>

Ste pozabili, kako rešiti nepopolno kvadratno enačbo? Kako rešiti kvadratne enačbe

Začetna raven

Kvadratne enačbe. Obsežen vodnik (2019)

V izrazu "kvadratna enačba" je ključna beseda "kvadratna". To pomeni, da mora enačba nujno vsebovati spremenljivko (ta isti x) na kvadrat in ne sme biti xov na tretjo (ali večjo) potenco.

Rešitev številnih enačb se zmanjša na reševanje kvadratnih enačb.

Naučimo se ugotoviti, da je to kvadratna enačba in ne kakšna druga enačba.

Primer 1.

Znebimo se imenovalca in vsak člen enačbe pomnožimo s

Premaknimo vse na levo stran in člene razporedimo po padajočem vrstnem redu potenc X

Zdaj lahko to z gotovostjo trdimo podana enačba je kvadratna!

Primer 2.

Pomnožite levo in desno stran z:

Ta enačba, čeprav je bila prvotno v njej, ni kvadratna!

Primer 3.

Pomnožimo vse z:

Strašljivo? Četrta in druga stopnja ... Vendar, če naredimo zamenjavo, bomo videli, da imamo preprosto kvadratno enačbo:

Primer 4.

Zdi se, da je tam, vendar poglejmo podrobneje. Premaknimo vse na levo stran:

Glej, zmanjšano je - in zdaj je preprosta linearna enačba!

Zdaj poskusite sami ugotoviti, katere od naslednjih enačb so kvadratne in katere ne:

Primeri:

odgovori:

  1. kvadrat;
  2. kvadrat;
  3. ni kvadraten;
  4. ni kvadraten;
  5. ni kvadraten;
  6. kvadrat;
  7. ni kvadraten;
  8. kvadrat.

Matematiki vse pogojno delijo kvadratne enačbe po videzu:

  • Popolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih koeficienti in, kot tudi prosti člen c, niso enaki nič (kot v primeru). Poleg tega med popolnimi kvadratnimi enačbami obstajajo dano- to so enačbe, v katerih je koeficient (enačba iz prvega primera ni samo popolna, ampak tudi zmanjšana!)
  • Nepopolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

    Nepopolni so, ker jim manjka nekaj elementov. Toda enačba mora vedno vsebovati x na kvadrat!!! V nasprotnem primeru ne bo več kvadratna enačba, ampak neka druga enačba.

Zakaj so se domislili takšne delitve? Zdi se, da obstaja X na kvadrat, in v redu. To delitev določajo metode reševanja. Oglejmo si vsakega od njih podrobneje.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Najprej se osredotočimo na reševanje nepopolnih kvadratnih enačb – veliko enostavnejše so!

Obstajajo vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

  1. , je v tej enačbi koeficient enak.
  2. , v tej enačbi je prosti člen enak.
  3. , sta v tej enačbi koeficient in prosti člen enaka.

1. i. Ker vemo, kako vzeti kvadratni koren, izrazimo iz te enačbe

Izraz je lahko negativen ali pozitiven. Kvadrat števila ne more biti negativen, ker bo pri množenju dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil rezultat vedno pozitivno število, torej: če, potem enačba nima rešitev.

In če, potem dobimo dve korenini. Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar je, da morate vedeti in se vedno spomniti, da ne more biti manj.

Poskusimo rešiti nekaj primerov.

Primer 5:

Reši enačbo

Zdaj ostane le še, da izvlečemo koren z leve in desne strani. Navsezadnje se spomnite, kako izločiti korenine?

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!!!

Primer 6:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 7:

Reši enačbo

Oh! Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin!

Za takšne enačbe, ki nimajo korenin, so si matematiki izmislili posebno ikono - (prazen niz). In odgovor se lahko zapiše takole:

odgovor:

Tako ima ta kvadratna enačba dva korena. Tu ni nobenih omejitev, saj nismo izvlekli korena.
Primer 8:

Reši enačbo

Vzemimo skupni faktor iz oklepajev:

torej

Ta enačba ima dva korena.

odgovor:

Najenostavnejša vrsta nepopolnih kvadratnih enačb (čeprav so vse preproste, kajne?). Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Tukaj bomo brez primerov.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb

Spomnimo vas, da je popolna kvadratna enačba enačba v obliki enačbe, kjer je

Reševanje popolnih kvadratnih enačb je nekoliko težje (samo malo) od teh.

Ne pozabite Vsako kvadratno enačbo je mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Druge metode vam bodo pomagale hitreje, če pa imate težave s kvadratnimi enačbami, najprej obvladajte rešitev z diskriminanto.

1. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo diskriminante.

Reševanje kvadratnih enačb s to metodo je zelo preprosto, glavna stvar je zapomniti si zaporedje dejanj in nekaj formul.

Če, potem ima enačba koren. posebna pozornost narediti korak. Diskriminanta () nam pove število korenov enačbe.

  • Če, potem bo formula v koraku zmanjšana na. Tako bo enačba imela samo koren.
  • Če, potem na koraku ne bomo mogli izluščiti korena diskriminante. To pomeni, da enačba nima korenin.

Vrnimo se k našim enačbam in si oglejmo nekaj primerov.

Primer 9:

Reši enačbo

1. korak preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ima enačba dva korena.

3. korak

odgovor:

Primer 10:

Reši enačbo

Enačba je predstavljena v standardni obliki, torej 1. korak preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ima enačba en koren.

odgovor:

Primer 11:

Reši enačbo

Enačba je predstavljena v standardni obliki, torej 1. korak preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ne bomo mogli izluščiti korena diskriminante. Ni korenin enačbe.

Zdaj vemo, kako takšne odgovore pravilno zapisati.

odgovor: brez korenin

2. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka.

Če se spomnite, obstaja vrsta enačbe, ki se imenuje reducirana (ko je koeficient a enak):

Takšne enačbe je zelo enostavno rešiti z uporabo Vietovega izreka:

Vsota korenin dano kvadratna enačba enaka, produkt korenin pa enak.

Primer 12:

Reši enačbo

To enačbo je mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka, ker .

Vsota korenov enačbe je enaka, tj. dobimo prvo enačbo:

In produkt je enak:

Sestavimo in rešimo sistem:

  • in. Znesek je enak;
  • in. Znesek je enak;
  • in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

odgovor: ; .

Primer 13:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 14:

Reši enačbo

Podana je enačba, ki pomeni:

odgovor:

KVADRATNE ENAČBE. SREDNJA NIVO

Kaj je kvadratna enačba?

Z drugimi besedami, kvadratna enačba je enačba oblike, kjer je - neznanka, - nekaj števil in.

Število imenujemo najvišje oz prvi koeficient kvadratna enačba, - drugi koeficient, A - brezplačen član.

Zakaj? Ker če enačba takoj postane linearna, ker bo izginilo.

V tem primeru in je lahko enako nič. V tem stolu se enačba imenuje nepopolna. Če so vsi členi na svojem mestu, je enačba popolna.

Rešitve različnih vrst kvadratnih enačb

Metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb:

Najprej si poglejmo metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb – so preprostejše.

Ločimo naslednje vrste enačb:

I., v tej enačbi sta koeficient in prosti člen enaka.

II. , je v tej enačbi koeficient enak.

III. , v tej enačbi je prosti člen enak.

Zdaj pa si poglejmo rešitev za vsako od teh podvrst.

Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Število na kvadrat ne more biti negativno, ker ko pomnožite dve negativni ali dve pozitivni števili, bo rezultat vedno pozitivno število. Zato:

če, potem enačba nima rešitev;

če imamo dve korenini

Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da manj ne more biti.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!

Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin.

Da na kratko zapišemo, da problem nima rešitve, uporabimo ikono za prazen niz.

odgovor:

Torej ima ta enačba dva korena: in.

odgovor:

Vzemimo skupni faktor iz oklepajev:

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. To pomeni, da ima enačba rešitev, ko:

Torej ima ta kvadratna enačba dva korena: in.

primer:

Reši enačbo.

rešitev:

Faktorizirajmo levo stran enačbe in poiščimo korenine:

odgovor:

Metode za reševanje popolnih kvadratnih enačb:

1. Diskriminator

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je enostavno, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul. Ne pozabite, da je vsako kvadratno enačbo mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Ste v formuli za korene opazili koren iz diskriminante? Toda diskriminant je lahko negativen. Kaj narediti? Posebno pozornost moramo posvetiti 2. koraku. Diskriminanta nam pove število korenov enačbe.

  • Če ima enačba korenine:
  • Če potem ima enačba enake korenine, vendar v bistvu en koren:

    Takšne korenine imenujemo dvojne korenine.

  • Če, potem koren diskriminante ni ekstrahiran. To pomeni, da enačba nima korenin.

Zakaj je možno različno število korenin? Obrnimo se na geometrijski smisel kvadratna enačba. Graf funkcije je parabola:

V posebnem primeru, ki je kvadratna enačba, . To pomeni, da so korenine kvadratne enačbe točke presečišča z abscisno osjo (osjo). Parabola morda sploh ne seka osi ali pa jo seka v eni (če vrh parabole leži na osi) ali dveh točkah.

Poleg tega je koeficient odgovoren za smer vej parabole. Če so veje parabole usmerjene navzgor, če pa navzdol.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To pomeni, da ni rešitev.

Odgovor: .

2. Vietov izrek

Zelo enostavno je uporabiti Vietin izrek: izbrati morate samo par števil, katerih produkt je enak prostemu členu enačbe, vsota pa je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom.

Pomembno si je zapomniti, da je Vietin izrek mogoče uporabiti samo v zmanjšane kvadratne enačbe ().

Oglejmo si nekaj primerov:

Primer #1:

Reši enačbo.

rešitev:

To enačbo je mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka, ker . Drugi koeficienti: ; .

Vsota korenin enačbe je:

In produkt je enak:

Izberimo pare števil, katerih zmnožek je enak, in preverimo, ali je njuna vsota enaka:

  • in. Znesek je enak;
  • in. Znesek je enak;
  • in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

Tako sta in sta korena naše enačbe.

Odgovor: ; .

Primer #2:

rešitev:

Izberimo pare števil, ki dajejo zmnožek, nato pa preverimo, ali je njuna vsota enaka:

in: dajo skupaj.

in: dajo skupaj. Za pridobitev je dovolj, da preprosto spremenite znake domnevnih korenin: in navsezadnje izdelek.

odgovor:

Primer #3:

rešitev:

Prosti člen enačbe je negativen, zato je produkt korenin negativno število. To je mogoče le, če je eden od korenov negativen, drugi pa pozitiven. Zato je vsota korenin enaka razlike njihovih modulov.

Izberimo takšne pare števil, ki dajejo produkt in katerih razlika je enaka:

in: njihova razlika je enaka - ne ustreza;

in: - ni primeren;

in: - ni primeren;

in: - primeren. Vse kar ostane je, da se spomnimo, da je eden od korenov negativen. Ker mora biti njuna vsota enaka, mora biti koren z manjšim modulom negativen: . Preverjamo:

odgovor:

Primer #4:

Reši enačbo.

rešitev:

Podana je enačba, ki pomeni:

Prosti člen je negativen, zato je produkt korenin negativen. In to je mogoče le, če je en koren enačbe negativen, drugi pa pozitiven.

Izberimo pare števil, katerih produkt je enak, in nato določimo, kateri koreni naj imajo negativni predznak:

Očitno so samo korenine in primerne za prvi pogoj:

odgovor:

Primer #5:

Reši enačbo.

rešitev:

Podana je enačba, ki pomeni:

Vsota korenov je negativna, kar pomeni, da je vsaj eden od korenov negativen. Ker pa je njihov produkt pozitiven, pomeni, da imata oba korena znak minus.

Izberimo pare števil, katerih produkt je enak:

Očitno so korenine številke in.

odgovor:

Strinjam se, da je zelo priročno priti do korenin ustno, namesto da bi šteli to grdo razlikovanje. Poskusite uporabiti Vietov izrek čim pogosteje.

Toda Vietov izrek je potreben, da bi olajšali in pospešili iskanje korenin. Da bi vam njegova uporaba koristila, morate dejanja avtomatizirati. In za to reši še pet primerov. Vendar ne goljufajte: ne morete uporabiti diskriminatorja! Samo Vietov izrek:

Rešitve nalog za samostojno delo:

Naloga 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Po Vietovem izreku:

Kot običajno, izbor začnemo s komadom:

Ni primeren, ker količina;

: znesek je ravno to, kar potrebujete.

Odgovor: ; .

Naloga 2.

In spet naš najljubši Vieta izrek: vsota mora biti enaka in produkt mora biti enak.

Ker pa mora biti ne, ampak, spremenimo znake korenov: in (skupaj).

Odgovor: ; .

Naloga 3.

Hmm ... Kje je to?

Vse izraze morate premakniti v en del:

Vsota korenin je enaka produktu.

V redu, nehaj! Enačba ni podana. Toda Vietin izrek je uporaben samo v danih enačbah. Torej, najprej morate podati enačbo. Če ne morete voditi, opustite to idejo in rešite na drug način (na primer z diskriminatorjem). Naj vas spomnim, da podati kvadratno enačbo pomeni, da je glavni koeficient enak:

super Potem je vsota korenin enaka in produktu.

Tu je izbira tako enostavna kot luščenje hrušk: navsezadnje je to praštevilo (oprostite za tavtologijo).

Odgovor: ; .

Naloga 4.

Brezplačni član je negativen. Kaj je na tem posebnega? In dejstvo je, da bodo korenine imele različne znake. In zdaj, med izbiro, ne preverjamo vsote korenin, temveč razliko v njihovih modulih: ta razlika je enaka, ampak produkt.

Torej, korenine so enake in, vendar je ena od njih minus. Vietov izrek nam pove, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, tj. To pomeni, da bo imel manjši koren minus: in, saj.

Odgovor: ; .

Naloga 5.

Kaj morate storiti najprej? Tako je, navedite enačbo:

Še enkrat: izberemo faktorje števila, njihova razlika pa mora biti enaka:

Korenini sta enaki in, vendar je ena od njiju minus. kateri? Njuna vsota mora biti enaka, kar pomeni, da bo minus imel večji koren.

Odgovor: ; .

Naj povzamem:
  1. Vietov izrek se uporablja samo v podanih kvadratnih enačbah.
  2. Z uporabo Vietaovega izreka lahko poiščete korenine z izbiro, ustno.
  3. Če enačba ni podana ali enačba ni najdena primeren par množitelji prostega člena, kar pomeni, da ni celih korenin in ga morate rešiti na drug način (na primer z diskriminanto).

3. Metoda izbire celotnega kvadrata

Če so vsi členi, ki vsebujejo neznanko, predstavljeni v obliki členov iz skrajšanih formul množenja - kvadrat vsote ali razlike - potem lahko po zamenjavi spremenljivk enačbo predstavimo v obliki nepopolne kvadratne enačbe tipa.

Na primer:

Primer 1:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

Primer 2:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

IN splošni pogled transformacija bo izgledala takole:

Sledi: .

Vas ne spominja na nič? To je diskriminatorna stvar! Točno tako smo dobili diskriminantno formulo.

KVADRATNE ENAČBE. NA KRATKO O GLAVNEM

Kvadratna enačba- to je enačba oblike, kjer - neznanka, - koeficienti kvadratne enačbe, - prosti člen.

Popolna kvadratna enačba- enačba, v kateri koeficienti niso enaki nič.

Zmanjšana kvadratna enačba- enačba, v kateri je koeficient, to je: .

Nepopolna kvadratna enačba- enačba, v kateri sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

  • če je koeficient, je enačba videti takole: ,
  • če obstaja prosti člen, ima enačba obliko: ,
  • če in je enačba videti takole: .

1. Algoritem za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

1.1. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Izrazimo neznanko: ,

2) Preverite znak izraza:

  • če, potem enačba nima rešitev,
  • če, potem ima enačba dva korena.

1.2. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: ,

2) Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Zato ima enačba dva korena:

1.3. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

Ta enačba ima vedno samo en koren: .

2. Algoritem za reševanje popolnih kvadratnih enačb oblike kjer

2.1. Rešitev z uporabo diskriminante

1) Zmanjšajmo enačbo na standardni pogled: ,

2) Izračunajmo diskriminanco po formuli: , ki pove število korenov enačbe:

3) Poiščite korenine enačbe:

  • če ima enačba korenine, ki jih najdemo po formuli:
  • če ima enačba koren, ki ga najdemo po formuli:
  • če, potem enačba nima korenin.

2.2. Rešitev z uporabo Vietovega izreka

Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe (enačbe oblike kjer) je enaka, produkt korenin pa enak, tj. , A.

2.3. Rešitev z metodo izbire celotnega kvadrata

Farafonova Natalia Igorevna

Zadeva: Nepopolne kvadratne enačbe.

Cilji lekcije:- uvesti pojem nepopolne kvadratne enačbe;

Naučite se reševati nepopolne kvadratne enačbe.

Cilji lekcije:- znati določiti vrsto kvadratne enačbe;

Rešite nepopolne kvadratne enačbe.

Spletna knjiga: Algebra: Učbenik. za 8. razred. splošno izobraževanje institucije / Sh. Alimov, Yu M. Sidorov, itd. - M.: Izobraževanje, 2010.

Napredek lekcije.

1. Učence opomnite, da jih je treba pred reševanjem katere koli kvadratne enačbe reducirati na standardno obliko. Zapomni si definicijo popolna kvadratna enačba:sekira 2 +bx +c = 0,a ≠ 0.

V teh kvadratnih enačbah poimenujte koeficiente a, b, c:

a) 2x 2 - x + 3 = 0; b) x 2 + 4x - 1 = 0; c) x 2 - 4 = 0; d) 5x 2 + 3x = 0.

2. Definirajte nepopolno kvadratno enačbo:

Kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0 se imenuje nepopolna, če je vsaj eden od koeficientov, b ali c, enak 0. Upoštevajte, da je koeficient a ≠ 0. Iz zgoraj predstavljenih enačb izberite nepopolne kvadratne enačbe.

3. Primerneje je predstaviti vrste nepopolnih kvadratnih enačb s primeri rešitev v obliki tabele:

  1. Brez reševanja določite število korenin za vsako nepopolno kvadratno enačbo:

a) 2x 2 - 3 = 0; b) 3x 2 + 4 = 0; c) 5x 2 - x = 0; d) 0,6x 2 = 0; e) -8x 2 - 4 = 0.

  1. Rešite nepopolne kvadratne enačbe (reševanje enačb, s preverjanjem na tabli, 2 možnosti):


c) 2x 2 + 15 = 0

d) 3x 2 + 2x = 0

e) 2x 2 - 16 = 0

e) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)

g) (x + 1) 2 - 4 = 0

c) 2x 2 + 7 = 0

d) x 2 + 9x = 0

e) 81x 2 - 64 = 0

f) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)

g) (x - 2) 2 - 8 = 0.



6. Samostojno delo po možnostih:


1 možnost

a) 3x 2 - 12 = 0

b) 2x 2 + 6x = 0

e) 7x 2 - 14 = 0

Možnost 2

b) 6x 2 + 24 = 0

c) 9y 2 - 4 = 0

d) -y 2 + 5 = 0

e) 1 - 4y 2 = 0

e) 8y 2 + y = 0

Možnost 3

a) 6y - y 2 = 0

b) 0,1y 2 - 0,5y = 0

c) (x + 1)(x -2) = 0

d) x(x + 0,5) = 0

e) x 2 - 2x = 0

e) x 2 - 16 = 0

Možnost 4

a) 9x 2 - 1 = 0

b) 3x - 2x 2 = 0

d) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

e) 3x 2 + 7 = 12x + 7

Možnost 5

a) 2x 2 - 18 = 0

b) 3x 2 - 12x = 0

d) x 2 + 16 = 0

e) 6x 2 - 18 = 0

e) x 2 - 5x = 0

Možnost 6

b) 4x 2 + 36 = 0

c) 25y 2 - 1 = 0

d) -y 2 + 2 = 0

e) 9 - 16y 2 = 0

e) 7y 2 + y = 0

Možnost 7

a) 4y - y 2 = 0

b) 0,2y 2 - y = 0

c) (x + 2)(x - 1) = 0

d) (x - 0,3)x = 0

e) x 2 + 4x = 0

e) x 2 - 36 = 0

Možnost 8

a) 16x 2 - 1 = 0

b) 4x - 5x 2 = 0

d) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

e) 5x 2 - 6 = 15x - 6


Odgovori na samostojno delo:

1. možnost: a)2, b)0;-3; c)0; d) brez korenin; d);

Možnost 2 a)0; b) korenine; V); G); d); e)0;- ;

Možnost 3 a)0;6; b)0;5; c) -1;2; d)0;-0,5; d)0;2; e)4

4 možnost a); b)0;1,5; c)0;3; d) 3; d)0;4 f)5

5 možnost a)3; b)0;4; c)0; d) brez korenin; e) f)0;5

6 možnost a)0; b) ni korenin; c) d) e)f)0;-

7 možnost a)0;4; b)0;5; c) -2;1; d)0;0,03; d)0;-4; e) 6

8 možnost a) b)0; c)0;7; d) 4; d)0;3; e)

Povzetek lekcije: Formuliran je koncept "nepopolne kvadratne enačbe"; so prikazane rešitve različne vrste nepopolne kvadratne enačbe. V teku razne naloge razvili so se spretnosti za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.


7. domača naloga: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

Dodatna naloga:

Za katere vrednosti a je enačba nepopolna kvadratna enačba? Rešite enačbo za dobljene vrednosti a:

a) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

b) (a - 2)x 2 + ax = 4 - a 2 = 0

Kvadratne enačbe. Diskriminator. Rešitev, primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Vrste kvadratnih enačb

Kaj je kvadratna enačba? kako izgleda V terminu kvadratna enačba ključna beseda je "kvadrat". To pomeni, da v enačbi Nujno mora biti x na kvadrat. Poleg tega enačba lahko (ali pa tudi ne!) vsebuje samo X (na prvo potenco) in samo število (brezplačni član). In ne sme biti X-ov na potenco, večjo od dve.

V matematičnem smislu je kvadratna enačba enačba oblike:

Tukaj a, b in c- nekaj številk. b in c- absolutno vse, ampak A– karkoli drugega kot nič. Na primer:

Tukaj A =1; b = 3; c = -4

Tukaj A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tukaj A =-3; b = 6; c = -18

No, razumeš ...

V teh kvadratnih enačbah na levi je popoln kompletčlani. X na kvadrat s koeficientom A, x na prvo potenco s koeficientom b in brezplačni član s.

Take kvadratne enačbe imenujemo poln.

Kaj če b= 0, kaj dobimo? Imamo X bo izgubljen na prvo potenco. To se zgodi, ko se pomnoži z nič.) Izkaže se, na primer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

itd. In če oba koeficienta b in c so enake nič, potem je še preprosteje:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Take enačbe, kjer nekaj manjka, imenujemo nepopolne kvadratne enačbe. Kar je povsem logično.) Upoštevajte, da je x na kvadrat prisoten v vseh enačbah.

Mimogrede, zakaj A ne more biti enako nič? In namesto tega zamenjate A nič.) Naš X na kvadrat bo izginil! Enačba bo postala linearna. In rešitev je popolnoma drugačna ...

To so vse glavne vrste kvadratnih enačb. Popolna in nepopolna.

Reševanje kvadratnih enačb.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb.

Kvadratne enačbe je enostavno rešiti. Po formulah in jasno preprosta pravila. Na prvi stopnji je potrebno podana enačba vodi do standardne oblike, tj. na obrazec:

Če vam je enačba že dana v tej obliki, vam ni treba opraviti prve stopnje.) Glavna stvar je, da pravilno določite vse koeficiente, A, b in c.

Formula za iskanje korenin kvadratne enačbe izgleda takole:

Izraz pod znakom korena se imenuje diskriminator. A več o njem spodaj. Kot lahko vidite, za iskanje X uporabljamo samo a, b in c. Tisti. koeficientov iz kvadratne enačbe. Samo previdno zamenjajte vrednosti a, b in c Računamo po tej formuli. Zamenjajmo s svojimi znaki! Na primer v enačbi:

A =1; b = 3; c= -4. Tukaj zapišemo:

Primer je skoraj rešen:

To je odgovor.

Je zelo preprosto. In kaj, mislite, da je nemogoče narediti napako? No, ja, kako ...

Najpogostejše napake so zamenjave z vrednostmi znakov a, b in c. Oziroma ne z njihovimi znaki (kje se zmedejo?), Ampak z zamenjavo negativnih vrednosti v formulo za izračun korenin. Pri tem pomaga podroben zapis formule z določenimi številkami. Če pride do težav z izračuni, naredi to!

Recimo, da moramo rešiti naslednji primer:

Tukaj a = -6; b = -5; c = -1

Recimo, da veste, da le redko dobite odgovore prvič.

No, ne bodi len. Za pisanje dodatne vrstice in število napak bo potrebnih približno 30 sekund se bo močno zmanjšalo. Zato pišemo podrobno, z vsemi oklepaji in znaki:

Zdi se, da je neverjetno težko zapisati tako skrbno. Ampak tako se le zdi. Poskusite. No, ali izberite. Kaj je bolje, hitro ali pravilno?

Poleg tega te bom osrečil. Čez nekaj časa ne bo več treba vsega tako natančno zapisovati. Samo od sebe se bo izšlo. Še posebej, če uporabljate praktične tehnike, ki so opisane spodaj. Ta zlobni primer s kupom minusov je mogoče enostavno in brez napak rešiti!

Toda pogosto kvadratne enačbe izgledajo nekoliko drugače. Na primer takole: Ste ga prepoznali?) Da! to.

nepopolne kvadratne enačbe

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb. a, b in c.

Lahko jih rešimo tudi s splošno formulo. Samo pravilno morate razumeti, čemu so tukaj enaki. Ste ugotovili? V prvem primeru a = 1; b = -4; c A ? Sploh ne obstaja! No ja, tako je. V matematiki to pomeni c = 0 ! To je to. Namesto tega v formulo nadomestite ničlo c, in uspelo nam bo. Enako z drugim primerom. Samo tukaj nimamo ničle z b !

, A

Toda nepopolne kvadratne enačbe je mogoče rešiti veliko preprosteje. Brez kakršnih koli formul. Oglejmo si prvo nepopolno enačbo. Kaj lahko narediš na levi strani? X lahko vzamete iz oklepaja! Vzemimo ga ven.
Kaj pa to? In dejstvo, da je produkt enak nič, če in samo če je kateri koli od faktorjev enak nič! ne verjameš? V redu, potem si izmislite dve neničelni števili, ki bosta pomnoženi dali nič!
ne deluje? to je to... Zato lahko z gotovostjo zapišemo:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Vse. To bodo korenine naše enačbe. Oba sta primerna. Ko nadomestimo katero koli od njih v prvotno enačbo, dobimo pravilno identiteto 0 = 0. Kot lahko vidite, je rešitev veliko preprostejša kot uporaba splošne formule. Naj mimogrede pripomnim, kateri X bo prvi in ​​kateri drugi - čisto vseeno. Primerno je pisati po vrstnem redu, x 1 - kaj je manjše in x 2

- tisto, kar je večje.

Tudi drugo enačbo lahko preprosto rešimo. Premakni 9 na desno stran. Dobimo:

Vse kar ostane je, da izvlečemo koren iz 9, in to je to. Izkazalo se bo: . Tudi dve korenini, x 1 = -3.

x 2 = 3
Tako se rešijo vse nepopolne kvadratne enačbe. Bodisi tako, da postavite X izven oklepaja ali preprosto premaknete številko v desno in nato izvlečete koren.

Te tehnike je zelo težko zamenjati. Preprosto zato, ker boš v prvem primeru moral izluščiti koren X, kar je nekako nerazumljivo, v drugem primeru pa ni kaj vzeti iz oklepaja ...

Diskriminator. Diskriminantna formula. diskriminator ! Redko kateri srednješolec te besede še ni slišal! Besedna zveza "rešujemo z diskriminantom" vzbuja zaupanje in pomiritev. Ker od diskriminanta ni treba pričakovati trikov! Uporaba je enostavna in brez težav.) Opozarjam vas na najbolj splošno formulo za reševanje katerikoli kvadratne enačbe:

Izraz pod korenom se imenuje diskriminant. Običajno je diskriminant označen s črko D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

In kaj je tako izjemnega pri tem izrazu? Zakaj si je zaslužil posebno ime? Kaj pomen diskriminatorja? Konec koncev -b, oz 2a v tej formuli nič posebej ne imenujejo ... Črke in črke.

Tukaj je stvar. Pri reševanju kvadratne enačbe s to formulo je to mogoče le trije primeri.

1. Diskriminanta je pozitivna. To pomeni, da je iz njega mogoče izvleči korenino. Ali je koren izvlečen dobro ali slabo, je drugo vprašanje. Pomembno je, kaj se načeloma izloči. Potem ima vaša kvadratna enačba dva korena. Dve različni rešitvi.

2. Diskriminanta je nič. Potem boste imeli eno rešitev. Ker dodajanje ali odštevanje ničle v števcu ne spremeni ničesar. Strogo gledano, to ni ena korenina, ampak dva enaka. Toda v poenostavljeni različici je običajno govoriti o ena rešitev.

3. Diskriminanta je negativna. Kvadratnega korena negativnega števila ni mogoče vzeti. Oh dobro. To pomeni, da ni rešitev.

Iskreno povedano, kdaj preprosta rešitev kvadratnih enačb koncept diskriminante ni posebej potreben. Vrednosti koeficientov nadomestimo v formulo in preštejemo. Tam se vse zgodi samo od sebe, dve korenini, ena in nobena. Pri reševanju zahtevnejših nalog pa brez znanja pomen in formula diskriminanta ne more mimo. Še posebej v enačbah s parametri. Takšne enačbe so akrobatika za državni izpit in enotni državni izpit!)

Torej, kako rešiti kvadratne enačbe prek diskriminatorja, ki ste se ga spomnili. Ali pa ste se naučili, kar tudi ni slabo.) Znate pravilno določiti a, b in c. Veš kako? pozorno jih nadomestite v korensko formulo in pozorno preštejte rezultat. Ste razumeli to ključna beseda tukaj - pozorno?

Sedaj pa upoštevajte praktične tehnike, ki dramatično zmanjšajo število napak. Tisti isti, ki so zaradi nepazljivosti... Za katere postane kasneje boleče in žaljivo...

Prvi termin . Ne bodite leni, preden rešite kvadratno enačbo in jo pripeljete v standardno obliko. Kaj to pomeni?
Recimo, da po vseh transformacijah dobite naslednjo enačbo:

Ne hitite s pisanjem korenske formule! Skoraj zagotovo se vam bodo pomešale možnosti a, b in c. Pravilno sestavite primer. Najprej X na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti člen. takole:

In še enkrat, ne hitite! Minus pred X na kvadrat vas lahko pošteno razburi. Lahko se pozabi ... Znebite se minusa. kako Da, kot je bilo učeno v prejšnji temi! Celotno enačbo moramo pomnožiti z -1. Dobimo:

Sedaj pa lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminanco in dokončate reševanje primera. Odločite se sami.

Zdaj bi morali imeti korenine 2 in -1. Drugi sprejem. Preverite korenine! Po Vietovem izreku. Ne bojte se, vse vam bom razložil! Preverjanje zadnji enačba. Tisti. tisti, ki smo ga uporabili za zapis korenske formule. Če (kot v tem primeru) koeficient a = 1 , je preverjanje korenin enostavno. Dovolj je, da jih pomnožimo. Rezultat bi moral biti brezplačen član, tj. v našem primeru -2. Upoštevajte, ne 2, ampak -2! Brezplačni član s svojim znakom

. Če ne gre, pomeni, da so že nekje zafrknili. Poiščite napako. bČe deluje, morate dodati korenine. Zadnji in zadnji pregled. Koeficient naj bo z nasprotje b znano. V našem primeru -1+2 = +1. Koeficient
, ki je pred X, je enako -1. Torej, vse je pravilno! Škoda, da je to tako preprosto samo za primere, kjer je x na kvadrat čist, s koeficientom a = 1.

Ampak vsaj preverite takšne enačbe! Napak bo vedno manj. Sprejem tretji . Če ima vaša enačba delne koeficiente, se jih znebite! Enačbo pomnožite z skupni imenovalec

, kot je opisano v lekciji "Kako rešiti enačbe? Identične transformacije." Pri delu z ulomki se iz nekega razloga vedno prikradejo napake ...

Mimogrede, obljubil sem, da bom zlobni primer poenostavil s kupom minusov. Prosim! Tukaj je.

Da se ne bi zmešali z minusi, enačbo pomnožimo z -1. Dobimo:

To je to! Reševanje je užitek!

Torej, povzamemo temo.:

Praktični nasveti 1. Kvadratno enačbo pred reševanjem spravimo v standardno obliko in jo sestavimo.

prav

2. Če je pred X na kvadrat negativen koeficient, ga izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z -1.

3. Če so koeficienti ulomki, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim faktorjem. 4. Če je x na kvadrat čist, je njegov koeficient enak ena, je rešitev enostavno preveriti z uporabo Vietovega izreka.

Naredi to!

Zdaj se lahko odločimo.)

Reši enačbe:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Zato lahko z gotovostjo zapišemo:
Odgovori (v neredu):

x 2 = 52

x 1,2 =
x 1 = 2

x 2 = -0,5

Tudi dve korenini
x 1 = -3

x - poljubno število

brez rešitev
x 1 = 0,25

Se vse ujema? odlično! Kvadratne enačbe niso vaš glavobol. Prvi trije so delovali, ostali pa ne? Potem problem ni v kvadratnih enačbah. Problem je v identičnih transformacijah enačb. Poglejte povezavo, je v pomoč.

Ne gre ravno? Ali pa sploh ne gre? Potem vam bo v pomoč razdelek 555. Vsi ti primeri so tam razčlenjeni. Prikazano glavni napake v rešitvi. Seveda govorimo tudi o uporabi identičnih transformacij v rešitvi različne enačbe. Zelo pomaga!

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Kvadratne enačbe. Splošne informacije.

IN kvadratna enačba mora biti x na kvadrat (zato se imenuje

"kvadrat") Poleg tega enačba lahko (ali pa tudi ne!) vsebuje preprosto X (na prvo potenco) in

samo številka (brezplačen član). In ne sme biti X-ov na potenco, večjo od dve.

Algebraična enačba splošni videz.

kje x- prosta spremenljivka, a, b, c— koeficienti in a≠0 .

Na primer:

Izraz klical kvadratni trinom.

Elementi kvadratne enačbe imajo lastna imena:

imenovan prvi ali najvišji koeficient,

· imenovan sekunda ali koeficient pri ,

· imenovan za brezplačnega člana.

Popolna kvadratna enačba.

Te kvadratne enačbe imajo na levi strani celoten niz členov. X na kvadrat c

koeficient A, x na prvo potenco s koeficientom b in brezplačno članz. IN vsi koeficienti

se mora razlikovati od nič.

Nepopolna je kvadratna enačba, v kateri je vsaj eden od koeficientov, razen

vodilni člen (bodisi drugi koeficient ali prosti člen) je enak nič.

Predpostavimo, da b= 0, - X na prvo potenco bo izginil. Izkazalo se je na primer:

2x 2 -6x=0,

itd. In če oba koeficienta b in c so enake nič, potem je vse še bolj preprosto, Na primer:

2x 2 =0,

Upoštevajte, da se x na kvadrat pojavlja v vseh enačbah.

zakaj A ne more biti enako nič? Potem bo x na kvadrat izginil in enačba bo postala linearni .

In rešitev je popolnoma drugačna ...

več na preprost način. Če želite to narediti, postavite z iz oklepaja. Dobili boste: z(аz + b) = 0. Faktorja lahko zapišemo: z=0 in аz + b = 0, saj lahko oba povzročita nič. V zapisu az + b = 0 premaknemo drugega v desno z drugim predznakom. Od tu dobimo z1 = 0 in z2 = -b/a. To so korenine izvirnika.

Če obstaja nepopolna enačba oblike аz² + с = 0, v v tem primeru najdemo tako, da prosti člen preprosto premaknemo na desno stran enačbe. Spremenite tudi njegov predznak. Rezultat bo az² = -с. Izrazi z² = -c/a. Vzemite koren in zapišite dve rešitvi - pozitivno in negativna vrednost kvadratni koren.

Prosimo, upoštevajte

Če so v enačbi delni koeficienti, pomnožite celotno enačbo z ustreznim faktorjem, da se znebite ulomkov.

Znanje reševanja kvadratnih enačb je potrebno tako za šolarje kot študente; včasih lahko to pomaga tudi odraslim običajno življenje. Obstaja več posebnih metod reševanja.

Reševanje kvadratnih enačb

Kvadratna enačba oblike a*x^2+b*x+c=0. Koeficient x je želena spremenljivka, a, b, c so numerični koeficienti. Ne pozabite, da se lahko znak "+" spremeni v znak "-".

Za rešitev te enačbe je potrebno uporabiti Vietov izrek ali najti diskriminanto. Najpogostejša metoda je iskanje diskriminante, saj za nekatere vrednosti a, b, c ni mogoče uporabiti Vietovega izreka.

Če želite najti diskriminanco (D), morate napisati formulo D=b^2 - 4*a*c. Vrednost D je lahko večja, manjša ali enaka nič. Če je D večji ali manjši od nič, bosta korena dva; če je D = 0, ostane samo en koren; natančneje lahko rečemo, da ima D v tem primeru dva enakovredna korena. V formulo nadomestite znane koeficiente a, b, c in izračunajte vrednost.

Ko najdete diskriminanco, uporabite formule za iskanje x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a kjer je sqrt funkcija, ki pomeni izvleček kvadratni koren od dano številko. Po izračunu teh izrazov boste našli dva korena vaše enačbe, po katerih enačba velja za rešeno.

Če je D manjši od nič, potem ima še vedno korenine. Ta razdelek se v šoli praktično ne preučuje. Študenti se morajo zavedati, da se pod korenom pojavlja negativno število. Znebijo se ga tako, da poudarijo namišljeni del, to je -1 pod korenom je vedno enako namišljenemu elementu "i", ki je pomnožen s korenom z enakim pozitivnim številom. Na primer, če je D=sqrt(-20), po transformaciji dobimo D=sqrt(20)*i. Po tej transformaciji se reševanje enačbe zmanjša na isto iskanje korenin, kot je opisano zgoraj.

Vietin izrek je sestavljen iz izbire vrednosti x(1) in x(2). Uporabljeni sta dve enaki enačbi: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. In zelo pomembna točka je predznak pred koeficientom b, ne pozabite, da je ta predznak nasproten tistemu v enačbi. Na prvi pogled se zdi, da je računanje x(1) in x(2) zelo preprosto, a pri reševanju se boste soočili z dejstvom, da boste morali števili izbrati.

Elementi reševanja kvadratnih enačb

V skladu s pravili matematike je nekaj mogoče faktorizirati: (a+x(1))*(b-x(2))=0, če vam je uspelo transformirati to kvadratno enačbo na podoben način z uporabo matematičnih formul, potem lahko zapišite odgovor. x(1) in x(2) bosta enaka sosednjima koeficientoma v oklepajih, vendar z nasprotnim predznakom.

Prav tako ne pozabite na nepopolne kvadratne enačbe. Morda manjkajo nekateri členi; če je tako, potem so vsi njegovi koeficienti preprosto enaki nič. Če pred x^2 ali x ni ničesar, sta koeficienta a in b enaka 1.