Μέθοδοι παραγοντοποίησης πολυωνύμων. Θεώρημα πολυωνύμων για πολυώνυμα ρίζες πολυωνύμων ορθολογικές

Και τα λοιπά. είναι γενικού εκπαιδευτικού χαρακτήρα και έχει μεγάλης σημασίαςνα μελετήσει ΟΛΟΚΛΗΡΟ το μάθημα των ανώτερων μαθηματικών. Σήμερα θα επαναλάβουμε τις «σχολικές» εξισώσεις, αλλά όχι μόνο τις «σχολικές» - αλλά αυτές που βρίσκονται παντού σε διάφορα προβλήματα vyshmat. Ως συνήθως, η ιστορία θα ειπωθεί με έναν εφαρμοσμένο τρόπο, δηλ. Δεν θα επικεντρωθώ σε ορισμούς και ταξινομήσεις, αλλά θα μοιραστώ ακριβώς μαζί σας προσωπική εμπειρίαλύσεις. Οι πληροφορίες προορίζονται κυρίως για αρχάριους, αλλά οι πιο προχωρημένοι αναγνώστες θα βρουν επίσης πολλά για τον εαυτό τους. ενδιαφέρουσες στιγμές. Και φυσικά θα υπάρξει νέο υλικό, πηγαίνω παραπέρα Λύκειο.

Η εξίσωση λοιπόν…. Πολλοί θυμούνται αυτή τη λέξη με ρίγη. Τι αξίζουν οι «σοφιστικέ» εξισώσεις με ρίζες... ...ξεχάστε τις! Γιατί τότε θα συναντήσετε τους πιο ακίνδυνους «εκπροσώπους» αυτού του είδους. Ή βαρετό τριγωνομετρικές εξισώσειςμε δεκάδες μεθόδους λύσης. Για να είμαι ειλικρινής, δεν μου άρεσαν καθόλου… Μην πανικοβάλλεστε! – τότε σας περιμένουν κυρίως «πικραλίδες» με μια προφανή λύση σε 1-2 βήματα. Αν και η «κολλιτσίδα» σίγουρα κολλάει, πρέπει να είστε αντικειμενικοί εδώ.

Παραδόξως, στα ανώτερα μαθηματικά είναι πολύ πιο συνηθισμένο να αντιμετωπίζουμε πολύ πρωτόγονες εξισώσεις όπως γραμμικόςεξισώσεις

Τι σημαίνει η επίλυση αυτής της εξίσωσης; Αυτό σημαίνει εύρεση ΤΕΤΟΙΑ τιμής του «x» (ρίζα) που το μετατρέπει σε πραγματική ισότητα. Ας ρίξουμε το "τρία" προς τα δεξιά με αλλαγή πρόσημου:

και ρίξτε το "δύο" στη δεξιά πλευρά (ή, το ίδιο πράγμα - πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με) :

Για να ελέγξουμε, ας αντικαταστήσουμε το κερδισμένο τρόπαιο στην αρχική εξίσωση:

Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η τιμή που βρέθηκε είναι όντως ρίζα δεδομένη εξίσωση. Ή, όπως λένε επίσης, ικανοποιεί αυτή την εξίσωση.

Σημειώστε ότι η ρίζα μπορεί επίσης να γραφτεί στη φόρμα δεκαδικός:
Και προσπαθήστε να μην κολλήσετε σε αυτό το κακό στυλ! Επανέλαβα τον λόγο περισσότερες από μία φορές, ιδιαίτερα στο πρώτο μάθημα ανώτερη άλγεβρα.

Παρεμπιπτόντως, η εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί "στα αραβικά":

Και το πιο ενδιαφέρον είναι ότι αυτή η ηχογράφηση είναι απολύτως νόμιμη! Αλλά αν δεν είστε δάσκαλος, τότε είναι καλύτερα να μην το κάνετε αυτό, γιατί η πρωτοτυπία τιμωρείται εδώ =)

Και τώρα λίγα για

μέθοδος γραφικής λύσης

Η εξίσωση έχει τη μορφή και η ρίζα της είναι Συντεταγμένη "Χ". σημεία τομής γράφημα γραμμικής συνάρτησηςμε τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης (άξονας x):

Φαίνεται ότι το παράδειγμα είναι τόσο στοιχειώδες που δεν υπάρχει τίποτα άλλο να αναλυθεί εδώ, αλλά μια ακόμη απροσδόκητη απόχρωση μπορεί να "συμπιεστεί" από αυτό: ας παρουσιάσουμε την ίδια εξίσωση στη μορφή και ας κατασκευάσουμε γραφήματα των συναρτήσεων:

Εν, παρακαλώ μην μπερδεύετε τις δύο έννοιες: μια εξίσωση είναι μια εξίσωση, και λειτουργία- αυτό είναι μια λειτουργία! Λειτουργίες μόνο βοήθειαβρείτε τις ρίζες της εξίσωσης. Εκ των οποίων μπορεί να είναι δύο, τρία, τέσσερα ή και απείρως πολλά. Το πιο κοντινό παράδειγμα με αυτή την έννοια είναι το γνωστό τετραγωνική εξίσωση, ο αλγόριθμος λύσης για τον οποίο έλαβε ξεχωριστή παράγραφο «καυτές» σχολικές φόρμουλες. Και αυτό δεν είναι τυχαίο! Αν μπορείτε να λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου και να ξέρετε Πυθαγόρειο θεώρημα, τότε, θα έλεγε κανείς, «τα μισά ανώτερα μαθηματικά είναι ήδη στην τσέπη σου» =) Υπερβολική, φυσικά, αλλά όχι και τόσο μακριά από την αλήθεια!

Επομένως, ας μην είμαστε τεμπέληδες και ας λύσουμε κάποια δευτεροβάθμια εξίσωση χρησιμοποιώντας τυπικός αλγόριθμος:

, που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο διαφορετικά έγκυροςρίζα:

Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι και οι δύο τιμές που βρέθηκαν ικανοποιούν στην πραγματικότητα αυτήν την εξίσωση:

Τι να κάνετε εάν ξεχάσατε ξαφνικά τον αλγόριθμο λύσης και δεν υπάρχουν μέσα/χέρια βοήθειας; Αυτή η κατάσταση μπορεί να προκύψει, για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια ενός τεστ ή μιας εξέτασης. Χρησιμοποιούμε τη γραφική μέθοδο! Και υπάρχουν δύο τρόποι: μπορείς κατασκευή σημείο προς σημείοπαραβολή , ανακαλύπτοντας έτσι πού τέμνει τον άξονα (αν διασταυρωθεί καθόλου). Αλλά είναι καλύτερα να κάνετε κάτι πιο πονηρό: φανταστείτε την εξίσωση στη μορφή, σχεδιάστε γραφήματα απλούστερων συναρτήσεων - και Συντεταγμένες "Χ".τα σημεία τομής τους είναι ευδιάκριτα!


Αν αποδειχθεί ότι η ευθεία αγγίζει την παραβολή, τότε η εξίσωση έχει δύο συμπίπτουσες (πολλαπλές) ρίζες. Εάν αποδειχθεί ότι η ευθεία γραμμή δεν τέμνει την παραβολή, τότε δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

Για να γίνει αυτό, φυσικά, πρέπει να είστε σε θέση να χτίσετε γραφήματα στοιχειωδών συναρτήσεων, αλλά από την άλλη, ακόμη και ένας μαθητής μπορεί να κάνει αυτές τις δεξιότητες.

Και πάλι - μια εξίσωση είναι μια εξίσωση, και οι συναρτήσεις είναι συναρτήσεις που απλά βοήθησελύσε την εξίσωση!

Και εδώ, παρεμπιπτόντως, θα ήταν σκόπιμο να θυμηθούμε κάτι ακόμη: αν όλοι οι συντελεστές μιας εξίσωσης πολλαπλασιαστούν με έναν μη μηδενικό αριθμό, τότε οι ρίζες της δεν θα αλλάξουν.

Έτσι, για παράδειγμα, η εξίσωση έχει τις ίδιες ρίζες. Ως απλή «απόδειξη», θα αφαιρέσω τη σταθερά εκτός παρενθέσεων:
και θα το αφαιρέσω ανώδυνα (Θα διαιρώσω και τα δύο μέρη με "μείον δύο"):

ΑΛΛΑ!Αν λάβουμε υπόψη τη συνάρτηση , τότε δεν μπορείτε να απαλλαγείτε από τη σταθερά εδώ! Επιτρέπεται μόνο η αφαίρεση του πολλαπλασιαστή εκτός παρενθέσεων: .

Πολλοί άνθρωποι υποτιμούν τη μέθοδο γραφικής λύσης, θεωρώντας την κάτι «αναξιοπρεπές», και μερικοί μάλιστα ξεχνούν εντελώς αυτήν την πιθανότητα. Και αυτό είναι θεμελιωδώς λάθος, αφού η σχεδίαση γραφημάτων μερικές φορές απλώς σώζει την κατάσταση!

Ένα άλλο παράδειγμα: ας υποθέσουμε ότι δεν θυμάστε τις ρίζες της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης: . Ο γενικός τύπος υπάρχει στα σχολικά εγχειρίδια, σε όλα τα βιβλία αναφοράς για τα μαθηματικά του δημοτικού, αλλά δεν είναι διαθέσιμα σε εσάς. Ωστόσο, η επίλυση της εξίσωσης είναι κρίσιμη (γνωστή και ως «δύο»). Υπάρχει έξοδος! – κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων:


μετά από την οποία καταγράφουμε ήρεμα τις συντεταγμένες "X" των σημείων τομής τους:

Υπάρχουν άπειρες ρίζες και η συμπυκνωμένη τους σημειογραφία γίνεται αποδεκτή στην άλγεβρα:
, Οπου ( – σύνολο ακεραίων) .

Και, χωρίς να «φύγουμε», λίγα λόγια για τη γραφική μέθοδο επίλυσης ανισώσεων με μία μεταβλητή. Η αρχή είναι η ίδια. Έτσι, για παράδειγμα, η λύση στην ανίσωση είναι οποιοδήποτε «x», γιατί Το ημιτονοειδές βρίσκεται σχεδόν εντελώς κάτω από την ευθεία γραμμή. Η λύση στην ανισότητα είναι το σύνολο των διαστημάτων στα οποία τα κομμάτια του ημιτονοειδούς βρίσκονται αυστηρά πάνω από την ευθεία (άξονας x):

ή εν συντομία:

Αλλά εδώ είναι οι πολλές λύσεις για την ανισότητα: αδειάζω, αφού κανένα σημείο του ημιτονοειδούς δεν βρίσκεται πάνω από την ευθεία.

Υπάρχει κάτι που δεν καταλαβαίνεις; Μελετήστε επειγόντως τα μαθήματα για σκηνικάΚαι γραφήματα συναρτήσεων!

Ας ζεσταθούμε:

Ασκηση 1

Να λύσετε γραφικά τις παρακάτω τριγωνομετρικές εξισώσεις:

Απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος

Όπως μπορείτε να δείτε, για να μελετήσετε τις ακριβείς επιστήμες δεν είναι καθόλου απαραίτητο να στριμώχνετε τύπους και βιβλία αναφοράς! Επιπλέον, αυτή είναι μια θεμελιωδώς ελαττωματική προσέγγιση.

Όπως σας διαβεβαίωσα ήδη στην αρχή του μαθήματος, σύνθετες τριγωνομετρικές εξισώσεις σε ένα τυπικό μάθημα ανώτερων μαθηματικών πρέπει να επιλύονται εξαιρετικά σπάνια. Κάθε πολυπλοκότητα, κατά κανόνα, τελειώνει με εξισώσεις όπως , η λύση των οποίων είναι δύο ομάδες ριζών που προέρχονται από τις απλούστερες εξισώσεις και . Μην ανησυχείτε πολύ για την επίλυση του τελευταίου – ψάξτε σε ένα βιβλίο ή βρείτε το στο Διαδίκτυο =)

Η μέθοδος γραφικής λύσης μπορεί επίσης να βοηθήσει σε λιγότερο ασήμαντες περιπτώσεις. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την ακόλουθη εξίσωση "ragtag":

Οι προοπτικές για τη λύση του φαίνονται… δεν μοιάζουν με τίποτα, αλλά πρέπει απλώς να φανταστείτε την εξίσωση στη μορφή , build γραφήματα συναρτήσεωνκαι όλα θα αποδειχθούν απίστευτα απλά. Υπάρχει ένα σχέδιο στη μέση του άρθρου σχετικά με απειροελάχιστες συναρτήσεις (θα ανοίξει στην επόμενη καρτέλα).

Χρησιμοποιώντας την ίδια γραφική μέθοδο, μπορείτε να μάθετε ότι η εξίσωση έχει ήδη δύο ρίζες και η μία από αυτές είναι ίση με μηδέν και η άλλη, προφανώς, παράλογοςκαι ανήκει στο τμήμα . Αυτή η ρίζα μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση, για παράδειγμα, εφαπτομενική μέθοδος. Παρεμπιπτόντως, σε ορισμένα προβλήματα, συμβαίνει ότι δεν χρειάζεται να βρείτε τις ρίζες, αλλά να μάθετε υπάρχουν καθόλου;. Και εδώ, επίσης, ένα σχέδιο μπορεί να βοηθήσει - εάν τα γραφήματα δεν τέμνονται, τότε δεν υπάρχουν ρίζες.

Ορθολογικές ρίζες πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.
Σχέδιο Horner

Και τώρα σας προσκαλώ να στρέψετε το βλέμμα σας στον Μεσαίωνα και να νιώσετε τη μοναδική ατμόσφαιρα της κλασικής άλγεβρας. Για καλύτερη κατανόησηΣας συνιστώ να διαβάσετε τουλάχιστον λίγο από το υλικό μιγαδικοί αριθμοί.

Είναι οι καλύτεροι. Πολυώνυμα.

Το αντικείμενο του ενδιαφέροντός μας θα είναι τα πιο κοινά πολυώνυμα της μορφής με ολόκληροςσυντελεστές Φυσικός αριθμόςπου ονομάζεται βαθμός πολυωνύμου, αριθμός – συντελεστής ανώτατου βαθμού (ή απλώς ο υψηλότερος συντελεστής), και ο συντελεστής είναι ελεύθερο μέλος.

Θα δηλώσω εν συντομία αυτό το πολυώνυμο με .

Ρίζες πολυωνύμουκαλούμε τις ρίζες της εξίσωσης

Λατρεύω τη σιδερένια λογική =)

Για παραδείγματα, μεταβείτε στην αρχή του άρθρου:

Δεν υπάρχουν προβλήματα με την εύρεση των ριζών των πολυωνύμων της 1ης και 2ης μοίρας, αλλά όσο αυξάνετε αυτή η εργασία γίνεται όλο και πιο δύσκολη. Αν και από την άλλη, όλα είναι πιο ενδιαφέροντα! Και σε αυτό ακριβώς θα αφιερωθεί το δεύτερο μέρος του μαθήματος.

Πρώτον, κυριολεκτικά μισή οθόνη θεωρίας:

1) Σύμφωνα με το συμπέρασμα θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, το πολυώνυμο βαθμού έχει ακριβώς συγκρότημαρίζες. Μερικές ρίζες (ή ακόμα και όλες) μπορεί να είναι ιδιαίτερα έγκυρος. Επιπλέον, μεταξύ των πραγματικών ριζών μπορεί να υπάρχουν πανομοιότυπες (πολλαπλές) ρίζες (τουλάχιστον δύο, μέγιστο τεμάχια).

Αν κάποιος μιγαδικός αριθμός είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου, τότε κλίνωΟ αριθμός του είναι επίσης αναγκαστικά η ρίζα αυτού του πολυωνύμου (οι συζυγείς σύνθετες ρίζες έχουν τη μορφή ).

Το πιο απλό παράδειγμαείναι μια τετραγωνική εξίσωση που εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο 8 (αρέσει)τάξη, και την οποία τελικά «τελειώσαμε» στο θέμα μιγαδικοί αριθμοί. Επιτρέψτε μου να σας θυμίσω: μια τετραγωνική εξίσωση έχει είτε δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, είτε πολλαπλές ρίζες, είτε συζευγμένες μιγαδικές ρίζες.

2) Από Το θεώρημα του Bezoutπροκύπτει ότι αν ένας αριθμός είναι η ρίζα μιας εξίσωσης, τότε το αντίστοιχο πολυώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί:
, όπου είναι ένα πολυώνυμο βαθμού .

Και πάλι, το παλιό μας παράδειγμα: αφού είναι η ρίζα της εξίσωσης, τότε . Μετά από αυτό δεν είναι δύσκολο να αποκτήσετε τη γνωστή επέκταση «σχολείου».

Το συμπέρασμα του θεωρήματος του Bezout έχει μεγάλη πρακτική αξία: αν γνωρίζουμε τη ρίζα μιας εξίσωσης 3ου βαθμού, τότε μπορούμε να την αναπαραστήσουμε με τη μορφή και από την τετραγωνική εξίσωση είναι εύκολο να βρούμε τις υπόλοιπες ρίζες. Εάν γνωρίζουμε τη ρίζα μιας εξίσωσης 4ου βαθμού, τότε είναι δυνατόν να επεκτείνουμε την αριστερή πλευρά σε ένα γινόμενο κ.λπ.

Και εδώ υπάρχουν δύο ερωτήματα:

Ερώτηση ένα. Πώς να βρείτε αυτήν ακριβώς τη ρίζα; Πρώτα απ 'όλα, ας ορίσουμε τη φύση του: σε πολλά προβλήματα ανώτερων μαθηματικών είναι απαραίτητο να βρεθεί λογικός, συγκεκριμένα ολόκληροςρίζες πολυωνύμων, και από αυτή την άποψη, περαιτέρω θα μας ενδιαφέρουν κυρίως αυτά.... ...είναι τόσο καλά, τόσο αφράτα, που απλά θέλεις να τα βρεις! =)

Το πρώτο πράγμα που έρχεται στο μυαλό είναι η μέθοδος επιλογής. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την εξίσωση . Η σύλληψη εδώ είναι στον ελεύθερο όρο - αν ήταν ίσο με μηδέν, τότε όλα θα ήταν καλά - βγάζουμε το "x" από αγκύλες και οι ίδιες οι ρίζες "πέφτουν" στην επιφάνεια:

Αλλά ο ελεύθερος όρος μας είναι ίσος με "τρία", και επομένως αρχίζουμε να αντικαθιστούμε στην εξίσωση διαφορετικούς αριθμούς, ισχυριζόμενος ότι είναι η «ρίζα». Πρώτα απ 'όλα, η αντικατάσταση μεμονωμένων τιμών υποδηλώνει τον εαυτό της. Ας αντικαταστήσουμε:

Ελήφθη ανακριβήςισότητα, επομένως η μονάδα «δεν ταίριαζε». Λοιπόν, εντάξει, ας αντικαταστήσουμε:

Ελήφθη αληθήςισότητα! Δηλαδή, η τιμή είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης.

Για να βρείτε τις ρίζες ενός πολυωνύμου 3ου βαθμού, υπάρχει αναλυτική μέθοδος (οι λεγόμενοι τύποι Cardano), αλλά τώρα μας ενδιαφέρει μια ελαφρώς διαφορετική εργασία.

Δεδομένου ότι - είναι η ρίζα του πολυωνύμου μας, το πολυώνυμο μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή και προκύπτει Δεύτερη ερώτηση: πώς να βρείτε έναν «νεότερο αδερφό»;

Οι απλούστερες αλγεβρικές θεωρήσεις υποδηλώνουν ότι για να γίνει αυτό πρέπει να διαιρέσουμε με . Πώς να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο; Ιδιο σχολική μέθοδος, που χρησιμοποιείται για τη διαίρεση συνηθισμένων αριθμών - σε μια "στήλη"! Αυτή η μέθοδοςΕγώ με περισσότερες λεπτομέρειεςπου συζητήθηκε στα πρώτα παραδείγματα του μαθήματος Σύνθετα Όρια, και τώρα θα δούμε μια άλλη μέθοδο, η οποία ονομάζεται Σχέδιο Horner.

Πρώτα γράφουμε το «υψηλότερο» πολυώνυμο με όλους , συμπεριλαμβανομένων μηδενικών συντελεστών:
, μετά την οποία εισάγουμε αυτούς τους συντελεστές (αυστηρά κατά σειρά) στην επάνω σειρά του πίνακα:

Γράφουμε τη ρίζα στα αριστερά:

Θα κάνω αμέσως κράτηση ότι το σχέδιο του Χόρνερ λειτουργεί επίσης εάν ο αριθμός "κόκκινος". Δενείναι η ρίζα του πολυωνύμου. Ωστόσο, ας μην βιαζόμαστε τα πράγματα.

Αφαιρούμε τον κύριο συντελεστή από πάνω:

Η διαδικασία πλήρωσης των κάτω κυψελών θυμίζει κάπως κέντημα, όπου το "μείον ένα" είναι ένα είδος "βελόνας" που διαπερνά τα επόμενα βήματα. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό "carried down" επί (–1) και προσθέτουμε τον αριθμό από το επάνω κελί στο γινόμενο:

Πολλαπλασιάζουμε την τιμή που βρέθηκε με την «κόκκινη βελόνα» και προσθέτουμε τον ακόλουθο συντελεστή εξίσωσης στο γινόμενο:

Και τέλος, η προκύπτουσα τιμή "επεξεργάζεται" ξανά με τη "βελόνα" και τον ανώτερο συντελεστή:

Το μηδέν στο τελευταίο κελί μας λέει ότι το πολυώνυμο διαιρείται σε χωρίς ίχνος (όπως θα έπρεπε να είναι), ενώ οι συντελεστές επέκτασης «αφαιρούνται» απευθείας από την κάτω γραμμή του πίνακα:

Έτσι, περάσαμε από την εξίσωση σε μια ισοδύναμη εξίσωση και όλα είναι ξεκάθαρα με τις δύο υπόλοιπες ρίζες (V σε αυτήν την περίπτωσηπαίρνουμε συζυγείς σύνθετες ρίζες).

Η εξίσωση, παρεμπιπτόντως, μπορεί επίσης να λυθεί γραφικά: οικόπεδο "αστραπή" και δείτε ότι το γράφημα διασχίζει τον άξονα x () στο σημείο. Ή το ίδιο «πονηρό» τέχνασμα - ξαναγράφουμε την εξίσωση με τη μορφή , σχεδιάζουμε στοιχειώδη γραφήματα και ανιχνεύουμε τη συντεταγμένη «Χ» του σημείου τομής τους.

Παρεμπιπτόντως, η γραφική παράσταση οποιασδήποτε συνάρτησης-πολυωνύμου 3ου βαθμού τέμνει τον άξονα τουλάχιστον μία φορά, πράγμα που σημαίνει ότι η αντίστοιχη εξίσωση έχει τουλάχιστονένας έγκυροςρίζα. Αυτό το γεγονόςισχύει για οποιαδήποτε πολυωνυμική συνάρτηση περιττού βαθμού.

Και εδώ θα ήθελα επίσης να σταθώ σημαντικό σημείο που αφορά την ορολογία: πολυώνυμοςΚαι πολυωνυμική συνάρτηση – δεν είναι το ίδιο πράγμα! Αλλά στην πράξη συχνά μιλούν, για παράδειγμα, για το «γράφημα ενός πολυωνύμου», το οποίο, φυσικά, είναι αμέλεια.

Ωστόσο, ας επιστρέψουμε στο σχήμα του Horner. Όπως ανέφερα πρόσφατα, αυτό το σχήμα λειτουργεί για άλλους αριθμούς, αλλά αν ο αριθμός Δενείναι η ρίζα της εξίσωσης, τότε μια μη μηδενική πρόσθεση (υπόλοιπο) εμφανίζεται στον τύπο μας:

Ας «τρέξουμε» την «αποτυχημένη» τιμή σύμφωνα με το σχήμα του Horner. Σε αυτή την περίπτωση, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο πίνακα - γράψτε μια νέα "βελόνα" στα αριστερά, μετακινήστε τον κύριο συντελεστή από πάνω (αριστερό πράσινο βέλος)και φεύγουμε:

Για έλεγχο, ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους:
, ΕΝΤΑΞΕΙ.

Είναι εύκολο να δούμε ότι το υπόλοιπο («έξι») είναι ακριβώς η τιμή του πολυωνύμου στο . Και στην πραγματικότητα - πώς είναι:
, και ακόμη πιο ωραίο - όπως αυτό:

Από τους παραπάνω υπολογισμούς είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι το σχήμα του Horner επιτρέπει όχι μόνο να συνυπολογίσει το πολυώνυμο, αλλά και να πραγματοποιήσει μια «πολιτισμένη» επιλογή της ρίζας. Σας προτείνω να ενοποιήσετε ανεξάρτητα τον αλγόριθμο υπολογισμού με μια μικρή εργασία:

Εργασία 2

Χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner, βρείτε την ακέραια ρίζα της εξίσωσης και συντελεστή το αντίστοιχο πολυώνυμο

Με άλλα λόγια, εδώ πρέπει να ελέγξετε διαδοχικά τους αριθμούς 1, –1, 2, –2, ... – μέχρι να «τραβηχτεί» ένα μηδενικό υπόλοιπο στην τελευταία στήλη. Αυτό θα σημαίνει ότι η «βελόνα» αυτής της γραμμής είναι η ρίζα του πολυωνύμου

Είναι βολικό να οργανώσετε τους υπολογισμούς σε έναν μόνο πίνακα. Λεπτομερής λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Η μέθοδος επιλογής ριζών είναι καλή για σχετικά απλές περιπτώσεις, αλλά εάν οι συντελεστές και/ή ο βαθμός του πολυωνύμου είναι μεγάλοι, τότε η διαδικασία μπορεί να διαρκέσει περισσότερο. Ή μήπως υπάρχουν κάποιες τιμές από την ίδια λίστα 1, –1, 2, –2 και δεν έχει νόημα να ληφθούν υπόψη; Και, εκτός αυτού, οι ρίζες μπορεί να αποδειχθούν κλασματικές, γεγονός που θα οδηγήσει σε ένα εντελώς αντιεπιστημονικό σκούπισμα.

Ευτυχώς, υπάρχουν δύο ισχυρά θεωρήματα που μπορούν να μειώσουν σημαντικά την αναζήτηση για "υποψήφιες" τιμές για ορθολογικές ρίζες:

Θεώρημα 1Ας σκεφτούμε αμείωτοςκλάσμα , όπου . Εάν ο αριθμός είναι η ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ελεύθερος όρος διαιρείται με και ο κύριος συντελεστής διαιρείται με.

Συγκεκριμένα, αν ο κύριος συντελεστής είναι , τότε αυτή η ορθολογική ρίζα είναι ακέραιος:

Και αρχίζουμε να εκμεταλλευόμαστε το θεώρημα με αυτήν ακριβώς τη νόστιμη λεπτομέρεια:

Ας επιστρέψουμε στην εξίσωση. Εφόσον ο κύριος συντελεστής του είναι , τότε οι υποθετικές ορθολογικές ρίζες μπορούν να είναι αποκλειστικά ακέραιες και ο ελεύθερος όρος πρέπει απαραίτητα να διαιρεθεί σε αυτές τις ρίζες χωρίς υπόλοιπο. Και τα "τρία" μπορούν να χωριστούν μόνο σε 1, -1, 3 και -3. Δηλαδή, έχουμε μόνο 4 «υποψήφιους ρίζας». Και, σύμφωνα με Θεώρημα 1, άλλοι ρητικοί αριθμοί δεν μπορούν να είναι ρίζες αυτής της εξίσωσης ΚΑΤΑ ΑΡΧΗ.

Υπάρχουν λίγοι περισσότεροι «υποψήφιοι» στην εξίσωση: ο ελεύθερος όρος χωρίζεται σε 1, –1, 2, – 2, 4 και –4.

Σημειώστε ότι οι αριθμοί 1, –1 είναι «κανονικοί» της λίστας πιθανών ριζών (προφανής συνέπεια του θεωρήματος)και οι περισσότεροι η καλύτερη επιλογήγια έλεγχο προτεραιότητας.

Ας προχωρήσουμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα:

Πρόβλημα 3

Λύση: δεδομένου ότι ο κύριος συντελεστής είναι , τότε οι υποθετικές ορθολογικές ρίζες μπορούν να είναι μόνο ακέραιες και πρέπει απαραίτητα να είναι διαιρέτες του ελεύθερου όρου. Το "Μείον σαράντα" χωρίζεται στα ακόλουθα ζεύγη αριθμών:
– συνολικά 16 «υποψήφιοι».

Και εδώ εμφανίζεται αμέσως μια δελεαστική σκέψη: είναι δυνατόν να εξαλειφθούν όλες οι αρνητικές ή όλες οι θετικές ρίζες; Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατό! Θα διατυπώσω δύο σημάδια:

1) Αν ΟλαΑν οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι μη αρνητικοί, τότε δεν μπορεί να έχει θετικές ρίζες. Δυστυχώς, αυτό δεν είναι η περίπτωσή μας (Τώρα, αν μας δόθηκε μια εξίσωση - τότε ναι, όταν αντικαθιστούμε οποιαδήποτε τιμή του πολυωνύμου, η τιμή του πολυωνύμου είναι αυστηρά θετική, πράγμα που σημαίνει ότι όλοι οι θετικοί αριθμοί (και τα παράλογα επίσης)δεν μπορεί να είναι οι ρίζες της εξίσωσης.

2) Αν οι συντελεστές για τις περιττές δυνάμεις είναι μη αρνητικοί και για όλες τις ζυγές δυνάμεις (συμπεριλαμβανομένου του δωρεάν μέλους)είναι αρνητικές, τότε το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει αρνητικές ρίζες. Αυτή είναι η περίπτωσή μας! Κοιτάζοντας λίγο πιο προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ότι όταν αντικαθιστάτε οποιοδήποτε αρνητικό "Χ" στην εξίσωση, η αριστερή πλευρά θα είναι αυστηρά αρνητική, πράγμα που σημαίνει ότι οι αρνητικές ρίζες εξαφανίζονται

Έτσι, απομένουν 8 αριθμοί για έρευνα:

Τα «φορτώνουμε» διαδοχικά σύμφωνα με το σχήμα του Horner. Ελπίζω να έχετε ήδη κατακτήσει τους νοητικούς υπολογισμούς:

Η τύχη μας περίμενε όταν δοκιμάσαμε τα «δύο». Έτσι, είναι η ρίζα της εξίσωσης που εξετάζουμε, και

Μένει να μελετήσουμε την εξίσωση . Αυτό είναι εύκολο να γίνει μέσω του διαχωριστικού, αλλά θα πραγματοποιήσω μια ενδεικτική δοκιμή χρησιμοποιώντας το ίδιο σχήμα. Αρχικά, ας σημειώσουμε ότι ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με 20, που σημαίνει Θεώρημα 1οι αριθμοί 8 και 40 βγαίνουν από τη λίστα των πιθανών ριζών, αφήνοντας τις τιμές για έρευνα (ένας αποκλείστηκε σύμφωνα με το σχήμα του Horner).

Γράφουμε τους συντελεστές του τριωνύμου στην επάνω σειρά του νέου πίνακα και Αρχίζουμε τον έλεγχο με τα ίδια "δύο". Γιατί; Και επειδή οι ρίζες μπορεί να είναι πολλαπλές, παρακαλούμε: - αυτή η εξίσωση έχει 10 πανομοιότυπες ρίζες. Αλλά ας μην αποσπαζόμαστε:

Και εδώ, βέβαια, έλεγα λίγο ψέματα, γνωρίζοντας ότι οι ρίζες είναι λογικές. Άλλωστε, αν ήταν παράλογα ή σύνθετα, τότε θα ερχόμουν αντιμέτωπος με έναν ανεπιτυχή έλεγχο όλων των υπόλοιπων αριθμών. Επομένως, στην πράξη, να καθοδηγείται από τη διάκριση.

Απάντηση: ορθολογικές ρίζες: 2, 4, 5

Ήμασταν τυχεροί στο πρόβλημα που αναλύσαμε, γιατί: α) έπεσαν αμέσως αρνητικές τιμές, και β) βρήκαμε τη ρίζα πολύ γρήγορα (και θεωρητικά μπορούσαμε να ελέγξουμε ολόκληρη τη λίστα).

Στην πραγματικότητα όμως η κατάσταση είναι πολύ χειρότερη. Σας προσκαλώ να παρακολουθήσετε συναρπαστικό παιχνίδιμε τίτλο " Τελευταίος ήρωας»:

Πρόβλημα 4

Βρείτε τις ορθολογικές ρίζες της εξίσωσης

Λύση: Με Θεώρημα 1αριθμητές των υποθετικών ορθολογικές ρίζεςπρέπει να ικανοποιεί την προϋπόθεση (διαβάζουμε «το δώδεκα διαιρείται με το ελ»), και οι παρονομαστές αντιστοιχούν στην συνθήκη . Με βάση αυτό, έχουμε δύο λίστες:

"list el":
και "list um": (ευτυχώς, οι αριθμοί εδώ είναι φυσικοί).

Τώρα ας φτιάξουμε μια λίστα με όλες τις πιθανές ρίζες. Αρχικά, διαιρούμε τη λίστα "el" με . Είναι απολύτως σαφές ότι θα ληφθούν τα ίδια νούμερα. Για ευκολία, ας τα βάλουμε σε έναν πίνακα:

Πολλά κλάσματα έχουν μειωθεί, με αποτέλεσμα τιμές που βρίσκονται ήδη στη «λίστα ηρώων». Προσθέτουμε μόνο "πρωταγωνιστές":

Ομοίως, διαιρούμε την ίδια «λίστα» με:

και τέλος επάνω

Έτσι, η ομάδα των συμμετεχόντων στο παιχνίδι μας συμπληρώνεται:


Δυστυχώς, το πολυώνυμο σε αυτό το πρόβλημα δεν ικανοποιεί το κριτήριο "θετικό" ή "αρνητικό" και επομένως δεν μπορούμε να απορρίψουμε την επάνω ή την κάτω σειρά. Θα πρέπει να δουλέψετε με όλους τους αριθμούς.

Πως αισθάνεσαι; Έλα, σήκωσε το κεφάλι σου – υπάρχει ένα άλλο θεώρημα που μπορεί μεταφορικά να ονομαστεί «θεώρημα δολοφόνου»…. ..."υποψήφιοι", φυσικά =)

Αλλά πρώτα πρέπει να μετακινηθείτε στο διάγραμμα του Horner για τουλάχιστον ένα ΟΛΟΚΛΗΡΟαριθμοί. Παραδοσιακά, ας πάρουμε ένα. Στην επάνω γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου και όλα είναι όπως συνήθως:

Εφόσον το τέσσερα δεν είναι σαφώς μηδέν, η τιμή δεν είναι η ρίζα του εν λόγω πολυωνύμου. Αλλά θα μας βοηθήσει πολύ.

Θεώρημα 2Αν για κάποιους γενικάΗ τιμή του πολυωνύμου είναι μη μηδενική: , τότε οι ορθολογικές ρίζες του (αν είναι)ικανοποιεί την προϋπόθεση

Στην περίπτωσή μας και επομένως όλες οι πιθανές ρίζες πρέπει να ικανοποιούν την προϋπόθεση (ας το πούμε Συνθήκη Νο. 1). Αυτή η τετράδα θα είναι ο «δολοφόνος» πολλών «υποψηφίων». Ως επίδειξη, θα εξετάσω μερικούς ελέγχους:

Ας τσεκάρουμε τον «υποψήφιο». Για να γίνει αυτό, ας το αναπαραστήσουμε τεχνητά με τη μορφή κλάσματος, από το οποίο φαίνεται καθαρά ότι . Ας υπολογίσουμε τη διαφορά δοκιμής: . Το τέσσερα διαιρείται με το "μείον δύο": , που σημαίνει ότι η πιθανή ρίζα έχει περάσει τη δοκιμή.

Ας ελέγξουμε την τιμή. Εδώ η διαφορά δοκιμής είναι: . Φυσικά, και επομένως το δεύτερο «θέμα» παραμένει επίσης στη λίστα.

Κατά την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων, είναι συχνά απαραίτητο να συνυπολογιστεί ένα πολυώνυμο του οποίου ο βαθμός είναι τρεις ή μεγαλύτερος. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε τον πιο εύκολο τρόπο για να το κάνετε αυτό.

Ως συνήθως, ας στραφούμε στη θεωρία για βοήθεια.

Το θεώρημα του Bezoutδηλώνει ότι το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα διώνυμο είναι .

Αλλά αυτό που είναι σημαντικό για εμάς δεν είναι το ίδιο το θεώρημα, αλλά συμπέρασμα από αυτό:

Αν ο αριθμός είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου, τότε το πολυώνυμο διαιρείται με το διώνυμο χωρίς υπόλοιπο.

Είμαστε αντιμέτωποι με το καθήκον να βρούμε με κάποιο τρόπο τουλάχιστον μια ρίζα του πολυωνύμου, στη συνέχεια να διαιρέσουμε το πολυώνυμο με το , όπου είναι η ρίζα του πολυωνύμου. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα πολυώνυμο του οποίου ο βαθμός είναι κατά ένα μικρότερος από τον βαθμό του αρχικού. Και στη συνέχεια, αν χρειαστεί, μπορείτε να επαναλάβετε τη διαδικασία.

Αυτή η εργασία χωρίζεται σε δύο: πώς να βρείτε τη ρίζα ενός πολυωνύμου και πώς να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο με ένα διώνυμο.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτά τα σημεία.

1. Πώς να βρείτε τη ρίζα ενός πολυωνύμου.

Αρχικά ελέγχουμε αν οι αριθμοί 1 και -1 είναι ρίζες του πολυωνύμου.

Τα ακόλουθα γεγονότα θα μας βοηθήσουν εδώ:

Αν το άθροισμα όλων των συντελεστών ενός πολυωνύμου είναι μηδέν, τότε ο αριθμός είναι η ρίζα του πολυωνύμου.

Για παράδειγμα, σε ένα πολυώνυμο το άθροισμα των συντελεστών είναι μηδέν: . Είναι εύκολο να ελέγξετε ποια είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου.

Αν το άθροισμα των συντελεστών ενός πολυωνύμου σε ζυγές δυνάμεις είναι ίσο με το άθροισμα των συντελεστών σε περιττές δυνάμεις, τότε ο αριθμός είναι η ρίζα του πολυωνύμου.Ο ελεύθερος όρος θεωρείται συντελεστής για έναν άρτιο βαθμό, αφού το α είναι ένας ζυγός αριθμός.

Για παράδειγμα, σε ένα πολυώνυμο το άθροισμα των συντελεστών για άρτιες δυνάμεις είναι: , και το άθροισμα των συντελεστών για περιττές δυνάμεις είναι: . Είναι εύκολο να ελέγξετε ποια είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου.

Αν ούτε το 1 ούτε το -1 είναι ρίζες του πολυωνύμου, τότε προχωράμε.

Για ένα μειωμένο πολυώνυμο βαθμού (δηλαδή, ένα πολυώνυμο στο οποίο ο κύριος συντελεστής - ο συντελεστής στο - είναι ίσος με μονάδα), ισχύει ο τύπος Vieta:

Πού είναι οι ρίζες του πολυωνύμου.

Υπάρχουν επίσης τύποι Vieta που αφορούν τους υπόλοιπους συντελεστές του πολυωνύμου, αλλά μας ενδιαφέρει αυτός.

Από αυτόν τον τύπο Vieta προκύπτει ότι αν οι ρίζες ενός πολυωνύμου είναι ακέραιοι, τότε είναι διαιρέτες του ελεύθερου όρου του, που είναι επίσης ακέραιος.

Βασισμένο σε αυτό, Πρέπει να συνυπολογίσουμε τον ελεύθερο όρο του πολυωνύμου και διαδοχικά, από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, να ελέγξουμε ποιος από τους παράγοντες είναι η ρίζα του πολυωνύμου.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το πολυώνυμο

Διαιρέτες του ελεύθερου όρου: ;

;

;

Το άθροισμα όλων των συντελεστών του πολυωνύμου είναι ίσο με , επομένως, ο αριθμός 1 δεν είναι η ρίζα του πολυωνύμου.

Άθροισμα συντελεστών για ζυγές δυνάμεις:

Άθροισμα συντελεστών για περιττές δυνάμεις:

Επομένως, ο αριθμός -1 δεν είναι επίσης ρίζα του πολυωνύμου.

Ας ελέγξουμε αν ο αριθμός 2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου: επομένως, ο αριθμός 2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου. Αυτό σημαίνει, σύμφωνα με το θεώρημα του Bezout, το πολυώνυμο διαιρείται με ένα διώνυμο χωρίς υπόλοιπο.

2. Πώς να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο σε ένα διώνυμο.

Ένα πολυώνυμο μπορεί να χωριστεί σε ένα διώνυμο με μια στήλη.

Διαιρέστε το πολυώνυμο με ένα διώνυμο χρησιμοποιώντας μια στήλη: Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο με ένα διώνυμο - το σχήμα του Horner.

Δείτε αυτό το βίντεο για να καταλάβετε

πώς να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο με ένα διώνυμο με μια στήλη και χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner.

Σημειώνω ότι εάν, κατά τη διαίρεση με μια στήλη, λείπει κάποιος βαθμός του αγνώστου στο αρχικό πολυώνυμο, γράφουμε 0 στη θέση του - με τον ίδιο τρόπο όπως όταν συντάσσουμε έναν πίνακα για το σχήμα του Horner. Έτσι, αν χρειαστεί να διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο με ένα διώνυμο και ως αποτέλεσμα της διαίρεσης λάβουμε ένα πολυώνυμο, τότε μπορούμε να βρούμε τους συντελεστές του πολυωνύμου χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner:Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε Σχέδιο Hornerρίζα πολυωνύμου: αν ένας αριθμός είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου, τότε το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του πολυωνύμου με είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή στην τελευταία στήλη της δεύτερης σειράς του σχήματος του Horner παίρνουμε 0.

Χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner, "σκοτώνουμε δύο πουλιά με μια πέτρα": ελέγχουμε ταυτόχρονα αν ο αριθμός είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου και διαιρούμε αυτό το πολυώνυμο με ένα διώνυμο.

Παράδειγμα.Λύστε την εξίσωση:

1. Ας γράψουμε τους διαιρέτες του ελεύθερου όρου και ας αναζητήσουμε τις ρίζες του πολυωνύμου ανάμεσα στους διαιρέτες του ελεύθερου όρου.

Διαιρέτες του 24:

2. Ας ελέγξουμε αν ο αριθμός 1 είναι η ρίζα του πολυωνύμου.

Το άθροισμα των συντελεστών ενός πολυωνύμου, επομένως, ο αριθμός 1 είναι η ρίζα του πολυωνύμου.

3. Διαιρέστε το αρχικό πολυώνυμο σε διώνυμο χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner.

Α) Ας γράψουμε τους συντελεστές του αρχικού πολυωνύμου στην πρώτη σειρά του πίνακα.

Εφόσον λείπει ο όρος που περιέχει, στη στήλη του πίνακα που πρέπει να γραφεί ο συντελεστής γράφουμε 0. Αριστερά γράφουμε τη ρίζα που βρέθηκε: τον αριθμό 1.

Β) Συμπληρώστε την πρώτη σειρά του πίνακα.

Στην τελευταία στήλη, όπως ήταν αναμενόμενο, πήραμε μηδέν, διαιρέσαμε το αρχικό πολυώνυμο με ένα διώνυμο χωρίς υπόλοιπο. Οι συντελεστές του πολυωνύμου που προκύπτει από τη διαίρεση φαίνονται με μπλε χρώμα στη δεύτερη σειρά του πίνακα:

Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι οι αριθμοί 1 και -1 δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου

Β) Ας συνεχίσουμε τον πίνακα. Ας ελέγξουμε αν ο αριθμός 2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου:

Έτσι, ο βαθμός του πολυωνύμου, ο οποίος προκύπτει ως αποτέλεσμα της διαίρεσης με ένα, είναι μικρότερος από τον βαθμό του αρχικού πολυωνύμου, επομένως, ο αριθμός των συντελεστών και ο αριθμός των στηλών είναι ένας λιγότερος.

Στην τελευταία στήλη πήραμε -40 - έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με μηδέν, επομένως, το πολυώνυμο διαιρείται με ένα διώνυμο με υπόλοιπο και ο αριθμός 2 δεν είναι η ρίζα του πολυωνύμου.

Γ) Ας ελέγξουμε αν ο αριθμός -2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου. Επειδή η προηγούμενη προσπάθεια απέτυχε, για να αποφευχθεί η σύγχυση με τους συντελεστές, θα διαγράψω τη γραμμή που αντιστοιχεί σε αυτήν την προσπάθεια:

Εξαιρετική! Πήραμε το μηδέν ως υπόλοιπο, επομένως, το πολυώνυμο χωρίστηκε σε ένα διώνυμο χωρίς υπόλοιπο, επομένως, ο αριθμός -2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου. Οι συντελεστές του πολυωνύμου που προκύπτει από τη διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα διώνυμο φαίνονται με πράσινο χρώμα στον πίνακα.

Ως αποτέλεσμα της διαίρεσης πήραμε τετραγωνικό τριώνυμο , του οποίου οι ρίζες μπορούν εύκολα να βρεθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:

Άρα, οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι:

{}

Απάντηση: ( }

Αυτό το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές. Εάν ένας ακέραιος είναι η ρίζα αυτού του πολυωνύμου, τότε είναι διαιρέτης του αριθμού 16. Έτσι, εάν ένα δεδομένο πολυώνυμο έχει ακέραιες ρίζες, τότε αυτοί μπορούν να είναι μόνο οι αριθμοί ±1. ±2; ±4; ±8; ±16. Με άμεση επαλήθευση, είμαστε πεπεισμένοι ότι ο αριθμός 2 είναι η ρίζα αυτού του πολυωνύμου, δηλαδή x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), όπου το Q (x) είναι ένα πολυώνυμο του ο δεύτερος βαθμός. Κατά συνέπεια, το πολυώνυμο διασπάται σε παράγοντες, ένας από τους οποίους είναι (x – 2). Για να βρούμε τον τύπο του πολυωνύμου Q (x) χρησιμοποιούμε το λεγόμενο σχήμα Horner. Το κύριο πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι η συμπαγής σημειογραφία και η ικανότητα γρήγορης διαίρεσης ενός πολυωνύμου σε διώνυμο. Στην πραγματικότητα, το σχήμα του Horner είναι μια άλλη μορφή καταγραφής της μεθόδου ομαδοποίησης, αν και, σε αντίθεση με την τελευταία, είναι εντελώς μη οπτική. Η απάντηση (παραγοντοποίηση) λαμβάνεται εδώ από μόνη της, και δεν βλέπουμε τη διαδικασία απόκτησής της. Δεν θα εμπλακούμε σε μια αυστηρή τεκμηρίωση του σχήματος του Horner, αλλά θα δείξουμε μόνο πώς λειτουργεί.

	1	−5	−2	16
2	1	−3	−8	0

Σε έναν ορθογώνιο πίνακα 2 × (n + 2), όπου n είναι ο βαθμός του πολυωνύμου, (βλ. σχήμα) οι συντελεστές του πολυωνύμου γράφονται σε μια σειρά στην επάνω γραμμή (η επάνω αριστερή γωνία αφήνεται ελεύθερη). Στην κάτω αριστερή γωνία γράψτε τον αριθμό - τη ρίζα του πολυωνύμου (ή τον αριθμό x 0, αν θέλουμε να διαιρέσουμε με το διώνυμο (x - x 0)), στο παράδειγμά μας αυτός είναι ο αριθμός 2. Στη συνέχεια, ολόκληρος Η κάτω γραμμή του πίνακα συμπληρώνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα.

Ο αριθμός από το κελί πάνω από αυτό "μετακινείται" στο δεύτερο κελί της κάτω γραμμής, δηλαδή, 1. Στη συνέχεια το κάνουν αυτό. Η ρίζα της εξίσωσης (αριθμός 2) πολλαπλασιάζεται με τον τελευταίο γραμμένο αριθμό (1) και το αποτέλεσμα προστίθεται με τον αριθμό που βρίσκεται στην επάνω σειρά πάνω από το επόμενο ελεύθερο κελί, στο παράδειγμά μας έχουμε:

Γράφουμε το αποτέλεσμα στο ελεύθερο κελί κάτω από -2. Στη συνέχεια κάνουμε το ίδιο:
Ο βαθμός ενός πολυωνύμου που προκύπτει από τη διαίρεση είναι πάντα 1 μικρότερος από τον βαθμό του αρχικού. Ετσι:

Έχει αποδειχθεί ότι για να παραγοντοποιήσετε ένα πολυώνυμο, πρέπει να βρείτε τις ρίζες του. Τύποι για τις ρίζες ενός τετράγωνου πολυωνύμου. Μέθοδος εύρεσης ολόκληρων ριζών. Μέθοδος παραγοντοποίησης ενός διτετραγωνικού πολυωνύμου και αναγωγής του σε τετραγωνικό. Επαναλαμβανόμενα πολυώνυμα.

Βάση της μεθόδου

Αφήνω

- πολυώνυμο βαθμού n ≥ 1 μιας πραγματικής ή μιγαδικής μεταβλητής z με πραγματικούς ή μιγαδικούς συντελεστές a i.

Ας δεχθούμε το παρακάτω θεώρημα χωρίς απόδειξη.

Θεώρημα 1 Εξίσωση Pn(z) = 0

έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

Ας αποδείξουμε το ακόλουθο λήμμα.

Λήμμα 1 Έστω Πν(z) 1 - πολυώνυμο βαθμού n, z
P n (z 1) = 0.
Στη συνέχεια Πν Έστω Πνμπορεί να αναπαρασταθεί με τον μόνο τρόπο στη μορφή:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
όπου Pn- 1(z)- πολυώνυμο βαθμού n - 1 .

Απόδειξη

Για να το αποδείξουμε, εφαρμόζουμε το θεώρημα (βλ. Διαίρεση και πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο με γωνία και στήλη), σύμφωνα με το οποίο για οποιαδήποτε δύο πολυώνυμα P n Έστω Πνκαι Qk Έστω Πν, βαθμοί n και k, με n ≥ k, υπάρχει μια μοναδική αναπαράσταση με τη μορφή:
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
όπου Πν-κ Έστω Πν- πολυώνυμο βαθμού n-k, U k- 1(z)- πολυώνυμο βαθμού όχι μεγαλύτερου από k- 1 .

Ας βάλουμε k = 1 , Q k (z) = z - z 1, Επειτα
P n (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c,
όπου c είναι σταθερά. Ας αντικαταστήσουμε εδώ το z = z 1 και λάβετε υπόψη ότι το P n (z 1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + γ.
Ως εκ τούτου c = 0 .
Επειτα
Pn,

Q.E.D. Έστω ΠνΈτσι, με βάση το Θεώρημα 1, το πολυώνυμο P n 1 έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Ας το συμβολίσουμε ως z (z 1) = 0,Πν
P n ..
Στη συνέχεια, με βάση το Λήμμα 1: 1 (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) 1(z)Περαιτέρω, εάν n > 2 , τότε το πολυώνυμο P n- έχει επίσης τουλάχιστον μία ρίζα, την οποία συμβολίζουμε ως z.
,Pn- 1 (z 2) = 0;
P n Pn-.

1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z) (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z)Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν n αριθμοί z
P n 1 , z 2 , ... , z n.
τέτοια που (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z)Όμως ο Π
(1) 0(z) - αυτό είναι μια σταθερά. Εξισώνοντας τους συντελεστές για z n, βρίσκουμε ότι ισούται με a n..

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε τον τύπο για την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου: Έστω Πν.

P n (1) (z) = a n (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) (1) Οι αριθμοί z i είναι οι ρίζες του πολυωνύμου P n
(2) 0(z) Γενικά, δεν περιλαμβάνονται όλα τα z i;
.
, είναι διαφορετικά. Ανάμεσά τους μπορεί να υπάρχουν οι ίδιες τιμές. Στη συνέχεια παραγοντοποιώντας το πολυώνυμο 1 μπορεί να γραφτεί ως: (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n kΕδώ z i ≠ z j για i ≠ j. Αν n i =, Οτι ρίζα z i 1 μπορεί να γραφτεί ως: (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n kΕδώ z i ≠ z j για i ≠ j. ονομάζεται απλός. Μπαίνει σε παραγοντοποίηση με τη μορφή (z-z i): ..

Αν n i >

ονομάζεται πολλαπλή ρίζα πολλαπλότητας

n i.

Απόδειξη

Εισέρχεται σε παραγοντοποίηση με τη μορφή του γινομένου n i

πρωταρχικούς παράγοντες
,
(z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i
Στη συνέχεια η αποσύνθεση (2) ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές σε παράγοντες μπορεί να αναπαρασταθεί με μια μορφή στην οποία υπάρχουν μόνο πραγματικές σταθερές:
(3) ;
.

Μέθοδοι παραγοντοποίησης πολυωνύμου

Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, για να παραγοντοποιήσετε ένα πολυώνυμο, πρέπει να βρείτε όλες τις ρίζες της εξίσωσης P n (z) = 0 και να προσδιορίσετε την πολλαπλότητά τους. Οι παράγοντες με σύνθετες ρίζες πρέπει να ομαδοποιούνται με σύνθετα συζυγή. Στη συνέχεια, η επέκταση καθορίζεται από τον τύπο (3) .

Έτσι, η μέθοδος για την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου είναι η εξής:
1. Εύρεση της ρίζας z 1 εξισώσεις Pn (z 1) = 0.
2.1. Αν η ρίζα z 1 πραγματικό, τότε προσθέτουμε τον παράγοντα στην επέκταση (z - z 1) (z - z 1) 1 :
.
1(z), ξεκινώντας από το σημείο (1) μέχρι να βρούμε όλες τις ρίζες.
2.2. Αν η ρίζα είναι σύνθετη, τότε ο μιγαδικός συζευγμένος αριθμός είναι και η ρίζα του πολυωνύμου. Τότε η επέκταση περιλαμβάνει τον παράγοντα

,
όπου β 1 = - 2 x 1, γ 1 = x 1 2 + y 1 2.
Σε αυτήν την περίπτωση, προσθέτουμε τον παράγοντα στην επέκταση (z 2 + b 1 z + c 1)και διαιρέστε το πολυώνυμο P n (z) με (z 2 + b 1 z + c 1). 2 :
.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα πολυώνυμο βαθμού n - Στη συνέχεια επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για το πολυώνυμο P n-, ξεκινώντας από το σημείο (1) μέχρι να βρούμε όλες τις ρίζες.

2(z)

Εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου

Το κύριο καθήκον κατά την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου είναι να βρείτε τις ρίζες του. Δυστυχώς, αυτό δεν μπορεί να γίνει πάντα αναλυτικά. Εδώ θα δούμε αρκετές περιπτώσεις όπου μπορείτε να βρείτε τις ρίζες ενός πολυωνύμου αναλυτικά.

Ρίζες πολυωνύμου πρώτου βαθμού
.

Ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού είναι μια γραμμική συνάρτηση. Έχει μία ρίζα. Η επέκταση έχει μόνο έναν παράγοντα που περιέχει τη μεταβλητή z:

Ρίζες πολυωνύμου δεύτερου βαθμού
Για να βρείτε τις ρίζες ενός πολυωνύμου δεύτερου βαθμού, πρέπει να λύσετε την τετραγωνική εξίσωση: Π.
2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0
, .
Εάν η διάκριση είναι , τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες:
.
Τότε η παραγοντοποίηση έχει τη μορφή: 0 Αν διακρίνεται D =
;
.
, τότε η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα:< 0 Αν διακρίνει Δ
.

, τότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι μιγαδικές,

Πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου από δύο

Υπάρχουν τύποι για την εύρεση των ριζών πολυωνύμων 3ης και 4ης μοίρας. Ωστόσο, χρησιμοποιούνται σπάνια επειδή είναι ογκώδεις. Δεν υπάρχουν τύποι για την εύρεση των ριζών πολυωνύμων βαθμού υψηλότερου του 4ου. Παρόλα αυτά, σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατός ο παράγοντας του πολυωνύμου.

Βρίσκοντας ολόκληρες ρίζες

Εάν είναι γνωστό ότι ένα πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές είναι ακέραιοι έχουν ακέραια ρίζα, τότε μπορεί να βρεθεί με αναζήτηση σε όλες τις πιθανές τιμές.

Λήμμα 3
,
Αφήστε το πολυώνυμο 1 οι συντελεστές a i των οποίων είναι ακέραιοι, έχει ακέραια ρίζα z 0 .

Απόδειξη

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση P n (z 1) = 0όπως και:
.
Μετά το σύνολο
Μ ζ 1 = - 0.
Διαιρέστε με z 1 :
.
Εφόσον το Μ είναι ακέραιος, τότε το Μ είναι ακέραιος. Q.E.D.

Επομένως, εάν οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ακέραιοι, τότε μπορείτε να προσπαθήσετε να βρείτε τις ακέραιες ρίζες. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε όλους τους διαιρέτες του ελεύθερου όρου a 0 και, αντικαθιστώντας στην εξίσωση P n Εξίσωση Pn, ελέγξτε αν είναι ρίζες αυτής της εξίσωσης.
Σημείωση. Αν οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ορθολογικοί αριθμοί, τότε πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση P n Εξίσωση Pnεπί κοινό παρονομαστήαριθμοί a i , λαμβάνουμε μια εξίσωση για ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές.

Εύρεση ορθολογικών ριζών

Αν οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ακέραιοι και δεν υπάρχουν ακέραιες ρίζες, τότε για ένα n ≠ 1 , μπορείτε να προσπαθήσετε να βρείτε ορθολογικές ρίζες. Για να γίνει αυτό πρέπει να κάνετε μια αντικατάσταση
z = y/a n
και πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με ένα n n- 1 .
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια εξίσωση για ένα πολυώνυμο στη μεταβλητή y με ακέραιους συντελεστές Στη συνέχεια, αναζητούμε τις ακέραιες ρίζες αυτού του πολυωνύμου μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου. Αν έχουμε βρει μια τέτοια ρίζα y i, τότε περνώντας στη μεταβλητή x, παίρνουμε μια λογική ρίζα

z i = y i /a n .

Χρήσιμες φόρμουλες

Παρουσιάζουμε τύπους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον παράγοντα ενός πολυωνύμου.
P n Γενικότερα, για να επεκτείνουμε ένα πολυώνυμο,
(z) = z n - a 0 0 όπου ένας
- σύνθετο, πρέπει να βρείτε όλες τις ρίζες του, δηλαδή να λύσετε την εξίσωση: 0 .
z n = α 0 Αυτή η εξίσωση μπορεί εύκολα να λυθεί εκφράζοντας α
.
μέσω του συντελεστή r και του ορίσματος φ: 0 Αφού α δεν θα αλλάξει αν προσθέσουμε στο επιχείρημα 2π 0 όπως και:
,
, τότε φανταστείτε α
;
.
όπου k είναι ένας ακέραιος αριθμός. Επειτα Εκχώρηση k τιμών k = 0, 1, 2, ... n-1
.

, παίρνουμε n ρίζες του πολυωνύμου. Τότε η παραγοντοποίησή του έχει τη μορφή:

Διτετραγωνικό πολυώνυμο
.
Θεωρήστε το διτετραγωνικό πολυώνυμο:

Ένα διτετραγωνικό πολυώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί χωρίς να βρεθούν οι ρίζες.

,
Όταν , έχουμε:

Οπου .

Δικυβικά και τετραγωνικά πολυώνυμα
.
Εξετάστε το πολυώνυμο:
.
Οι ρίζες του καθορίζονται από την εξίσωση: Οδηγεί σετετραγωνική εξίσωση
αντικατάσταση t = z n : ένα.
2 n t 2 + a n t + a 0 = 0 1 Έχοντας λύσει αυτή την εξίσωση, βρίσκουμε τις ρίζες της, t 2 , t
.
. 1 Στη συνέχεια βρίσκουμε την επέκταση με τη μορφή: 2 Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που υποδεικνύεται παραπάνω, παραγοντοποιούμε z n - t

και z n - t

. Τέλος, ομαδοποιούμε τους παράγοντες που περιέχουν σύνθετες συζυγείς ρίζες.Επαναλαμβανόμενα πολυώνυμα

Το πολυώνυμο λέγεται
.

επιστρεπτέος -1 , αν οι συντελεστές του είναι συμμετρικοί: + 1 Ένα παράδειγμα ανακλαστικού πολυωνύμου: - 1 .
Εάν ο βαθμός ενός επαναλαμβανόμενου πολυωνύμου n είναι άρτιος, τότε με αντικατάσταση , μειώνεται σε ένα πολυώνυμο βαθμού n/ 2 .

Εκ. Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά)Χ[φά Q ] (με ορθολογικούς συντελεστές) ανάγεται στο ερώτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών πολυωνύμων ∙ Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά)κ[φάΖ ] (με ορθολογικούς συντελεστές) ανάγεται στο ερώτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών πολυωνύμων] (με ακέραιους συντελεστές). Εδώ είναι ο αριθμός

είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των συντελεστών ενός δεδομένου πολυωνύμου.

Απαραίτητες αλλά όχι επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ορθολογικών ριζών πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές δίνονται από το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 6.1 (επί ορθολογικών ριζών πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές). – ΑνΤο ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά) = ορθολογική ρίζα πολυωνύμου ένα  φά ένα + + …+ ορθολογική ρίζα πολυωνύμου 1  φά + ορθολογική ρίζα πολυωνύμου 0 n ολόκληρος Με(συντελεστές, και, Π) = 1qσυντελεστές, και, τότε ο αριθμητής του κλάσματος 0 είναι διαιρέτης του ελεύθερου όρου αΠ, και ο παρονομαστής 0 .

είναι διαιρέτης του προπορευόμενου συντελεστή αΘεώρημα 6.1 (επί ορθολογικών ριζών πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές). Χ ( Θεώρημα 6.2. (συντελεστές, και, Π) = 1) Οπου Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά) είναι η λογική ρίζα του πολυωνύμου
–με ακέραιους συντελεστές λοιπόν

Παράδειγμα.ολόκληροι αριθμοί.

Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά) = 6 φά 4 + φά 3 + 2 φά 2 – 4 Βρείτε όλες τις ορθολογικές ρίζες του πολυωνύμου 1.

x+ – 1. Με το Θεώρημα 6.1: αν Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά), (ορθολογική ρίζα πολυωνύμου συντελεστές, και, Π) = 1), Οπου( ορθολογική ρίζα πολυωνύμου 0 = 1 συντελεστές, και, ορθολογική ρίζα πολυωνύμου ένα = 6 ΠΟτι . Να γιατί { 1}, Π q

.

(1, 2, 3, 6), που σημαίνει 2. Είναι γνωστό ότι (Συνέπεια 5.3) ο αριθμόςΕΝΑ Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φάείναι η ρίζα του πολυωνύμου Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά) αν και μόνο αν ) διαιρούμενο με ().

x – α Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φάΕπομένως, για να ελέγξετε αν οι αριθμοί 1 και –1 είναι ρίζες ενός πολυωνύμου

Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(1) = 60,Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(–1) = 12) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σχήμα του Horner: Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά).

0, άρα 1 και –1 δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου
3. Για να εξαλείψετε μερικούς από τους υπόλοιπους αριθμούς , ας χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 6.2. Αν εκφράσεις
ή συντελεστές, καιδέχεται ακέραιες τιμές για τις αντίστοιχες τιμές αριθμητή Πκαι παρονομαστής

=
=

, τότε στα αντίστοιχα κελιά του πίνακα (βλ. παρακάτω) θα γράψουμε το γράμμα «ts», διαφορετικά - «dr».
4. Χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner, ελέγχουμε αν οι αριθμοί που απομένουν μετά το κοσκίνισμα θα είναι Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φάρίζες Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά). Πρώτα ας χωρίσουμε ) επί ( – ).

Χ Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά) = () επί ( – )(6 φά 3 + 4 φά 2 + 4 Ως αποτέλεσμα έχουμε:Χ - Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά 2) και – ρίζα Π(φά) = 6 φά 3 + 4 φά 2 + 4 Ως αποτέλεσμα έχουμε:). Ιδιωτικός ) επί ( + ).

διαιρέστε το 2 με ( Π (–) = 3Επειδή Π(φά 0, τότε το (–) δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά).

), και ως εκ τούτου το πολυώνυμο Π(φά) = 6 φά 3 + 4 φά 2 + + 4 Ως αποτέλεσμα έχουμε:Τέλος, διαιρούμε το πολυώνυμο ) επί ( – ).

2 στις ( Π Πήρα: Π(φά() = 0, δηλαδή – ρίζα Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου (φά), και επομένως είναι η ρίζα Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου (φά). Άρα το πολυώνυμο

) έχει δύο ορθολογικές ρίζες: και.

Απελευθέρωση από τον αλγεβρικό παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος

Στο σχολικό μάθημα, κατά την επίλυση ορισμένων τύπων προβλημάτων για να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με τον αριθμό που συζευγνύεται με τον παρονομαστή. 1.Παραδείγματα. =
.

t

Εδώ ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού (διαφορά τετραγώνων) λειτουργεί στον παρονομαστή, ο οποίος σας επιτρέπει να απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Παραδείγματα. =
. Έκφραση – ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς των αριθμών 2. Είναι γνωστό ότι (Συνέπεια 5.3) ο αριθμός=
Και σι= 1. Χρησιμοποιώντας τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού 2. Είναι γνωστό ότι (Συνέπεια 5.3) ο αριθμός 3 – σι 3 = (ένα +σι) · ( ορθολογική ρίζα πολυωνύμου 2 – αβ + σι 2 ), μπορούμε να προσδιορίσουμε τον πολλαπλασιαστή Μ = (ένα +σι) =
+ 1, με το οποίο πρέπει να πολλαπλασιαστούν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος Παραδείγματα.για να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος Παραδείγματα.. Ετσι,

Σε περιπτώσεις όπου οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού δεν λειτουργούν, μπορούν να χρησιμοποιηθούν άλλες τεχνικές. Παρακάτω θα διατυπώσουμε ένα θεώρημα, η απόδειξη του οποίου, ειδικότερα, μας επιτρέπει να βρούμε έναν αλγόριθμο για την απαλλαγή από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος σε πιο σύνθετες καταστάσεις.

Ορισμός 6.1.Αριθμός zπου ονομάζεται αλγεβρικό πάνω από το πεδίο φά, αν υπάρχει πολυώνυμο Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά) φά[φά], του οποίου η ρίζα είναι z, διαφορετικά ο αριθμός zπου ονομάζεται υπερβατικό πάνω στο πεδίοφά.

Ορισμός 6.2.Βαθμός αλγεβρικού πάνω από το πεδίο φά αριθμοί zονομάζεται βαθμός ενός μη αναγώγιμου σε ένα πεδίο φάπολυώνυμος συντελεστές, και(φά)φά[φά], του οποίου η ρίζα είναι ο αριθμός z.

Παράδειγμα.Ας δείξουμε ότι ο αριθμός z =
είναι αλγεβρικό πάνω στο πεδίο Χκαι βρείτε το βαθμό του.

Ας βρούμε ένα μη αναγόμενο πάνω από το γήπεδο Χπολυώνυμος συντελεστές, και() επί (), του οποίου η ρίζα είναι φά =
. Ας σηκώσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας φά =
στην τέταρτη δύναμη, φτάνουμε ) επί ( 4 = 2 ή ) επί ( 4 – 2 = 0. Άρα, συντελεστές, και() επί () = ) επί ( 4 – 2, και η ισχύς του αριθμού zίσο με deg συντελεστές, και() επί () = 4.

Θεώρημα 6.3 (για την απελευθέρωση από τον αλγεβρικό παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος).Αφήνωz– αλγεβρικός αριθμός πάνω από ένα πεδίοφάβαθμούςένα. Έκφραση της φόρμαςΠαραδείγματα. = ,Θεώρημα 6.2. Το ζήτημα της εύρεσης ορθολογικών ριζών ενός πολυωνύμου(φά), (φά)φά[φά], (z) 0

μπορεί να αναπαρασταθεί μόνο με τη μορφή:

Παραδείγματα. = n ένα -1 z ένα -1 + ντο ένα -2 z ένα -2 + … + ντο 1 z + ντο 0 , ντο Εγώ φά.

Θα δείξουμε τον αλγόριθμο για την απαλλαγή από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Παράδειγμα.Απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος:

Παραδείγματα. =

1. Ο παρονομαστής του κλάσματος είναι η τιμή του πολυωνύμου () επί () = ) επί ( 2 – ) επί (+1 όταν ) επί ( =
. Το προηγούμενο παράδειγμα δείχνει ότι
– αλγεβρικός αριθμός πάνω από ένα πεδίο Χβαθμός 4, αφού είναι η ρίζα ενός μη αναγώγιμου over Χπολυώνυμος συντελεστές, και() επί () = ) επί ( 4 – 2.

2. Ας βρούμε τη γραμμική επέκταση του GCD ( () επί (), συντελεστές, και(φά)) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο.

_Χ 4 – 2 | φά 2 - Χ + 1

φά 4 - Χ 3 +x 2 Χ 2 + x = q 1 (φά)

_ φά 3 - Χ 2 – 2

φά 3 - Χ 2 +x

φά 2 - Χ + 1 | – φά –2 = r 1 (φά )

φά 2 + 2 φά – x + 3 = Π 2 (φά)

_–3φά+ 1

–3 φά – 6

_ – φά –2 |7 = r 2

– φά –2 -φά - =Π 3 (φά)

Λοιπόν, GCD ( () επί (), συντελεστές, και(φά)) = r 2 = 7. Ας βρούμε τη γραμμική διαστολή του.

Ας γράψουμε την Ευκλείδεια ακολουθία χρησιμοποιώντας πολυωνυμικό συμβολισμό.

συντελεστές, και(φά) = (φά) · Π 1 (φά) + r 1 (φά)
r 1 (φά) =Π(φά) – (φά) · Π 1 (φά)