Ένα πολυώνυμο στη μεταβλητή x είναι μια έκφραση της μορφής: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, όπου n είναι φυσικός αριθμός. αn, an-1, . . . , a 1, a 0 - οποιοιδήποτε αριθμοί ονομάζονται συντελεστές αυτού του πολυωνύμου. Εκφράσεις anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 ονομάζονται όροι του πολυωνύμου και 0 είναι ο ελεύθερος όρος. Το an είναι ο συντελεστής του xn, το an-1 είναι ο συντελεστής του xn-1 κλπ. Ένα πολυώνυμο στο οποίο όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν ονομάζεται μηδέν. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο 0 x2+0 x+0 είναι μηδέν. Από τη σημειογραφία ενός πολυωνύμου είναι σαφές ότι αποτελείται από πολλά μέλη. Από εδώ προέρχεται ο όρος ‹‹πολυώνυμο›› (πολλοί όροι). Μερικές φορές ένα πολυώνυμο ονομάζεται πολυώνυμο. Ο όρος αυτός προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις πολύ - πολλά και νομχ - μέλος.
Ένα πολυώνυμο σε μία μεταβλητή x συμβολίζεται: . f (x), g (x), h (x) κ.λπ. για παράδειγμα, αν το πρώτο από τα παραπάνω πολυώνυμα συμβολίζεται με f (x), τότε μπορούμε να γράψουμε: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Το πολυώνυμο h(x) λέγεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των πολυωνύμων f(x) και g(x) αν διαιρεί f(x), g. (x) και καθένα από αυτά κοινός διαιρέτης. 2. Ένα πολυώνυμο f(x) με συντελεστές από το πεδίο P βαθμού n λέγεται ότι μπορεί να αναχθεί στο πεδίο P αν υπάρχουν πολυώνυμα h(x), g(x) О P[x] βαθμού μικρότερου από n τέτοια ότι f(x) = h( x)g(x).
Αν υπάρχει πολυώνυμο f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 και an≠ 0, τότε ο αριθμός n ονομάζεται βαθμός του πολυωνύμου f (x) (ή λένε: f (x) - ου βαθμού) και γράψτε Art. f(x)=n. Σε αυτή την περίπτωση, το an ονομάζεται συντελεστής που οδηγεί, και το anxn είναι ο κύριος όρος αυτού του πολυωνύμου. Για παράδειγμα, αν f (x) =5 x 4 -2 x+3, τότε το άρθ. f (x) =4, κύριος συντελεστής - 5, προπορευόμενος όρος - 5 x4. Ο βαθμός ενός πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος μη μηδενικός αριθμός των συντελεστών του. Τα πολυώνυμα βαθμού μηδέν είναι αριθμοί διαφορετικοί από το μηδέν. , το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βαθμό. το πολυώνυμο f (x) =a, όπου a είναι αριθμός μη μηδενικός και έχει βαθμό 0. ο βαθμός οποιουδήποτε άλλου πολυωνύμου είναι ίσος με τον μεγαλύτερο εκθέτη της μεταβλητής x, ο συντελεστής της οποίας είναι ίσος με μηδέν.
Ισότητα πολυωνύμων. Δύο πολυώνυμα f (x) και g (x) θεωρούνται ίσα αν οι συντελεστές τους για τις ίδιες δυνάμεις της μεταβλητής x και οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι (οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ίσοι). f (x) =g (x). Για παράδειγμα, τα πολυώνυμα f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 και g(x) =2 x 23 x+1 δεν είναι ίσα, το πρώτο από αυτά έχει συντελεστή x3 ίσο με 1, και το δεύτερο έχει μηδέν ( σύμφωνα με τις αποδεκτές συμβάσεις, μπορούμε να γράψουμε: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. Στην περίπτωση αυτή: f (x) ≠g (x) και τα πολυώνυμα δεν είναι ίσα: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, αφού οι συντελεστές τους για το x είναι διαφορετικοί.
Όμως τα πολυώνυμα f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 και g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 είναι ίσα αν και μόνο αν a = 3, a b = -2. Έστω το πολυώνυμο f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 και κάποιος αριθμός c. Αριθμός f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 ονομάζεται η τιμή του πολυωνύμου f (x) στο x=c. Έτσι, για να βρείτε το f (c), πρέπει να αντικαταστήσετε το c στο πολυώνυμο αντί του x και να εκτελέσετε τους απαραίτητους υπολογισμούς. Για παράδειγμα, αν f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, τότε f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Το πολυώνυμο για διαφορετικές τιμές της μεταβλητής x μπορεί να πάρει διαφορετικές έννοιες. Ο αριθμός c ονομάζεται ρίζα του πολυωνύμου f (x) αν f (c) =0.
Ας δώσουμε προσοχή στη διαφορά μεταξύ δύο δηλώσεων: «το πολυώνυμο f (x) είναι ίσο με μηδέν (ή, το ίδιο, το πολυώνυμο f (x) είναι μηδέν)» και «η τιμή του πολυωνύμου f (x ) στο x = το c είναι ίσο με μηδέν." Για παράδειγμα, το πολυώνυμο f (x) =x 2 -1 δεν είναι μηδέν, έχει μη μηδενικούς συντελεστές και η τιμή του στο x=1 είναι μηδέν. f (x) ≠ 0, και f (1) =0. Υπάρχει στενή σχέση μεταξύ των εννοιών της ισότητας των πολυωνύμων και της τιμής ενός πολυωνύμου. Αν δίνονται δύο ίσα πολυώνυμα f (x) και g (x), τότε οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ίσοι, που σημαίνει f (c) = g (c) για κάθε αριθμό c.
Πράξεις σε πολυώνυμα Τα πολυώνυμα μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να πολλαπλασιαστούν χρησιμοποιώντας τους συνήθεις κανόνες για το άνοιγμα παρενθέσεων και τη δημιουργία παρόμοιων όρων. Το αποτέλεσμα είναι και πάλι ένα πολυώνυμο. Αυτές οι πράξεις έχουν γνωστές ιδιότητες: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).
Έστω δύο πολυώνυμα f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, και g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Είναι σαφές ότι το άρθ. f(x)=n, και st. g(x)=m. Αν πολλαπλασιάσουμε αυτά τα δύο πολυώνυμα, παίρνουμε ένα πολυώνυμο της μορφής f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Αφού an≠ 0 και bn≠ 0, τότε anbm≠ 0, που σημαίνει st. (f(x)g(x))=m+n. Από αυτό προκύπτει μια σημαντική δήλωση.
Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των παραγόντων, άρθ. (f (x) g (x)) = st. f (x) + st. g(x). Ο κύριος όρος (συντελεστής) του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το γινόμενο των κορυφαίων όρων (συντελεστών) των παραγόντων. Ο ελεύθερος όρος του γινομένου δύο πολυωνύμων είναι ίσος με το γινόμενο των ελεύθερων όρων των παραγόντων. Οι δυνάμεις των πολυωνύμων f (x), g (x) και f (x) ±g (x) σχετίζονται με την ακόλουθη σχέση: άρθ. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).
Η υπέρθεση των πολυωνύμων f (x) και g (x) ονομάζεται. ένα πολυώνυμο που συμβολίζεται με f (g (x)), το οποίο προκύπτει αν στο πολυώνυμο f (x) αντικαταστήσουμε το πολυώνυμο g (x) αντί του x. Για παράδειγμα, αν f(x)=x 2+2 x-1 και g(x) =2 x+3, τότε f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2 x 2+4 x+1. Μπορεί να φανεί ότι f (g (x)) ≠g (f (x)), δηλ. η υπέρθεση των πολυωνύμων f (x), g (x) και η υπέρθεση των πολυωνύμων g (x), f ( x) είναι διαφορετικά. Έτσι, η πράξη υπέρθεσης δεν έχει τη μεταθετική ιδιότητα.
, Αλγόριθμος διαίρεσης με υπόλοιπο Για κάθε f(x), g(x), υπάρχει q(x) (πηλίκο) και r(x) (υπόλοιπο) έτσι ώστε f(x)=g(x)q(x)+ r(x) και ο βαθμός r(x)
Διαιρέτες πολυωνύμου Ο διαιρέτης ενός πολυωνύμου f(x) είναι ένα πολυώνυμο g(x), τέτοιο ώστε f(x)=g(x)q(x). Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης δύο πολυωνύμων Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των πολυωνύμων f(x) και g(x) είναι ο κοινός διαιρέτης τους d(x) που διαιρείται με οποιονδήποτε από τους άλλους κοινούς διαιρέτες τους.
Ευκλείδειος αλγόριθμος (αλγόριθμος διαδοχικής διαίρεσης) για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη των πολυωνύμων f(x) και g(x) Τότε είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των f(x) και g(x).
Μειώστε το κλάσμα Λύση: Βρείτε το gcd αυτών των πολυωνύμων χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Επομένως, το πολυώνυμο (– x2 – 3 x – 2) είναι το gcd του αριθμητή και παρονομαστής ενός δεδομένου κλάσματος. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης του παρονομαστή με αυτό το πολυώνυμο είναι γνωστό.
Ας βρούμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Έτσι, Απάντηση:
Σχήμα Horner Η διαίρεση ενός πολυωνύμου f(x) με ένα υπόλοιπο με ένα μη μηδενικό πολυώνυμο g(x) σημαίνει ότι αντιπροσωπεύουμε την f(x) με τη μορφή f(x)=g(x) s(x)+r(x), όπου s Τα (x ) και r(x) είναι πολυώνυμα και είτε r(x)=0 είτε st. r(x)
Τα πολυώνυμα στην αριστερή και δεξιά πλευρά αυτής της σχέσης είναι ίσα, που σημαίνει ότι οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ίσοι. Ας τους εξισώσουμε ανοίγοντας πρώτα τις αγκύλες και φέρνοντας παρόμοιους όρους στη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας. Παίρνουμε: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Θυμηθείτε ότι πρέπει να βρούμε το ημιτελές πηλίκο, δηλαδή τους συντελεστές του, και το υπόλοιπο. Ας τις εκφράσουμε από τις ισότητες που προέκυψαν: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Βρήκαμε τύπους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των συντελεστών του μερικού πηλίκου s (x) και του υπολοίπου r. Στην περίπτωση αυτή, οι υπολογισμοί παρουσιάζονται με τη μορφή του παρακάτω πίνακα. ονομάζεται σχήμα Horner.
Πίνακας 1. Συντελεστές f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a υπόλοιπο 0 συντελεστών s (x) Στην πρώτη σειρά αυτού του πίνακα, γράψτε όλους τους συντελεστές του πολυωνύμου f (x) στη σειρά, αφήνοντας ελεύθερο το πρώτο κελί. Στη δεύτερη γραμμή, στο πρώτο κελί, γράψτε τον αριθμό c. Τα υπόλοιπα κελιά αυτής της γραμμής συμπληρώνονται υπολογίζοντας έναν προς έναν τους συντελεστές του ημιτελούς πηλίκου s (x) και του υπολοίπου r. Στο δεύτερο κελί γράψτε τον συντελεστή bn-1, ο οποίος, όπως διαπιστώσαμε, είναι ίσος με an.
Οι συντελεστές σε κάθε επόμενο κελί υπολογίζονται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: ο αριθμός c πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό στο προηγούμενο κελί και ο αριθμός πάνω από το κελί που συμπληρώνεται προστίθεται στο αποτέλεσμα. Για να θυμάστε, ας πούμε, το πέμπτο κελί, δηλαδή, για να βρείτε τον συντελεστή σε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το c με τον αριθμό στο τέταρτο κελί και να προσθέσετε τον αριθμό πάνω από το πέμπτο κελί στο αποτέλεσμα. Ας διαιρέσουμε, για παράδειγμα, το πολυώνυμο f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 με το x-2 με το υπόλοιπο, χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner. Όταν συμπληρώνουμε την πρώτη γραμμή αυτού του διαγράμματος, δεν πρέπει να ξεχνάμε τους μηδενικούς συντελεστές του πολυωνύμου. Άρα, οι συντελεστές f (x) είναι οι αριθμοί 3, 0, - 5, 3, - 1. Και πρέπει επίσης να θυμάστε ότι ο βαθμός ενός ημιτελούς πηλίκου είναι ένα μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου f (x).
Έτσι, πραγματοποιούμε τη διαίρεση σύμφωνα με το σχήμα του Horner: Πίνακας 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Λαμβάνουμε το μερικό πηλίκο s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 και το υπόλοιπο r=33. Σημειώστε ότι ταυτόχρονα υπολογίσαμε την τιμή του πολυωνύμου f (2) =33. Ας διαιρέσουμε τώρα το ίδιο πολυώνυμο f (x) με το x+2 με ένα υπόλοιπο. Στην περίπτωση αυτή c=-2. παίρνουμε: Πίνακας 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Ως αποτέλεσμα, έχουμε f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .
Ρίζες πολυωνύμων Έστω c1, c2, …, cm διαφορετικές ρίζες του πολυωνύμου f (x). Τότε η f (x) διαιρείται με x-c1, δηλ. f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Ας βάλουμε x=c2 σε αυτή την ισότητα. Παίρνουμε f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) και έτσι f (c 2) =0, μετά (c2 -c1) s 1 (c 2) =0. Αλλά σ2≠с1, δηλ. σ2 -с1≠ 0, που σημαίνει s 1 (c 2) =0. Έτσι, c2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου s 1 (x). Από αυτό προκύπτει ότι το s 1 (x) διαιρείται με το x-c2, δηλαδή s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Ας αντικαταστήσουμε την προκύπτουσα παράσταση για s 1 (x) στην ισότητα f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Έχουμε f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Βάζοντας x=c3 στην τελευταία ισότητα, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, προκύπτει ότι c3 είναι η ρίζα του πολυωνύμου s 2 (x). Αυτό σημαίνει s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), και στη συνέχεια f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), κ.λπ. Συνεχίζοντας αυτόν τον συλλογισμό για το υπόλοιπες ρίζες c4, c5, ..., cm, τελικά λαμβάνουμε f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), δηλαδή αποδεικνύεται η δήλωση που διατυπώνεται παρακάτω.
Αν τα σ1, σ2, …, σm είναι διαφορετικές ρίζες του πολυωνύμου f (x), τότε η f (x) μπορεί να παρασταθεί ως f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x ). Από αυτό προκύπτει ένα σημαντικό συμπέρασμα. Αν τα c1, c2, ..., cm είναι διαφορετικές ρίζες του πολυωνύμου f(x), τότε η f(x) διαιρείται με το πολυώνυμο (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Ο αριθμός των διαφορετικών ριζών ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f (x) δεν είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό του. Πράγματι, αν η f(x) δεν έχει ρίζες, τότε είναι σαφές ότι το θεώρημα είναι αληθές, επειδή το άρθ. f(x) ≥ 0. Έστω τώρα η f(x) να έχει m ρίζες с1, с2, …, сm, και όλες είναι διαφορετικές. Τότε, με ό,τι μόλις αποδείχθηκε, η f (x) διαιρείται σε (x-c1) (x -c2)…(x-cm). Στην περίπτωση αυτή, το άρθ. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= st. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, δηλ. άρθ. f(x)≥m και m είναι ο αριθμός των ριζών του εν λόγω πολυωνύμου. Όμως το μηδενικό πολυώνυμο έχει άπειρες ρίζες, γιατί η τιμή του για οποιοδήποτε x είναι ίση με 0. Ειδικότερα, για το λόγο αυτό δεν προδιαγράφεται κάποιος συγκεκριμένος βαθμός. Η ακόλουθη δήλωση προκύπτει από το θεώρημα που μόλις αποδείχθηκε.
Αν ένα πολυώνυμο f(x) δεν είναι πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερο από n και έχει περισσότερες από n ρίζες, τότε η f(x) είναι μηδενικό πολυώνυμο. Στην πραγματικότητα, από τις συνθήκες αυτής της δήλωσης προκύπτει ότι είτε η f (x) είναι μηδενικό πολυώνυμο, είτε το Art. f (x) ≤n. Αν υποθέσουμε ότι το πολυώνυμο f (x) δεν είναι μηδέν, τότε το άρθ. f (x) ≤n, και μετά η f (x) έχει το πολύ n ρίζες. Φτάνουμε σε μια αντίφαση. Αυτό σημαίνει ότι η f(x) είναι ένα μη μηδενικό πολυώνυμο. Έστω f (x) και g (x) μη μηδενικά πολυώνυμα βαθμού το πολύ n. Εάν αυτά τα πολυώνυμα λαμβάνουν τις ίδιες τιμές για n+1 τιμές της μεταβλητής x, τότε f (x) =g (x).
Για να το αποδείξετε αυτό, θεωρήστε το πολυώνυμο h (x) =f (x) - g (x). Είναι σαφές ότι είτε h (x) =0 είτε st. h (x) ≤n, δηλαδή το h (x) δεν είναι πολυώνυμο με βαθμό μεγαλύτερο από n. Τώρα ας είναι ο αριθμός c τέτοιος ώστε f (c) = g (c). Τότε h (c) = f (c) - g (c) = 0, δηλ. c είναι η ρίζα του πολυωνύμου h (x). Επομένως, το πολυώνυμο h (x) έχει n+1 ρίζες, και όταν, όπως μόλις αποδείχθηκε, h (x) =0, δηλ. f (x) =g (x). Εάν τα f (x) και g (x) λάβουν τις ίδιες τιμές για όλες τις τιμές της μεταβλητής x, τότε αυτά τα πολυώνυμα είναι ίσα
Πολλαπλές ρίζες ενός πολυωνύμου Εάν ένας αριθμός c είναι ρίζα ενός πολυωνύμου f (x), αυτό το πολυώνυμο είναι γνωστό ότι διαιρείται με το x-c. Μπορεί να συμβεί η f(x) να διαιρείται με κάποια δύναμη πολυώνυμο x-c, δηλ. στο (x-c) k, k>1. Στην περίπτωση αυτή, το c ονομάζεται πολλαπλή ρίζα. Ας διατυπώσουμε τον ορισμό πιο ξεκάθαρα. Ένας αριθμός c ονομάζεται ρίζα πολλαπλότητας k (k-πτυχή ρίζα) ενός πολυωνύμου f (x) αν το πολυώνυμο διαιρείται με (x - c) k, k>1 (k είναι φυσικός αριθμός), αλλά δεν διαιρείται κατά (x - c) k+ 1. Αν k=1, τότε το c λέγεται απλή ρίζα και αν k>1, τότε λέγεται πολλαπλή ρίζα του πολυωνύμου f (x).
Αν το πολυώνυμο f(x) παριστάνεται ως f(x)=(x-c)mg(x), ο m είναι φυσικός αριθμός, τότε διαιρείται με (x-c) m+1 αν και μόνο αν το g(x) διαιρείται σε x-s. Στην πραγματικότητα, αν το g(x) διαιρείται με το x-c, δηλ. g(x)=(x-c)s(x), τότε f(x)=(x-c) m+1 s(x), και αυτό σημαίνει f(x ) διαιρείται με (x-c) m+1. Αντίστροφα, αν η f(x) διαιρείται με (x-c) m+1, τότε f(x)=(x-c) m+1 s(x). Τότε (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) και μετά από αναγωγή κατά (x-c)m παίρνουμε g(x)=(x-c)s(x). Από αυτό προκύπτει ότι το g(x) διαιρείται με το x-c.
Ας μάθουμε, για παράδειγμα, αν ο αριθμός 2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, και αν ναι, να βρούμε την πολλαπλότητα του. Για να απαντήσουμε στην πρώτη ερώτηση, ας ελέγξουμε χρησιμοποιώντας το κύκλωμα του Horner εάν η f (x) διαιρείται με το x-2. έχουμε: Πίνακας 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Όπως μπορείτε να δείτε, το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση της f(x) με το x-2 είναι ίσο με 0, δηλ. διαιρούμενο με x-2. Αυτό σημαίνει ότι το 2 είναι η ρίζα αυτού του πολυωνύμου. Επιπλέον, πήραμε ότι f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Τώρα ας μάθουμε αν η f(x) είναι στο (x-2) 2. Αυτό εξαρτάται, όπως μόλις αποδείξαμε, από τη διαιρετότητα του πολυωνύμου g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x -12 επί x-2.
Ας χρησιμοποιήσουμε ξανά το σχήμα του Horner: Πίνακας 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Βρήκαμε ότι το g(x) διαιρείται με το x-2 και το g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6). Τότε f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Άρα η f(x) διαιρείται με (x-2)2, τώρα πρέπει να βρούμε αν η f(x) διαιρείται με (x-2)3. Για να γίνει αυτό, ας ελέγξουμε αν το h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 διαιρείται με το x-2: Πίνακας 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Βρίσκουμε ότι το h(x ) διαιρείται με το x-2, που σημαίνει ότι η f(x) διαιρείται με (x-2) 3 και η f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).
Στη συνέχεια, ελέγχουμε παρομοίως εάν η f(x) διαιρείται με το (x-2)4, δηλαδή εάν το s(x)=x 2+x-3 διαιρείται με το x-2: Πίνακας 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Βρίσκουμε ότι το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του s(x) με το x-2 είναι ίσο με 3, δηλαδή το s(x) δεν διαιρείται με το x-2. Αυτό σημαίνει ότι η f(x) δεν διαιρείται με (x-2)4. Έτσι η f(x) διαιρείται με (x-2)3 αλλά δεν διαιρείται με (x-2)4. Επομένως, ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολλαπλασιασμού 3 του πολυωνύμου f(x).
Συνήθως, ο έλεγχος της πολλαπλότητας της ρίζας εκτελείται σε έναν πίνακα. Για αυτό το παράδειγμααυτός ο πίνακας μοιάζει με αυτό: Πίνακας 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Με άλλα λόγια, σύμφωνα με το σχήμα του Horner , διαιρώντας ένα πολυώνυμο f (x) με x-2, στη δεύτερη γραμμή παίρνουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου g (x). Τότε θεωρούμε ότι αυτή η δεύτερη γραμμή είναι η πρώτη γραμμή νέο σύστημα Horner και διαιρούμε το g (x) με το x-2, κλπ. Συνεχίζουμε τους υπολογισμούς μέχρι να πάρουμε ένα υπόλοιπο διαφορετικό από το μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, η πολλαπλότητα της ρίζας είναι ίση με τον αριθμό των μηδενικών υπολειμμάτων που λαμβάνονται. Η ευθεία που περιέχει το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο περιέχει επίσης τους συντελεστές του πηλίκου κατά τη διαίρεση της f (x) με (x-2) 3.
Τώρα, χρησιμοποιώντας το μόλις προτεινόμενο σχήμα για τον έλεγχο της πολλαπλότητας της ρίζας, θα λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα. Για ποιο a και b το πολυώνυμο f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 έχει τον αριθμό - 2 ως ρίζα πολλαπλού 2; Έτσι, η πολλαπλότητα της ρίζας - 2 θα πρέπει να είναι ίση με 2, στη συνέχεια, όταν διαιρούμε με x+2 σύμφωνα με το προτεινόμενο σχήμα, θα πρέπει να πάρουμε ένα υπόλοιπο 0 δύο φορές και την τρίτη φορά - ένα υπόλοιπο διαφορετικό από το μηδέν. Έχουμε: Πίνακας 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2
Έτσι, ο αριθμός - 2 είναι μια ρίζα της πολλαπλότητας 2 του αρχικού πολυωνύμου αν και μόνο αν
Ορθολογικές ρίζες πολυωνύμου Αν το μη αναγώγιμο κλάσμα l/m (l, m είναι ακέραιοι) είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου f (x) με ακέραιους συντελεστές, τότε ο κύριος συντελεστής αυτού του πολυωνύμου διαιρείται με m και ο ελεύθερος όρος είναι Διαιρούμενο με 1. Πράγματι, αν f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, όπου an, an-1, . . . , a 1, a 0 είναι ακέραιοι, τότε f(l/m) =0, δηλ. аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας επί mn. Παίρνουμε anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Αυτό σημαίνει anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).
Βλέπουμε ότι ο ακέραιος αριθμός anln διαιρείται με το m. Αλλά το l/m είναι ένα μη αναγώγιμο κλάσμα, δηλαδή οι αριθμοί l και m είναι συμπρώτοι, και στη συνέχεια, όπως είναι γνωστό από τη θεωρία της διαιρετότητας των ακεραίων, οι αριθμοί ln και m είναι επίσης συμπρώτοι. Άρα, το anln διαιρείται με το m και το m είναι συμπρωτεύον με το ln, που σημαίνει ότι το an διαιρείται με το m. Ας βρούμε τις ορθολογικές ρίζες του πολυωνύμου f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Σύμφωνα με το θεώρημα, οι ορθολογικές ρίζες αυτού του πολυωνύμου είναι μεταξύ των μη αναγώγιμων κλασμάτων της μορφής l/m, όπου l είναι ο διαιρέτης του ελεύθερου όρου a 0=8, και m είναι ο διαιρέτης του κύριου συντελεστή a 4=6 . Επιπλέον, εάν το κλάσμα l/m είναι αρνητικό, τότε το σύμβολο «-» θα εκχωρηθεί στον αριθμητή. Για παράδειγμα, - (1/3) = (-1) /3. Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι το l είναι διαιρέτης του αριθμού 8 και το m είναι θετικός διαιρέτης του αριθμού 6.
Εφόσον οι διαιρέτες του αριθμού 8 είναι ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 και οι θετικοί διαιρέτες του αριθμού 6 είναι 1, 2, 3, 6, τότε οι ορθολογικές ρίζες του εν λόγω πολυωνύμου είναι μεταξύ των αριθμών ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Να σας υπενθυμίσουμε ότι καταγράψαμε μόνο μη αναγώγιμα κλάσματα. Έτσι, έχουμε είκοσι αριθμούς - "υποψήφιους" για ρίζες. Το μόνο που μένει είναι να ελέγξετε το καθένα από αυτά και να επιλέξετε αυτά που είναι πραγματικά ρίζες. Το παρακάτω θεώρημα απλοποιεί αυτή την εργασία. Αν το μη αναγώγιμο κλάσμα l/m είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου f (x) με ακέραιους συντελεστές, τότε η f (k) διαιρείται με το l-km για οποιονδήποτε ακέραιο k, με την προϋπόθεση ότι l-km≠ 0.
Για να αποδείξετε αυτό το θεώρημα, διαιρέστε το f(x) με το x-k με ένα υπόλοιπο. Παίρνουμε f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Εφόσον η f(x) είναι πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, το ίδιο ισχύει και για το πολυώνυμο s(x), και η f(k) είναι ακέραιος. Έστω s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Τότε f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Ας βάλουμε 1 x=l/m σε αυτή την ισότητα. Θεωρώντας ότι f(l/m)=0, παίρνουμε f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της τελευταίας ισότητας με mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1). Από αυτό προκύπτει ότι ο ακέραιος αριθμός mnf (k) διαιρείται με το l-km. Επειδή όμως τα l και m είναι συμπρώτες, τότε τα mn και l-km είναι επίσης συμπρώτες, που σημαίνει ότι η f(k) διαιρείται με το l-km. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας και, χρησιμοποιώντας το αποδεδειγμένο θεώρημα, θα περιορίσουμε περαιτέρω τον κύκλο των αναζητήσεων ορθολογικές ρίζες. Ας εφαρμόσουμε αυτό το θεώρημα για k=1 και k=-1, δηλ. αν το μη αναγώγιμο κλάσμα l/m είναι η ρίζα του πολυωνύμου f(x), τότε f(1)/(l-m) και f(-1) /(l +m). Βρίσκουμε εύκολα ότι στην περίπτωσή μας f(1)=-5, και f(-1)= -15. Σημειώστε ότι την ίδια στιγμή εξαιρέσαμε το ± 1 από την εξέταση Έτσι, οι ορθολογικές ρίζες του πολυωνύμου μας θα πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ των αριθμών ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Θεωρήστε l/m=1/2. Τότε l-m=-1 και f (1) =-5 διαιρείται με αυτόν τον αριθμό. Επιπλέον, το l+m=3 και η f (1) =-15 διαιρείται επίσης με το 3. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα 1/2 παραμένει μεταξύ των «υποψήφιων» για ρίζες.
Έστω τώρα lm=-(1/2)=(-1)/2. Στην περίπτωση αυτή, το l-m=-3 και η f (1) =-5 δεν διαιρείται με το - 3. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα -1/2 δεν μπορεί να είναι η ρίζα αυτού του πολυωνύμου και το αποκλείουμε από περαιτέρω εξέταση. Ας ελέγξουμε για καθένα από τα κλάσματα που γράφτηκαν παραπάνω και ας βρούμε ότι οι απαιτούμενες ρίζες είναι μεταξύ των αριθμών 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Έτσι, χρησιμοποιώντας μια αρκετά απλή τεχνική, έχουμε περιορίσει σημαντικά την περιοχή αναζήτησης για ορθολογικά ρίζες του εν λόγω πολυωνύμου. Λοιπόν, για να ελέγξουμε τους υπόλοιπους αριθμούς, θα χρησιμοποιήσουμε το σχήμα του Horner: Πίνακας 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0
Βλέπουμε ότι το 1/2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου f(x) και f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Είναι σαφές ότι όλες οι άλλες ρίζες του πολυωνύμου f (x) συμπίπτουν με τις ρίζες του πολυωνύμου g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, πράγμα που σημαίνει ότι περαιτέρω επαλήθευση των «υποψήφιων» για ρίζες μπορεί να πραγματοποιηθεί για αυτό το πολυώνυμο. Βρίσκουμε: Πίνακας 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Βρήκαμε ότι το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του g(x) με το x-2/3 είναι ίσο με - 80/9, δηλ. τα 2/3 δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου g(x), και επομένως ούτε η f(x). Στη συνέχεια βρίσκουμε ότι - 2/3 είναι η ρίζα του πολυωνύμου g(x) και g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).
Τότε f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Περαιτέρω επαλήθευση μπορεί να πραγματοποιηθεί για το πολυώνυμο x 2+2 x-4, το οποίο, φυσικά, είναι απλούστερο από το g (x) ή, ακόμη περισσότερο, για το f (x). Ως αποτέλεσμα, διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί 2 και - 4 δεν είναι ρίζες. Άρα, το πολυώνυμο f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 έχει δύο ορθολογικές ρίζες: 1/2 και - 2/3. Αυτή η μέθοδος καθιστά δυνατή την εύρεση μόνο ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές. Εν τω μεταξύ, ένα πολυώνυμο μπορεί επίσης να έχει παράλογες ρίζες. Έτσι, για παράδειγμα, το πολυώνυμο που εξετάστηκε στο παράδειγμα έχει δύο ακόμη ρίζες: - 1±√ 5 (αυτές είναι οι ρίζες του πολυωνύμου x2+2 x-4). ένα πολυώνυμο μπορεί να μην έχει καθόλου ορθολογικές ρίζες.
Κατά τον έλεγχο των «υποψήφιων» ριζών του πολυωνύμου f(x) χρησιμοποιώντας το δεύτερο από τα θεωρήματα που αποδείχθηκαν παραπάνω, το τελευταίο χρησιμοποιείται συνήθως για περιπτώσεις k = ± 1. Με άλλα λόγια, εάν το l/m είναι «υποψήφια» ρίζα, τότε ελέγξτε εάν f( 1) και f (-1) κατά l-m και l+m, αντίστοιχα. Αλλά μπορεί να συμβεί, για παράδειγμα, η f(1) =0, δηλαδή το 1 είναι μια ρίζα, και στη συνέχεια η f(1) διαιρείται με οποιονδήποτε αριθμό, και ο έλεγχος μας να μην έχει νόημα. Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να διαιρέσετε το f(x) με το x-1, δηλαδή να λάβετε f(x)=(x-1)s(x) και να ελέγξετε για το πολυώνυμο s(x). Ταυτόχρονα, δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι έχουμε ήδη βρει μια ρίζα του πολυωνύμου f(x)-x 1=1. Εάν ελέγξουμε τους «υποψήφιους» για ρίζες που απομένουν μετά τη χρήση του δεύτερου θεωρήματος για τις ορθολογικές ρίζες χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner και βρούμε ότι, για παράδειγμα, το l/m είναι μια ρίζα, τότε θα πρέπει να βρεθεί η πολλαπλότητά του. Εάν είναι ίσο, ας πούμε, με k, τότε f(x)=(x-l/m) ks (x), και μπορεί να γίνει περαιτέρω δοκιμή στο s(x), το οποίο μειώνει τους υπολογισμούς.
Λύση. Έχοντας αντικαταστήσει τη μεταβλητή y=2 x, προχωράμε σε ένα πολυώνυμο με συντελεστή ίσο με ένα στον υψηλότερο βαθμό. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάστε πρώτα την παράσταση με το 4. Εάν η συνάρτηση που προκύπτει έχει ακέραιες ρίζες, τότε είναι μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου. Ας τα γράψουμε: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60
Ας υπολογίσουμε διαδοχικά τις τιμές της συνάρτησης g(y) σε αυτά τα σημεία μέχρι να φτάσουμε στο μηδέν. Δηλαδή, το y=-5 είναι ρίζα και επομένως είναι η ρίζα της αρχικής συνάρτησης. Ας διαιρέσουμε το πολυώνυμο με ένα διώνυμο χρησιμοποιώντας μια στήλη (γωνία)
Δεν είναι σκόπιμο να συνεχίσετε τον έλεγχο των υπολοίπων διαιρετών, καθώς είναι ευκολότερο να παραγοντοποιήσετε τα προκύπτοντα τετραγωνικό τριώνυμοΩς εκ τούτου,
Χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού και διωνύμου του Νεύτωνα για τον παράγοντα πολυώνυμα Μερικές φορές εμφάνισηενός πολυωνύμου προτείνει έναν τρόπο παραγοντοποίησης του. Για παράδειγμα, μετά από απλούς μετασχηματισμούς, οι συντελεστές παρατάσσονται σε μια ευθεία από το τρίγωνο του Pascal για τους συντελεστές του διωνύμου του Νεύτωνα. Παράδειγμα. Συντελεστής το πολυώνυμο.
Λύση. Ας μετατρέψουμε την έκφραση στη μορφή: Η ακολουθία των συντελεστών του αθροίσματος σε αγκύλες δείχνει ξεκάθαρα ότι αυτό είναι Επομένως, Τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων: Η παράσταση στη δεύτερη αγκύλη δεν έχει πραγματικές ρίζες και για το πολυώνυμο από το πρώτη αγκύλη εφαρμόζουμε για άλλη μια φορά τον τύπο διαφοράς τετραγώνων
Τύποι Vieta που εκφράζουν τους συντελεστές ενός πολυωνύμου μέσω των ριζών του. Αυτοί οι τύποι είναι βολικοί στη χρήση για τον έλεγχο της ορθότητας της εύρεσης των ριζών ενός πολυωνύμου, καθώς και για τη σύνθεση ενός πολυωνύμου με βάση τις δεδομένες ρίζες του. Διατύπωση Αν είναι οι ρίζες ενός πολυωνύμου, τότε οι συντελεστές εκφράζονται με τη μορφή συμμετρικών πολυωνύμων των ριζών, δηλαδή
Με άλλα λόγια, το ak είναι ίσο με το άθροισμα όλων των πιθανών γινομένων των k ριζών. Εάν ο κύριος συντελεστής είναι πολυώνυμο, τότε για να εφαρμόσετε τον τύπο Vieta είναι απαραίτητο πρώτα να διαιρέσετε όλους τους συντελεστές με ένα 0. Σε αυτήν την περίπτωση, οι τύποι Vieta δίνουν μια έκφραση για την αναλογία όλων των συντελεστών προς τον κύριο. Από τον τελευταίο τύπο του Vieta προκύπτει ότι αν οι ρίζες ενός πολυωνύμου είναι ακέραιοι, τότε είναι διαιρέτες του ελεύθερου όρου του, που είναι επίσης ακέραιος. Η απόδειξη πραγματοποιείται εξετάζοντας την ισότητα που προκύπτει με την επέκταση του πολυωνύμου σε ρίζες, λαμβάνοντας υπόψη ότι a 0 = 1 Εξισώνοντας τους συντελεστές στις ίδιες δυνάμεις του x, λαμβάνουμε τους τύπους Vieta.
Λύστε την εξίσωση x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Λύση. Ας συμβολίσουμε y = x 3, τότε η αρχική εξίσωση παίρνει τη μορφή y 2 – 5 y + 4 = 0, λύνοντας την οποία λαμβάνουμε Y 1 = 1. Y 2 = 4. Έτσι, η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο εξισώσεων: x 3 = 1 ή x 3 = 4, δηλαδή X 1 = 1 ή X 2 = Απάντηση: 1;
Θεώρημα Bezout Ορισμός 1. Ένα στοιχείο ονομάζεται ρίζα ενός πολυωνύμου εάν f(c)=0. Το θεώρημα του Bezout. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Pn(x) με το διώνυμο (x-a) είναι ίσο με την τιμή αυτού του πολυωνύμου στο x = a. Απόδειξη. Δυνάμει του αλγορίθμου διαίρεσης, f(x)=(xc)q(x)+r(x), όπου είτε r(x)=0, είτε, και επομένως. Άρα f(x)=(x-c)q(x)+r, επομένως f(c)=(c-c)q(c)+r=r, και επομένως f(x)=(xc)q(x) +f (ντο).
Συμπέρασμα 1: Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Pn (x) με το διώνυμο ax+b είναι ίσο με την τιμή αυτού του πολυωνύμου στο x = -b/a, δηλαδή R=Pn (-b/a). Συμπέρασμα 2: Αν ο αριθμός a είναι η ρίζα του πολυωνύμου P (x), τότε αυτό το πολυώνυμο διαιρείται με το (x-a) χωρίς υπόλοιπο. Συμπέρασμα 3: Αν το πολυώνυμο P(x) έχει κατά ζεύγη διακριτές ρίζες a 1 , a 2 , ... , an, τότε διαιρείται με το γινόμενο (x-a 1) ... (x-an) χωρίς υπόλοιπο. Συμπέρασμα 4: Ένα πολυώνυμο βαθμού n έχει το πολύ n διαφορετικές ρίζες. Συμπέρασμα 5: Για οποιοδήποτε πολυώνυμο P(x) και αριθμό a, η διαφορά (P(x)-P(a)) διαιρείται με το διώνυμο (x-a) χωρίς υπόλοιπο. Συμπέρασμα 6: Ένας αριθμός α είναι ρίζα πολυωνύμου P(x) βαθμού τουλάχιστον πρώτα και μόνο αν το P(x) διαιρείται με το (x-a) χωρίς υπόλοιπο.
Αποσύνθεση ενός λογικού κλάσματος σε απλά κλάσματα Ας δείξουμε ότι οποιοδήποτε σωστό λογικό κλάσμα μπορεί να αποσυντεθεί σε ένα άθροισμα απλών κλασμάτων. Έστω ένα σωστό ορθολογικό κλάσμα (1).
Θεώρημα 1. Έστω x=a η ρίζα του παρονομαστή της συντομίας k, δηλ. όπου f(a)≠ 0, τότε αυτό το σωστό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο άλλων κατάλληλων κλασμάτων ως εξής: (2) , όπου Το A είναι μια σταθερά που δεν ισούται με το μηδέν και το F 1(x) είναι ένα πολυώνυμο του οποίου ο βαθμός είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή
όπου είναι ένα πολυώνυμο του οποίου ο βαθμός είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή. Και παρόμοια με τον προηγούμενο τύπο, μπορείτε να πάρετε: (5) Και τα λοιπά. είναι γενικού εκπαιδευτικού χαρακτήρα και έχει μεγάλης σημασίαςνα μελετήσει ΟΛΟΚΛΗΡΟ το μάθημα των ανώτερων μαθηματικών. Σήμερα θα επαναλάβουμε τις «σχολικές» εξισώσεις, αλλά όχι μόνο τις «σχολικές» - αλλά αυτές που βρίσκονται παντού σε διάφορα προβλήματα vyshmat. Ως συνήθως, η ιστορία θα ειπωθεί με έναν εφαρμοσμένο τρόπο, δηλ. Δεν θα επικεντρωθώ σε ορισμούς και ταξινομήσεις, αλλά θα μοιραστώ ακριβώς μαζί σας προσωπική εμπειρίαλύσεις. Οι πληροφορίες προορίζονται κυρίως για αρχάριους, αλλά οι πιο προχωρημένοι αναγνώστες θα βρουν επίσης πολλά για τον εαυτό τους. ενδιαφέρουσες στιγμές. Και φυσικά θα υπάρξει νέο υλικό, πηγαίνω παραπέρα Λύκειο.
Η εξίσωση λοιπόν…. Πολλοί θυμούνται αυτή τη λέξη με ρίγη. Τι αξίζουν οι «σοφιστικέ» εξισώσεις με ρίζες... ...ξεχάστε τις! Γιατί τότε θα συναντήσετε τους πιο ακίνδυνους «εκπροσώπους» αυτού του είδους. Ή βαρετό τριγωνομετρικές εξισώσειςμε δεκάδες μεθόδους λύσης. Για να είμαι ειλικρινής, δεν μου άρεσαν καθόλου… Μην πανικοβάλλεστε! – τότε σας περιμένουν κυρίως «πικραλίδες» με μια προφανή λύση σε 1-2 βήματα. Αν και η «κολλιτσίδα» σίγουρα κολλάει, πρέπει να είστε αντικειμενικοί εδώ.
Παραδόξως, στα ανώτερα μαθηματικά είναι πολύ πιο συνηθισμένο να αντιμετωπίζουμε πολύ πρωτόγονες εξισώσεις όπως γραμμικόςεξισώσεις
Τι σημαίνει η επίλυση αυτής της εξίσωσης; Αυτό σημαίνει εύρεση ΤΕΤΟΙΑ τιμής του «x» (ρίζα) που το μετατρέπει σε πραγματική ισότητα. Ας ρίξουμε το "τρία" προς τα δεξιά με αλλαγή πρόσημου:
και ρίξτε το "δύο" στη δεξιά πλευρά (ή, το ίδιο πράγμα - πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με)
:
Για να ελέγξουμε, ας αντικαταστήσουμε το κερδισμένο τρόπαιο στην αρχική εξίσωση: 
Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η τιμή που βρέθηκε είναι όντως ρίζα δεδομένη εξίσωση. Ή, όπως λένε επίσης, ικανοποιεί αυτή την εξίσωση.
Σημειώστε ότι η ρίζα μπορεί επίσης να γραφτεί στη φόρμα δεκαδικός:
Και προσπαθήστε να μην κολλήσετε σε αυτό το κακό στυλ! Επανέλαβα τον λόγο περισσότερες από μία φορές, ιδιαίτερα στο πρώτο μάθημα ανώτερη άλγεβρα.
Παρεμπιπτόντως, η εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί "στα αραβικά":
Και το πιο ενδιαφέρον είναι ότι αυτή η ηχογράφηση είναι απολύτως νόμιμη! Αλλά αν δεν είστε δάσκαλος, τότε είναι καλύτερα να μην το κάνετε αυτό, γιατί η πρωτοτυπία τιμωρείται εδώ =)
Και τώρα λίγα για
μέθοδος γραφικής λύσης
Η εξίσωση έχει τη μορφή και η ρίζα της είναι Συντεταγμένη "Χ". σημεία τομής γράφημα γραμμικής συνάρτησηςμε τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης (άξονας x):
Φαίνεται ότι το παράδειγμα είναι τόσο στοιχειώδες που δεν υπάρχει τίποτα άλλο να αναλυθεί εδώ, αλλά μια ακόμη απροσδόκητη απόχρωση μπορεί να "συμπιεστεί" από αυτό: ας παρουσιάσουμε την ίδια εξίσωση στη μορφή και ας κατασκευάσουμε γραφήματα των συναρτήσεων: 
Εν, παρακαλώ μην μπερδεύετε τις δύο έννοιες: μια εξίσωση είναι μια εξίσωση, και λειτουργία- αυτό είναι μια λειτουργία! Λειτουργίες μόνο βοήθειαβρείτε τις ρίζες της εξίσωσης. Εκ των οποίων μπορεί να είναι δύο, τρία, τέσσερα ή και απείρως πολλά. Το πιο κοντινό παράδειγμα με αυτή την έννοια είναι το γνωστό τετραγωνική εξίσωση, ο αλγόριθμος λύσης για τον οποίο έλαβε ξεχωριστή παράγραφο «καυτές» σχολικές φόρμουλες. Και αυτό δεν είναι τυχαίο! Αν μπορείτε να λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου και να ξέρετε Πυθαγόρειο θεώρημα, τότε, θα έλεγε κανείς, «τα μισά ανώτερα μαθηματικά είναι ήδη στην τσέπη σου» =) Υπερβολική, φυσικά, αλλά όχι και τόσο μακριά από την αλήθεια!
Επομένως, ας μην είμαστε τεμπέληδες και ας λύσουμε κάποια δευτεροβάθμια εξίσωση χρησιμοποιώντας τυπικός αλγόριθμος:
, που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο διαφορετικά έγκυροςρίζα: 
Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι και οι δύο τιμές που βρέθηκαν ικανοποιούν στην πραγματικότητα αυτήν την εξίσωση: 
Τι να κάνετε εάν ξεχάσατε ξαφνικά τον αλγόριθμο λύσης και δεν υπάρχουν μέσα/χέρια βοήθειας; Αυτή η κατάσταση μπορεί να προκύψει, για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια ενός τεστ ή μιας εξέτασης. Χρησιμοποιούμε τη γραφική μέθοδο! Και υπάρχουν δύο τρόποι: μπορείς κατασκευή σημείο προς σημείοπαραβολή 
, ανακαλύπτοντας έτσι πού τέμνει τον άξονα (αν διασταυρωθεί καθόλου). Αλλά είναι καλύτερα να κάνετε κάτι πιο πονηρό: φανταστείτε την εξίσωση στη μορφή, σχεδιάστε γραφήματα απλούστερων συναρτήσεων - και Συντεταγμένες "Χ".τα σημεία τομής τους είναι ευδιάκριτα! 
Αν αποδειχθεί ότι η ευθεία αγγίζει την παραβολή, τότε η εξίσωση έχει δύο ταιριαστές (πολλαπλές) ρίζες. Εάν αποδειχθεί ότι η ευθεία γραμμή δεν τέμνει την παραβολή, τότε δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
Για να γίνει αυτό, φυσικά, πρέπει να είστε σε θέση να χτίσετε γραφήματα στοιχειωδών συναρτήσεων, αλλά από την άλλη, ακόμη και ένας μαθητής μπορεί να κάνει αυτές τις δεξιότητες.
Και πάλι - μια εξίσωση είναι μια εξίσωση, και οι συναρτήσεις είναι συναρτήσεις που μόνο βοήθησελύσε την εξίσωση!
Και εδώ, παρεμπιπτόντως, θα ήταν σκόπιμο να θυμηθούμε κάτι ακόμη: αν όλοι οι συντελεστές μιας εξίσωσης πολλαπλασιαστούν με έναν μη μηδενικό αριθμό, τότε οι ρίζες της δεν θα αλλάξουν.
Έτσι, για παράδειγμα, η εξίσωση 
έχει τις ίδιες ρίζες. Ως απλή «απόδειξη», θα αφαιρέσω τη σταθερά εκτός παρενθέσεων: 
και θα το αφαιρέσω ανώδυνα (Θα διαιρώσω και τα δύο μέρη με "μείον δύο"):
ΑΛΛΑ!Αν λάβουμε υπόψη τη συνάρτηση 
, τότε δεν μπορείτε να απαλλαγείτε από τη σταθερά εδώ! Επιτρέπεται μόνο η αφαίρεση του πολλαπλασιαστή εκτός παρενθέσεων: 
.
Πολλοί άνθρωποι υποτιμούν τη μέθοδο γραφικής λύσης, θεωρώντας την κάτι «αναξιοπρεπές», και μερικοί μάλιστα ξεχνούν εντελώς αυτήν την πιθανότητα. Και αυτό είναι θεμελιωδώς λάθος, αφού η σχεδίαση γραφημάτων μερικές φορές απλώς σώζει την κατάσταση!
Άλλο παράδειγμα: ας υποθέσουμε ότι δεν θυμάστε τις ρίζες της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης: . Ο γενικός τύπος υπάρχει στα σχολικά εγχειρίδια, σε όλα τα βιβλία αναφοράς για τα μαθηματικά του δημοτικού, αλλά δεν είναι διαθέσιμα σε εσάς. Ωστόσο, η επίλυση της εξίσωσης είναι κρίσιμη (γνωστή και ως «δύο»). Υπάρχει έξοδος! – κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων: 
μετά από την οποία καταγράφουμε ήρεμα τις συντεταγμένες "X" των σημείων τομής τους: 
Υπάρχουν άπειρες ρίζες και στην άλγεβρα γίνεται αποδεκτή η συμπυκνωμένη συμβολή τους:
, Οπου ( – σύνολο ακεραίων)
.
Και, χωρίς να «φύγουμε», λίγα λόγια για τη γραφική μέθοδο επίλυσης ανισώσεων με μία μεταβλητή. Η αρχή είναι η ίδια. Έτσι, για παράδειγμα, η λύση στην ανίσωση είναι οποιοδήποτε «x», γιατί Το ημιτονοειδές βρίσκεται σχεδόν εντελώς κάτω από την ευθεία γραμμή. Η λύση στην ανισότητα είναι το σύνολο των διαστημάτων στα οποία τα κομμάτια του ημιτονοειδούς βρίσκονται αυστηρά πάνω από την ευθεία (άξονας x):
ή εν συντομία:
Αλλά εδώ είναι οι πολλές λύσεις για την ανισότητα: αδειάζω, αφού κανένα σημείο του ημιτονοειδούς δεν βρίσκεται πάνω από την ευθεία.
Υπάρχει κάτι που δεν καταλαβαίνεις; Μελετήστε επειγόντως τα μαθήματα για σκηνικάΚαι γραφήματα συναρτήσεων!
Ας ζεσταθούμε:
Ασκηση 1
Να λύσετε γραφικά τις παρακάτω τριγωνομετρικές εξισώσεις:
Απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος
Όπως μπορείτε να δείτε, για να μελετήσετε τις ακριβείς επιστήμες δεν είναι καθόλου απαραίτητο να στριμώχνετε τύπους και βιβλία αναφοράς! Επιπλέον, αυτή είναι μια θεμελιωδώς ελαττωματική προσέγγιση.
Όπως σας διαβεβαίωσα ήδη στην αρχή του μαθήματος, οι σύνθετες τριγωνομετρικές εξισώσεις σε ένα τυπικό μάθημα ανώτερων μαθηματικών πρέπει να επιλύονται εξαιρετικά σπάνια. Κάθε πολυπλοκότητα, κατά κανόνα, τελειώνει με εξισώσεις όπως , η λύση των οποίων είναι δύο ομάδες ριζών που προέρχονται από τις απλούστερες εξισώσεις και 
. Μην ανησυχείτε πολύ για την επίλυση του τελευταίου – ψάξτε σε ένα βιβλίο ή βρείτε το στο Διαδίκτυο =)
Η μέθοδος γραφικής λύσης μπορεί επίσης να βοηθήσει σε λιγότερο ασήμαντες περιπτώσεις. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την ακόλουθη εξίσωση "ragtag":
Οι προοπτικές για τη λύση του φαίνονται… δεν μοιάζουν με τίποτα, αλλά πρέπει απλώς να φανταστείτε την εξίσωση στη μορφή, να κατασκευάσετε γραφήματα συναρτήσεωνκαι όλα θα αποδειχθούν απίστευτα απλά. Υπάρχει ένα σχέδιο στη μέση του άρθρου σχετικά με απειροελάχιστες συναρτήσεις (θα ανοίξει στην επόμενη καρτέλα).
Χρησιμοποιώντας την ίδια γραφική μέθοδο, μπορείτε να μάθετε ότι η εξίσωση έχει ήδη δύο ρίζες και η μία από αυτές είναι ίση με μηδέν και η άλλη, προφανώς, παράλογοςκαι ανήκει στο τμήμα . Αυτή η ρίζα μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση, για παράδειγμα, εφαπτομενική μέθοδος. Παρεμπιπτόντως, σε ορισμένα προβλήματα, συμβαίνει ότι δεν χρειάζεται να βρείτε τις ρίζες, αλλά να μάθετε υπάρχουν καθόλου;. Και εδώ, επίσης, ένα σχέδιο μπορεί να βοηθήσει - εάν τα γραφήματα δεν τέμνονται, τότε δεν υπάρχουν ρίζες.
Ορθολογικές ρίζες πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.
Σχέδιο Horner
Και τώρα σας προσκαλώ να στρέψετε το βλέμμα σας στον Μεσαίωνα και να νιώσετε τη μοναδική ατμόσφαιρα της κλασικής άλγεβρας. Για καλύτερη κατανόησηΣας συνιστώ να διαβάσετε τουλάχιστον λίγο από το υλικό μιγαδικοί αριθμοί.
Είναι οι καλύτεροι. Πολυώνυμα.
Το αντικείμενο του ενδιαφέροντός μας θα είναι τα πιο κοινά πολυώνυμα της μορφής με ολόκληροςσυντελεστές Φυσικός αριθμόςπου ονομάζεται βαθμός πολυωνύμου, αριθμός – συντελεστής ανώτατου βαθμού (ή απλώς ο υψηλότερος συντελεστής), και ο συντελεστής είναι ελεύθερο μέλος.
Θα δηλώσω εν συντομία αυτό το πολυώνυμο με .
Ρίζες πολυωνύμουκαλέστε τις ρίζες της εξίσωσης
Λατρεύω τη σιδερένια λογική =)
Για παραδείγματα, μεταβείτε στην αρχή του άρθρου: 
Δεν υπάρχουν προβλήματα με την εύρεση των ριζών των πολυωνύμων της 1ης και 2ης μοίρας, αλλά όσο αυξάνετε αυτή η εργασία γίνεται όλο και πιο δύσκολη. Αν και από την άλλη, όλα είναι πιο ενδιαφέροντα! Και σε αυτό ακριβώς θα αφιερωθεί το δεύτερο μέρος του μαθήματος.
Πρώτον, κυριολεκτικά η μισή οθόνη της θεωρίας:
1) Σύμφωνα με το συμπέρασμα θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, το πολυώνυμο βαθμού έχει ακριβώς συγκρότημαρίζες. Μερικές ρίζες (ή ακόμα και όλες) μπορεί να είναι ιδιαίτερα έγκυρος. Επιπλέον, μεταξύ των πραγματικών ριζών μπορεί να υπάρχουν πανομοιότυπες (πολλαπλές) ρίζες (τουλάχιστον δύο, μέγιστο τεμάχια).
Αν κάποιος μιγαδικός αριθμός είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου, τότε κλίνωΟ αριθμός του είναι επίσης αναγκαστικά η ρίζα αυτού του πολυωνύμου (οι συζυγείς σύνθετες ρίζες έχουν τη μορφή ).
Το πιο απλό παράδειγμαείναι μια τετραγωνική εξίσωση που εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο 8 (αρέσει)τάξη, και την οποία τελικά «τελειώσαμε» στο θέμα μιγαδικοί αριθμοί. Επιτρέψτε μου να σας θυμίσω: μια τετραγωνική εξίσωση έχει είτε δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, είτε πολλαπλές ρίζες, είτε συζευγμένες μιγαδικές ρίζες.
2) Από Το θεώρημα του Bezoutπροκύπτει ότι αν ένας αριθμός είναι η ρίζα μιας εξίσωσης, τότε το αντίστοιχο πολυώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί:
, όπου είναι ένα πολυώνυμο βαθμού .
Και πάλι, το παλιό μας παράδειγμα: αφού είναι η ρίζα της εξίσωσης, τότε . Μετά από αυτό δεν είναι δύσκολο να αποκτήσετε τη γνωστή επέκταση «σχολείου».
Το συμπέρασμα του θεωρήματος του Bezout έχει μεγάλη πρακτική αξία: αν γνωρίζουμε τη ρίζα μιας εξίσωσης 3ου βαθμού, τότε μπορούμε να την αναπαραστήσουμε με τη μορφή 
και από την τετραγωνική εξίσωση είναι εύκολο να βρούμε τις υπόλοιπες ρίζες. Εάν γνωρίζουμε τη ρίζα μιας εξίσωσης 4ου βαθμού, τότε είναι δυνατόν να επεκτείνουμε την αριστερή πλευρά σε ένα γινόμενο κ.λπ.
Και εδώ υπάρχουν δύο ερωτήματα:
Ερώτηση ένα. Πώς να βρείτε αυτήν ακριβώς τη ρίζα; Πρώτα απ 'όλα, ας ορίσουμε τη φύση του: σε πολλά προβλήματα ανώτερων μαθηματικών είναι απαραίτητο να βρεθεί λογικός, συγκεκριμένα ολόκληροςρίζες πολυωνύμων, και από αυτή την άποψη, περαιτέρω θα μας ενδιαφέρουν κυρίως αυτά.... ...είναι τόσο καλά, τόσο αφράτα, που απλά θέλεις να τα βρεις! =)
Το πρώτο πράγμα που έρχεται στο μυαλό είναι η μέθοδος επιλογής. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την εξίσωση . Η σύλληψη εδώ είναι στον ελεύθερο όρο - αν ήταν ίσο με μηδέν, τότε όλα θα ήταν καλά - βγάζουμε το "x" από αγκύλες και οι ίδιες οι ρίζες "πέφτουν" στην επιφάνεια: 
Αλλά ο ελεύθερος όρος μας είναι ίσος με "τρία", και επομένως αρχίζουμε να αντικαθιστούμε στην εξίσωση διαφορετικούς αριθμούς, ισχυριζόμενος ότι είναι η «ρίζα». Πρώτα απ 'όλα, η αντικατάσταση μεμονωμένων τιμών υποδηλώνει τον εαυτό της. Ας αντικαταστήσουμε: 
Ελήφθη ανακριβήςισότητα, επομένως, η μονάδα «δεν ταίριαζε». Λοιπόν, εντάξει, ας αντικαταστήσουμε: 
Ελήφθη αληθήςισότητα! Δηλαδή, η τιμή είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης.
Για να βρείτε τις ρίζες ενός πολυωνύμου 3ου βαθμού, υπάρχει αναλυτική μέθοδος (οι λεγόμενοι τύποι Cardano), αλλά τώρα μας ενδιαφέρει μια ελαφρώς διαφορετική εργασία.
Δεδομένου ότι - είναι η ρίζα του πολυωνύμου μας, το πολυώνυμο μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή και προκύπτει Δεύτερη ερώτηση: πώς να βρείτε έναν «νεότερο αδερφό»;
Οι απλούστερες αλγεβρικές θεωρήσεις υποδηλώνουν ότι για να γίνει αυτό πρέπει να διαιρέσουμε με . Πώς να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο; Ιδιο σχολική μέθοδος, που χρησιμοποιείται για τη διαίρεση συνηθισμένων αριθμών - σε μια "στήλη"! Αυτή η μέθοδοςΕγώ με περισσότερες λεπτομέρειεςσυζητήθηκε στα πρώτα παραδείγματα του μαθήματος Σύνθετα Όρια, και τώρα θα δούμε μια άλλη μέθοδο, η οποία ονομάζεται Σχέδιο Horner.
Πρώτα γράφουμε το «υψηλότερο» πολυώνυμο με όλους
, συμπεριλαμβανομένων μηδενικών συντελεστών:
, μετά την οποία εισάγουμε αυτούς τους συντελεστές (αυστηρά κατά σειρά) στην επάνω σειρά του πίνακα:
Γράφουμε τη ρίζα στα αριστερά:
Θα κάνω αμέσως κράτηση ότι το σχήμα του Χόρνερ λειτουργεί επίσης αν ο αριθμός "κόκκινος". Δενείναι η ρίζα του πολυωνύμου. Ωστόσο, ας μην βιαζόμαστε τα πράγματα.
Αφαιρούμε τον κύριο συντελεστή από πάνω:
Η διαδικασία πλήρωσης των κάτω κυψελών θυμίζει κάπως κέντημα, όπου το "μείον ένα" είναι ένα είδος "βελόνας" που διαπερνά τα επόμενα βήματα. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό "carried down" επί (–1) και προσθέτουμε τον αριθμό από το επάνω κελί στο γινόμενο:
Πολλαπλασιάζουμε την τιμή που βρέθηκε με την «κόκκινη βελόνα» και προσθέτουμε τον ακόλουθο συντελεστή εξίσωσης στο γινόμενο:
Και τέλος, η προκύπτουσα τιμή "επεξεργάζεται" ξανά με τη "βελόνα" και τον ανώτερο συντελεστή:
Το μηδέν στο τελευταίο κελί μας λέει ότι το πολυώνυμο διαιρείται σε χωρίς ίχνος (όπως θα έπρεπε να είναι), ενώ οι συντελεστές επέκτασης «αφαιρούνται» απευθείας από την κάτω γραμμή του πίνακα:
Έτσι, περάσαμε από την εξίσωση σε μια ισοδύναμη εξίσωση και όλα είναι ξεκάθαρα με τις δύο υπόλοιπες ρίζες (V σε αυτήν την περίπτωσηπαίρνουμε συζυγείς σύνθετες ρίζες).
Η εξίσωση, παρεμπιπτόντως, μπορεί επίσης να λυθεί γραφικά: οικόπεδο "αστραπή" 
και δείτε ότι το γράφημα διασχίζει τον άξονα x ()
στο σημείο. Ή το ίδιο «πονηρό» τέχνασμα - ξαναγράφουμε την εξίσωση με τη μορφή , σχεδιάζουμε στοιχειώδη γραφήματα και ανιχνεύουμε τη συντεταγμένη «Χ» του σημείου τομής τους.
Παρεμπιπτόντως, η γραφική παράσταση οποιασδήποτε πολυωνυμικής συνάρτησης 3ου βαθμού τέμνει τον άξονα τουλάχιστον μία φορά, πράγμα που σημαίνει ότι η αντίστοιχη εξίσωση έχει τουλάχιστονένας έγκυροςρίζα. Αυτό το γεγονόςισχύει για οποιαδήποτε πολυωνυμική συνάρτηση περιττού βαθμού.
Και εδώ θα ήθελα επίσης να σταθώ σημαντικό σημείο που αφορά την ορολογία: πολυώνυμοςΚαι πολυωνυμική συνάρτηση – δεν είναι το ίδιο πράγμα! Αλλά στην πράξη συχνά μιλούν, για παράδειγμα, για το «γράφημα ενός πολυωνύμου», το οποίο, φυσικά, είναι αμέλεια.
Ωστόσο, ας επιστρέψουμε στο σχήμα του Horner. Όπως ανέφερα πρόσφατα, αυτό το σχήμα λειτουργεί για άλλους αριθμούς, αλλά αν ο αριθμός Δενείναι η ρίζα της εξίσωσης, τότε μια μη μηδενική πρόσθεση (υπόλοιπο) εμφανίζεται στον τύπο μας:
Ας «τρέξουμε» την «αποτυχημένη» τιμή σύμφωνα με το σχήμα του Horner. Σε αυτή την περίπτωση, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο πίνακα - γράψτε μια νέα "βελόνα" στα αριστερά, μετακινήστε τον κύριο συντελεστή από πάνω (αριστερό πράσινο βέλος)και φεύγουμε: 
Για έλεγχο, ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους:
, ΕΝΤΑΞΕΙ.
Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι το υπόλοιπο («έξι») είναι ακριβώς η τιμή του πολυωνύμου στο . Και στην πραγματικότητα - πώς είναι: 
, και ακόμη πιο ωραίο - όπως αυτό:
Από τους παραπάνω υπολογισμούς είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι το σχήμα του Horner επιτρέπει όχι μόνο να συνυπολογίσει το πολυώνυμο, αλλά και να πραγματοποιήσει μια «πολιτισμένη» επιλογή της ρίζας. Σας προτείνω να ενοποιήσετε ανεξάρτητα τον αλγόριθμο υπολογισμού με μια μικρή εργασία:
Εργασία 2
Χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner, βρείτε την ακέραια ρίζα της εξίσωσης και συντελεστή το αντίστοιχο πολυώνυμο
Με άλλα λόγια, εδώ πρέπει να ελέγξετε διαδοχικά τους αριθμούς 1, –1, 2, –2, ... – μέχρι να «τραβηχτεί» ένα μηδενικό υπόλοιπο στην τελευταία στήλη. Αυτό θα σημαίνει ότι η «βελόνα» αυτής της γραμμής είναι η ρίζα του πολυωνύμου
Είναι βολικό να οργανώσετε τους υπολογισμούς σε έναν μόνο πίνακα. Λεπτομερής λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Η μέθοδος επιλογής ριζών είναι καλή για σχετικά απλές περιπτώσεις, αλλά εάν οι συντελεστές και/ή ο βαθμός του πολυωνύμου είναι μεγάλοι, τότε η διαδικασία μπορεί να διαρκέσει περισσότερο. Ή μήπως υπάρχουν κάποιες τιμές από την ίδια λίστα 1, –1, 2, –2 και δεν έχει νόημα να ληφθούν υπόψη; Και, εκτός αυτού, οι ρίζες μπορεί να αποδειχθούν κλασματικές, γεγονός που θα οδηγήσει σε ένα εντελώς αντιεπιστημονικό σκούπισμα.
Ευτυχώς, υπάρχουν δύο ισχυρά θεωρήματα που μπορούν να μειώσουν σημαντικά την αναζήτηση για "υποψήφιες" τιμές για ορθολογικές ρίζες:
Θεώρημα 1Ας σκεφτούμε αμείωτοςκλάσμα , όπου . Εάν ο αριθμός είναι η ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ελεύθερος όρος διαιρείται με και ο κύριος συντελεστής διαιρείται με.
Συγκεκριμένα, αν ο κύριος συντελεστής είναι , τότε αυτή η ορθολογική ρίζα είναι ακέραιος:
Και αρχίζουμε να εκμεταλλευόμαστε το θεώρημα με αυτήν ακριβώς τη νόστιμη λεπτομέρεια:
Ας επιστρέψουμε στην εξίσωση. Εφόσον ο κύριος συντελεστής του είναι , τότε οι υποθετικές ορθολογικές ρίζες μπορούν να είναι αποκλειστικά ακέραιες και ο ελεύθερος όρος πρέπει απαραίτητα να διαιρεθεί σε αυτές τις ρίζες χωρίς υπόλοιπο. Και τα "τρία" μπορούν να χωριστούν μόνο σε 1, -1, 3 και -3. Δηλαδή, έχουμε μόνο 4 «υποψήφιους ρίζας». Και, σύμφωνα με Θεώρημα 1, άλλοι ρητικοί αριθμοί δεν μπορούν να είναι κατ' αρχήν ρίζες αυτής της εξίσωσης.
Υπάρχουν λίγοι περισσότεροι «υποψήφιοι» στην εξίσωση: ο ελεύθερος όρος χωρίζεται σε 1, –1, 2, – 2, 4 και –4.
Σημειώστε ότι οι αριθμοί 1, –1 είναι «κανονικοί» της λίστας των πιθανών ριζών (προφανής συνέπεια του θεωρήματος)και οι περισσότεροι η καλύτερη επιλογήγια έλεγχο προτεραιότητας.
Ας προχωρήσουμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα:
Πρόβλημα 3
Λύση: δεδομένου ότι ο κύριος συντελεστής είναι , τότε οι υποθετικές ορθολογικές ρίζες μπορούν να είναι μόνο ακέραιες και πρέπει απαραίτητα να είναι διαιρέτες του ελεύθερου όρου. Το "Μείον σαράντα" χωρίζεται στα ακόλουθα ζεύγη αριθμών:
– συνολικά 16 «υποψήφιοι».
Και εδώ εμφανίζεται αμέσως μια δελεαστική σκέψη: είναι δυνατόν να εξαλειφθούν όλες οι αρνητικές ή όλες οι θετικές ρίζες; Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατό! Θα διατυπώσω δύο σημάδια:
1) Αν ΟλαΑν οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι μη αρνητικοί, τότε δεν μπορεί να έχει θετικές ρίζες. Δυστυχώς, αυτό δεν είναι η περίπτωσή μας (Τώρα, αν μας δόθηκε μια εξίσωση - τότε ναι, όταν αντικαθιστούμε οποιαδήποτε τιμή του πολυωνύμου, η τιμή του πολυωνύμου είναι αυστηρά θετική, πράγμα που σημαίνει ότι όλοι οι θετικοί αριθμοί (και τα παράλογα επίσης)δεν μπορεί να είναι ρίζες της εξίσωσης.
2) Αν οι συντελεστές για τις περιττές δυνάμεις είναι μη αρνητικοί και για όλες τις ζυγές δυνάμεις (συμπεριλαμβανομένου του δωρεάν μέλους)είναι αρνητικές, τότε το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει αρνητικές ρίζες. Αυτή είναι η περίπτωσή μας! Κοιτάζοντας λίγο πιο προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ότι όταν αντικαθιστάτε οποιοδήποτε αρνητικό "Χ" στην εξίσωση, η αριστερή πλευρά θα είναι αυστηρά αρνητική, πράγμα που σημαίνει ότι οι αρνητικές ρίζες εξαφανίζονται
Έτσι, απομένουν 8 αριθμοί για έρευνα:
Τα «φορτώνουμε» διαδοχικά σύμφωνα με το σχήμα του Horner. Ελπίζω να έχετε ήδη κατακτήσει τους νοητικούς υπολογισμούς: 
Η τύχη μας περίμενε όταν δοκιμάσαμε τα «δύο». Έτσι, είναι η ρίζα της εξίσωσης που εξετάζουμε, και
Μένει να μελετήσουμε την εξίσωση 
. Αυτό είναι εύκολο να γίνει μέσω του διαχωριστικού, αλλά θα πραγματοποιήσω μια ενδεικτική δοκιμή χρησιμοποιώντας το ίδιο σχήμα. Αρχικά, ας σημειώσουμε ότι ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με 20, που σημαίνει Θεώρημα 1οι αριθμοί 8 και 40 πέφτουν από τη λίστα των πιθανών ριζών, αφήνοντας τις τιμές για έρευνα (ένας αποκλείστηκε σύμφωνα με το σχήμα του Horner).
Γράφουμε τους συντελεστές του τριωνύμου στην επάνω σειρά του νέου πίνακα και Αρχίζουμε τον έλεγχο με τα ίδια "δύο". Γιατί; Και επειδή οι ρίζες μπορεί να είναι πολλαπλές, παρακαλούμε: - αυτή η εξίσωση έχει 10 πανομοιότυπες ρίζες. Αλλά ας μην αποσπαζόμαστε: 
Και εδώ, βέβαια, έλεγα λίγο ψέματα, γνωρίζοντας ότι οι ρίζες είναι λογικές. Άλλωστε, αν ήταν παράλογα ή σύνθετα, τότε θα ερχόμουν αντιμέτωπος με έναν ανεπιτυχή έλεγχο όλων των υπόλοιπων αριθμών. Επομένως, στην πράξη, να καθοδηγείται από τη διάκριση.
Απάντηση: ορθολογικές ρίζες: 2, 4, 5
Ήμασταν τυχεροί στο πρόβλημα που αναλύσαμε, γιατί: α) έπεσαν αμέσως αρνητικές τιμές, και β) βρήκαμε τη ρίζα πολύ γρήγορα (και θεωρητικά μπορούσαμε να ελέγξουμε ολόκληρη τη λίστα).
Στην πραγματικότητα όμως η κατάσταση είναι πολύ χειρότερη. Σας προσκαλώ να παρακολουθήσετε συναρπαστικό παιχνίδιμε τίτλο " Τελευταίος ήρωας»:
Πρόβλημα 4
Βρείτε τις ορθολογικές ρίζες της εξίσωσης
Λύση: Με Θεώρημα 1οι αριθμητές των υποθετικών ορθολογικών ριζών πρέπει να ικανοποιούν την προϋπόθεση (διαβάζουμε «το δώδεκα διαιρείται με το ελ»), και οι παρονομαστές αντιστοιχούν στην συνθήκη . Με βάση αυτό, έχουμε δύο λίστες:
"list el":
και "list um": (ευτυχώς, οι αριθμοί εδώ είναι φυσικοί).
Τώρα ας φτιάξουμε μια λίστα με όλες τις πιθανές ρίζες. Αρχικά, διαιρούμε τη λίστα "el" με . Είναι απολύτως σαφές ότι θα ληφθούν τα ίδια νούμερα. Για ευκολία, ας τα βάλουμε σε έναν πίνακα:
Πολλά κλάσματα έχουν μειωθεί, με αποτέλεσμα τιμές που βρίσκονται ήδη στη «λίστα ηρώων». Προσθέτουμε μόνο "πρωταγωνιστές": 
Ομοίως, διαιρούμε την ίδια «λίστα» με: 
και τέλος επάνω
Έτσι, η ομάδα των συμμετεχόντων στο παιχνίδι μας συμπληρώνεται: 
Δυστυχώς, το πολυώνυμο σε αυτό το πρόβλημα δεν ικανοποιεί το κριτήριο "θετικό" ή "αρνητικό" και επομένως δεν μπορούμε να απορρίψουμε την επάνω ή την κάτω σειρά. Θα πρέπει να δουλέψετε με όλους τους αριθμούς.
Πως αισθάνεσαι; Έλα, σήκωσε το κεφάλι σου – υπάρχει ένα άλλο θεώρημα που μπορεί μεταφορικά να ονομαστεί «θεώρημα δολοφόνου»…. ..."υποψήφιοι", φυσικά =)
Αλλά πρώτα πρέπει να μετακινηθείτε στο διάγραμμα του Horner για τουλάχιστον ένα ΟΛΟΚΛΗΡΟαριθμοί. Παραδοσιακά, ας πάρουμε ένα. Στην επάνω γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου και όλα είναι όπως συνήθως:
Εφόσον το τέσσερα δεν είναι σαφώς μηδέν, η τιμή δεν είναι η ρίζα του εν λόγω πολυωνύμου. Αλλά θα μας βοηθήσει πολύ.
Θεώρημα 2Αν για κάποιους γενικάΗ τιμή του πολυωνύμου είναι μη μηδενική: , τότε οι ορθολογικές ρίζες του (αν είναι)ικανοποιεί την προϋπόθεση
Στην περίπτωσή μας και επομένως όλες οι πιθανές ρίζες πρέπει να ικανοποιούν την προϋπόθεση (ας το πούμε Συνθήκη Νο. 1). Αυτή η τετράδα θα είναι ο «δολοφόνος» πολλών «υποψηφίων». Ως επίδειξη, θα εξετάσω μερικούς ελέγχους:
Ας τσεκάρουμε τον «υποψήφιο». Για να γίνει αυτό, ας το αναπαραστήσουμε τεχνητά με τη μορφή κλάσματος, από το οποίο φαίνεται καθαρά ότι . Ας υπολογίσουμε τη διαφορά δοκιμής: . Το τέσσερα διαιρείται με το "μείον δύο": , που σημαίνει ότι η πιθανή ρίζα έχει περάσει τη δοκιμή.
Ας ελέγξουμε την τιμή. Εδώ η διαφορά δοκιμής είναι: 
. Φυσικά, και επομένως το δεύτερο «θέμα» παραμένει επίσης στη λίστα.
Έχει αποδειχθεί ότι για να παραγοντοποιήσετε ένα πολυώνυμο, πρέπει να βρείτε τις ρίζες του. Τύποι για τις ρίζες τετράγωνου πολυωνύμου. Μέθοδος εύρεσης ολόκληρων ριζών. Μέθοδος παραγοντοποίησης ενός διτετραγωνικού πολυωνύμου και αναγωγής του σε τετραγωνικό. Επαναλαμβανόμενα πολυώνυμα.
Βάση της μεθόδου
Αφήνω
- πολυώνυμο βαθμού n ≥ 1
μιας πραγματικής ή μιγαδικής μεταβλητής z με πραγματικούς ή μιγαδικούς συντελεστές a i.
Ας δεχτούμε το παρακάτω θεώρημα χωρίς απόδειξη.
Θεώρημα 1 Εξίσωση Pn(z) = 0
έχει τουλάχιστον μία ρίζα.
Ας αποδείξουμε το ακόλουθο λήμμα.
Λήμμα 1 Έστω P n(z) 1
- πολυώνυμο βαθμού n, z
- ρίζα της εξίσωσης: Πν.
(z 1) = 0 Έστω P nΣτη συνέχεια P n
- ρίζα της εξίσωσης: μπορεί να αναπαρασταθεί με τον μόνο τρόπο στη μορφή:,
(z) = (z - z 1) P n-1 (z) όπου Pn- 1(z) 1
.
- πολυώνυμο βαθμού n -
Απόδειξη Έστω P nΓια να το αποδείξουμε, εφαρμόζουμε το θεώρημα (βλ. Διαίρεση και πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο με γωνία και στήλη), σύμφωνα με το οποίο για οποιαδήποτε δύο πολυώνυμα P n Έστω P nκαι Q k
- ρίζα της εξίσωσης: , βαθμοί n και k, με n ≥ k, υπάρχει μια μοναδική αναπαράσταση με τη μορφή:,
(z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z) Έστω P nόπου Πν-κ όπου Pn-- πολυώνυμο βαθμού n-k, U k- 1
.
- πολυώνυμο βαθμού όχι μεγαλύτερου από k- 1
Ας βάλουμε k = , Q k(z) = z - z 1
- ρίζα της εξίσωσης: , Επειτα,
(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c 1
όπου c είναι σταθερά. Ας αντικαταστήσουμε εδώ το z = z Πν:
- ρίζα της εξίσωσης: και λάβετε υπόψη ότι το P n;
(z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c.
0 = 0 + γ 0
Ως εκ τούτου c =
.
Επειτα
Pn, Έστω P n Q.E.D. 1
Έτσι, με βάση το Θεώρημα 1, το πολυώνυμο P n Πνέχει τουλάχιστον μία ρίζα. Ας το συμβολίσουμε ως z
- ρίζα της εξίσωσης: ,Πν.
. 1
Στη συνέχεια, με βάση το Λήμμα 1: όπου Pn-(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) 2
Περαιτέρω, εάν n > , τότε το πολυώνυμο P n-Ως εκ τούτου c =
έχει επίσης τουλάχιστον μία ρίζα, την οποία συμβολίζουμε ως z ,Pn-;
- ρίζα της εξίσωσης: 1 (z 2) = 0.
Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z)(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z)
- ρίζα της εξίσωσης: Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν n αριθμοί z.
1 , z 2 , ... , z n τέτοια που(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z)
(1)
Όμως ο Π 0(z).
- αυτό είναι μια σταθερά. Εξισώνοντας τους συντελεστές για z n, βρίσκουμε ότι ισούται με a n. Έστω P n.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε τον τύπο για την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου: (1)
Πν (1)
(z) = a n (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n )
(2)
Όμως ο Π Οι αριθμοί z i είναι οι ρίζες του πολυωνύμου P n;
.
Γενικά, δεν περιλαμβάνονται όλα τα z i 1
, είναι διαφορετικά. Ανάμεσά τους μπορεί να υπάρχουν οι ίδιες τιμές. Στη συνέχεια παραγοντοποιώντας το πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί ως:(z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k Εδώ z i ≠ z j για i ≠ j.Αν n i = , Οτιρίζα 1
, είναι διαφορετικά. Ανάμεσά τους μπορεί να υπάρχουν οι ίδιες τιμές. Στη συνέχεια παραγοντοποιώντας το πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί ως:(z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k z iονομάζεται απλός . Μπαίνει σε παραγοντοποίηση με τη μορφή: (z-z i).
.
Αν n i >
Αν είναι μιγαδική ρίζα πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές, τότε ο μιγαδικός συζευγμένος αριθμός είναι επίσης ρίζα του πολυωνύμου, .
- πολυώνυμο βαθμού n -
Πράγματι, αν , και οι συντελεστές ενός πολυωνύμου είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε .
Έτσι, οι μιγαδικές ρίζες εισέρχονται σε παραγοντοποίηση σε ζεύγη με τις μιγαδικές συζυγείς τιμές τους:
,
όπου , είναι πραγματικοί αριθμοί.
Στη συνέχεια η αποσύνθεση (2)
ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές σε παράγοντες μπορεί να αναπαρασταθεί με μια μορφή στην οποία υπάρχουν μόνο πραγματικές σταθερές:
(3)
;
.
Μέθοδοι παραγοντοποίησης πολυωνύμου
Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, για να παραγοντοποιήσετε ένα πολυώνυμο, πρέπει να βρείτε όλες τις ρίζες της εξίσωσης P n (z) = 0 και να προσδιορίσετε την πολλαπλότητά τους. Οι παράγοντες με σύνθετες ρίζες πρέπει να ομαδοποιούνται με σύνθετα συζυγή. Στη συνέχεια, η επέκταση καθορίζεται από τον τύπο (3) .
Έτσι, η μέθοδος για την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου είναι η εξής:
1.
Εύρεση της ρίζας z 1
εξισώσεις Pn (z 1) = 0.
2.1.
Αν η ρίζα z 1
πραγματικό, τότε προσθέτουμε τον παράγοντα στην επέκταση (z - z 1) (z - z 1) 1
:
.
1(z), ξεκινώντας από το σημείο (1)
μέχρι να βρούμε όλες τις ρίζες.
2.2.
Αν η ρίζα είναι σύνθετη, τότε ο μιγαδικός συζευγμένος αριθμός είναι και η ρίζα του πολυωνύμου. Τότε η επέκταση περιλαμβάνει τον παράγοντα
,
όπου β 1 = - 2 x 1, γ 1 = x 1 2 + y 1 2.
Σε αυτήν την περίπτωση, προσθέτουμε τον παράγοντα στην επέκταση (z 2 + b 1 z + c 1)και διαιρέστε το πολυώνυμο P n (z) με (z 2 + b 1 z + c 1). 2
:
.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα πολυώνυμο βαθμού n - Στη συνέχεια επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για το πολυώνυμο P n-, ξεκινώντας από το σημείο (1)
μέχρι να βρούμε όλες τις ρίζες.
2(z)
Εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου
Το κύριο καθήκον κατά την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου είναι να βρείτε τις ρίζες του. Δυστυχώς, αυτό δεν μπορεί να γίνει πάντα αναλυτικά. Εδώ θα δούμε αρκετές περιπτώσεις όπου μπορείτε να βρείτε τις ρίζες ενός πολυωνύμου αναλυτικά.
Ρίζες πολυωνύμου πρώτου βαθμού
.
Ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού είναι μια γραμμική συνάρτηση. Έχει μία ρίζα. Η επέκταση έχει μόνο έναν παράγοντα που περιέχει τη μεταβλητή z:
Ρίζες πολυωνύμου δεύτερου βαθμού
Για να βρείτε τις ρίζες ενός πολυωνύμου δεύτερου βαθμού, πρέπει να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση: Π.
2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0
, .
Εάν η διάκριση είναι , τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες:
.
Τότε η παραγοντοποίηση έχει τη μορφή: 0
Αν διακρίνεται D =
;
.
, τότε η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα:< 0
Αν διακρίνει Δ
.
, τότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι μιγαδικές,
Υπάρχουν τύποι για την εύρεση των ριζών πολυωνύμων 3ης και 4ης μοίρας. Ωστόσο, χρησιμοποιούνται σπάνια επειδή είναι ογκώδεις. Δεν υπάρχουν τύποι για την εύρεση των ριζών πολυωνύμων βαθμού υψηλότερου του 4ου. Παρόλα αυτά, σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατός ο παράγοντας του πολυωνύμου.
Βρίσκοντας ολόκληρες ρίζες
Εάν είναι γνωστό ότι ένα πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές είναι ακέραιοι έχουν ακέραια ρίζα, τότε μπορεί να βρεθεί με αναζήτηση σε όλες τις πιθανές τιμές.
Λήμμα 3
Έστω το πολυώνυμο
,
οι συντελεστές a i των οποίων είναι ακέραιοι, έχει ακέραια ρίζα z 1
. 0
.
- πολυώνυμο βαθμού n -
Τότε αυτή η ρίζα είναι διαιρέτης του αριθμού α ΠνΑς ξαναγράψουμε την εξίσωση P n
.
όπως και:
Μετά το σύνολο Mz.
1 = - 0 1
:
.
Διαιρέστε με z
Εφόσον το Μ είναι ακέραιος, τότε το Μ είναι ακέραιος. Q.E.D. 0
Επομένως, εάν οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ακέραιοι, τότε μπορείτε να προσπαθήσετε να βρείτε τις ακέραιες ρίζες. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε όλους τους διαιρέτες του ελεύθερου όρου a Εξίσωση Pnκαι, αντικαθιστώντας στην εξίσωση P n
, ελέγξτε αν είναι ρίζες αυτής της εξίσωσης.Σημείωση Εξίσωση Pn. Αν οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ορθολογικοί αριθμοί, τότε πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση P n
με τον κοινό παρονομαστή των αριθμών a i , παίρνουμε μια εξίσωση για ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές.
Εύρεση ορθολογικών ριζών 1
Αν οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ακέραιοι και δεν υπάρχουν ακέραιες ρίζες, τότε για ένα n ≠
, μπορείτε να προσπαθήσετε να βρείτε ορθολογικές ρίζες. Για να γίνει αυτό πρέπει να κάνετε μια αντικατάσταση
z = y/a n 1
και πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με ένα n n-
.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια εξίσωση για ένα πολυώνυμο στη μεταβλητή y με ακέραιους συντελεστές Στη συνέχεια, αναζητούμε τις ακέραιες ρίζες αυτού του πολυωνύμου μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου. Αν έχουμε βρει μια τέτοια ρίζα y i, τότε περνώντας στη μεταβλητή x, παίρνουμε μια λογική ρίζα
z i = y i /a n .
Χρήσιμες φόρμουλες
- ρίζα της εξίσωσης: Παρουσιάζουμε τύπους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον παράγοντα ενός πολυωνύμου.,
Γενικότερα, για την επέκταση ενός πολυωνύμου 0
(z) = z n - a 0
όπου ένας 0
.
- σύνθετο, πρέπει να βρείτε όλες τις ρίζες του, δηλαδή να λύσετε την εξίσωση: 0
z n = a
.
Αυτή η εξίσωση μπορεί εύκολα να λυθεί εκφράζοντας α 0
μέσω του συντελεστή r και του ορίσματος φ: Αφού αδεν θα αλλάξει αν προσθέσουμε στο επιχείρημα 0
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση P n
,
2π
;
.
, τότε φανταστείτε α όπου k είναι ένας ακέραιος αριθμός. ΕπειταΕκχωρώντας k τις τιμές k =
.
0, 1, 2, ... n-1
, παίρνουμε n ρίζες του πολυωνύμου. Τότε η παραγοντοποίησή του έχει τη μορφή:
.
Διτετραγωνικό πολυώνυμο
Θεωρήστε το διτετραγωνικό πολυώνυμο:
,
Ένα διτετραγωνικό πολυώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί χωρίς να βρεθούν οι ρίζες.
Όταν , έχουμε:
Οπου .
.
Δικυβικά και τετραγωνικά πολυώνυμα
.
Εξετάστε το πολυώνυμο: Οι ρίζες του καθορίζονται από την εξίσωση:αντικατάσταση t = z n :
ένα 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Έχοντας λύσει αυτή την εξίσωση, βρίσκουμε τις ρίζες της, t 1
, t 2
.
.
Στη συνέχεια βρίσκουμε την επέκταση με τη μορφή: 1
Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που υποδεικνύεται παραπάνω, παραγοντοποιούμε z n - t 2
και z n - t
.
Τέλος, ομαδοποιούμε τους παράγοντες που περιέχουν σύνθετες συζυγείς ρίζες. Επαναλαμβανόμενα πολυώνυμαΤο πολυώνυμο λέγεται
επιστρεπτέος
.
, αν οι συντελεστές του είναι συμμετρικοί: -1
Ένα παράδειγμα ανακλαστικού πολυωνύμου: + 1
Εάν ο βαθμός ενός επαναλαμβανόμενου πολυωνύμου n είναι περιττός, τότε ένα τέτοιο πολυώνυμο έχει ρίζα z = - 1
.
. 2
Διαιρώντας ένα τέτοιο πολυώνυμο με z
, λαμβάνουμε επαναλαμβανόμενο πολυώνυμο βαθμού n Εάν ο βαθμός ενός επαναλαμβανόμενου πολυωνύμου n είναι άρτιος, τότε με αντικατάσταση , μειώνεται σε ένα πολυώνυμο βαθμού n/.
Εκ.
Όπως έχουμε ήδη σημειώσει, ένα από τα
πιο σημαντικά καθήκοντα
στη θεωρία των πολυωνύμων το καθήκον είναι να βρούμε τις ρίζες τους. Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο επιλογής, π.χ. Πάρτε έναν αριθμό τυχαία και ελέγξτε αν είναι η ρίζα ενός δεδομένου πολυωνύμου.
Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε γρήγορα να "χτυπήσετε" τη ρίζα, ή μπορεί να μην τη βρείτε ποτέ. Άλλωστε είναι αδύνατο να ελέγξετε όλους τους αριθμούς, αφού είναι άπειροι.
Θα ήταν άλλο θέμα εάν μπορούσαμε να περιορίσουμε την περιοχή αναζήτησης, για παράδειγμα, να γνωρίζουμε ότι οι ρίζες που αναζητούμε είναι, ας πούμε, μεταξύ των τριάντα καθορισμένων αριθμών. Και για τριάντα αριθμούς μπορείς να κάνεις έναν έλεγχο. Σε σχέση με όλα όσα ειπώθηκαν παραπάνω, αυτή η δήλωση φαίνεται σημαντική και ενδιαφέρουσα.
Εάν το μη αναγώγιμο κλάσμα l/m (l,m είναι ακέραιοι) είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου f (x) με ακέραιους συντελεστές, τότε ο κύριος συντελεστής αυτού του πολυωνύμου διαιρείται με m και ο ελεύθερος όρος διαιρείται με 1.
Πράγματι, αν f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, όπου an, an-1,...,a1, a0 είναι ακέραιοι, τότε f (l/ m) =0, δηλ. аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.
Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας επί mn. Παίρνουμε anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0. Αυτό υπονοεί:. Ας βρούμε τις ορθολογικές ρίζες του πολυωνύμου f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Σύμφωνα με το θεώρημα, οι ορθολογικές ρίζες αυτού του πολυωνύμου συγκαταλέγονται στα μη αναγώγιμα κλάσματα της μορφής l/m, όπου l είναι ο διαιρέτης του ελεύθερου όρου a0=8 και m είναι ο διαιρέτης του συντελεστή α4=6. Επιπλέον, εάν το κλάσμα l/m είναι αρνητικό, τότε το σύμβολο «-» θα εκχωρηθεί στον αριθμητή. Για παράδειγμα, - (1/3) = (-1) /3. Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι το l είναι διαιρέτης του αριθμού 8 και το m είναι θετικός διαιρέτης του αριθμού 6.
Εφόσον οι διαιρέτες του αριθμού 8 είναι ±1, ±2, ±4, ±8 και οι θετικοί διαιρέτες του αριθμού 6 είναι 1, 2, 3, 6, τότε οι ορθολογικές ρίζες του εν λόγω πολυωνύμου είναι μεταξύ των αριθμών ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Να σας υπενθυμίσουμε ότι καταγράψαμε μόνο μη αναγώγιμα κλάσματα.
Έτσι, έχουμε είκοσι αριθμούς - "υποψήφιους" για ρίζες. Το μόνο που μένει είναι να ελέγξετε το καθένα από αυτά και να επιλέξετε αυτά που είναι πραγματικά ρίζες. Αλλά και πάλι, θα πρέπει να κάνετε πολλούς ελέγχους. Αλλά το ακόλουθο θεώρημα απλοποιεί αυτήν την εργασία.
Αν το μη αναγώγιμο κλάσμα l/m είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου f (x) με ακέραιους συντελεστές, τότε η f (k) διαιρείται με το l-km για οποιονδήποτε ακέραιο k, με την προϋπόθεση ότι l-km?0.
Για να αποδείξετε αυτό το θεώρημα, διαιρέστε το f (x) με το x-k με ένα υπόλοιπο. Παίρνουμε f (Χ) = (x-k) μικρό (Χ) +στ (κ).Εφόσον η f (x) είναι πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, το ίδιο ισχύει και για το πολυώνυμο s (x), και η f (k) είναι ακέραιος. Έστω s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Τότε f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Ας βάλουμε x=l/m σε αυτή την ισότητα. Θεωρώντας ότι f (l/m) =0, παίρνουμε
f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .
Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της τελευταίας ισότητας επί mn:
mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).
Από αυτό προκύπτει ότι ο ακέραιος αριθμός mnf (k) διαιρείται με το l-km. Επειδή όμως τα l και m είναι συμπρώτες, τότε τα mn και l-km είναι επίσης συμπρώιμα, που σημαίνει ότι η f (k) διαιρείται με το l-km. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ας επιστρέψουμε τώρα στο παράδειγμά μας και, χρησιμοποιώντας το αποδεδειγμένο θεώρημα, θα περιορίσουμε περαιτέρω τον κύκλο των αναζητήσεων για ορθολογικές ρίζες. Ας εφαρμόσουμε αυτό το θεώρημα για k=1 και k=-1, δηλ. αν το μη αναγώγιμο κλάσμα l/m είναι η ρίζα του πολυωνύμου f (x), τότε f (1) / (l-m), και f (-1) / (l+m). Βρίσκουμε εύκολα ότι στην περίπτωσή μας f (1) = -5, και f (-1) = -15. Σημειώστε ότι την ίδια στιγμή αποκλείσαμε το ±1 από την εξέταση.
Άρα, οι ορθολογικές ρίζες του πολυωνύμου μας θα πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ των αριθμών ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.
Θεωρήστε l/m=1/2. Τότε l-m=-1 και f (1) =-5 διαιρείται με αυτόν τον αριθμό. Επιπλέον, το l+m=3 και η f (1) =-15 διαιρείται επίσης με το 3. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα 1/2 παραμένει μεταξύ των «υποψήφιων» για ρίζες.
Έστω τώρα lm=- (1/2) = (-1) /2. Σε αυτήν την περίπτωση, το l-m=-3 και η f (1) =-5 δεν διαιρείται με το - 3. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα - 1/2 δεν μπορεί να είναι η ρίζα αυτού του πολυωνύμου και το αποκλείουμε από περαιτέρω εξέταση. Ας ελέγξουμε για καθένα από τα κλάσματα που γράφτηκαν παραπάνω και ας βρούμε ότι οι απαιτούμενες ρίζες είναι μεταξύ των αριθμών 1/2, ±2/3, 2, - 4.
Έτσι, χρησιμοποιώντας μια αρκετά απλή τεχνική, περιορίσαμε σημαντικά την περιοχή αναζήτησης για ορθολογικές ρίζες του πολυωνύμου που εξετάζουμε. Λοιπόν, για να ελέγξουμε τους υπόλοιπους αριθμούς, θα χρησιμοποιήσουμε το σχήμα του Horner:
Πίνακας 10
Βρήκαμε ότι το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του g (x) με το x-2/3 είναι ίσο με - 80/9, δηλαδή τα 2/3 δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου g (x), και επομένως ούτε η f (x).
Στη συνέχεια, βρίσκουμε εύκολα ότι - 2/3 είναι η ρίζα του πολυωνύμου g (x) και g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Τότε f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Περαιτέρω επαλήθευση μπορεί να πραγματοποιηθεί για το πολυώνυμο x2+2x-4, το οποίο, φυσικά, είναι απλούστερο από ό,τι για το g (x) ή, ακόμη περισσότερο, για το f (x). Ως αποτέλεσμα, διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί 2 και - 4 δεν είναι ρίζες.
Άρα, το πολυώνυμο f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 έχει δύο ορθολογικές ρίζες: 1/2 και - 2/3.
Θυμηθείτε ότι η μέθοδος που περιγράφεται παραπάνω καθιστά δυνατή την εύρεση μόνο ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές. Εν τω μεταξύ, ένα πολυώνυμο μπορεί επίσης να έχει παράλογες ρίζες. Έτσι, για παράδειγμα, το πολυώνυμο που εξετάζεται στο παράδειγμα έχει δύο ακόμη ρίζες: - 1±v5 (αυτές είναι οι ρίζες του πολυωνύμου x2+2x-4). Και, μιλώντας γενικά, ένα πολυώνυμο μπορεί να μην έχει καθόλου ορθολογικές ρίζες.
Τώρα ας δώσουμε μερικές συμβουλές.
Κατά τον έλεγχο «υποψήφιων» για τις ρίζες του πολυωνύμου f (x) χρησιμοποιώντας το δεύτερο από τα θεωρήματα που αποδείχθηκαν παραπάνω, το τελευταίο χρησιμοποιείται συνήθως για περιπτώσεις k=±1. Με άλλα λόγια, εάν το l/m είναι «υποψήφια» ρίζα, τότε ελέγξτε αν τα f (1) και f (-1) διαιρούνται με τα l-m και l+m, αντίστοιχα. Αλλά μπορεί να συμβεί, για παράδειγμα, f (1) = 0, δηλ. 1 είναι μια ρίζα, και στη συνέχεια η f (1) διαιρείται με οποιονδήποτε αριθμό, και ο έλεγχος μας να μην έχει νόημα. Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να διαιρέσετε το f (x) με το x-1, δηλ. λάβετε f(x) = (x-1)s(x) και ελέγξτε για το πολυώνυμο s(x). Ταυτόχρονα, δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι έχουμε ήδη βρει μια ρίζα του πολυωνύμου f (x) - x1=1. Εάν, κατά τον έλεγχο των «υποψήφιων» για ρίζες που απομένουν μετά τη χρήση του δεύτερου θεωρήματος για τις ορθολογικές ρίζες, χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner διαπιστώσουμε ότι, για παράδειγμα, το l/m είναι μια ρίζα, τότε θα πρέπει να βρεθεί η πολλαπλότητά της. Εάν είναι ίσο, ας πούμε, με k, τότε f (x) = (x-l/m) ks (x), και μπορεί να γίνει περαιτέρω δοκιμή για το s (x), το οποίο μειώνει τους υπολογισμούς.
Έτσι, μάθαμε να βρίσκουμε ορθολογικές ρίζες ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές. Αποδεικνύεται ότι κάνοντας αυτό μάθαμε να βρίσκουμε τις παράλογες ρίζες ενός πολυωνύμου με ορθολογικούς συντελεστές. Στην πραγματικότητα, αν έχουμε, για παράδειγμα, ένα πολυώνυμο f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, τότε, φέρνοντας τους συντελεστές σε κοινό παρονομαστήκαι βάζοντάς το έξω από τις αγκύλες, παίρνουμε f (x) = 1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Είναι σαφές ότι οι ρίζες του πολυωνύμου f (x) συμπίπτουν με τις ρίζες του πολυωνύμου σε παρένθεση και οι συντελεστές του είναι ακέραιοι. Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, ότι το sin100 είναι ένας παράλογος αριθμός. Ας χρησιμοποιήσουμε τον γνωστό τύπο sin3?=3sin?-4sin3?. Ως εκ τούτου sin300=3sin100-4sin3100. Λαμβάνοντας υπόψη ότι sin300=0,5 και πραγματοποιώντας απλούς μετασχηματισμούς, παίρνουμε 8sin3100-6sin100+1=0. Επομένως, sin100 είναι η ρίζα του πολυωνύμου f (x) =8x3-6x+1. Αν ψάξουμε για ορθολογικές ρίζες αυτού του πολυωνύμου, θα πειστούμε ότι δεν υπάρχουν. Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα sin100 δεν είναι ρητός αριθμός, δηλ. Το sin100 είναι ένας παράλογος αριθμός.
Αυτό το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές. Εάν ένας ακέραιος είναι η ρίζα αυτού του πολυωνύμου, τότε είναι διαιρέτης του αριθμού 16. Έτσι, εάν ένα δεδομένο πολυώνυμο έχει ακέραιες ρίζες, τότε αυτοί μπορούν να είναι μόνο οι αριθμοί ±1. ±2; ±4; ±8; ±16. Με άμεση επαλήθευση, είμαστε πεπεισμένοι ότι ο αριθμός 2 είναι η ρίζα αυτού του πολυωνύμου, δηλαδή x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), όπου το Q (x) είναι ένα πολυώνυμο του ο δεύτερος βαθμός. Κατά συνέπεια, το πολυώνυμο διασπάται σε παράγοντες, ένας από τους οποίους είναι (x – 2). Για να βρούμε τον τύπο του πολυωνύμου Q (x) χρησιμοποιούμε το λεγόμενο σχήμα Horner. Το κύριο πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι η συμπαγής σημειογραφία και η ικανότητα γρήγορης διαίρεσης ενός πολυωνύμου σε διώνυμο. Στην πραγματικότητα, το σχήμα του Horner είναι μια άλλη μορφή καταγραφής της μεθόδου ομαδοποίησης, αν και, σε αντίθεση με την τελευταία, είναι εντελώς μη οπτική. Η απάντηση (παραγοντοποίηση) λαμβάνεται εδώ από μόνη της, και δεν βλέπουμε τη διαδικασία απόκτησής της. Δεν θα εμπλακούμε σε μια αυστηρή τεκμηρίωση του σχήματος του Horner, αλλά θα δείξουμε μόνο πώς λειτουργεί.
| 1 | −5 | −2 | 16 | |
| 2 | 1 | −3 | −8 | 0 |
Ο αριθμός από το κελί πάνω από αυτό "μετακινείται" στο δεύτερο κελί της κάτω γραμμής, δηλαδή, 1. Στη συνέχεια το κάνουν αυτό. Η ρίζα της εξίσωσης (αριθμός 2) πολλαπλασιάζεται με τον τελευταίο γραμμένο αριθμό (1) και το αποτέλεσμα προστίθεται με τον αριθμό που βρίσκεται στην επάνω σειρά πάνω από το επόμενο ελεύθερο κελί, στο παράδειγμά μας έχουμε:
Ο βαθμός ενός πολυωνύμου που προκύπτει από τη διαίρεση είναι πάντα 1 μικρότερος από τον βαθμό του αρχικού. Ετσι: