Un cercle est une figure géométrique dont la familiarité se produit dans âge préscolaire. Plus tard, vous apprendrez ses propriétés et caractéristiques. Si les sommets d'un polygone arbitraire se trouvent sur un cercle et que la figure elle-même se trouve à l'intérieur, alors vous avez une figure géométrique inscrite dans le cercle.

La notion de rayon caractérise la distance entre n'importe quel point d'un cercle et son centre. Ce dernier est situé à l'intersection des perpendiculaires de chaque côté du polygone. Après avoir choisi la terminologie, considérons les expressions qui aideront à trouver le rayon de tout type de polygone.

Comment trouver le rayon d'un cercle circonscrit - polygone régulier

Cette figure peut avoir n'importe quel nombre de sommets, mais tous ses côtés sont égaux. Pour trouver le rayon d'un cercle dans lequel est placé un polygone régulier, il suffit de connaître le nombre de côtés de la figure et leur longueur.
R = b/2sin(180°/n),
b – longueur du côté,
n est le nombre de sommets (ou côtés) de la figure.
La relation donnée pour le cas d’un hexagone aura la forme suivante :
R = b/2sin(180°/6) = b/2sin30°,
R = b.

Comment trouver le rayon circonscrit d'un rectangle

Lorsqu'un quadrilatère est situé dans un cercle ayant 2 paires de côtés parallèles et des angles internes de 90°, le point d'intersection des diagonales du polygone sera son centre. En utilisant la relation de Pythagore, ainsi que les propriétés d'un rectangle, on obtient les expressions nécessaires pour trouver le rayon :
R = (√m 2 + l 2)/2,
R = d/2,
m, l – côtés du rectangle,
d est sa diagonale.

Comment trouver le rayon d'un cercle circonscrit - carré

Placez un carré dans le cercle. Ce dernier est un polygone régulier à 4 côtés. Parce que Un carré étant un cas particulier de rectangle, ses diagonales sont également divisées en deux à leur point d’intersection.
R = (√m 2 + l 2)/2 = (√m 2 + m 2)/2 = m√2/2 = m/√2,
R = d/2,
m – côté de la place,
d est sa diagonale.

Comment trouver le rayon d'un cercle circonscrit - un trapèze isocèle

Si un trapèze est placé dans un cercle, alors pour déterminer le rayon, vous devrez connaître les longueurs de ses côtés et de la diagonale.
R = m*l*d/4√p(p – m)*(p – l)*(p – d),
p = (m + l + d)/2,
m, l – côtés du trapèze,
d est sa diagonale.

Comment trouver le rayon d'un cercle circonscrit - un triangle

Triangle gratuit

• Pour déterminer le rayon d'un cercle décrivant un triangle, il suffit de connaître la taille de ses côtés.
  R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k),
  p = (m + l + k)/2,
  m, l, k – côtés du triangle.
• Si la longueur du côté est connue et mesure de degré l'angle opposé à lui, alors le rayon est déterminé comme suit :
  Pour triangle MLK
  R = m/2sinM = l/2sinL = k/2sinK,
  
  M, L, K – ses angles (sommets).
• Étant donné l'aire d'une figure, vous pouvez également calculer le rayon du cercle dans lequel elle est placée :
  R = m*l*k/4S,
  m, l, k – côtés du triangle,
  S est son aire.

Triangle isocèle

Si un triangle est isocèle, alors ses 2 côtés sont égaux. Lors de la description d'une telle figure, le rayon peut être trouvé en utilisant la relation suivante :
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k), mais m = l
R = m 2 /√(4m 2 – k 2),
m, k – côtés du triangle.

Triangle rectangle

Si l'un des angles du triangle est droit et qu'un cercle est circonscrit autour de la figure, alors pour déterminer la longueur du rayon de cette dernière, il faudra la présence de côtés connus du triangle.
R = (√m 2 + l 2)/2 = k/2,
m, l – jambes,
k – hypoténuse.

Premier niveau

Cercle circonscrit. Guide visuel (2019)

La première question qui peut se poser est : qu’est-ce qui est décrit – autour de quoi ?

Bon, en fait, parfois ça arrive autour de n'importe quoi, mais on parlera d'un cercle circonscrit autour (parfois on dit aussi « à propos ») d'un triangle. Qu'est-ce que c'est?

Et imaginez, un fait étonnant se produit :

Pourquoi ce fait est-il surprenant ?

Mais les triangles sont différents !

Et pour chacun il y a un cercle qui passera par à travers les trois sommets, c'est-à-dire le cercle circonscrit.

Preuve de cela fait incroyable vous pouvez le trouver dans les niveaux suivants de la théorie, mais ici nous notons seulement que si nous prenons, par exemple, un quadrilatère, alors pour tout le monde il n'y aura pas de cercle passant par les quatre sommets. Par exemple, un parallélogramme est un excellent quadrilatère, mais il n’existe pas de cercle passant par ses quatre sommets !

Et il n'y a que pour un rectangle :

Voici, et chaque triangle a toujours son cercle circonscrit ! Et c’est même toujours assez simple de retrouver le centre de ce cercle.

Savez vous ce que c'est médiatrice?

Voyons maintenant ce qui se passe si l’on considère jusqu’à trois médiatrices perpendiculaires aux côtés du triangle.

Il s’avère (et c’est précisément ce qu’il faut prouver, même si nous ne le ferons pas) que les trois perpendiculaires se coupent en un point. Regardez l'image : les trois bissectrices perpendiculaires se coupent en un point.

Pensez-vous que le centre du cercle circonscrit se trouve toujours à l’intérieur du triangle ? Imaginez - pas toujours !

Mais si à angle aigu, puis - à l'intérieur :

Que faire avec un triangle rectangle ?

Et avec un bonus supplémentaire :

Puisque nous parlons du rayon du cercle circonscrit : à quoi est-il égal pour un triangle arbitraire ? Et il y a une réponse à cette question : la soi-disant .

À savoir:

Et bien sûr,

1. Existence et centre du cercle circonscrit

Ici, la question se pose : un tel cercle existe-t-il pour chaque triangle ? Il s’avère que oui, pour tout le monde. Et de plus, nous allons maintenant formuler un théorème qui répond également à la question de savoir où se trouve le centre du cercle circonscrit.

Ressemble à ca:

Soyons courageux et démontrons ce théorème. Si vous avez déjà lu le sujet "" et compris pourquoi trois bissectrices se coupent en un point, alors ce sera plus facile pour vous, mais si vous ne l'avez pas lu, ne vous inquiétez pas : maintenant nous allons le découvrir.

Nous réaliserons la preuve en utilisant la notion de lieu des points (GLP).

Eh bien, par exemple, l’ensemble des boules est-il le « lieu géométrique » des objets ronds ? Non, bien sûr, car il existe des pastèques rondes. Est-ce un ensemble de personnes, un « lieu géométrique », qui peut parler ? Non non plus, car il y a des bébés qui ne peuvent pas parler. Dans la vie, il est généralement difficile de trouver un exemple de véritable « localisation géométrique de points ». C'est plus facile en géométrie. Voici par exemple exactement ce dont nous avons besoin :

Ici, l'ensemble est la médiatrice perpendiculaire et la propriété « » est « d'être équidistant (un point) des extrémités du segment ».

Devons-nous vérifier ? Vous devez donc vous assurer de deux choses :

1. Tout point équidistant des extrémités d’un segment est situé sur la médiatrice perpendiculaire à celui-ci.

Relions c et c. Ensuite, la ligne est la médiane et la hauteur b. Cela signifie - isocèle - nous nous sommes assurés que tout point situé sur la médiatrice perpendiculaire est à égale distance des points et.

Prenons le milieu et connectons et. Le résultat est la médiane. Mais selon la condition, non seulement la médiane est isocèle, mais aussi la hauteur, c'est-à-dire la médiatrice. Cela signifie que le point se trouve exactement sur la médiatrice.

Tous! Nous avons pleinement vérifié le fait que La médiatrice d'un segment est le lieu des points équidistants des extrémités du segment.

Tout cela est bien beau, mais a-t-on oublié le cercle circonscrit ? Pas du tout, nous venons de nous préparer un « tremplin d’attaque ».

Considérons un triangle. Traçons deux perpendiculaires bisectorales et, disons, aux segments et. Ils se croiseront à un moment donné, que nous nommerons.

Maintenant, faites attention !

Le point se trouve sur la médiatrice ;
le point se trouve sur la médiatrice.
Et cela signifie, et.

Plusieurs choses en découlent :

Premièrement, le point doit se situer sur la troisième bissectrice perpendiculaire au segment.

Autrement dit, la médiatrice doit également passer par le point et les trois médiatrices se coupent en un point.

Deuxièmement : si nous dessinons un cercle avec un centre en un point et un rayon, alors ce cercle passera également par le point et le point, c'est-à-dire que ce sera un cercle circonscrit. Cela signifie qu'il existe déjà que l'intersection de trois médiatrices perpendiculaires est le centre du cercle circonscrit pour tout triangle.

Et la dernière chose : à propos de l’unicité. Il est clair (presque) que le point peut être obtenu de manière unique, donc le cercle est unique. Bon, on laisse « presque » à votre réflexion. Nous avons donc prouvé le théorème. Vous pouvez crier « Hourra ! »

Et si le problème demande « trouver le rayon du cercle circonscrit » ? Ou vice versa, le rayon est donné, mais il faut trouver autre chose ? Existe-t-il une formule reliant le rayon du cercle circonscrit aux autres éléments du triangle ?

Attention : le théorème des sinus stipule que pour trouver le rayon du cercle circonscrit, il vous faut un côté (n'importe lequel !) et l'angle qui lui est opposé. C'est tout!

3. Centre du cercle - intérieur ou extérieur

Maintenant la question est : le centre du cercle circonscrit peut-il se trouver à l’extérieur du triangle ?
Réponse : autant que possible. De plus, cela se produit toujours dans un triangle obtus.

Et d'une manière générale :

CERCLE CIRCULAIRE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

1. Cercle circonscrit à un triangle

C'est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.

2. Existence et centre du cercle circonscrit

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

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Comment trouver le rayon d'un cercle ? Cette question est toujours d'actualité pour les écoliers qui étudient la planimétrie. Ci-dessous, nous examinerons plusieurs exemples de la façon dont vous pouvez faire face à cette tâche.

Selon les conditions du problème, vous pouvez trouver le rayon du cercle comme ceci.

Formule 1 : R = L / 2π, où L est et π est une constante égale à 3,141...

Formule 2 : R = √(S / π), où S est l'aire du cercle.

Formule 1 : R = B/2, où B est l'hypoténuse.

Formule 2 : R = M*B, où B est l'hypoténuse et M est la médiane qui y est attirée.

Comment trouver le rayon d'un cercle s'il est circonscrit autour d'un polygone régulier

Formule : R = A / (2 * sin (360/(2*n))), où A est la longueur d'un des côtés de la figure et n est le nombre de côtés de cette figure géométrique.

Comment trouver le rayon d'un cercle inscrit

Un cercle inscrit est appelé lorsqu'il touche tous les côtés du polygone. Regardons quelques exemples.

Formule 1 : R = S / (P/2), où - S et P sont respectivement l'aire et le périmètre de la figure.

Formule 2 : R = (P/2 - A) * tg (a/2), où P est le périmètre, A est la longueur d'un des côtés, et est l'angle opposé à ce côté.

Comment trouver le rayon d'un cercle s'il est inscrit dans un triangle rectangle

Formule 1:

Le rayon d'un cercle inscrit dans un losange

Un cercle peut être inscrit dans n'importe quel losange, qu'il soit équilatéral ou inégal.

Formule 1 : R = 2 * H, où H est la hauteur figure géométrique.

Formule 2 : R = S / (A*2), où S est et A est la longueur de son côté.

Formule 3 : R = √((S * sin A)/4), où S est l'aire du losange et sin A est le sinus angle aigu de cette figure géométrique.

Formule 4 : R = B*G/(√(B² + G²), où B et G sont les longueurs des diagonales de la figure géométrique.

Formule 5 : R = B*sin (A/2), où B est la diagonale du losange et A est l'angle aux sommets reliant la diagonale.

Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle

Si dans l'énoncé du problème on vous donne les longueurs de tous les côtés de la figure, calculez d'abord (P) puis le demi-périmètre (p) :

P = A+B+C, où A, B, C sont les longueurs des côtés de la figure géométrique.

Formule 1 : R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

Et si, connaissant tout de même trois côtés, on vous en donne également un, alors vous pouvez calculer le rayon requis comme suit.

Formule 2 : R = S * 2(A + B + C)

Formule 3 : R = S/n = S / (A+B+B)/2), où - n est le demi-périmètre de la figure géométrique.

Formule 4 : R = (n - A) * tan (A/2), où n est le demi-périmètre du triangle, A est l'un de ses côtés et tg (A/2) est la tangente de la moitié de l'angle en face de ce côté.

Et la formule ci-dessous vous aidera à trouver le rayon du cercle inscrit dans

Formule 5 : R = A * √3/6.

Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle rectangle

Si le problème donne les longueurs des jambes, ainsi que l'hypoténuse, alors le rayon du cercle inscrit est déterminé comme suit.

Formule 1 : R = (A+B-C)/2, où A, B sont les jambes, C est l'hypoténuse.

Dans le cas où l’on ne vous donne que deux jambes, il est temps de rappeler le théorème de Pythagore afin de trouver l’hypoténuse et d’utiliser la formule ci-dessus.

C = √(A²+B²).

Le rayon d'un cercle inscrit dans un carré

Un cercle inscrit dans un carré divise ses 4 côtés exactement en deux aux points de contact.

Formule 1 : R = A/2, où A est la longueur du côté du carré.

Formule 2 : R = S / (P/2), où S et P sont respectivement l'aire et le périmètre du carré.

Le sujet « Cercles inscrits et circonscrits dans des triangles » est l'un des plus difficiles du cours de géométrie. Elle passe très peu de temps en classe.

Les problèmes géométriques de ce sujet sont inclus dans la deuxième partie Feuille d'examen Examen d'État unifié par cours lycée. Pour mener à bien ces tâches, vous avez besoin de solides connaissances faits géométriques de base et une certaine expérience dans la résolution de problèmes géométriques.
Pour chaque triangle, il n’y a qu’un seul cercle circonscrit. Il s'agit d'un cercle sur lequel se trouvent les trois sommets d'un triangle avec des paramètres donnés. Trouver son rayon peut être nécessaire non seulement dans une leçon de géométrie. Les concepteurs, les coupeurs, les mécaniciens et les représentants de nombreuses autres professions doivent constamment y faire face. Afin de trouver son rayon, vous devez connaître les paramètres du triangle et ses propriétés. Le centre du cercle circonscrit se trouve au point d’intersection des médiatrices du triangle.
Je porte à votre connaissance toutes les formules permettant de trouver le rayon d'un cercle circonscrit et pas seulement d'un triangle. Les formules pour le cercle inscrit peuvent être consultées.

un B. Avec - côtés du triangle

α - angle opposéun,
S-aire d'un triangle,

p- demi-périmètre

Ensuite pour trouver le rayon ( R.) du cercle circonscrit en utilisant les formules :

À son tour, l'aire du triangle peut être calculée à l'aide de l'une des formules suivantes :

Voici quelques formules supplémentaires.

1. Le rayon du cercle circonscrit est d’environ triangle régulier. Si un côté du triangle alors

2. Le rayon du cercle circonscrit à un triangle isocèle. Laisser un B- les côtés du triangle, puis

Un rayon est un segment de ligne qui relie n'importe quel point d'un cercle à son centre. C'est l'une des caractéristiques les plus importantes de ce chiffre, car tous les autres paramètres peuvent être calculés sur cette base. Si vous savez comment trouver le rayon d’un cercle, vous pouvez calculer son diamètre, sa longueur et son aire. Dans le cas où une figure donnée est inscrite ou décrite autour d'une autre, on peut aussi résoudre ligne entière Tâches. Aujourd'hui, nous examinerons les formules de base et les caractéristiques de leur application.

Quantités connues

Si vous savez comment trouver le rayon d'un cercle, généralement désigné par la lettre R, il peut être calculé à l'aide d'une caractéristique. Ces valeurs comprennent :

• circonférence (C);
• diamètre (D) - un segment (ou plutôt une corde) qui passe par le point central ;
• zone (S) - l'espace limité par un chiffre donné.

Circonférence

Si la valeur de C est connue dans le problème, alors R = C / (2 * P). Cette formule est un dérivé. Si nous connaissons la circonférence, nous n’avons plus besoin de nous en souvenir. Supposons que dans le problème C = 20 m. Comment trouver le rayon du cercle dans ce cas ? Nous substituons simplement la valeur connue dans la formule ci-dessus. Notez que dans de tels problèmes, la connaissance du nombre P est toujours implicite. Pour faciliter les calculs, nous prenons sa valeur comme 3,14. La solution dans ce cas ressemble à ceci : nous notons les quantités données, déduisons la formule et effectuons les calculs. Dans la réponse nous écrivons que le rayon est de 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m. Il est important de ne pas oublier ce que nous avons calculé et de mentionner le nom des unités de mesure.

Par diamètre

Soulignons tout de suite qu'il s'agit du type de problème le plus simple, qui demande comment trouver le rayon d'un cercle. Si vous avez rencontré un tel exemple lors d'un test, vous pouvez être rassuré. Vous n'avez même pas besoin d'une calculatrice ici ! Comme nous l'avons déjà dit, le diamètre est un segment ou, plus exactement, une corde qui passe par le centre. Dans ce cas, tous les points du cercle sont équidistants. Par conséquent, cet accord se compose de deux moitiés. Chacun d'eux est un rayon, qui découle de sa définition comme segment qui relie un point d'un cercle et son centre. Si le diamètre est connu dans le problème, alors pour trouver le rayon, il suffit de diviser cette valeur par deux. La formule est la suivante : R = D / 2. Par exemple, si le diamètre du problème est de 10 m, alors le rayon est de 5 mètres.

Par aire d'un cercle

Ce type de problème est généralement appelé le plus difficile. Cela est principalement dû à la méconnaissance de la formule. Si vous savez comment trouver le rayon d’un cercle dans ce cas, alors le reste est une question de technique. Dans la calculatrice, il vous suffit de trouver au préalable l'icône de calcul de la racine carrée. L'aire d'un cercle est le produit du nombre P et du rayon multiplié par lui-même. La formule est la suivante : S = P * R 2. En isolant le rayon d'un côté de l'équation, vous pouvez facilement résoudre le problème. Il sera égal à la racine carrée du quotient de l'aire divisé par le nombre P. Si S = 10 m, alors R = 1,78 mètres. Comme dans les problèmes précédents, il est important de rappeler les unités de mesure utilisées.

Comment trouver le rayon circonscrit d'un cercle

Supposons que a, b, c soient les côtés du triangle. Si vous connaissez leurs valeurs, vous pouvez trouver le rayon du cercle décrit autour de lui. Pour ce faire, vous devez d'abord trouver le demi-périmètre du triangle. Pour faciliter la compréhension, désignons-le par la petite lettre p. Ce sera égal à la moitié de la somme des côtés. Sa formule : p = (a + b + c) / 2.

On calcule également le produit des longueurs des côtés. Pour plus de commodité, notons-le par la lettre S. La formule du rayon du cercle circonscrit ressemblera à ceci : R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p -c)).

Regardons un exemple de tâche. Nous avons un cercle circonscrit à un triangle. Les longueurs de ses côtés sont de 5, 6 et 7 cm. Tout d'abord, on calcule le demi-périmètre. Dans notre problème, ce sera égal à 9 centimètres. Calculons maintenant le produit des longueurs des côtés - 210. Nous substituons les résultats des calculs intermédiaires dans la formule et découvrons le résultat. Le rayon du cercle circonscrit est de 3,57 centimètres. Nous notons la réponse, sans oublier les unités de mesure.

Comment trouver le rayon d'un cercle inscrit

Supposons que a, b, c soient les longueurs des côtés du triangle. Si vous connaissez leurs valeurs, vous pouvez trouver le rayon du cercle qui y est inscrit. Vous devez d’abord trouver son demi-périmètre. Pour faciliter la compréhension, désignons-le par la petite lettre p. La formule pour le calculer est la suivante : p = (a + b + c) / 2. Ce type de problème est un peu plus simple que le précédent, aucun calcul intermédiaire n'est donc nécessaire.

Le rayon du cercle inscrit est calculé à l'aide de la formule suivante : R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Regardons ça exemple spécifique. Supposons que le problème décrit un triangle dont les côtés sont de 5, 7 et 10 cm. Un cercle y est inscrit dont il faut trouver le rayon. Nous trouvons d’abord le demi-périmètre. Dans notre problème, ce sera égal à 11 cm. Maintenant, nous le substituons dans la formule principale. Le rayon sera égal à 1,65 centimètres. Nous notons la réponse et n'oublions pas les bonnes unités de mesure.

Cercle et ses propriétés

Chaque figure géométrique a ses propres caractéristiques. L'exactitude de la résolution des problèmes dépend de leur compréhension. Le cercle en a aussi. Ils sont souvent utilisés lors de la résolution d'exemples avec des figures décrites ou inscrites, car ils donnent une image claire d'une telle situation. Parmi eux:

• Une ligne droite peut avoir zéro, un ou deux points d'intersection avec un cercle. Dans le premier cas il ne le coupe pas, dans le second c'est une tangente, dans le troisième c'est une sécante.
• Si vous prenez trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne, alors un seul cercle peut être tracé à travers eux.
• Une ligne droite peut être tangente à deux figures à la fois. Dans ce cas, il passera par un point situé sur le segment reliant les centres des cercles. Sa longueur est égale à la somme des rayons de ces figures.
• Un nombre infini de cercles peuvent être tracés passant par un ou deux points.