Ορισμός.Ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός με τον οποίο διαιρούνται οι αριθμοί a και b χωρίς υπόλοιπο ονομάζεται μέγιστος κοινός διαιρέτης (GCD)αυτούς τους αριθμούς.
Ας βρούμε το μεγαλύτερο κοινός διαιρέτηςαριθμούς 24 και 35.
Οι διαιρέτες του 24 είναι οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 και οι διαιρέτες του 35 είναι οι αριθμοί 1, 5, 7, 35.
Βλέπουμε ότι οι αριθμοί 24 και 35 έχουν μόνο έναν κοινό διαιρέτη - τον αριθμό 1. Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται αμοιβαία πρωταρχική.
Ορισμός.Οι φυσικοί αριθμοί ονομάζονται αμοιβαία πρωταρχική, αν ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους (GCD) είναι 1.
Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD)μπορούν να βρεθούν χωρίς να γράψουμε όλους τους διαιρέτες των δεδομένων αριθμών.
Συνυπολογίζοντας τους αριθμούς 48 και 36, παίρνουμε:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Από τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση του πρώτου από αυτούς τους αριθμούς, διαγράφουμε αυτούς που δεν περιλαμβάνονται στην επέκταση του δεύτερου αριθμού (δηλαδή δύο δύο).
Οι συντελεστές που απομένουν είναι 2 * 2 * 3. Το γινόμενο τους είναι ίσο με 12. Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 48 και 36. Βρίσκεται επίσης ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τριών ή περισσότερων αριθμών.
Να βρω μέγιστο κοινό διαιρέτη
2) από τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από αυτούς τους αριθμούς, διαγράψτε αυτούς που δεν περιλαμβάνονται στην επέκταση άλλων αριθμών.
3) βρείτε το γινόμενο των υπόλοιπων παραγόντων.
Εάν όλοι οι αριθμοί που δίνονται διαιρούνται με έναν από αυτούς, τότε αυτός ο αριθμός είναι μέγιστο κοινό διαιρέτηδεδομένους αριθμούς.
Για παράδειγμα, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 15, 45, 75 και 180 είναι ο αριθμός 15, αφού όλοι οι άλλοι αριθμοί διαιρούνται με αυτόν: 45, 75 και 180.
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM)
Ορισμός. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) φυσικούς αριθμούςΤο a και το b είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του a και του b. Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των αριθμών 75 και 60 μπορεί να βρεθεί χωρίς να γράψετε τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών στη σειρά. Για να γίνει αυτό, ας αποσυνθέσουμε το 75 και το 60 σε πρωταρχικούς παράγοντες: 75 = 3 * 5 * 5 και 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Ας γράψουμε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση του πρώτου από αυτούς τους αριθμούς και ας προσθέσουμε σε αυτούς τους συντελεστές 2 και 2 που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού (δηλαδή, συνδυάζουμε τους παράγοντες).
Παίρνουμε πέντε παράγοντες 2 * 2 * 3 * 5 * 5, το γινόμενο των οποίων είναι 300. Αυτός ο αριθμός είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 75 και 60.
Βρίσκουν επίσης το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών.
Προς την βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιοαρκετούς φυσικούς αριθμούς, χρειάζεστε:
1) συντελεστές τους σε πρώτους παράγοντες.
2) καταγράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από τους αριθμούς.
3) προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που λείπουν από τις επεκτάσεις των υπόλοιπων αριθμών.
4) βρείτε το γινόμενο των παραγόντων που προκύπτουν.
Σημειώστε ότι εάν ένας από αυτούς τους αριθμούς διαιρείται με όλους τους άλλους αριθμούς, τότε αυτός ο αριθμός είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.
Για παράδειγμα, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 12, 15, 20 και 60 είναι 60 επειδή διαιρείται με όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο Πυθαγόρας (6ος αιώνας π.Χ.) και οι μαθητές του μελέτησαν το ζήτημα της διαιρετότητας των αριθμών. Αριθμός, ίσο με το άθροισμαΟνόμασαν όλους τους διαιρέτες του (χωρίς τον ίδιο τον αριθμό) τέλειο αριθμό. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) είναι τέλειοι. Οι επόμενοι τέλειοι αριθμοί είναι 496, 8128, 33.550.336 Οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν μόνο τους τρεις πρώτους τέλειους αριθμούς. Το τέταρτο - 8128 - έγινε γνωστό τον 1ο αιώνα. n. μι. Το πέμπτο - 33.550.336 - βρέθηκε τον 15ο αιώνα. Μέχρι το 1983, 27 τέλειοι αριθμοί ήταν ήδη γνωστοί. Αλλά οι επιστήμονες εξακολουθούν να μην γνωρίζουν αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί ή αν υπάρχει ένας μεγαλύτερος τέλειος αριθμός.
Το ενδιαφέρον των αρχαίων μαθηματικών για τους πρώτους αριθμούς πηγάζει από το γεγονός ότι οποιοσδήποτε αριθμός είναι είτε πρώτος είτε μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτοι αριθμοί, δηλαδή οι πρώτοι αριθμοί είναι σαν τούβλα από τα οποία χτίζονται οι υπόλοιποι φυσικοί αριθμοί.
Πιθανώς παρατηρήσατε ότι οι πρώτοι αριθμοί στη σειρά των φυσικών αριθμών εμφανίζονται άνισα - σε ορισμένα μέρη της σειράς υπάρχουν περισσότεροι από αυτούς, σε άλλα - λιγότεροι. Αλλά όσο περισσότερο προχωράμε κατά μήκος της σειράς αριθμών, τόσο λιγότερο συνηθισμένοι είναι οι πρώτοι αριθμοί. Τίθεται το ερώτημα: υπάρχει τελευταίος (μεγαλύτερος) πρώτος αριθμός; Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης (3ος αιώνας π.Χ.), στο βιβλίο του «Στοιχεία», που ήταν το κύριο εγχειρίδιο των μαθηματικών για δύο χιλιάδες χρόνια, απέδειξε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, δηλαδή πίσω από κάθε πρώτο αριθμό υπάρχει ακόμη μεγαλύτερος πρώτος. αριθμός.
Για να βρει τους πρώτους αριθμούς, ένας άλλος Έλληνας μαθηματικός της ίδιας εποχής, ο Ερατοσθένης, σκέφτηκε αυτή τη μέθοδο. Έγραψε όλους τους αριθμούς από το 1 σε κάποιον αριθμό, και μετά διέγραψε έναν, που δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος, μετά διέγραψε μέσω ενός όλους τους αριθμούς που έρχονται μετά το 2 (αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 2, δηλ. 4, 6, 8, κ.λπ.). Ο πρώτος αριθμός που απομένει μετά το 2 ήταν 3. Στη συνέχεια, μετά από δύο, διαγράφηκαν όλοι οι αριθμοί που έρχονται μετά το 3 (αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 3, δηλ. 6, 9, 12, κ.λπ.). στο τέλος μόνο οι πρώτοι αριθμοί έμειναν αδιασταύρωτοι.
Η εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να μειωθεί στη διαδοχική εύρεση του gcd δύο αριθμών. Το αναφέραμε όταν μελετήσαμε τις ιδιότητες του GCD. Εκεί διατυπώσαμε και αποδείξαμε το θεώρημα: ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης πολλών αριθμών a 1, a 2, …, a k ίσο με τον αριθμό dk, το οποίο βρίσκεται με διαδοχικό υπολογισμό GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(d k-1, a k)=d k.
Ας δούμε πώς μοιάζει η διαδικασία εύρεσης του gcd πολλών αριθμών εξετάζοντας τη λύση του παραδείγματος.
Παράδειγμα.
Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τεσσάρων αριθμών 78 , 294 , 570 Και 36 .
Λύση.
Σε αυτό το παράδειγμα a 1 = 78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.
Αρχικά, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, προσδιορίζουμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δ 2δύο πρώτοι αριθμοί 78 Και 294 . Κατά τη διαίρεση παίρνουμε τις ισότητες 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6Και 18=6·3. Ετσι, d 2 =GCD(78, 294)=6.
Τώρα ας υπολογίσουμε d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Ας χρησιμοποιήσουμε ξανά τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 570=6·95, ως εκ τούτου, d 3 =GCD(6, 570)=6.
Μένει να υπολογιστεί d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). Επειδή 36 διαιρείται με 6 , Οτι d 4 =GCD(6, 36)=6.
Έτσι, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των τεσσάρων δεδομένων αριθμών είναι d 4 =6, αυτό είναι, GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Απάντηση:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Η παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες σας επιτρέπει επίσης να υπολογίσετε το gcd τριών ή περισσότερων αριθμών. Στην περίπτωση αυτή, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης βρίσκεται ως το γινόμενο όλων των κοινών πρώτων παραγόντων των δεδομένων αριθμών.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε το gcd των αριθμών από το προηγούμενο παράδειγμα χρησιμοποιώντας τους πρώτους παραγοντοποιήσεις τους.
Λύση.
Ας αναλύσουμε τους αριθμούς 78 , 294 , 570 Και 36 από πρωταρχικούς παράγοντες, παίρνουμε 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Οι κοινοί πρώτοι παράγοντες και των τεσσάρων αριθμών που δίνονται είναι οι αριθμοί 2 Και 3 . Ως εκ τούτου, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Απάντηση:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Αρχή σελίδας
Εύρεση gcd αρνητικών αριθμών
Εάν ένας, αρκετοί ή όλοι οι αριθμοί των οποίων ο μεγαλύτερος διαιρέτης πρέπει να βρεθεί είναι αρνητικοί αριθμοί, τότε το gcd τους είναι ίσο με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των συντελεστών αυτών των αριθμών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι αντίθετοι αριθμοί έναΚαι −αέχουν τους ίδιους διαιρέτες, όπως συζητήσαμε όταν μελετήσαμε τις ιδιότητες της διαιρετότητας.
Παράδειγμα.
Βρείτε το gcd των αρνητικών ακεραίων −231 Και −140 .
Λύση.
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού −231 ισοδυναμεί 231 , και το μέτρο του αριθμού −140 ισοδυναμεί 140 , Και GCD(−231, −140)=GCD(231, 140). Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος μας δίνει τις ακόλουθες ισότητες: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7Και 42=7 6. Ως εκ τούτου, GCD(231, 140)=7. Τότε ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αρνητικών αριθμών είναι −231 Και −140 ισοδυναμεί 7 .
Απάντηση:
GCD(−231, −140)=7.
Παράδειγμα.
Προσδιορίστε το gcd τριών αριθμών −585 , 81 Και −189 .
Λύση.
Όταν βρίσκουμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη, οι αρνητικοί αριθμοί μπορούν να αντικατασταθούν από τις απόλυτες τιμές τους, δηλαδή GCD(−585, 81, −189)=GCD(585, 81, 189). Αριθμητικές επεκτάσεις 585 , 81 Και 189 σε πρώτους παράγοντες έχουν τη μορφή 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3Και 189=3·3·3·7. Οι κοινοί πρώτοι παράγοντες αυτών των τριών αριθμών είναι 3 Και 3 . Επειτα GCD(585, 81, 189)=3·3=9, ως εκ τούτου, GCD(−585, 81, −189)=9.
Απάντηση:
GCD(−585, 81, −189)=9.
35. Ρίζες πολυωνύμου. Το θεώρημα του Bezout. (33 και άνω)
36. Πολλαπλές ρίζες, κριτήριο πολλαπλότητας ριζών.
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι βασικές αριθμητικές έννοιες που σας επιτρέπουν να λειτουργείτε αβίαστα συνηθισμένα κλάσματα. LCM και χρησιμοποιούνται συχνότερα για την εύρεση του κοινού παρονομαστή πολλών κλασμάτων.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Ο διαιρέτης ενός ακέραιου X είναι ένας άλλος ακέραιος αριθμός Y με τον οποίο το X διαιρείται χωρίς να αφήνει υπόλοιπο. Για παράδειγμα, ο διαιρέτης του 4 είναι 2 και του 36 είναι 4, 6, 9. Πολλαπλάσιο ενός ακέραιου Χ είναι ένας αριθμός Υ που διαιρείται με το Χ χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, το 3 είναι πολλαπλάσιο του 15 και το 6 είναι πολλαπλάσιο του 12.
Για οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών μπορούμε να βρούμε τους κοινούς διαιρέτες και πολλαπλάσια τους. Για παράδειγμα, για το 6 και το 9, το κοινό πολλαπλάσιο είναι 18 και ο κοινός διαιρέτης είναι 3. Προφανώς, τα ζεύγη μπορούν να έχουν πολλούς διαιρέτες και πολλαπλάσια, επομένως οι υπολογισμοί χρησιμοποιούν τον μεγαλύτερο διαιρέτη GCD και το μικρότερο πολλαπλάσιο LCM.
Ο ελάχιστος διαιρέτης δεν έχει νόημα, αφού για οποιονδήποτε αριθμό είναι πάντα ένα. Το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο είναι επίσης χωρίς νόημα, αφού η ακολουθία των πολλαπλασίων πηγαίνει στο άπειρο.
Εύρεση gcd
Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη, οι πιο διάσημες από τις οποίες είναι:
- διαδοχική απαρίθμηση διαιρετών, επιλογή κοινών για ένα ζευγάρι και αναζήτηση του μεγαλύτερου από αυτούς.
- αποσύνθεση αριθμών σε αδιαίρετους παράγοντες.
- Ευκλείδειος αλγόριθμος;
- δυαδικός αλγόριθμος.
Σήμερα στις Εκπαιδευτικά ιδρύματαΟι πιο δημοφιλείς είναι οι μέθοδοι παραγοντοποίησης πρώτων και ο ευκλείδειος αλγόριθμος. Το τελευταίο, με τη σειρά του, χρησιμοποιείται κατά την επίλυση εξισώσεων Διοφαντίνης: απαιτείται αναζήτηση για GCD για να ελεγχθεί η εξίσωση για τη δυνατότητα ανάλυσης σε ακέραιους αριθμούς.
Εύρεση του NOC
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο προσδιορίζεται επίσης με διαδοχική απαρίθμηση ή αποσύνθεση σε αδιαίρετους παράγοντες. Επιπλέον, είναι εύκολο να βρείτε το LCM εάν έχει ήδη προσδιοριστεί ο μεγαλύτερος διαιρέτης. Για τους αριθμούς X και Y, το LCM και το GCD σχετίζονται με την ακόλουθη σχέση:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Για παράδειγμα, εάν GCM(15,18) = 3, τότε LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Το πιο προφανές παράδειγμα χρήσης LCM είναι να βρείτε τον κοινό παρονομαστή, που είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο του δοσμένα κλάσματα.
Συμπρώτοι αριθμοί
Εάν ένα ζεύγος αριθμών δεν έχει κοινούς διαιρέτες, τότε ένα τέτοιο ζεύγος λέγεται συμπρώτος. Το gcd για τέτοια ζεύγη είναι πάντα ίσο με ένα, και με βάση τη σύνδεση μεταξύ διαιρετών και πολλαπλασίων, το gcd για τα συμπρωτεύοντα ζεύγη είναι ίσο με το γινόμενο τους. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 25 και 28 είναι σχετικά πρώτοι, επειδή δεν έχουν κοινούς διαιρέτες, και LCM(25, 28) = 700, που αντιστοιχεί στο γινόμενο τους. Τυχόν δύο αδιαίρετοι αριθμοί θα είναι πάντα σχετικά πρώτοι.
Κοινός διαιρέτης και πολλαπλή αριθμομηχανή
Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή μας, μπορείτε να υπολογίσετε το GCD και το LCM για έναν αυθαίρετο αριθμό αριθμών για να διαλέξετε. Οι εργασίες για τον υπολογισμό κοινών διαιρετών και πολλαπλασίων βρίσκονται στην αριθμητική της 5ης και 6ης τάξης, αλλά το GCD και το LCM είναι βασικές έννοιες στα μαθηματικά και χρησιμοποιούνται στη θεωρία αριθμών, την επιπεδομετρία και την επικοινωνιακή άλγεβρα.
Παραδείγματα πραγματικής ζωής
Κοινός παρονομαστής των κλασμάτων
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο χρησιμοποιείται όταν βρίσκουμε τον κοινό παρονομαστή πολλαπλών κλασμάτων. Αφήνω μέσα αριθμητικό πρόβλημαπρέπει να αθροίσεις 5 κλάσματα:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Για να προσθέσετε κλάσματα, η έκφραση πρέπει να μειωθεί σε κοινό παρονομαστή, το οποίο περιορίζει το πρόβλημα εύρεσης του LCM. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε 5 αριθμούς στην αριθμομηχανή και εισαγάγετε τις τιμές των παρονομαστών στα κατάλληλα κελιά. Το πρόγραμμα θα υπολογίσει το LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Τώρα πρέπει να υπολογίσετε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα, οι οποίοι ορίζονται ως ο λόγος του LCM προς τον παρονομαστή. Έτσι οι πρόσθετοι πολλαπλασιαστές θα μοιάζουν με:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Μετά από αυτό, πολλαπλασιάζουμε όλα τα κλάσματα με τον αντίστοιχο πρόσθετο παράγοντα και παίρνουμε:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Μπορούμε εύκολα να αθροίσουμε τέτοια κλάσματα και να πάρουμε το αποτέλεσμα ως 159/360. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 και βλέπουμε την τελική απάντηση - 53/120.
Επίλυση γραμμικών Διοφαντικών εξισώσεων
Οι γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις είναι εκφράσεις της μορφής ax + by = d. Αν ο λόγος d / gcd(a, b) είναι ακέραιος, τότε η εξίσωση είναι επιλύσιμη σε ακέραιους αριθμούς. Ας ελέγξουμε μερικές εξισώσεις για να δούμε αν έχουν ακέραια λύση. Αρχικά, ας ελέγξουμε την εξίσωση 150x + 8y = 37. Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, βρίσκουμε GCD (150,8) = 2. Διαιρέστε 37/2 = 18,5. Ο αριθμός δεν είναι ακέραιος, επομένως η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.
Ας ελέγξουμε την εξίσωση 1320x + 1760y = 10120. Χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή για να βρείτε GCD(1320, 1760) = 440. Διαιρέστε 10120/440 = 23. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε έναν ακέραιο, επομένως, η εξίσωση συντελεστή Diophantine is .
συμπέρασμα
Το GCD και το LCM παίζουν μεγάλο ρόλο στη θεωρία αριθμών και οι ίδιες οι έννοιες χρησιμοποιούνται ευρέως σε μια μεγάλη ποικιλία τομέων των μαθηματικών. Χρησιμοποιήστε την αριθμομηχανή μας για να υπολογίσετε τους μεγαλύτερους διαιρέτες και τα ελάχιστα πολλαπλάσια οποιουδήποτε αριθμού αριθμών.
Αλλά πολλοί φυσικοί αριθμοί διαιρούνται επίσης με άλλους φυσικούς αριθμούς.
Για παράδειγμα:
Ο αριθμός 12 διαιρείται με το 1, με το 2, με το 3, με το 4, με το 6, με το 12.
Ο αριθμός 36 διαιρείται με το 1, με το 2, με το 3, με το 4, με το 6, με το 12, με το 18, με το 36.
Οι αριθμοί με τους οποίους ο αριθμός διαιρείται με ένα σύνολο (για το 12 είναι 1, 2, 3, 4, 6 και 12) λέγονται διαιρέτες αριθμών. Διαιρέτης φυσικού αριθμού ένα- είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται δεδομένου αριθμού έναχωρίς ίχνος. Ένας φυσικός αριθμός που έχει περισσότερους από δύο διαιρέτες ονομάζεται σύνθετος. Σημειώστε ότι οι αριθμοί 12 και 36 έχουν κοινούς παράγοντες. Αυτοί οι αριθμοί είναι: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ο μεγαλύτερος διαιρέτης αυτών των αριθμών είναι το 12.
Κοινός διαιρέτης δύο δεδομένων αριθμών έναΚαι σι- αυτός είναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρούνται και οι δύο αριθμοί χωρίς υπόλοιπο έναΚαι σι. Κοινός διαιρέτης πολλών αριθμών (GCD)είναι ένας αριθμός που χρησιμεύει ως διαιρέτης για καθένα από αυτά.
Συνοπτικά ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αριθμών έναΚαι σιγράψε το ως εξής:
Παράδειγμα: GCD (12; 36) = 12.
Οι διαιρέτες των αριθμών στην εγγραφή λύσεων συμβολίζονται με το κεφαλαίο γράμμα «D».
Παράδειγμα:
GCD (7; 9) = 1
Οι αριθμοί 7 και 9 έχουν μόνο έναν κοινό διαιρέτη - τον αριθμό 1. Τέτοιοι αριθμοί καλούνται αμοιβαία πρωταρχικήτσι σλάμι.
Συμπρώτοι αριθμοί- αυτοί είναι φυσικοί αριθμοί που έχουν μόνο έναν κοινό διαιρέτη - τον αριθμό 1. Το gcd τους είναι 1.
Μέγιστος κοινός διαιρέτης (GCD), ιδιότητες.
- Βασική ιδιότητα: μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης ΜΚαι nδιαιρείται με οποιονδήποτε κοινό διαιρέτη αυτών των αριθμών. Παράδειγμα: Για τους αριθμούς 12 και 18, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι το 6. διαιρείται με όλους τους κοινούς διαιρέτες αυτών των αριθμών: 1, 2, 3, 6.
- Συμπέρασμα 1: σύνολο κοινών διαιρετών ΜΚαι nσυμπίπτει με το σύνολο των διαιρετών GCD( Μ, n).
- Συμπέρασμα 2: σύνολο κοινών πολλαπλασίων ΜΚαι nσυμπίπτει με το σύνολο των πολλαπλών LCM ( Μ, n).
Αυτό σημαίνει, συγκεκριμένα, ότι για να αναγάγετε ένα κλάσμα σε μη αναγώγιμη μορφή, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με το gcd τους.
- Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αριθμών ΜΚαι nμπορεί να οριστεί ως το μικρότερο θετικό στοιχείο του συνόλου όλων των γραμμικών συνδυασμών τους:
και επομένως το αναπαριστάνουμε ως γραμμικό συνδυασμό αριθμών ΜΚαι n:
Αυτή η αναλογία ονομάζεται Η σχέση του Μπεζούτ, και τους συντελεστές uΚαι v — Συντελεστές Bezout. Οι συντελεστές Bezout υπολογίζονται αποτελεσματικά από τον εκτεταμένο ευκλείδειο αλγόριθμο. Αυτή η δήλωση γενικεύεται σε σύνολα φυσικών αριθμών - η σημασία της είναι ότι η υποομάδα της ομάδας που δημιουργείται από το σύνολο είναι κυκλική και δημιουργείται από ένα στοιχείο: GCD ( ένα 1 , ένα 2 , … , a n).
Υπολογίστε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD).
Οι αποτελεσματικοί τρόποι υπολογισμού του gcd δύο αριθμών είναι Ευκλείδειος αλγόριθμοςΚαι δυάδικοςαλγόριθμος. Επιπλέον, η τιμή του gcd ( Μ,n) μπορεί να υπολογιστεί εύκολα εάν είναι γνωστή η κανονική επέκταση των αριθμών ΜΚαι nσε πρωταρχικούς παράγοντες:
όπου υπάρχουν διακριτοί πρώτοι αριθμοί, και και είναι μη αρνητικοί ακέραιοι (μπορεί να είναι μηδενικοί αν ο αντίστοιχος πρώτος δεν είναι στην επέκταση). Στη συνέχεια GCD ( Μ,n) και NOC ( Μ,n) εκφράζονται με τους τύπους:
Εάν υπάρχουν περισσότεροι από δύο αριθμοί: , το gcd τους βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο αλγόριθμο:
- αυτό είναι το επιθυμητό GCD.
Επίσης, για να βρεις μέγιστο κοινό διαιρέτη, μπορείτε να συνυπολογίσετε κάθε έναν από τους δεδομένους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες. Στη συνέχεια, σημειώστε χωριστά μόνο εκείνους τους παράγοντες που περιλαμβάνονται σε όλους τους δεδομένους αριθμούς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τους γραπτούς αριθμούς μαζί - το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης .
Ας δούμε τον υπολογισμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη βήμα προς βήμα:
1. Διασπάστε τους διαιρέτες των αριθμών σε πρώτους παράγοντες:
Είναι βολικό να γράφετε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας μια κάθετη γραμμή. Στα αριστερά της γραμμής γράφουμε πρώτα το μέρισμα, στα δεξιά - τον διαιρέτη. Στη συνέχεια, στην αριστερή στήλη σημειώνουμε τις τιμές των πηλίκων. Ας το εξηγήσουμε αμέσως με ένα παράδειγμα. Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 28 και 64 σε πρώτους παράγοντες.
2. Τονίζουμε τους ίδιους πρώτους παράγοντες και στους δύο αριθμούς:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Βρείτε το γινόμενο πανομοιότυπων πρώτων παραγόντων και γράψτε την απάντηση:
gcd (28; 64) = 2. 2 = 4
Απάντηση: GCD (28; 64) = 4
Μπορείτε να επισημοποιήσετε τη θέση του GCD με δύο τρόπους: σε μια στήλη (όπως έγινε παραπάνω) ή "σε μια σειρά".
Ο πρώτος τρόπος για να γράψετε GCD:
Βρείτε το gcd 48 και 36.
GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
Ο δεύτερος τρόπος για να γράψετε GCD:
Τώρα ας γράψουμε τη λύση για την αναζήτηση GCD σε μια γραμμή. Βρείτε το gcd 10 και 15.
D (10) = (1, 2, 5, 10)
D (15) = (1, 3, 5, 15)
D (10, 15) = (1, 5)
Για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε το LCM, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε την έννοια του όρου "πολλαπλά".
Ένα πολλαπλάσιο του Α είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται με τον Α χωρίς υπόλοιπο Έτσι, αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 5 μπορούν να θεωρηθούν 15, 20, 25 κ.ο.κ.
Μπορεί να υπάρχουν διαιρέτες ενός συγκεκριμένου αριθμού περιορισμένη ποσότητα, αλλά υπάρχει άπειρος αριθμός πολλαπλασίων.
Κοινό πολλαπλάσιο φυσικών αριθμών είναι ένας αριθμός που διαιρείται με αυτούς χωρίς να αφήνει υπόλοιπο.
Πώς να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) αριθμών (δύο, τρεις ή περισσότεροι) είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται με όλους αυτούς τους αριθμούς.
Για να βρείτε το LOC, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες μεθόδους.
Για μικρούς αριθμούς, είναι βολικό να γράψετε όλα τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών σε μια γραμμή μέχρι να βρείτε κάτι κοινό μεταξύ τους. Τα πολλαπλάσια συμβολίζονται με το κεφαλαίο γράμμα Κ.
Για παράδειγμα, πολλαπλάσια του 4 μπορούν να γραφτούν ως εξής:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Έτσι, μπορείτε να δείτε ότι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 4 και 6 είναι ο αριθμός 24. Αυτή η σημείωση γίνεται ως εξής:
LCM(4, 6) = 24
Εάν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, βρείτε το κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών, τότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο υπολογισμού του LCM.
Για να ολοκληρώσετε την εργασία, πρέπει να συνυπολογίσετε τους δεδομένους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
Πρώτα πρέπει να γράψετε την αποσύνθεση του μεγαλύτερου αριθμού σε μια γραμμή και κάτω από αυτήν - τα υπόλοιπα.
Η αποσύνθεση κάθε αριθμού μπορεί να περιέχει διαφορετικό αριθμό παραγόντων.
Για παράδειγμα, ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 50 και 20 σε πρώτους παράγοντες.
Στη διεύρυνση του μικρότερου αριθμού, είναι απαραίτητο να τονιστούν οι παράγοντες που απουσιάζουν στη διεύρυνση του πρώτου. μεγάλος αριθμόςκαι μετά προσθέστε τα σε αυτό. Στο παράδειγμα που παρουσιάζεται, λείπει ένα δύο.
Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 20 και του 50.
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Άρα, το γινόμενο των πρώτων παραγόντων περισσότεροκαι οι συντελεστές του δεύτερου αριθμού που δεν συμπεριλήφθηκαν στην επέκταση του μεγαλύτερου αριθμού θα είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.
Για να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών, θα πρέπει να τους συνυπολογίσετε όλους σε πρώτους παράγοντες, όπως στην προηγούμενη περίπτωση.
Για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Έτσι, μόνο δύο δύο από την επέκταση του δεκαέξι δεν συμπεριλήφθηκαν στην παραγοντοποίηση ενός μεγαλύτερου αριθμού (το ένα είναι στην επέκταση του είκοσι τεσσάρων).
Έτσι, πρέπει να προστεθούν στην επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού.
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις προσδιορισμού του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου. Έτσι, εάν ένας από τους αριθμούς μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με έναν άλλο, τότε ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.
Για παράδειγμα, το LCM των δώδεκα και είκοσι τεσσάρων είναι είκοσι τέσσερα.
Εάν είναι απαραίτητο να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συμπρώτων αριθμών που δεν έχουν ίδιους διαιρέτες, τότε το LCM τους θα είναι ίσο με το γινόμενο τους.
Για παράδειγμα, LCM (10, 11) = 110.