Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Аливаа түвшний нарийн төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь эцэстээ хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг. Мөн үүнд хамгийн сайн туслагчдахин тригонометрийн тойрог болж хувирав.
Косинус ба синусын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.
Өнцгийн косинус нь дээрх цэгийн абсцисса (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн дагуух координат) юм. нэгж тойрог, өгөгдсөн өнцгөөр эргүүлэхэд харгалзах.
Өнцөгний синус нь тухайн өнцгөөр эргэхэд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн ординат (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн дагуух координат) юм.
Хөдөлгөөний эерэг чиглэл тригонометрийн тойрогЦагийн зүүний эсрэг хөдөлгөөнийг авч үзнэ. 0 градусын эргэлт (эсвэл 0 радиан) нь координаттай (1;0) цэгтэй тохирч байна.
Бид эдгээр тодорхойлолтыг энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг.
1. Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэл нь тойрог дээрх ординат нь -тэй тэнцүү цэгүүдэд тохирох эргэлтийн өнцгийн бүх утгуудаар хангагдана.
Ординат тэнхлэг дээр ординаттай цэгийг тэмдэглэе.
Х тэнхлэгтэй параллель хэвтээ шугамыг тойрогтой огтлолцох хүртэл зурна. Бид тойрог дээр хэвтэж, ординаттай хоёр оноо авдаг. Эдгээр цэгүүд нь эргэлтийн өнцөг ба радиантай тохирч байна:
Хэрэв бид радианд ногдох эргэлтийн өнцөгт тохирох цэгийг орхиод бүтэн тойргийг тойрох юм бол радианд ногдох эргэлтийн өнцөгт тохирох цэгт хүрнэ. Өөрөөр хэлбэл, энэ эргэлтийн өнцөг нь бидний тэгшитгэлийг хангаж байна. Бид хүссэн хэмжээгээрээ "сул" эргэлт хийж, ижил цэг рүү буцаж очих боломжтой бөгөөд эдгээр бүх өнцгийн утгууд нь бидний тэгшитгэлийг хангана. "Хөдөлгөөнгүй" эргэлтүүдийн тоог үсгээр (эсвэл) тэмдэглэнэ. Бид эдгээр хувьсгалыг эерэг ба сөрөг аль алинаар нь хийж чадах тул (эсвэл) дурын бүхэл утгыг авч болно.
Өөрөөр хэлбэл, анхны тэгшитгэлийн шийдлүүдийн эхний цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.
, , - бүхэл тооны багц (1)
Үүний нэгэн адил хоёр дахь цуврал шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
, Хаана, . (2)
Таны таамаглаж байсанчлан энэхүү цуврал шийдлүүд нь тойрог дээрх эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэг дээр суурилдаг.
Эдгээр хоёр цуврал шийдлийг нэг оруулгад нэгтгэж болно:
Хэрэв бид энэ оруулгад (өөрөөр хэлбэл, бүр) авбал эхний цуврал шийдлүүдийг авах болно.
Хэрэв бид энэ оруулгад (өөрөөр хэлбэл, сондгой) авбал хоёр дахь цуврал шийдлүүдийг авна.
2. Одоо тэгшитгэлээ шийдье
Энэ нь өнцгөөр эргүүлэх замаар олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн абсцисса тул бид тэнхлэг дээрх абсцисс бүхий цэгийг тэмдэглэнэ.
Тойрогтой огтлолцох хүртэл тэнхлэгтэй зэрэгцээ босоо шугамыг зур. Бид тойрог дээр хэвтэж, абсциссатай хоёр оноо авна. Эдгээр цэгүүд нь эргэлтийн өнцөг ба радиантай тохирч байна. Цагийн зүүний дагуу хөдөлж байх үед бид сөрөг эргэлтийн өнцгийг олж авдаг гэдгийг санаарай.
Хоёр цуврал шийдлийг бичье:
,
,
(Бид үндсэн бүтэн тойргоос гарах замаар хүссэн цэг рүүгээ хүрдэг, өөрөөр хэлбэл.
Эдгээр хоёр цувралыг нэг оруулгад нэгтгэцгээе:
3. Тэгшитгэлийг шийд
Шүргэх шугам нь OY тэнхлэгтэй параллель нэгж тойргийн координат (1,0) цэгийг дайран өнгөрдөг.
Үүн дээр 1-тэй тэнцүү ординат бүхий цэгийг тэмдэглэе (бид аль өнцөг нь 1-тэй тэнцүү байх тангенсыг хайж байна):
Энэ цэгийг координатын эхтэй шулуун шугамаар холбож, шугамын огтлолцох цэгүүдийг нэгж тойрогтой тэмдэглэе. Шулуун шугам ба тойргийн огтлолцлын цэгүүд нь эргэх өнцөгтэй тохирч байна.
Бидний тэгшитгэлийг хангах эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэгүүд бие биенээсээ радиан зайд оршдог тул бид шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
4. Тэгшитгэлийг шийд
Котангентын шугам нь тэнхлэгтэй параллель нэгж тойргийн координаттай цэгээр дамжин өнгөрдөг.
Котангенсийн шулуун дээр абсцисса -1-тэй цэгийг тэмдэглэе.
Энэ цэгийг шулуун шугамын эхтэй холбож, тойрогтой огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлье. Энэ шулуун шугам нь тойрог болон радиануудын эргэлтийн өнцөгт тохирох цэгүүдээр тойргийг огтолно.
Эдгээр цэгүүд бие биенээсээ -тэй тэнцүү зайгаар тусгаарлагдсан тул ерөнхий шийдэлБид энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг харуулсан жишээнүүдэд тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтэн утгыг ашигласан болно.
Гэсэн хэдий ч, тэгшитгэлийн баруун талд хүснэгт бус утгыг агуулж байвал бид утгыг тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд орлуулна.
ТУСГАЙ ШИЙДЭЛ:
Ординат нь 0 байх тойрог дээрх цэгүүдийг тэмдэглэе.
Ординат нь 1 байх тойрог дээрх ганц цэгийг тэмдэглэе.
Ординат нь -1-тэй тэнцүү тойрог дээр нэг цэгийг тэмдэглэе.
Тэгтэй ойролцоо утгыг зааж өгдөг заншилтай тул бид шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.
Тойрог дээрх абсцисс нь 0-тэй тэнцүү цэгүүдийг тэмдэглэе.
5.
Тойрог дээрх абсцисс нь 1-тэй тэнцүү нэг цэгийг тэмдэглэе.
Тойрог дээрх абсцисс нь -1-тэй тэнцүү нэг цэгийг тэмдэглэе.
Мөн арай илүү төвөгтэй жишээнүүд:
1.
Аргумент нь тэнцүү бол синус нь нэгтэй тэнцүү байна
Бидний синусын аргумент тэнцүү тул бид дараахь зүйлийг авна.
Тэгш байдлын хоёр талыг 3-т хуваая:
Хариулт:
2.
Косинусын аргумент бол косинус тэг болно
Манай косинусын аргумент нь -тэй тэнцүү тул бид дараахь зүйлийг олж авна.
Үүнийг хийхийн тулд эхлээд эсрэг тэмдгээр баруун тийш шилжинэ.
Баруун талыг хялбарчилъя:
Хоёр талыг -2-т хуваана:
k нь бүхэл тоон утгыг авч болох тул нэр томьёоны өмнөх тэмдэг өөрчлөгдөхгүй гэдгийг анхаарна уу.
Хариулт:
Эцэст нь "Тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийг ашиглан сонгох" видео хичээлийг үзээрэй тригонометрийн тойрог"
Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тухай бидний яриа үүгээр өндөрлөв. Дараагийн удаа бид хэрхэн шийдэх талаар ярилцах болно.
Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.
Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:
- Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
- Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай гэж үзвэл хуулийн дагуу шүүхийн журам, хуулийн процесст болон/эсвэл олон нийтийн лавлагаа эсвэл хүсэлтийн үндсэн дээр төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг дүрмээр бол томъёогоор шийддэг. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x нь олох өнцөг,
a нь дурын тоо юм.
Эдгээр хамгийн энгийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг нэн даруй бичиж болох томьёо энд байна.
Синусын хувьд:
Косинусын хувьд:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Шүргэгчийн хувьд:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Котангентын хувьд:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Үнэндээ энэ бол хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онолын хэсэг юм. Түүнээс гадна бүх зүйл!) Юу ч биш. Гэсэн хэдий ч, энэ сэдвийн алдааны тоо зүгээр л графикаас гадуур байна. Ялангуяа жишээ нь загвараас бага зэрэг хазайсан бол. Яагаад?
Тийм ээ, олон хүмүүс эдгээр захидлыг бичдэг учраас Тэдний утгыг огт ойлгохгүйгээр!Тэр ямар нэг зүйл тохиолдох вий гэж болгоомжтой бичдэг ...) Үүнийг цэгцлэх хэрэгтэй. Хүмүүст зориулсан тригонометр, эсвэл тригонометрийн хувьд хүмүүс!?)
Үүнийг олж мэдье?
Нэг өнцөг нь тэнцүү байх болно arccos a, хоёрдугаарт: -arccos a.
Мөн энэ нь үргэлж ийм байдлаар ажиллах болно.Дурын хувьд А.
Хэрэв та надад итгэхгүй байгаа бол хулганаа зурган дээр гүйлгээрэй, эсвэл таблет дээрх зурган дээр хүрнэ үү.) Би дугаарыг өөрчилсөн. А сөрөг зүйлд. Ямар ч байсан бид нэг булантай arccos a, хоёрдугаарт: -arccos a.
Тиймээс хариултыг үргэлж хоёр цуврал үндэс болгон бичиж болно.
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Эдгээр хоёр цувралыг нэг цуврал болгон нэгтгэцгээе:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Тэгээд л болоо. Бид косинустай хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий томъёог олж авлаа.
Хэрэв та энэ нь ямар нэгэн шинжлэх ухааны дээд мэргэн ухаан биш гэдгийг ойлгож байгаа бол зүгээр л хоёр цуврал хариултын товчилсон хувилбар,Та мөн "C" даалгавруудыг гүйцэтгэх боломжтой болно. Тэгш бус байдлаар, өгөгдсөн интервалаас үндсийг сонгох замаар... Тэнд нэмэх/хасах хариулт ажиллахгүй байна. Гэхдээ хэрэв та хариултыг ажил хэрэгч байдлаар авч, хоёр тусдаа хариулт болгон задлах юм бол бүх зүйл шийдэгдэх болно.) Үнэндээ бид үүнийг судалж байгаа юм. Юу, яаж, хаана.
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлд
sinx = a
Бид бас хоёр цуврал үндэс авдаг. Үргэлж. Мөн энэ хоёр цувралыг бас бичиж болно нэг мөрөнд. Зөвхөн энэ мөр нь илүү төвөгтэй байх болно:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Гэхдээ мөн чанар нь хэвээрээ байна. Математикчид язгуурын цувааны хоёр оруулгын оронд нэгийг хийх томьёог зохиосон. Ингээд л болоо!
Математикчдыг шалгацгаая? Та хэзээ ч мэдэхгүй ...)
Өмнөх хичээлээр синустай тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг (ямар ч томьёогүй) дэлгэрэнгүй авч үзсэн.
Хариулт нь хоёр цуврал үндэстэй болсон:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Хэрэв бид ижил тэгшитгэлийг томъёогоор шийдвэл бид дараах хариултыг авна.
x = (-1) n арксин 0.5 + π n, n ∈ Z
Үнэндээ энэ бол дуусаагүй хариулт.) Оюутан үүнийг мэдэх ёстой arcsin 0.5 = π /6.Бүрэн хариулт нь:
x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z
Эндээс үүсдэг сонирхолтой асуулт. -ээр хариулах x 1; x 2 (энэ бол зөв хариулт!) болон ганцаардлаар дамжуулан X (мөн энэ бол зөв хариулт!) - тэд ижил зүйл үү, үгүй юу? Бид одоо олж мэдэх болно.)
Бид хариултыг гэж орлоно x 1 үнэт зүйлс n =0; 1; 2; гэх мэт, бид тоолж, бид хэд хэдэн үндэс авдаг:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 гэх мэт.
-ийн хариуд ижил орлуулалтаар x 2 , бид авах:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 гэх мэт.
Одоо утгуудыг орлуулж үзье n (0; 1; 2; 3; 4...) дангийн ерөнхий томъёонд оруулна X . Өөрөөр хэлбэл, бид хасах нэгийг тэг хүч рүү, дараа нь эхний, хоёр дахь гэх мэт рүү өсгөнө. Мэдээжийн хэрэг, бид хоёр дахь гишүүнд 0-ийг орлуулна; 1; 2 3; 4 гэх мэт. Тэгээд бид тоолдог. Бид цувралыг авдаг:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 гэх мэт.
Үүнийг л харж болно.) Ерөнхий томъёо нь бидэнд өгдөг яг ижил үр дүнхоёр хариулт нь тус тусад нь байдаг. Зүгээр л бүгдийг нэг дор, дарааллаар нь. Математикчид хууртаагүй.)
Тангенс ба котангенс бүхий тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог мөн шалгаж болно. Гэхдээ бид тэгэхгүй.) Тэд аль хэдийн энгийн.
Би энэ бүх орлуулалт, баталгаажуулалтыг тусгайлан бичсэн. Энд нэг зүйлийг ойлгох нь чухал энгийн зүйл: энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх томьёо байдаг, хариултуудын товч тойм.Үүнийг товчлохын тулд бид косинусын уусмалд нэмэх/хасах, синусын уусмалд (-1) n-ийг оруулах шаардлагатай болсон.
Эдгээр оруулга нь энгийн тэгшитгэлийн хариултыг бичихэд л шаардлагатай даалгавруудад ямар ч байдлаар саад болохгүй. Гэхдээ хэрэв та тэгш бус байдлыг шийдэх шаардлагатай бол эсвэл хариултын дагуу ямар нэг зүйл хийх шаардлагатай бол: интервал дээр үндэс сонгох, ODZ-ийг шалгах гэх мэт эдгээр оруулгууд нь хүнийг амархан тайвшруулж болно.
Тэгэхээр би яах ёстой вэ? Тийм ээ, хариултыг хоёр цувралаар бичнэ үү, эсвэл тригонометрийн тойрог ашиглан тэгшитгэл/тэгш бусыг шийднэ үү. Дараа нь эдгээр оруулгууд алга болж, амьдрал илүү хялбар болно.)
Бид нэгтгэн дүгнэж болно.
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бэлэн хариултын томъёо байдаг. Дөрвөн ширхэг. Тэд тэгшитгэлийн шийдлийг шууд бичихэд тохиромжтой. Жишээлбэл, та тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:
sinx = 0.3
Амархан: x = (-1) n арксин 0.3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0.2
Асуудалгүй: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1.2
Амархан: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3.7
Нэг үлдсэн: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1.8
Хэрэв та мэдлэгээр гялалзаж байгаа бол тэр даруй хариултаа бичээрэй.
x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z
тэгвэл чи аль хэдийн гялалзаж байна, энэ... тэр... шалбаагнаас.) Зөв хариулт: шийдэл байхгүй. Яагаад ойлгохгүй байна уу? Нуман косинус гэж юу болохыг уншина уу. Нэмж дурдахад, хэрэв анхны тэгшитгэлийн баруун талд синус, косинус, тангенс, котангенсийн хүснэгтийн утгууд байвал - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 гэх мэт. - нуман хаалгаар дамжуулан хариулт нь дуусаагүй болно. Аркуудыг радиан болгон хувиргах ёстой.
Хэрэв та тэгш бус байдалтай тулгарвал лайк
тэгээд хариулт нь:
x πn, n ∈ Z
ховор утгагүй зүйл байдаг, тиймээ ...) Энд та тригонометрийн тойрог ашиглан шийдэх хэрэгтэй. Бид холбогдох сэдвээр юу хийх вэ.
Эдгээр мөрүүдийг баатарлагаар уншсан хүмүүст зориулав. Би таны асар их хүчин чармайлтыг үнэлэхгүй байхын аргагүй юм. Танд зориулсан урамшуулал.)
Бонус:
Байлдааны түгшүүртэй нөхцөл байдалд томьёо бичихдээ туршлагатай тэнэгүүд ч хаана байхаа мэдэхгүй эргэлздэг πn, мөн хаана 2π n. Энд танд энгийн нэгэн арга байна. онд хүн бүртомьёо үнэ цэнэтэй πn. Нуман косинус бүхий цорын ганц томьёог эс тооцвол. Тэнд зогсож байна 2πn. Хоёр penen. Түлхүүр үг - хоёр.Үүнтэй ижил томъёонд байдаг хоёрэхэнд гарын үсэг зурна. Нэмэх ба хасах. Тэгээд тэнд, тэнд - хоёр.
Хэрэв та бичсэн бол хоёрНумын косинусын өмнө тэмдэг тавьснаар төгсгөлд юу болохыг санах нь илүү хялбар болно хоёр penen. Мөн энэ нь эсрэгээрээ тохиолддог. Тухайн хүн тэмдгийг алдах болно ± , төгсгөлд нь хүрдэг, зөв бичдэг хоёрПиен, тэгвэл тэр ухаан орох болно. Цаашид ямар нэг зүйл байна хоёртэмдэг! Хүн эхэндээ эргэж ирээд алдаагаа засна! Үүнтэй адил.)
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)
Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.
Олон асуудлыг шийдэхэд математикийн асуудлууд , ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Ийм асуудалд жишээлбэл шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл ба квадрат болж буурдаг тэгшитгэл. Дээр дурдсан асуудал бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: та ямар төрлийн асуудлыг шийдэж байгаагаа тодорхойлох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.
Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилтанд хүрэх эсвэл бүтэлгүйтэх нь үндсэндээ шийдэгдэж буй тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргахаас хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай байх шаардлагатай.
Нөхцөл байдал өөр байна тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.
By гадаад төрхтэгшитгэл, заримдаа түүний төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.
1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.
Ингээд авч үзье тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.
I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах
Шийдлийн диаграм
Алхам 1.Тригонометрийн функцийг мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийл.
Алхам 2.Томьёог ашиглан функцийн аргументыг ол:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Алхам 3.Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.
Жишээ.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Шийдэл.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Хариулт: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Хувьсах солих
Шийдлийн диаграм
Алхам 1.Тригонометрийн функцүүдийн аль нэгтэй нь хамааруулан тэгшитгэлийг алгебр хэлбэрт буулга.
Алхам 2.Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).
Алхам 3.Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.
Алхам 4.Урвуу орлуулалт хийх.
Алхам 5.Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
Жишээ.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Шийдэл.
1) 2(1 – нүгэл 2 (х/2)) – 5син (х/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Гүн (x/2) = t, энд |t| ≤ 1.
3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;
t = 1 эсвэл e = -3/2, |t| нөхцөлийг хангахгүй ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Тэгшитгэлийн эрэмбийг багасгах арга
Шийдлийн диаграм
Алхам 1.Солих өгөгдсөн тэгшитгэлшугаман, зэргийг бууруулах томъёог ашиглан:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Алхам 2.Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.
Жишээ.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Шийдэл.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Хариулт: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл
Шийдлийн диаграм
Алхам 1.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруул
a) a sin x + b cos x = 0 (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл)
эсвэл харах
б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).
Алхам 2.Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
tan x-ийн тэгшитгэлийг олоорой:
a) хүрэн x + b = 0;
б) бор 2 x + b арктан x + c = 0.
Алхам 3.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.
Жишээ.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Шийдэл.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) tg x = t гэж үзье
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 эсвэл t = -4 гэсэн үг
tg x = 1 эсвэл tg x = -4.
Эхний тэгшитгэлээс x = π/4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Хариулт: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга
Шийдлийн диаграм
Алхам 1.Бүх төрлийн хэрэглээ тригонометрийн томъёо, энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргаар шийдсэн тэгшитгэл болгон бууруул.
Алхам 2.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан үүссэн тэгшитгэлийг шийд.
Жишээ.
нүгэл х + гэм 2х + гэм 3х = 0.
Шийдэл.
1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;
Эхний тэгшитгэлээс 2x = π/2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.
Бидэнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Үүний үр дүнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Хариулт: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх чадвар, ур чадвар маш их 
чухал нь тэдний хөгжилд оюутан болон багшийн зүгээс ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг.
Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд нь тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг. Ийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судлах замаар олж авсан олон мэдлэг, ур чадварыг агуулдаг.
Тригонометрийн тэгшитгэл нь математик сурах үйл явц, ерөнхийдөө хувь хүний хөгжилд чухал байр суурь эзэлдэг.
Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
Синус (sin x) ба косинус (cos x) тригонометрийн функцүүдийн талаархи лавлагаа мэдээлэл. Геометрийн тодорхойлолт, шинж чанар, график, томьёо. Синус ба косинусын хүснэгт, дериватив, интеграл, цуваа тэлэлт, секант, косекант. Нарийн төвөгтэй хувьсагчаар дамжуулан илэрхийлэл. Гиперболик функцуудтай холболт.
Синус ба косинусын геометрийн тодорхойлолт
|BD|- нэг цэг дээр төвтэй тойргийн нумын урт А.
α
- радианаар илэрхийлсэн өнцөг.
Тодорхойлолт
Синус (нүгэл α)нь гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц юм зөв гурвалжин, харьцаатай тэнцүү байнаэсрэг талын урт |BC| гипотенузын уртыг |AC|.
Косинус (cos α)нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд зэргэлдээх хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |AB| гипотенузын уртыг |AC|.
Зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ
;
;
.
;
;
.
Синусын функцийн график, y = sin x
Косинусын функцийн график, y = cos x
Синус ба косинусын шинж чанарууд
Үе үе
y = функцууд гэм хба у = cos xүетэй үе үе 2π.
Паритет
Синусын функц нь сондгой юм. Косинусын функц тэгш байна.
Тодорхойлолт ба утгын домэйн, экстремум, өсөлт, бууралт
Синус ба косинусын функцууд нь тодорхойлолтын муждаа, өөрөөр хэлбэл бүх x-ийн хувьд тасралтгүй байдаг (тасралтгүй байдлын баталгааг үзнэ үү). Тэдний үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв (n - бүхэл тоо).
| у = гэм х | у = cos x | |
| Хамрах хүрээ ба тасралтгүй байдал | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Утгын хүрээ | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Өсөж байна | ||
| Бууж байна | ||
| Максима, у = 1 | ||
| Минимум, у = - 1 | ||
| Тэг, у = 0 | ||
| Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0 | у = 0 | у = 1 |
Үндсэн томъёо
Синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр
Нийлбэр ба ялгавараас синус ба косинусын томъёо
;
;
Синус ба косинусын үржвэрийн томъёо
Нийлбэр ба ялгааны томъёо
Косинусаар дамжуулан синусыг илэрхийлэх
;
;
;
.
Косинусыг синусаар илэрхийлэх
;
;
;
.
Шүргэгчээр илэрхийлэх
; .
Хэзээ, бидэнд байна:
;
.
:
;
.
Синус ба косинус, тангенс ба котангентын хүснэгт
Энэ хүснэгтэд аргументийн тодорхой утгуудын синус ба косинусын утгыг харуулав. 
Нарийн төвөгтэй хувьсагчаар дамжуулан илэрхийлсэн илэрхийллүүд
;
Эйлерийн томъёо
{ -∞ < x < +∞ }
Секант, косекант
Урвуу функцууд
Урвуу функцуудсинус ба косинус нь арксин ба арккосинус юм.
Арксин, арксин
Арккосин, аркос
Ашигласан уран зохиол:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.