Энэ хичээлээр бид тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга, тухайлбал алгебрийн нэмэх аргыг үргэлжлүүлэн судлах болно. Эхлээд энэ аргын хэрэглээг жишээн дээр авч үзье шугаман тэгшитгэлба түүний мөн чанар. Тэгшитгэл дэх коэффициентийг хэрхэн тэнцүүлэхийг бас санацгаая. Мөн бид энэ аргыг ашиглан хэд хэдэн асуудлыг шийдэх болно.

Сэдэв: Тэгшитгэлийн системүүд

Хичээл: Алгебрийн нэмэх арга

1. Шугаман системийн жишээг ашиглан алгебрийн нэмэх арга

Ингээд авч үзье алгебрийн нэмэх аргашугаман системийн жишээг ашиглан.

Жишээ 1. Системийг шийд

Хэрэв бид энэ хоёр тэгшитгэлийг нэмбэл y нь хүчингүй болж, x-ийн тэгшитгэл үлдэнэ.

Хэрэв бид эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасвал х-ууд бие биенээ хүчингүй болгож, y-ийн тэгшитгэлийг авна. Энэ бол алгебрийн нэмэх аргын утга юм.

Бид системийг шийдэж, алгебрийн нэмэх аргыг санав. Үүний мөн чанарыг давтан хэлье: бид тэгшитгэлийг нэмж, хасах боломжтой, гэхдээ бид зөвхөн нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг авах ёстой.

2. Коэффициентийг урьдчилан тэнцүүлэх алгебрийн нэмэх арга

Жишээ 2. Системийг шийд

Энэ нэр томъёо нь хоёр тэгшитгэлд байдаг тул алгебрийн нэмэх арга нь тохиромжтой. Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасъя.

Хариулт: (2; -1).

Тиймээс тэгшитгэлийн системд дүн шинжилгээ хийсний дараа энэ нь алгебрийн нэмэх аргад тохиромжтой болохыг харж, хэрэглэж болно.

Өөр нэг шугаман системийг авч үзье.

3. Шугаман бус системийн шийдэл

Жишээ 3. Системийг шийд

Бид y-г арилгахыг хүсч байгаа ч хоёр тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд өөр байна. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийг тэнцүүлж, эхний тэгшитгэлийг 3-аар, хоёр дахь нь 4-ээр үржүүлээрэй.

Жишээ 4. Системийг шийд

Х-ийн коэффициентүүдийг тэнцүүлж үзье

Та үүнийг өөрөөр хийж болно - y-ийн коэффициентийг тэнцүүлээрэй.

Бид алгебрийн нэмэх аргыг хоёр удаа хэрэглэж системийг шийдсэн.

Алгебрийн нэмэх арга нь шугаман бус системийг шийдвэрлэхэд ч бас хамаатай.

Жишээ 5. Системийг шийд

Эдгээр тэгшитгэлүүдийг нэмээд у-г хасъя.

Алгебрийн нэмэх аргыг хоёр удаа хэрэглэснээр ижил системийг шийдэж болно. Нэг тэгшитгэлээс нөгөөг нэмж хасъя.

Жишээ 6. Системийг шийд

Хариулт:

Жишээ 7. Системийг шийд

Алгебрийн нэмэх аргыг ашигласнаар бид xy гишүүнчлэлээс салах болно. Эхний тэгшитгэлийг -ээр үржүүлье.

Эхний тэгшитгэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа бөгөөд хоёр дахь тэгшитгэлийн оронд бид алгебрийн нийлбэрийг бичнэ.

Хариулт:

Жишээ 8. Системийг шийд

Төгс квадратыг тусгаарлахын тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлнэ.

Бидний даалгавар бол дөрвөн энгийн системийг шийдэх явдал байв.

4. Дүгнэлт

Шугаман болон шугаман бус системийг шийдвэрлэх жишээн дээр бид алгебрийн нэмэх аргыг судалсан. Дараагийн хичээлээр бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг авч үзэх болно.

1. Мордкович А.Г., Алгебр 9-р анги: Сурах бичиг. Ерөнхий боловсролын хувьд Байгууллага.- 4-р хэвлэл. - М.: Мнемосине, 2002.-192 х.: өвчтэй.

2. Mordkovich A.G. et al. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй.

3. Макарычев Ю.Алгебр. 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын сурагчдад зориулсан. байгууллагууд / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов. - 7-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - М.: Мнемосине, 2008.

4. Алимов Ш., Колягин Ю., Сидоров Ю. 9-р анги. 16 дахь хэвлэл. - М., 2011. - 287 х.

5. Мордкович A. G. Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: 2010. - 224 х.: өвчтэй.

6. Алгебр. 9-р анги. 2 хэсэгтэй. 2-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан асуудлын ном / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina болон бусад; Эд. A. G. Мордкович. - 12-р хэвлэл, Илч. - М.: 2010.-223 х.: өвчтэй.

1. Коллежийн хэсэг. Математик дахь ru.

2. “Даалгавар” интернет төсөл.

3. Боловсролын портал"БИ ХЭРЭГЛЭЭГ ШИЙДЭХ болно."

1. Mordkovich A.G. et al. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй. № 125 - 127.

Та тухайн сэдвээр хичээлийн төлөвлөгөөг татаж авах хэрэгтэй » Алгебрийн нэмэх арга?

Хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн систем нь бүх нийтлэг шийдийг олох шаардлагатай хоёр ба түүнээс дээш шугаман тэгшитгэл юм. Бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно. Ерөнхий хэлбэрХоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг доорх зурагт үзүүлэв.

( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Энд x, y нь үл мэдэгдэх хувьсагч, a1, a2, b1, b2, c1, c2 зарим бодит тоонууд юм. Хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь хос тоо (x,y) бөгөөд хэрэв бид эдгээр тоог системийн тэгшитгэлд орлуулж үзвэл системийн тэгшитгэл бүр жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирна. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэд хэдэн арга байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудын нэг болох нэмэх аргыг авч үзье.

Нэмэх аргаар шийдвэрлэх алгоритм

Хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийдвэрлэх алгоритм.

1. Шаардлагатай бол эквивалент хувиргалтын аргаар хоёр тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх хувьсагчийн аль нэгийн коэффициентийг тэнцүүл.

2. Үүссэн тэгшитгэлүүдийг нэмэх, хасах замаар нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийг ол

3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг үл мэдэгдэхтэй шийдэж, нэг хувьсагчийг ол.

4. Үүссэн илэрхийллийг системийн хоёр тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулж, энэ тэгшитгэлийг шийдэж, хоёр дахь хувьсагчийг гарга.

5. Уусмалыг шалгана уу.

Нэмэх аргыг ашиглан шийдлийн жишээ

Илүү тодорхой болгохын тулд нэмэх аргыг ашиглан хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн дараах системийг шийдье.

(3*х + 2*у = 10;
(5*х + 3*у = 12;

Хувьсагчдын аль нь ч ижил коэффициентгүй тул бид y хувьсагчийн коэффициентүүдийг тэнцүүлнэ. Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгшитгэлийг гурав, хоёр дахь тэгшитгэлийг хоёроор үржүүлнэ.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*х + 3*у = 12 |*2

Бид авдаг Дараахь тэгшитгэлийн систем:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Одоо бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасна. Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж, үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийддэг.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Бид үүссэн утгыг анхны системийнхээ эхний тэгшитгэлд орлуулж, үүссэн тэгшитгэлийг шийднэ.

(3*(-6) + 2*у =10;
(2*y=28; у =14;

Үр дүн нь x=6 ба y=14 хос тоо юм. Бид шалгаж байна. Сэлгээ хийцгээе.

(3*х + 2*у = 10;
(5*х + 3*у = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Таны харж байгаагаар бид хоёр зөв тэгшитгэл авсан тул зөв шийдлийг олсон.

Тэгшитгэлийн системийг эдийн засгийн салбарт математик загварчлалд өргөн ашигладаг янз бүрийн процессууд. Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн менежмент, төлөвлөлт, логистикийн маршрут (тээврийн асуудал) эсвэл тоног төхөөрөмжийг байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд.

Тэгшитгэлийн системийг зөвхөн математикт төдийгүй физик, хими, биологи, хүн амын тоог олох асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Шугаман тэгшитгэлийн систем гэдэг нь нийтлэг шийдлийг олох шаардлагатай хэд хэдэн хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл юм. Бүх тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болох эсвэл дараалал байхгүй гэдгийг нотлох тоонуудын ийм дараалал.

Шугаман тэгшитгэл

ax+by=c хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман гэнэ. x, y тэмдэглэгээ нь утгыг нь олох ёстой үл мэдэгдэх зүйлс, b, a нь хувьсагчдын коэффициент, в нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн юм.
Тэгшитгэлийг зурах замаар шийдэх нь бүх цэгүүд нь олон гишүүнтийн шийдэл болох шулуун шугам шиг харагдана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн төрлүүд

Хамгийн энгийн жишээ бол X ба Y гэсэн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд юм.

F1(x, y) = 0 ба F2(x, y) = 0, энд F1,2 нь функц, (x, y) нь функцын хувьсагч юм.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэх - Энэ нь систем жинхэнэ тэгш байдал болж хувирах утгуудыг (x, y) олох эсвэл x ба y-ийн тохирох утгууд байхгүй болохыг тогтооно гэсэн үг юм.

Цэгийн координат хэлбэрээр бичигдсэн хос утгыг (x, y) шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв системүүд нэг нийтлэг шийдэлтэй эсвэл шийдэл байхгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системүүд нь баруун тал нь тэгтэй тэнцүү систем юм. Хэрэв тэнцүү тэмдгийн дараа баруун хэсэг нь утгатай эсвэл функцээр илэрхийлэгддэг бол ийм систем нь гетероген байна.

Хувьсагчийн тоо хоёроос хамаагүй их байж болно, тэгвэл бид гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг ярих хэрэгтэй.

Системтэй тулгарах үед сургуулийн сурагчид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой заавал давхцах ёстой гэж үздэг боловч энэ нь тийм биш юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчдаас хамаардаггүй;

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд төвөгтэй аргууд

Ийм системийг шийдвэрлэх ерөнхий аналитик арга байхгүй; бүх аргууд нь тоон шийдэл дээр суурилдаг. IN сургуулийн курсМатематик нь орлуулах, алгебрийн нэмэх, орлуулах аргууд, түүнчлэн график ба матрицын аргууд, Гауссын аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан тодорхойлдог.

Шийдлийн аргуудыг заах гол ажил бол системд хэрхэн зөв дүн шинжилгээ хийх, жишээ тус бүрийн оновчтой шийдлийн алгоритмыг олоход сургах явдал юм. Хамгийн гол нь арга тус бүрийн дүрэм, үйлдлийн системийг цээжлэх биш, харин тодорхой аргыг ашиглах зарчмуудыг ойлгох явдал юм.

Ерөнхий боловсролын 7-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх нь маш энгийн бөгөөд нарийвчлан тайлбарласан болно. Аливаа математикийн сурах бичигт энэ хэсэгт хангалттай анхаарал хандуулдаг. Гаусс ба Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээг дээд боловсролын эхний жилүүдэд илүү нарийвчлан судалдаг.

Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Орлуулах аргын үйлдэл нь нэг хувьсагчийн утгыг хоёр дахь хувьсагчаар илэрхийлэхэд чиглэгддэг. Илэрхийлэлийг үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсагчтай хэлбэрт буулгана. Үйлдэл нь систем дэх үл мэдэгдэх тооноос хамаарч давтагдана

Орлуулах аргыг ашиглан 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдлийг өгье.

Жишээнээс харахад х хувьсагчийг F(X) = 7 + Y-ээр илэрхийлсэн. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь X-ийн оронд системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулсан нь 2-р тэгшитгэлд нэг Y хувьсагчийг авахад тусалсан. . Шийдэл энэ жишээхүндрэл учруулахгүй бөгөөд Y утгыг олж авах боломжийг олгодог хамгийн сүүлийн алхам бол олж авсан утгыг шалгах явдал юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг орлуулах замаар шийдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгшитгэлүүд нь төвөгтэй байж болох ба хувьсагчийг хоёр дахь үл мэдэгдэх байдлаар илэрхийлэх нь цаашдын тооцоололд хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Системд 3-аас дээш үл мэдэгдэх зүйл байвал орлуулах замаар шийдвэрлэх нь бас тохиромжгүй.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдэл:

Алгебрийн нэмэлтийг ашиглан шийдэл

Нэмэх аргыг ашиглан системийн шийдлүүдийг хайхдаа тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмэх, үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг. өөр өөр тоо. Математик үйлдлүүдийн эцсийн зорилго нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Энэ аргыг хэрэглэх нь дадлага, ажиглалт шаарддаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг 3 ба түүнээс дээш хувьсагчтай үед нэмэх аргыг ашиглан шийдвэрлэх нь тийм ч хялбар биш юм. Тэгшитгэл нь бутархай ба аравтын бутархайг агуулсан үед алгебрийн нэмэлтийг ашиглахад тохиромжтой.

Шийдлийн алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлнэ. Арифметик үйлдлийн үр дүнд хувьсагчийн нэг коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой.
2. Үүссэн илэрхийлэлийг гишүүнээр нэмээд үл мэдэгдэх нэгийг ол.
3. Үлдсэн хувьсагчийг олохын тулд үүссэн утгыг системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулна.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар шийдвэрлэх арга

Хэрэв систем нь хоёроос илүүгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олохыг шаарддаг бол үл мэдэгдэх тоо хоёроос илүүгүй байх шаардлагатай бол шинэ хувьсагчийг оруулж болно.

Энэ аргыг шинэ хувьсагч оруулах замаар нэг тэгшитгэлийг хялбарчлахад ашигладаг. Шинэ тэгшитгэлийг танилцуулсан үл мэдэгдэх зүйлийг шийдэж, үр дүнгийн утгыг анхны хувьсагчийг тодорхойлоход ашиглана.

t шинэ хувьсагчийг оруулснаар системийн 1-р тэгшитгэлийг стандарт болгон бууруулах боломжтой байсныг жишээ харуулж байна. квадрат гурвалжин. Дискриминантыг олох замаар олон гишүүнтийг шийдэж болно.

Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан ялгаварлагчийн утгыг олох шаардлагатай: D = b2 - 4*a*c, энд D нь хүссэн дискриминант, b, a, c нь олон гишүүнтийн хүчин зүйлүүд юм. Өгөгдсөн жишээнд a=1, b=16, c=39, тиймээс D=100. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс их бол хоёр шийдэл байна: t = -b±√D / 2*a, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол нэг шийдэл байна: x = -b / 2*a.

Үүссэн системүүдийн шийдлийг нэмэх аргаар олно.

Системийг шийдвэрлэх харааны арга

3 тэгшитгэлийн системд тохиромжтой. Арга нь дээр тулгуурлах явдал юм координатын тэнхлэгсистемд орсон тэгшитгэл бүрийн график. Муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд мөн байх болно ерөнхий шийдвэрсистемүүд.

График арга нь хэд хэдэн нюанстай байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг визуал аргаар шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээнээс харахад мөр бүрт хоёр цэгийг байгуулж, x хувьсагчийн утгыг дур мэдэн сонгосон: 0 ба 3. x-ийн утгуудад үндэслэн y-ийн утгыг олов: 3 ба 0. График дээр (0, 3) ба (3, 0) координаттай цэгүүдийг тэмдэглэж, шугамаар холбосон.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд алхамуудыг давтах ёстой. Шугамануудын огтлолцох цэг нь системийн шийдэл юм.

IN дараах жишээ 0.5x-y+2=0 ба 0.5x-y-1=0 гэсэн шугаман тэгшитгэлийн системийн график шийдийг олох хэрэгтэй.

Графикууд параллель бөгөөд бүхэл бүтэн уртаараа огтлолцдоггүй тул жишээнээс харахад системд шийдэл байхгүй.

2 ба 3-р жишээн дээрх системүүд нь ижил төстэй боловч бүтээгдсэн үед тэдгээрийн шийдэл нь өөр болох нь тодорхой болно. Системд шийдэл байгаа эсэхийг үргэлж хэлэх боломжгүй гэдгийг санах нь зүйтэй бөгөөд энэ нь үргэлж график байгуулах шаардлагатай байдаг.

Матриц ба түүний сортууд

Матрицыг шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичихэд ашигладаг. Матриц бол хүснэгт юм тусгай төрөлтоогоор дүүргэсэн. n*m нь n - мөр, m - баганатай.

Багана, мөрийн тоо тэнцүү байх үед матриц нь квадрат юм. Матриц-вектор гэдэг нь хязгааргүй тооны мөр бүхий нэг баганын матриц юм. Диагональ ба бусад тэг элементүүдийн дагуу нэг нь бүхий матрицыг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг.

Урвуу матриц нь үржүүлбэл анхны матриц нь нэгж матриц болж хувирдаг матриц нь зөвхөн анхны квадратын хувьд л байдаг.

Тэгшитгэлийн системийг матриц руу хөрвүүлэх дүрэм

Тэгшитгэлийн системтэй холбоотойгоор тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нөхцөлийг матрицын тоогоор бичдэг нэг тэгшитгэл нь матрицын нэг эгнээ;

Хэрэв мөрийн ядаж нэг элемент тэг биш байвал матрицын мөрийг тэгээс өөр гэж нэрлэдэг. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн тоо өөр байвал алга болсон үл мэдэгдэхийн оронд тэг оруулах шаардлагатай.

Матрицын баганууд нь хувьсагчидтай яг тохирч байх ёстой. Энэ нь х хувьсагчийн коэффициентийг зөвхөн нэг баганад, жишээлбэл, эхнийх нь үл мэдэгдэх у-ийн коэффициентийг зөвхөн хоёр дахь хэсэгт бичиж болно гэсэн үг юм.

Матрицыг үржүүлэхдээ матрицын бүх элементүүдийг тоогоор дараалан үржүүлнэ.

Урвуу матрицыг олох сонголтууд

Урвуу матрицыг олох томьёо нь маш энгийн: K -1 = 1 / |K|, K -1 нь урвуу матриц ба |K| матрицын тодорхойлогч юм. |K| тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тэгвэл систем шийдэлтэй болно.

Тодорхойлогчийг хоёроос хоёр матрицад хялбархан тооцдог, та диагональ элементүүдийг бие биенээр нь үржүүлэхэд л хангалттай. “Гурав гурваар” гэсэн хувилбарын хувьд |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 томъёо байна. + a 3 b 2 c 1 . Та томьёог ашиглаж болно, эсвэл ажил дээр багана, мөрийн элементийн тоо давтагдахгүйн тулд мөр, багана бүрээс нэг элемент авах хэрэгтэй гэдгийг санаж болно.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх

Шийдвэр олох матрицын арга нь олон тооны хувьсагч, тэгшитгэл бүхий системийг шийдвэрлэхэд төвөгтэй оруулгуудыг багасгах боломжийг олгодог.

Жишээн дээр a nm нь тэгшитгэлийн коэффициентууд, матриц нь вектор x n хувьсагч, b n нь чөлөөт нэр томъёо юм.

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Дээд математикт Гауссын аргыг Крамерын аргатай хамт судалдаг бөгөөд системийн шийдлийг олох үйл явцыг Гаусс-Крамерын шийдлийн арга гэж нэрлэдэг. Эдгээр аргуудыг олоход ашигладаг хувьсах системүүдолон тооны шугаман тэгшитгэлтэй.

Гауссын арга нь орлуулалт, алгебрийн нэмэх замаар шийдлүүдтэй маш төстэй боловч илүү системтэй байдаг. Сургуулийн хичээл дээр Гауссын аргын шийдлийг 3 ба 4 тэгшитгэлийн системд ашигладаг. Аргын зорилго нь системийг урвуу трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулах явдал юм. By алгебрийн хувиргалтба орлуулалт, нэг хувьсагчийн утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олно. Хоёр дахь тэгшитгэл нь 2 үл мэдэгдэх илэрхийлэл бөгөөд 3 ба 4 нь 3 ба 4 хувьсагчтай байна.

Системийг тодорхойлсон хэлбэрт оруулсны дараа дараагийн шийдлийг системийн тэгшитгэлд мэдэгдэж буй хувьсагчдыг дараалан орлуулах хүртэл бууруулна.

7-р ангийн сургуулийн сурах бичигт Гауссын аргын шийдлийн жишээг дараах байдлаар дүрсэлсэн болно.

Жишээнээс харахад (3) алхам дээр 3х 3 -2х 4 =11 ба 3х 3 +2х 4 =7 гэсэн хоёр тэгшитгэл гарсан. Аливаа тэгшитгэлийг шийдэх нь x n хувьсагчийн аль нэгийг олох боломжийг олгоно.

Бичвэрт дурдсан теорем 5-д хэрэв системийн тэгшитгэлийн аль нэгийг ижил тэгшитгэлээр сольсон тохиолдолд үүссэн систем нь анхныхтай тэнцүү байх болно гэж заасан.

Гауссын аргыг оюутнууд ойлгоход хэцүү байдаг ахлах сургууль, гэхдээ хамгийн олон нь сонирхолтой арга замуудМатематик, физикийн ангиудад гүнзгийрүүлсэн сургалтад хамрагдаж буй хүүхдүүдийн авъяас чадварыг хөгжүүлэх.

Бичлэг хийхэд хялбар байх үүднээс тооцооллыг ихэвчлэн дараах байдлаар хийдэг.

Тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог матрицын хэлбэрээр бичсэн бөгөөд матрицын мөр бүр нь системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд тохирч байна. тэгшитгэлийн зүүн талыг баруун талаас нь тусгаарлана. Ромын тоо нь систем дэх тэгшитгэлийн тоог заана.

Эхлээд ажиллах матрицыг бичээд дараа нь аль нэг мөрийг ашиглан хийсэн бүх үйлдлийг бичнэ үү. Үүссэн матрицыг "сум" тэмдгийн дараа бичиж, үр дүнд хүрэх хүртэл шаардлагатай алгебрийн үйлдлүүдийг үргэлжлүүлнэ.

Үр дүн нь диагональуудын аль нэг нь 1, бусад бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матриц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл матрицыг нэгж хэлбэрээр бууруулна. Бид тэгшитгэлийн хоёр талд тоогоор тооцоо хийхээ мартаж болохгүй.

Энэхүү бичлэг хийх арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд олон тооны үл мэдэгдэх зүйлсийг жагсаахад анхаарлаа сарниулахгүй байх боломжийг олгодог.

Аливаа шийдлийн аргыг үнэ төлбөргүй ашиглах нь анхаарал халамж, зарим туршлага шаарддаг. Бүх аргууд нь хэрэглээний шинж чанартай байдаггүй. Шийдэл олох зарим аргууд нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны тодорхой салбарт илүү тохиромжтой байдаг бол зарим нь боловсролын зорилгоор байдаг.

Энэхүү математикийн программыг ашигласнаар та хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах арга болон нэмэх аргыг ашиглан шийдэж болно.

Хөтөлбөр нь зөвхөн асуудлын хариултыг өгдөг төдийгүй бас өгдөг нарийвчилсан шийдэлОрлуулах арга ба нэмэх арга гэсэн хоёр аргаар шийдлийн алхамуудын тайлбартай.

Энэ хөтөлбөр нь ерөнхий боловсролын сургуулийн ахлах ангийн сурагчдад бэлтгэхэд хэрэг болно туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварМатематик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Тэгшитгэл оруулах дүрэм

Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.
Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) гэх мэт.

Тэгшитгэл оруулах үед та хаалт ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг эхлээд хялбаршуулсан болно. Хялбаршуулсаны дараах тэгшитгэл нь шугаман байх ёстой, i.e. ax+by+c=0 хэлбэрийн элементүүдийн эрэмбийн нарийвчлалтай.
Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2

Тэгшитгэлд та зөвхөн бүхэл тоо төдийгүй бутархайг аравтын бутархай, энгийн бутархай хэлбэрээр ашиглаж болно.

Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Бүхэл ба бутархай хэсгүүд аравтын бутархайцэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээ нь: 2.1н + 3.5м = 55

Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.
Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.
Тоон бутархай оруулахдаа тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. /
Бүхэл хэсгийг бутархайгаас амперсанд тэмдгээр тусгаарлана. &

Жишээ.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Орлуулах арга

Орлуулах аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн зарим тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх;
2) гарсан илэрхийллийг энэ хувьсагчийн оронд системийн өөр тэгшитгэлд орлуулах;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний тэгшитгэлээс у-г х-ээр илэрхийлье: y = 7-3x. Хоёр дахь тэгшитгэлд y-ийн оронд 7-3x илэрхийлэлийг орлуулснаар бид дараах системийг олж авна.
$$ \left\( \begin(массив)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний болон хоёр дахь систем нь ижил шийдэлтэй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Хоёр дахь системд хоёр дахь тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна. Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Баруун сум -5x+14-6x=3 \Баруун сум -11x=-11 \Баруун сум x=1 $$

y=7-3x тэгшитгэлд х-ийн оронд 1-ийн тоог орлуулснаар y-ийн харгалзах утгыг олно.
$$ y=7-3 \cdot 1 \Баруун сум y=4 $$

Хос (1;4) - системийн шийдэл

Ижил шийдэлтэй хоёр хувьсагчийн тэгшитгэлийн системийг гэнэ тэнцүү. Шийдэлгүй системийг мөн адил тэнцүү гэж үзнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх замаар шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх өөр нэг арга - нэмэх аргыг авч үзье. Системийг ийм байдлаар шийдвэрлэх, мөн орлуулах замаар шийдвэрлэх үед бид энэ системээс өөр, ижил төстэй системд шилждэг бөгөөд тэгшитгэлийн аль нэг нь зөвхөн нэг хувьсагчтай байдаг.

Нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн нэр томъёоны тэгшитгэлийг нэр томъёогоор үржүүлж, аль нэг хувьсагчийн коэффициентүүд нь эсрэг тоо болохын тулд хүчин зүйлийг сонгох;
2) системийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нь нэмэх;
3) үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийдэх;
4) хоёр дахь хувьсагчийн харгалзах утгыг ол.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг шийдье:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

Энэ системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд юм. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нэмснээр нэг хувьсагч 3x=33 тэгшитгэл гарна. Системийн нэг тэгшитгэлийг жишээ нь эхнийх нь 3x=33 тэгшитгэлээр сольж үзье. Системээ авч үзье
$$ \left\( \begin(массив)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

3x=33 тэгшитгэлээс бид x=11 болохыг олж мэднэ. Энэ x утгыг \(x-3y=38\) тэгшитгэлд орлуулснаар y хувьсагчтай тэгшитгэл гарч ирнэ: \(11-3y=38\). Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
\(-3y=27 \Баруун сум у=-9 \)

Тиймээс бид тэгшитгэлийн системийн шийдийг нэмэх замаар олсон: \(x=11; y=-9\) эсвэл \((11;-9)\)

Системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд байдгийг ашиглан бид түүний шийдлийг эквивалент системийн шийдэл болгон (эхний системийн тэгшитгэл бүрийн хоёр талыг нэгтгэн) багасгасан. тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна.

Ном (сурах бичиг) Улсын нэгдсэн шалгалтын хураангуй болон Улсын нэгдсэн шалгалтын тестийн онлайн тоглоомууд, оньсого тоглоомууд Функцийн графикуудыг зурах Орос хэлний зөв бичгийн дүрмийн толь бичиг Орос сургуулийн залуучуудын хэллэгийн толь бичиг ОХУ-ын дунд боловсролын байгууллагуудын каталог Оросын их дээд сургуулиудын каталогийн жагсаалт даалгавруудын

Энэ видеогоор би тэгшитгэлийн системд зориулсан цуврал хичээлүүдийг эхлүүлж байна. Өнөөдөр бид шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх талаар ярих болно нэмэх арга- энэ бол хамгийн томуудын нэг юм энгийн аргууд, гэхдээ тэр үед хамгийн үр дүнтэй нэг юм.

Нэмэх арга нь гурван энгийн алхамаас бүрдэнэ.

1. Системийг хараад тэгшитгэл бүрт ижил (эсвэл эсрэг) коэффициент бүхий хувьсагчийг сонгох;
2. Алгебрийн хасах (эсрэг тоонуудын хувьд - нэмэх) тэгшитгэлийг бие биенээсээ хийж, дараа нь ижил төстэй нэр томъёог авчрах;
3. Хоёр дахь алхамын дараа олж авсан шинэ тэгшитгэлийг шийд.

Хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол гаралт дээр бид нэг тэгшитгэлийг авах болно нэг хувьсагчтай- Үүнийг шийдвэрлэхэд хэцүү биш байх болно. Дараа нь олсон үндсийг анхны системд орлуулж, эцсийн хариултыг авах л үлдлээ.

Гэсэн хэдий ч практик дээр бүх зүйл тийм ч хялбар биш юм. Үүнд хэд хэдэн шалтгаан бий:

• Нэмэх аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдэх нь бүх мөрөнд тэнцүү/эсрэг коэффициент бүхий хувьсагчийг агуулсан байх ёстой гэсэн үг юм. Хэрэв энэ шаардлагыг хангаагүй бол яах вэ?
• Үргэлж биш, заасан аргаар тэгшитгэлийг нэмж/хасах замаар бид амархан шийдэж болохуйц сайхан бүтэцтэй болно. Тооцооллыг ямар нэгэн байдлаар хялбарчилж, тооцоог хурдасгах боломжтой юу?

Эдгээр асуултын хариултыг авахын тулд, мөн олон оюутнуудын чадаагүй байгаа хэд хэдэн нэмэлт нарийн ширийн зүйлийг ойлгохын тулд миний видео хичээлийг үзээрэй.

Энэ хичээлээр бид тэгшитгэлийн системд зориулсан цуврал лекцүүдийг эхлүүлж байна. Мөн бид тэдгээрийн хамгийн энгийнээс, тухайлбал хоёр тэгшитгэл, хоёр хувьсагч агуулсан зүйлсээс эхэлнэ. Тэд тус бүр нь шугаман байх болно.

Системүүд нь 7-р ангийн материал боловч энэ хичээл нь энэ сэдвээр мэдлэгээ сайжруулахыг хүсдэг ахлах ангийн сурагчдад бас хэрэг болно.

Ерөнхийдөө ийм системийг шийдэх хоёр арга байдаг:

1. Нэмэх арга;
2. Нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх арга.

Өнөөдөр бид эхний аргыг авч үзэх болно - бид хасах, нэмэх аргыг ашиглах болно. Гэхдээ үүнийг хийхийн тулд та дараах баримтыг ойлгох хэрэгтэй: хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэлтэй бол та тэдгээрийн аль нэгийг нь авч, бие биедээ нэмж болно. Тэд гишүүнээр нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл. “Х”-д “Х”-ийг нэмээд төсөөтэйг нь өгөөд, “Y”-тэй “Y”-ийг дахин адилхан, тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа зүйлийг мөн хооронд нь нэмж, ижил төстэйг нь мөн тэнд өгнө. .

Ийм заль мэхний үр дүн нь шинэ тэгшитгэл байх бөгөөд хэрэв энэ нь үндэстэй бол тэдгээр нь анхны тэгшитгэлийн язгуурт багтах нь гарцаагүй. Тиймээс бидний даалгавар бол хасах буюу нэмэхийг $x$ эсвэл $y$-ийн аль нэг нь алга болох байдлаар хийх явдал юм.

Үүнд хэрхэн хүрэх, ямар хэрэгсэл ашиглах вэ - бид одоо энэ талаар ярих болно.

Нэмэлтийг ашиглан хялбар асуудлыг шийдвэрлэх

Тиймээс бид хоёр энгийн илэрхийллийн жишээг ашиглан нэмэх аргыг ашиглаж сурдаг.

Даалгавар №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(зохицуулах) \баруун.\]

$y$ нь эхний тэгшитгэлд $-4$, хоёрдугаарт $+4$-ийн коэффициенттэй болохыг анхаарна уу. Эдгээр нь хоорондоо эсрэгээрээ байдаг тул хэрэв бид тэдгээрийг нэгтгэвэл "тоглоомууд" харилцан устах болно гэж үзэх нь логик юм. Үүнийг нэмээд аваарай:

Хамгийн энгийн барилгын ажлыг шийдье:

Гайхалтай, бид "x"-ийг олсон. Үүнийг бид одоо яах ёстой вэ? Бид үүнийг ямар ч тэгшитгэлд орлуулах эрхтэй. Эхнийх нь орлуулъя:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \баруун) \баруун.\]

Хариулт: $\left(2;-3 \right)$.

Асуудал №2

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Энд байгаа нөхцөл байдал нь зөвхөн "X"-тэй төстэй юм. Тэдгээрийг нэмье:

Бидэнд хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэл байгаа тул үүнийг шийдье:

Одоо $x$-г олцгооё:

Хариулт: $\left(-3;3 \right)$.

Чухал цэгүүд

Тиймээс бид нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн хоёр энгийн системийг шийдсэн. Дахин гол цэгүүд:

1. Хэрэв нэг хувьсагчийн хувьд эсрэг коэффициент байгаа бол тэгшитгэлд байгаа бүх хувьсагчдыг нэмэх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн нэг нь устах болно.
2. Бид системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олсон хувьсагчийг орлуулж, хоёр дахьыг нь олно.
3. Эцсийн хариу бичлэгийг янз бүрийн хэлбэрээр танилцуулж болно. Жишээ нь: $x=...,y=...$, эсвэл цэгүүдийн координат хэлбэрээр - $\left(...;... \right)$. Хоёр дахь сонголт нь илүү тохиромжтой. Анхаарах гол зүйл бол эхний координат нь $x$, хоёр дахь нь $y$ юм.
4. Хариултыг цэгийн координат хэлбэрээр бичих дүрэм үргэлж хэрэгждэггүй. Жишээлбэл, хувьсагч нь $x$ ба $y$ биш, жишээлбэл, $a$ ба $b$ үед үүнийг ашиглах боломжгүй.

Дараах бодлогод коэффициентүүд нь эсрэгээрээ биш үед хасах арга техникийг авч үзэх болно.

Хасах аргыг ашиглан хялбар бодлого бодох

Даалгавар №1

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Энд эсрэг коэффициент байхгүй, гэхдээ ижил коэффициентүүд байдаг гэдгийг анхаарна уу. Тиймээс бид эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасна.

Одоо бид $ x $ утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэг дээр орлуулж байна. Эхлээд явцгаая:

Хариулт: $\left(2;5\right)$.

Асуудал №2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\ end(эгц) \баруун.\]

Эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлд бид $5$-ын ижил коэффициентийг $x$-д дахин харж байна. Тиймээс эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасах шаардлагатай гэж үзэх нь логик юм.

Бид нэг хувьсагчийг тооцоолсон. Одоо жишээлбэл, $y$ утгыг хоёр дахь конструкцид орлуулах замаар хоёрдахыг олъё:

Хариулт: $\left(-3;-2 \right)$.

Шийдлийн нюансууд

Тэгэхээр бид юу харж байна вэ? Үндсэндээ уг схем нь өмнөх системүүдийн шийдлээс ялгаатай биш юм. Ганц ялгаа нь бид тэгшитгэлийг нэмдэггүй, харин хасдаг. Бид алгебрийн хасах үйлдлийг хийж байна.

Өөрөөр хэлбэл, хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлээс бүрдсэн системийг хармагцаа хамгийн түрүүнд анхаарах зүйл бол коэффициентүүд юм. Хаана ч адилхан байвал тэгшитгэлийг хасч, эсрэгээрээ байвал нэмэх аргыг хэрэглэнэ. Үүнийг үргэлж хийдэг бөгөөд ингэснээр тэдгээрийн аль нэг нь алга болох ба хасахын дараа үлдэх эцсийн тэгшитгэлд зөвхөн нэг хувьсагч үлдэнэ.

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь бүгд биш юм. Одоо бид тэгшитгэлүүд нь ерөнхийдөө нийцэхгүй байгаа системийг авч үзэх болно. Тэдгээр. Тэдгээрийн дотор ижил эсвэл эсрэг талын хувьсагч байхгүй. Энэ тохиолдолд ийм системийг шийдэхийн тулд тэгшитгэл бүрийг тусгай коэффициентээр үржүүлэх нэмэлт аргыг ашигладаг. Үүнийг хэрхэн олох, ийм системийг ерөнхийд нь хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид одоо ярих болно.

Коэффицентээр үржүүлэх замаар асуудлыг шийдвэрлэх

Жишээ №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид $x$ ч, $y$-ын хувьд ч коэффициентүүд нь хоорондоо эсрэгээрээ төдийгүй бусад тэгшитгэлтэй ямар ч хамааралгүй байгааг бид харж байна. Хэдий бид тэгшитгэлүүдийг бие биенээсээ нэмж хассан ч эдгээр коэффициентүүд ямар ч байдлаар алга болохгүй. Тиймээс үржүүлэх аргыг хэрэглэх шаардлагатай. $y$ хувьсагчаас салахыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэлийн $y$-ийн коэффициентээр, хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлийн $y$-ийн коэффициентээр тэмдгээ хөндөлгүй үржүүлнэ. Бид үржүүлж, шинэ системийг олж авдаг:

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Үүнийг харцгаая: $y$-д коэффициентүүд эсрэгээрээ байна. Ийм нөхцөлд нэмэлт аргыг ашиглах шаардлагатай. Нэмье:

Одоо бид $y$ олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхний илэрхийлэлд $x$-г орлуулна уу:

\[-9y=18\зүүн| :\left(-9 \баруун) \баруун.\]

Хариулт: $\left(4;-2 \right)$.

Жишээ №2

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Дахин хэлэхэд, аль ч хувьсагчийн коэффициентүүд тогтмол биш байна. $y$-ийн коэффициентүүдээр үржүүлье:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \баруун. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \баруун. \\\ end(align) \баруун .\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Манай шинэ системөмнөхтэй тэнцүү боловч $y$-ийн коэффициентүүд нь эсрэгээрээ байдаг тул энд нэмэх аргыг хэрэглэхэд хялбар байдаг.

Одоо эхний тэгшитгэлд $x$-г орлуулж $y$-г олъё:

Хариулт: $\left(-2;1 \right)$.

Шийдлийн нюансууд

Энд гол дүрэм бол дараахь зүйл юм: бид үргэлж эерэг тоогоор үржүүлдэг - энэ нь таныг тэмдгийг өөрчлөхтэй холбоотой тэнэг, доромжилсон алдаанаас аврах болно. Ерөнхийдөө шийдлийн схем нь маш энгийн:

1. Бид системийг харж, тэгшитгэл бүрийг шинжилдэг.
2. Хэрэв бид $y$ ч, $x$ ч биш гэдгийг харвал коэффицентүүд нь тогтмол биш, i.e. тэдгээр нь тэнцүү ч биш, эсрэгээрээ ч биш, дараа нь бид дараахь зүйлийг хийнэ: бид арилгах шаардлагатай хувьсагчийг сонгоод дараа нь эдгээр тэгшитгэлийн коэффициентүүдийг харна. Хэрэв бид эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь коэффициентээр үржүүлж, хоёр дахь нь эхнийхээс коэффициентээр үржүүлбэл эцэст нь өмнөхтэй бүрэн тэнцэх систем, $ коэффициентийг авах болно. y$ тогтвортой байх болно. Бидний бүх үйлдэл эсвэл хувиргалт нь зөвхөн нэг хувьсагчийг нэг тэгшитгэлд оруулахад чиглэгддэг.
3. Бид нэг хувьсагчийг олдог.
4. Олдсон хувьсагчийг системийн хоёр тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулж, хоёр дахь нь олно.
5. $x$ ба $y$ хувьсагчтай бол бид хариултыг цэгийн координат хэлбэрээр бичдэг.

Гэхдээ ийм энгийн алгоритм ч гэсэн өөрийн гэсэн нарийн шинж чанартай байдаг, жишээлбэл, $ x $ эсвэл $ y $ коэффициентүүд нь бутархай болон бусад "муухай" тоонууд байж болно. Одоо бид эдгээр тохиолдлуудыг тусад нь авч үзэх болно, учир нь тэдгээрт та стандарт алгоритмаас арай өөрөөр ажиллах боломжтой.

Бутархайтай бодлого бодох

Жишээ №1

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 4м-3n=32 \\& 0.8м+2.5n=-6 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Нэгдүгээрт, хоёр дахь тэгшитгэл нь бутархайг агуулж байгааг анхаарна уу. Гэхдээ та 4 долларыг 0.8 доллараар хувааж болно гэдгийг анхаарна уу. Бид 5 доллар авна. Хоёр дахь тэгшитгэлийг 5 доллараар үржүүлье:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 4м-3n=32 \\& 4м+12.5м=-30 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид тэгшитгэлүүдийг бие биенээсээ хасдаг:

Бид $n$-г оллоо, одоо $m$-г тоолъё:

Хариулт: $n=-4;м=5$

Жишээ №2

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& 2.5p+1.5k=-13\зүүн| 4 \баруун. \\& 2p-5k=2\зүүн| 5 \баруун. \\\төгсгөл(зохицуулах)\ зөв.\]

Энд өмнөх системийн нэгэн адил бутархай коэффициентүүд байдаг боловч аль ч хувьсагчийн хувьд коэффициентүүд нь бие биедээ бүхэл тооны удаа таарахгүй. Тиймээс бид стандарт алгоритмыг ашигладаг. $p$-аас салах:

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& 5p+3k=-26 \\& 5п-12.5к=5 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид хасах аргыг ашигладаг:

Хоёрдахь бүтцэд $k$-г орлуулах замаар $p$-г олъё:

Хариулт: $p=-4;k=-2$.

Шийдлийн нюансууд

Энэ бол бүх оновчлол юм. Эхний тэгшитгэл дээр бид юугаар ч үржүүлээгүй, харин хоёр дахь тэгшитгэлийг 5 доллараар үржүүлсэн. Үүний үр дүнд бид эхний хувьсагчийн хувьд тууштай, бүр ижил тэгшитгэлийг хүлээн авсан. Хоёр дахь системд бид стандарт алгоритмыг дагаж мөрдсөн.

Гэхдээ тэгшитгэлийг үржүүлэх тоог хэрхэн олох вэ? Эцсийн эцэст, хэрэв бид бутархайгаар үржүүлбэл бид шинэ бутархай болно. Тиймээс бутархайг шинэ бүхэл тоо өгөх тоогоор үржүүлж, дараа нь стандарт алгоритмын дагуу хувьсагчдыг коэффициентээр үржүүлэх ёстой.

Эцэст нь хэлэхэд, хариултыг бичих хэлбэрт анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна. Би аль хэдийн хэлсэнчлэн энд $ x $ ба $ y $ биш, харин бусад утгууд байгаа тул бид маягтын стандарт бус тэмдэглэгээг ашигладаг.

Нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Өнөөдрийн видео хичээлийн эцсийн тэмдэглэл болгон үнэхээр төвөгтэй хэд хэдэн системийг харцгаая. Тэдний нарийн төвөгтэй байдал нь зүүн ба баруун талд хувьсагчтай байх явдал юм. Тиймээс тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд бид урьдчилсан боловсруулалт хийх шаардлагатай болно.

Системийн дугаар 1

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 3\зүүн(2x-y \баруун)+5=-2\зүүн(x+3y ​​\баруун)+4 \\& 6\зүүн(y+1) \баруун )-1=5\зүүн(2х-1 \баруун)+8 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Тэгшитгэл бүр тодорхой нарийн төвөгтэй байдлыг агуулдаг. Тиймээс илэрхийлэл бүрийг ердийн шугаман бүтээцтэй гэж үзье.

Нийтдээ бид анхны системтэй тэнцэх эцсийн системийг авдаг.

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

$y$-ийн коэффициентүүдийг харцгаая: $3$ нь $6$-д хоёр удаа таарч байгаа тул эхний тэгшитгэлийг $2$-оор үржүүлье:

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

$y$-ийн коэффициентүүд одоо тэнцүү байгаа тул эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасна: $$

Одоо $y$-г олцгооё:

Хариулт: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Системийн дугаар 2

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& 4\зүүн(a-3b \баруун)-2a=3\зүүн(b+4 \баруун)-11 \\& -3\зүүн(b-2a \баруун) )-12=2\зүүн(a-5 \баруун)+b \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Эхний илэрхийлэлийг өөрчилье:

Хоёрдахьтай нь харцгаая:

\[-3\зүүн(b-2a \баруун)-12=2\зүүн(a-5 \баруун)+б\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Нийтдээ бидний анхны систем дараах хэлбэрийг авна.

\[\зүүн\( \эхлэх(зөвшүүлэх)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

$a$-ийн коэффициентүүдийг харахад эхний тэгшитгэлийг $2$-оор үржүүлэх шаардлагатай байгааг бид харж байна.

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Эхний бүтээн байгуулалтаас хоёр дахь хэсгийг хасна:

Одоо $a$-г олцгооё:

Хариулт: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Тэгээд л болоо. Энэхүү видео заавар нь энгийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх энэ хэцүү сэдвийг ойлгоход тусална гэж найдаж байна. Энэ сэдвээр өөр олон хичээл байх болно: бид илүү ихийг үзэх болно нарийн төвөгтэй жишээнүүд, энд илүү олон хувьсагч байх ба тэгшитгэлүүд нь аль хэдийн шугаман бус байх болно. Дараа уулзая!