Enačba parabole je kvadratna funkcija. Obstaja več možnosti za sestavo te enačbe. Vse je odvisno od tega, kateri parametri so predstavljeni v izjavi problema.

Navodila

Parabola je krivulja, ki po obliki spominja na lok in je graf funkcija moči. Ne glede na značilnosti parabole je ta soda. Takšna funkcija se imenuje celo; za vse vrednosti argumenta iz definicije, ko se znak argumenta spremeni, se vrednost ne spremeni: f (-x) = f (x) Začnite z najpreprostejšo funkcijo: y = x^2. Po videzu lahko sklepamo, da je tako pozitivna kot negativna negativne vrednosti argument x. Točka, v kateri je x=0 in hkrati y =0, se šteje za točko.

Spodaj so vse glavne možnosti za konstruiranje te funkcije in njene . Kot prvi primer spodaj obravnavamo funkcijo v obliki: f(x)=x^2+a, kjer je a celo število. Da bi sestavili graf te funkcije, je potrebno premakniti graf funkcijo f(x) z enotami. Primer je funkcija y=x^2+3, kjer je funkcija vzdolž osi y zamaknjena za dve enoti. Če je podana funkcija z nasprotnim predznakom, na primer y=x^2-3, potem je njen graf pomaknjen navzdol vzdolž osi y.

Druga vrsta funkcije, ki ji je mogoče dati parabolo, je f(x)=(x +a)^2. V takih primerih se graf, nasprotno, premakne vzdolž abscisne osi (x osi) za enoto. Na primer, lahko upoštevamo funkcije: y=(x +4)^2 in y=(x-4)^2. V prvem primeru, kjer je funkcija s predznakom plus, se graf premakne vzdolž osi x v levo, v drugem primeru pa v desno. Vsi ti primeri so prikazani na sliki.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko pri v tej smeri. Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki. Kot med dvema ravnima črtama. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti dveh ravnih črt. Določanje presečišča dveh premic

1. Enačba premice, ki poteka skozi dano točko A(x 1 , l 1) v dani smeri, določeni z naklonom k,

l - l 1 = k(x - x 1). (1)

Ta enačba definira svinčnik črt, ki potekajo skozi točko A(x 1 , l 1), ki se imenuje središče žarka.

2. Enačba premice, ki poteka skozi dve točki: A(x 1 , l 1) in B(x 2 , l 2), napisano takole:

Kotni koeficient premice, ki poteka skozi dve dani točki, je določen s formulo

3. Kot med ravnimi črtami A in B je kot, za katerega je treba zasukati prvo premico A okoli presečišča teh črt v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler ne sovpada z drugo črto B. Če sta dve ravni črti podani z enačbami z naklonom

l = k 1 x + B 1 ,

Naj bosta podani dve točki M 1 (x 1,y 1) in M 2 (x 2, y 2). Zapišimo enačbo premice v obliki (5), kjer je kše neznan koeficient:

Od točke M 2 pripada dani premici, potem njene koordinate zadoščajo enačbi (5): . Če izrazimo od tu in jo nadomestimo v enačbo (5), dobimo zahtevano enačbo:

če to enačbo lahko prepišemo v obliki, ki je primernejša za pomnjenje:

(6)

Primer. Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točki M 1 (1,2) in M ​​2 (-2,3)

rešitev. . Z uporabo lastnosti razmerja in izvajanjem potrebnih transformacij dobimo splošna enačba neposredno:

Kot med dvema ravnima črtama

Razmislite o dveh ravnih črtah l 1 in l 2:

l 1: , , In

l 2: , ,

φ je kot med njima (). Iz slike 4 je razvidno: .

Od tukaj , oz

S formulo (7) lahko določite enega od kotov med ravnimi črtami. Drugi kot je enak .

Primer. Dve ravni črti sta podani z enačbama y=2x+3 in y=-3x+2. poiščite kot med tema črtama.

rešitev. Iz enačb je razvidno, da je k 1 =2 in k 2 =-3. Če nadomestimo te vrednosti v formulo (7), najdemo

. Tako je kot med tema črtama enak .

Pogoji vzporednosti in pravokotnosti dveh ravnih črt

Če naravnost l 1 in l 2 sta torej vzporedna φ=0 in tgφ=0. iz formule (7) sledi , od koder je k 2 =k 1. Tako je pogoj za vzporednost dveh premic enakost njunih kotnih koeficientov.

Če naravnost l 1 in l 2 so pravokotni, torej φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Tako je pogoj za pravokotnost dveh ravnih črt ta, da sta njuna kotna koeficienta inverzna po velikosti in nasprotna po predznaku.

Razdalja od točke do črte

Izrek. Če je podana točka M(x 0, y 0), potem je razdalja do premice Ax + Bу + C = 0 določena kot

Dokaz. Naj bo točka M 1 (x 1, y 1) osnova navpičnice, spuščene iz točke M na dano premico. Potem je razdalja med točkama M in M ​​1:

Koordinati x 1 in y 1 lahko najdemo z rešitvijo sistema enačb:

Druga enačba sistema je enačba premice, ki poteka skozi dano točko M 0 pravokotno na dano premico.

Če pretvorimo prvo enačbo sistema v obliko:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potem z reševanjem dobimo:

Če nadomestimo te izraze v enačbo (1), ugotovimo:

Izrek je dokazan.

Primer. Določite kot med premicama: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Primer. Dokaži, da sta premici 3x – 5y + 7 = 0 in 10x + 6y – 3 = 0 pravokotni.

Ugotovimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, torej sta premici pravokotni.

Primer. Dana so oglišča trikotnika A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Poiščite enačbo višine, narisane iz oglišča C.

Poiščemo enačbo stranice AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Zahtevana višinska enačba ima obliko: Ax + By + C = 0 ali y = kx + b.

k= . Potem je y = . Ker višina poteka skozi točko C, potem njene koordinate zadoščajo tej enačbi: od koder je b = 17. Skupaj: .

Odgovor: 3x + 2y – 34 = 0.

Razdalja od točke do premice je določena z dolžino navpičnice, narisane iz točke na premico.

Če je premica vzporedna s projekcijsko ravnino (h | | P 1), nato pa za določitev razdalje od točke A na ravno črto h potrebno je spustiti navpičnico s točke A na vodoravno h.

Razmislimo več zapleten primer, ko premica traja splošni položaj. Naj bo treba določiti razdaljo od točke M na ravno črto A splošni položaj.

Ugotovitvena naloga razdalje med vzporednimi črtami se rešuje podobno kot prejšnji. Na eni premici vzamemo točko in z nje spustimo navpičnico na drugo premico. Dolžina navpičnice je enaka razdalji med vzporednicama.

Krivulja drugega reda je premica, določena z enačbo druge stopnje glede na trenutne kartezične koordinate. V splošnem primeru je Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

kjer so A, B, C, D, E, F realna števila in vsaj eno od števil A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

krog

Središče kroga– to je geometrijsko mesto točk v ravnini, ki je enako oddaljena od točke v ravnini C(a,b).

Krog je podan z naslednjo enačbo:

Kjer sta x,y koordinati poljubne točke na krogu, je R polmer kroga.

Znak enačbe kroga

1. Manjka člen z x, y

2. Koeficienta za x 2 in y 2 sta enaka

Elipsa

Elipsa se imenuje geometrijsko mesto točk v ravnini, vsota razdalj vsake od dveh danih točk te ravnine pa se imenuje žarišča (konstantna vrednost).

Kanonična enačba elipse:

X in y pripadata elipsi.

a – velika polos elipse

b – mala pol os elipse

Elipsa ima 2 simetrijski osi OX in OU. Simetrijske osi elipse so njene osi, točka njihovega presečišča je središče elipse. Os, na kateri se nahajajo žarišča, se imenuje goriščna os. Točka presečišča elipse z osema je vrh elipse.

Kompresijsko (napetostno) razmerje: ε = s/a– ekscentričnost (označuje obliko elipse), manjša kot je, manj je elipsa raztegnjena vzdolž goriščne osi.

Če središča elipse niso v središču C(α, β)

Hiperbola

Hiperbola se imenuje geometrijsko mesto točk v ravnini, absolutna vrednost razlike v razdaljah, od katerih je vsaka od dveh danih točk te ravnine, imenovanih žarišča, konstantna vrednost, različna od nič.

Kanonična enačba hiperbole

Hiperbola ima 2 simetrični osi:

a – realna simetrijska polos

b – namišljena simetrijska polos

Asimptote hiperbole:

Parabola

Parabola je geometrijsko mesto točk v ravnini, ki so enako oddaljene od dane točke F, imenovane žarišče, in dane premice, imenovane direktrisa.

Kanonična enačba parabole:

У 2 =2рх, kjer je р razdalja od žarišča do direktrise (parabolični parameter)

Če je vrh parabole C (α, β), potem je enačba parabole (y-β) 2 = 2р(x-α)

Če vzamemo goriščno os kot ordinatno os, bo enačba parabole v obliki: x 2 =2qу

Enačba premice na ravnini.
Smerni vektor je raven. Normalni vektor

Ravna črta na ravnini je ena najpreprostejših geometrijske oblike, ki vam je znan od mlajši razredi, danes pa se bomo naučili, kako se z njim soočiti z metodami analitične geometrije. Če želite obvladati snov, morate biti sposobni zgraditi ravno črto; vedeti, katera enačba določa premico, zlasti premico, ki poteka skozi koordinatno izhodišče, in premice, vzporedne s koordinatnimi osemi. Te informacije najdete v priročniku Grafi in lastnosti elementarnih funkcij, sem ga ustvaril za Mathana, vendar se je razdelek o linearni funkciji izkazal za zelo uspešnega in podrobnega. Zato se, dragi čajniki, najprej ogrejte tam. Poleg tega morate imeti osnovno znanje o vektorji, sicer bo razumevanje gradiva nepopolno.

Vklopljeno to lekcijo Ogledali si bomo načine, kako lahko sestavite enačbo premice na ravnini. Priporočam, da ne zanemarite praktičnih primerov (tudi če se zdijo zelo preprosti), saj jim bom ponudil osnovne in pomembna dejstva, tehnične metode, ki bo v prihodnosti potrebna tudi v drugih oddelkih višje matematike.

• Kako zapisati enačbo ravne črte s kotnim koeficientom?
• Kako?
• Kako najti smerni vektor z uporabo splošne enačbe ravne črte?
• Kako napisati enačbo ravne črte glede na točko in normalni vektor?

in začnemo:

Enačba premice z naklonom

Dobro znana "šolska" oblika enačbe ravne črte se imenuje enačba premice z naklonom. Na primer, če je ravna črta podana z enačbo, potem je njena pobočje: . Razmislimo geometrijski pomen tega koeficienta in kako njegova vrednost vpliva na lokacijo črte:

Pri tečaju geometrije je to dokazano naklon premice je enak tangens kota med pozitivno smerjo osiin ta vrstica: , in kot se "odvije" v nasprotni smeri urinega kazalca.

Da ne bi risal v nered, sem narisal kote samo za dve ravni črti. Oglejmo si "rdečo" črto in njen naklon. V skladu z zgornjim: (kot "alfa" je označen z zelenim lokom). Za "modro" premico s kotnim koeficientom velja enakost ("beta" kot je označen z rjavim lokom). In če je tangens kota znan, ga je po potrebi enostavno najti in sam vogal z uporabo inverzna funkcija– arktangens. Kot pravijo, trigonometrična tabela ali mikrokalkulator v vaših rokah. torej kotni koeficient označuje stopnjo naklona ravne črte na os abscise.

Možni so naslednji primeri:

1) Če je naklon negativen: potem črta, grobo rečeno, poteka od zgoraj navzdol. Primeri so "modre" in "maline" ravne črte na risbi.

2) Če je naklon pozitiven: črta poteka od spodaj navzgor. Primeri - "črne" in "rdeče" ravne črte na risbi.

3) Če je naklon enak nič: , ima enačba obliko , ustrezna premica pa je vzporedna z osjo. Primer je "rumena" ravna črta.

4) Za družino črt, vzporednih z osjo (na risbi ni primera, razen same osi), kotni koeficient ne obstaja (tangenta 90 stopinj ni definirana).

Večji kot je naklon v absolutni vrednosti, bolj strm je ravni črtni graf..

Na primer, razmislite o dveh ravnih črtah. Tu ima torej ravna črta večji naklon. Naj vas spomnim, da modul omogoča ignoriranje znaka, ki nas zanima samo absolutne vrednosti kotni koeficienti.

Po drugi strani pa je ravna črta bolj strma od ravnih črt .

Nasprotno: manjši kot je koeficient naklona v absolutni vrednosti, bolj položna je ravna črta.

Za ravne črte neenakost je resnična, zato je premica bolj položna. Otroški tobogan, da si ne naredite modric in udarcev.

Zakaj je to potrebno?

Podaljšajte svoje muke Poznavanje zgornjih dejstev vam omogoča, da takoj vidite svoje napake, zlasti napake pri gradnji grafov - če se izkaže, da je risba "očitno nekaj narobe." Priporočljivo je, da takoj jasno je bilo, da je na primer ravna črta zelo strma in gre od spodaj navzgor, ravna črta pa je zelo ravna, pritisnjena blizu osi in gre od zgoraj navzdol.

V geometrijskih problemih se pogosto pojavi več ravnih črt, zato jih je priročno nekako označiti.

Poimenovanja: ravne črte so označene z malimi latiničnimi črkami: . Priljubljena možnost je, da jih označite z isto črko z naravnimi indeksi. Na primer, pet vrstic, ki smo si jih pravkar ogledali, lahko označimo z .

Ker je vsaka ravna črta enolično določena z dvema točkama, jo lahko označimo s temi točkami: itd. Oznaka jasno pomeni, da točke pripadajo premici.

Čas je, da se malo ogrejemo:

Kako zapisati enačbo ravne črte s kotnim koeficientom?

Če sta znana točka, ki pripada določeni premici, in kotni koeficient te premice, potem je enačba te premice izražena s formulo:

Primer 1

Napiši enačbo premice s kotnim koeficientom, če je znano, da točka pripada tej premici.

rešitev: Sestavimo enačbo premice s pomočjo formule . IN v tem primeru:

Odgovori:

Pregled se naredi preprosto. Najprej pogledamo nastalo enačbo in se prepričamo, da je naš naklon pravilen. Drugič, koordinate točke morajo zadostiti tej enačbi. Vključimo jih v enačbo:

Dobimo pravilno enakost, kar pomeni, da točka zadošča nastali enačbi.

Zaključek: Enačba je bila pravilno ugotovljena.

Bolj zapleten primer, ki ga lahko rešite sami:

Primer 2

Napiši enačbo za premico, če je znano, da je njen naklonski kot na pozitivno smer osi , točka pa pripada tej premici.

Če imate kakršne koli težave, ponovno preberite teoretično gradivo. Natančneje, bolj praktično, preskočim veliko dokazov.

Zazvonilo je zadnji klic, maturantska zabava je zamrla, pred vrati naše domače šole pa nas čaka sama analitična geometrija. šale je konec... Ali pa se morda šele začenjajo =)

Nostalgično pomahamo s peresom znanemu in se seznanimo s splošno enačbo premice. Ker se v analitični geometriji uporablja točno to:

Splošna enačba premice ima obliko: , kje so številke. Hkrati so koeficienti istočasno niso enake nič, saj enačba izgubi pomen.

Oblecimo se v obleko in povežimo enačbo s koeficientom naklona. Najprej premaknimo vse izraze na levo stran:

Izraz z "X" mora biti postavljen na prvo mesto:

Načeloma ima enačba že obliko , vendar mora biti po pravilih matematičnega bontona koeficient prvega člena (v tem primeru) pozitiven. Spreminjanje znakov:

Zapomnite si to tehnično lastnost! Prvi koeficient naredimo (najpogosteje) pozitiven!

V analitični geometriji bo skoraj vedno podana enačba ravne črte splošna oblika. No, če je potrebno, ga je mogoče enostavno zmanjšati na "šolsko" obliko s kotnim koeficientom (z izjemo ravnih črt, vzporednih z ordinatno osjo).

Vprašajmo se kaj dovolj znate sestaviti premico? Dve točki. Toda več o tem dogodku iz otroštva, zdaj velja pravilo s puščicami. Vsaka ravna črta ima zelo specifičen naklon, ki se mu zlahka »prilagodi«. vektor.

Vektor, ki je vzporeden s premico, imenujemo smerni vektor te premice. Očitno je, da ima vsaka ravna črta neskončno veliko smernih vektorjev in vsi bodo kolinearni (sosmerni ali ne - ni pomembno).

Smerni vektor bom označil takole: .

Toda en vektor ni dovolj za konstrukcijo ravne črte; vektor je prost in ni vezan na nobeno točko na ravnini. Zato je dodatno potrebno poznati še kakšno točko, ki pripada premici.

Kako napisati enačbo ravne črte z uporabo točke in smernega vektorja?

Če sta znana določena točka, ki pripada premici, in smerni vektor te premice, potem lahko enačbo te premice sestavimo s formulo:

Včasih se imenuje kanonična enačba premice .

Kaj storiti, ko eno od koordinat enaka nič, bomo razumeli v spodnjih praktičnih primerih. Mimogrede, upoštevajte - obe naenkrat koordinate ne morejo biti enake nič, saj ničelni vektor ne določa določene smeri.

Primer 3

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja

rešitev: Sestavimo enačbo premice po formuli. V tem primeru:

Z uporabo lastnosti razmerja se znebimo ulomkov:

In enačbo pripeljemo do splošni videz:

Odgovori:

Praviloma v takih primerih ni treba narediti risbe, ampak zaradi razumevanja:

Na risbi vidimo začetno točko, prvotni smerni vektor (lahko ga izrišemo iz katerekoli točke na ravnini) in zgrajeno premico. Mimogrede, v mnogih primerih je najbolj priročno zgraditi ravno črto z uporabo enačbe s kotnim koeficientom. Našo enačbo je enostavno preoblikovati v obliko in enostavno izbrati drugo točko za sestavo ravne črte.

Kot je bilo omenjeno na začetku odstavka, ima ravna črta neskončno število smernih vektorjev in vsi so kolinearni. Na primer, narisal sem tri takšne vektorje: . Ne glede na smerni vektor, ki ga izberemo, bo rezultat vedno enaka enačba ravne črte.

Ustvarimo enačbo ravne črte z uporabo točke in vektorja smeri:

Rešitev razmerja:

Obe strani delite z –2 in dobite znano enačbo:

Zainteresirani lahko na enak način testirajo vektorje ali kateri koli drug kolinearni vektor.

Zdaj pa rešimo obratni problem:

Kako najti smerni vektor z uporabo splošne enačbe ravne črte?

Zelo preprosto:

Če je premica podana s splošno enačbo v pravokotnem koordinatnem sistemu, potem je vektor smerni vektor te premice.

Primeri iskanja smernih vektorjev ravnih črt:

Stavek nam omogoča, da najdemo samo en smerni vektor od neskončnega števila, vendar jih ne potrebujemo več. Čeprav je v nekaterih primerih priporočljivo zmanjšati koordinate vektorjev smeri:

Tako enačba podaja ravno črto, ki je vzporedna z osjo, koordinate dobljenega smernega vektorja pa so priročno deljene z –2, s čimer dobimo točno osnovni vektor kot smerni vektor. Logično.

Podobno enačba podaja ravno črto, vzporedno z osjo, in z deljenjem koordinat vektorja s 5 dobimo ort vektor kot smerni vektor.

Zdaj pa naredimo to preverjanje primera 3. Primer se je povečal, zato vas spominjam, da smo v njem sestavili enačbo ravne črte s točko in smernim vektorjem

Prvič, z uporabo enačbe premice rekonstruiramo njen smerni vektor: – vse je v redu, prejeli smo izvirni vektor (v nekaterih primerih je lahko rezultat kolinearen vektor izvirnemu, kar je običajno enostavno opaziti po sorazmernosti ustreznih koordinat).

Drugič, morajo koordinate točke zadoščati enačbi. Zamenjamo jih v enačbo:

Dosežena je pravilna enakost, česar smo zelo veseli.

Zaključek: Naloga je bila pravilno opravljena.

Primer 4

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije. Zelo priporočljivo je, da preverite z algoritmom, o katerem smo pravkar razpravljali. Poskusite vedno (če je mogoče) preveriti osnutek. Neumno je delati napake, kjer se jim je mogoče 100% izogniti.

V primeru, da je ena od koordinat smernega vektorja enaka nič, postopajte zelo preprosto:

Primer 5

rešitev: Formula ni primerna, ker je imenovalec na desni strani nič. Obstaja izhod! Z uporabo lastnosti sorazmerja prepišemo formulo v obliki, ostalo pa valjamo po globoki ruti:

Odgovori:

Pregled:

1) Obnovite usmerjevalni vektor premice:
– dobljeni vektor je kolinearen prvotnemu smernemu vektorju.

2) Nadomestite koordinate točke v enačbo:

Dobljena je pravilna enakost

Zaključek: naloga opravljena pravilno

Postavlja se vprašanje, zakaj bi se mučili s formulo, če obstaja univerzalna različica, ki bo delovala v vsakem primeru? Razloga sta dva. Prvič, formula je v obliki ulomka veliko bolje zapomniti. In drugič, pomanjkljivost univerzalne formule je ta tveganje za zmedo se znatno poveča pri zamenjavi koordinat.

Primer 6

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja.

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

Vrnimo se k vseprisotnim dvema točkama:

Kako zapisati enačbo ravne črte z uporabo dveh točk?

Če sta znani dve točki, lahko enačbo premice, ki poteka skozi ti točki, sestavimo s formulo:

Pravzaprav je to vrsta formule in tukaj je razlog: če sta znani dve točki, bo vektor smerni vektor dane črte. V razredu Vektorji za lutke smo upoštevali najpreprostejša naloga– kako najti koordinate vektorja iz dveh točk. V skladu s tem problemom so koordinate vektorja smeri:

Opomba : točke lahko "zamenjamo" in uporabimo formulo . Takšna rešitev bo enakovredna.

Primer 7

Napišite enačbo premice z dvema točkama .

rešitev: Uporabljamo formulo:

Česanje imenovalcev:

In premešaj krov:

Zdaj je čas, da se znebite ulomkov. V tem primeru morate obe strani pomnožiti s 6:

Odprite oklepaje in si opomnite enačbo:

Odgovori:

Pregled je očitno - koordinate začetnih točk morajo izpolnjevati nastalo enačbo:

1) Zamenjajte koordinate točke:

Prava enakost.

2) Zamenjajte koordinate točke:

Prava enakost.

Zaključek: Enačba premice je pravilno zapisana.

če vsaj enega točk ne zadošča enačbi, poiščite napako.

Omeniti velja, da je grafično preverjanje v tem primeru težavno, saj je treba zgraditi ravno črto in ugotoviti, ali ji točke pripadajo , ni tako preprosto.

Omenil bom še nekaj tehničnih vidikov rešitve. Morda je pri tej težavi bolj donosno uporabiti zrcalno formulo in na istih točkah naredi enačbo:

Manj frakcij. Če želite, lahko rešitev izvedete do konca, rezultat mora biti enaka enačba.

Druga točka je pogledati končni odgovor in ugotoviti, ali bi ga bilo mogoče še poenostaviti? Na primer, če dobite enačbo , je priporočljivo, da jo zmanjšate za dve: – enačba bo definirala isto ravno črto. Vendar je to že tema pogovora relativni položaj črt.

Po prejemu odgovora v primeru 7 sem za vsak slučaj preveril, ali so VSI koeficienti enačbe deljivi z 2, 3 ali 7. Čeprav se najpogosteje takšna zmanjšanja izvajajo med reševanjem.

Primer 8

Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točke .

To je primer neodvisne rešitve, ki vam bo omogočila boljše razumevanje in vadbo računskih tehnik.

Podobno kot v prejšnjem odstavku: če je v formuli eden od imenovalcev (koordinata smernega vektorja) postane nič, potem ga prepišemo v obliki . Spet opazite, kako nerodno in zmedeno je videti. Ne vidim smisla v navajanju praktičnih primerov, saj smo to težavo že dejansko rešili (glej št. 5, 6).

Neposredni normalni vektor (normalni vektor)

Kaj je normalno? Z enostavnimi besedami, normala je pravokotna. To pomeni, da je normalni vektor premice pravokoten na dano premico. Očitno jih ima vsaka premica neskončno število (kot tudi smernih vektorjev) in vsi normalni vektorji premice bodo kolinearni (sosmerni ali ne, ni razlike).

Ukvarjanje z njimi bo še lažje kot z vodilnimi vektorji:

Če je premica podana s splošno enačbo v pravokotnem koordinatnem sistemu, potem je vektor normalni vektor te premice.

Če je treba koordinate smernega vektorja previdno "izvleči" iz enačbe, lahko koordinate normalnega vektorja preprosto "odstranimo".

Normalni vektor je vedno pravokoten na smerni vektor premice. Preverimo ortogonalnost teh vektorjev z uporabo pikasti izdelek:

Podal bom primere z enakimi enačbami kot za vektor smeri:

Ali je mogoče sestaviti enačbo premice z eno točko in normalnim vektorjem? To čutim v svojem črevesju, možno je. Če je normalni vektor znan, je smer same ravne črte jasno določena - to je "toga struktura" s kotom 90 stopinj.

Kako napisati enačbo ravne črte glede na točko in normalni vektor?

Če sta znana določena točka, ki pripada premici, in normalni vektor te premice, potem je enačba te premice izražena s formulo:

Tu se je vse izšlo brez ulomkov in drugih presenečenj. To je naš normalni vektor. Ljubi ga. In spoštovanje =)

Primer 9

Napiši enačbo premice, dani točki in normalnemu vektorju. Poiščite smerni vektor premice.

rešitev: Uporabljamo formulo:

Splošna enačba premice je bila pridobljena, preverimo:

1) "Odstranite" koordinate normalnega vektorja iz enačbe: – ja, res, originalni vektor je bil dobljen iz pogoja (oz. bi moral biti pridobljen kolinearni vektor).

2) Preverimo, ali točka ustreza enačbi:

Prava enakost.

Ko se prepričamo, da je enačba pravilno sestavljena, opravimo drugi, lažji del naloge. Izvzamemo usmerjevalni vektor premice:

Odgovori:

Na risbi je situacija videti takole:

Za namene usposabljanja podobna naloga za samostojno reševanje:

Primer 10

Napiši enačbo premice, podani točki in normalnem vektorju. Poiščite smerni vektor premice.

Zadnji del lekcije bo namenjen manj pogostim, a tudi pomembne vrste enačbe premice na ravnini

Enačba ravne črte v segmentih.
Enačba premice v parametrični obliki

Enačba premice v segmentih ima obliko , kjer so konstante, ki niso nič. Nekaterih vrst enačb ni mogoče predstaviti v tej obliki, na primer neposredne sorazmernosti (ker je prosti člen enak nič in ga ni mogoče dobiti na desni strani).

To je, figurativno rečeno, »tehnična« vrsta enačbe. Pogosta naloga je predstaviti splošno enačbo premice kot enačbo premice v segmentih. Kako je priročno? Enačba črte v segmentih vam omogoča, da hitro najdete točke presečišča črte z koordinatne osi, kar je lahko zelo pomembno pri nekaterih problemih višje matematike.

Poiščimo presečišče premice z osjo. Ponastavimo "y" in enačba ima obliko . Želena točka se pridobi samodejno: .

Enako z osjo – točka, v kateri premica seka ordinatno os.

Ta članek razkriva, kako dobiti enačbo premice, ki poteka skozi dve danih točk v pravokotnem koordinatnem sistemu, ki se nahaja na ravnini. Izpeljimo enačbo premice, ki poteka skozi dve dani točki v pravokotnem koordinatnem sistemu. Nazorno bomo prikazali in rešili več primerov, povezanih z obravnavano snovjo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Preden dobimo enačbo premice, ki poteka skozi dve dani točki, je treba biti pozoren na nekaj dejstev. Obstaja aksiom, ki pravi, da je skozi dve divergentni točki na ravnini mogoče narisati ravno črto in samo eno. Z drugimi besedami, dve dani točki na ravnini sta določeni z ravno črto, ki poteka skozi ti točki.

Če je ravnina določena s pravokotnim koordinatnim sistemom Oxy, bo vsaka ravna črta, prikazana v njej, ustrezala enačbi ravne črte na ravnini. Obstaja tudi povezava z usmerjevalnim vektorjem premice. Ti podatki zadoščajo za sestavo enačbe premice, ki poteka skozi dve dani točki.

Oglejmo si primer reševanja podobnega problema. Treba je ustvariti enačbo za premico a, ki poteka skozi dve divergentni točki M 1 (x 1, y 1) in M ​​2 (x 2, y 2), ki se nahajata v kartezičnem koordinatnem sistemu.

V kanonični enačbi premice na ravnini, ki ima obliko x - x 1 a x = y - y 1 a y, je določen pravokotni koordinatni sistem O x y s premico, ki se z njim seka v točki s koordinatami M 1 (x 1, y 1) z vodilnim vektorjem a → = (a x , a y) .

Treba je sestaviti kanonična enačba premica a, ki bo potekala skozi dve točki s koordinatama M 1 (x 1, y 1) in M ​​2 (x 2, y 2).

Premica a ima smerni vektor M 1 M 2 → s koordinatami (x 2 - x 1, y 2 - y 1), saj seka točki M 1 in M ​​2. Pridobili smo potrebne podatke za pretvorbo kanonične enačbe s koordinatami smernega vektorja M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) in koordinatami točk M 1, ki ležijo na njih. (x 1, y 1) in M ​​2 (x 2, y 2) . Dobimo enačbo oblike x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ali x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Razmislite o spodnji sliki.

Po izračunih zapišemo parametrične enačbe premice na ravnini, ki poteka skozi dve točki s koordinatama M 1 (x 1, y 1) in M ​​2 (x 2, y 2). Dobimo enačbo v obliki x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ali x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ.

Oglejmo si podrobneje reševanje več primerov.

Primer 1

Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi 2 podani točki s koordinatami M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

rešitev

Kanonična enačba za premico, ki se seka v dveh točkah s koordinatama x 1, y 1 in x 2, y 2, ima obliko x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Glede na pogoje naloge velja, da je x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Numerične vrednosti je treba nadomestiti v enačbo x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Od tod dobimo, da ima kanonična enačba obliko x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odgovor: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Če morate rešiti problem z drugo vrsto enačbe, potem lahko najprej preidete na kanonično, saj je od nje lažje priti do katere koli druge.

Primer 2

Sestavite splošno enačbo premice, ki poteka skozi točke s koordinatama M 1 (1, 1) in M ​​2 (4, 2) v koordinatnem sistemu O x y.

rešitev

Najprej morate zapisati kanonično enačbo dane premice, ki poteka skozi dani dve točki. Dobimo enačbo v obliki x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Spravimo kanonično enačbo v želeno obliko, potem dobimo:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

odgovor: x - 3 y + 2 = 0 .

Primeri takšnih nalog so bili obravnavani v šolskih učbenikih pri pouku algebre. Šolske naloge so se razlikovale po tem, da je bila znana enačba premice s kotnim koeficientom, ki ima obliko y = k x + b. Če morate najti vrednost naklona k in števila b, za katerega enačba y = k x + b določa premico v sistemu O x y, ki poteka skozi točki M 1 (x 1, y 1) in M ​​2 (x 2, y 2) , kjer je x 1 ≠ x 2. Ko je x 1 = x 2 , potem kotni koeficient prevzame vrednost neskončnosti, premica M 1 M 2 pa je definirana s splošno nepopolna enačba oblike x - x 1 = 0 .

Ker točke M 1 in M 2 sta na ravni črti, potem njihove koordinate zadovoljujejo enačbi y 1 = k x 1 + b in y 2 = k x 2 + b. Za k in b je potrebno rešiti sistem enačb y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b.

Da bi to naredili, najdemo k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ali k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

S tema vrednostma k in b postane enačba premice, ki poteka skozi dani dve točki, y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ali y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Zapomni si to takoj ogromno formule ne bodo delovale. Za to je potrebno povečati število ponovitev pri reševanju nalog.

Primer 3

Zapišite enačbo premice s kotnim koeficientom, ki poteka skozi točke s koordinatami M 2 (2, 1) in y = k x + b.

rešitev

Za rešitev problema uporabimo formulo s kotnim koeficientom oblike y = k x + b. Koeficienta k in b morata imeti takšno vrednost, da podana enačba je ustrezala ravni črti, ki poteka skozi dve točki s koordinatama M 1 (- 7, - 5) in M ​​2 (2, 1).

Točke M 1 in M 2 nahajajo na ravni črti, potem morajo biti njihove koordinate enačba y = k x + b prava enakost. Iz tega dobimo, da je - 5 = k · (- 7) + b in 1 = k · 2 + b. Združimo enačbo v sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b in rešimo.

Ob zamenjavi to dobimo

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Zdaj sta vrednosti k = 2 3 in b = - 1 3 zamenjani v enačbo y = k x + b. Ugotovimo, da bo zahtevana enačba, ki poteka skozi dane točke, enačba oblike y = 2 3 x - 1 3 .

Ta način rešitve vnaprej določa porabo velika količinačas. Obstaja način, s katerim se naloga reši dobesedno v dveh korakih.

Zapišimo kanonično enačbo premice, ki poteka skozi M 2 (2, 1) in M ​​1 (- 7, - 5), ki ima obliko x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Zdaj pa pojdimo k enačbi naklona. Dobimo, da je: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Odgovor: y = 2 3 x - 1 3 .

Če v tridimenzionalnem prostoru obstaja pravokotni koordinatni sistem O x y z z dvema podanima točkama, ki ne sovpadata s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) in M ​​2 (x 2, y 2, z 2), je ravna črta M, ki poteka skozi njih 1 M 2 , je treba dobiti enačbo te črte.

Imamo, da so kanonične enačbe oblike x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z in parametrične enačbe oblike x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ lahko definirajo premico v koordinatnem sistemu O x y z, ki poteka skozi točke s koordinatami (x 1, y 1, z 1) s smernim vektorjem a → = (a x, a y, a z).

Ravni M 1 M 2 ima smerni vektor oblike M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), kjer premica poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1, z 1) in M ​​2 (x 2 , y 2 , z 2), zato je kanonična enačba lahko v obliki x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ali x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, nato pa parametrično x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ali x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Razmislite o risbi, ki prikazuje 2 dani točki v prostoru in enačbo premice.

Primer 4

Zapišite enačbo premice, določene v pravokotnem koordinatnem sistemu O x y z tridimenzionalnega prostora, ki poteka skozi dani dve točki s koordinatama M 1 (2, - 3, 0) in M ​​2 (1, - 3, - 5).

rešitev

Treba je najti kanonično enačbo. Ker govorimo o tridimenzionalnem prostoru, to pomeni, da bo želena kanonična enačba, ko poteka skozi dane točke, dobila obliko x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Po pogoju velja, da je x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Iz tega sledi, da bodo potrebne enačbe zapisane takole:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odgovor: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter