Puedes hacer todo con fracciones, incluida la división. Este artículo muestra la división de fracciones ordinarias. Se darán definiciones y se discutirán ejemplos. Detengámonos en detalle en la división de fracciones por números naturales y viceversa. Se discutirá la división de una fracción común por un número mixto.
Dividir fracciones
La división es la inversa de la multiplicación. Al dividir, el factor desconocido se encuentra en obra famosa y otro factor, donde se conserva su significado dado con fracciones ordinarias.
Si es necesario dividir una fracción común a b por c d, entonces para determinar dicho número es necesario multiplicar por el divisor c d, esto finalmente dará el dividendo a b. Consigamos un número y escríbalo a b · d c , donde d c es el inverso del número c d. Las igualdades se pueden escribir usando las propiedades de la multiplicación, a saber: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, donde la expresión a b · d c es el cociente de dividir a b por c d.
De aquí obtenemos y formulamos la regla para dividir fracciones ordinarias:
Definición 1
Para dividir una fracción común a b por c d, debes multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.
Escribamos la regla en forma de expresión: a b: c d = a b · d c
Las reglas de la división se reducen a la multiplicación. Para seguir adelante, debes tener un buen conocimiento de la multiplicación de fracciones.
Pasemos a considerar la división de fracciones ordinarias.
Ejemplo 1
Divide 9 7 entre 5 3. Escribe el resultado como una fracción.
Solución
El número 5 3 es la fracción recíproca 3 5. Es necesario utilizar la regla para dividir fracciones ordinarias. Esta expresión la escribimos de la siguiente manera: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Respuesta: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Al reducir fracciones, separe la parte entera si el numerador es mayor que el denominador.
Ejemplo 2
Divide 8 15: 24 65. Escribe la respuesta como una fracción.
Solución
Para resolverlo, debes pasar de la división a la multiplicación. Escribámoslo de esta forma: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Es necesario hacer una reducción, y esto se hace de la siguiente manera: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Seleccione la parte completa y obtenga 13 9 = 1 4 9.
Respuesta: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Dividir una fracción extraordinaria por un número natural
Usamos la regla de dividir una fracción por número natural: para dividir a b por un número natural n, solo necesitas multiplicar el denominador por n. De aquí obtenemos la expresión: a b: n = a b · n.
La regla de la división es consecuencia de la regla de la multiplicación. Por tanto, representar un número natural como fracción dará una igualdad de este tipo: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Considere esta división de una fracción por un número.
Ejemplo 3
Divide la fracción 16 45 por el número 12.
Solución
Apliquemos la regla para dividir una fracción por un número. Obtenemos una expresión de la forma 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Reduzcamos la fracción. Obtenemos 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Respuesta: 16 45: 12 = 4 135 .
Dividir un número natural por una fracción
La regla de división es similar. oh la regla para dividir un número natural por una fracción ordinaria: para dividir un número natural n por una fracción ordinaria a b, es necesario multiplicar el número n por el recíproco de la fracción a b.
Según la regla tenemos n: a b = n · b a, y gracias a la regla de multiplicar un número natural por una fracción ordinaria, obtenemos nuestra expresión en la forma n: a b = n · b a. Es necesario considerar esta división con un ejemplo.
Ejemplo 4
Divide 25 entre 15 28.
Solución
Necesitamos pasar de la división a la multiplicación. Escribámoslo en forma de expresión 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Reduzcamos la fracción y obtengamos el resultado en la forma de fracción 46 2 3.
Respuesta: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Dividir una fracción por un número mixto
Al dividir una fracción común por un número mixto, puedes comenzar fácilmente a dividir fracciones comunes. Necesitas convertir un número mixto a una fracción impropia.
Ejemplo 5
Divide la fracción 35 16 entre 3 1 8.
Solución
Como 3 1 8 es un número mixto, representémoslo como una fracción impropia. Luego obtenemos 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Ahora dividamos fracciones. Obtenemos 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Respuesta: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
La división de un número mixto se realiza de la misma forma que los números ordinarios.
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La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (consulte la lección “Suma y resta de fracciones”). La parte más difícil de esas acciones fue llevar las fracciones a un denominador común.
Ahora es el momento de abordar la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más sencillas que la suma y la resta. Primero, veamos caso más simple, cuando existen dos fracciones positivas sin parte entera separada.
Para multiplicar dos fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.
Para dividir dos fracciones, debes multiplicar la primera fracción por la segunda fracción "invertida".
Designación:
De la definición se deduce que dividir fracciones se reduce a multiplicación. Para "voltear" una fracción, simplemente intercambie el numerador y el denominador. Por lo tanto, a lo largo de la lección consideraremos principalmente la multiplicación.
Como resultado de la multiplicación, puede surgir (y a menudo surge) una fracción reducible; por supuesto, debe reducirse. Si después de todas las reducciones la fracción resulta ser incorrecta, se debe resaltar la parte completa. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos entrecruzados, con mayores factores y mínimos múltiplos comunes.
Por definición tenemos:
Multiplicar fracciones con partes enteras y fracciones negativas
Si las fracciones contienen una parte entera, deben convertirse en impropias y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.
Si hay un menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:
- Más por menos da menos;
- Dos negativos hacen una afirmativa.
Hasta ahora, estas reglas sólo se encontraban al sumar y restar fracciones negativas, cuando era necesario deshacerse de la parte entera. Para una obra, se pueden generalizar para “quemar” varias desventajas a la vez:
- Tachamos los negativos de dos en dos hasta que desaparezcan por completo. En casos extremos, puede sobrevivir un menos: aquel para el que no había pareja;
- Si no quedan inconvenientes, la operación se completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no se tacha porque no tenía par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. El resultado es una fracción negativa.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Convertimos todas las fracciones a impropias y luego sacamos los menos de la multiplicación. Multiplicamos lo que queda según las reglas habituales. Obtenemos:
Permítanme recordarles una vez más que el menos que aparece delante de una fracción con la parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción entera, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).
También preste atención a los números negativos: al multiplicarlos, se incluyen entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos negativos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.
Reducir fracciones sobre la marcha
La multiplicación es una operación que requiere mucha mano de obra. Los números aquí resultan ser bastante grandes y, para simplificar el problema, puedes intentar reducir aún más la fracción. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y denominadores de fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Por definición tenemos:
En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.
Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. En su lugar quedan unidades que, por lo general, no es necesario escribir. En el segundo ejemplo reducción completa No fue posible lograr esto, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.
Sin embargo, ¡nunca utilices esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que simplemente deseas reducir. Aquí mira:
¡No puedes hacer eso!
El error se produce debido a que al sumar el numerador de una fracción aparece la suma, y no el producto de números. En consecuencia, es imposible aplicar la propiedad básica de una fracción, ya que esta propiedad trata específicamente de la multiplicación de números.
Simplemente no hay otras razones para reducir fracciones, por lo que la decisión correcta la tarea anterior se ve así:
Solución correcta:
Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, ten cuidado.
Una fracción es una o más partes de un todo, que normalmente se considera uno (1). Al igual que con los números naturales, puedes realizar todas las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, división, multiplicación) con fracciones, para ello necesitas conocer las características del trabajo con fracciones y distinguir entre sus tipos; Hay varios tipos de fracciones: decimales y ordinarias o simples. Cada tipo de fracción tiene sus propias particularidades, pero una vez que comprendas a fondo cómo manejarlas, podrás resolver cualquier ejemplo con fracciones, ya que conocerás los principios básicos para realizar cálculos aritméticos con fracciones. Veamos ejemplos de cómo dividir una fracción por un número entero usando diferentes tipos fracciones.
¿Cómo dividir una fracción simple por un número natural?Las fracciones ordinarias o simples son aquellas escritas en forma de razón de números en las que el dividendo (numerador) se indica en la parte superior de la fracción y el divisor (denominador) de la fracción en la parte inferior. ¿Cómo dividir tal fracción por un número entero? ¡Veamos un ejemplo! Digamos que necesitamos dividir 8/12 entre 2.
Para ello debemos realizar una serie de acciones:
Así, si nos enfrentamos a la tarea de dividir una fracción por un número entero, el diagrama de solución se verá así: 
De manera similar, puedes dividir cualquier fracción ordinaria (simple) por un número entero.
¿Cómo dividir un decimal por un número entero?
Un decimal es una fracción que se obtiene dividiendo una unidad en diez partes, mil, etcétera. La aritmética con decimales es bastante sencilla.
Veamos un ejemplo de cómo dividir una fracción por un número entero. Digamos que necesitamos dividir la fracción decimal 0,925 por el número natural 5.
En resumen, centrémonos en dos puntos principales que son importantes a la hora de realizar la operación de división. decimales por número entero: - para dividir una fracción decimal por un número natural, se utiliza la división larga;
- Se coloca una coma en un cociente cuando se completa la división de la parte entera del dividendo.
para resolver varias tareas de un curso de matemáticas y física hay que dividir fracciones. Esto es muy fácil de hacer si conoce ciertas reglas para realizar esta operación matemática.
Antes de pasar a formular la regla para dividir fracciones, recordemos algunos términos matemáticos:
- La parte superior de la fracción se llama numerador y la parte inferior se llama denominador.
- Al dividir, los números se llaman de la siguiente manera: dividendo: divisor = cociente
Cómo dividir fracciones: fracciones simples
Para dividir dos fracciones simples, multiplica el dividendo por el recíproco del divisor. Esta fracción también se llama invertida porque se obtiene intercambiando el numerador y el denominador. Por ejemplo:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Cómo dividir fracciones: fracciones mixtas
Si tenemos que dividir fracciones mixtas, entonces todo aquí también es bastante simple y claro. Primero, convertimos la fracción mixta en una fracción impropia regular. Para hacer esto, multiplique el denominador de dicha fracción por un número entero y agregue el numerador al producto resultante. Como resultado, obtuvimos un nuevo numerador. fracción mixta, y su denominador permanecerá sin cambios. Además, la división de fracciones se realizará exactamente de la misma forma que la división de fracciones simples. Por ejemplo:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Cómo dividir una fracción por un número
Para dividir una fracción simple por un número, este último debe escribirse como fracción (irregular). Esto es muy fácil de hacer: este número se escribe en lugar del numerador y el denominador de dicha fracción es igual a uno. La división adicional se realiza de la forma habitual. Veamos esto con un ejemplo:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Cómo dividir decimales
A menudo, un adulto tiene dificultades para dividir un número entero o una fracción decimal entre una fracción decimal sin la ayuda de una calculadora.
Entonces, para dividir decimales, solo necesitas tachar la coma en el divisor y dejar de prestarle atención. En el dividendo, la coma debe moverse hacia la derecha exactamente tantos lugares como estaba en la parte fraccionaria del divisor, sumando ceros si es necesario. Y luego realizan la división habitual por un número entero. Para que esto quede más claro, considere el siguiente ejemplo.
Contenido de la lecciónSumar fracciones con denominadores iguales
Hay dos tipos de suma de fracciones:
- Sumar fracciones con denominadores iguales
- Sumar fracciones con diferentes denominadores
Primero, aprendamos la suma de fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios. Por ejemplo, sumemos las fracciones y . Suma los numeradores y deja el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si agregas pizza a pizza, obtienes pizza:
Ejemplo 2. Suma fracciones y .
La respuesta resultó ser una fracción impropia. Cuando llega el final de la tarea, se acostumbra deshacerse de las fracciones impropias. Para deshacerse de una fracción impropia, debes seleccionar la parte completa. En nuestro caso, la parte entera se aísla fácilmente: dos divididos por dos son uno:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos una pizza que está dividida en dos partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes una pizza entera:
Ejemplo 3. Suma fracciones y .
Nuevamente sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes pizza:
Ejemplo 4. Encuentra el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:
Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizza a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.
Como puedes ver, no hay nada complicado en sumar fracciones con el mismo denominador. Basta entender las siguientes reglas:
- Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios;
Sumar fracciones con diferentes denominadores
Ahora aprendamos a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de las fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.
Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen el mismo denominador.
Pero las fracciones no se pueden sumar de inmediato, ya que estas fracciones diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy veremos sólo uno de ellos, ya que los demás métodos pueden parecer complicados para un principiante.
La esencia de este método es que primero se busca el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego, el MCM se divide por el denominador de la primera fracción para obtener el primer factor adicional. Se hace lo mismo con la segunda fracción: el MCM se divide por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional.
Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones.
Ejemplo 1. Sumemos las fracciones y
En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6
MCM (2 y 3) = 6
Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, divide el MCM por el denominador de la primera fracción y obtén el primer factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Dividimos 6 entre 3 y obtenemos 2.
El número resultante 2 es el primer multiplicador adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, traza una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribe el factor adicional que se encuentra encima:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Dividimos 6 entre 2 y obtenemos 3.
El número 3 resultante es el segundo multiplicador adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, trazamos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y anotamos el factor adicional que se encuentra encima:
Ahora tenemos todo listo para sumar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales:
Mire atentamente a dónde hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:
Esto completa el ejemplo. Resulta sumar .
Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizza a una pizza, obtienes una pizza entera y otra sexta parte de una pizza:
La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo las fracciones y a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por los mismos trozos de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).
El primer dibujo representa una fracción (cuatro piezas de seis) y el segundo dibujo representa una fracción (tres piezas de seis). Sumando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es impropia, por eso resaltamos la parte completa. Como resultado, obtuvimos (una pizza entera y otra sexta pizza).
Tenga en cuenta que hemos descrito este ejemplo demasiado detallado. EN instituciones educativas No es costumbre escribir con tanto detalle. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Si estuviéramos en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:
Pero también hay otra cara de la moneda. Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces empiezan a aparecer preguntas de este tipo. “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.
Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puedes utilizar las siguientes instrucciones paso a paso:
- Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones;
- Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un factor adicional para cada fracción;
- Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales;
- Suma fracciones que tengan los mismos denominadores;
- Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, seleccione su parte entera;
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión. 
.
Utilicemos las instrucciones dadas anteriormente.
Paso 1. Encuentra el MCM de los denominadores de las fracciones.
Encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4.
Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un factor adicional para cada fracción
Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2 y obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la primera fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 entre 3 y obtenemos 4. Obtenemos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos encima de la segunda fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4 y obtenemos 3. Obtenemos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la tercera fracción:
Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales.
Multiplicamos los numeradores y denominadores por sus factores adicionales:
Paso 4. Suma fracciones con los mismos denominadores
Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Ya sólo queda sumar estas fracciones. Súmalo:
La suma no cabía en una línea, por lo que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se pasa a la siguiente línea, y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al principio. nueva linea. El signo igual en la segunda línea indica que se trata de una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.
Paso 5. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, resalta la parte completa.
Nuestra respuesta resultó ser una fracción impropia. Tenemos que resaltar toda una parte de ello. Destacamos:
Recibimos una respuesta
Restar fracciones con denominadores iguales
Hay dos tipos de resta de fracciones:
- Restar fracciones con denominadores iguales
- Restar fracciones con diferentes denominadores
Primero, aprendamos a restar fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para restar otra de una fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción, pero dejar el mismo denominador.
Por ejemplo, encontremos el valor de la expresión. Para resolver este ejemplo, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios. Hagamos esto:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión.
Nuevamente, del numerador de la primera fracción, resta el numerador de la segunda fracción y deja el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción debes restar los numeradores de las fracciones restantes:
Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Basta entender las siguientes reglas:
- Para restar otra de una fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios;
- Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, entonces debes resaltar la parte completa.
Restar fracciones con diferentes denominadores
Por ejemplo, puedes restar una fracción de una fracción porque las fracciones tienen los mismos denominadores. Pero no se puede restar una fracción de una fracción, ya que estas fracciones tienen denominadores diferentes. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
El denominador común se encuentra usando el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe encima de la primera fracción. De manera similar, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, que se escribe encima de la segunda fracción.
Luego las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones.
Ejemplo 1. Encuentra el significado de la expresión:
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes reducirlas al mismo denominador (común).
Primero encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12
MCM (3 y 4) = 12
Ahora volvamos a las fracciones y
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divide 12 entre 3 y obtenemos 4. Escribe un cuatro encima de la primera fracción:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Divide 12 entre 4 y obtenemos 3. Escribe un tres sobre la segunda fracción:
Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:
Recibimos una respuesta
Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si cortas pizza de una pizza, obtienes pizza.
Esta es la versión detallada de la solución. Si estuviéramos en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo de forma más breve. Una solución de este tipo se vería así:
La reducción de fracciones a un denominador común también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo estas fracciones a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez divididas en partes iguales (reducidas al mismo denominador):
La primera imagen muestra una fracción (ocho piezas de doce) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión. 
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes reducirlas al mismo denominador (común).
Encontremos el MCM de los denominadores de estas fracciones.
Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30
MCM(10, 3, 5) = 30
Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de cada fracción.
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la primera fracción es el número 10. Dividimos 30 entre 10 y obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la primera fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. El MCM es el número 30 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 30 entre 3 y obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos encima de la segunda fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. El MCM es el número 30 y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividimos 30 entre 5 y obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la tercera fracción:
Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Terminemos este ejemplo.
La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que la movemos a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:
La respuesta resultó ser una fracción regular, y todo parece convenirnos, pero es demasiado engorroso y feo. Deberíamos hacerlo más sencillo. ¿Qué se puede hacer? Puedes acortar esta fracción.
Para reducir una fracción, debes dividir su numerador y denominador por (MCD) de los números 20 y 30.
Entonces, encontramos el mcd de los números 20 y 30:
Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y denominador de la fracción por el mcd encontrado, es decir, por 10.
Recibimos una respuesta
Multiplicar una fracción por un número
Para multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar el numerador de la fracción dada por ese número y dejar el denominador igual.
Ejemplo 1. Multiplica una fracción por el número 1.
Multiplica el numerador de la fracción por el número 1.
Se puede entender que la grabación toma la mitad del tiempo. Por ejemplo, si tomas pizza una vez, obtendrás pizza.
Por las leyes de la multiplicación sabemos que si se intercambian el multiplicando y el factor, el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:
Esta notación puede entenderse como tomar la mitad de uno. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y le quitamos la mitad, entonces nos quedará pizza:
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la fracción por 4.
La respuesta fue una fracción impropia. Resaltemos toda la parte:
La expresión puede entenderse como tomar dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas 4 pizzas, obtendrás dos pizzas enteras.
Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:
Multiplicar fracciones
Para multiplicar fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, debes resaltar la parte completa.
Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión.
Recibimos una respuesta. Es aconsejable reducir esta fracción. La fracción se puede reducir en 2. Entonces la solución final tomará la siguiente forma:
La expresión puede entenderse como tomar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:
¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:
Y toma dos de estas tres piezas:
Haremos pizza. Recuerda cómo se ve una pizza dividida en tres partes:
Un trozo de esta pizza y los dos trozos que cogimos tendrán las mismas dimensiones:
Es decir, estamos hablando de pizza del mismo tamaño. Por lo tanto el valor de la expresión es
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta fue una fracción impropia. Resaltemos toda la parte:
Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta resultó ser una fracción regular, pero sería bueno si la acortaran. Para reducir esta fracción, debes dividir el numerador y el denominador de esta fracción por el mayor divisor común(MCD) números 105 y 450.
Entonces, encontremos el mcd de los números 105 y 450:
Ahora dividimos el numerador y denominador de nuestra respuesta por el mcd que ahora hemos hallado, es decir, por 15
Representar un número entero como una fracción
Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como. Esto no cambiará el significado de cinco, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y este, como sabemos, es igual a cinco:
Números recíprocos
Ahora nos familiarizaremos con muy tema interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".
Definición. Invertir al númeroa es un número que multiplicado pora da uno.
Sustituyamos en esta definición en lugar de la variable a número 5 e intenta leer la definición:
Invertir al número 5 es un número que multiplicado por 5 da uno.
¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé uno? Resulta que es posible. Imaginemos cinco como fracción:
Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multipliquemos la fracción por sí misma, sólo que al revés:
¿Qué pasará como resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:
Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número , ya que al multiplicar 5 por se obtiene uno.
El recíproco de un número también se puede encontrar para cualquier otro número entero.
También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, simplemente déle la vuelta.
Dividir una fracción por un número
Digamos que tenemos media pizza:
Dividámoslo en partes iguales entre dos. ¿Cuánta pizza recibirá cada persona?
Se puede observar que luego de dividir la mitad de la pizza se obtuvieron dos porciones iguales, cada una de las cuales constituye una pizza. Entonces todos reciben una pizza.
La división de fracciones se realiza mediante recíprocos. Los números recíprocos te permiten reemplazar la división con la multiplicación.
Para dividir una fracción por un número, debes multiplicar la fracción por el inverso del divisor.
Usando esta regla anotaremos la división de nuestra mitad de pizza en dos partes.
Entonces, debes dividir la fracción por el número 2. Aquí el dividendo es la fracción y el divisor es el número 2.
Para dividir una fracción por el número 2, debes multiplicar esta fracción por el recíproco del divisor 2. El recíproco del divisor 2 es la fracción. Entonces necesitas multiplicar por