Конусын хажуугийн гадаргууг хэрхэн олох вэ. Конусын нийт гадаргуугийн талбай нь

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та сонирхож байвал энэ ажил, бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.

Хичээлийн төрөл:асуудалд суурилсан хөгжүүлэх заах аргын элементүүдийг ашиглан шинэ материал сурах хичээл.

Хичээлийн зорилго:

• боловсролын:
  • шинэ зүйлтэй танилцах математикийн ойлголт;
  • шинэ сургалтын төвүүдийг бий болгох;
  • практик асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг бий болгох.
• хөгжиж буй:
  • оюутнуудын бие даасан сэтгэлгээг хөгжүүлэх;
  • ур чадварыг хөгжүүлэх зөв яриасургуулийн сурагчид.
• боловсролын:
  • багаар ажиллах чадварыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн тоног төхөөрөмж:соронзон самбар, компьютер, дэлгэц, мультимедиа проектор, конус загвар, хичээлийн танилцуулга, тараах материал.

Хичээлийн зорилго (Оюутнуудад зориулсан):

• шинэ геометрийн ойлголттой танилцах - конус;
• конусын гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёог гаргаж авах;
• практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ олж авсан мэдлэгээ ашиглаж сурах.

Хичээлийн явц

I шат. Зохион байгуулалтын.

Гэрээсээ дэвтэр буцааж өгч байна туршилтын ажилхамрагдсан сэдвээр.

Оюутнуудыг таавар тааж удахгүй болох хичээлийн сэдвийг олж мэдэхийг урьж байна (слайд 1):

Зураг 1.

Хичээлийн сэдэв, зорилгыг оюутнуудад зарлах (слайд 2).

II шат. Шинэ материалын тайлбар.

1) Багшийн лекц.

Самбар дээр конусын зурагтай ширээ байна. Шинэ материал"Стереометр" хөтөлбөрийн материалтай хамт тайлбарлав. Дэлгэц дээр конусын гурван хэмжээст дүрс гарч ирнэ. Багш конусын тодорхойлолтыг өгч, түүний элементүүдийн талаар ярьдаг. (слайд 3). Конус гэдэг нь тэгш өнцөгт гурвалжинг хөлтэй харьцуулахад эргэлдэж буй бие юм. (слайд 4, 5).Конусын хажуугийн гадаргууг сканнердсан зураг гарч ирнэ. (слайд 6)

2) Практик ажил.

Суурь мэдлэгийг шинэчлэх: тойргийн талбай, секторын талбай, тойргийн урт, тойргийн нумын уртыг тооцоолох томъёог давт. (слайд 7–10)

Анги нь бүлгүүдэд хуваагдана. Бүлэг бүр цаасан дээрээс хайчилж авсан конусын хажуугийн гадаргуугийн сканнерыг хүлээн авдаг (тогтоосон дугаар бүхий тойргийн хэсэг). Оюутнууд шаардлагатай хэмжилтийг хийж, үүссэн салбарын талбайг тооцоолно. Дэлгэц дээр ажил гүйцэтгэх заавар, асуултууд - асуудлын мэдэгдлүүд гарч ирнэ (слайд 11–14). Бүлэг бүрийн төлөөлөгч тооцооны үр дүнг самбар дээр бэлтгэсэн хүснэгтэд бичнэ. Бүлэг бүрийн оролцогчид өөрт байгаа загвараасаа конусын загварыг наа. (слайд 15)

3) Асуудлын мэдэгдэл, шийдэл.

Зөвхөн суурийн радиус ба конусын ургийн уртыг мэддэг бол конусын хажуугийн гадаргууг хэрхэн тооцоолох вэ? (слайд 16)

Бүлэг бүр шаардлагатай хэмжилтийг хийж, байгаа өгөгдлийг ашиглан шаардлагатай талбайг тооцоолох томъёог гаргаж авахыг оролддог. Энэ ажлыг хийхдээ сургуулийн сурагчид конусын суурийн тойрог нь энэ конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжил - энэ салбарын нумын урттай тэнцүү гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. (слайд 17–21)Шаардлагатай томьёог ашиглан хүссэн томъёог гаргаж авна. Оюутны аргументууд дараах байдалтай байх ёстой.

Салбар шүүрдэх радиус нь тэнцүү байна би,нумын градусын хэмжүүр – φ. Салбарын талбайг томъёогоор тооцоолно: энэ салбарыг хязгаарлаж буй нумын урт нь конусын суурийн радиус R-тэй тэнцүү байна. Конусын суурь дээр байрлах тойргийн урт нь C = 2πR байна. . Конусын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь түүний хажуугийн гадаргуугийн хөгжлийн талбайтай тэнцүү тул

Тиймээс конусын хажуугийн гадаргуугийн талбайг томъёогоор тооцоолно S BOD = πRl.

Конус загварын хажуугийн гадаргуугийн талбайг бие даан гаргаж авсан томъёог ашиглан тооцоолсны дараа бүлэг бүрийн төлөөлөгч тооцооллын үр дүнг загварын дугаарын дагуу самбар дээрх хүснэгтэд бичнэ. Мөр бүрийн тооцооллын үр дүн тэнцүү байх ёстой. Үүний үндсэн дээр багш бүлэг бүрийн дүгнэлтийн зөвийг тодорхойлдог. Үр дүнгийн хүснэгт дараах байдлаар харагдах ёстой.

Загварын параметрүүд:

1. l=12 см, φ =120°
2. l=10 см, φ =150°
3. l=15 см, φ =120°
4. l=10 см, φ =170°
5. l=14 см, φ =110°

Тооцооллын ойролцоо тооцоолол нь хэмжилтийн алдаатай холбоотой байдаг.

Үр дүнг шалгасны дараа конусын хажуугийн болон нийт гадаргуугийн талбайн томъёоны гаралт дэлгэц дээр гарч ирнэ. (слайд 22–26), сурагчид дэвтэрт тэмдэглэл хөтөлдөг.

III шат. Судалсан материалыг нэгтгэх.

1) Оюутнуудад санал болгож байна бэлэн зураг дээр аман шийдвэрлэх асуудлууд.

Зурагт үзүүлсэн конусын бүрэн гадаргуугийн талбайг ол (слайд 27–32).

2) Асуулт:Нэг тэгш өнцөгт гурвалжинг өөр өөр хөлийг тойруулан эргүүлэхэд үүссэн конусын гадаргуугийн талбайнууд тэнцүү байна уу? Оюутнууд таамаглал дэвшүүлж, түүнийг шалгана. Таамаглалыг бодлого шийдвэрлэх замаар шалгаж, сурагч самбар дээр бичнэ.

Өгөгдсөн:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – эргэлтийн биеүүд.

Олно: S PPK 1, S PPK 2.

Зураг 5. (слайд 33)

Шийдэл:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S үндсэн 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = б; S PPK 2 = S BOD 2 + S суурь 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Хэрэв S PPK 1 = S PPK 2 байвал a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0.Учир нь a, b, c -эерэг тоонууд (гурвалжны талуудын урт), тэгш байдал нь зөвхөн үнэн юм a =б.

Дүгнэлт:Гурвалжны талууд тэнцүү байвал хоёр конусын гадаргуугийн талбай тэнцүү байна. (слайд 34)

3) Сурах бичгээс асуудлыг шийдвэрлэх: No565.

IV шат. Хичээлийг дүгнэж байна.

Гэрийн даалгавар: догол мөр 55, 56; No 548, No 561. (слайд 35)

Оноо өгсөн дүнгийн зарлал.

Хичээлийн үеэр хийсэн дүгнэлт, хичээлийн үеэр хүлээн авсан үндсэн мэдээллийг давтах.

Уран зохиол (слайд 36)

1. Геометрийн 10-11 анги - Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б., Кадомцев нар, М., "Просвещение", 2008.
2. "Математикийн оньсого ба тоглоомууд" - N.V. Удалцова, номын сан “Есдүгээр сарын нэгэн”, “МАТЕМАТИК” цуврал, 35 дугаар, М., Чистье Пруди, 2010.

Геометр бол орон зай дахь бүтэц, тэдгээрийн хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар юм. Хариуд нь энэ нь бас хэсгүүдээс бүрдэх бөгөөд тэдгээрийн нэг нь стереометр юм. Энэ нь огторгуйд байрлах гурван хэмжээст дүрсүүдийн шинж чанарыг судлах явдал юм: шоо, пирамид, бөмбөг, конус, цилиндр гэх мэт.

Конус нь конус гадаргуу ба генераторуудын төгсгөлүүд байрлах хавтгайгаар хүрээлэгдсэн Евклидийн орон зайд орших бие юм. Түүний үүсэх нь тэгш өнцөгт гурвалжны аль нэг хөлнийх нь эргэн тойронд эргэлдэж байх үед үүсдэг тул хувьсгалын биетүүдэд хамаарна.

Конусын бүрэлдэхүүн хэсгүүд

Дараах төрлийн конусууд байдаг: ташуу (эсвэл налуу) ба шулуун. Ташуу гэдэг нь тэнхлэг нь суурийн төвтэй зөв өнцгөөр огтлолцохгүй байхыг хэлнэ. Энэ шалтгааны улмаас ийм конус дахь өндөр нь тэнхлэгтэй давхцдаггүй, учир нь энэ нь биеийн дээд хэсгээс суурийн хавтгай хүртэл 90 ° өнцгөөр доошилсон сегмент юм.

Тэнхлэг нь сууриндаа перпендикуляр байрладаг конусыг шулуун гэж нэрлэдэг. Үүнд тэнхлэг ба өндөр геометрийн биетүүний доторх орой нь суурийн голчны төвөөс дээш байрладаг тул давхцаж байна.

Конус нь дараахь элементүүдээс бүрдэнэ.

1. Түүний суурь болох тойрог.
2. Хажуугийн гадаргуу.
3. Суурийн хавтгайд ороогүй цэгийг конусын орой гэж нэрлэдэг.
4. Геометрийн биеийн суурь ба түүний оройн тойргийн цэгүүдийг холбосон сегментүүд.

Эдгээр бүх сегментүүд нь конусын генераторууд юм. Тэдгээр нь геометрийн биеийн суурь руу налуу бөгөөд баруун конусын хувьд орой нь суурийн тойргийн цэгүүдээс ижил зайд байрладаг тул тэдгээрийн проекцууд тэнцүү байна. Тиймээс бид ердийн (шулуун) конус дахь генераторууд тэнцүү, өөрөөр хэлбэл ижил урттай, тэнхлэг (эсвэл өндөр) ба суурьтай ижил өнцөг үүсгэдэг гэж бид дүгнэж болно.

Хувьсгалын ташуу (эсвэл налуу) биед орой нь суурийн хавтгайн төвтэй харьцуулахад шилждэг тул ийм бие дэх генераторууд өөр өөр урт, проекцтэй байдаг, учир нь тэдгээр нь тус бүр нь аль ч хоёр цэгээс өөр зайд байдаг. суурийн тойрог. Үүнээс гадна тэдгээрийн хоорондох өнцөг ба конусын өндөр нь өөр өөр байх болно.

Шулуун конус дахь генератрисын урт

Өмнө нь бичсэнчлэн баруун геометрийн эргэлтийн биеийн өндөр нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байна. Тиймээс суурийн генератор, өндөр, радиус нь конус дахь тэгш өнцөгт гурвалжинг үүсгэдэг.

Өөрөөр хэлбэл, үндсэн радиус ба өндрийг мэдэж, Пифагорын теоремын томъёог ашиглан та үүсгэгчийн уртыг тооцоолж болох бөгөөд энэ нь суурийн радиус ба өндрийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байх болно.

l 2 = r 2 + h 2 эсвэл l = √r 2 + h 2

l нь генератор;

r - радиус;

h - өндөр.

Налуу конус хэлбэрийн генератор

Ташуу эсвэл налуу конус дээр генераторууд ижил урттай байдаггүй тул нэмэлт барилга байгууламж, тооцоололгүйгээр тэдгээрийг тооцоолох боломжгүй болно.

Юуны өмнө та өндөр, тэнхлэгийн урт, суурийн радиусыг мэдэх хэрэгтэй.

r 1 = √k 2 - h 2

энд r 1 нь тэнхлэг ба өндрийн хоорондох радиусын хэсэг;

k - тэнхлэгийн урт;

h - өндөр.

Радиус (r) ба түүний тэнхлэг ба өндрийн (r 1) хооронд байрлах хэсгийг нэмсний үр дүнд конусын бүрэн үүсгэгдсэн генератриц, түүний өндөр ба диаметрийн хэсгийг олж мэдэх боломжтой.

Энд R нь өндөр, генератор ба суурийн диаметрийн нэг хэсгээс үүссэн гурвалжны хөл;

r - суурийн радиус;

r 1 - тэнхлэг ба өндрийн хоорондох радиусын хэсэг.

Пифагорын теоремын ижил томъёог ашиглан конусын генератрицын уртыг олж болно.

l = √h 2 + R 2

эсвэл R-ийг тусад нь тооцохгүйгээр хоёр томьёог нэг болгон нэгтгэнэ.

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Конус нь шулуун эсвэл ташуу эсэх, оролтын өгөгдөл нь ямар байхаас үл хамааран генатриксийн уртыг олох бүх аргууд нь үргэлж нэг үр дүнд хүрдэг - Пифагорын теоремыг ашиглах.

Конус хэсэг

Тэнхлэг нь түүний тэнхлэг эсвэл өндрийн дагуу өнгөрөх онгоц юм. Шулуун конусын хувьд ийм хэсэг нь ижил өнцөгт гурвалжин бөгөөд гурвалжны өндөр нь биеийн өндөр, түүний талууд нь генераторууд, суурь нь суурийн диаметр юм. Адил талт геометрийн биед тэнхлэгийн хэсэг нь тэгш талт гурвалжин, учир нь энэ конус дахь суурь ба генераторын диаметр тэнцүү байна.

Шулуун конус дахь тэнхлэгийн хэсгийн хавтгай нь түүний тэгш хэмийн хавтгай юм. Үүний шалтгаан нь түүний дээд хэсэг нь суурийн төвөөс дээш байрладаг, өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн хэсгийн хавтгай нь конусыг хоёр ижил хэсэгт хуваадаг.

Налуу эзэлхүүний биед өндөр ба тэнхлэг нь давхцдаггүй тул тэнхлэгийн хэсгийн хавтгайд өндрийг оруулахгүй байж болно. Хэрэв ийм конус дахь олон тэнхлэгийн хэсгүүдийг барьж болох юм бол үүний тулд зөвхөн нэг нөхцөл хангагдсан байх ёстой - энэ нь зөвхөн тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх ёстой, дараа нь энэ конусын өндөр хамаарах онгоцны тэнхлэгийн хэсгийг л зурж болно. , учир нь нөхцлийн тоо нэмэгдэж, мэдэгдэж байгаачлан хоёр шулуун шугам (хамтдаа) зөвхөн нэг хавтгайд хамаарах боломжтой.

Хэсгийн хэсэг

Конусын өмнө дурдсан тэнхлэгийн хэсэг нь гурвалжин юм. Үүний үндсэн дээр гурвалжны талбайн томъёог ашиглан түүний талбайг тооцоолж болно.

S = 1/2 * d * h эсвэл S = 1/2 * 2r * h

энд S нь хөндлөн огтлолын талбай;

d - үндсэн диаметр;

r - радиус;

h - өндөр.

Ташуу эсвэл налуу конусын хувьд тэнхлэгийн дагуух хөндлөн огтлол нь мөн гурвалжин хэлбэртэй байдаг тул түүний хөндлөн огтлолын талбайг ижил төстэй байдлаар тооцоолно.

Эзлэхүүн

Конус нь гурван хэмжээст орон зайд гурван хэмжээст дүрс тул түүний эзэлхүүнийг тооцоолж болно. Конусын эзэлхүүн нь энэ биеийг эзэлхүүний нэгжээр, өөрөөр хэлбэл м3-аар тодорхойлдог тоо юм. Тооцоолол нь шулуун эсвэл ташуу (ташуу) эсэхээс хамаардаггүй, учир нь эдгээр хоёр төрлийн биетийн томъёо нь ялгаатай биш юм.

Өмнө дурьдсанчлан, баруун конус үүсэх нь тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөлний дагуу эргэлдсэний улмаас үүсдэг. Налуу эсвэл ташуу конус нь өөр өөр хэлбэрээр үүсдэг, учир нь түүний өндрийг биеийн суурийн хавтгайн төвөөс холдуулдаг. Гэсэн хэдий ч бүтцийн ийм ялгаа нь түүний эзлэхүүнийг тооцоолох аргад нөлөөлөхгүй.

Эзлэхүүний тооцоо

Аливаа конус дараах байдлаар харагдана.

V = 1/3 * π * h * r 2

энд V нь конусын эзэлхүүн;

h - өндөр;

r - радиус;

π нь 3.14-тэй тэнцүү тогтмол юм.

Биеийн өндрийг тооцоолохын тулд та суурийн радиус ба түүний үүсгэгчийн уртыг мэдэх хэрэгтэй. Радиус, өндөр, генераторыг тэгш өнцөгт гурвалжинд нэгтгэсэн тул өндрийг Пифагорын теоремын томъёогоор тооцоолж болно (a 2 + b 2 = c 2 эсвэл манай тохиолдолд h 2 + r 2 = l 2, энд l генератор). Гипотенуз ба нөгөө хөлийн квадратуудын ялгааны квадрат язгуурыг ашиглан өндрийг тооцоолно.

a = √c 2 - b 2

Өөрөөр хэлбэл конусын өндөр нь генераторын уртын квадрат ба суурийн радиусын квадратын зөрүүний квадрат язгуурыг авсны дараа олж авсан утгатай тэнцүү байх болно.

h = √l 2 - r 2

Энэ аргыг ашиглан өндрийг тооцоолж, түүний суурийн радиусыг мэдсэнээр конусын эзэлхүүнийг тооцоолж болно. Энэ тохиолдолд генератор чухал үүрэг гүйцэтгэдэг, учир нь энэ нь тооцоололд туслах элемент болдог.

Үүний нэгэн адил, хэрэв биеийн өндөр, түүний үүсгэгчийн уртыг мэддэг бол түүний суурийн радиусыг гаргаж авах замаар олж болно. квадрат язгуургенераторын квадрат ба өндрийн квадратын ялгаанаас:

r = √l 2 - h 2

Дараа нь дээрхтэй ижил томъёог ашиглан конусын эзэлхүүнийг тооцоолно.

Налуу конусын эзэлхүүн

Конусын эзэлхүүний томъёо нь бүх төрлийн эргэлтийн биетүүдийн хувьд ижил байдаг тул түүний тооцооны ялгаа нь өндрийг хайх явдал юм.

Налуу конусын өндрийг олохын тулд оролтын өгөгдөлд үүсгэгчийн урт, суурийн радиус, суурийн төв ба биеийн өндрийн хавтгайтай огтлолцох хоорондох зай зэргийг багтаасан байх ёстой. түүний суурь. Үүнийг мэдсэнээр та тэгш өнцөгт гурвалжны суурь болох суурийн диаметрийн хэсгийг хялбархан тооцоолж болно (өндөр, үүсгэгч ба суурийн хавтгайгаар үүсгэгдсэн). Дараа нь Пифагорын теоремыг ашиглан конусын өндөр, дараа нь түүний эзэлхүүнийг тооцоол.

Өнөөдөр бид сургуулийн геометрийн асуудалд ихэвчлэн шаардлагатай конусын үүсгэгчийг хэрхэн олохыг танд хэлэх болно.

Конус үүсгэгчийн тухай ойлголт

Зөв конус нь тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөлийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан дүрс юм. Конусын суурь нь тойрог үүсгэдэг. Конусын босоо хэсэг нь гурвалжин, хэвтээ хэсэг нь тойрог юм. Конусын өндөр нь конусын дээд хэсгийг суурийн төвтэй холбосон сегмент юм. Конусын generatrix нь конусын оройг суурийн тойргийн шугамын дурын цэгтэй холбосон сегмент юм.

Тэгш өнцөгт гурвалжинг эргүүлснээр конус үүсдэг тул ийм гурвалжны эхний хөл нь өндөр, хоёр дахь нь суурийн тойргийн радиус, гипотенуз нь конусын үүсгэгч юм. Пифагорын теорем нь генераторын уртыг тооцоолоход тустай гэдгийг таахад хэцүү биш юм. Одоо конусын генатриксийн уртыг хэрхэн олох талаар дэлгэрэнгүй авч үзье.

Генератор хайж байна

Генераторыг хэрхэн олохыг ойлгох хамгийн хялбар арга бол энд байна тодорхой жишээ. Асуудлын дараах нөхцөлүүд өгөгдсөн гэж бодъё: өндөр нь 9 см, суурийн тойргийн диаметр нь 18 см байна.

Тиймээс конусын өндөр (9 см) нь энэ конусыг үүсгэсэн зөв гурвалжны хөлүүдийн нэг юм. Хоёрдахь хөл нь үндсэн тойргийн радиус болно. Радиус нь хагас диаметртэй байна. Тиймээс бид бидэнд өгсөн диаметрийг хагасаар хувааж, радиусын уртыг авна: 18: 2 = 9. Радиус нь 9 байна.

Одоо конусын үүсгэгчийг олоход маш хялбар болсон. Энэ нь гипотенуз учраас түүний уртын квадрат нь болно нийлбэртэй тэнцүү байнахөлний квадратууд, өөрөөр хэлбэл радиус ба өндрийн квадратуудын нийлбэр. Тэгэхээр генераторын уртын квадрат = 64 (радиусын уртын квадрат) + 64 (өндөрийн уртын квадрат) = 64x2 = 128. Одоо бид 128-ын квадрат язгуурыг авна. үр дүнд нь бид хоёрын найман үндэсийг авна. Энэ нь конусын үүсгэгч байх болно.

Таны харж байгаагаар энэ талаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Жишээлбэл, бид авсан энгийн нөхцөлгэхдээ даалгаварууд сургуулийн курсТэд илүү төвөгтэй байж болно. Генератриксийн уртыг тооцоолохын тулд тойргийн радиус ба конусын өндрийг олж мэдэх хэрэгтэй гэдгийг санаарай. Энэ өгөгдлийг мэдэхийн тулд generatrix-ийн уртыг олоход хялбар байдаг.

Конус гэж юу болохыг бид мэднэ, түүний гадаргуугийн талбайг олохыг хичээцгээе. Та яагаад ийм асуудлыг шийдэх хэрэгтэй байна вэ? Жишээлбэл, вафли конус хийхэд хэр их зуурсан гурил орохыг ойлгох хэрэгтэй. Эсвэл тоосгон цайзын дээврийг хийхэд хичнээн тоосго хэрэгтэй вэ?

Конусын хажуугийн гадаргууг хэмжих нь ердөө л боломжгүй юм. Гэхдээ ижил эврийг даавуунд ороосон гэж төсөөлөөд үз дээ. Даавууны талбайг олохын тулд та үүнийг хайчилж, ширээн дээр тавих хэрэгтэй. Энэ нь бүтэх болно хавтгай дүрс, бид түүний талбайг олж чадна.

Цагаан будаа. 1. Гератриксийн дагуух конусын зүсэлт

Конустай ижил зүйлийг хийцгээе. Үүнийг "тайрч авъя" хажуугийн гадаргуудурын генератрикс дагуу, жишээлбэл (1-р зургийг үз).

Одоо хажуугийн гадаргууг хавтгай дээр "тайлъя". Бид салбар авдаг. Энэ секторын төв нь конусын орой, секторын радиус нь конусын генатрикстай тэнцүү бөгөөд нумын урт нь конусын суурийн тойрогтой давхцдаг. Ийм салбарыг конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжил гэж нэрлэдэг (2-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 2. Хажуугийн гадаргууг хөгжүүлэх

Цагаан будаа. 3. Радиан дахь өнцгийн хэмжилт

Боломжтой өгөгдлийг ашиглан тухайн салбарын талбайг олохыг хичээцгээе. Эхлээд тэмдэглэгээг танилцуулъя: секторын орой дээрх өнцөг нь радианаар (3-р зургийг үз).

Асуудлыг шүүрдэх хамгийн дээд өнцөгт бид ихэвчлэн тулгардаг. Одоохондоо асуултанд хариулахыг хичээцгээе: энэ өнцөг 360 градусаас илүү байж болохгүй гэж үү? Энэ нь шүүрдэх нь өөрөө давхцах нь тодорхой биш гэж үү? Мэдээж үгүй. Үүнийг математикийн аргаар баталъя. Сканнерыг өөрөө "суперпоз" болго. Энэ нь шүүрдэх нумын урт нь радиусын тойргийн уртаас их байна гэсэн үг юм. Гэхдээ аль хэдийн дурьдсанчлан, шүүрдэх нумын урт нь радиусын тойргийн урт юм. Мэдээжийн хэрэг конусын суурийн радиус нь генератриксээс бага, жишээлбэл, тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь гипотенузаас бага байдаг.

Дараа нь планиметрийн курсээс хоёр томьёог санацгаая: нумын урт. Салбарын талбай: .

Манай тохиолдолд генератор үүрэг гүйцэтгэдэг , ба нумын урт нь конусын суурийн тойрогтой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. Бидэнд:

Эцэст нь бид: .

Хажуугийн гадаргуугийн талбайгаас гадна талбайг олж болно бүрэн гадаргуу. Үүнийг хийхийн тулд суурийн талбайг хажуугийн гадаргуугийн талбайд нэмнэ. Гэхдээ суурь нь радиустай тойрог бөгөөд томъёоны дагуу талбай нь -тэй тэнцүү байна.

Эцэст нь бидэнд байна: , цилиндрийн суурийн радиус хаана байна, generatrix.

Өгөгдсөн томьёо ашиглан хэд хэдэн бодлого шийдье.

Цагаан будаа. 4. Шаардлагатай өнцөг

Жишээ 1. Конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжил нь орой дээрх өнцөгтэй салбар юм. Конусын өндөр 4 см, суурийн радиус 3 см бол энэ өнцгийг ол (4-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 5. Зөв гурвалжин, конус үүсгэдэг

Пифагорын теоремын дагуу эхний алхам бол генераторыг олох явдал юм: 5 см (5-р зургийг үз). Дараа нь бид үүнийг мэднэ .

Жишээ 2. Конусын тэнхлэгийн хөндлөн огтлолын талбай нь тэнцүү, өндөр нь тэнцүү байна. Нийт гадаргуугийн талбайг ол (6-р зургийг үз).