Definicja logarytmu Najłatwiej zapisać to matematycznie:
Definicję logarytmu można zapisać w inny sposób:
Zwróć uwagę na ograniczenia nałożone na podstawę logarytmu ( A) i do wyrażenia sublogarytmicznego ( X). W przyszłości warunki te staną się ważnymi ograniczeniami dla OD, które należy wziąć pod uwagę przy rozwiązywaniu dowolnego równania z logarytmami. Zatem teraz, oprócz standardowych warunków prowadzących do ograniczeń ODZ (dodatnia wyrażenia pod pierwiastkiem potęg parzystych, nierówny mianownik do zera itp.), należy również wziąć pod uwagę następujące warunki:
- Wyrażenie sublogarytmiczne może być tylko dodatnie.
- Podstawa logarytmu może być tylko dodatnia i nie równa jedności.
Należy pamiętać, że ani podstawa logarytmu, ani wyrażenie sublogarytmiczne nie mogą być równe zero. Należy również pamiętać, że sama wartość logarytmu może przyjmować wszystkie możliwe wartości, tj. Logarytm może być dodatni, ujemny lub zerowy. Logarytmy mają wiele różnych właściwości, które wynikają z właściwości potęg i definicji logarytmu. Wymieńmy je. Zatem właściwości logarytmów:
Logarytm iloczynu:
Logarytm ułamka:
Odejmując stopień ze znaku logarytmu:
Zwróć szczególną uwagę szczególną uwagę do tych z ostatnich wymienionych właściwości, w których znak modułu pojawia się po przyjęciu stopnia. Nie zapominaj, że umieszczając potęgę parzystą poza znakiem logarytmu, pod logarytmem lub u podstawy, musisz pozostawić znak modułu.
Inny korzystne właściwości logarytmy:
Ta ostatnia właściwość jest bardzo często wykorzystywana w złożonych równaniach logarytmicznych i nierównościach. Należy o nim pamiętać tak samo jak o wszystkich innych, choć często się o nim zapomina.
Najprostsze równania logarytmiczne wyglądają następująco:
A ich rozwiązanie podaje wzór wynikający bezpośrednio z definicji logarytmu:
Inne proste równania logarytmiczne to takie, które przy użyciu przekształcenia algebraiczne a powyższe wzory i własności logarytmów można sprowadzić do postaci:
Rozwiązanie takich równań z uwzględnieniem ODZ jest następujące:
Niektórzy inni równania logarytmiczne ze zmienną u podstawy można sprowadzić do postaci:
W takich równaniach logarytmicznych widok ogólny rozwiązanie również wynika bezpośrednio z definicji logarytmu. Tylko w tym przypadku istnieją dodatkowe ograniczenia dla DZ, które należy wziąć pod uwagę. W rezultacie, aby rozwiązać równanie logarytmiczne ze zmienną w podstawie, należy rozwiązać następujący układ:
Podczas rozwiązywania bardziej złożonych równania logarytmiczne, którego nie można sprowadzić do żadnego z przedstawionych powyżej równań, jest również aktywnie wykorzystywane metoda zastępowania zmiennych. Jak zwykle, korzystając z tej metody, należy pamiętać, że po wprowadzeniu podstawienia równanie powinno się uprościć i nie zawierać już starej niewiadomej. Należy także pamiętać o wykonaniu odwrotnego podstawienia zmiennych.
Czasami przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych trzeba również użyć metoda graficzna. Ta metoda polega na budowaniu jak najdokładniej na jednym płaszczyzna współrzędnych wykresy funkcji znajdujących się po lewej i prawej stronie równania, a następnie znajdź na rysunku współrzędne punktów ich przecięcia. Otrzymane w ten sposób pierwiastki należy sprawdzić poprzez podstawienie do pierwotnego równania.
Często jest to również przydatne przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych metoda grupowania. Korzystając z tej metody, należy przede wszystkim pamiętać, że: aby iloczyn kilku czynników był równy zero, konieczne jest, aby przynajmniej jeden z nich był równy zero, a reszta istniała. Kiedy czynnikami są logarytmy lub nawiasy z logarytmami, a nie tylko nawiasy ze zmiennymi, jak w równaniach wymiernych, może wystąpić wiele błędów. Ponieważ logarytmy mają wiele ograniczeń w regionie, w którym istnieją.
Decydując układy równań logarytmicznych Najczęściej trzeba zastosować albo metodę podstawienia, albo metodę zastępowania zmiennych. Jeżeli istnieje taka możliwość, to przy rozwiązywaniu układów równań logarytmicznych należy dążyć do tego, aby każde z równań układu indywidualnie doprowadzić do postaci, w której możliwe będzie dokonanie przejścia od równania logarytmicznego do równania racjonalny.
Najprostsze nierówności logarytmiczne rozwiązuje się w przybliżeniu w taki sam sposób, jak podobne równania. Po pierwsze, korzystając z przekształceń algebraicznych i własności logarytmów, musimy spróbować doprowadzić je do postaci, w której logarytmy po lewej i prawej stronie nierówności będą miały tę samą podstawę, tj. uzyskaj nierówność postaci:
Następnie należy przejść do nierówności wymiernej, biorąc pod uwagę, że przejście to należy wykonać w następujący sposób: jeśli podstawa logarytmu jest większa niż jeden, to znaku nierówności nie trzeba zmieniać, a jeśli podstawa logarytmu jest mniejsza niż jeden, to należy zmienić znak nierówności na przeciwny (oznacza to zmianę „mniej” na „więcej” i odwrotnie). W takim przypadku nie ma potrzeby zmiany znaków minus na plusy, omijając poznane wcześniej zasady. Zapiszmy matematycznie, co otrzymamy w wyniku wykonania takiego przejścia. Jeśli podstawa jest większa od jedności, otrzymujemy:
Jeżeli podstawa logarytmu jest mniejsza niż jeden, zmieniamy znak nierówności i otrzymujemy następujący układ:
Jak widzimy, przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych tradycyjnie brany jest pod uwagę także ODZ (jest to trzeci warunek w powyższych układach). Co więcej, w tym przypadku można nie wymagać dodatniości obu wyrażeń sublogarytmicznych, lecz wymagać jedynie dodatniości mniejszego z nich.
Decydując nierówności logarytmiczne ze zmienną u podstawy logarytm, należy niezależnie rozważyć obie opcje (gdy podstawa jest mniejsza niż jeden i większa niż jeden) i połączyć rozwiązania tych przypadków w zbiór. Jednocześnie nie można zapomnieć o DL, czyli tzw. o tym, że zarówno podstawa, jak i wszystkie wyrażenia sublogarytmiczne muszą być dodatnie. Zatem rozwiązując nierówność postaci:
Otrzymujemy następujący zestaw układów:
Bardziej złożone nierówności logarytmiczne można również rozwiązać za pomocą zmiany zmiennych. Niektóre inne nierówności logarytmiczne (a także równania logarytmiczne) wymagają do rozwiązania procedury obliczania logarytmu obu stron nierówności lub równania. ta sama podstawa. Tak więc, przeprowadzając taką procedurę z nierównościami logarytmicznymi, istnieje subtelność. Należy pamiętać, że przy logarytmach o podstawie większej niż jeden znak nierówności się nie zmienia, ale jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, znak nierówności zostaje odwrócony.
Jeżeli nierówności logarytmicznej nie da się sprowadzić do wymiernej lub rozwiązać metodą podstawienia, to w tym przypadku należy zastosować uogólniona metoda przedziałowa, czyli następująco:
- Zdefiniuj DL;
- Przekształć nierówność tak, aby po prawej stronie było zero (po lewej stronie, jeśli to możliwe, sprowadź do wspólny mianownik, faktoryzacja itp.);
- Znajdź wszystkie pierwiastki licznika i mianownika i nanieś je na oś liczb, a jeśli nierówność nie jest ścisła, zamaluj pierwiastki licznika, ale w każdym razie pozostaw pierwiastki mianownika jako kropkowane;
- Znajdź znak całego wyrażenia na każdym z przedziałów, podstawiając liczbę z danego przedziału do przekształconej nierówności. W takim przypadku nie jest już możliwa żadna zmiana znaków podczas przechodzenia przez punkty na osi. Konieczne jest określenie znaku wyrażenia w każdym przedziale poprzez podstawienie wartości z przedziału do tego wyrażenia i tak dalej dla każdego przedziału. Nie jest to już możliwe (jest to w zasadzie różnica między uogólnioną metodą przedziałową a zwykłą);
- Znajdź przecięcie ODZ i przedziałów spełniających nierówność, ale nie trać poszczególnych punktów spełniających nierówność (pierwiastki licznika w nierównościach nieścisłych) i nie zapomnij wykluczyć z odpowiedzi wszystkich pierwiastków mianownik we wszystkich nierównościach.
- Z powrotem
- Do przodu
Jak skutecznie przygotować się do tomografii komputerowej z fizyki i matematyki?
Aby skutecznie przygotować się do egzaminu TK z fizyki i matematyki, należy spełnić trzy najważniejsze warunki:
- Zapoznaj się ze wszystkimi tematami i wykonaj wszystkie testy i zadania podane w materiałach edukacyjnych na tej stronie. Aby to zrobić, nie potrzebujesz niczego, a mianowicie: poświęcaj trzy do czterech godzin dziennie na przygotowanie się do CT z fizyki i matematyki, studiowanie teorii i rozwiązywanie problemów. Faktem jest, że CT to egzamin, na którym nie wystarczy znać fizykę czy matematykę, trzeba jeszcze umieć rozwiązywać szybko i bezbłędnie duża liczba zadania dla różne tematy i o różnym stopniu złożoności. Tego ostatniego można się nauczyć jedynie rozwiązując tysiące problemów.
- Naucz się wszystkich wzorów i praw fizyki oraz wzorów i metod matematyki. W rzeczywistości jest to również bardzo proste; w fizyce jest tylko około 200 niezbędnych formuł, a w matematyce jeszcze trochę mniej. W każdym z tych przedmiotów istnieje kilkanaście standardowych metod rozwiązywania problemów o podstawowym poziomie złożoności, których również można się nauczyć, a co za tym idzie, całkowicie automatycznie i bez trudności rozwiązując większość CT we właściwym czasie. Potem będziesz musiał myśleć tylko o najtrudniejszych zadaniach.
- Weź udział we wszystkich trzech etapach próbnych testów z fizyki i matematyki. Każdy RT można odwiedzić dwukrotnie, aby zdecydować się na obie opcje. Ponownie na CT oprócz umiejętności szybkiego i sprawnego rozwiązywania problemów oraz znajomości wzorów i metod trzeba także umieć odpowiednio zaplanować czas, rozłożyć siły i co najważniejsze poprawnie wypełnić formularz odpowiedzi, bez myląc liczbę odpowiedzi i problemów lub własne nazwisko. Ponadto podczas RT ważne jest, aby przyzwyczaić się do stylu zadawania pytań w problemach, który może wydawać się bardzo nietypowy dla nieprzygotowanej osoby w DT.
Pomyślne, sumienne i odpowiedzialne wdrożenie tych trzech punktów pozwoli Ci pokazać doskonały wynik na CT, maksimum tego, do czego jesteś zdolny.
Znalazłeś błąd?
Jeśli uważasz, że znalazłeś błąd w materiały edukacyjne, to proszę napisać o tym mailem. Możesz także zgłosić błąd do sieć społecznościowa(). W piśmie podaj temat (fizyka lub matematyka), nazwę lub numer tematu lub testu, numer zadania lub miejsce w tekście (stronie), w którym Twoim zdaniem znajduje się błąd. Opisz również, na czym polega podejrzewany błąd. Twój list nie pozostanie niezauważony, błąd zostanie poprawiony lub zostaniesz wyjaśniony, dlaczego nie jest to błąd.
Nierówność nazywa się logarytmiczną, jeśli zawiera funkcję logarytmiczną.
Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych nie różnią się od, z wyjątkiem dwóch rzeczy.
Po pierwsze, przechodząc od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych, należy podążaj za znakiem powstałej nierówności. Przestrzega następującej zasady.
Jeżeli podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż 1$, to przy przejściu od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych znak nierówności zostaje zachowany, natomiast jeśli jest mniejszy niż 1$, to zmienia się na przeciwny .
Po drugie, rozwiązaniem dowolnej nierówności jest przedział, dlatego na końcu rozwiązywania nierówności funkcji sublogarytmicznych konieczne jest utworzenie układu dwóch nierówności: pierwszą nierównością tego układu będzie nierówność funkcji sublogarytmicznych, a drugi będzie przedziałem dziedziny definicji funkcji logarytmicznych zawartych w nierówności logarytmicznej.
Praktyka.
Rozwiążmy nierówności:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Podstawą logarytmu jest $2>1$, więc znak się nie zmienia. Korzystając z definicji logarytmu otrzymujemy:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )