V matematiki je aritmetična sredina števil (ali preprosto sredina) vsota vseh števil v danem nizu, deljena s številom števil. To je najbolj splošen in razširjen koncept povprečne vrednosti. Kot ste že razumeli, morate za iskanje sešteti vse številke, ki so vam bile dane, in dobljeni rezultat deliti s številom izrazov.
Kaj je aritmetična sredina?
Poglejmo si primer.
Primer 1. Dana števila: 6, 7, 11. Poiskati morate njihovo povprečno vrednost.
rešitev.
Najprej poiščimo vsoto vseh teh števil.
Zdaj razdelite dobljeno vsoto s številom členov. Ker imamo tri izraze, bomo torej delili s tri.
Zato je povprečje števil 6, 7 in 11 8. Zakaj 8? Da, ker bo vsota 6, 7 in 11 enaka trem osmicam. To je jasno razvidno iz ilustracije.
Povprečje je podobno "izravnavanju" niza številk. Kot lahko vidite, so kupi svinčnikov postali enaki.
Oglejmo si še en primer za utrjevanje pridobljenega znanja.
Primer 2. Dana števila: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Poiskati morate njihovo aritmetično sredino.
rešitev.
Poiščite znesek.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Razdelite s številom izrazov (v tem primeru - 15).
Zato je povprečna vrednost te serije števil 22.
Zdaj pa poglejmo negativna števila. Spomnimo se, kako jih povzeti. Na primer, imate dve številki 1 in -4. Poiščimo njihovo vsoto.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
Ker to vemo, poglejmo še en primer.
Primer 3. Poiščite povprečno vrednost niza števil: 3, -7, 5, 13, -2.
rešitev.
Poišči vsoto števil.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Ker je členov 5, dobljeno vsoto delite s 5.
Zato je aritmetična sredina števil 3, -7, 5, 13, -2 2,4.
V našem času tehnološkega napredka je veliko bolj priročno uporabiti računalniške programe za iskanje povprečne vrednosti. Microsoft Office Excel je eden izmed njih. Iskanje povprečja v Excelu je hitro in enostavno. Poleg tega je ta program vključen v programski paket Microsoft Office. Razmislimo kratka navodila, vrednost uporabe tega programa.
Če želite izračunati povprečno vrednost niza števil, morate uporabiti funkcijo AVERAGE. Sintaksa te funkcije je:
= Povprečje(argument1, argument2, ... argument255)
kjer so argument1, argument2, ... argument255 številke ali sklice na celice (celice se nanašajo na obsege in polja).
Da bo bolj jasno, poskusimo znanje, ki smo ga pridobili.
- V celice C1 - C6 vnesite številke 11, 12, 13, 14, 15, 16.
- Izberite celico C7 s klikom nanjo. V tej celici bomo prikazali povprečno vrednost.
- Kliknite zavihek Formule.
- Izberite Več funkcij > Statistika, da odprete
- Izberite AVERAGE. Po tem bi se moralo odpreti pogovorno okno.
- Izberite in povlecite celice C1-C6 tja, da nastavite obseg v pogovornem oknu.
- Potrdite svoja dejanja z gumbom "V redu".
- Če ste vse naredili pravilno, bi morali imeti odgovor v celici C7 - 13.7. Ko kliknete celico C7, se v vrstici s formulo prikaže funkcija (=Povprečje(C1:C6)).
Ta funkcija je zelo uporabna za računovodstvo, račune ali ko morate le najti povprečje zelo dolgega niza številk. Zato se pogosto uporablja v pisarnah in velikih podjetjih. To vam omogoča vzdrževanje reda v vaših evidencah in omogoča hiter izračun (na primer povprečnega mesečnega dohodka). Za iskanje povprečne vrednosti funkcije lahko uporabite tudi Excel.
Najpogostejša vrsta povprečja je aritmetična sredina.
Preprosta aritmetična sredina
Preprosta aritmetična sredina je povprečni izraz, pri določanju katerega je skupni obseg danega atributa v podatkih enakomerno porazdeljen med vse enote, vključene v dano populacijo. Tako je povprečna letna proizvodnja na zaposlenega količina proizvodnje, ki bi jo proizvedel vsak zaposleni, če bi bil celoten obseg proizvodnje enakomerno porazdeljen med vse zaposlene v organizaciji. Aritmetična sredina enostavne vrednosti se izračuna po formuli:
Primer 1 .Preprosto aritmetično povprečje— Enako razmerju med vsoto posameznih vrednosti značilnosti in številom značilnosti v agregatu
Ekipa 6 delavcev prejme 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tisoč rubljev na mesec.
Poiščite povprečno plačo
Rešitev: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tisoč rubljev.
Uteženo aritmetično povprečje
Predstavljajmo si to v obliki naslednje formule:
Primer 2 .Uteženo aritmetično povprečje— enako razmerju med (vsoto zmnožkov vrednosti lastnosti in pogostostjo ponavljanja te značilnosti) proti (vsoti frekvenc vseh značilnosti). neenakomerno število krat.
Poiščite povprečno mesečno plačo delavcev v delavnici Povprečno plačo lahko dobimo tako, da delimo skupno plače na skupno število
delavci:
Odgovor: 3,35 tisoč rubljev.
Aritmetična sredina za intervalne serije
Pri izračunu aritmetične sredine za niz intervalnih variacij najprej določite srednjo vrednost za vsak interval kot polovično vsoto zgornje in spodnje meje, nato pa srednjo vrednost celotne serije. V primeru odprtih intervalov je vrednost spodnjega ali zgornjega intervala določena z velikostjo intervalov, ki mejijo nanje.
Povprečja, izračunana iz intervalnih vrst, so približna. Primer 3 . Določite srednja leta
večerni študenti.
Povprečja, izračunana iz intervalnih vrst, so približna. Stopnja njihovega približevanja je odvisna od tega, v kolikšni meri se dejanska porazdelitev populacijskih enot znotraj intervala približuje enakomerni porazdelitvi.
Pri izračunu povprečij se lahko kot uteži uporabljajo ne samo absolutne, ampak tudi relativne vrednosti (frekvenca):
Aritmetična sredina ima številne lastnosti, ki bolj razkrivajo njeno bistvo in poenostavljajo izračune:
1. Zmnožek povprečja z vsoto frekvenc je vedno enak vsoti zmnožkov variant po frekvencah, tj.
2. Aritmetična sredina vsote spremenljivih količin je enaka vsoti aritmetičnih sredin teh količin:
3. Algebraična vsota odstopanj posameznih vrednosti značilnosti od povprečja je enaka nič:
4. Vsota kvadratov odstopanj opcij od povprečja je manjša od vsote kvadratov odstopanj od katere koli druge poljubne vrednosti, tj. Koncept aritmetičnega povprečja števil pomeni rezultat preprostega zaporedja izračunov povprečne vrednosti za vnaprej določeno število števil. Treba je opozoriti, da je ta vrednost v danem času široko uporabljajo strokovnjaki v številnih panogah. Na primer, formule so znane pri izvajanju izračunov s strani ekonomistov ali delavcev v statistični industriji, kjer je zahtevana vrednost te vrste
. Poleg tega se ta kazalnik aktivno uporablja v številnih drugih panogah, ki so povezane z zgoraj navedenim. Ena od značilnosti izračunov dano vrednost je preprostost postopka. Vsakdo lahko to stori. Če želite to narediti, vam ni treba imeti posebno izobraževanje. Pogosto ni potrebe po uporabi računalniške tehnologije.
Če želite odgovoriti na vprašanje, kako najti aritmetično sredino, razmislite o številnih situacijah.
Najbolj preprosta možnost izračun dane vrednosti je izračun za dve števili. Postopek izračuna v tem primeru je zelo preprost:
- Na začetku morate izvesti operacijo seštevanja izbranih številk. To je pogosto mogoče storiti, kot pravijo, ročno, brez uporabe elektronske opreme.
- Ko je izvedeno seštevanje in je rezultat dobljen, je treba izvesti deljenje. Ta operacija vključuje deljenje vsote dveh seštetih števil z dva – število dodanih števil. To dejanje vam bo omogočilo pridobitev zahtevane vrednosti.
Formula
Tako bo formula za izračun zahtevane vrednosti v primeru dveh videti takole:
(A+B)/2
Ta formula uporablja naslednji zapis:
A in B sta vnaprej izbrani števili, za kateri morate najti vrednost.
Iskanje vrednosti za tri
Izračun te vrednosti v situaciji, ko so izbrane tri številke, se ne bo veliko razlikoval od prejšnje možnosti:
- Če želite to narediti, izberite številke, potrebne za izračun, in jih seštejte, da dobite skupno.
- Ko je ta vsota tri najdena, je treba ponovno izvesti postopek deljenja. V tem primeru je treba dobljeni znesek deliti s tri, kar ustreza številu izbranih številk.
Formula
Tako bo formula, potrebna za izračun aritmetične tri, videti takole:
(A+B+C)/3
V tej formuli Sprejet je naslednji zapis:
A, B in C so številke, za katere boste morali najti aritmetično sredino.
Računanje aritmetične sredine štirih
Kot je že razvidno po analogiji s prejšnjimi možnostmi, bo izračun te vrednosti za količino, ki je enaka štirim, v naslednjem vrstnem redu:
- Izberejo se štiri števke, za katere je treba izračunati aritmetično sredino. Nato se izvede seštevanje in najde končni rezultat tega postopka.
- Zdaj, da bi dobili končni rezultat, bi morali vzeti dobljeno vsoto štiri in jo deliti s štiri. Prejeti podatki bodo zahtevana vrednost.
Formula
Iz zgoraj opisanega zaporedja dejanj za iskanje aritmetične sredine za štiri lahko dobite naslednjo formulo:
(A+B+C+E)/4
V tej formuli spremenljivke imajo naslednja vrednost:
A, B, C in E so tisti, za katere je treba najti vrednost aritmetične sredine.
S to formulo bo vedno mogoče izračunati zahtevano vrednost za določeno število številk.
Izračun aritmetične sredine pet
Izvajanje te operacije bo zahtevalo določen algoritem dejanj.
- Najprej morate izbrati pet števil, za katere se bo izračunala aritmetična sredina. Po tem izboru je treba te številke, tako kot v prejšnjih možnostih, le sešteti in dobiti končni znesek.
- Nastali znesek bo treba deliti z njihovim številom za pet, kar vam bo omogočilo, da dobite zahtevano vrednost.
Formula
Tako, podobno kot pri prej obravnavanih možnostih, dobimo naslednjo formulo za izračun aritmetične sredine:
(A+B+C+E+P)/5
V tej formuli so spremenljivke označene na naslednji način:
A, B, C, E in P so števila, za katera je potrebno pridobiti aritmetično sredino.
Univerzalna formula za izračun
Izvajanje pregleda različne možnosti formule za izračun aritmetične sredine, lahko ste pozorni na dejstvo, da imajo splošen vzorec.
Zato bo bolj praktično uporabiti splošno formulo za iskanje aritmetične sredine. Navsezadnje obstajajo situacije, ko sta lahko število in obseg izračunov zelo velika. Zato bi bilo bolj smiselno uporabiti univerzalno formulo in ne vsakič razvijati posamezne tehnologije za izračun te vrednosti.
Glavna stvar pri določanju formule je princip izračuna aritmetične sredine O.
To načelo, kot je razvidno iz navedenih primerov, izgleda takole:
- Prešteje se število števil, ki so navedena za pridobitev zahtevane vrednosti. To operacijo je mogoče izvesti ročno z majhnim številom številk ali z uporabo računalniške tehnologije.
- Izbrana števila se seštejejo. Ta operacija se v večini primerov izvaja z uporabo računalniške tehnologije, saj so številke lahko sestavljene iz dveh, treh ali več števk.
- Znesek, dobljen s seštevanjem izbranih števil, je treba deliti z njihovim številom. Ta vrednost se določi na začetni stopnji izračuna aritmetične sredine.
Tako bo splošna formula za izračun aritmetične sredine niza izbranih števil videti takole:
(A+B+...+N)/N
Ta formula vsebuje naslednje spremenljivke:
A in B sta števili, ki sta vnaprej izbrani za izračun njihove aritmetične sredine.
N je število števil, ki so bila vzeta za izračun zahtevane vrednosti.
Z vsakokratno zamenjavo izbranih števil v to formulo lahko vedno dobimo zahtevano vrednost aritmetične sredine.
Kot vidite, iskanje aritmetične sredine je preprost postopek. Vendar morate biti previdni pri izvedenih izračunih in preveriti dobljene rezultate. Ta pristop je razložen z dejstvom, da tudi v najpreprostejših situacijah obstaja možnost prejema napake, ki lahko nato vpliva na nadaljnje izračune. V zvezi s tem je priporočljivo uporabljati računalniško tehnologijo, ki je sposobna izvajati izračune katere koli kompleksnosti.
- najprej seštejte ta števila (1+3+5+7) in dobite 16
- Dobljeni rezultat moramo deliti s 4 (količina): 16/4 in dobiti rezultat 4.
- iščemo skupno težo vseh jabolk (vsota vseh indikatorjev) - enaka je 1080 gramov,
- skupno težo delite s številom jabolk 1080:5 = 216 gramov. To je aritmetična sredina.
- N.Ya. Vilenkin. Matematika: učbenik. za 5. razred. splošno izobraževanje uhr. - Ed. 17. - M.: Mnemosyne, 2005. )
- Igor je imel pri sebi 45 rubljev, Andrej 28, Denis pa 17.
- Z vsem denarjem so kupili 3 vstopnice za kino. Koliko je stala ena vstopnica?
Aritmetična sredina je vsota števil, deljena s številom teh istih števil. In iskanje aritmetične sredine je zelo preprosto.
Kot izhaja iz definicije, moramo vzeti števila, jih sešteti in deliti z njihovim številom.
Navedimo primer: dana so nam števila 1, 3, 5, 7 in poiskati moramo aritmetično sredino teh števil.
Torej povprečje aritmetična števila 1, 3, 5 in 7 so 4.
Aritmetična sredina - povprečna vrednost med danimi indikatorji.
Ugotovimo ga tako, da vsoto vseh kazalnikov delimo z njihovim številom.
Na primer, imam 5 jabolk, ki tehtajo 200, 250, 180, 220 in 230 gramov.
Povprečno težo 1 jabolka ugotovimo na naslednji način:
To je najpogosteje uporabljen kazalnik v statistiki.
Aritmetična sredina so številke, seštete in deljene s svojim številom, dobljeni odgovor je aritmetična sredina.
Na primer: Katja je v hranilnik dala 50 rubljev, Maksim 100 rubljev, Saša pa 150 rubljev. 50 + 100 + 150 = 300 rubljev v hranilniku, zdaj ta znesek delimo s tri (trije ljudje vložijo denar). Torej 300: 3 = 100 rubljev. Teh 100 rubljev bo aritmetično povprečje, vsak od njih bo dal v hranilnik.
Obstaja tako preprost primer: ena oseba je meso, druga zelje in aritmetično povprečje oba jesta zeljne žemljice.
Na enak način se izračuna povprečna plača...
Aritmetična sredina je vsota vseh vrednosti in deljena z njihovim številom.
Na primer številke 2, 3, 5, 6. Sešteti jih morate 2+ 3+ 5 + 6 = 16
16 delimo s 4 in dobimo odgovor 4.
4 je aritmetična sredina teh števil.
Aritmetična sredina več števil je vsota teh števil, deljena z njihovim številom.
x povprečna aritmetična sredina
S vsota števil
n število številk.
Na primer, najti moramo aritmetično sredino števil 3, 4, 5 in 6.
Če želite to narediti, jih moramo sešteti in dobljeni znesek deliti s 4:
(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.
Spomnim se zadnjega testa iz matematike
Torej je bilo treba najti aritmetično sredino.
To je dobro dobri ljudje Povedali so mi, kaj naj naredim, sicer bodo težave.
Na primer, imamo 4 številke.
Seštejte števila in delite z njihovim številom (in v tem primeru 4)
Na primer številke 2,6,1,1. Seštejte 2+6+1+1 in delite s 4 = 2,5
Kot lahko vidite, nič zapletenega. Torej je aritmetična sredina povprečje vseh števil.
To vemo iz šole. Vsakdo, ki je imel dobrega učitelja matematike, se je lahko spomnil tega preprostega dejanja prvič.
Ko najdete aritmetično sredino, morate sešteti vse razpoložljive številke in jih deliti z njihovim številom.
Na primer, v trgovini sem kupil 1 kg jabolk, 2 kg banan, 3 kg pomaranč in 1 kg kivija. Koliko kilogramov sadja sem povprečno kupil?
7/4 = 1,8 kilograma. To bo aritmetična sredina.
Aritmetična sredina je povprečje števila med več števili.
Na primer, med številkama 2 in 4 je srednja številka 3.
Formula za iskanje aritmetične sredine je:
Vse številke morate sešteti in deliti s številom teh številk:
Na primer, imamo 3 številke: 2, 5 in 8.
Iskanje aritmetične sredine:
X=(2+5+8)/3=15/3=5
Področje uporabe aritmetične sredine je precej široko.
Če na primer poznate koordinate dveh točk na segmentu, lahko najdete koordinate sredine tega segmenta.
Na primer, koordinate segmenta: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).
Označimo sredino tega segmenta s koordinatami X3,Y3,Z3.
Za vsako koordinato posebej poiščemo sredino:
Aritmetična sredina je povprečje danih...
Tisti. Preprosto, imamo več palic različnih dolžin in želimo ugotoviti njihovo povprečno vrednost.
Logično je, da jih za to združimo, dobimo dolgo palico in jo nato razdelimo na potrebno število delov.
Tukaj je aritmetična sredina ...
Tako je izpeljana formula: Sa=(S(1)+..S(n))/n..
Aritmetika velja za najbolj elementarno vejo matematike in preučuje preproste operacije s števili. Zato je tudi aritmetično sredino zelo enostavno najti. Začnimo z definicijo. Aritmetična sredina je vrednost, ki pokaže, katero število je najbližje resnici po več zaporednih istovrstnih operacijah. Na primer, ko teče sto metrov, oseba vsakič pokaže drugačni časi, vendar bo povprečna vrednost znotraj na primer 12 sekund. Iskanje aritmetične sredine na ta način se zmanjša na zaporedno seštevanje vseh številk v določeni seriji (rezultati dirk) in deljenje te vsote s številom teh dirk (poskusi, številke). V obliki formule je videti takole:
Sarif = (Х1+Х2+..+Хn)/n
Kot matematika me zanimajo vprašanja na to temo.
Začel bom z zgodovino vprašanja. O povprečnih vrednostih so razmišljali že od antičnih časov. Aritmetična sredina, geometrična sredina, harmonična sredina. Ti koncepti so predlagani v antična Grčija pitagorejci.
In zdaj vprašanje, ki nas zanima. Kaj je mišljeno z aritmetična sredina več števil:
Če želite torej najti aritmetično sredino števil, morate sešteti vsa števila in dobljeno vsoto deliti s številom členov.
Formula je:
Primer. Poiščite aritmetično sredino števil: 100, 175, 325.
Uporabimo formulo za iskanje aritmetične sredine treh števil (to pomeni, da bo namesto n 3; morate sešteti vsa 3 števila in dobljeno vsoto deliti z njihovim številom, tj. s 3). Imamo: x=(100+175+325)/3=600/3=200.
Trije otroci so šli v gozd nabirat jagode. Najstarejša hči našel 18 jagod, srednji - 15 in mlajši brat - 3 jagode (glej sliko 1). Jagode sta prinesla mami, ki se je odločila, da bo jagode enakomerno razdelila. Koliko jagod je prejel vsak otrok?
riž. 1. Ilustracija za problem
rešitev
(Yag.) - otroci so zbrali vse
2) Skupno število jagod delite s številom otrok:
(Yag.) je šel k vsakemu otroku
Odgovori: Vsak otrok prejme 12 jagod.
Pri nalogi 1 je število, dobljeno v odgovoru, aritmetična sredina.
Aritmetična sredina več števil imenujemo količnik deljenja vsote teh števil z njihovim številom.
Primer 1
Imamo dve števili: 10 in 12. Poiščite njuno aritmetično sredino.
rešitev
1) Določimo vsoto teh števil: .
2) Število teh števil je 2, zato je aritmetična sredina teh števil: .
Odgovori: Aritmetična sredina števil 10 in 12 je število 11.
Primer 2
Imamo pet števil: 1, 2, 3, 4 in 5. Poiščite njihovo aritmetično sredino.
rešitev
1) Vsota teh števil je enaka: .
2) Po definiciji je aritmetična sredina količnik deljenja vsote števil z njihovim številom. Imamo pet števil, torej je aritmetična sredina:
Odgovori: aritmetična sredina podatkov v pogoju številk je 3.
Poleg tega, da se pri pouku nenehno predlaga iskanje, je iskanje aritmetične sredine zelo uporabno pri vsakdanje življenje. Recimo, da želimo iti na počitnice v Grčijo. Za izbiro primernih oblačil pogledamo Temperature v tej državi v v tem trenutku. Vendar ne bomo vedeli velika slika vreme. Zato je treba ugotoviti temperaturo zraka v Grčiji, na primer za en teden, in poiskati aritmetično povprečje teh temperatur.
Povprečja, izračunana iz intervalnih vrst, so približna.
Temperatura v Grčiji za teden: ponedeljek - ; torek - ; sreda - ; četrtek - ; petek - ; sobota - ; nedelja -. Izračunajte povprečno temperaturo za teden.
rešitev
1) Izračunajmo vsoto temperatur: .
2) Dobljeni znesek razdelite na število dni: .
Odgovori: Povprečna tedenska temperatura je pribl.
Sposobnost iskanja aritmetične sredine je morda potrebna tudi za določitev povprečne starosti igralcev nogometna ekipa, torej da bi ugotovili, ali je ekipa izkušena ali ne. Treba je sešteti starost vseh igralcev in deliti z njihovim številom.
Problem 2
Trgovec je prodajal jabolka. Sprva jih je prodajal po ceni 85 rubljev za 1 kg. Tako je prodal 12 kg. Nato je znižal ceno na 65 rubljev in prodal preostale 4 kg jabolk. Kakšna je bila povprečna cena jabolk?
rešitev
1) Izračunajmo, koliko denarja je trgovec skupaj zaslužil. Prodal je 12 kilogramov po ceni 85 rubljev za 1 kg: 
(drgnite.).
Prodal je 4 kilograme po ceni 65 rubljev za 1 kg: (rubljev).
Zato je skupni znesek zasluženega denarja enak: (rub.).
2) Skupna masa prodanih jabolk je enaka: .
3) Prejeto vsoto denarja razdelite na skupno težo prodanih jabolk in dobite povprečno ceno za 1 kg jabolk: (rubljev).
Odgovori: povprečna cena 1 kg prodanih jabolk je 80 rubljev.
Aritmetična sredina pomaga ovrednotiti podatke kot celoto, ne da bi upoštevali vsako vrednost posebej.
Vendar ni vedno mogoče uporabiti koncepta aritmetične sredine.
Primer 4
Strelec je dvakrat streljal v tarčo (glej sliko 2): prvič je zadel meter nad tarčo, drugič pa meter nižje. Aritmetično povprečje bo pokazalo, da je zadel točno v sredino, čeprav je obakrat zgrešil.
riž. 2. Na primer ilustracija
V tej lekciji smo spoznali koncept aritmetične sredine. Spoznali smo definicijo tega pojma, naučili smo se izračunati aritmetično sredino za več števil. Tudi naučili smo se praktična uporaba ta koncept.