Proporciona datos de referencia sobre la función exponencial: propiedades básicas, gráficos y fórmulas. Se consideran las siguientes cuestiones: dominio de definición, conjunto de valores, monotonicidad, función inversa, derivada, integral, expansión en serie de potencias y representación mediante números complejos.
Definición
Funcion exponencial
es una generalización del producto de n números iguales a a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
al conjunto de los números reales x:
y (x) = a x.
Aquí a es un número real fijo, que se llama base de la función exponencial.
Una función exponencial con base a también se llama exponente a base a.
La generalización se realiza de la siguiente manera.
Para x naturales = 1, 2, 3,...
, la función exponencial es el producto de x factores:
.
Además, tiene propiedades (1.5-8) (), que se derivan de las reglas para multiplicar números. Para valores cero y negativos de números enteros, la función exponencial se determina mediante las fórmulas (1.9-10). Para valores fraccionarios x = m/n números racionales, se determina mediante la fórmula (1.11). Para reales, la función exponencial se define como límite de secuencia:
,
donde es una secuencia arbitraria de números racionales que convergen a x: .
Con esta definición, la función exponencial está definida para todo , y satisface las propiedades (1.5-8), como para x natural.
En la página “Definición y prueba de las propiedades de una función exponencial” se ofrece una formulación matemática rigurosa de la definición de una función exponencial y la prueba de sus propiedades.
Propiedades de la función exponencial
La función exponencial y = a x tiene las siguientes propiedades sobre el conjunto de los números reales ():
(1.1)
definido y continuo, para , para todos ;
(1.2)
por un ≠ 1
tiene muchos significados;
(1.3)
aumenta estrictamente en , disminuye estrictamente en ,
es constante en ;
(1.4)
en ;
en ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Otras fórmulas útiles.
.
Fórmula para convertir a una función exponencial con una base de exponente diferente:
Cuando b = e, obtenemos la expresión de la función exponencial mediante la exponencial:
Valores privados
, , , , .
La figura muestra gráficas de la función exponencial.
y (x) = a x
por cuatro valores bases de grado: un = 2
, un = 8
, un = 1/2
y un = 1/8
. Se puede observar que para un > 1
la función exponencial aumenta monótonamente. Cuanto mayor sea la base del grado a, más fuerte crecimiento. En 0
< a < 1
la función exponencial disminuye monótonamente. Cuanto menor sea el exponente a, más fuerte será la disminución.
Ascendiendo descendiendo
La función exponencial es estrictamente monótona y por tanto no tiene extremos. Sus principales propiedades se presentan en la tabla.
| y = a x , a > 1 | y = hacha, 0 < a < 1 | |
| Dominio | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Rango de valores | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monótono | aumenta monótonamente | disminuye monótonamente |
| Ceros, y = 0 | No | No |
| Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Función inversa
La inversa de una función exponencial con base a es el logaritmo en base a.
Si entonces
.
Si entonces
.
Derivación de una función exponencial
Para diferenciar una función exponencial se debe reducir su base al número e, aplicar la tabla de derivadas y la regla de diferenciación función compleja.
Para hacer esto necesitas usar la propiedad de los logaritmos.
y la fórmula de la tabla de derivadas:
.
Sea una función exponencial:
.
Lo llevamos a la base e:
Apliquemos la regla de diferenciación de funciones complejas. Para ello introduzca la variable
Entonces
De la tabla de derivadas tenemos (reemplace la variable x con z):
.
Como es una constante, la derivada de z con respecto a x es igual a
.
Según la regla de derivación de una función compleja:
.
Derivada de una función exponencial
.
Derivada de enésimo orden:
.
Derivando fórmulas > > >
Un ejemplo de derivación de una función exponencial.
Encuentra la derivada de una función.
y= 3 5x
Solución
Expresemos la base de la función exponencial a través del número e.
3 = e en 3
Entonces
.
Introduce una variable
.
Entonces
De la tabla de derivadas encontramos:
.
Porque el 5ln 3 es una constante, entonces la derivada de z con respecto a x es igual a:
.
Según la regla de derivación de una función compleja, tenemos:
.
Respuesta
Integral
Expresiones usando números complejos
Considere la función de números complejos z:
F (z) = a z
donde z = x + iy; i 2 = - 1
.
Expresemos la constante compleja a en términos de módulo r y argumento φ:
a = r mi yo φ
Entonces
.
El argumento φ no está definido de forma única. EN vista general
φ = φ 0 + 2 πn,
donde n es un número entero. Por lo tanto la función f (z) Tampoco está claro. Su significado principal a menudo se considera
.
Expansión de la serie
.
Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
FUNCIONES EXPONENTARIAS Y LOGARÍTMICAS VIII
§ 179 Propiedades básicas de la función exponencial.
En esta sección estudiaremos las propiedades básicas de la función exponencial.
y = un X (1)
Recordemos que bajo A en la fórmula (1) nos referimos a cualquier número positivo fijo distinto de 1.
Propiedad 1. El dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales.
De hecho, con un resultado positivo A expresión A X definido para cualquier número real X .
Propiedad 2. La función exponencial acepta sólo valores positivos.
De hecho, si X > 0, entonces, como se demostró en el § 176,
A X > 0.
Si X <. 0, то
A X =
Dónde - X ya más de cero. Es por eso A - X > 0. Pero entonces
A X = > 0.
Finalmente, cuando X = 0
A X = 1.
La segunda propiedad de la función exponencial tiene una interpretación gráfica simple. Consiste en que la gráfica de esta función (ver Fig. 246 y 247) se ubica completamente por encima del eje de abscisas.
Propiedad 3. Si A >1, entonces cuando X > 0 A X > 1, y cuando X < 0 A X < 1. Si A < 1, тoh al contrario, cuando X > 0 A X < 1, y cuando X < 0 A X > 1.
Esta propiedad de la función exponencial también permite una interpretación geométrica simple. En A > 1 (Fig. 246) curvas y = un X ubicado encima de la línea recta en = 1 en X > 0 y por debajo de la línea recta en = 1 en X < 0.
Si A < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = un X ubicado debajo de la línea recta en = 1 en X > 0 y por encima de esta línea en X < 0.
Demos una prueba rigurosa de la tercera propiedad. Dejar A > 1 y X - un número positivo arbitrario. demostremos que
A X > 1.
si el numero X racional ( X = metro / norte ) , Eso A X = A metro/ norte = norte √a metro .
Porque el A > 1, entonces A metro > 1, pero la raíz de un número mayor que uno obviamente también es mayor que 1.
Si X es irracional, entonces hay números racionales positivos X" Y X" , que sirven como aproximaciones decimales de un número X :
X"< х < х" .
Pero entonces, por definición de un grado con exponente irracional
A X" < A X < A X"" .
Como se muestra arriba, el número A X" más de uno. Por lo tanto el número A X , mas grande que A X" , también debe ser mayor que 1,
Entonces, hemos demostrado que cuando a >1 y positivo arbitrario X
A X > 1.
si el numero X fuera negativo, entonces habríamos
A X =
donde esta el numero X ya sería positivo. Es por eso A - X > 1. Por lo tanto,
A X = < 1.
Así, cuando A > 1 y negativo arbitrario X
A X < 1.
El caso cuando 0< A < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Propiedad 4. si x = 0, entonces independientemente de un A X =1.
Esto se desprende de la definición de grado cero; la potencia cero de cualquier número distinto de cero es igual a 1. Gráficamente, esta propiedad se expresa en el hecho de que para cualquier A curva en = A X (ver Fig. 246 y 247) cruza el eje en en un punto de ordenada 1.
Propiedad 5. En A >1 funcion exponencial = A X está aumentando monótonamente, y durante un < 1 - monótonamente decreciente.
Esta propiedad también permite una interpretación geométrica simple.
En A > 1 (Fig. 246) curva en = A X con crecimiento X sube cada vez más alto, y cuando A < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Demos una prueba rigurosa de la quinta propiedad.
Dejar A > 1 y X 2 > X 1 . demostremos que
A X 2 > A X 1
Porque el X 2 > X 1., entonces X 2 = X 1 + d , Dónde d - algún número positivo. Es por eso
A X 2 - A X 1 = A X 1 + d - A X 1 = A X 1 (A d - 1)
Por la segunda propiedad de la función exponencial. A X 1 > 0. Desde d > 0, luego por la tercera propiedad de la función exponencial A d > 1. Ambos factores en el producto A X 1 (A d - 1) son positivos, por lo tanto este producto en sí es positivo. Medio, A X 2 - A X 1 > 0, o A X 2 > A X 1, que es lo que había que demostrar.
Así que cuando a > 1 función en = A X está aumentando monótonamente. De la misma manera, se demuestra que cuando A < 1 функция en = A X es monótonamente decreciente.
Consecuencia. Si dos potencias del mismo número positivo distinto de 1 son iguales, entonces sus exponentes son iguales.
En otras palabras, si
A b = A C (A > 0 y A =/= 1),
segundo = c .
De hecho, si los números b Y Con no eran iguales, entonces debido a la monotonicidad de la función en = A X el mayor de ellos correspondería a A >1 mayor, y cuando A < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или A b > A C , o A b < A C . Ambos contradicen la condición A b = A C . Falta admitir que segundo = c .
Propiedad 6. si un > 1, luego con un aumento ilimitado en el argumento X (X -> ∞ ) valores de función en = A X también crecer indefinidamente (en -> ∞ ). Cuando el argumento disminuye sin límite X (X -> -∞ ) los valores de esta función tienden a cero sin dejar de ser positivos (en->0; en > 0).
Teniendo en cuenta la monotonicidad de la función demostrada anteriormente en = A X , podemos decir que en el caso considerado la función en = A X aumenta monótonamente de 0 a ∞ .
Si 0 <A < 1, luego, con un aumento ilimitado del argumento x (x -> ∞), los valores de la función y = a x tienden a cero, permaneciendo positivos (en->0; en > 0). Cuando el argumento x disminuye sin límite (X -> -∞ ) los valores de esta función crecen ilimitadamente (en -> ∞ ).
Debido a la monotonicidad de la función. y = a x podemos decir que en este caso la función en = A X disminuye monótonamente desde ∞ a 0.
La sexta propiedad de la función exponencial se refleja claramente en las Figuras 246 y 247. No la probaremos estrictamente.
Lo único que tenemos que hacer es establecer el rango de variación de la función exponencial. y = a x (A > 0, A =/= 1).
Arriba demostramos que la función y = a x toma solo valores positivos y aumenta monótonamente de 0 a ∞ (en A > 1), o disminuye monótonamente desde ∞ a 0 (en 0< A <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x ¿Hay algún salto cuando cambias? ¿Se necesitan valores positivos? Este problema se resuelve positivamente. Si A > 0 y A =/= 1, entonces cualquiera que sea el número positivo en Definitivamente se encontrará 0 X 0 , tal que
A X 0 = en 0 .
(Debido a la monotonicidad de la función y = a x valor específico X 0 será, por supuesto, el único).
Demostrar este hecho está más allá del alcance de nuestro programa. Su interpretación geométrica es que para cualquier valor positivo en 0 gráfico de funciones y = a x definitivamente se cruzará con una línea recta en = en 0 y, además, solo en un punto (Fig. 248).
De esto podemos sacar la siguiente conclusión, que formulamos como propiedad 7.
Propiedad 7. El área de cambio de la función exponencial y = a x (A > 0, A =/= 1)es el conjunto de todos los números positivos.
Ejercicios
1368. Encuentre los dominios de definición de las siguientes funciones:
1369. ¿Cuál de estos números es mayor que 1 y cuál es menor que 1?
1370. ¿En base a qué propiedad de la función exponencial se puede afirmar que
a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2
1371. ¿Qué número es mayor?
A) π - √3 o (1/ π ) - √3; c) (2/3) 1 + √6 o (2/3) √2 + √5 ;
b) ( π / 4) 1 + √3 o ( π / 4) 2; d) (√3) √2 - √5 o (√3) √3 - 2 ?
1372. ¿Son equivalentes las desigualdades?
1373. ¿Qué se puede decir de los números? X Y en , Si una x = y y , Dónde A - ¿un número positivo dado?
1374. 1) ¿Es posible entre todos los valores de la función en = 2X destacar:
2) ¿Es posible entre todos los valores de la función? en = 2 | x| destacar:
A) valor más alto; b) el valor más pequeño?
Concentración de atención:
Definición. Función especie se llama funcion exponencial .
Comentario. Exclusión de los valores base a números 0; 1 y valores negativos a se explica por las siguientes circunstancias:
La expresión analítica en sí. una x en estos casos, conserva su significado y puede utilizarse para resolver problemas. Por ejemplo, para la expresión x y punto x = 1; y = 1 está dentro del rango de valores aceptables.
Construir gráficas de funciones: y.
 |
 |
| Gráfica de una función exponencial | |
| y= a X, a > 1 | y= a X , 0< a < 1 |
 |
 |
Propiedades de la función exponencial
| Propiedades de la función exponencial | y= a X, a > 1 | y= a X , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Rango de funciones | ||
| 3. Intervalos de comparación con la unidad | en X> 0, un X > 1 | en X > 0, 0< a X < 1 |
| en X < 0, 0< a X < 1 | en X < 0, a X > 1 | |
| 4. Par, impar. | La función no es par ni impar (una función de forma general). | |
| 5.Monotonía. | aumenta monótonamente en R | disminuye monótonamente por R |
| 6. Extremos. | La función exponencial no tiene extremos. | |
| 7.Asíntota | eje O X es una asíntota horizontal. | |
| 8. Para cualquier valor real X Y y; |  |
|
Cuando se completa la tabla, las tareas se resuelven en paralelo con el llenado.
Tarea No. 1. (Encontrar el dominio de definición de una función).
Qué valores de argumentos son válidos para funciones:
Tarea No. 2. (Encontrar el rango de valores de una función).
La figura muestra la gráfica de la función. Especifique el dominio de definición y rango de valores de la función:
 |
 |
 |
 |
Tarea No. 3. (Para indicar los intervalos de comparación con uno).
Compara cada uno de los siguientes poderes con uno:
Tarea No. 4. (Estudiar la función de monotonicidad).
Compara números reales por tamaño metro Y norte Si:
Tarea No. 5. (Estudiar la función de monotonicidad).
Sacar una conclusión sobre la base. a, Si:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x
¿Cómo son las gráficas de funciones exponenciales entre sí para x > 0, x = 0, x?< 0?
Uno Plano coordinado Se construyeron gráficas de funciones:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .
¿Cómo son las gráficas de funciones exponenciales entre sí para x > 0, x = 0, x?< 0?
| Número
una de las constantes más importantes de las matemáticas. Por definición, igual al límite de la secuencia
con ilimitado
creciente sustantivo, masculino—
. Designación mi ingresó Leonardo Euler
en 1736. Calculó los primeros 23 dígitos de este número en notación decimal, y el número en sí recibió el nombre de "número no Pierre" en honor a Napier.
Número mi obras de teatro papel especial en análisis matemático. Funcion exponencial con base mi, llamado exponente y es designado y = e x. Primeros signos números mi Fácil de recordar: dos, coma, siete, año de nacimiento de León Tolstoi: dos veces, cuarenta y cinco, noventa, cuarenta y cinco. |
 |
Tarea:
Kolmogórov pág. Nos 445-447; 451; 453.
Repita el algoritmo para construir gráficas de funciones que contienen una variable bajo el signo de módulo.
1. Una función exponencial es una función de la forma y(x) = a x, dependiendo del exponente x, con un valor constante de la base de grado a, donde a > 0, a ≠ 0, xϵR (R es la conjunto de números reales).
Consideremos gráfica de la función si la base no satisface la condición: a>0
a) un< 0
si un< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
un = -2
Si a = 0, la función y = está definida y tiene un valor constante de 0
c) a =1
Si a = 1, la función y = está definida y tiene un valor constante de 1
Dominio de función (DOF) Rango de valores de función permitidos (APV) 3. Ceros de la función (y = 0) 4. Puntos de intersección con el eje de ordenadas oy (x = 0) 5. Funciones crecientes y decrecientes Si , entonces la función f(x) aumenta 6. Función par e impar La función y = no es simétrica respecto al eje 0y y respecto al origen, por lo tanto no es par ni impar. (Función general) 7. La función y = no tiene extremos 8. Propiedades de un grado con exponente real: Sea a > 0; a≠1 Entonces para xϵR; yϵR: Propiedades del grado de monotonicidad: si entonces Si a > 0, entonces . 9. Posición relativa de la función. Cuanto mayor es la base a, más cerca de los ejes x y oy a > 1, a = 20 Ejemplo 1. Encontremos el valor de la expresión para varios valores racionales de la variable x=2; 0; -3; - Tenga en cuenta que no importa qué número sustituyamos por la variable x, siempre podemos encontrar el valor de esta expresión. Esto significa que estamos considerando una función exponencial (E es igual a tres elevado a x), definida sobre el conjunto de los números racionales: . Construyamos una gráfica de esta función compilando una tabla de sus valores. Dibujemos una línea suave que pase por estos puntos (Figura 1) Usando la gráfica de esta función, consideremos sus propiedades: 3.Aumenta en toda el área de definición. 8. La función es convexa hacia abajo. Si construimos gráficas de funciones en un sistema de coordenadas; y=(y es igual a dos elevado a x, y es igual a cinco elevado a x, y es igual a siete elevado a x), entonces puedes ver que tienen las mismas propiedades que y= (y es igual a tres elevado a x) (Fig. 2), es decir, todas las funciones de la forma y = (a es igual a a elevado a x, para a mayor que uno) tendrán tales propiedades Tracemos la función: 1. Elaborar una tabla de sus valores. Marquemos los puntos obtenidos en el plano de coordenadas. Dibujemos una línea suave que pase por estos puntos (Figura 3). Utilizando la gráfica de esta función, indicamos sus propiedades: 1. El dominio de definición es el conjunto de todos los números reales. 2. No es ni par ni impar. 3.Disminuciones en todo el dominio de definición. 4. No tiene ni los valores más grandes ni los más pequeños. 5.Limitado a continuación, pero no limitado a lo anterior. 6.Continuo en todo el dominio de definición. 7. rango de valores desde cero hasta más infinito. 8. La función es convexa hacia abajo. De manera similar, si trazamos gráficas de funciones en un sistema de coordenadas; y = (y es igual a la mitad elevado a x, y es igual a un quinto elevado a x, y es igual a un séptimo elevado a x), entonces puedes notar que tienen las mismas propiedades que y = (y es igual a un tercio elevado a x (Fig. 4), es decir, todas las funciones de la forma y = (y es igual a uno dividido por a elevado a x, con mayor que cero pero menor que uno) tendrá tales propiedades. Construyamos gráficas de funciones en un sistema de coordenadas. Esto significa que las gráficas de las funciones y=y= también serán simétricas (y es igual a a elevado a x e y es igual a uno dividido por a elevado a x) para el mismo valor de a. Resumamos lo dicho definiendo la función exponencial e indicando sus principales propiedades: Definición: Una función de la forma y=, donde (y es igual a a elevada a x, donde a es positiva y diferente de uno), se llama función exponencial. Es necesario recordar las diferencias entre la función exponencial y= y la función potencia y=, a=2,3,4,…. tanto audible como visualmente. La función exponencial X es un título, y función de potencia X es la base. Ejemplo 1: resolver la ecuación (tres elevado a x es igual a nueve) (Y es igual a tres elevado a X e Y es igual a nueve) Fig. 7 Tenga en cuenta que tienen un punto común M (2;9) (em con coordenadas dos; nueve), lo que significa que la abscisa del punto será la raíz ecuación dada. Es decir, la ecuación tiene una única raíz x = 2. Ejemplo 2: resolver la ecuación En un sistema de coordenadas, construiremos dos gráficas de la función y= (y es igual a cinco elevado a x y y es igual a un vigésimo quinto) Fig. 8. Las gráficas se cruzan en un punto T (-2; (te con coordenadas menos dos; uno veinticinco). Esto significa que la raíz de la ecuación es x = -2 (el número menos dos). Ejemplo 3: resolver la desigualdad En un sistema de coordenadas construiremos dos gráficas de la función y= (Y es igual a tres elevado a X e Y es igual a veintisiete). Fig.9 La gráfica de la función se encuentra encima de la gráfica de la función y=at x Por lo tanto, la solución a la desigualdad es el intervalo (desde menos infinito hasta tres) Ejemplo 4: resolver la desigualdad En un sistema de coordenadas, construiremos dos gráficas de la función y= (y es igual a un cuarto elevado a x y y es igual a dieciséis). (Figura 10). Las gráficas se cruzan en un punto K (-2;16). Esto significa que la solución a la desigualdad es el intervalo (-2; (de menos dos a más infinito), ya que la gráfica de la función y= se encuentra debajo de la gráfica de la función en x Nuestro razonamiento nos permite verificar la validez de los siguientes teoremas: Tema 1: Si es cierto si y sólo si m=n. Teorema 2: Si es cierto si y solo si, la desigualdad es verdadera si y solo si (Fig. *) Teorema 4: Si es cierto si y sólo si (Fig.**), la desigualdad es verdadera si y sólo si Teorema 3: Si es cierto si y sólo si m=n. Ejemplo 5: Graficar la función y= Modifiquemos la función aplicando la propiedad de grado y= Construyamos un sistema de coordenadas adicional y en nuevo sistema coordenadas, construiremos una gráfica de la función y = (y es igual a dos elevado a x) Fig. 11. Ejemplo 6: resolver la ecuación En un sistema de coordenadas construiremos dos gráficas de la función y= (Y es igual a siete elevado a X e Y es igual a ocho menos X) Fig. 12. Las gráficas se cruzan en un punto E (1; (e con coordenadas uno; siete). Esto significa que la raíz de la ecuación es x = 1 (x igual a uno). Ejemplo 7: resolver la desigualdad En un sistema de coordenadas construiremos dos gráficas de la función y= (Y es igual a un cuarto elevado a X e Y es igual a X más cinco). La gráfica de la función y= se encuentra debajo de la gráfica de la función y=x+5 cuando la solución a la desigualdad es el intervalo x (de menos uno a más infinito).
2. Echemos un vistazo más de cerca a la función exponencial:
0
Si , entonces la función f(x) disminuye
Función y=, en 0
Esto se desprende de las propiedades de monotonicidad de una potencia con exponente real.
b > 0; b≠1
Por ejemplo:
La función exponencial es continua en cualquier punto ϵ R.
Si a0, entonces la función exponencial toma una forma cercana a y = 0.
Si a1, entonces más lejos de los ejes ox y oy la gráfica adquiere una forma cercana a la función y = 1.
Construya una gráfica de y =
