>

Квадрат функцийн графикийн оройг хэрхэн олох вэ. Квадрат функц

Математикт ижил төстэй байдлын бүхэл бүтэн мөчлөг байдаг бөгөөд тэдгээрийн дунд квадрат тэгшитгэлүүд чухал байр суурийг эзэлдэг. Ийм тэгш байдлыг тусад нь шийдэж, координатын тэнхлэг дээр график байгуулах боломжтой. тэгшитгэл нь парабол ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүд юм.

Ерөнхий үзэл

IN ерөнхий үзэлдараах бүтэцтэй байна.

Хувьсагч болон бүхэл илэрхийлэлийг хоёуланг нь "X" гэж үзэж болно. Жишээ нь:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

Х-ийн үүрэг нь илэрхийлэл байх тохиолдолд түүнийг хувьсагчаар төлөөлж, үүний дараа олон гишүүнтийг тэдэнтэй тэнцүүлж, х-г олох шаардлагатай.

Тэгэхээр (x+7)=a бол тэгшитгэл нь a 2 +3a+2=0 хэлбэрийг авна.

D=3 2 -4*1*2=1;

ба 1 =(-3-1)/2*1=-2;

ба 2 =(-3+1)/2*1=-1.

Үндэс нь -2 ба -1-тэй тэнцүү байвал бид дараахь зүйлийг авна.

x+7=-2 ба x+7=-1;

Үндэс нь параболын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн х координатын утга юм. Хэрэв даалгавар нь зөвхөн параболын оройг олох юм бол зарчмын хувьд тэдний үнэ цэнэ тийм ч чухал биш юм. Гэхдээ график зурахад үндэс чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Анхны тэгшитгэл рүү буцъя. Параболагийн оройг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулахын тулд та дараах томъёог мэдэх хэрэгтэй.

Энд x VP нь хүссэн цэгийн x координатын утга юм.

Харин у-координатын утгагүйгээр параболын оройг хэрхэн олох вэ? Бид үүссэн x утгыг тэгшитгэлд орлуулж, хүссэн хувьсагчийг олно. Жишээлбэл, дараах тэгшитгэлийг шийдье.

Параболын оройн х-координатын утгыг ол:

x VP =-b/2a=-3/2*1;

Параболын оройн y-координатын утгыг ол:

у=2х 2 +4х-3=(-1.5) 2 +3*(-1.5)-5;

Үүний үр дүнд параболын орой нь координаттай (-1.5;-7.25) цэг дээр байрлаж байгааг олж мэдэв.

Парабол бол босоо байрлалтай цэгүүдийн холболт юм. Ийм учраас түүнийг барих нь өөрөө тийм ч хэцүү биш юм. Хамгийн хэцүү зүйл бол цэгүүдийн координатыг зөв тооцоолох явдал юм.

Төлбөр төлөх нь зүйтэй онцгой анхааралмагадлалд квадрат тэгшитгэл.

А коэффициент нь параболын чиглэлд нөлөөлдөг. Түүнд байгаа тохиолдолд сөрөг утга, салбарууд нь доошоо, эерэг тэмдэгтэй - дээшээ чиглэнэ.

b коэффициент нь параболын гар хэр өргөн байхыг заана. Түүний үнэ цэнэ өндөр байх тусам илүү өргөн болно.

Коэффицент c нь гарал үүсэлтэй харьцуулахад OS тэнхлэгийн дагуу параболын шилжилтийг заана.

Бид параболын оройг хэрхэн олохыг аль хэдийн сурсан бөгөөд үндсийг нь олохын тулд дараахь томъёог баримтлах хэрэгтэй.

Энд D нь тэгшитгэлийн язгуурыг олоход шаардлагатай ялгаварлагч юм.

x 1 =(-b+V - D)/2a

x 2 =(-b-V - D)/2a

Үүссэн x утгууд нь тэг у утгатай тохирно, учир нь тэдгээр нь OX тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм.

Үүний дараа бид үүссэн утгыг параболын дээд талд тэмдэглэнэ. Илүү нарийвчилсан график гаргахын тулд та хэд хэдэн цэгийг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд тодорхойлолтын мужаас зөвшөөрөгдсөн x-ийн дурын утгыг сонгоод функцийн тэгшитгэлд орлуулна. Тооцооллын үр дүн нь op-amp тэнхлэгийн дагуух цэгийн координат болно.

График зурах үйл явцыг хялбарчлахын тулд та параболын дээд хэсэгт OX тэнхлэгт перпендикуляр босоо шугам зурж болно. Энэ нь нэг цэгийн тусламжтайгаар та зурсан шугамаас ижил зайд байгаа хоёр дахь цэгийг зааж өгч болно.

Агуулга:

Параболагийн орой нь түүний хамгийн өндөр эсвэл хамгийн доод цэг юм. Параболын оройг олохын тулд тусгай томьёо эсвэл квадрат нэмэх аргыг ашиглаж болно. Үүнийг хэрхэн хийх талаар доор харуулав.

Алхам

1 Оройг олох томъёо

  1. 1 a, b, c-ийн утгыг ол.Квадрат тэгшитгэлд коэффициент нь at x 2 = а,цагт x= b, тогтмол (хувьсагчгүй коэффициент) = в.Жишээлбэл, тэгшитгэлийг авна уу: y = x 2 + 9x + 18.Энд а = 1, б= 9, ба в = 18.
  2. 2 Оройн х координатын утгыг тооцоолохдоо томъёог ашиглана.Орой нь мөн параболын тэгш хэмийн цэг юм. Параболагийн х координатыг олох томъёо: x = -b/2a.Тооцоолохдоо тохирох утгыг орлуулна уу x.
    • x=-b/2a
    • x=-(9)/(2)(1)
    • x=-9/2
  3. 3 Олсон х утгыг анхны тэгшитгэлд орлуулж у утгыг тооцоол.Одоо та x-ийн утгыг мэдэж байгаа тул y-г олохын тулд үүнийг анхны тэгшитгэлд оруулаарай. Тиймээс параболын оройг олох томъёог дараах функцээр бичиж болно. (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)]. Энэ нь y-г олохын тулд эхлээд томьёог ашиглан х-г олж, дараа нь анхны тэгшитгэлд х-ийн утгыг орлуулах ёстой гэсэн үг юм. Үүнийг хэрхэн хийснийг энд харуулав.
    • y = x 2 + 9x + 18
    • у = (-9/2) 2 + 9(-9/2) +18
    • y = 81/4 -81/2 + 18
    • y = 81/4 -162/4 + 72/4
    • у = (81 - 162 + 72)/4
    • y = -9/4
  4. 4 x ба y утгыг хос координат хэлбэрээр бичнэ үү.Одоо та x = -9/2 ба y = -9/4 гэдгийг мэдэж байгаа тул тэдгээрийг координат хэлбэрээр бичнэ үү: (-9/2, -9/4). Параболагийн орой нь координатууд дээр байрладаг (-9/2, -9/4). Хэрэв та энэ параболыг зурах шаардлагатай бол х 2 коэффициент эерэг тул түүний орой нь доод цэг дээр байрладаг.

2 Төгс дөрвөлжин хэлбэртэй болгох

  1. 1 Тэгшитгэлийг бичнэ үү.Төгс квадратыг гүйцээх нь параболын оройг олох өөр нэг арга юм. Энэ аргыг ашигласнаар та анхны тэгшитгэлд х-г орлуулахгүйгээр шууд x ба у координатыг олох болно. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг өгсөн: x 2 + 4x + 1 = 0.
  2. 2 Коэффициент бүрийг х 2 коэффициентоор хуваана.Манай тохиолдолд x 2-ийн коэффициент нь 1 тул бид энэ алхамыг алгасаж болно. 1-ээр хуваахад юу ч өөрчлөгдөхгүй.
  3. 3 Тогтмолыг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүл.Тогтмол гэдэг нь хувьсагчгүй коэффициент юм. Энд "1" байна. Тэгшитгэлийн хоёр талаас 1-ийг хасах замаар 1-ийг баруун тийш шилжүүлнэ. Үүнийг хэрхэн хийх талаар:
    • x 2 + 4x + 1 = 0
    • x 2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
    • x 2 + 4x = - 1
  4. 4 Төгс дөрвөлжин болгохын тулд тэгшитгэлийн зүүн талыг гүйцээнэ үү.Үүнийг хийхийн тулд зүгээр л олоорой (б/2) 2ба үр дүнг тэгшитгэлийн хоёр талд нэмнэ. "4"-ийг орлуулаарай б, учир нь "4x" нь бидний тэгшитгэлийн b коэффициент юм.
    • (4/2) 2 = 2 2 = 4. Одоо тэгшитгэлийн хоёр талд 4-ийг нэмбэл дараахь зүйлийг авна.
      • x 2 + 4x + 4 = -1 + 4
      • x 2 + 4x + 4 = 3
  5. 5 Тэгшитгэлийн зүүн талыг хялбаршуулж үзье.Бид x 2 + 4x + 4 - гэдгийг харж байна. төгс дөрвөлжин. Үүнийг дараах байдлаар бичиж болно: (x + 2) 2 = 3
  6. 6 Үүнийг ашиглан x ба у координатыг олоорой.(x + 2) 2-ыг 0-тэй тэнцүүлэх замаар та х-г олох боломжтой. Одоо (x + 2) 2 = 0, бид x: x = -2-г тооцоолно. y координат нь төгс квадратын баруун талын тогтмол юм. Тэгэхээр у = 3. Тэгшитгэлийн параболын орой нь x 2 + 4x + 1 = (-2, 3) байна.
  • a, b, c-г зөв тодорхойлох.
  • Урьдчилсан тооцоог тэмдэглэ. Энэ нь зөвхөн ажлын явцад туслах төдийгүй хаана алдаа гарсныг харах боломжийг олгоно.
  • Тооцооллын дарааллыг бүү алд.

Анхааруулга

  • Хариултаа шалгаарай!
  • a, b, c коэффициентүүдийг хэрхэн тодорхойлохоо мэдэж байгаа эсэхийг шалгаарай. Мэдэхгүй бол хариулт буруу байх болно.
  • Үгүй - ийм асуудлыг шийдэхийн тулд дадлага хийх шаардлагатай.

Дуудагдсан хэлбэрийн функц квадрат функц.

Квадрат функцийн график - парабол.


Дараах тохиолдлуудыг авч үзье.

I CASE, СОНГОГДОГ ПАРАБОЛА

Энэ нь , ,

Үүнийг хийхийн тулд x утгыг томъёонд орлуулж хүснэгтийг бөглөнө үү.


Цэгүүдийг тэмдэглэх (0;0); (1;1); (-1;1) гэх мэт. дээр координатын хавтгай(бага алхам хийх тусам бид x-ийн утгыг авна энэ тохиолдолдАлхам 1) ба бид илүү их x утгыг авах тусам муруй илүү жигд байх болно), бид параболыг авна.


Хэрэв бид , , , өөрөөр хэлбэл тэнхлэгт (өө) тэгш хэмтэй параболыг авна гэдгийг харахад хялбар байдаг. Үүнтэй төстэй хүснэгтийг бөглөх замаар үүнийг шалгахад хялбар байдаг:


II ТОХИОЛДОЛ, “a” НЭГЖЭЭС ӨӨР

Хэрэв бид , , -ийг авбал юу болох вэ? Параболын зан байдал хэрхэн өөрчлөгдөх вэ? Гарчигтай = "(! LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}


Эхний зураг дээр (дээрхийг харна уу) параболын (1;1), (-1;1) хүснэгтийн цэгүүдийг (1;4), (1;-4) цэг болгон хувиргасан нь тодорхой харагдаж байна. өөрөөр хэлбэл ижил утгатай бол цэг бүрийн ординатыг 4-өөр үржүүлнэ. Энэ нь анхны хүснэгтийн бүх гол цэгүүдэд тохиолдох болно. Бид 2, 3-р зураг дээрх тохиолдолд ижил төстэй үндэслэлийг гаргадаг.

Мөн парабола параболаас "өргөн" болох үед:


Дүгнэж хэлье:

1)Коэффициентийн тэмдэг нь салбаруудын чиглэлийг тодорхойлдог. Гарчигтай = "(! LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Үнэмлэхүй үнэ цэнэкоэффициент (модуль) нь параболын "өргөжилт" ба "шахалтыг" хариуцдаг. Парабол том байх тусмаа нарийсах тусам |a| бага, парабол илүү өргөн болно.

III ХЭРЭГЛЭЛ, "С" ГАРЧ БАЙНА

Одоо тоглоомонд оруулцгаая (өөрөөр хэлбэл, хэзээ тохиолдлыг авч үзье), бид хэлбэрийн параболуудыг авч үзэх болно. Тэмдгээс хамааран парабол тэнхлэгийн дагуу дээш эсвэл доош шилжинэ гэдгийг таахад хэцүү биш (та хүснэгтээс үргэлж харж болно).



IV ХЭРЭГЛЭЛ, “б” ТОГТООХ

Парабола хэзээ тэнхлэгээс "тасарч" эцэст нь бүхэл бүтэн координатын хавтгай дагуу "алхах" вэ? Хэзээ тэнцүү байхаа болих вэ?

Энд параболыг бүтээхэд бидэнд хэрэгтэй оройг тооцоолох томъёо: , .

Тэгэхээр энэ үед (0;0 цэгийн хувьд) шинэ системкоординатууд) бид аль хэдийн хийж чадах параболыг барих болно. Хэрэв бид энэ хэргийг шийдэж байгаа бол оройн цэгээс нэг нэгж сегментийг баруун тийш, нэгийг нь дээш нь тавьдаг - үр дүнд хүрсэн цэг нь биднийх (үүнтэй адил зүүн тийш алхам, дээшлэх нь бидний цэг); хэрэв бид жишээ нь харьцаж байгаа бол оройноос нэг нэгж сегментийг баруун тийш, хоёрыг дээшээ гэх мэтээр байрлуулна.

Жишээлбэл, параболын орой:

Одоо ойлгох ёстой гол зүйл бол энэ орой дээр бид параболын хэв маягийн дагуу парабол барих болно, учир нь бидний тохиолдолд.

Парабол байгуулах үед оройн координатыг олсны дараа машДараахь зүйлийг анхаарч үзэх нь тохиромжтой.

1) парабол цэгээр дамжих нь гарцаагүй . Үнэн хэрэгтээ томьёонд x=0-ийг орлуулснаар бид үүнийг олж авна. Өөрөөр хэлбэл, параболын тэнхлэгтэй (ой) огтлолцох цэгийн ординат нь . Бидний жишээн дээр (дээр) парабол нь ординатыг цэг дээр огтолж байгаа тул .

2) тэгш хэмийн тэнхлэг парабол нь шулуун шугам тул параболын бүх цэгүүд тэгш хэмтэй байх болно. Бидний жишээн дээр бид (0; -2) цэгийг нэн даруй авч, параболын тэгш хэмийн тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй болгосноор бид параболын дамжин өнгөрөх цэгийг (4; -2) авна.

3) -тэй тэнцүүлэхдээ бид параболын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг (өө) олно. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ. Ялгаварлан гадуурхагчаас хамааран бид нэг (, ), хоёр ( title="Rendered by QuickLaTeX.com) авах болно." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Өмнөх жишээнд, бидний ялгах язгуур нь бүхэл тоо биш, уг үндэсийг олох нь бидний хувьд тийм ч утгагүй, гэхдээ бид тэнхлэгтэй огтлолцох хоёр цэгтэй байх болно гэдгийг тодорхой харж байна (өө); (гарчигнаас хойш = " QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Тиймээс үүнийг шийдье

Параболыг хэлбэрээр өгөгдсөн бол байгуулах алгоритм

1) салбаруудын чиглэлийг тодорхойлох (a>0 – дээш, a<0 – вниз)

2) , томъёог ашиглан параболын оройн координатыг олно.

3) бид чөлөөт нэр томъёог ашиглан параболын тэнхлэгтэй (ой) огтлолцох цэгийг олж, параболын тэгш хэмийн тэнхлэгтэй харьцуулахад энэ цэгт тэгш хэмтэй цэгийг байгуулна (үүнийг тэмдэглэх нь ашиггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. цэг, жишээ нь, утга нь том учраас ... бид энэ цэгийг алгасах болно ...)

4) Олдсон цэг дээр - параболын орой (шинэ координатын системийн (0; 0) цэгийн адил) бид параболыг байгуулна. If title=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Бид тэгшитгэлийг шийдэх замаар параболын тэнхлэгтэй (ой) огтлолцох цэгүүдийг (хэрэв тэд "гадараагүй" бол) олдог.

Жишээ 1


Жишээ 2


Тайлбар 1.Хэрэв параболыг эхлээд зарим тоонууд (жишээ нь, ) гэсэн хэлбэрээр өгсөн бол оройн координатыг бидэнд аль хэдийн өгсөн тул үүнийг бүтээхэд илүү хялбар байх болно. Яагаад?

Авцгаая квадрат гурвалжинмөн дотор нь бүтэн квадратыг сонго: Хараач, бид үүнийг олж авлаа, . Чи бид хоёр өмнө нь параболын оройг, өөрөөр хэлбэл одоо, гэж нэрлэдэг байсан.

Тухайлбал, . Бид параболын оройг хавтгай дээр тэмдэглэж, мөчрүүд нь доошоо чиглэсэн, парабол нь өргөссөн (харьцангуй) гэдгийг ойлгодог. Өөрөөр хэлбэл, бид 1-р цэгүүдийг гүйцэтгэдэг; 3; 4; Парабол барих алгоритмаас 5 (дээрхийг үзнэ үү).

Тайлбар 2.Хэрэв параболыг үүнтэй төстэй хэлбэрээр өгвөл (өөрөөр хэлбэл хоёр шугаман хүчин зүйлийн үржвэр хэлбэрээр үзүүлбэл) бид параболын тэнхлэг (үхэр) -тэй огтлолцох цэгүүдийг шууд харна. Энэ тохиолдолд - (0; 0) ба (4; 0). Үлдсэн хэсэгт бид алгоритмын дагуу ажиллаж, хаалтуудыг нээдэг.

Магадгүй хүн бүр парабола гэж юу болохыг мэддэг байх. Гэхдээ бид янз бүрийн практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг хэрхэн зөв, чадварлаг ашиглах талаар авч үзэх болно.

Эхлээд алгебр, геометрийн энэ нэр томъёонд өгдөг үндсэн ойлголтуудыг тоймлоё. Бүгдийг нь авч үзье боломжит төрлүүдэнэ график.

Энэ функцын бүх үндсэн шинж чанарыг олж мэдье. Муруй байгуулах (геометрийн) үндсийг ойлгоцгооё. Энэ төрлийн графикийн дээд болон бусад үндсэн утгыг хэрхэн олохыг сурцгаая.

Тэгшитгэлийг ашиглан хүссэн муруйг хэрхэн зөв барих, юуг анхаарах хэрэгтэйг олж мэдье. Үндсэн зүйлийг харцгаая практик хэрэглээхүний ​​амьдралын энэ онцгой үнэт зүйл.

Парабол гэж юу вэ, энэ нь ямар харагддаг вэ?

Алгебр: Энэ нэр томъёо нь квадрат функцийн графикийг хэлнэ.

Геометр: энэ нь хэд хэдэн онцлог шинж чанартай хоёр дахь эрэмбийн муруй юм.

Каноник параболын тэгшитгэл

Зураг дээр тэгш өнцөгт координатын систем (XOY), экстремум, абсцисса тэнхлэгийн дагуу зурсан функцийн салбаруудын чиглэлийг харуулав.

Каноник тэгшитгэл нь:

y 2 = 2 * p * x,

Энд p коэффициент нь параболын (AF) фокусын параметр юм.

Алгебр дээр үүнийг өөрөөр бичнэ:

y = a x 2 + b x + c (танигддаг загвар: y = x 2).

Квадрат функцийн шинж чанар ба график

Функц нь тэгш хэмийн тэнхлэг ба төв (экстремум) байна. Тодорхойлолтын домэйн нь абсцисса тэнхлэгийн бүх утгууд юм.

Функцийн утгын хүрээ – (-∞, M) эсвэл (M, +∞) нь муруйн салбаруудын чиглэлээс хамаарна. Энд M параметр нь мөрийн дээд талд байгаа функцийн утгыг илэрхийлнэ.

Параболагийн мөчрүүд хаашаа чиглэж байгааг хэрхэн тодорхойлох вэ

Илэрхийлэлээс ийм төрлийн муруйн чиглэлийг олохын тулд эхний параметрийн өмнөх тэмдгийг тодорхойлох шаардлагатай алгебрийн илэрхийлэл. Хэрэв ˃ 0 байвал тэдгээр нь дээш чиглэсэн байна. Хэрэв энэ нь эсрэгээрээ байвал доошоо.

Параболын оройг томъёогоор хэрхэн олох вэ

Экстремумыг олох нь олон практик асуудлыг шийдвэрлэх гол алхам юм. Мэдээжийн хэрэг та тусгайлан нээж болно онлайн тооны машинууд, гэхдээ үүнийг өөрөө хийх боломжтой байсан нь дээр.

Үүнийг хэрхэн тодорхойлох вэ? Тусгай жор байдаг. b нь 0-тэй тэнцүү биш үед бид энэ цэгийн координатыг хайх хэрэгтэй.

Оройг олох томъёо:

  • x 0 = -b / (2 * a);
  • y 0 = y (x 0).

Жишээ.

y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 функц байна. Энэ функцийн оройг олъё.

Ийм шугамын хувьд:

  • x = -16 / (2 * 4) = -2;
  • y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Бид оройн координатыг (-2, -41) авна.

Параболагийн шилжилт

Сонгодог тохиолдол бол квадрат функцэд y = a x 2 + b x + c, хоёр ба гурав дахь параметрүүд нь 0-тэй тэнцүү байх ба = 1 - орой нь (0; 0) цэг дээр байх явдал юм.

Абсцисса буюу ордны тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн нь b ба c параметрийн өөрчлөлтөөс үүдэлтэй.Онгоц дээрх шугамыг параметрийн утгатай тэнцүү нэгжийн тоогоор яг шилжүүлнэ.

Жишээ.

Бидэнд: b = 2, c = 3 байна.

Энэ нь муруйн сонгодог хэлбэр нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу 2 нэгж сегментээр, ордны тэнхлэгийн дагуу 3 нэгжээр шилжинэ гэсэн үг юм.

Квадрат тэгшитгэл ашиглан параболыг хэрхэн бүтээх вэ

Сургуулийн хүүхдүүдэд өгөгдсөн параметрүүдийг ашиглан параболыг хэрхэн зөв зурах талаар сурах нь чухал юм.

Илэрхийлэл, тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийснээр та дараахь зүйлийг харж болно.

  1. Хүссэн шугамын ординат вектортой огтлолцох цэг нь c-тэй тэнцүү утгатай байна.
  2. Графикийн бүх цэгүүд (х тэнхлэгийн дагуу) функцийн үндсэн экстремумтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

Нэмж дурдахад, OX-тэй огтлолцох цэгийг ийм функцийн ялгаварлагч (D) -ийг мэдэх замаар олж болно.

D = (b 2 - 4 * a * c).

Үүнийг хийхийн тулд та илэрхийллийг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй.

Параболагийн үндэс байгаа эсэх нь үр дүнгээс хамаарна.

  • D ˃ 0, дараа нь x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
  • D = 0, дараа нь x 1, 2 = -b / (2 * a);
  • D ˂ 0, тэгвэл OX вектортой огтлолцох цэг байхгүй болно.

Бид параболыг бүтээх алгоритмыг олж авдаг.

  • салбаруудын чиглэлийг тодорхойлох;
  • оройн координатыг олох;
  • ордны тэнхлэгтэй огтлолцох газрыг олох;
  • х тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол.

Жишээ 1.

y = x 2 - 5 * x + 4 функц өгөгдсөн. Парабол байгуулах шаардлагатай. Бид алгоритмыг дагаж мөрддөг:

  1. a = 1, тиймээс салбарууд дээшээ чиглэсэн;
  2. экстремум координат: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
  3. ординатын тэнхлэгтэй y = 4 утгад огтлолцоно;
  4. ялгаварлагчийг олъё: D = 25 - 16 = 9;
  5. үндэс хайж байна:
  • X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
  • X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

Жишээ 2.

y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 функцийн хувьд та параболыг бүтээх хэрэгтэй. Бид өгөгдсөн алгоритмын дагуу ажилладаг.

  1. a = 3, тиймээс салбарууд дээшээ чиглэсэн;
  2. экстремум координат: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
  3. y = -1 утгаараа у тэнхлэгтэй огтлолцох болно;
  4. Дискриминантыг олъё: D = 4 + 12 = 16. Тэгэхээр үндэс нь:
  • X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
  • X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Хүлээн авсан цэгүүдийг ашиглан та параболыг барьж болно.

Директрикс, эксцентриситет, параболын фокус

Үндэслэн каноник тэгшитгэл, F-ийн фокус нь координаттай (p/2, 0).

Шулуун шугам AB нь директрикс (тодорхой урттай параболын нэг төрлийн хөвч) юм. Түүний тэгшитгэл: x = -p/2.

Хачирхалтай (тогтмол) = 1.

Дүгнэлт

Бид сургуулийн сурагчдын судалдаг сэдвийг харлаа ахлах сургууль. Одоо та параболын квадрат функцийг хараад түүний оройг хэрхэн олох, мөчрүүд аль чиглэлд чиглэх, тэнхлэгийн дагуу шилжилт байгаа эсэх, барилгын алгоритмтай бол та түүний графикийг зурж болно.

Заавар

Квадрат функцерөнхий хэлбэрээр үүнийг тэгшитгэлээр бичнэ: y = ax² + bx + c. Энэ тэгшитгэлийн график нь , салбарууд нь дээш (a > 0-ийн хувьд) эсвэл доош чиглэсэн (а хувьд) байна.< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

Дериватив гэдэг ойлголтыг мэддэг хүмүүсийн хувьд параболын оройг олоход хялбар байдаг. Параболагийн мөчрүүдийн байрлалаас үл хамааран түүний орой нь цэг юм (хэрэв мөчрүүд нь дээшээ, эсвэл доошоо чиглэсэн байвал хамгийн бага). Дурын экстремум цэгүүдийг олохын тулд та түүний анхны деривативыг тооцоолж, тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй. Ерөнхийдөө дериватив нь f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b-тэй тэнцүү байна. Тэгтэй тэнцүүлэхдээ 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a болно.

Парабол бол тэгш хэмтэй шугам юм. Тэнхлэг нь параболын оройгоор дамжин өнгөрдөг. Х координатын тэнхлэгтэй параболын цэгүүдийг мэдсэнээр x0 оройн абсциссыг хялбархан олох боломжтой. x1 ба x2 нь параболын үндэс (х тэнхлэгтэй параболын огтлолцох цэгүүд гэж нэрлэгддэг, учир нь эдгээр утгууд нь ax² + bx + c квадрат тэгшитгэлийг алга болгодог) байг. Үүнээс гадна |x2| > |x1|, тэгвэл параболын орой нь тэдгээрийн дундуур байрлах ба дараах илэрхийллээс олно: x0 = ½(|x2| - |x1|).

Сэдвийн талаархи видео

Эх сурвалжууд:

  • Квадрат функц
  • параболын оройг олох томьёо

Парабол гэдэг нь ерөнхийдөө квадрат функцийн график бөгөөд параболын тэгшитгэлийг y=ax^2+bx+c гэж бичнэ, энд a≠0; Энэ бол амьдралын олон үзэгдлүүдийг, тухайлбал, шидэж, дараа нь унасан биеийн хөдөлгөөн, солонгын хэлбэр, тиймээс олох чадварыг тодорхойлдог бүх нийтийн хоёрдугаар эрэмбийн муруй юм. параболамьдралд маш хэрэгтэй байж болно.

Танд хэрэгтэй болно

  • - квадрат тэгшитгэлийн томъёо;
  • - координатын тор бүхий цаасан хуудас;
  • - харандаа, баллуур;
  • - компьютер болон Excel програм.

Заавар

Юуны өмнө параболын оройг ол. Энэ цэгийн абсциссыг олохын тулд х-ийн коэффициентийг авч, x^2-ийн коэффициентийг хоёр дахин хувааж, -1-ээр үржүүлнэ ( x = -b/2a). Үүссэн утгыг тэгшитгэлд орлуулах буюу y=(b^2-4ac)/4a томьёог ашиглан ордныг ол. Та параболын оройн цэгийн координатыг олж авлаа.

Параболын оройг өөр аргаар олж болно. Энэ нь функцийн экстремум тул түүнийг тооцоолохын тулд эхний деривативыг тооцоолж, тэгтэй тэнцүүлнэ. Ерөнхийдөө та f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b томъёог авах болно. Үүнийг тэгтэй тэнцүүлснээр та ижил томъёонд хүрнэ - x=-b/2a.

Параболагийн мөчрүүд дээшээ эсвэл доошоо чиглэж байгааг олж мэд. Үүнийг хийхийн тулд x^2-ийн урд талын коэффициентийг хар, өөрөөр хэлбэл a. Хэрэв a>0 бол мөчрүүд дээшээ чиглэсэн, хэрэв a

Координатууд оргилуудпараболууд олдсон. Тэдгээрийг нэг цэгийн координатаар (x0,y0) бичнэ.

Сэдвийн талаархи видео

Функцуудын хувьд (илүү нарийвчлалтай, тэдгээрийн график) ойлголтыг ашигладаг хамгийн өндөр үнэ цэнэ, үүнд орон нутгийн дээд хэмжээ. "Оргил" гэсэн ойлголттой холбоотой байх магадлалтай геометрийн хэлбэрүүд. Гөлгөр функцүүдийн хамгийн их цэгүүдийг (деривативтай) эхний деривативын тэгийг ашиглан тодорхойлоход хялбар байдаг.

Заавар

Функцийг ялгах боломжгүй боловч тасралтгүй байх цэгүүдийн хувьд интервал дээрх хамгийн том утга нь үзүүр хэлбэртэй байж болно (y=-|x| үед). Ийм цэгүүдэд функцуудТа хүссэнээрээ шүргэгч зурж болно; Сами функцуудЭнэ төрлийг ихэвчлэн сегментүүдэд зааж өгдөг. Дериватив болох цэгүүд функцуудтэгтэй тэнцүү буюу байхгүйг чухал гэж нэрлэдэг.

Рэйнинг. x≤-1-ийн хувьд y=x+3, x>-1-ийн хувьд y=((x^2)^(1/3)) –x. Функцийг сегментүүд дээр зориудаар зааж өгсөн байдаг, учир нь энэ тохиолдолд зорилго нь бүгдийг нэг жишээнд харуулах явдал юм. x=-1-ийн хувьд функц тасралтгүй хэвээр байх нь амархан. x≤-1-ийн хувьд y'=1 ба y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3() x^ (1/3))/(x^(1/3)) нь x>-1-ийн хувьд y'=0 нь x=8/27, x=0-д байхгүй. Энэ тохиолдолд x бол y '>0 байна

Сэдвийн талаархи видео

Парабол нь хоёр дахь эрэмбийн муруйнуудын нэг бөгөөд түүний цэгүүд нь квадрат тэгшитгэлийн дагуу баригдсан байдаг. Энэ муруйг бүтээх гол зүйл бол олох явдал юм дээд парабол. Үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно.

Заавар

Оройн координатыг олох парабол, дараах томъёог ашиглана: x=-b/2a, энд a нь x-ийн өмнөх коэффициент, b нь x-ийн өмнөх коэффициент юм. Өөрийн утгыг оруулаад тооцоол. Дараа нь тэгшитгэлд x-ийн үр дүнгийн утгыг орлуулж, оройн ординатыг тооцоол. Жишээлбэл, y=2x^2-4x+5 тэгшитгэл өгөгдсөн бол абсциссыг дараах байдлаар ол: x=-(-4)/2*2=1. Тэгшитгэлд x=1 гэж орлуулснаар оройн утгыг тооцоол парабол: y=2*1^2-4*1+5=3. Тиймээс дээд параболкоординаттай (1;3).

Ординатын утга параболэхлээд абсциссыг тооцоолохгүйгээр олж болно. Үүнийг хийхийн тулд y=-b^2/4ac+c томъёог ашиглана.

Хэрэв та дериватив гэдэг ойлголтыг мэддэг бол олоорой дээд параболДараах шинж чанарыг ашиглан деривативыг ашиглан: тэгтэй тэнцүү функцийн эхний деривативыг зааж байна. Дээд талаас нь хойш парабол, түүний салбарууд дээш эсвэл доош чиглэсэн эсэхээс үл хамааран цэгийг зааж, функцийнхээ деривативыг тооцоол. Ерөнхийдөө f(x)=2ax+b шиг харагдах болно. Үүнийг тэгтэй тэнцүүлээд оройн координатыг гарга парабол, таны функцэд тохирох.

Олоод үзээрэй дээд парабол, тэгш хэм зэрэг өмчийн давуу талыг ашиглан. Үүнийг хийхийн тулд огтлолцох цэгүүдийг олоорой парабол x тэнхлэгтэй, функцийг тэгтэй тэнцүүлэх (y = 0-ийг орлуулах). Квадрат тэгшитгэлийг шийдсэнээр та x1 ба x2-ийг олох болно. Парабола нь дайран өнгөрч буй директристэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдаг дээд, эдгээр цэгүүд оройн абсциссаас ижил зайд байх болно. Үүнийг олохын тулд бид хуваана