En matemáticas, la media aritmética de los números (o simplemente la media) es la suma de todos los números de un conjunto dado dividida por el número de números. Este es el concepto más generalizado y extendido de valor medio. Como ya entendiste, para encontrar necesitas sumar todos los números que te dieron y dividir el resultado por el número de términos.
¿Qué es la media aritmética?
Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1. Números dados: 6, 7, 11. Necesitas encontrar su valor promedio.
Solución.
Primero, encontremos la suma de todos estos números.
Ahora divide la suma resultante por el número de términos. Como tenemos tres términos, dividiremos por tres.
Por tanto, la media de los números 6, 7 y 11 es 8. ¿Por qué 8? Sí, porque la suma de 6, 7 y 11 será igual a tres ochos. Esto se puede ver claramente en la ilustración.
El promedio es un poco como “igualar” una serie de números. Como puede ver, las pilas de lápices se han puesto al mismo nivel.
Veamos otro ejemplo para consolidar los conocimientos adquiridos.
Ejemplo 2. Números dados: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Necesitas encontrar su media aritmética.
Solución.
Encuentra la cantidad.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Divida por el número de términos (en este caso, 15).
Por tanto, el valor medio de esta serie de números es 22.
Ahora veamos los números negativos. Recordemos cómo resumirlos. Por ejemplo, tienes dos números 1 y -4. Encontremos su suma.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
Sabiendo esto, veamos otro ejemplo.
Ejemplo 3. Encuentra el valor promedio de una serie de números: 3, -7, 5, 13, -2.
Solución.
Encuentra la suma de números.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Como hay 5 términos, divide la suma resultante entre 5.
Por tanto, la media aritmética de los números 3, -7, 5, 13, -2 es 2,4.
En nuestra época de progreso tecnológico, es mucho más conveniente utilizar programas informáticos para encontrar el valor medio. Microsoft Office Excel es uno de ellos. Encontrar el promedio en Excel es rápido y sencillo. Además, este programa está incluido en el paquete de software de Microsoft Office. consideremos breves instrucciones, valora usar este programa.
Para calcular el valor promedio de una serie de números, debes usar la función PROMEDIO. La sintaxis de esta función es:
= Promedio(argumento1, argumento2, ... argumento255)
donde argumento1, argumento2, ... argumento255 son números o referencias de celda (las celdas se refieren a rangos y matrices).
Para que quede más claro, probemos los conocimientos que hemos adquirido.
- Ingrese los números 11, 12, 13, 14, 15, 16 en las celdas C1 - C6.
- Seleccione la celda C7 haciendo clic en ella. En esta celda mostraremos el valor promedio.
- Haga clic en la pestaña Fórmulas.
- Seleccione Más funciones > Estadística para abrir
- Seleccione PROMEDIO. Después de esto, debería abrirse un cuadro de diálogo.
- Seleccione y arrastre las celdas C1-C6 allí para establecer el rango en el cuadro de diálogo.
- Confirme sus acciones con el botón "Aceptar".
- Si hiciste todo correctamente, deberías tener la respuesta en la celda C7 - 13.7. Cuando haces clic en la celda C7, la función (=Promedio(C1:C6)) aparecerá en la barra de fórmulas.
Esta función es muy útil para contabilidad, facturas o cuando simplemente necesitas encontrar el promedio de una serie muy larga de números. Por ello, se suele utilizar en oficinas y grandes empresas. Esto le permite mantener el orden en sus registros y le permite calcular algo rápidamente (por ejemplo, el ingreso mensual promedio). También puedes usar Excel para encontrar el valor promedio de una función.
El tipo de promedio más común es la media aritmética.
Media aritmética simple
Una media aritmética simple es el término promedio, para determinar cuál el volumen total de un atributo dado en los datos se distribuye equitativamente entre todas las unidades incluidas en la población dada. Por lo tanto, la producción anual promedio por empleado es la cantidad de producción que produciría cada empleado si todo el volumen de producción se distribuyera equitativamente entre todos los empleados de la organización. El valor simple de la media aritmética se calcula mediante la fórmula:
Ejemplo 1 .media aritmética simple— Igual a la relación entre la suma de los valores individuales de una característica y el número de características en conjunto
Un equipo de 6 trabajadores recibe 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 mil rublos al mes.
Encuentra el salario promedio
Solución: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 mil rublos.
Media aritmética ponderada
Imaginemos esto en forma de la siguiente fórmula:
Ejemplo 2 .Media aritmética ponderada— igual a la relación entre (la suma de los productos del valor de una característica por la frecuencia de repetición de esta característica) y (la suma de las frecuencias de todas las características). Se utiliza cuando ocurren variantes de la población en estudio. un número desigual de veces.
Encuentre el salario promedio de los trabajadores del taller por mes. El salario medio se puede obtener dividiendo el total salarios en número total
trabajadores:
Respuesta: 3,35 mil rublos.
Media aritmética para series de intervalos
Al calcular la media aritmética para una serie de variación de intervalo, primero determine la media de cada intervalo como la mitad de la suma de los límites superior e inferior, y luego la media de toda la serie. En el caso de intervalos abiertos, el valor del intervalo inferior o superior está determinado por el tamaño de los intervalos adyacentes a ellos.
Los promedios calculados a partir de series de intervalos son aproximados. Ejemplo 3 . Definir mediana edad
estudiantes vespertinos.
Los promedios calculados a partir de series de intervalos son aproximados. El grado de su aproximación depende de hasta qué punto la distribución real de las unidades de población dentro del intervalo se aproxima a una distribución uniforme.
Al calcular promedios, se pueden utilizar como ponderaciones no solo valores absolutos sino también valores relativos (frecuencia):
La media aritmética tiene una serie de propiedades que revelan más plenamente su esencia y simplifican los cálculos:
1. El producto del promedio por la suma de frecuencias es siempre igual a la suma de los productos de la variante por frecuencias, es decir
2. La media aritmética de la suma de cantidades variables es igual a la suma de las medias aritméticas de estas cantidades:
3. La suma algebraica de las desviaciones de los valores individuales de una característica del promedio es igual a cero:
4. La suma de las desviaciones al cuadrado de las opciones con respecto al promedio es menor que la suma de las desviaciones al cuadrado de cualquier otro valor arbitrario, es decir El concepto de promedio aritmético de números significa el resultado de una secuencia simple de cálculos del valor promedio de una cantidad de números determinados de antemano. Cabe señalar que este valor en tiempo dado ampliamente utilizado por especialistas en varias industrias. Por ejemplo, se conocen fórmulas cuando los economistas o trabajadores de la industria estadística realizan cálculos, donde se requiere tener un valor de este tipo
. Además, este indicador se utiliza activamente en otras industrias relacionadas con lo anterior. Una de las características de los cálculos. valor dado es la simplicidad del procedimiento. Cualquiera puede hacerlo. Para hacer esto no es necesario tener educación especial. A menudo no es necesario utilizar tecnología informática.
Para responder a la pregunta de cómo encontrar la media aritmética, considere varias situaciones.
lo mas opción sencilla calcular un valor dado es calcularlo para dos números. El procedimiento de cálculo en este caso es muy sencillo:
- Inicialmente, debe realizar la operación de sumar los números seleccionados. A menudo, esto se puede hacer, como dicen, manualmente, sin utilizar equipos electrónicos.
- Una vez realizada la suma y obtenido su resultado, se debe realizar la división. Esta operación implica dividir la suma de dos números sumados por dos: el número de números sumados. Es esta acción la que le permitirá obtener el valor requerido.
Fórmula
Por lo tanto, la fórmula para calcular el valor requerido en el caso de dos se verá así:
(A+B)/2
Esta fórmula utiliza la siguiente notación:
A y B son números preseleccionados para los cuales necesitas encontrar un valor.
Encontrar el valor de tres
Calcular este valor en una situación en la que se seleccionan tres números no diferirá mucho de la opción anterior:
- Para hacer esto, seleccione los números necesarios en el cálculo y súmelos para obtener el total.
- Una vez encontrada esta suma de tres, se debe realizar nuevamente el procedimiento de división. En este caso, la cantidad resultante debe dividirse entre tres, que corresponde al número de números seleccionados.
Fórmula
Así, la fórmula necesaria para calcular la aritmética tres se verá así:
(A+B+C)/3
En esta fórmula Se acepta la siguiente notación:
A, B y C son los números para los cuales necesitarás encontrar la media aritmética.
Calcular la media aritmética de cuatro
Como ya se puede observar por analogía con las opciones anteriores, el cálculo de este valor para una cantidad igual a cuatro se realizará en el siguiente orden:
- Se seleccionan cuatro dígitos para los cuales se debe calcular la media aritmética. A continuación se realiza la suma y se encuentra el resultado final de este procedimiento.
- Ahora bien, para obtener el resultado final, debes tomar la suma resultante de cuatro y dividirla por cuatro. Los datos recibidos serán el valor requerido.
Fórmula
De la secuencia de acciones descritas anteriormente para encontrar la media aritmética de cuatro, se puede obtener la siguiente fórmula:
(A+B+C+E)/4
En esta fórmula las variables tienen siguiente valor:
A, B, C y E son aquellos para los que es necesario encontrar el valor de la media aritmética.
Con esta fórmula, siempre será posible calcular el valor requerido para un número determinado de números.
Calcular la media aritmética de cinco
Realizar esta operación requerirá un cierto algoritmo de acciones.
- En primer lugar, debe seleccionar cinco números para los cuales se calculará la media aritmética. Después de esta selección, estos números, como en las opciones anteriores, solo hay que sumarlos y obtener el importe final.
- La cantidad resultante deberá dividirse por su número entre cinco, lo que le permitirá obtener el valor requerido.
Fórmula
Así, de manera similar a las opciones consideradas anteriormente, obtenemos la siguiente fórmula para calcular la media aritmética:
(A+B+C+E+P)/5
En esta fórmula, las variables se designan de la siguiente manera:
A, B, C, E y P son números para los cuales es necesario obtener la media aritmética.
Fórmula de cálculo universal
Realizando una revisión varias opciones fórmulas para calcular la media aritmética, puedes prestar atención al hecho de que tienen un patrón general.
Por tanto, será más práctico utilizar una fórmula general para encontrar la media aritmética. Después de todo, hay situaciones en las que el número y la magnitud de los cálculos pueden ser muy grandes. Por lo tanto, sería más razonable utilizar una fórmula universal y no desarrollar una tecnología individual cada vez para calcular este valor.
Lo principal a la hora de determinar la fórmula es principio de cálculo de la media aritmética o.
Este principio, como puede verse en los ejemplos dados, se ve así:
- Se cuenta el número de números que se especifican para obtener el valor requerido. Esta operación se puede realizar manualmente con una pequeña cantidad de números o mediante tecnología informática.
- Los números seleccionados se suman. Esta operación en la mayoría de situaciones se realiza mediante tecnología informática, ya que los números pueden constar de dos, tres o más dígitos.
- La cantidad obtenida al sumar los números seleccionados se debe dividir por su número. Este valor se determina en la etapa inicial de cálculo de la media aritmética.
Por tanto, la fórmula general para calcular la media aritmética de una serie de números seleccionados se verá así:
(A+B+…+N)/N
Esta fórmula contiene las siguientes variables:
A y B son números que se seleccionan de antemano para calcular su media aritmética.
N es la cantidad de números que se tomaron para calcular el valor requerido.
Al sustituir los números seleccionados en esta fórmula cada vez, siempre podemos obtener el valor requerido de la media aritmética.
Como se puede ver, encontrar la media aritmética Es un procedimiento sencillo. Sin embargo, hay que tener cuidado con los cálculos realizados y comprobar los resultados obtenidos. Este enfoque se explica por el hecho de que incluso en las situaciones más simples existe la posibilidad de recibir un error, que luego puede afectar a cálculos posteriores. En este sentido, se recomienda utilizar tecnología informática que sea capaz de realizar cálculos de cualquier complejidad.
- primero suma estos números (1+3+5+7) y obtén 16
- Necesitamos dividir el resultado resultante entre 4 (cantidad): 16/4 y obtener el resultado 4.
- buscamos el peso total de todas las manzanas (la suma de todos los indicadores): es igual a 1080 gramos,
- divide el peso total por el número de manzanas 1080:5 = 216 gramos. Esta es la media aritmética.
- N.Ya. Vilenkin. Matemáticas: libro de texto. para 5to grado. educación general uchr. - Ed. 17 - M.: Mnemosyne, 2005. )
- Igor llevaba consigo 45 rublos, Andrey 28 y Denis 17.
- Con todo su dinero compraron 3 entradas para el cine. ¿Cuánto costó un boleto?
La media aritmética es la suma de números dividida por el número de esos mismos números. Y encontrar la media aritmética es muy sencillo.
Como se desprende de la definición, debemos tomar los números, sumarlos y dividirlos por su número.
Pongamos un ejemplo: nos dan los números 1, 3, 5, 7 y necesitamos encontrar la media aritmética de estos números.
entonces el promedio números aritméticos 1, 3, 5 y 7 son 4.
Media aritmética: el valor promedio entre los indicadores dados.
Se encuentra dividiendo la suma de todos los indicadores por su número.
Por ejemplo, tengo 5 manzanas que pesan 200, 250, 180, 220 y 230 gramos.
Encontramos el peso promedio de 1 manzana de la siguiente manera:
Este es el indicador más utilizado en estadística.
La media aritmética son los números sumados y divididos por su número, la respuesta resultante es la media aritmética.
Por ejemplo: Katya puso 50 rublos en la alcancía, Maxim 100 rublos y Sasha puso 150 rublos en la alcancía. 50 + 100 + 150 = 300 rublos en la alcancía, ahora dividimos esta cantidad entre tres (tres personas ponen dinero). Entonces 300: 3 = 100 rublos. Estos 100 rublos serán el promedio aritmético, cada uno de ellos puesto en la alcancía.
Hay un ejemplo tan simple: una persona come carne, otra come repollo y, en promedio aritmético, ambos comen rollos de repollo.
El salario medio se calcula de la misma forma...
La media aritmética es la suma de todos los valores y se divide por su número.
Por ejemplo los números 2, 3, 5, 6. Necesitas sumarlos 2+ 3+ 5 + 6 = 16
Dividimos 16 entre 4 y obtenemos la respuesta 4.
4 es la media aritmética de estos números.
La media aritmética de varios números es la suma de estos números dividida por su número.
x media aritmética promedio
S suma de números
n número de números.
Por ejemplo, necesitamos encontrar la media aritmética de los números 3, 4, 5 y 6.
Para ello debemos sumarlos y dividir la cantidad resultante entre 4:
(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.
Recuerdo haber hecho el examen final de matemáticas.
Entonces fue necesario encontrar la media aritmética.
es bueno que buena gente Me dijeron qué hacer, de lo contrario habría problemas.
Por ejemplo, tenemos 4 números.
Suma los números y divide por su número (en en este caso 4)
Por ejemplo los números 2,6,1,1. Suma 2+6+1+1 y divide por 4 = 2,5
Como puedes ver, nada complicado. Entonces la media aritmética es el promedio de todos los números.
Lo sabemos por la escuela. Cualquiera que haya tenido un buen profesor de matemáticas podría recordar esta sencilla acción la primera vez.
Para encontrar la media aritmética, debes sumar todos los números disponibles y dividirlos por su número.
Por ejemplo, compré en la tienda 1 kg de manzanas, 2 kg de plátanos, 3 kg de naranjas y 1 kg de kiwi. ¿Cuántos kilogramos de fruta compré en promedio?
7/4= 1,8 kilogramos. Esta será la media aritmética.
La media aritmética es el promedio entre varios números.
Por ejemplo, entre los números 2 y 4, el número promedio es 3.
La fórmula para encontrar la media aritmética es:
Debes sumar todos los números y dividirlos por el número de estos números:
Por ejemplo, tenemos 3 números: 2, 5 y 8.
Encontrar la media aritmética:
X=(2+5+8)/3=15/3=5
El ámbito de aplicación de la media aritmética es bastante amplio.
Por ejemplo, conociendo las coordenadas de dos puntos en un segmento, puedes encontrar las coordenadas del medio de este segmento.
Por ejemplo, las coordenadas del segmento: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).
Designemos la mitad de este segmento con las coordenadas X3,Y3,Z3.
Encontramos por separado el punto medio para cada coordenada:
La media aritmética es el promedio de los valores dados...
Aquellos. En pocas palabras, tenemos varios palos de diferentes longitudes y queremos saber su valor promedio.
Es lógico que para ello los juntemos, sacando un palo largo, y luego lo dividamos en el número requerido de partes.
Aquí viene la media aritmética...
Así es como se deriva la fórmula: Sa=(S(1)+..S(n))/n..
La aritmética se considera la rama más elemental de las matemáticas y estudia operaciones simples con números. Por tanto, la media aritmética también es muy fácil de encontrar. Comencemos con una definición. La media aritmética es un valor que muestra qué número se acerca más a la verdad después de varias operaciones sucesivas del mismo tipo. Por ejemplo, cuando corre cien metros, una persona muestra cada vez diferentes tiempos, pero el valor promedio estará dentro, por ejemplo, de 12 segundos. Encontrar la media aritmética de esta manera se reduce a sumar secuencialmente todos los números de una determinada serie (resultados de la carrera) y dividir esta suma por el número de estas carreras (intentos, números). En forma de fórmula se ve así:
Sarif = (Х1+Х2+..+Хn)/n
Como matemático, me interesan las preguntas sobre este tema.
Comenzaré con la historia del problema. Desde la antigüedad se piensa en los valores medios. Media aritmética, media geométrica, media armónica. Estos conceptos se proponen en Grecia antigua Pitagóricos.
Y ahora la pregunta que nos interesa. ¿Qué se entiende por media aritmética de varios números:
Entonces, para encontrar la media aritmética de los números, debes sumar todos los números y dividir la suma resultante por el número de términos.
La fórmula es:
Ejemplo. Encuentra la media aritmética de los números: 100, 175, 325.
Usemos la fórmula para encontrar la media aritmética de tres números (es decir, en lugar de n habrá 3; debes sumar los 3 números y dividir la suma resultante por su número, es decir, por 3). Tenemos: x=(100+175+325)/3=600/3=200.
Tres niños fueron al bosque a recoger bayas. Hija mayor encontré 18 bayas, el del medio, 15 y el hermano menor, 3 bayas (ver Fig. 1). Le llevaron las bayas a mamá, quien decidió dividirlas en partes iguales. ¿Cuántas bayas recibió cada niño?
Arroz. 1. Ilustración del problema.
Solución
(Yag.) - los niños recogieron todo
2) Divida la cantidad total de bayas por la cantidad de niños:
(Yag.) fue a cada niño
Respuesta: Cada niño recibirá 12 bayas.
En el problema 1, el número obtenido en la respuesta es la media aritmética.
Media aritmética varios números es el cociente de dividir la suma de estos números por su número.
Ejemplo 1
Tenemos dos números: 10 y 12. Encuentra su media aritmética.
Solución
1) Determinemos la suma de estos números: .
2) El número de estos números es 2, por lo tanto, la media aritmética de estos números es: .
Respuesta: La media aritmética de los números 10 y 12 es el número 11.
Ejemplo 2
Tenemos cinco números: 1, 2, 3, 4 y 5. Encuentra su media aritmética.
Solución
1) La suma de estos números es igual a: .
2) Por definición, la media aritmética es el cociente de dividir la suma de números entre su número. Tenemos cinco números, por lo que la media aritmética es:
Respuesta: la media aritmética de los datos en la condición de números es 3.
Además del hecho de que constantemente se sugiere encontrarla en las lecciones, encontrar la media aritmética es muy útil en la vida cotidiana. Por ejemplo, digamos que queremos irnos de vacaciones a Grecia. Para elegir la ropa adecuada, nos fijamos en la temperatura de este país en en este momento. Sin embargo, no lo sabremos panorama general clima. Por tanto, es necesario conocer la temperatura del aire en Grecia, por ejemplo, durante una semana, y encontrar la media aritmética de estas temperaturas.
Los promedios calculados a partir de series de intervalos son aproximados.
Temperatura en Grecia para la semana: lunes - ; Martes - ; Miércoles - ; Jueves - ; Viernes - ; Sábado - ; Domingo - . Calcula la temperatura promedio de la semana.
Solución
1) Calculemos la suma de temperaturas: .
2) Dividir el importe resultante por el número de días: .
Respuesta: La temperatura media de la semana es de aprox.
La capacidad de encontrar la media aritmética también puede ser necesaria para determinar la edad promedio de los jugadores. equipo de futbol, es decir, para establecer si el equipo tiene experiencia o no. Es necesario sumar las edades de todos los jugadores y dividirlas por su número.
Problema 2
El comerciante vendía manzanas. Al principio los vendió a un precio de 85 rublos por 1 kg. Entonces vendió 12 kg. Luego redujo el precio a 65 rublos y vendió los 4 kg de manzanas restantes. ¿Cuál fue el precio promedio de las manzanas?
Solución
1) Calculemos cuánto dinero ganó el comerciante en total. Vendió 12 kilogramos a un precio de 85 rublos por 1 kg: 
(frotar.).
Vendió 4 kilogramos a un precio de 65 rublos por 1 kg: (rublos).
Por tanto, la cantidad total de dinero ganado es igual a: (frotar).
2) El peso total de manzanas vendidas es igual a: .
3) Divida la cantidad de dinero recibida por el peso total de las manzanas vendidas y obtenga el precio medio de 1 kg de manzanas: (rublos).
Respuesta: el precio medio de 1 kg de manzanas vendidas es de 80 rublos.
La media aritmética ayuda a evaluar los datos en su conjunto, sin tomar cada valor por separado.
Sin embargo, no siempre es posible utilizar el concepto de media aritmética.
Ejemplo 4
El tirador disparó dos tiros al objetivo (ver Fig. 2): la primera vez dio en el blanco un metro por encima del objetivo y la segunda vez un metro por debajo. La media aritmética mostrará que acertó exactamente en el centro, aunque falló en ambas ocasiones.
Arroz. 2. Ilustración por ejemplo
En esta lección aprendimos sobre el concepto de media aritmética. Aprendimos la definición de este concepto, aprendimos a calcular la media aritmética de varios números. También aprendimos aplicación práctica este concepto.