Zależność zmiennej y od zmiennej x, w której każda wartość x odpowiada pojedynczej wartości y, nazywana jest funkcją. Do oznaczenia należy stosować zapis y=f(x). Każda funkcja ma szereg podstawowych właściwości, takich jak monotoniczność, parzystość, okresowość i inne.
Przyjrzyj się bliżej właściwości parzystości.
Funkcja y=f(x) wywoływana jest nawet wtedy, gdy spełnia dwa warunki:
2. Wartość funkcji w punkcie x, należąca do dziedziny definicji funkcji, musi być równa wartości funkcji w punkcie -x. Oznacza to, że dla dowolnego punktu x musi być spełniona równość z dziedziny definicji funkcji: f(x) = f(-x).
Wykres funkcji parzystej
Jeśli zbudujesz wykres nawet funkcjonować będzie symetryczny względem osi Oy.
Na przykład funkcja y=x^2 jest parzysta. Sprawdźmy to. Dziedziną definicji jest cała oś liczbowa, czyli jest ona symetryczna względem punktu O.
Weźmy dowolne x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Zatem f(x) = f(-x). Zatem oba warunki są spełnione, co oznacza, że funkcja jest parzysta. Poniżej znajduje się wykres funkcji y=x^2.
Rysunek pokazuje, że wykres jest symetryczny względem osi Oy.
Wykres funkcji nieparzystej
Funkcję y=f(x) nazywamy nieparzystą, jeżeli spełnia dwa warunki:
1. Dziedzina definicji danej funkcji musi być symetryczna względem punktu O. To znaczy, jeśli jakiś punkt a należy do dziedziny definicji funkcji, to odpowiadający mu punkt -a także musi należeć do dziedziny definicji funkcji danej funkcji.
2. Dla dowolnego punktu x musi być spełniona równość z dziedziny definicji funkcji: f(x) = -f(x).
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu O – początku współrzędnych. Na przykład funkcja y=x^3 jest nieparzysta. Sprawdźmy to. Dziedziną definicji jest cała oś liczbowa, czyli jest ona symetryczna względem punktu O.
Weźmy dowolne x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Zatem f(x) = -f(x). Zatem oba warunki są spełnione, co oznacza, że funkcja jest nieparzysta. Poniżej znajduje się wykres funkcji y=x^3.
Rysunek wyraźnie pokazuje, że funkcja nieparzysta y=x^3 jest symetryczna względem początku.
Wstecz Naprzód
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Cele:
- tworzą pojęcie parzystości i nieparzystości funkcji, uczą umiejętności określania i wykorzystywania tych właściwości, gdy badania funkcji, kreślenie;
- rozwijać aktywność twórczą uczniów, logiczne myślenie, umiejętność porównywania, uogólniania;
- kultywuj ciężką pracę i kulturę matematyczną; rozwijać umiejętności komunikacyjne .
Sprzęt: instalacja multimedialna, tablica interaktywna, ulotki.
Formy pracy: frontalna i grupowa z elementami działalności poszukiwawczo-badawczej.
Źródła informacji:
1. Algebra 9. klasy A.G. Mordkovich. Podręcznik.
2. Algebra 9. klasa A.G. Mordkovich. Książka problemowa.
3. Algebra 9. klasa. Zadania służące nauce i rozwojowi uczniów. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.
POSTĘP LEKCJI
1. Moment organizacyjny
Ustalanie celów i zadań lekcji.
2. Sprawdzanie pracy domowej
Nr 10.17 (zeszyt zadań klasy 9. A.G. Mordkovich).
A) Na = F(X), F(X) = 
B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;
c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 w X ~ 0,4
4. F(X) > 0 o godz X > 0,4 ; F(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Funkcja wzrasta wraz z X € [– 2; + ∞)
6. Funkcja jest ograniczona od dołu.
7. Na naim = – 3, Na naib nie istnieje
8. Funkcja jest ciągła.
(Czy użyłeś algorytmu eksploracji funkcji?) Slajd.
2. Sprawdźmy tabelę, o którą zapytano Cię na slajdzie.
| Wypełnij tabelę | |||||
Dziedzina definicji |
Zera funkcji |
Przedziały stałości znaku |
Współrzędne punktów przecięcia wykresu z Oy | ||
 |
x = –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
x ≠ –5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Aktualizowanie wiedzy
– Podano funkcje.
– Określ zakres definicji każdej funkcji.
– Porównaj wartość każdej funkcji dla każdej pary wartości argumentów: 1 i – 1; 2 i – 2.
– Dla której z tych funkcji w dziedzinie definicji zachodzą równości F(– X)
= F(X), F(– X) = – F(X)? (wprowadź uzyskane dane do tabeli) Slajd
| F(1) i F(– 1) | F(2) i F(– 2) | grafika | F(– X) = –F(X) | F(– X) = F(X) | ||
| 1. F(X) = | ||||||
| 2. F(X) = X 3 | ||||||
| 3. F(X) = | X | | ||||||
| 4.F(X) = 2X – 3 | ||||||
| 5. F(X) = | X ≠ 0 |
|||||
| 6. F(X)= | X > –1 | i nieokreślony |
– Przeprowadzanie tę pracę chłopaki, zidentyfikowaliśmy jeszcze jedną właściwość funkcji, nieznaną wam, ale nie mniej ważną niż inne - jest to parzystość i dziwaczność funkcji. Zapisz temat lekcji: „Funkcje parzyste i nieparzyste”, naszym zadaniem jest nauczenie się określania parzystości i nieparzystości funkcji, aby poznać znaczenie tej właściwości w badaniu funkcji i sporządzaniu wykresów.
Znajdźmy zatem definicje w podręczniku i przeczytajmy (s. 110) . Slajd
def. 1 Funkcjonować Na = F (X), zdefiniowany na zbiorze X, nazywa się nawet, jeśli dla dowolnej wartości XЄ X zostanie wykonane równość f(–x)= f(x). Podaj przykłady.
def. 2 Funkcjonować y = f(x), zdefiniowany na zbiorze X, nazywa się dziwne, jeśli dla dowolnej wartości XЄ X zachodzi równość f(–х)= –f(х). Podaj przykłady.
Gdzie spotkaliśmy terminy „parzysty” i „nieparzysty”?
Jak myślisz, która z tych funkcji będzie parzysta? Dlaczego? Które są dziwne? Dlaczego?
Dla dowolnej funkcji formularza Na= x rz, Gdzie N– liczba całkowita, można argumentować, że funkcja jest nieparzysta, gdy N– nieparzyste i funkcja jest parzysta, gdy N- nawet.
– Zobacz funkcje Na= i Na = 2X– 3 nie są ani parzyste, ani nieparzyste, ponieważ równości nie są spełnione F(– X) = – F(X), F(–
X) = F(X)
Badanie, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta, nazywa się badaniem funkcji pod kątem parzystości. Slajd
W definicjach 1 i 2 mówiliśmy o wartościach funkcji w punktach x i – x, tym samym zakłada się, że funkcja jest również zdefiniowana w wartości X i przy – X.
def 3. Jeśli zbiór liczbowy wraz z każdym ze swoich elementów x zawiera także element przeciwny –x, to zbiór X zwany zbiorem symetrycznym.
Przykłady:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) są zbiorami symetrycznymi, a , [–5;4] są zbiorami asymetrycznymi.
– Czy nawet funkcje mają dziedzinę definicji, która jest zbiorem symetrycznym? Dziwne?
– Jeśli D( F) jest zbiorem asymetrycznym, to jaka jest funkcja?
– Zatem, jeśli funkcja Na = F(X) – parzysty lub nieparzysty, wówczas jego dziedziną definicji jest D( F) jest zbiorem symetrycznym. Czy prawdziwe jest stwierdzenie odwrotne: jeśli dziedziną definicji funkcji jest zbiór symetryczny, to czy jest ona parzysta czy nieparzysta?
– Oznacza to, że obecność zbioru symetrycznego dziedziny definicji jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym.
– Jak zatem badać funkcję na parzystość? Spróbujmy stworzyć algorytm.
Slajd
Algorytm badania funkcji parzystości
1. Ustalić, czy dziedzina definicji funkcji jest symetryczna. Jeśli nie, to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Jeśli tak, przejdź do kroku 2 algorytmu.
2. Napisz wyrażenie dla F(–X).
3. Porównaj F(–X).I F(X):
- Jeśli F(–X).= F(X), to funkcja jest parzysta;
- Jeśli F(–X).= – F(X), to funkcja jest nieparzysta;
- Jeśli F(–X) ≠ F(X) I F(–X) ≠ –F(X), to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Przykłady:
Zbadaj funkcję a) pod kątem parzystości Na= x 5 +; B) Na= ; V) Na= .
Rozwiązanie.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), zbiór symetryczny.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => funkcja h(x)= x 5 + nieparzyste.
b) y =,
Na = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), zbiór asymetryczny, co oznacza, że funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
V) F(X) = , y = fa (x),
1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Opcja 2
1. Czy dany zbiór jest symetryczny: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Wykres funkcji Na = F(X), Jeśli Na = F(X) jest funkcją parzystą.
Wykres funkcji Na = F(X), Jeśli Na = F(X) jest funkcją nieparzystą.
Wzajemne sprawdzenie slajd.
6. Praca domowa: №11.11, 11.21,11.22;
Dowód geometrycznego znaczenia własności parzystości.
***(Przypisanie opcji Unified State Examination).
1. Funkcja nieparzysta y = f(x) jest zdefiniowana na całej osi liczbowej. Dla dowolnej nieujemnej wartości zmiennej x wartość tej funkcji pokrywa się z wartością funkcji g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Znajdź wartość funkcji h( X) = o godz X = 3.
7. Podsumowanie
Ukryj Pokaż
Metody określania funkcji
Niech funkcję będzie dana wzorem: y=2x^(2)-3. Przypisując dowolne wartości zmiennej niezależnej x, można za pomocą tego wzoru obliczyć odpowiadające wartości zmiennej zależnej y. Na przykład, jeśli x=-0,5, to korzystając ze wzoru stwierdzamy, że odpowiadająca wartość y wynosi y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.
Biorąc dowolną wartość przyjmowaną przez argument x we wzorze y=2x^(2)-3, można obliczyć tylko jedną wartość funkcji, która jej odpowiada. Funkcję można przedstawić w postaci tabeli:
| X | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Korzystając z tej tabeli, możesz zobaczyć, że wartości argumentu -1 odpowiada wartość funkcji -3; a wartość x=2 będzie odpowiadać y=0 itd. Ważne jest również, aby wiedzieć, że każda wartość argumentu w tabeli odpowiada tylko jednej wartości funkcji.
Więcej funkcji można określić za pomocą wykresów. Za pomocą wykresu ustala się, która wartość funkcji koreluje z określoną wartością x. Najczęściej będzie to przybliżona wartość funkcji.
Funkcja parzysta i nieparzysta
Funkcja jest nawet funkcjonować, gdy f(-x)=f(x) dla dowolnego x z dziedziny definicji. Taka funkcja będzie symetryczna względem osi Oy.
Funkcja jest dziwna funkcja, gdy f(-x)=-f(x) dla dowolnego x z dziedziny definicji. Taka funkcja będzie symetryczna względem początku O (0;0).
Funkcja jest nawet nie, ani dziwne i nazywa się funkcjonować widok ogólny , gdy nie ma symetrii względem osi lub początku.
Przeanalizujmy następującą funkcję parzystości:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) z symetryczną dziedziną definicji względem początku. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Oznacza to, że funkcja f(x)=3x^(3)-7x^(7) jest nieparzysta.
Funkcja okresowa
Funkcja y=f(x) , w dziedzinie której zachodzi równość f(x+T)=f(x-T)=f(x) dla dowolnego x, nazywa się funkcja okresowa z okresem T \neq 0 .
Powtórzenie wykresu funkcji na dowolnym odcinku osi x o długości T.
Przedziały, w których funkcja jest dodatnia, czyli f(x) > 0, są odcinkami osi odciętych odpowiadającymi punktom wykresu funkcji leżącym nad osią odciętych.
f(x) > 0 włączone (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Przedziały, w których funkcja jest ujemna, czyli f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
k(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))
Ograniczona funkcja
Ograniczone od dołu Zwyczajowo wywołuje się funkcję y=f(x), x \in X, gdy istnieje liczba A, dla której nierówność f(x) \geq A zachodzi dla dowolnego x \in X .
Przykład funkcji ograniczonej od dołu: y=\sqrt(1+x^(2)) ponieważ y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 dla dowolnego x .
Ograniczone od góry funkcja y=f(x), x \in X jest wywoływana, gdy istnieje liczba B, dla której nierówność f(x) \neq B zachodzi dla dowolnego x \in X .
Przykład funkcji ograniczonej poniżej: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] ponieważ y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 dla dowolnego x \in [-1;1] .
Ograniczony Zwyczajowo wywołuje się funkcję y=f(x), x \in X, gdy istnieje liczba K > 0, dla której nierówność \left | f(x)\prawo | \neq K dla dowolnego x \in X .
Przykład ograniczona funkcja: y=\sin x jest ograniczone na całej osi liczbowej, ponieważ \w lewo | \sin x \right | \neq 1.
Funkcja rosnąca i malejąca
Zwyczajowo mówi się o funkcji, która rośnie w rozpatrywanym przedziale jako funkcja rosnąca Kiedy wyższa wartość x będzie odpowiadać większej wartości funkcji y=f(x) . Wynika z tego, że biorąc dwie dowolne wartości argumentu x_(1) i x_(2) z rozważanego przedziału, przy x_(1) > x_(2) , wynikiem będzie y(x_(1)) > y(x_(2)).
Nazywa się funkcję, która maleje w rozpatrywanym przedziale funkcja malejąca gdy większa wartość x odpowiada mniejszej wartości funkcji y(x) . Wynika z tego, że biorąc dwie dowolne wartości argumentu x_(1) i x_(2) z rozważanego przedziału, przy x_(1) > x_(2) , wynikiem będzie y(x_(1))< y(x_{2}) .
Korzenie funkcji Zwyczajowo nazywa się punkty, w których funkcja F=y(x) przecina oś odciętych (uzyskuje się je rozwiązując równanie y(x)=0).
a) Jeżeli dla x > 0 funkcja parzysta rośnie, to dla x maleje< 0
b) Gdy funkcja parzysta maleje przy x > 0, to rośnie przy x< 0
.png)
c) Gdy funkcja nieparzysta rośnie przy x > 0, to również rośnie przy x< 0
d) Gdy funkcja nieparzysta maleje dla x > 0, to zmniejsza się również dla x< 0
.png)
Ekstrema funkcji
Minimalny punkt funkcji y=f(x) nazywa się zwykle punktem x=x_(0), którego sąsiedztwo będzie miało inne punkty (z wyjątkiem punktu x=x_(0)), i dla nich nierówność f(x) > f będzie wówczas wynosić zadowolony (x_(0)) . y_(min) - oznaczenie funkcji w punkcie min.
Maksymalny punkt funkcji y=f(x) nazywa się zwykle punktem x=x_(0), którego sąsiedztwo będzie miało inne punkty (z wyjątkiem punktu x=x_(0)), i dla nich nierówność f(x) będzie wówczas spełniona< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Warunek wstępny
Zgodnie z twierdzeniem Fermata: f”(x)=0, gdy funkcja f(x) różniczkowalna w punkcie x_(0) będzie miała w tym punkcie ekstremum.
Stan wystarczający
- Gdy pochodna zmieni znak z plusa na minus, wówczas x_(0) będzie punktem minimalnym;
- x_(0) - będzie punktem maksymalnym tylko wtedy, gdy pochodna zmieni znak z minus na plus przy przejściu przez punkt stacjonarny x_(0) .
Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale
Kroki obliczeniowe:
- Poszukuje się pochodnej f”(x);
- Znaleziono punkty stacjonarne i krytyczne funkcji oraz wybrano te, które należą do odcinka;
- Wartości funkcji f(x) znajdują się w punktach stacjonarnych i krytycznych oraz na końcach odcinka. Mniejszy z uzyskanych wyników będzie najniższa wartość funkcje i więcej - największy.
Które były ci w takim czy innym stopniu znane. Zaznaczono tam także, że zasób właściwości funkcjonalnych będzie sukcesywnie uzupełniany. W tej sekcji zostaną omówione dwie nowe właściwości.
Definicja 1.
Funkcja y = f(x), x є X, jest wywoływana nawet wtedy, gdy dla dowolnej wartości x ze zbioru X zachodzi równość f (-x) = f (x).
Definicja 2.
Funkcję y = f(x), x є X nazywamy nieparzystą, jeśli dla dowolnej wartości x ze zbioru X zachodzi równość f (-x) = -f (x).
Udowodnij, że y = x 4 jest funkcją parzystą.
Rozwiązanie. Mamy: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ale(-x) 4 = x 4. Oznacza to, że dla dowolnego x zachodzi równość f(-x) = f(x), tj. funkcja jest parzysta.
Podobnie można udowodnić, że funkcje y – x 2, y = x 6, y – x 8 są parzyste.
Udowodnić, że y = x 3 ~ funkcja nieparzysta.
Rozwiązanie. Mamy: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3. Oznacza to, że dla dowolnego x zachodzi równość f (-x) = -f (x), tj. funkcja jest nieparzysta.
Podobnie można udowodnić, że funkcje y = x, y = x 5, y = x 7 są nieparzyste.
Niejednokrotnie byliśmy już przekonani, że nowe terminy w matematyce mają najczęściej „ziemskie” pochodzenie, tj. można je jakoś wytłumaczyć. Dzieje się tak zarówno w przypadku funkcji parzystych, jak i nieparzystych. Patrz: y - x 3, y = x 5, y = x 7 - dziwne funkcje, podczas gdy y = x 2, y = x 4, y = x 6 są funkcjami parzystymi. I ogólnie dla dowolnej funkcji postaci y = x” (poniżej szczegółowo przestudiujemy te funkcje), gdzie n - liczba naturalna, możemy stwierdzić: jeśli n nie jest liczba parzysta, to funkcja y = x" jest nieparzysta; jeśli n jest liczbą parzystą, to funkcja y = xn jest parzysta.
Istnieją również funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Taka jest na przykład funkcja y = 2x + 3. Rzeczywiście f(1) = 5 i f (-1) = 1. Jak więc widać, tutaj zatem ani tożsamość f(-x) = f (x), ani tożsamość f(-x) = -f(x).
Zatem funkcja może być parzysta, nieparzysta lub żadna z nich.
Studiując pytanie, czy dana funkcja parzyste lub nieparzyste jest zwykle nazywane badaniem funkcji parzystości.
Definicje 1 i 2 odnoszą się do wartości funkcji w punktach x i -x. Zakłada się, że funkcja jest zdefiniowana zarówno w punkcie x, jak i w punkcie -x. Oznacza to, że punkt -x należy do dziedziny definicji funkcji jednocześnie z punktem x. Jeśli zbiór liczbowy X wraz z każdym jego elementem x zawiera także element przeciwny -x, to X nazywa się zbiorem symetrycznym. Powiedzmy, że (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) są zbiorami symetrycznymi, podczas gdy )