačbo pravokotno na premico, ki poteka skozi točko.
rešitev: Po pogoju je znano, da . Lepo bi bilo najti usmerjevalni vektor premice. Ker so črte pravokotne, je trik preprost:
Iz enačbe »odstranimo« normalni vektor: , ki bo usmerjevalni vektor premice.
Sestavimo enačbo premice z uporabo točke in smernega vektorja:
Odgovori: 
Razširimo geometrijsko skico:
Hmmm ... Oranžno nebo, oranžno morje, oranžna kamela.
Analitično preverjanje rešitve:
1) Iz enačb izvzamemo smerne vektorje 
in s pomočjo skalarni produkt vektorjev pridemo do zaključka, da so premice res pravokotne: .
Mimogrede, lahko uporabite običajne vektorje, še lažje je.
2) Preverite, ali točka ustreza nastali enačbi 
.
Test je spet enostavno izvesti ustno.
Primer 7
Poiščite presečišče pravokotnih premic, če je enačba znana 
in pika.
To je primer, ki ga morate rešiti sami. V problemu je več dejanj, zato je priročno oblikovati rešitev po točkah.
Naš razburljivo potovanje nadaljuje:
Razdalja od točke do črte
Pred nami je raven rečni pas in naša naloga je, da pridemo do njega po najkrajši poti. Ni ovir, najbolj optimalna pot pa bo premikanje pravokotno. To pomeni, da je razdalja od točke do črte dolžina pravokotnega segmenta.
Razdalja v geometriji se tradicionalno označuje z grško črko "rho", na primer: – razdalja od točke "em" do premice "de".
Razdalja od točke do črte 
izraženo s formulo
Primer 8
Poiščite razdaljo od točke do črte 
rešitev: vse kar morate storiti je, da številke previdno vstavite v formulo in izvedete izračune:
Odgovori: 
Naredimo risbo: 
Najdena razdalja od točke do črte je natanko dolžina rdečega segmenta. Če na karirasti papir narišete risbo v merilu 1 enote. = 1 cm (2 celici), potem lahko razdaljo izmerimo z navadnim ravnilom.
Oglejmo si še eno nalogo, ki temelji na isti risbi:
Naloga je najti koordinate točke, ki je simetrična točki glede na premico 
. Predlagam, da korake izvedete sami, vendar bom orisal algoritem rešitve z vmesnimi rezultati:
1) Poišči premico, ki je pravokotna na premico.
2) Poiščite presečišče črt: 
.
Oba dejanja sta podrobno obravnavana v tej lekciji.
3) Točka je razpolovna točka odseka. Poznamo koordinate sredine in enega od koncev. Avtor: formule za koordinate razpolovišča odseka najdemo.
Dobro bi bilo preveriti, ali je tudi razdalja 2,2 enote.
Tukaj se lahko pojavijo težave pri izračunih, vendar je mikrokalkulator v veliko pomoč pri stolpu, saj vam omogoča izračun navadni ulomki. Večkrat sem vam svetoval in vam bom še enkrat.
Kako najti razdaljo med dvema vzporednima črtama?
Primer 9
Poišči razdaljo med dvema vzporednima premicama
To je še en primer, za katerega se lahko odločite sami. Malo vam bom namignil: obstaja neskončno veliko načinov, kako to rešiti. Povzetek na koncu lekcije, vendar je bolje, da poskusite uganiti sami, mislim, da je bila vaša iznajdljivost dobro razvita.
Kot med dvema ravnima črtama
Vsak kotiček je zastoj: 
Kot med dvema premicama se v geometriji šteje za MANJŠI kot, iz česar samodejno sledi, da ne more biti top. Na sliki se kot, označen z rdečim lokom, ne šteje za kot med sekajočima se črtama. In njegov “zeleni” sosed oz nasprotno usmerjeni"malin" kotiček.
Če sta premici pravokotni, lahko za kot med njima vzamemo katerega koli od 4 kotov.
Kako se koti razlikujejo? Orientacija. Prvič, bistveno je pomembna smer, v katero se kot "pomika". Drugič, negativno usmerjen kot je zapisan z znakom minus, na primer, če .
Zakaj sem ti to povedal? Zdi se, da se lahko znajdemo z običajnim konceptom kota. Dejstvo je, da lahko formule, s katerimi bomo iskali kote, zlahka privedejo do negativnega rezultata, kar vas ne bi smelo presenetiti. Kot z znakom minus ni nič slabši in ima zelo specifičen geometrijski pomen. Na risbi pri negativnem kotu s puščico (v smeri urinega kazalca) označite njegovo usmerjenost.
Kako najti kot med dvema ravnima črtama? Obstajata dve delovni formuli:
Primer 10
Poiščite kot med črtami
rešitev in Prva metoda
Razmislite o dveh ravnih črtah, podane z enačbami V splošni pogled:
Če naravnost ne pravokotno, To usmerjeno Kot med njima lahko izračunamo po formuli: 
Najbolj velika pozornost obrnimo na imenovalec - točno to je pikasti izdelek usmerjevalni vektorji ravnih črt:
Če , potem imenovalec formule postane nič, vektorji pa bodo pravokotni in premice pravokotne. Zato je bil pridržek glede nepravokotnosti ravnih črt v formulaciji.
Na podlagi zgoraj navedenega je priročno formalizirati rešitev v dveh korakih:
1) Izračunajmo pikasti izdelek usmerjevalni vektorji ravnih črt:
, kar pomeni, da črte niso pravokotne.
2) Poiščite kot med ravnimi črtami po formuli:
Z uporabo inverzna funkcija Sam kotiček je enostavno najti. V tem primeru uporabimo neparnost arktangensa (glej. Grafi in lastnosti elementarnih funkcij):
Odgovori: 
V odgovoru navedemo natančna vrednost, kot tudi približno vrednost (po možnosti v stopinjah in radianih), izračunano s kalkulatorjem.
No, minus, minus, nič hudega. Tukaj je geometrijska ilustracija: 
Ni presenetljivo, da se je izkazalo, da ima kot negativno orientacijo, saj je v izjavi problema prva številka ravna črta in "odvijanje" kota se je začelo prav z njo.
Če res želite dobiti pozitiven kot, morate premice zamenjati, to je vzeti koeficiente iz druge enačbe 
, in vzemite koeficiente iz prve enačbe. Skratka, začeti morate z neposrednim 
.
Ta material je posvečen konceptu kota med dvema sekajočima se črtama. V prvem odstavku bomo razložili, kaj to je, in to prikazali v ilustracijah. Nato bomo pogledali, kako lahko najdete sinus, kosinus tega kota in sam kot (ločeno bomo obravnavali primere z ravnino in tridimenzionalnim prostorom), podali bomo potrebne formule in s primeri pokazali, kako natančno so uporabljajo v praksi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Da bi razumeli, kaj je kot, ki nastane pri sekanju dveh premic, se moramo spomniti same definicije kota, pravokotnosti in presečišča.
Definicija 1
Dve premici pravimo sekajoči se, če imata eno skupno točko. To točko imenujemo točka presečišča dveh premic.
Vsaka premica je s presečiščem razdeljena na žarke. Obe ravni črti tvorita 4 kote, od katerih sta dva navpična, dva pa sosednja. Če poznamo mero enega od njih, potem lahko določimo preostale.
Recimo, da vemo, da je eden od kotov enak α. V tem primeru bo tudi kot, ki je navpičen glede na to, enak α. Da bi našli preostale kote, moramo izračunati razliko 180 ° - α. Če je α enako 90 stopinj, bodo vsi koti pravi koti. Črte, ki se sekajo pod pravim kotom, imenujemo pravokotne (konceptu pravokotnosti je posvečen ločen članek).
Oglejte si sliko:
Pojdimo k oblikovanju glavne definicije.
Definicija 2
Kot, ki ga tvorita dve sekajoči se premici, je mera manjšega od 4 kotov, ki tvorita ti dve premici.
Iz definicije je treba potegniti pomemben zaključek: velikost kota bo v tem primeru izražena s poljubnim realnim številom v intervalu (0, 90]. Če sta črti pravokotni, bo kot med njima v vsakem primeru enak enako 90 stopinj.
Sposobnost iskanja mere kota med dvema sekajočima se premicama je uporabna za reševanje številnih praktičnih problemov. Način rešitve je mogoče izbrati med več možnostmi.
Za začetek lahko uporabimo geometrijske metode. Če vemo nekaj o dodatnih kotih, jih lahko povežemo s kotom, ki ga potrebujemo, z uporabo lastnosti enakih ali podobnih likov. Na primer, če poznamo stranice trikotnika in moramo izračunati kot med premicami, na katerih se nahajajo te stranice, potem je kosinusni izrek primeren za našo rešitev. Če imamo pogoj pravokotni trikotnik, potem bomo za izračune potrebovali tudi znanje sinusa, kosinusa in tangensa kota.
Tudi koordinatna metoda je zelo priročna za reševanje tovrstnih problemov. Naj pojasnimo, kako ga pravilno uporabljati.
Imamo pravokotni (kartezični) koordinatni sistem O x y, v katerem sta podani dve premici. Označimo jih s črkama a in b. Ravne črte je mogoče opisati z nekaterimi enačbami. Prvotne črte imajo presečišče M. Kako določiti zahtevani kot (označimo ga z α) med temi premicami?
Začnimo z oblikovanjem osnovnega principa iskanja kota pod danimi pogoji.
Vemo, da je koncept ravne črte tesno povezan s konceptoma, kot sta smerni vektor in normalni vektor. Če imamo enačbo določene premice, lahko iz nje vzamemo koordinate teh vektorjev. To lahko naredimo za dve sekajoči se premici hkrati.
Kot, ki ga povezujeta dve sekajoči se črti, lahko najdete z:
- kot med smernimi vektorji;
- kot med normalnimi vektorji;
- kot med normalnim vektorjem ene premice in smernim vektorjem druge.
Zdaj pa si poglejmo vsako metodo posebej.
1. Predpostavimo, da imamo premico a s smernim vektorjem a → = (a x, a y) in premico b s smernim vektorjem b → (b x, b y). Zdaj narišimo dva vektorja a → in b → iz presečišča. Po tem bomo videli, da se bodo nahajali vsak na svoji ravni liniji. Nato imamo štiri možnosti za njihovo relativno razporeditev. Glej sliko:
Če kot med dvema vektorjema ni top, potem bo to kot, ki ga potrebujemo med sekajočima se premicama a in b. Če je top, bo želeni kot enak kotu, ki meji na kot a →, b → ^. Tako je α = a → , b → ^, če je a → , b → ^ ≤ 90 ° , in α = 180 ° - a → , b → ^, če je a → , b → ^ > 90 ° .
Na podlagi dejstva, da so kosinusi enaki koti enaki, lahko nastale enakosti prepišemo takole: cos α = cos a → , b → ^ , če je a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, če je a →, b → ^ > 90 °.
V drugem primeru so bile uporabljene redukcijske formule. torej
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Zapišimo zadnjo formulo z besedami:
Definicija 3
Kosinus kota, ki ga tvorita dve sekajoči se ravni črti, bo enak modulu kosinusa kota med njunima smernima vektorjema.
Splošna oblika formule za kosinus kota med dvema vektorjema a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y) je videti takole:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Iz nje lahko izpeljemo formulo za kosinus kota med dvema danima premicama:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Nato lahko sam kot najdete z naslednjo formulo:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tu sta a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y) smerna vektorja danih premic.
Navedimo primer rešitve problema.
Primer 1
V pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini sta podani sekajoči se premici a in b. Lahko jih opišemo s parametričnimi enačbami x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R in x 5 = y - 6 - 3. Izračunajte kot med tema premicama.
rešitev
V našem pogoju imamo parametrično enačbo, kar pomeni, da lahko za to premico takoj zapišemo koordinate njenega smernega vektorja. Da bi to naredili, moramo vzeti vrednosti koeficientov za parameter, tj. premica x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R bo imela smerni vektor a → = (4, 1).
Druga premica je opisana z uporabo kanonična enačba x 5 = y - 6 - 3 . Tukaj lahko vzamemo koordinate iz imenovalcev. Tako ima ta premica smerni vektor b → = (5 , - 3) .
Nato preidemo neposredno na iskanje kota. Če želite to narediti, preprosto nadomestite obstoječe koordinate obeh vektorjev v zgornjo formulo α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Dobimo naslednje:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Odgovori: Te ravne črte tvorijo kot 45 stopinj.
Podoben problem lahko rešimo tako, da poiščemo kot med normalnimi vektorji. Če imamo premico a z normalnim vektorjem n a → = (n a x , n a y) in premico b z normalnim vektorjem n b → = (n b x , n b y), potem bo kot med njima enak kotu med n a → in n b → ali kot, ki meji na n a →, n b → ^. Ta metoda je prikazana na sliki:
Formule za izračun kosinusa kota med sekajočimi se črtami in samim kotom z uporabo koordinat normalnih vektorjev izgledajo takole:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Tukaj n a → in n b → označujeta normalna vektorja dveh danih premic.
Primer 2
V pravokotnem koordinatnem sistemu sta dve ravni črti določeni z enačbama 3 x + 5 y - 30 = 0 in x + 4 y - 17 = 0. Poiščite sinus in kosinus kota med njima in velikost tega kota.
rešitev
Izvirne črte so določene z enačbami normalnih črt v obliki A x + B y + C = 0. Vektor normale označimo kot n → = (A, B). Poiščimo koordinate prvega normalnega vektorja za eno premico in jih zapišimo: n a → = (3, 5) . Za drugo vrstico x + 4 y - 17 = 0 bo normalni vektor imel koordinate n b → = (1, 4). Zdaj dobljene vrednosti dodamo formuli in izračunamo skupno:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Če poznamo kosinus kota, potem lahko izračunamo njegov sinus z uporabo osnovne trigonometrične identitete. Ker kot α, ki ga sestavljajo ravne črte, ni top, potem je sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
V tem primeru je α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Odgovor: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Uredimo to zadnji primer– iskanje kota med premicami, če poznamo koordinate smernega vektorja ene premice in normale druge premice.
Predpostavimo, da ima premica a smerni vektor a → = (a x , a y) , premica b pa normalni vektor n b → = (n b x , n b y) . Te vektorje moramo postaviti stran od presečišča in upoštevati vse možnosti za njihove relativne položaje. Glej na sliki:
Če je kot med dani vektorji ne več kot 90 stopinj, se izkaže, da bo dopolnil kot med a in b do pravega kota.
a →, n b → ^ = 90° - α, če je a →, n b → ^ ≤ 90°.
Če je manj kot 90 stopinj, dobimo naslednje:
a → , n b → ^ > 90 ° , potem a → , n b → ^ = 90 ° + α
Z uporabo pravila enakosti kosinusov enakih kotov zapišemo:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α za a → , n b → ^ > 90 ° .
torej
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Oblikujmo zaključek.
Definicija 4
Če želite najti sinus kota med dvema premicama, ki se sekata na ravnini, morate izračunati modul kosinusa kota med smernim vektorjem prve črte in normalnim vektorjem druge.
Zapišimo potrebne formule. Iskanje sinusa kota:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Iskanje samega kota:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Tu je a → smerni vektor prve črte, n b → normalni vektor druge.
Primer 3
Dve sekajoči se premici sta podani z enačbama x - 5 = y - 6 3 in x + 4 y - 17 = 0. Poiščite kot presečišča.
rešitev
Iz podanih enačb vzamemo koordinate vodilnega in normalnega vektorja. Izkazalo se je a → = (- 5, 3) in n → b = (1, 4). Vzamemo formulo α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 in izračunamo:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Upoštevajte, da smo vzeli enačbe iz prejšnjega problema in dobili popolnoma enak rezultat, vendar na drugačen način.
odgovor:α = a r c sin 7 2 34
Predstavimo še en način iskanja želenega kota z uporabo kotnih koeficientov danih ravnih črt.
Imamo premico a, ki je definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu z enačbo y = k 1 x + b 1, in premico b, definirano kot y = k 2 x + b 2. To so enačbe črt z nakloni. Za iskanje kota presečišča uporabimo formulo:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, kjer sta k 1 in k 2 kotni koeficienti dane ravne črte. Za pridobitev tega zapisa so bile uporabljene formule za določanje kota skozi koordinate normalnih vektorjev.
Primer 4
Obstajata dve premici, ki se sekata v ravnini, podani z enačbama y = - 3 5 x + 6 in y = - 1 4 x + 17 4. Izračunajte vrednost presečnega kota.
rešitev
Kotni koeficienti naših črt so enaki k 1 = - 3 5 in k 2 = - 1 4. Prištejmo jih formuli α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 in izračunajmo:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
odgovor:α = a r c cos 23 2 34
V sklepih tega odstavka je treba opozoriti, da se tukaj navedenih formul za iskanje kota ni treba naučiti na pamet. Če želite to narediti, je dovolj, da poznate koordinate vodil in/ali normalnih vektorjev danih črt in jih znate določiti z različne vrste enačbe. Bolje pa si je zapomniti ali zapisati formule za izračun kosinusa kota.
Kako izračunati kot med sekajočimi se črtami v prostoru
Izračun takšnega kota se lahko zmanjša na izračun koordinat vektorjev smeri in določitev velikosti kota, ki ga tvorijo ti vektorji. Za takšne primere se uporablja ista utemeljitev, kot smo jo podali prej.
Predpostavimo, da imamo pravokotni koordinatni sistem, ki se nahaja v tridimenzionalnem prostoru. Vsebuje dve premici a in b s presečiščem M. Za izračun koordinat smernih vektorjev moramo poznati enačbe teh premic. Označimo smerne vektorje a → = (a x , a y , a z) in b → = (b x , b y , b z) . Za izračun kosinusa kota med njima uporabimo formulo:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Za iskanje samega kota potrebujemo to formulo:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Primer 5
Imamo črto, definirano v tridimenzionalnem prostoru z enačbo x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Znano je, da seka z osjo O z. Izračunajte presečni kot in kosinus tega kota.
rešitev
Kot, ki ga je treba izračunati, označimo s črko α. Zapišimo koordinate smernega vektorja za prvo premico – a → = (1, - 3, - 2) . Za osno aplikacijo lahko vzamemo koordinatni vektor k → = (0, 0, 1) kot vodilo. Prejeli smo potrebne podatke in jih lahko dodamo želeni formuli:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Posledično smo ugotovili, da bo kot, ki ga potrebujemo, enak a r c cos 1 2 = 45 °.
odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Kot med premicami v prostoru bomo imenovali katerikoli od sosednjih kotov, ki ga tvorita dve premici, narisani skozi poljubno točko vzporedno s podatkom.
Naj sta v prostoru podani dve črti:
Očitno lahko kot φ med ravnimi črtami vzamemo kot med njihovimi smernimi vektorji in . Ker , potem z uporabo formule za kosinus kota med vektorji dobimo
Pogoji vzporednosti in pravokotnosti dveh ravnih črt so enakovredni pogojem vzporednosti in pravokotnosti njunih smernih vektorjev in:
Dva naravnost vzporednoče in samo če so njihovi ustrezni koeficienti sorazmerni, tj. l 1 vzporednik l 2 če in samo če je vzporeden 
.
Dva naravnost pravokotnoče in samo če je vsota produktov ustreznih koeficientov enaka nič: .
U cilj med premico in ravnino
Naj bo naravnost d- ni pravokotna na ravnino θ;
d′− projekcija premice d na ravnino θ;
Najmanjši kot med ravnimi črtami d in d"poklicali bomo kot med premico in ravnino.
Označimo ga kot φ=( d,θ)
če d⊥θ, potem ( d,θ)=π/2
oi→j→k→− pravokotni koordinatni sistem.
Enačba ravnine:
θ: sekira+Avtor:+Cz+D=0
Predpostavimo, da je premica določena s točko in smernim vektorjem: d[M 0,str→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Nato je treba ugotoviti kot med vektorji n→ in str→, označimo kot γ=( n→,str→).
Če je kot γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Če je kot γ>π/2, potem je želeni kot φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
potem, kot med premico in ravnino se lahko izračuna po formuli:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23
vprašanje29. Koncept kvadratne oblike. Znakovna določenost kvadratnih oblik.
Kvadratna oblika j (x 1, x 2, …, x n) n realnih spremenljivk x 1, x 2, …, x n se imenuje vsota oblike 
, (1)
kje a ij – nekatera števila, imenovana koeficienti. Brez izgube splošnosti lahko domnevamo, da a ij = a ji.
Kvadratna oblika se imenuje veljavno,če a ij
Î GR. Matrika kvadratne oblike se imenuje matrika, sestavljena iz svojih koeficientov. Kvadratna oblika (1) ustreza edini simetrični matriki 
To je A T = A. torej kvadratna oblika(1) lahko zapišemo v matrična oblika j ( X) = x T Ah, Kje x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
In obratno, vsaka simetrična matrika (2) ustreza edinstveni kvadratni obliki do zapisa spremenljivk.
Rang kvadratne oblike se imenuje rang njene matrike. Kvadratna oblika se imenuje nedegeneriran,če je njegova matrika nesingularna A. (spomnimo se, da je matrika A se imenuje nedegeneriran, če njegova determinanta ni enaka nič). V nasprotnem primeru je kvadratna oblika degenerirana.
pozitivno določeno(ali strogo pozitivno), če
j ( X) > 0 , za kogarkoli X = (X 1 , X 2 , …, x n), razen X = (0, 0, …, 0).
Matrix A pozitivno določena kvadratna oblika j ( X) imenujemo tudi pozitivno določeno. Zato pozitivno določena kvadratna oblika ustreza edinstveni pozitivno določeni matriki in obratno.
Kvadratna oblika (1) se imenuje negativno definiran(ali strogo negativno), če
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), razen X = (0, 0, …, 0).
Podobno kot zgoraj se matrika negativno določene kvadratne oblike imenuje tudi negativno določena.
Posledično pozitivno (negativno) določeno kvadratno obliko j ( X) doseže najmanjšo (največjo) vrednost j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).
Upoštevajte, da večina kvadratnih oblik ni predznačno določenih, kar pomeni, da niso niti pozitivne niti negativne. Takšne kvadratne oblike se ne spremenijo v 0 samo v izhodišču koordinatnega sistema, ampak tudi na drugih točkah.
kdaj n> 2 so za preverjanje predznaka kvadratne oblike potrebni posebni kriteriji. Poglejmo jih.
Večji mladoletniki kvadratne oblike imenujemo minori:
to so minori reda 1, 2, ..., n matrice A, ki se nahaja v zgornjem levem kotu, zadnji od njih sovpada z determinanto matrike A.
Kriterij pozitivne določnosti (Sylvestrovo merilo)
X) = x T Ah je bil pozitivno določen, je potrebno in zadostuje, da so vsi večji minori matrike A bili pozitivni, to je: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Kriterij negativne gotovosti Da bi bila kvadratna oblika j ( X) = x T Ah je bil negativno določen, je potrebno in zadostno, da so njegovi glavni minori sodega reda pozitivni, lihega reda pa negativni, tj. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n