Conveniente para, habiendo dado un valor específico de la variable independiente x (argumento), calcular el valor correspondiente de la variable dependiente y. Por ejemplo, si se da la función y = x 2, es decir f(x) = x 2, entonces para x = 1 obtenemos y = 1 2 = 1; En resumen, se escribe así: f(1) = 1. Para x = 2 obtenemos f(2) = 2 2 = 4, es decir, y = 4; para x = - 3 obtenemos f(- 3) = (- 3) 2 = 9, es decir, y = 9, etc.
Ya en séptimo grado, tú y yo comenzamos a comprender que en la igualdad y = f(x) el lado derecho, es decir la expresión f(x) no se limita a los cuatro casos enumerados anteriormente (C, kx, kx + m, x 2).
Por ejemplo, ya hemos encontrado funciones por partes, es decir funciones, dado por diferentes fórmulas en diferentes intervalos. Aquí hay una de esas funciones: y = f(x), donde
¿Recuerdas cómo graficar dichas funciones? Primero necesitas construir una parábola y = x 2 y tomar su parte en x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (Figura 2). Y finalmente, debe combinar ambas partes seleccionadas en un dibujo, es decir, construir sobre una plano de coordenadas(ver figura 3).
Ahora nuestra tarea es la siguiente: reponer el stock de funciones estudiadas. EN vida real Hay procesos descritos por varios modelos matemáticos de la forma y = f(x), no solo los que enumeramos anteriormente. En esta sección consideraremos la función y = kx 2, donde coeficiente k es cualquier número distinto de cero.
De hecho, la función y = kx 2 en un caso te resulta un poco familiar. Mira: si k = 1, entonces obtenemos y = x 2; Estudiaste esta función en séptimo grado y probablemente recuerdes que su gráfica es una parábola (Fig. 1). Analicemos qué sucede con otros valores del coeficiente k.
Considere dos funciones: y = 2x 2 e y = 0,5x 2. Hagamos una tabla de valores para la primera función y = 2x 2:
Construyamos los puntos (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) en plano de coordenadas(Figura 4); trazan una determinada línea, dibujémosla (Fig. 5).
Hagamos una tabla de valores para la segunda función y = 0,5x 2:
Construyamos los puntos (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) en el plano de coordenadas (Fig. 6); trazan una determinada línea, dibujémosla (Fig. 7)
.
Los puntos mostrados en la Fig. 4 y 6 a veces se denominan puntos de control para la gráfica de la función correspondiente.
Compara las Figuras 1, 5 y 7. ¿No es cierto que las líneas trazadas son similares? Cada uno de ellos se llama parábola; en este caso, el punto (0; 0) se llama vértice de la parábola y el eje y es el eje de simetría de la parábola. La “velocidad de movimiento ascendente” de las ramas de la parábola o, como también se dice, el “grado de inclinación” de la parábola depende del valor del coeficiente k. Esto es claramente visible en la Fig. 8, donde las tres parábolas construidas arriba están ubicadas en el mismo plano de coordenadas.
La situación es exactamente la misma con cualquier otra función de la forma y = kx 2, donde k > 0. Su gráfica es una parábola con un vértice al principio. coordenadas, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba y cuanto más empinadas, mayor es el coeficiente k. El eje y es el eje de simetría de la parábola. Por cierto, en aras de la brevedad, los matemáticos suelen decir “parábola y = kx 2” en lugar de la frase larga “la parábola sirve como gráfica de la función y = kx 2”, y en lugar del término “eje de simetría de una parábola” utilizan el término “eje de parábola”.
¿Notas que existe una analogía con la función y = kx? Si k > 0, entonces la gráfica de la función y = kx es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas (recuerde, dijimos brevemente: línea recta y = kx), y aquí también, el “grado de inclinación” de la línea recta depende del valor del coeficiente k. Esto es claramente visible en la Fig. 9, donde en un sistema de coordenadas se representan gráficos funciones lineales y = kx para tres valores del coeficiente
Volvamos a la función y = kx 2. Averigüemos cómo son las cosas en el caso de un coeficiente ft negativo. Construyamos, por ejemplo, una gráfica de la función.
y = - x 2 (aquí k = - 1). Creemos una tabla de valores:
Marca los puntos (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) en el plano de coordenadas (Fig. 10); trazan una determinada línea, dibujémosla (Fig. 11). Esta es una parábola con su vértice en el punto (0; 0), el eje y es el eje de simetría, pero a diferencia del caso cuando k > 0, esta vez las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo. La situación es similar para otros. valores negativos coeficiente k.
Entonces, la gráfica de una función es una parábola con su vértice en el origen; el eje y es el eje de la parábola; las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba en k>0 u hacia abajo en k<0.
Observemos también que la parábola y = kx 2 toca el eje x en el punto (0; 0), es decir, una rama de la parábola pasa suavemente a la otra, como si presionara contra el eje x.
Si está construido en un sistema de coordenadas. gráficas de funciones y = x 2 e y = - x2, entonces es fácil ver que estas parábolas son simétricas entre sí con respecto al eje x, lo cual es claramente visible en la Fig. 12. De la misma manera, las parábolas y = 2x 2 e y = - 2x 2 son simétricas entre sí con respecto al eje x (no seas perezoso, construye estas
dos parábolas en el mismo sistema de coordenadas y asegúrese de que la afirmación sea verdadera).
En general, la gráfica de la función y = - f(x) es simétrica a la gráfica de la función y = f(x) con respecto a la abscisa.
Propiedades de la función y = kx 2 para k > 0
Al describir las propiedades de esta función, nos basaremos en su modelo geométrico: una parábola (Fig. 13).
1. Dado que para cualquier valor de x el valor correspondiente de y se puede calcular mediante la fórmula y = kx 2, la función se define en cualquier punto x (para cualquier valor del argumento x). En resumen, se escribe así: el dominio de definición de la función es (-oo, +oo), es decir, toda la línea de coordenadas.
2. y = 0 en x = 0; y > O en . Esto también se puede ver en la gráfica de la función (está completamente ubicada encima del eje x), pero se puede justificar sin la ayuda de una gráfica: si
Entonces kx 2 > O como producto de dos números positivos k y x 2 .
3. y = kx 2 - función continua. Recordemos que por ahora consideramos este término como sinónimo de la frase “la gráfica de una función es una línea continua que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel”. En los grados superiores se dará una interpretación matemática más precisa del concepto de continuidad de una función, sin basarse en ilustraciones geométricas.
4.y/ naim = 0 (logrado en x = 0); nai6 no existe.
Te recordamos que (/nombre es valor más pequeño funciones, y Unaib. - el mayor valor de la función en un intervalo determinado; si no se especifica el intervalo, entonces unaim- e y naib, - respectivamente, el más pequeño y valor más alto funciones en el dominio de la definición.
5. La función y = kx 2 aumenta cuando x > O y disminuye cuando x< 0.
Recordemos que en el curso de álgebra de séptimo grado acordamos llamar a una función cuya gráfica en el intervalo considerado va de izquierda a derecha como si fuera “cuesta arriba”, creciente y función, cuyo gráfico en el intervalo considerado va de izquierda a derecha, como si estuviera "cuesta abajo", está disminuyendo. Más precisamente, podemos decir esto: se dice que la función y = f (x) es creciente en el intervalo X si en este intervalo valor más alto el argumento corresponde a un valor de función mayor; Se dice que una función y = f (x) es decreciente en un intervalo X si en este intervalo un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.
En el libro de texto de Álgebra 7, llamamos al proceso de enumerar las propiedades de una función leer una gráfica. El proceso de leer una gráfica se volverá gradualmente más rico e interesante a medida que aprendamos nuevas propiedades de las funciones. Discutimos las cinco propiedades enumeradas anteriormente en séptimo grado para las funciones que estudiamos allí. Agreguemos una nueva propiedad.
Una función y = f(x) se llama acotada por debajo si todos los valores de la función son mayores que un cierto número. Geométricamente, esto significa que la gráfica de la función se encuentra por encima de un cierto directo, paralelo al eje x.
Ahora mire: la gráfica de la función y = kx 2 se encuentra encima de la línea recta y = - 1 (o y = - 2, no importa); se muestra en la Fig. 13. Esto significa que y - kx2 (k > 0) es una función acotada desde abajo.
Junto con las funciones limitadas por debajo, también se consideran las funciones limitadas por arriba. Se dice que una función y - f(x) está acotada desde arriba si todos los valores de la función son menores que un cierto número. Geométricamente, esto significa que la gráfica de la función se encuentra debajo de una línea recta paralela al eje x.
¿Existe tal recta para la parábola y = kx 2, donde k > 0? No. Esto significa que la función no tiene límite superior.
Entonces, tenemos una propiedad más, agreguémosla a las cinco enumeradas anteriormente.
6. La función y = kx 2 (k > 0) está acotada por debajo y no por arriba.
Propiedades de la función y = kx 2 para k< 0
Al describir las propiedades de esta función, nos basamos en su geometría. modelo- parábola (Fig. 14).
1. El dominio de definición de la función es (-oo, +oo).
2. y = 0 en x = 0; en< 0 при .
Z.y = kx 2 - función continua.
4. y nai6 = 0 (logrado en x = 0), unaim no existe.
5. La función aumenta cuando x< 0, убывает при х > 0.
6. La función está limitada desde arriba y no desde abajo.
Expliquemos la última propiedad: existe una recta paralela al eje x (por ejemplo, y = 1, está dibujada en la Fig. 14), tal que toda la parábola se encuentra debajo de esta recta; esto significa que la función tiene un límite superior. Por otro lado, es imposible trazar una recta paralela al eje x tal que toda la parábola quede situada encima de esta recta; esto significa que la función no está acotada por debajo.
El orden de los movimientos utilizado anteriormente al enumerar las propiedades de una función no es una ley, siempre y cuando se haya desarrollado cronológicamente de esta manera.
Desarrollaremos un orden de movimientos más o menos definido paulatinamente y lo unificaremos en el curso de álgebra de 9º de primaria.
Ejemplo 1. Encuentre los valores más pequeño y más grande de la función y = 2x 2 en el segmento: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].
a) Construyamos una gráfica de la función y = 2x2 y resaltemos su parte en el segmento (Fig. 15). Observamos que 1/nombre. = 0 (logrado en x = 0), e y max = 8 (logrado en x = 2).
b) Construya una gráfica de la función y = 2x2 y resalte su parte en el segmento [- 2, - 1] (Fig. 16). Observamos que 2/max = 2 (logrado en x = - 1) y y max = 8 (logrado en x = - 2).
c) Construyamos una gráfica de la función y = 2x2 y resaltemos su parte en el segmento [- 1, 1.5] (Fig. 17). Observamos que unanm = 0 (logrado en x = 0), y y se logra más en el punto x = 1,5; Calculemos este valor: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Entonces, y máx = 4,5.
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación - x 2 = 2x - 3.
Solución. En el libro de texto "Álgebra-7" desarrollamos algoritmo solución gráfica de ecuaciones, recordémosla.
Para resolver gráficamente la ecuación f(x) = g (x), necesitas:
1) considere dos funciones y = -x 2 e y = 2x -3;
2) construir una gráfica de la función i/ = / (x);
3) construir una gráfica de la función y = g (x);
4) encontrar los puntos de intersección de los gráficos construidos; abscisa
Los sistemas de estos puntos son las raíces de la ecuación f(x) = g (x).
Apliquemos este algoritmo a ecuación dada.
1) Considere dos funciones: y = - x2 e y = 2x - 3.
2) Construyamos una parábola: una gráfica de la función y = - x 2 (Fig. 18).
3) Construyamos una gráfica de la función y = 2x - 3. Esta es una línea recta, para construirla basta con encontrar dos puntos cualesquiera en la gráfica. Si x = 0, entonces y = - 3; si x = 1, entonces y = -1. Entonces, encontramos dos puntos (0; -3) y (1; -1). La línea recta que pasa por estos dos puntos (gráfica de la función y = 2x - 3) se muestra en el mismo dibujo (ver Fig. 18).
4) Según el dibujo, encontramos que la recta y la parábola se cruzan en dos puntos A(1; -1) y B(-3; -9). Medio, ecuación dada tiene dos raíces: 1 y - 3 - estas son las abscisas de los puntos A y B.
Respuesta: 1,-3.
Comentario. Por supuesto, no se puede confiar ciegamente en las ilustraciones gráficas. ¿Quizás simplemente nos parezca que el punto A tiene coordenadas (1; - 1), pero en realidad son diferentes, por ejemplo (0,98; - 1,01)?
Por eso, siempre es útil comprobarlo usted mismo. Entonces, en el ejemplo considerado, debes asegurarte de que el punto A(1; -1) pertenezca a la parábola y = - x 2 (esto es fácil: simplemente sustituye las coordenadas del punto A en la fórmula y = - x 2 ; obtenemos - 1 = - 1 2 - igualdad numérica correcta) y la línea recta y = 2x - 3 (y esto es fácil, simplemente sustituye las coordenadas del punto A en la fórmula y = 2x - 3; obtenemos - 1 = 2-3 - la igualdad numérica correcta). Lo mismo debe hacerse para el punto 8. Esta verificación muestra que en la ecuación considerada, las observaciones gráficas llevaron al resultado correcto.
Ejemplo 3. resolver el sistema
Solución. Transformemos la primera ecuación del sistema a la forma y = - x 2. La gráfica de esta función es una parábola que se muestra en la Fig. 18.
Transformemos la segunda ecuación del sistema a la forma y = 2x - 3. La gráfica de esta función es la línea recta que se muestra en la Fig. 18.
La parábola y la recta se cruzan en los puntos A (1; -1) y B (- 3; - 9). Las coordenadas de estos puntos sirven como soluciones a un sistema de ecuaciones dado.
Respuesta: (1; -1), (-3; -9).
Ejemplo 4. Dada una función y - f (x), donde
Requerido:
a) calcular f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3);
b) construir una gráfica de la función;
c) usa una gráfica para enumerar las propiedades de la función.
a) El valor x = - 4 satisface la condición; por lo tanto, f(-4) debe calcularse usando la primera línea de la definición de la función. Tenemos f(x) = - 0.5x2, lo que significa f(-4) =. -0,5 . (-4) 2 = -8.
De manera similar encontramos:
f(-2) = -0,5 .
(-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 .
0 2 = 0.
El valor satisface la condición, por lo que debe calcularse utilizando la segunda línea de la especificación de la función. Tenemos f(x) = x + 1, lo que significa 
El valor x = 1,5 satisface la condición 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит, f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
De manera similar obtenemos f(2)= 2 .
2 2 =8.
El valor x = 3 no satisface ninguna de las tres condiciones para especificar la función y, por lo tanto, f(3) en en este caso no se puede calcular, el punto x = 3 no pertenece al dominio de definición de la función. La tarea de calcular f(3) es incorrecta.
b) Construiremos el gráfico “pieza a pieza”. Primero, construyamos una parábola y = -0,5x 2 y seleccionemos su parte en el segmento [-4, 0] (Fig. 19). Luego construimos la recta y = x + 1 u. Seleccionemos su parte en el semiintervalo (0, 1] (Fig. 20). A continuación, construiremos una parábola y = 2x2 y seleccionaremos su parte en el semiintervalo (1, 2] (Fig. 21).
Finalmente, representaremos las tres “piezas” en un sistema de coordenadas; obtenemos una gráfica de la función y = f(x) (Fig. 22).
c) Enumeremos las propiedades de la función o, como acordamos decir, leamos la gráfica.
1. El dominio de definición de la función es el segmento [-4, 2].
2. y = 0 en x = 0; y > 0 en 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.
3. La función sufre una discontinuidad en x = 0.
4. La función aumenta en el segmento [-4, 2].
5. La función está limitada tanto desde abajo como desde arriba.
6. y max = -8 (logrado en x = -4); y la mayoría6 . = 8 (logrado en x = 2).
Ejemplo 5. Se da la función y = f(x), donde f(x) = 3x 2. Encontrar.
Una función de la forma donde se llama función cuadrática.
Gráfica de una función cuadrática – parábola.
Consideremos los casos:
CASO I, PARÁBOLA CLÁSICA
Eso es , ,
Para construir, complete la tabla sustituyendo los valores de x en la fórmula:
Marque los puntos (0;0); (1;1); (-1;1), etc. en el plano de coordenadas (cuanto menor sea el paso que demos en los valores de x (en este caso, paso 1), y cuantos más valores de x demos, más suave será la curva), obtenemos una parábola:
Es fácil ver que si tomamos el caso, es decir, obtenemos una parábola que es simétrica con respecto al eje (oh). Es fácil verificar esto completando una tabla similar:
II CASO, “a” ES DIFERENTE DE LA UNIDAD
¿Qué pasará si tomamos , , ? ¿Cómo cambiará el comportamiento de la parábola? Con título="Representado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
En la primera imagen (ver arriba) se ve claramente que los puntos de la tabla de la parábola (1;1), (-1;1) se transformaron en puntos (1;4), (1;-4), es decir, con los mismos valores se multiplica la ordenada de cada punto por 4. Esto sucederá con todos los puntos clave de la tabla original. Razonamos de manera similar en los casos de los cuadros 2 y 3.
Y cuando la parábola “se vuelve más ancha” que la parábola:
Resumamos:
1)El signo del coeficiente determina la dirección de las ramas. Con título="Representado por QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) valor absoluto El coeficiente (módulo) es responsable de la "expansión" y la "compresión" de la parábola. Cuanto más grande, más estrecha es la parábola; cuanto más pequeña |a|, más ancha es la parábola.
CASO III, APARECE “C”
Ahora introduzcamos en el juego (es decir, consideremos el caso en el que), consideraremos parábolas de la forma . No es difícil adivinar (siempre puedes consultar la tabla) que la parábola se desplazará hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje según el signo:
CASO IV, APARECE “b”
¿Cuándo se “separará” la parábola del eje y finalmente “caminará” a lo largo de todo el plano de coordenadas? ¿Cuándo dejará de ser igual?
Aquí para construir una parábola necesitamos. fórmula para calcular el vértice: , .
Entonces, en este punto (como en el punto (0;0) del nuevo sistema de coordenadas) construiremos una parábola, lo cual ya podemos hacer. Si estamos tratando con el caso, entonces desde el vértice colocamos un segmento unitario hacia la derecha, uno hacia arriba, el punto resultante es nuestro (de manera similar, un paso hacia la izquierda, un paso hacia arriba es nuestro punto); si estamos tratando, por ejemplo, desde el vértice colocamos un segmento unitario hacia la derecha, dos hacia arriba, etc.
Por ejemplo, el vértice de una parábola:
Ahora lo principal que hay que entender es que en este vértice construiremos una parábola según el patrón de parábola, porque en nuestro caso.
Al construir una parábola después de encontrar las coordenadas del vértice muyEs conveniente considerar los siguientes puntos:
1) parábola definitivamente pasará por el punto . De hecho, sustituyendo x=0 en la fórmula, obtenemos que . Es decir, la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje (oy) es . En nuestro ejemplo (arriba), la parábola corta la ordenada en el punto , ya que .
2) eje de simetría parábolas es una línea recta, por lo que todos los puntos de la parábola serán simétricos con respecto a ella. En nuestro ejemplo, tomamos inmediatamente el punto (0; -2) y lo construimos simétrico con respecto al eje de simetría de la parábola, obtenemos el punto (4; -2) por el que pasará la parábola.
3) Igualando a , encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje (oh). Para ello, resolvemos la ecuación. Dependiendo del discriminante, obtendremos uno (,), dos ( title="Renderizado por QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . En el ejemplo anterior nuestra raíz del discriminante no es un número entero; al construir no tiene mucho sentido para nosotros encontrar las raíces, pero vemos claramente que tendremos dos puntos de intersección con el eje (oh) (desde title="Representado por QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Así que resolvámoslo
Algoritmo para construir una parábola si se da en la forma
1) determinar la dirección de las ramas (a>0 – arriba, a<0 – вниз)
2) encontramos las coordenadas del vértice de la parábola usando la fórmula, .
3) encontramos el punto de intersección de la parábola con el eje (oy) usando el término libre, construimos un punto simétrico a este punto con respecto al eje de simetría de la parábola (cabe señalar que sucede que no es rentable marcar este punto, por ejemplo, porque el valor es grande... nos saltamos este punto...)
4) En el punto encontrado, el vértice de la parábola (como en el punto (0;0) del nuevo sistema de coordenadas), construimos una parábola. Si título="Representado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje (oy) (si aún no han “emergido”) resolviendo la ecuación
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Nota 1. Si la parábola se nos da inicialmente en la forma , donde están algunos números (por ejemplo, ), entonces será aún más fácil construirla, porque ya nos han dado las coordenadas del vértice . ¿Por qué?
tomemos trinomio cuadrático y resaltar en él cuadrado perfecto: Mira, entonces lo tenemos. Tú y yo antes llamábamos al vértice de una parábola, es decir, ahora.
Por ejemplo, . Marcamos el vértice de la parábola en el plano, entendemos que las ramas se dirigen hacia abajo, la parábola está expandida (con respecto a ). Es decir, realizamos los puntos 1; 3; 4; 5 del algoritmo para construir una parábola (ver arriba).
Nota 2. Si la parábola se da en una forma similar a esta (es decir, presentada como un producto de dos factores lineales), inmediatamente vemos los puntos de intersección de la parábola con el eje (ox). En este caso – (0;0) y (4;0). Por lo demás, actuamos según el algoritmo, abriendo los corchetes.