Le matériel méthodologique est pour référence seulement et fait référence à à un large cercle les sujets L'article donne un aperçu des graphiques des fonctions élémentaires de base et discute la question la plus importante – comment construire un graphique correctement et RAPIDEMENT. Au cours de l'étude des mathématiques supérieures, sans connaissance des graphiques des fonctions élémentaires de base, cela sera difficile, il est donc très important de se rappeler à quoi ressemblent les graphiques d'une parabole, d'une hyperbole, d'un sinus, d'un cosinus, etc., et de se souvenir de certains des significations des fonctions. Nous parlerons également de certaines propriétés des fonctions principales.

Je ne prétends pas à l'exhaustivité et à la rigueur scientifique des matériaux ; l'accent sera mis avant tout sur la pratique - ces choses avec lesquelles on rencontre littéralement à chaque étape, dans n'importe quel sujet de mathématiques supérieures. Des graphiques pour les nuls ? On pourrait le dire.

En raison de nombreuses demandes de lecteurs table des matières cliquable:

De plus, il y a un très court résumé sur le sujet
– maîtrisez 16 types de graphiques en étudiant SIX pages !

Sérieusement, six, même moi j'ai été surpris. Ce résumé contient des graphiques améliorés et est disponible moyennant des frais minimes ; une version de démonstration peut être consultée. Il est pratique d'imprimer le fichier pour que les graphiques soient toujours à portée de main. Merci de soutenir le projet !

Et commençons tout de suite :

Comment construire correctement les axes de coordonnées ?

En pratique, les tests sont presque toujours complétés par les étudiants dans des cahiers séparés, alignés en carré. Pourquoi avez-vous besoin de marquages ​​à carreaux ? Après tout, le travail peut en principe être effectué sur des feuilles A4. Et la cage est nécessaire uniquement pour une conception précise et de haute qualité des dessins.

Tout dessin d'un graphe de fonctions commence par des axes de coordonnées.

Les dessins peuvent être en deux ou trois dimensions.

Considérons d'abord le cas bidimensionnel Système de coordonnées rectangulaires cartésiennes:

1) Dessiner axes de coordonnées. L'axe s'appelle axe x , et l'axe est axe y . Nous essayons toujours de les dessiner soigné et pas tordu. Les flèches ne doivent pas non plus ressembler à la barbe de Papa Carlo.

2) Étiquetez les axes en majuscule"X" et "Y". N'oubliez pas d'étiqueter les axes.

3) Réglez l'échelle le long des axes : dessine un zéro et deux un. Lors de la réalisation d'un dessin, l'échelle la plus pratique et la plus fréquemment utilisée est : 1 unité = 2 cellules (dessin à gauche) - si possible, respectez-la. Cependant, il arrive de temps en temps que le dessin ne rentre pas feuille de cahier– puis on réduit l'échelle : 1 unité = 1 cellule (dessin de droite). C'est rare, mais il arrive que l'échelle du dessin doive être réduite (ou augmentée) encore plus

Il n'y a PAS BESOIN de « mitrailleuse »…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Pour avion coordonné n'est pas un monument à Descartes, et l'étudiant n'est pas une colombe. nous mettons zéro Et deux unités le long des axes. Parfois au lieu de unités, il est pratique de « marquer » d'autres valeurs, par exemple « deux » sur l'axe des abscisses et « trois » sur l'axe des ordonnées - et ce système (0, 2 et 3) définira également de manière unique la grille de coordonnées.

Il est préférable d'estimer les dimensions estimées du dessin AVANT de construire le dessin. Ainsi, par exemple, si la tâche nécessite de dessiner un triangle avec des sommets , , , alors il est tout à fait clair que l'échelle populaire de 1 unité = 2 cellules ne fonctionnera pas. Pourquoi? Regardons le point - ici, vous devrez mesurer quinze centimètres vers le bas et, évidemment, le dessin ne tiendra pas (ou à peine) sur une feuille de cahier. Par conséquent, nous sélectionnons immédiatement une échelle plus petite : 1 unité = 1 cellule.

À propos, à propos des centimètres et des cellules du cahier. Est-il vrai que 30 cellules de cahier contiennent 15 centimètres ? Pour vous amuser, mesurez 15 centimètres dans votre cahier avec une règle. En URSS, cela aurait pu être vrai... Il est intéressant de noter que si l'on mesure ces mêmes centimètres horizontalement et verticalement, les résultats (dans les cellules) seront différents ! À proprement parler, les cahiers modernes ne sont pas à carreaux, mais rectangulaires. Cela peut sembler absurde, mais dessiner, par exemple, un cercle avec une boussole dans de telles situations est très gênant. Pour être honnête, dans de tels moments, vous commencez à penser à la justesse du camarade Staline, qui a été envoyé dans des camps pour travailler dans la production, sans parler de l'industrie automobile nationale, des chutes d'avions ou de l'explosion de centrales électriques.

En parlant de qualité, ou une brève recommandation sur la papeterie. Aujourd'hui, la plupart des cahiers sont en vente, gros mots sans parler de la foutaise totale. Pour la raison qu'ils sont mouillés, et pas seulement à cause des stylos gel, mais aussi des stylos à bille ! Ils économisent de l'argent sur le papier. Pour l'inscription essais Je recommande d'utiliser des cahiers de l'usine de pâte et papier d'Arkhangelsk (18 feuilles, carrées) ou « Pyaterochka », bien que ce soit plus cher. Il est conseillé de choisir un stylo gel ; même la recharge gel chinoise la moins chère est bien meilleure qu'un stylo à bille, qui tache ou déchire le papier. Le seul stylo à bille « compétitif » dont je me souvienne est l’Erich Krause. Elle écrit clairement, magnifiquement et de manière cohérente – que ce soit avec un noyau plein ou presque vide.

En plus: La vision d'un système de coordonnées rectangulaires à travers les yeux de la géométrie analytique est abordée dans l'article Dépendance linéaire (non) des vecteurs. Base des vecteurs, des informations détaillées sur les quartiers de coordonnées peuvent être trouvés dans le deuxième paragraphe de la leçon Inégalités linéaires.

Cas 3D

C'est presque pareil ici.

1) Dessinez des axes de coordonnées. Standard: application de l'axe – dirigé vers le haut, axe – dirigé vers la droite, axe – dirigé vers le bas vers la gauche strictementà un angle de 45 degrés.

2) Étiquetez les axes.

3) Réglez l'échelle le long des axes. L'échelle le long de l'axe est deux fois plus petite que l'échelle le long des autres axes. Notez également que dans le dessin de droite j'ai utilisé une "encoche" non standard le long de l'axe (cette possibilité a déjà été évoquée plus haut). De mon point de vue, c'est plus précis, plus rapide et plus esthétique - il n'est pas nécessaire de chercher le milieu de la cellule au microscope et de « sculpter » une unité proche de l'origine des coordonnées.

Lorsque vous réalisez un dessin 3D, encore une fois, donnez la priorité à l'échelle
1 unité = 2 cellules (dessin à gauche).

A quoi servent toutes ces règles ? Les règles sont faites pour être enfreintes. C'est ce que je vais faire maintenant. Le fait est que les dessins ultérieurs de l'article seront réalisés par moi dans Excel et que les axes de coordonnées sembleront incorrects du point de vue conception correcte. Je pourrais dessiner tous les graphiques à la main, mais c’est vraiment effrayant de les dessiner car Excel hésite à les dessiner avec beaucoup plus de précision.

Graphiques et propriétés de base des fonctions élémentaires

Une fonction linéaire est donnée par l'équation. Le graphique des fonctions linéaires est direct. Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points.

Exemple 1

Construisez un graphique de la fonction. Trouvons deux points. Il est avantageux de choisir zéro comme l'un des points.

Si donc

Prenons un autre point, par exemple le 1.

Si donc

Lors de l'exécution des tâches, les coordonnées des points sont généralement résumées dans un tableau :

Et les valeurs elles-mêmes sont calculées oralement ou sur un brouillon, une calculatrice.

Deux points ont été trouvés, faisons le dessin :

Lors de la préparation d'un dessin, nous signons toujours les graphiques.

Il serait utile de rappeler des cas particuliers de fonction linéaire :

Remarquez comment j'ai placé les signatures, les signatures ne doivent pas permettre de divergences lors de l'étude du dessin. DANS dans ce cas Il n'était absolument pas souhaitable de mettre une signature à côté du point d'intersection des lignes, ou en bas à droite entre les graphiques.

1) Une fonction linéaire de la forme () est appelée proportionnalité directe. Par exemple, . Un graphe de proportionnalité directe passe toujours par l'origine. Ainsi, la construction d'une ligne droite est simplifiée : il suffit de trouver un seul point.

2) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est tracé immédiatement, sans trouver de points. C'est-à-dire que l'entrée doit être comprise comme suit : « le y est toujours égal à –4, pour toute valeur de x ».

3) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est également tracé immédiatement. L'entrée doit être comprise comme suit : « x est toujours, pour toute valeur de y, égal à 1. »

Certains se demanderont pourquoi se souvenir de la 6e année ?! C'est comme ça, c'est peut-être le cas, mais au fil des années de pratique, j'ai rencontré une bonne douzaine d'étudiants qui étaient déconcertés par la tâche de construire un graphique comme ou.

Construire une ligne droite est l’action la plus courante lors de la réalisation de dessins.

La droite est discutée en détail au cours de la géométrie analytique, et ceux que cela intéresse peuvent se référer à l'article Équation d'une droite sur un plan.

Graphique d'une fonction quadratique et cubique, graphique d'un polynôme

Parabole. Calendrier fonction quadratique () représente une parabole. Considérons le cas célèbre :

Rappelons quelques propriétés de la fonction.

Donc, la solution de notre équation : – c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. Pourquoi il en est ainsi peut être appris à partir de l'article théorique sur la dérivée et de la leçon sur les extrema de la fonction. En attendant, calculons la valeur « Y » correspondante :

Le sommet est donc au point

On retrouve maintenant d'autres points, tout en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il convient de noter que la fonction – n'est même pas, mais néanmoins personne n'a annulé la symétrie de la parabole.

Dans quel ordre trouver les points restants, je pense que cela ressortira clairement du tableau final :

Cet algorithme de construction peut être appelé au sens figuré une « navette » ou le principe du « va-et-vient » avec Anfisa Chekhova.

Faisons le dessin :

Des graphiques examinés, une autre fonctionnalité utile me vient à l’esprit :

Pour une fonction quadratique () ce qui suit est vrai :

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.

Des connaissances approfondies sur la courbe peuvent être obtenues dans la leçon Hyperbole et parabole.

Une parabole cubique est donnée par la fonction. Voici un dessin familier de l'école :

Listons les principales propriétés de la fonction

Graphique d'une fonction

Elle représente l'une des branches d'une parabole. Faisons le dessin :

Principales propriétés de la fonction :

Dans ce cas, l'axe est asymptote verticale pour le graphique d'une hyperbole en .

Ce serait une grossière erreur si, lors de l'élaboration d'un dessin, vous permettiez négligemment au graphique de croiser une asymptote.

De plus, les limites unilatérales nous indiquent que l'hyperbole pas limité d'en haut Et non limité par le bas.

Examinons la fonction à l'infini : , c'est-à-dire que si nous commençons à nous déplacer le long de l'axe vers la gauche (ou la droite) jusqu'à l'infini, alors les « jeux » seront une étape ordonnée infiniment proche approchez de zéro et, par conséquent, les branches de l'hyperbole infiniment proche se rapprocher de l'axe.

L'axe est donc asymptote horizontale pour le graphique d’une fonction, si « x » tend vers plus ou moins l’infini.

La fonction est impair, et, par conséquent, l’hyperbole est symétrique par rapport à l’origine. Ce faitévident d'après le dessin, de plus, cela se vérifie facilement analytiquement : .

Le graphique d'une fonction de la forme () représente deux branches d'une hyperbole.

Si , alors l'hyperbole est située dans les premier et troisième quartiers de coordonnées(voir photo ci-dessus).

Si , alors l'hyperbole est située dans les deuxième et quatrième quartiers de coordonnées.

Le modèle indiqué de résidence des hyperboles est facile à analyser du point de vue des transformations géométriques des graphiques.

Exemple 3

Construire la branche droite de l'hyperbole

Nous utilisons la méthode de construction par points, et il est avantageux de sélectionner les valeurs pour qu'elles soient divisibles par un tout :

Faisons le dessin :

Il ne sera pas difficile de construire la branche gauche de l'hyperbole ; l'étrangeté de la fonction sera utile ici. En gros, dans le tableau de construction ponctuelle, nous ajoutons mentalement un moins à chaque nombre, mettons les points correspondants et dessinons la deuxième branche.

Des informations géométriques détaillées sur la droite considérée peuvent être trouvées dans l'article Hyperbole et parabole.

Graphique d'une fonction exponentielle

Dans cette section, je considérerai immédiatement la fonction exponentielle, puisque dans les problèmes de mathématiques supérieures dans 95 % des cas c'est l'exponentielle qui apparaît.

Permettez-moi de vous rappeler qu'il s'agit d'un nombre irrationnel : , cela sera nécessaire lors de la construction d'un graphe, que, en fait, je construirai sans cérémonie. Trois points suffisent probablement :

Laissons le graphique de la fonction seul pour l'instant, nous y reviendrons plus tard.

Principales propriétés de la fonction :

Les graphiques de fonctions, etc., se ressemblent fondamentalement.

Je dois dire que le deuxième cas est moins fréquent dans la pratique, mais il se produit, j'ai donc jugé nécessaire de l'inclure dans cet article.

Graphique d'une fonction logarithmique

Considérons la fonction avec un algorithme naturel.
Faisons un dessin point par point :

Si vous avez oublié ce qu'est un logarithme, référez-vous à vos manuels scolaires.

Principales propriétés de la fonction :

Domaine:

Plage de valeurs : .

La fonction n'est pas limitée par le haut : , quoique lentement, mais la branche du logarithme monte vers l'infini.
Examinons le comportement de la fonction proche de zéro à droite : . L'axe est donc asymptote verticale pour le graphique d’une fonction lorsque « x » tend vers zéro à partir de la droite.

Il est impératif de connaître et de mémoriser la valeur typique du logarithme: .

En principe, le graphique du logarithme en base est le même : , , (logarithme décimal en base 10), etc. De plus, plus la base est grande, plus le graphique sera plat.

Nous n'examinerons pas l'affaire, je ne me souviens plus quand dernière fois J'ai construit un graphique sur cette base. Et le logarithme semble être un invité très rare dans les problèmes de mathématiques supérieures.

À la fin de ce paragraphe, je dirai encore un fait : Fonction exponentielle et fonction logarithmique- les deux sont réciproques fonctions inverses . Si vous regardez attentivement le graphique du logarithme, vous pouvez voir qu’il s’agit du même exposant, il est juste situé un peu différemment.

Graphiques de fonctions trigonométriques

Où commencent les tourments trigonométriques à l’école ? Droite. Du sinus

Traçons la fonction

Cette ligne s'appelle sinusoïde.

Je vous rappelle que « pi » est un nombre irrationnel : , et en trigonométrie il éblouit les yeux.

Principales propriétés de la fonction :

Cette fonction est périodique avec point. Qu'est-ce que ça veut dire? Regardons le segment. À gauche et à droite, exactement la même partie du graphique est répétée à l’infini.

Domaine: , c'est-à-dire que pour toute valeur de « x », il existe une valeur sinusoïdale.

Plage de valeurs : . La fonction est limité: , c'est-à-dire que tous les « jeux » se situent strictement dans le segment .
Cela n’arrive pas : ou, plus précisément, cela arrive, mais ces équations n’ont pas de solution.

Dans les cours de mathématiques à l'école, vous vous êtes déjà familiarisé avec les propriétés et le graphique les plus simples d'une fonction y = x 2. Développons nos connaissances sur fonction quadratique.

Exercice 1.

Représenter graphiquement la fonction y = x 2. Echelle : 1 = 2 cm Marquez un point sur l'axe Oy. F(0 ; 1/4). A l'aide d'un compas ou d'une bande de papier, mesurez la distance du point Fà un certain point M. paraboles. Épinglez ensuite la bande au point M et faites-la pivoter autour de ce point jusqu'à ce qu'elle soit verticale. La fin de la bande tombera légèrement en dessous de l'axe des x (Fig. 1). Marquez sur la bande jusqu'où elle s'étend au-delà de l'axe des x. Prenez maintenant un autre point sur la parabole et répétez la mesure. Dans quelle mesure le bord de la bande est-il tombé en dessous de l’axe des x ?

Résultat: quel que soit le point de la parabole y = x 2 que vous prenez, la distance de ce point au point F(0; 1/4) sera supérieure à la distance du même point à l'axe des abscisses de toujours le même nombre - 1/4.

On peut le dire différemment : la distance de n'importe quel point de la parabole au point (0 ; 1/4) est égale à la distance du même point de la parabole à la droite y = -1/4. Ce merveilleux point F(0; 1/4) est appelé se concentrer paraboles y = x 2 et droite y = -1/4 – directrice cette parabole. Chaque parabole a une directrice et un foyer.

Propriétés intéressantes d'une parabole :

1. Tout point de la parabole est équidistant d’un certain point, appelé foyer de la parabole, et d’une ligne droite, appelée sa directrice.

2. Si vous faites pivoter une parabole autour de l'axe de symétrie (par exemple, la parabole y = x 2 autour de l'axe Oy), vous obtiendrez une surface très intéressante appelée paraboloïde de révolution.

La surface du liquide dans un récipient en rotation a la forme d'un paraboloïde de rotation. Vous pouvez voir cette surface si vous remuez vigoureusement avec une cuillère dans un verre de thé incomplet, puis retirez la cuillère.

3. Si vous jetez une pierre dans le vide à un certain angle par rapport à l'horizon, elle volera en parabole (Fig.2).

4. Si vous coupez la surface d'un cône avec un plan parallèle à l'une de ses génératrices, alors la section transversale donnera lieu à une parabole. (Fig.3).

5. Les parcs d'attractions proposent parfois un manège amusant appelé Paraboloïde des Merveilles. Il semble à tous ceux qui se trouvent à l’intérieur du paraboloïde en rotation qu’ils se tiennent au sol, tandis que le reste des gens s’accroche miraculeusement aux murs.

6. Dans les télescopes à réflexion, des miroirs paraboliques sont également utilisés : la lumière d'une étoile lointaine, arrivant dans un faisceau parallèle, tombant sur le miroir du télescope, est collectée pour être focalisée.

7. Les projecteurs ont généralement un miroir en forme de paraboloïde. Si vous placez une source de lumière au foyer d'un paraboloïde, les rayons réfléchis par le miroir parabolique forment un faisceau parallèle.

Représenter graphiquement une fonction quadratique

En cours de mathématiques, vous avez étudié comment obtenir des graphiques de fonctions de la forme à partir du graphique de la fonction y = x 2 :

1) y = hache 2– étirer le graphe y = x 2 le long de l'axe Oy en |a| fois (avec |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riz. 4).

2) y = x 2 + n– déplacement du graphique de n unités le long de l'axe Oy, et si n > 0, alors le déplacement est vers le haut, et si n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– décalage du graphique de m unités le long de l’axe Ox : si m< 0, то вправо, а если m >0, puis je suis parti, (Fig.5).

4) y = -x 2– affichage symétrique par rapport à l'axe Ox du graphique y = x 2 .

Examinons de plus près le tracé de la fonction y = une(x – m) 2 + n.

Une fonction quadratique de la forme y = ax 2 + bx + c peut toujours se réduire à la forme

y = a(x – m) 2 + n, où m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Prouvons-le.

Vraiment,

y = hache 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Introduisons de nouvelles notations.

Laisser m = -b/(2a), UN n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

alors nous obtenons y = a(x – m) 2 + n ou y – n = a(x – m) 2.

Faisons quelques substitutions supplémentaires : soit y – n = Y, x – m = X (*).

On obtient alors la fonction Y = aX 2 dont le graphique est une parabole.

Le sommet de la parabole est à l'origine. X = 0 ; Oui = 0.

En substituant les coordonnées du sommet dans (*), on obtient les coordonnées du sommet du graphe y = a(x – m) 2 + n : x = m, y = n.

Ainsi, afin de tracer une fonction quadratique représentée par

y = une(x – m) 2 + n

à travers les transformations, vous pouvez procéder comme suit :

un) tracer la fonction y = x 2 ;

b) par translation parallèle le long de l'axe Ox de m unités et le long de l'axe Oy de n unités - transférer le sommet de la parabole de l'origine au point de coordonnées (m ; n) (Fig.6).

Transformations d'enregistrement :

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Exemple.

À l'aide de transformations, construisez un graphique de la fonction y = 2(x – 3) 2 dans le système de coordonnées cartésiennes – 2.

Solution.

Chaîne de transformations :

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Le tracé est montré dans riz. 7.

Vous pouvez vous entraîner à représenter graphiquement des fonctions quadratiques par vous-même. Par exemple, construisez un graphique de la fonction y = 2(x + 3) 2 + 2 dans un système de coordonnées à l'aide de transformations. Si vous avez des questions ou souhaitez obtenir des conseils d'un enseignant, vous avez la possibilité de procéder. cours gratuit de 25 minutes avec tuteur en ligne après inscription. Pour poursuivre votre collaboration avec le professeur, vous pouvez choisir le plan tarifaire qui vous convient.

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