Στα μαθηματικά, το ερώτημα πώς να εξαγάγετε μια ρίζα θεωρείται σχετικά απλό. Αν τετραγωνίσετε τους αριθμούς από φυσική σειρά: 1, 2, 3, 4, 5...n, τότε παίρνουμε την ακόλουθη σειρά τετραγώνων: 1, 4, 9, 16...n 2. Η σειρά των τετραγώνων είναι άπειρη, και αν την κοιτάξετε προσεκτικά, θα δείτε ότι δεν υπάρχουν πολλοί ακέραιοι αριθμοί σε αυτήν. Το γιατί συμβαίνει αυτό θα εξηγηθεί λίγο αργότερα.
Ρίζα αριθμού: κανόνες υπολογισμού και παραδείγματα
Έτσι, τετραγωνίσαμε τον αριθμό 2, δηλαδή τον πολλαπλασιάσαμε με τον εαυτό του και πήραμε 4. Πώς να εξαγάγουμε τη ρίζα του αριθμού 4; Ας πούμε αμέσως ότι οι ρίζες μπορεί να είναι τετράγωνες, κυβικές και οποιοσδήποτε βαθμός μέχρι το άπειρο.
Βαθμός ρίζας – πάντα φυσικός αριθμός, δηλαδή, είναι αδύνατο να λυθεί μια τέτοια εξίσωση: μια ρίζα στη δύναμη του 3,6 του n.
Τετραγωνική ρίζα
Ας επιστρέψουμε στο ερώτημα πώς να εξαγάγουμε την τετραγωνική ρίζα του 4. Αφού τετραγωνίσαμε τον αριθμό 2, θα εξαγάγουμε και την τετραγωνική ρίζα. Για να εξαγάγετε σωστά τη ρίζα του 4, απλά πρέπει να επιλέξετε τον σωστό αριθμό που, όταν τετραγωνιστεί, θα έδινε τον αριθμό 4. Και αυτό, φυσικά, είναι το 2. Δείτε το παράδειγμα:
- 2 2 =4
- Ρίζα 4 = 2
Αυτό το παράδειγμα είναι αρκετά απλό. Ας προσπαθήσουμε να εξαγάγουμε την τετραγωνική ρίζα του 64. Ποιος αριθμός όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του δίνει το 64; Προφανώς είναι 8.
- 8 2 =64
- Ρίζα του 64=8
Κυβική ρίζα
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι ρίζες δεν είναι μόνο τετράγωνες χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα, θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε με μεγαλύτερη σαφήνεια τον τρόπο εξαγωγής κυβική ρίζαή τρίτη ρίζα. Η αρχή της εξαγωγής μιας κυβικής ρίζας είναι η ίδια με αυτή μιας τετραγωνικής ρίζας, η μόνη διαφορά είναι ότι ο απαιτούμενος αριθμός αρχικά πολλαπλασιάστηκε από μόνος του όχι μία, αλλά δύο φορές. Δηλαδή, ας πούμε ότι πήραμε το ακόλουθο παράδειγμα:
- 3x3x3=27
- Φυσικά, η κυβική ρίζα του 27 είναι τρεις:
- Ρίζα 3 από 27 = 3
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε την κυβική ρίζα του 64. Για να λύσετε αυτή την εξίσωση, αρκεί να βρείτε έναν αριθμό που, όταν ανυψωθεί στην τρίτη δύναμη, θα έδινε το 64.
- 4 3 =64
- Ρίζα 3 από 64 = 4
Εξάγετε τη ρίζα ενός αριθμού σε μια αριθμομηχανή
Φυσικά, είναι καλύτερο να μάθουμε να εξάγουμε τετράγωνες, κύβους και άλλες ρίζες μέσω της εξάσκησης, λύνοντας πολλά παραδείγματα και απομνημονεύοντας πίνακες τετραγώνων και κύβων μικρών αριθμών. Στο μέλλον, αυτό θα διευκολύνει και θα μειώσει σημαντικά τον χρόνο που απαιτείται για την επίλυση των εξισώσεων. Αν και, πρέπει να σημειωθεί ότι μερικές φορές είναι απαραίτητο να εξαχθεί η ρίζα αυτού του είδους μεγάλο αριθμόότι η εύρεση του σωστού τετράγωνου αριθμού θα ήταν πολύ δύσκολη, αν ήταν δυνατόν. Μια κανονική αριθμομηχανή θα έρθει στη διάσωση για την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας. Πώς να εξαγάγετε τη ρίζα σε μια αριθμομηχανή; Πολύ απλά εισάγετε τον αριθμό από τον οποίο θέλετε να βρείτε το αποτέλεσμα. Τώρα ρίξτε μια προσεκτική ματιά στα κουμπιά της αριθμομηχανής. Ακόμη και το πιο απλό από αυτά έχει ένα κλειδί με εικονίδιο root. Κάνοντας κλικ σε αυτό, θα έχετε αμέσως το τελικό αποτέλεσμα.
Δεν μπορεί να εξαχθεί κάθε αριθμός ολόκληρη ρίζα, εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα:
Root of 1859 = 43,116122…
Μπορείτε ταυτόχρονα να προσπαθήσετε να λύσετε αυτό το παράδειγμα σε μια αριθμομηχανή. Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός που προκύπτει δεν είναι ακέραιος, επιπλέον, το σύνολο των ψηφίων μετά την υποδιαστολή δεν είναι πεπερασμένο. Οι ειδικοί αριθμομηχανές μηχανικής μπορούν να δώσουν πιο ακριβές αποτέλεσμα, αλλά το πλήρες αποτέλεσμα απλά δεν ταιριάζει στην οθόνη των συνηθισμένων. Και αν συνεχίσετε τη σειρά των τετραγώνων που ξεκινήσατε νωρίτερα, δεν θα βρείτε τον αριθμό 1859 σε αυτήν ακριβώς επειδή ο αριθμός που τετραγωνίστηκε για να τον αποκτήσετε δεν είναι ακέραιος.
Εάν πρέπει να εξαγάγετε την τρίτη ρίζα του μια απλή αριθμομηχανή, τότε πρέπει να κάνετε διπλό κλικ στο κουμπί με το σύμβολο της ρίζας. Για παράδειγμα, πάρτε τον αριθμό 1859 που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω και πάρτε την κυβική ρίζα από αυτόν:
Root 3 of 1859 = 6,5662867…
Δηλαδή, αν ο αριθμός 6.5662867... ανυψωθεί στην τρίτη δύναμη, τότε παίρνουμε περίπου 1859. Έτσι, η εξαγωγή ριζών από αριθμούς δεν είναι δύσκολη, απλά πρέπει να θυμάστε τους παραπάνω αλγόριθμους.
Στον πρόλογο της πρώτης του έκδοσης, «In the Kingdom of Ingenuity» (1908), ο E. I. Ignatiev γράφει: «... η πνευματική πρωτοβουλία, η ευφυΐα και η «εφευρετικότητα» δεν μπορούν να «τρυπηθούν» ή να «μπουν» στο κεφάλι κανενός. Τα αποτελέσματα είναι αξιόπιστα μόνο όταν η εισαγωγή στο πεδίο των μαθηματικών γνώσεων γίνεται με εύκολο και ευχάριστο τρόπο, χρησιμοποιώντας αντικείμενα και παραδείγματα από συνηθισμένες και καθημερινές καταστάσεις, επιλεγμένα με κατάλληλο πνεύμα και ψυχαγωγία».
Στον πρόλογο της έκδοσης του 1911 «The Role of Memory in Mathematics» E.I. Ο Ignatiev γράφει «...στα μαθηματικά δεν είναι οι τύποι που πρέπει να θυμόμαστε, αλλά η διαδικασία της σκέψης».
Για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα, υπάρχουν πίνακες τετραγώνων για διψήφιους αριθμούς στους οποίους μπορείτε να αναλύσετε τον αριθμό πρωταρχικούς παράγοντεςκαι πάρτε την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος. Ένας πίνακας τετραγώνων μερικές φορές δεν είναι αρκετός για την εξαγωγή της ρίζας με παραγοντοποίηση είναι μια χρονοβόρα εργασία, η οποία επίσης δεν οδηγεί πάντα στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Δοκιμάστε να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 209764; Η παραγοντοποίηση σε πρώτους παράγοντες δίνει στο γινόμενο 2*2*52441. Με δοκιμή και λάθος, επιλογή - αυτό, φυσικά, μπορεί να γίνει εάν είστε βέβαιοι ότι πρόκειται για ακέραιο. Η μέθοδος που θέλω να προτείνω σας επιτρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα σε κάθε περίπτωση.
Μια φορά κι έναν καιρό στο ινστιτούτο (Περμ Κρατικό Παιδαγωγικό Ινστιτούτο) γνωρίσαμε αυτή τη μέθοδο, για την οποία τώρα θέλω να μιλήσω. Ποτέ δεν αναρωτήθηκα αν αυτή η μέθοδος είχε απόδειξη, οπότε τώρα έπρεπε να συναγάγω μερικές από τις αποδείξεις μόνος μου.
Η βάση αυτής της μεθόδου είναι η σύνθεση του αριθμού =.
=&, δηλ. & 2 =596334.
1. Χωρίστε τον αριθμό (5963364) σε ζευγάρια από δεξιά προς τα αριστερά (5`96`33`64)
2. Εξάγετε την τετραγωνική ρίζα της πρώτης ομάδας στα αριστερά ( - αριθμός 2). Έτσι παίρνουμε το πρώτο ψηφίο του &.
3. Να βρείτε το τετράγωνο του πρώτου ψηφίου (2 2 =4).
4. Να βρείτε τη διαφορά μεταξύ της πρώτης ομάδας και του τετραγώνου του πρώτου ψηφίου (5-4=1).
5. Κατεβάζουμε τα δύο επόμενα ψηφία (παίρνουμε τον αριθμό 196).
6. Διπλασιάστε το πρώτο ψηφίο που βρήκαμε και γράψτε το αριστερά πίσω από τη γραμμή (2*2=4).
7. Τώρα πρέπει να βρούμε το δεύτερο ψηφίο του αριθμού &: το διπλάσιο του πρώτου ψηφίου που βρήκαμε γίνεται το ψηφίο των δεκάδων του αριθμού, το οποίο όταν πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό των μονάδων, πρέπει να πάρετε έναν αριθμό μικρότερο από 196 (αυτό είναι ο αριθμός 4, 44*4=176). Το 4 είναι το δεύτερο ψηφίο του &.
8. Βρείτε τη διαφορά (196-176=20).
9. Κατεδαφίζουμε την επόμενη ομάδα (παίρνουμε τον αριθμό 2033).
10. Διπλασιάστε τον αριθμό 24, παίρνουμε 48.
Υπάρχουν 11,48 δεκάδες σε έναν αριθμό, όταν πολλαπλασιαζόμαστε με τον αριθμό των μονάδων, θα έχουμε έναν αριθμό μικρότερο από το 2033 (484*4=1936). Το ένα ψηφίο που βρήκαμε (4) είναι το τρίτο ψηφίο του αριθμού &.
Έδωσα την απόδειξη για τις εξής περιπτώσεις:
1. Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας ενός τριψήφιου αριθμού.
2. Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας ενός τετραψήφιου αριθμού.
Κατά προσέγγιση μέθοδοι εξαγωγής τετραγωνικών ριζών (χωρίς χρήση αριθμομηχανής).
1. Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν την παρακάτω μέθοδο για να βρουν την κατά προσέγγιση τιμή της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού τους x. Αντιπροσώπευαν τον αριθμό x ως το άθροισμα a 2 + b, όπου a 2 είναι το ακριβές τετράγωνο του φυσικού αριθμού a (a 2 ? x) που είναι πιο κοντά στον αριθμό x και χρησιμοποίησαν τον τύπο 
. (1)
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), εξάγουμε την τετραγωνική ρίζα, για παράδειγμα, από τον αριθμό 28:
Το αποτέλεσμα της εξαγωγής της ρίζας του 28 με χρήση MK είναι 5,2915026.
Όπως βλέπουμε, η Βαβυλωνιακή μέθοδος δίνει μια καλή προσέγγιση σε ακριβής τιμήρίζα
2. Ο Ισαάκ Νεύτων ανέπτυξε μια μέθοδο για τη λήψη τετραγωνικών ριζών που χρονολογείται από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας (περίπου το 100 μ.Χ.). Αυτή η μέθοδος (γνωστή ως μέθοδος του Νεύτωνα) είναι η εξής.
Αφήνω α 1- η πρώτη προσέγγιση ενός αριθμού (ως 1 μπορείτε να πάρετε τις τιμές της τετραγωνικής ρίζας ενός φυσικού αριθμού - ένα ακριβές τετράγωνο που δεν υπερβαίνει Χ) .
Στη συνέχεια, πιο ακριβής προσέγγιση α 2αριθμοί
βρέθηκαν από τον τύπο 
.
Τύποι ρίζας. Ιδιότητες τετραγωνικών ριζών.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)
Στο προηγούμενο μάθημα καταλάβαμε τι είναι η τετραγωνική ρίζα. Ήρθε η ώρα να καταλάβουμε ποιες υπάρχουν φόρμουλες για ρίζεςτι είναι ιδιότητες των ριζών, και τι μπορεί να γίνει με όλα αυτά.
Τύποι ριζών, ιδιότητες ριζών και κανόνες εργασίας με ρίζες- αυτό είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα. Υπάρχουν εκπληκτικά λίγοι τύποι για τις τετραγωνικές ρίζες. Κάτι που σίγουρα με κάνει χαρούμενο! Ή μάλλον, μπορείτε να γράψετε πολλούς διαφορετικούς τύπους, αλλά για πρακτική και σίγουρη εργασία με ρίζες, μόνο τρεις αρκούν. Όλα τα άλλα πηγάζουν από αυτά τα τρία. Αν και πολλοί άνθρωποι μπερδεύονται με τους τρεις τύπους ρίζας, ναι...
Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό. Εδώ είναι:
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Βιβλιογραφική περιγραφή: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Μέθοδοι εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας // Νέος επιστήμονας. 2017. Νο 2.2. Σ. 76-77..02.2019).
Λέξεις-κλειδιά : τετραγωνική ρίζα, εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας.
Στα μαθήματα των μαθηματικών εξοικειώθηκα με την έννοια της τετραγωνικής ρίζας, και τη λειτουργία της εξαγωγής τετραγωνικής ρίζας. Με ενδιέφερε αν η εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας είναι δυνατή μόνο χρησιμοποιώντας έναν πίνακα τετραγώνων, χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή ή υπάρχει τρόπος να την εξαγάγετε χειροκίνητα. Βρήκα διάφορους τρόπους: φόρμουλα Αρχαία Βαβυλώνα, μέσω της επίλυσης εξισώσεων, η μέθοδος απόρριψης πλήρες τετράγωνο, μέθοδος Νεύτωνα, γεωμετρική μέθοδος, γραφική μέθοδος (, ), μέθοδος εικασίας, μέθοδος αφαίρεσης περιττών αριθμών.
Εξετάστε τις ακόλουθες μεθόδους:
Ας παραγοντοποιήσουμε τους πρώτους παράγοντες χρησιμοποιώντας τα κριτήρια διαιρετότητας 27225=5*5*3*3*11*11. Ετσι
- ΝΑ Καναδική μέθοδος.Αυτό γρήγορη μέθοδοςανακαλύφθηκε από νέους επιστήμονες σε ένα από τα κορυφαία πανεπιστήμια του Καναδά τον 20ο αιώνα. Η ακρίβειά του δεν είναι μεγαλύτερη από δύο έως τρία δεκαδικά ψηφία.
όπου x είναι ο αριθμός από τον οποίο πρέπει να εξαχθεί η ρίζα, c είναι ο αριθμός του πλησιέστερου τετραγώνου), για παράδειγμα:
=5,92
- Σε μια στήλη.Αυτή η μέθοδος σάς επιτρέπει να βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού με οποιαδήποτε προκαθορισμένη ακρίβεια. Τα μειονεκτήματα αυτής της μεθόδου περιλαμβάνουν την αυξανόμενη πολυπλοκότητα του υπολογισμού καθώς αυξάνεται ο αριθμός των ψηφίων που βρίσκονται. Για να εξαγάγετε με μη αυτόματο τρόπο τη ρίζα, χρησιμοποιείται ένας συμβολισμός παρόμοιος με τη μακρά διαίρεση
Αλγόριθμος τετραγωνικής ρίζας
1. Χωρίζουμε το κλασματικό μέρος και το ακέραιο μέρος χωριστά από το κόμμα στα όρια των δύο ψηφίωνσε κάθε πρόσωπο ( φιλίμέρος - από δεξιά προς τα αριστερά. κλασματικός- από αριστερά προς τα δεξιά). Είναι πιθανό το ακέραιο μέρος να περιέχει ένα ψηφίο και το κλασματικό μέρος να περιέχει μηδενικά.
2. Η εξαγωγή ξεκινά από αριστερά προς τα δεξιά και επιλέγουμε έναν αριθμό του οποίου το τετράγωνο δεν υπερβαίνει τον αριθμό στην πρώτη όψη. Τετραγωνίζουμε αυτόν τον αριθμό και τον γράφουμε κάτω από τον αριθμό στην πρώτη πλευρά.
3. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ του αριθμού στην πρώτη όψη και του τετραγώνου του επιλεγμένου πρώτου αριθμού.
4. Προσθέτουμε την επόμενη άκρη στη διαφορά που προκύπτει, ο αριθμός που προκύπτει θα είναι διαιρετός. Ας εκπαιδεύσουμε διαιρών. Διπλασιάζουμε το πρώτο επιλεγμένο ψηφίο της απάντησης (πολλαπλασιάζουμε με 2), παίρνουμε τον αριθμό των δεκάδων του διαιρέτη και ο αριθμός των μονάδων πρέπει να είναι τέτοιος ώστε το γινόμενο του από ολόκληρο τον διαιρέτη να μην υπερβαίνει το μέρισμα. Καταγράφουμε τον επιλεγμένο αριθμό ως απάντηση.
5. Παίρνουμε την επόμενη άκρη στη διαφορά που προκύπτει και εκτελούμε τις ενέργειες σύμφωνα με τον αλγόριθμο. Αν αυτό το πρόσωπο αποδειχθεί ότι είναι όψη κλασματικού μέρους, τότε βάζουμε κόμμα στην απάντηση. (Εικ. 1.)
|
|
|
Χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο, μπορείτε να εξαγάγετε αριθμούς με διαφορετικές ακρίβεια, για παράδειγμα, έως και χιλιοστά. (Εικ.2)
Αναλογώς διάφορους τρόπουςεξάγοντας την τετραγωνική ρίζα, μπορούμε να συμπεράνουμε: σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση, πρέπει να αποφασίσετε για την επιλογή της πιο αποτελεσματικής, προκειμένου να αφιερώσετε λιγότερο χρόνο στην επίλυση
Λογοτεχνία:
- Kiselev A. Στοιχεία άλγεβρας και ανάλυση. Μέρος πρώτο.-Μ.-1928
Λέξεις κλειδιά: τετραγωνική ρίζα, τετραγωνική ρίζα.
Σχόλιο: Το άρθρο περιγράφει μεθόδους εξαγωγής τετραγωνικών ριζών και παρέχει παραδείγματα εξαγωγής ριζών.