Définition
Pyramide est un polyèdre composé d'un polygone \(A_1A_2...A_n\) et de \(n\) triangles avec un sommet commun \(P\) (ne se trouvant pas dans le plan du polygone) et des côtés opposés, coïncidant avec le côtés du polygone.
Désignation : \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemple : pyramide pentagonale \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Triangles \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. sont appelés faces latérales pyramides, segments \(PA_1, PA_2\), etc. – côtes latérales, polygone \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, point \(P\) – haut.
Hauteur les pyramides sont une perpendiculaire descendant du sommet de la pyramide jusqu'au plan de la base.
Une pyramide avec un triangle à sa base s'appelle tétraèdre.
La pyramide s'appelle correct, si sa base est un polygone régulier et que l'une des conditions suivantes est remplie :
\((un)\) côtes latérales les pyramides sont égales ;
\((b)\) la hauteur de la pyramide passe par le centre du cercle circonscrit près de la base ;
\((c)\) les nervures latérales sont inclinées par rapport au plan de la base selon le même angle.
\((d)\) faces latérales incliné par rapport au plan de la base selon le même angle.
Tétraèdre régulier est une pyramide triangulaire dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux égaux.
Théorème
Les conditions \((a), (b), (c), (d)\) sont équivalentes.
Preuve
Trouvons la hauteur de la pyramide \(PH\) . Soit \(\alpha\) le plan de la base de la pyramide.
1) Montrons que \((a)\) implique \((b)\) . Soit \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Parce que \(PH\perp \alpha\), alors \(PH\) est perpendiculaire à toute ligne située dans ce plan, ce qui signifie que les triangles sont rectangles. Cela signifie que ces triangles sont égaux en jambe commune \(PH\) et en hypoténuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Donc, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Cela signifie que les points \(A_1, A_2, ..., A_n\) sont à la même distance du point \(H\), ils se trouvent donc sur le même cercle de rayon \(A_1H\) . Ce cercle, par définition, est circonscrit au polygone \(A_1A_2...A_n\) .
2) Montrons que \((b)\) implique \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulaire et égal sur deux pieds. Cela signifie que leurs angles sont également égaux, donc \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).
3) Montrons que \((c)\) implique \((a)\) .
Semblable au premier point, les triangles \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulaire et le long de la jambe et angle vif. Cela signifie que leurs hypoténuses sont également égales, c'est-à-dire \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Montrons que \((b)\) implique \((d)\) .
Parce que dans un polygone régulier les centres des cercles circonscrits et inscrits coïncident (d'une manière générale, ce point est appelé centre d'un polygone régulier), alors \(H\) est le centre du cercle inscrit. Traçons des perpendiculaires du point \(H\) aux côtés de la base : \(HK_1, HK_2\), etc. Ce sont les rayons du cercle inscrit (par définition). Alors, d'après le TTP (\(PH\) est une perpendiculaire au plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sont des projections, perpendiculaire aux côtés) oblique \(PK_1, PK_2\), etc. perpendiculaire aux côtés \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivement. Donc par définition \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)égal aux angles entre les faces latérales et la base. Parce que les triangles \(PK_1H, PK_2H, ...\) sont égaux (comme rectangulaires sur deux côtés), alors les angles \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) sont égaux.
5) Montrons que \((d)\) implique \((b)\) .
Semblable au quatrième point, les triangles \(PK_1H, PK_2H, ...\) sont égaux (comme rectangulaires le long de la jambe et de l'angle aigu), ce qui signifie que les segments \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sont égal. Cela signifie que, par définition, \(H\) est le centre d'un cercle inscrit dans la base. Mais parce que Pour les polygones réguliers, les centres des cercles inscrits et circonscrits coïncident, alors \(H\) est le centre du cercle circonscrit. Chtd.
Conséquence
Les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles égaux.
Définition
La hauteur de la face latérale d’une pyramide régulière tirée de son sommet est appelée apothème.
Les apothèmes de toutes les faces latérales d'une pyramide régulière sont égaux les uns aux autres et sont également médians et bissecteurs.
Notes IMPORTANTES
1. La hauteur est correcte pyramide triangulaire tombe au point d'intersection des altitudes (ou bissectrices, ou médianes) de la base (la base est un triangle régulier).
2. La hauteur d'une pyramide quadrangulaire régulière tombe au point d'intersection des diagonales de la base (la base est un carré).
3. La hauteur d'une pyramide hexagonale régulière tombe au point d'intersection des diagonales de la base (la base est un hexagone régulier).
4. La hauteur de la pyramide est perpendiculaire à toute ligne droite située à la base.
Définition
La pyramide s'appelle rectangulaire, si l'un de ses bords latéraux est perpendiculaire au plan de la base.
Notes IMPORTANTES
1. Dans une pyramide rectangulaire, le bord perpendiculaire à la base correspond à la hauteur de la pyramide. Autrement dit, \(SR\) est la hauteur.
2. Parce que \(SR\) est perpendiculaire à toute ligne partant de la base, alors \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– des triangles rectangles.
3. Triangles \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- également rectangulaire.
Autrement dit, tout triangle formé par cette arête et la diagonale émergeant du sommet de cette arête situé à la base sera rectangulaire.
\[(\Large(\text(Volume et superficie de la pyramide)))\]
Théorème
Le volume de la pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur de la pyramide : \
Conséquences
Soit \(a\) le côté de la base, \(h\) la hauteur de la pyramide.
1. Le volume d’une pyramide triangulaire régulière est \(V_(\text(triangle rectangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Le volume d’une pyramide quadrangulaire régulière est \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Le volume d’une pyramide hexagonale régulière est \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Le volume d'un tétraèdre régulier est \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Théorème
L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale au demi-produit du périmètre de la base et de l'apothème.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Définition
Considérons une pyramide arbitraire \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Traçons un plan parallèle à la base de la pyramide passant par un certain point situé sur le bord latéral de la pyramide. Ce plan divisera la pyramide en deux polyèdres, dont l'un est une pyramide (\(PB_1B_2...B_n\)), et l'autre est appelé pyramide tronquée(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
La pyramide tronquée a deux bases - les polygones \(A_1A_2...A_n\) et \(B_1B_2...B_n\) qui sont similaires les uns aux autres.
La hauteur d'une pyramide tronquée est une perpendiculaire tracée depuis un certain point de la base supérieure jusqu'au plan de la base inférieure.
Notes IMPORTANTES
1. Toutes les faces latérales d’une pyramide tronquée sont des trapèzes.
2. Le segment reliant les centres des bases d'une pyramide tronquée régulière (c'est-à-dire une pyramide obtenue par section transversale d'une pyramide régulière) est la hauteur.
Définition. Bord latéral- il s'agit d'un triangle dont un angle se situe au sommet de la pyramide et le côté opposé coïncide avec le côté de la base (polygone).
Définition. Côtes latérales- ce sont les côtés communs des faces latérales. Une pyramide a autant d’arêtes que d’angles d’un polygone.
Définition. Hauteur de la pyramide- c'est une perpendiculaire abaissée du haut à la base de la pyramide.
Définition. Apothème- il s'agit d'une perpendiculaire à la face latérale de la pyramide, abaissée du sommet de la pyramide jusqu'au côté de la base.
Définition. Coupe diagonale- il s'agit d'une section d'une pyramide par un plan passant par le sommet de la pyramide et la diagonale de la base.
Définition. Pyramide correcte est une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont la hauteur descend jusqu'au centre de la base.
Volume et superficie de la pyramide
Formule. Volume de la pyramideà travers la surface de base et la hauteur :
Propriétés de la pyramide
Si tous les bords latéraux sont égaux, alors un cercle peut être tracé autour de la base de la pyramide et le centre de la base coïncide avec le centre du cercle. De plus, une perpendiculaire tombant du haut passe par le centre de la base (cercle).
Si tous les bords latéraux sont égaux, ils sont alors inclinés par rapport au plan de base selon les mêmes angles.
Les nervures latérales sont égales lorsqu'elles se forment avec le plan de la base angles égaux ou si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors un cercle peut être inscrit dans la base de la pyramide et le sommet de la pyramide est projeté en son centre.
Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors les apothèmes des faces latérales sont égaux.
Propriétés d'une pyramide régulière
1. Le sommet de la pyramide est à égale distance de tous les coins de la base.
2. Tous les bords latéraux sont égaux.
3. Toutes les nervures latérales sont inclinées à des angles égaux par rapport à la base.
4. Les apothèmes de toutes les faces latérales sont égaux.
5. Les aires de toutes les faces latérales sont égales.
6. Toutes les faces ont les mêmes angles dièdres (plats).
7. Une sphère peut être décrite autour de la pyramide. Le centre de la sphère circonscrite sera le point d’intersection des perpendiculaires passant par le milieu des arêtes.
8. Vous pouvez insérer une sphère dans une pyramide. Le centre de la sphère inscrite sera le point d'intersection des bissectrices issues de l'angle entre le bord et la base.
9. Si le centre de la sphère inscrite coïncide avec le centre de la sphère circonscrite, alors la somme des angles plans au sommet est égale à π ou vice versa, un angle est égal à π/n, où n est le nombre des angles à la base de la pyramide.
Le lien entre la pyramide et la sphère
Une sphère peut être décrite autour d'une pyramide lorsqu'à la base de la pyramide se trouve un polyèdre autour duquel un cercle peut être décrit (condition nécessaire et suffisante). Le centre de la sphère sera le point d’intersection des plans passant perpendiculairement par les milieux des bords latéraux de la pyramide.
Il est toujours possible de décrire une sphère autour de n'importe quelle pyramide triangulaire ou régulière.
Une sphère peut être inscrite dans une pyramide si les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en un point (condition nécessaire et suffisante). Ce point sera le centre de la sphère.
Connexion d'une pyramide avec un cône
Un cône est dit inscrit dans une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est inscrite dans la base de la pyramide.
Un cône peut s'inscrire dans une pyramide si les apothèmes de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Un cône est dit circonscrit à une pyramide si leurs sommets coïncident et si la base du cône est circonscrite à la base de la pyramide.
Un cône peut être décrit autour d’une pyramide si tous les bords latéraux de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Relation entre une pyramide et un cylindre
Une pyramide est dite inscrite dans un cylindre si le sommet de la pyramide repose sur une base du cylindre et que la base de la pyramide est inscrite dans une autre base du cylindre.
Un cylindre peut être décrit autour d’une pyramide si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Un tétraèdre a quatre faces, quatre sommets et six arêtes, deux arêtes n'ayant pas de sommets communs mais ne se touchant pas.
Chaque sommet est constitué de trois faces et arêtes qui forment angle triangulaire.
Le segment reliant le sommet d'un tétraèdre au centre de la face opposée est appelé médiane du tétraèdre(GM).
Bimédian appelé segment reliant les milieux des bords opposés qui ne se touchent pas (KL).
Toutes les bimédianes et médianes d'un tétraèdre se coupent en un point (S). Dans ce cas, les bimédianes sont divisées en deux et les médianes sont divisées dans un rapport de 3 : 1 en partant du haut.
Définition. Pyramide à angle aigu- une pyramide dont l'apothème fait plus de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. Pyramide obtuse- une pyramide dont l'apothème fait moins de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. Tétraèdre régulier- un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. C'est l'un des cinq polygones réguliers. Dans un tétraèdre régulier, tous les angles dièdres (entre les faces) et les angles trièdres (au sommet) sont égaux.
Définition. Tétraèdre rectangulaire est un tétraèdre avec un angle droit entre trois arêtes au sommet (les arêtes sont perpendiculaires). Trois visages se forment angle triangulaire rectangulaire et les faces sont des triangles rectangles, et la base est un triangle arbitraire. L'apothème d'une face est égal à la moitié du côté de la base sur laquelle tombe l'apothème.
Définition. Tétraèdre isoédrique s'appelle un tétraèdre dont les faces latérales sont égales les unes aux autres et dont la base est un triangle régulier. Un tel tétraèdre a des faces qui sont des triangles isocèles.
Définition. Tétraèdre orthocentrique s'appelle un tétraèdre dans lequel toutes les hauteurs (perpendiculaires) qui descendent du haut vers la face opposée se coupent en un point.
Définition. Pyramide étoilée appelé polyèdre dont la base est une étoile.
Une figure tridimensionnelle qui apparaît souvent dans les problèmes géométriques est la pyramide. La plus simple de toutes les figures de cette classe est triangulaire. Dans cet article, nous analyserons en détail les formules de base et les propriétés du bon
Idées géométriques sur la figure
Avant de passer à l’examen des propriétés d’une pyramide triangulaire régulière, examinons de plus près de quel type de figure nous parlons.
Supposons qu'il existe un triangle arbitraire dans un espace tridimensionnel. Sélectionnons n'importe quel point de cet espace qui ne se trouve pas dans le plan du triangle et connectons-le aux trois sommets du triangle. Nous avons une pyramide triangulaire.
Il se compose de 4 côtés, qui sont tous des triangles. Les points de rencontre de trois faces sont appelés sommets. La figure en comporte également quatre. Les lignes d'intersection de deux faces sont des arêtes. La pyramide en question comporte 6 arêtes. La figure ci-dessous montre un exemple de cette figure.
Puisque la figure est formée de quatre côtés, on l’appelle aussi tétraèdre.
Pyramide correcte
A été discuté ci-dessus chiffre arbitraire avec une base triangulaire. Supposons maintenant que nous tracions un segment perpendiculaire du sommet de la pyramide à sa base. Ce segment est appelé hauteur. Évidemment, vous pouvez dessiner 4 hauteurs différentes pour la figure. Si la hauteur coupe la base triangulaire au centre géométrique, alors une telle pyramide est dite droite.
Une pyramide droite dont la base est un triangle équilatéral est dite régulière. Pour elle, les trois triangles formant surface latérale les chiffres sont isocèles et égaux les uns aux autres. Un cas particulier d'une pyramide régulière est la situation où les quatre côtés sont des triangles identiques équilatéraux.
Considérons les propriétés d'une pyramide triangulaire régulière et donnons les formules correspondantes pour calculer ses paramètres.
Côté base, hauteur, bord latéral et apothème
Deux des paramètres répertoriés déterminent de manière unique les deux caractéristiques restantes. Présentons des formules qui relient ces quantités.
Supposons que le côté de la base d’une pyramide triangulaire régulière soit a. La longueur de son bord latéral est b. Quelle sera la hauteur d’une pyramide triangulaire régulière et de son apothème ?
Pour la hauteur h on obtient l'expression :
Cette formule découle du théorème de Pythagore pour lequel sont le bord latéral, la hauteur et les 2/3 de la hauteur de la base.
L'apothème d'une pyramide est la hauteur de tout triangle latéral. La longueur de l'apothème a b est égale à :
une b = √(b 2 - une 2 /4)
De ces formules il ressort clairement que quel que soit le côté de la base d'une pyramide triangulaire régulière et la longueur de son bord latéral, l'apothème sera toujours plus grand que la hauteur de la pyramide.
Les deux formules présentées contiennent les quatre caractéristiques linéaires de la figure en question. Par conséquent, étant donné les deux connus, vous pouvez trouver le reste en résolvant le système d’égalités écrites.
Volume des chiffres
Pour absolument n'importe quelle pyramide (y compris inclinée), la valeur du volume d'espace limité par celle-ci peut être déterminée en connaissant la hauteur de la figure et l'aire de sa base. La formule correspondante est :
En appliquant cette expression à la figure en question, on obtient la formule suivante :
Où la hauteur d’une pyramide triangulaire régulière est h et son côté de base est a.
Il n'est pas difficile d'obtenir une formule pour le volume d'un tétraèdre dans laquelle tous les côtés sont égaux et représentent des triangles équilatéraux. Dans ce cas, le volume de la figure est déterminé par la formule :
Autrement dit, il est déterminé uniquement par la longueur du côté a.
Superficie
Continuons à considérer les propriétés d'une pyramide triangulaire régulière. L'aire totale de toutes les faces d'une figure est appelée sa surface. Cette dernière peut être commodément étudiée en considérant le développement correspondant. La figure ci-dessous montre à quoi ressemble le développement d’une pyramide triangulaire régulière.
Supposons que l'on connaisse la hauteur h et le côté de la base a de la figure. Alors l'aire de sa base sera égale à :
Chaque écolier peut obtenir cette expression s'il se souvient comment trouver l'aire d'un triangle et tient également compte du fait que la hauteur triangle équilatéral est aussi une bissectrice et une médiane.
La surface latérale formée de trois triangles isocèles identiques est :
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Cette égalité découle de l'expression de l'apothème de la pyramide en termes de hauteur et de longueur de la base.
La surface totale de la figure est :
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Notez que pour un tétraèdre dont les quatre côtés sont des triangles équilatéraux identiques, l'aire S sera égale à :
Propriétés d'une pyramide triangulaire tronquée régulière
Si le sommet de la pyramide triangulaire considérée est coupé avec un plan parallèle à la base, alors la partie inférieure restante sera appelée pyramide tronquée.
Dans le cas d'une base triangulaire, le résultat du procédé de section décrit est un nouveau triangle, également équilatéral, mais dont la longueur de côté est plus courte que le côté de la base. Une pyramide triangulaire tronquée est présentée ci-dessous.
On voit que ce chiffre est déjà limité à deux bases triangulaires et trois trapèzes isocèles.
Supposons que la hauteur de la figure résultante soit égale à h, que les longueurs des côtés des bases inférieure et supérieure soient respectivement a 1 et a 2, et que l'apothème (hauteur du trapèze) soit égal à a b. Ensuite, la superficie de la pyramide tronquée peut être calculée à l'aide de la formule :
S = 3/2*(une 1 + une 2)*une b + √3/4*(une 1 2 + une 2 2)
Ici le premier terme est l'aire de la surface latérale, le deuxième terme est l'aire des bases triangulaires.
Le volume de la figure est calculé comme suit :
V = √3/12*h*(une 1 2 + une 2 2 + une 1 *une 2)
Pour déterminer sans ambiguïté les caractéristiques d’une pyramide tronquée, il est nécessaire de connaître ses trois paramètres, comme le démontrent les formules données.
Ce didacticiel vidéo aidera les utilisateurs à se faire une idée du thème Pyramide. Pyramide correcte. Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec le concept de pyramide et lui donner une définition. Regardons ce que c'est pyramide régulière et quelles sont ses propriétés. Ensuite, nous démontrons le théorème sur la surface latérale d’une pyramide régulière.
Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec le concept de pyramide et lui donner une définition.
Considérons un polygone Un 1 Un 2...Un, qui se situe dans le plan α, et le point P., qui ne se situe pas dans le plan α (Fig. 1). Relions les points P. avec des sommets Un 1, Un 2, Un 3, … Un. On a n Triangles: Un 1 Un 2 R, Un 2 Un 3 R et ainsi de suite.
Définition. Polyèdre RA 1 A 2 ...A n, composé de n-carré Un 1 Un 2...Un Et n Triangles RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 est appelé n-pyramide du charbon. Riz. 1.
Riz. 1
Considérons une pyramide quadrangulaire PABCD(Fig.2).
R.- le sommet de la pyramide.
A B C D- la base de la pyramide.
RA- côte latérale.
UN B- nervure de base.
De ce point R. laissons tomber la perpendiculaire RN au plan de base A B C D. La perpendiculaire tracée est la hauteur de la pyramide.
Riz. 2
Pleine surface La pyramide est constituée d'une surface latérale, c'est-à-dire l'aire de toutes les faces latérales, et l'aire de la base :
S complet = S côté + S principal
Une pyramide est dite correcte si :
- sa base est un polygone régulier ;
- le segment reliant le sommet de la pyramide au centre de la base est sa hauteur.
Explication à l'aide de l'exemple d'une pyramide quadrangulaire régulière
Considérons une pyramide quadrangulaire régulière PABCD(Fig. 3).
R.- le sommet de la pyramide. Base de la pyramide A B C D- un quadrilatère régulier, c'est-à-dire un carré. Point À PROPOS, le point d'intersection des diagonales, est le centre du carré. Moyens, RO est la hauteur de la pyramide.
Riz. 3
Explication: dans le bon sens n Dans un triangle, le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit coïncident. Ce centre est appelé centre du polygone. Parfois, on dit que le sommet est projeté vers le centre.
La hauteur de la face latérale d’une pyramide régulière tirée de son sommet est appelée apothème et est désigné ha un.
1. toutes les arêtes latérales d’une pyramide régulière sont égales ;
2. Les faces latérales sont des triangles isocèles égaux.
Nous donnerons une preuve de ces propriétés en utilisant l’exemple d’une pyramide quadrangulaire régulière.
Donné: PABCD- pyramide quadrangulaire régulière,
A B C D- carré,
RO- hauteur de la pyramide.
Prouver:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Voir Fig. 4.
Riz. 4
Preuve.
RO- hauteur de la pyramide. C'est-à-dire directement RO perpendiculaire au plan abc, et donc direct JSC, VO, SO Et FAIRE couché dedans. donc des triangles ROA, ROV, ROS, TIGE- rectangulaire.
Considérons un carré A B C D. Des propriétés d’un carré il résulte que AO = VO = CO = FAIRE.
Alors les triangles rectangles ROA, ROV, ROS, TIGE jambe RO- général et jambes JSC, VO, SO Et FAIRE sont égaux, ce qui signifie que ces triangles sont égaux sur deux côtés. De l’égalité des triangles découle l’égalité des segments, RA = PB = RS = PD. Le point 1 a été prouvé.
Segments UN B Et Soleil sont égaux parce qu’ils sont côtés d’un même carré, RA = PB = RS. donc des triangles AVR Et VSR- isocèle et égale sur trois côtés.
De la même manière, nous constatons que les triangles ABP, VCP, CDP, DAP sont isocèles et égaux, comme cela doit être prouvé au paragraphe 2.
L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème :
Pour le prouver, choisissons une pyramide triangulaire régulière.
Donné: RAVS- pyramide triangulaire régulière.
AB = BC = AC.
RO- hauteur.
Prouver: 
. Voir Fig. 5.
Riz. 5
Preuve.
RAVS- pyramide triangulaire régulière. C'est UN B= AC = BC. Laisser À PROPOS- centre du triangle abc, Alors RO est la hauteur de la pyramide. A la base de la pyramide se trouve un triangle équilatéral abc. remarquerez que 
.
Triangles RAV, RVS, RSA- des triangles isocèles égaux (par propriété). Une pyramide triangulaire a trois faces latérales : RAV, RVS, RSA. Cela signifie que l'aire de la surface latérale de la pyramide est :
Côté S = 3S RAW
Le théorème est prouvé.
Le rayon d'un cercle inscrit à la base d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 3 m, la hauteur de la pyramide est de 4 m. Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.
Donné: pyramide quadrangulaire régulière A B C D,
A B C D- carré,
r= 3 m,
RO- hauteur de la pyramide,
RO= 4 m.
Trouver: Côté S. Voir Fig. 6.
Riz. 6
Solution.
D'après le théorème prouvé, .
Trouvons d'abord le côté de la base UN B. On sait que le rayon d'un cercle inscrit à la base d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 3 m.
Ensuite, M.
Trouver le périmètre du carré A B C D d'un côté de 6 m :
Considérons un triangle BCD. Laisser M- milieu du côté CC. Parce que À PROPOS- milieu BD, Que 
(m).
Triangle DPC- isocèle. M- milieu CC. C'est, RM- la médiane, et donc la hauteur dans le triangle DPC. Alors RM- apothème de la pyramide.
RO- hauteur de la pyramide. Puis, directement RO perpendiculaire au plan abc, et donc direct OM, couché dedans. Trouvons l'apothème RM d'un triangle rectangle ROM.
Nous pouvons maintenant trouver la surface latérale de la pyramide :
Répondre: 60 m2.
Le rayon du cercle circonscrit à la base d'une pyramide triangulaire régulière est égal à m. La surface latérale est de 18 m 2. Trouvez la longueur de l'apothème.
Donné: PCAA- pyramide triangulaire régulière,
AB = BC = SA,
R.= m,
Côté S = 18 m2.
Trouver: . Voir Fig. 7.
Riz. 7
Solution.
Dans un triangle rectangle abc Le rayon du cercle circonscrit est donné. Trouvons un côté UN B ce triangle en utilisant la loi des sinus.
Connaissant le côté d'un triangle régulier (m), on trouve son périmètre.
Par le théorème sur la surface latérale d'une pyramide régulière, où ha un- apothème de la pyramide. Alors:
Répondre: 4 m.
Nous avons donc examiné ce qu'est une pyramide, ce qu'est une pyramide régulière, et nous avons prouvé le théorème sur la surface latérale d'une pyramide régulière. Dans la prochaine leçon, nous nous familiariserons avec la pyramide tronquée.
Bibliographie
- Géométrie. 10e-11e années : manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveaux de base et spécialisé) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e éd., rév. et supplémentaire - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill.
- Géométrie. 10e-11e année : manuel pour l'enseignement général les établissements d'enseignement/ Sharygin I.F. - M. : Outarde, 1999. - 208 p. : ill.
- Géométrie. 10e année : Manuel pour les établissements d'enseignement général avec étude approfondie et spécialisée des mathématiques /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6e éd., stéréotype. - M. : Outarde, 008. - 233 p. : ill.
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Devoirs
- Un polygone régulier peut-il être la base d'une pyramide irrégulière ?
- Montrer que les arêtes disjointes d’une pyramide régulière sont perpendiculaires.
- Trouvez la valeur de l'angle dièdre du côté de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière si l'apothème de la pyramide est égal au côté de sa base.
- RAVS- pyramide triangulaire régulière. Construisez l’angle linéaire de l’angle dièdre à la base de la pyramide.
Une pyramide triangulaire est une pyramide qui a un triangle à sa base. La hauteur de cette pyramide est la perpendiculaire qui descend du sommet de la pyramide jusqu'à sa base.
Trouver la hauteur d'une pyramide
Comment trouver la hauteur d'une pyramide ? Très simple! Pour trouver la hauteur de n'importe quelle pyramide triangulaire, vous pouvez utiliser la formule du volume : V = (1/3)Sh, où S est l'aire de la base, V est le volume de la pyramide, h est sa hauteur. De cette formule, dérivez la formule de la hauteur : pour trouver la hauteur d'une pyramide triangulaire, vous devez multiplier le volume de la pyramide par 3, puis diviser la valeur obtenue par l'aire de la base, ce sera : h = (3V)/S. Puisque la base d'une pyramide triangulaire est un triangle, vous pouvez utiliser la formule pour calculer l'aire d'un triangle. Si l'on connaît : l'aire du triangle S et son côté z, alors d'après la formule d'aire S=(1/2)γh : h = (2S)/γ, où h est la hauteur de la pyramide, γ est le bord du triangle ; l'angle entre les côtés du triangle et les deux côtés eux-mêmes, puis en utilisant la formule suivante : S = (1/2)γφsinQ, où γ, φ sont les côtés du triangle, on trouve l'aire du triangle. La valeur du sinus de l’angle Q doit être examinée dans le tableau des sinus disponible sur Internet. Ensuite, nous remplaçons la valeur de l'aire dans la formule de hauteur : h = (2S)/γ. Si la tâche nécessite de calculer la hauteur d'une pyramide triangulaire, alors le volume de la pyramide est déjà connu.
Pyramide triangulaire régulière
Trouvez la hauteur d'une pyramide triangulaire régulière, c'est-à-dire une pyramide dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux, connaissant la taille de l'arête γ. Dans ce cas, les arêtes de la pyramide sont les côtés de triangles équilatéraux. La hauteur d'une pyramide triangulaire régulière sera : h = γ√(2/3), où γ est l'arête du triangle équilatéral, h est la hauteur de la pyramide. Si l'aire de la base (S) est inconnue et que seules la longueur du bord (γ) et le volume (V) du polyèdre sont donnés, alors la variable nécessaire dans la formule de l'étape précédente doit être remplacée par son équivalent, qui s'exprime en termes de longueur du bord. L'aire d'un triangle (régulier) est égale à 1/4 du produit de la longueur du côté de ce triangle au carré par la racine carrée de 3. On substitue cette formule à la place de l'aire de la base dans la précédente formule, et on obtient la formule suivante : h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Le volume d'un tétraèdre peut être exprimé par la longueur de son arête, puis à partir de la formule de calcul de la hauteur d'une figure, vous pouvez supprimer toutes les variables et ne laisser que le côté de la face triangulaire de la figure. Le volume d'une telle pyramide peut être calculé en divisant par 12 le produit de la longueur au cube de sa face par la racine carrée de 2.
En remplaçant cette expression dans la formule précédente, nous obtenons la formule de calcul suivante : h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. C'est également correct prisme triangulaire peut être inscrit dans une sphère, et connaissant seulement le rayon de la sphère (R) on peut trouver la hauteur du tétraèdre lui-même. La longueur du bord du tétraèdre est : γ = 4R/√6. On remplace la variable γ par cette expression dans la formule précédente et on obtient la formule : h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. La même formule peut être obtenue en connaissant le rayon (R) d'un cercle inscrit dans un tétraèdre. Dans ce cas, la longueur du bord du triangle sera égale à 12 rapports entre racine carrée de 6 et rayon. On substitue cette expression dans la formule précédente et on a : h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Comment trouver la hauteur d'une pyramide quadrangulaire régulière
Pour répondre à la question de savoir comment trouver la longueur et la hauteur d'une pyramide, vous devez savoir ce qu'est une pyramide régulière. Pyramide quadrangulaire est une pyramide avec un quadrilatère à sa base. Si dans les conditions du problème nous avons : le volume (V) et l'aire de la base (S) de la pyramide, alors la formule de calcul de la hauteur du polyèdre (h) sera la suivante - diviser le volume multiplié par 3 par l'aire S : h = (3V)/S. Étant donné une base carrée d'une pyramide de volume (V) et de longueur de côté γ donnés, remplacez l'aire (S) dans la formule précédente par le carré de la longueur du côté : S = γ 2 ; H = 3V/γ2. La hauteur d’une pyramide régulière h = SO passe exactement par le centre du cercle circonscrit près de la base. Puisque la base de cette pyramide est un carré, le point O est le point d’intersection des diagonales AD et BC. On a : OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Ensuite, nous sommes dans triangle rectangle On trouve SOC (en utilisant le théorème de Pythagore) : SO = √(SC 2 -OC 2). Vous savez maintenant comment trouver la hauteur d’une pyramide régulière.