(slika 1)
Slika 1. Graf izpeljave
Lastnosti izpeljanih grafov
- V naraščajočih intervalih je odvod pozitiven. Če ima odvod na določeni točki iz določenega intervala pozitivno vrednost, se graf funkcije na tem intervalu poveča.
- V padajočih intervalih je odvod negativen (z znakom minus). Če ima izpeljanka na določeni točki iz določenega intervala negativen pomen, potem graf funkcije pada na tem intervalu.
- Odvod v točki x je enak naklon tangenta, narisana na graf funkcije v isti točki.
- V točki maksimuma in minimuma funkcije je odvod enak nič. Tangenta na graf funkcije na tej točki je vzporedna z osjo OX.
Primer 1
Z grafom (slika 2) odvoda določite, na kateri točki na odseku [-3; 5] funkcija je največja.
Slika 2. Graf izpeljave
Rešitev: Na tem segmentu je odvod negativen, kar pomeni, da funkcija pada od leve proti desni in najvišjo vrednost se nahaja na levi strani v točki -3.
Primer 2
S pomočjo grafa (slika 3) odvoda določite število maksimalnih točk na segmentu [-11; 3].
Slika 3. Graf izpeljave
Rešitev: Največ točk ustreza točkam, kjer se predznak odvoda spremeni iz pozitivnega v negativnega. Na tem intervalu funkcija dvakrat spremeni predznak iz plusa v minus - v točki -10 in v točki -1. To pomeni, da je največje število točk dve.
Primer 3
S pomočjo grafa (slika 3) odvoda določite število minimalnih točk v segmentu [-11; -1].
Rešitev: Minimalne točke ustrezajo točkam, kjer se predznak odvoda spremeni iz negativnega v pozitivnega. Na tem segmentu je taka točka samo -7. To pomeni, da je najmanjše število točk na danem segmentu ena.
Primer 4
S pomočjo grafa (slika 3) odvoda določite število ekstremnih točk.
Rešitev: Ekstremne točke so hkrati točke minimuma in maksimuma. Poiščimo število točk, pri katerih odvod spremeni predznak.
Prvi odvod Če je odvod funkcije v nekem intervalu pozitiven (negativen), potem funkcija v tem intervalu monotono narašča (monotono pada). Če je odvod funkcije v določenem intervalu pozitiven (negativen), potem funkcija v tem intervalu monotono narašča (monotono pada). Nadalje
Definicija Krivulja se imenuje konveksna v točki, če se v neki okolici te točke nahaja pod svojo tangento v točki. Krivulja se imenuje konveksna v točki, če se v neki okolici te točke nahaja pod svojo tangento v točki. Krivulja se imenuje konkavna v točki, če se v neki okolici te točke nahaja nad svojo tangento v točki. Krivulja se imenuje konkavna v točki, če se v neki okolici te točke nahaja nad svojo tangento v točki Next
Predznak konkavnosti in konveksnosti Če je drugi odvod funkcije v danem intervalu pozitiven, potem je krivulja v tem intervalu konkavna, če je negativen, pa je v tem intervalu konveksna. Če je drugi odvod funkcije v danem intervalu pozitiven, potem je krivulja v tem intervalu konkavna, če je negativen, pa je v tem intervalu konveksna. Opredelitev
Načrt za preučevanje funkcije in izdelava njenega grafa 1. Poišči domeno definicije funkcije in določi diskontinuitetne točke, če obstajajo; ugotoviti, ali je funkcija soda ali liha; preveri njeno periodičnost 2. Ugotovi, ali je funkcija soda ali liha; preveri njeno periodičnost 3. Določi presečišča grafa funkcije s koordinatnimi osemi 3. Določi presečišča grafa funkcije s koordinatnimi osemi 4. Poišči kritične točke 1. vrste 4. Poišči kritične točke točke 1. vrste 5. Določi intervale monotonosti in ekstreme funkcije 5. Določi intervale monotonosti in ekstreme funkcije 6. Določi intervale konveksnosti in konkavnosti ter poišči prevojne točke 6. Določi intervale konveksnosti in konkavnosti in poiščite prevojne točke 7. S pomočjo rezultatov raziskave povežite dobljene točke z gladko krivuljo 7. S pomočjo rezultatov raziskave povežite dobljene točke z gladko krivuljo Izhod
Problem B9 podaja graf funkcije ali odvoda, iz katerega morate določiti eno od naslednjih količin:
- Vrednost odvoda v neki točki x 0,
- Najvišje ali najmanjše točke (ekstremne točke),
- Intervali naraščajočih in padajočih funkcij (intervali monotonosti).
Funkcije in odvodi, predstavljeni v tem problemu, so vedno zvezni, zaradi česar je rešitev veliko lažja. Kljub temu, da naloga spada v sklop matematične analize, jo lahko opravijo tudi najšibkejši učenci, saj tukaj ni potrebno poglobljeno teoretično znanje.
Za iskanje vrednosti odvoda, ekstremnih točk in intervalov monotonosti obstajajo preprosti in univerzalni algoritmi - vsi bodo obravnavani v nadaljevanju.
Pazljivo preberite pogoje naloge B9, da se izognete neumnim napakam: včasih naletite na precej dolga besedila, vendar pomembne pogoje, ki vplivajo na potek odločitve, je malo.
Izračun vrednosti derivata. Metoda dveh točk
Če je problemu podan graf funkcije f(x), tangenten na ta graf v neki točki x 0, in je potrebno najti vrednost odvoda na tej točki, se uporabi naslednji algoritem:
- Poiščite dve »ustrezni« točki na tangentnem grafu: njuni koordinati morata biti celo število. Označimo ti točki A (x 1 ; y 1) in B (x 2 ; y 2). Pravilno zapišite koordinate - to je ključna točka v rešitvi in vsaka napaka tukaj bo povzročila napačen odgovor.
- Ob poznavanju koordinat je enostavno izračunati prirastek argumenta Δx = x 2 − x 1 in prirastek funkcije Δy = y 2 − y 1 .
- Končno najdemo vrednost odvoda D = Δy/Δx. Z drugimi besedami, prirastek funkcije morate deliti s prirastkom argumenta - in to bo odgovor.
Naj še enkrat opozorimo: točki A in B moramo iskati ravno na tangenti in ne na grafu funkcije f(x), kot se pogosto zgodi. Tangenta bo nujno vsebovala vsaj dve takšni točki - sicer problem ne bo pravilno sestavljen.
Upoštevajte točki A (−3; 2) in B (−1; 6) in poiščite prirastke:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Poiščimo vrednost odvoda: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Naloga. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x 0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x 0 .
Upoštevajte točki A (0; 3) in B (3; 0), poiščite prirastke:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Zdaj poiščemo vrednost odvoda: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Naloga. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x 0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x 0 .
Upoštevajte točki A (0; 2) in B (5; 2) in poiščite prirastke:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Še vedno je treba najti vrednost odvoda: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Iz zadnjega primera lahko oblikujemo pravilo: če je tangenta vzporedna z osjo OX, je odvod funkcije v točki dotika enak nič. V tem primeru vam sploh ni treba ničesar šteti - samo poglejte graf.
Izračun maksimalnih in minimalnih točk
Včasih problem B9 namesto grafa funkcije poda graf odvoda in zahteva iskanje maksimalne ali minimalne točke funkcije. V tej situaciji je metoda dveh točk neuporabna, obstaja pa še en, še preprostejši algoritem. Najprej opredelimo terminologijo:
- Točko x 0 imenujemo največja točka funkcije f(x), če v neki okolici te točke velja neenakost: f(x 0) ≥ f(x).
- Točko x 0 imenujemo točka minimuma funkcije f(x), če v neki okolici te točke velja neenakost: f(x 0) ≤ f(x).
Če želite najti največjo in najmanjšo točko iz izpeljanega grafa, sledite tem korakom:
- Ponovno narišite izpeljani graf in odstranite vse nepotrebne informacije. Kot kaže praksa, nepotrebni podatki le ovirajo odločitev. Zato ugotavljamo na koordinatna os ničle izpeljanke - to je vse.
- Ugotovite predznake odvoda na intervalih med ničlami. Če je za neko točko x 0 znano, da je f'(x 0) ≠ 0, sta možni le dve možnosti: f'(x 0) ≥ 0 ali f'(x 0) ≤ 0. Predznak odvoda je enostavno določiti iz izvirne risbe: če graf odvoda leži nad osjo OX, potem je f'(x) ≥ 0. In obratno, če graf odvoda leži pod osjo OX, potem je f'(x) ≤ 0.
- Ponovno preverimo ničle in predznake odvoda. Kjer se znak spremeni iz minusa v plus, je najmanjša točka. Nasprotno, če se predznak derivata spremeni iz plusa v minus, je to največja točka. Štetje vedno poteka od leve proti desni.
Ta shema deluje samo za zvezne funkcije - v problemu B9 ni drugih.
Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−5; 5]. Poiščite točko minimuma funkcije f(x) na tem segmentu.
Znebimo se nepotrebnih informacij in pustimo le meje [−5; 5] in ničle odvoda x = −3 in x = 2,5. Opažamo tudi znake:
Očitno se v točki x = −3 predznak odvoda spremeni iz minusa v plus. To je najmanjša točka.
Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−3; 7]. Poiščite največjo točko funkcije f(x) na tem segmentu.
Ponovno narišimo graf in pustimo samo meje [−3; 7] in ničle odvoda x = −1,7 in x = 5. Zabeležimo si predznake odvoda na dobljenem grafu. Imamo:
Očitno se v točki x = 5 predznak derivata spremeni iz plusa v minus - to je največja točka.
Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−6; 4]. Poiščite število največjih točk funkcije f(x), ki pripadajo odseku [−4; 3].
Iz pogojev problema sledi, da je dovolj upoštevati le del grafa, ki ga omejuje segment [−4; 3]. Zato zgradimo nov graf, na katerem označimo samo meje [−4; 3] in ničle izpeljanke znotraj nje. In sicer točki x = −3,5 in x = 2. Dobimo:
Na tem grafu je samo ena največja točka x = 2. Na tej točki se predznak odvoda spremeni iz plusa v minus.
Majhna opomba o točkah z necelimi koordinatami. Na primer, v zadnji nalogi je bila obravnavana točka x = −3,5, vendar z enakim uspehom lahko vzamemo x = −3,4. Če je problem sestavljen pravilno, takšne spremembe ne bi smele vplivati na odgovor, saj točke "brez stalnega prebivališča" ne sodelujejo neposredno pri reševanju problema. Seveda ta trik ne bo deloval s celimi točkami.
Iskanje intervalov naraščajočih in padajočih funkcij
Pri takem problemu, tako kot pri maksimalnih in minimalnih točkah, je predlagana uporaba grafa izpeljave za iskanje območij, v katerih sama funkcija narašča ali pada. Najprej opredelimo, kaj je naraščanje in padanje:
- Za funkcijo f(x) pravimo, da narašča na odseku, če za kateri koli dve točki x 1 in x 2 iz tega odseka velja naslednja izjava: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Z drugimi besedami, večja kot je vrednost argumenta, večja je vrednost funkcije.
- Funkcija f(x) se imenuje padajoča na odseku, če za katerikoli dve točki x 1 in x 2 iz tega odseka velja naslednja izjava: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tisti. višja vrednost argument ustreza manjši vrednosti funkcije.
Oblikujmo zadostne pogoje za povečanje in zmanjšanje:
- Da zvezna funkcija f(x) narašča na odseku , zadostuje, da je njen odvod znotraj odseka pozitiven, tj. f’(x) ≥ 0.
- Da zvezna funkcija f(x) pada na odseku , zadostuje, da je njen odvod znotraj odseka negativen, tj. f’(x) ≤ 0.
Sprejmimo te izjave brez dokazov. Tako dobimo shemo za iskanje intervalov naraščanja in padanja, ki je v marsičem podobna algoritmu za izračun ekstremnih točk:
- Odstranite vse nepotrebne informacije. V prvotnem grafu odvoda nas zanimajo predvsem ničle funkcije, zato bomo pustili samo njih.
- Označi predznake odvoda na intervalih med ničlami. Kjer je f’(x) ≥ 0, funkcija narašča, kjer je f’(x) ≤ 0, pa pada. Če problem postavlja omejitve na spremenljivko x, jih dodatno označimo na novem grafu.
- Zdaj, ko poznamo obnašanje funkcije in omejitve, moramo še izračunati količino, zahtevano v problemu.
Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−3; 7,5]. Poiščite intervale padanja funkcije f(x). V odgovoru navedite vsoto celih števil, vključenih v te intervale.
Kot običajno, ponovno narišemo graf in označimo meje [−3; 7.5], kot tudi ničle odvoda x = −1,5 in x = 5,3. Nato opazimo znake izpeljanke. Imamo:
Ker je odvod na intervalu (− 1,5) negativen, je to interval padajoče funkcije. Še vedno je treba sešteti vsa cela števila, ki so znotraj tega intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−10; 4]. Poiščite intervale naraščanja funkcije f(x). V odgovoru navedite dolžino največjega izmed njih.
Znebimo se nepotrebnih informacij. Pustimo le meje [−10; 4] in ničle odvoda, ki so bile tokrat štiri: x = −8, x = −6, x = −3 in x = 2. Označimo predznake odvoda in dobimo naslednjo sliko:
Zanimajo nas intervali naraščajoče funkcije, tj. kjer je f’(x) ≥ 0. Na grafu sta dva takšna intervala: (−8; −6) in (−3; 2). Izračunajmo njihove dolžine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Ker moramo najti dolžino največjega izmed intervalov, kot odgovor zapišemo vrednost l 2 = 5.
Preučevanje funkcije z uporabo njenega odvoda. V tem članku bomo analizirali nekaj nalog, povezanih s študijem grafa funkcije. Pri takšnih nalogah je podan graf funkcije y = f (x) in zastavljena vprašanja v zvezi z določanjem števila točk, v katerih je odvod funkcije pozitiven (ali negativen), pa tudi druga. Razvrščajo se med naloge o uporabi odvodov pri študiju funkcij.
Reševanje takšnih problemov in na splošno problemov, povezanih z raziskovanjem, je mogoče le s popolnim razumevanjem lastnosti odvoda za preučevanje grafov funkcij in odvoda. Zato toplo priporočam, da preučite ustrezno teorijo. Lahko preučujete in tudi gledate (vsebuje pa kratek povzetek).
V prihodnjih člankih bomo obravnavali tudi probleme, kjer je podan izpeljani graf, ne zamudite ga! Torej, naloge:
Slika prikazuje graf funkcije y = f (x), definirane na intervalu (−6; 8). Določite:
1. Število celih točk, pri katerih je odvod funkcije negativen;
2. Število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna s premico y = 2;
1. Odvod funkcije je negativen na intervalih, na katerih funkcija pada, to je na intervalih (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). Vsebujejo cele točke −5, −4, 1, 2, 3, 4 in 7. Dobimo 7 točk.
2. Neposredno l= 2 vzporedno z osjoOhl= 2 le na ekstremnih točkah (na točkah, kjer graf spreminja svoje obnašanje iz naraščajočega v padajoče ali obratno). Obstajajo štiri takšne točke: –3; 0; 4.2; 6.9
Odločite se sami:
Določite število celih točk, v katerih je odvod funkcije pozitiven.
Slika prikazuje graf funkcije y = f (x), definirane na intervalu (−5; 5). Določite:
2. Število celih točk, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna s premico y = 3;
3. število točk, pri katerih je odvod enak nič;
1. Iz lastnosti odvoda funkcije je znano, da je ta pozitiven na intervalih, na katerih funkcija narašča, to je na intervalih (1.4; 2.5) in (4.4; 5). Vsebujejo samo eno celo točko x = 2.
2. Neposredno l= 3 vzporedno z osjoOh. Tangenta bo vzporedna s premicol= 3 samo na ekstremnih točkah (na točkah, kjer graf spremeni svoje obnašanje iz naraščajočega v padajoče ali obratno).
Obstajajo štiri takšne točke: –4,3; 1,4; 2,5; 4.4
3. Odvod je enak nič v štirih točkah (v točkah ekstrema), ki smo jih že navedli.
Odločite se sami:
Določite število celih točk, pri katerih je odvod funkcije f(x) negativen.
Slika prikazuje graf funkcije y = f (x), definirane na intervalu (−2; 12). Najti:
1. Število celih točk, pri katerih je odvod funkcije pozitiven;
2. število celih točk, pri katerih je odvod funkcije negativen;
3. Število celih točk, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna s premico y = 2;
4. Število točk, pri katerih je odvod enak nič.
1. Iz lastnosti odvoda funkcije je znano, da je pozitiven na intervalih, na katerih funkcija narašča, to je na intervalih (–2; 1), (2; 4), (7; 9) in ( 10; 11). Vsebujejo cele točke: –1, 0, 3, 8. Skupaj so štiri.
2. Odvod funkcije je negativen na intervalih, na katerih funkcija pada, to je na intervalih (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Vsebujejo celi točki 5 in 6. Dobimo 2 točki.
3. Neposredno l= 2 vzporedno z osjoOh. Tangenta bo vzporedna s premicol= 2 le na ekstremnih točkah (na točkah, kjer graf spreminja svoje obnašanje iz naraščajočega v padajoče ali obratno). Takih točk je sedem: 1; 2; 4; 7; 9; 10; enajst.
4. Odvod je enak nič v sedmih točkah (v točkah ekstrema), ki smo jih že navedli.
Odvod funkcije je eden od težke teme V šolski kurikulum. Vsak diplomant ne bo odgovoril na vprašanje, kaj je derivat.
Ta članek na preprost in jasen način pojasnjuje, kaj je izpeljanka in zakaj je potrebna.. Zdaj ne bomo težili k matematični strogosti v predstavitvi. Najpomembneje je razumeti pomen.
Spomnimo se definicije:
Odvod je hitrost spremembe funkcije.
Slika prikazuje grafe treh funkcij. Kaj mislite, katera raste hitreje?
Odgovor je očiten - tretji. Ona ima največ visoka hitrost spremembe, torej največji derivat.
Tukaj je še en primer.
Kostya, Grisha in Matvey so hkrati dobili službo. Poglejmo, kako so se njihovi prihodki spreminjali med letom:
Graf prikazuje vse naenkrat, kajne? Kostyev dohodek se je v šestih mesecih več kot podvojil. In Grishin dohodek se je prav tako povečal, vendar le malo. In Matvejev dohodek se je zmanjšal na nič. Začetni pogoji so enaki, toda hitrost spreminjanja funkcije, tj izpeljanka, - drugačen. Kar zadeva Matveya, je njegov derivat dohodka na splošno negativen.
Intuitivno enostavno ocenimo hitrost spremembe funkcije. Toda kako naj to naredimo?
V resnici gledamo, kako strmo gre graf funkcije navzgor (ali navzdol). Z drugimi besedami, kako hitro se spreminja y, ko se spreminja x? Očitno je ista funkcija v različne točke lahko drugačen pomen izpeljanka – torej se lahko spreminja hitreje ali počasneje.
Odvod funkcije je označen.
Pokazali vam bomo, kako ga najdete z grafom.
Narisan je bil graf neke funkcije. Vzemimo točko z absciso na njej. V tej točki narišimo tangento na graf funkcije. Oceniti želimo, kako strmo gre funkcijski graf navzgor. Primerna vrednost za to je tangens tangentnega kota.
Odvod funkcije v točki je enak tangensu tangentnega kota, narisanega na graf funkcije v tej točki.
Upoštevajte, da kot naklon tangente vzamemo kot med tangento in pozitivno smerjo osi.
Včasih učenci vprašajo, kaj je tangenta na graf funkcije. To je ravna črta, ki ima eno samo skupno točko z grafom v tem razdelku in kot je prikazano na naši sliki. Videti je kot tangenta na krog.
Poiščimo ga. Spomnimo se, da je tangenta ostrega kota v pravokotni trikotnik enako razmerju nasprotno stran na sosednjo. Iz trikotnika:
Izpeljanko smo našli z uporabo grafa, ne da bi sploh poznali formulo funkcije. Takšne težave pogosto najdemo v Enotnem državnem izpitu iz matematike pod številko.
Obstaja še eno pomembno razmerje. Spomnimo se, da je premica podana z enačbo
Količina v tej enačbi se imenuje naklon ravne črte. Enak je tangensu kota naklona premice na os.
.
To razumemo
Zapomnimo si to formulo. Ona izraža geometrijski pomen izpeljanka.
Odvod funkcije v točki je enak naklonu tangente, narisane na graf funkcije v tej točki.
Z drugimi besedami, odvod je enak tangensu tangentnega kota.
Rekli smo že, da ima ista funkcija lahko različne odvode na različnih točkah. Poglejmo, kako je odvod povezan z obnašanjem funkcije.
Narišimo graf neke funkcije. Naj se ta funkcija poveča na nekaterih področjih in zmanjša na drugih in z različnimi stopnjami. In naj ima ta funkcija maksimalne in minimalne točke.
V določenem trenutku se funkcija poveča. Oblikuje se tangenta na graf, narisan v točki oster kot; s pozitivno smerjo osi. To pomeni, da je odvod v točki pozitiven.
Na točki se naša funkcija zmanjša. Tangenta na tej točki tvori top kot; s pozitivno smerjo osi. Ker je tangens topega kota negativen, je odvod v točki negativen.
Takole se zgodi:
Če funkcija narašča, je njen odvod pozitiven.
Če se zmanjša, je njegov odvod negativen.
Kaj se bo zgodilo na najvišji in najnižji točki? Vidimo, da je v točkah (maksimalna točka) in (minimalna točka) tangenta vodoravna. Zato je tangenta tangente v teh točkah enaka nič in tudi odvod je nič.
Točka - najvišja točka. Na tej točki se povečanje funkcije nadomesti z zmanjšanjem. Posledično se predznak derivata spremeni v točki iz "plus" v "minus".
V točki - minimalni točki - je derivat tudi nič, vendar se njegov znak spremeni iz "minus" v "plus".
Sklep: z uporabo odvoda lahko izvemo vse, kar nas zanima o obnašanju funkcije.
Če je odvod pozitiven, potem funkcija narašča.
Če je odvod negativen, potem je funkcija padajoča.
V najvišji točki je odvod enak nič in spremeni predznak iz "plus" v "minus".
V točki minimuma je tudi derivat enak nič in spremeni predznak iz "minus" v "plus".
Zapišimo te zaključke v obliki tabele:
| poveča | največja točka | zmanjša | najmanjša točka | poveča | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Naredimo dve majhni pojasnili. Enega od njih boste potrebovali pri reševanju težave. Drugi - v prvem letniku, z resnejšim študijem funkcij in derivatov.
Možno je, da je odvod funkcije na neki točki enak nič, vendar funkcija na tej točki nima niti maksimuma niti minimuma. To je t.i :
V točki je tangenta na graf vodoravna in odvod enak nič. Toda pred točko se je funkcija povečala - in po točki še naprej narašča. Predznak odvoda se ne spremeni - ostane pozitiven, kot je bil.
Zgodi se tudi, da na točki maksimuma ali minimuma derivat ne obstaja. Na grafu to ustreza ostremu prelomu, ko na določeni točki ni mogoče narisati tangente.
Kako najti odvod, če funkcija ni podana z grafom, ampak s formulo? V tem primeru velja