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Comment trouver le sommet du graphique d'une fonction quadratique. Fonction quadratique

En mathématiques, il existe tout un cycle d'identités, parmi lesquelles les équations quadratiques occupent une place importante. De telles égalités peuvent être résolues à la fois séparément et pour construire des graphiques sur l'axe des coordonnées. les équations sont les points d'intersection de la parabole et de la droite oh.

Forme générale

DANS vue générale a la structure suivante :

Les variables individuelles et les expressions entières peuvent être considérées comme « X ». Par exemple:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

Dans le cas où le rôle de x est une expression, il faut le représenter comme une variable et trouver après cela, assimiler le polynôme et trouver x.

Donc, si (x+7)=a, alors l’équation prend la forme a 2 +3a+2=0.

D=3 2 -4*1*2=1;

et 1 =(-3-1)/2*1=-2 ;

et 2 =(-3+1)/2*1=-1.

Avec des racines égales à -2 et -1, on obtient ceci :

x+7=-2 et x+7=-1 ;

Les racines sont la valeur de la coordonnée x du point où la parabole coupe l'axe des x. En principe, leur valeur n'est pas si importante s'il s'agit uniquement de trouver le sommet de la parabole. Mais pour tracer un graphique, les racines jouent un rôle important.

Revenons à l'équation initiale. Pour répondre à la question de savoir comment trouver le sommet d'une parabole, vous devez connaître la formule suivante :

où x VP est la valeur de la coordonnée x du point souhaité.

Mais comment trouver le sommet d’une parabole sans la valeur de la coordonnée y ? Nous substituons la valeur x résultante dans l'équation et trouvons la variable souhaitée. Par exemple, résolvons l'équation suivante :

Trouvez la valeur de la coordonnée x pour le sommet de la parabole :

xVP =-b/2a=-3/2*1 ;

Trouvez la valeur de la coordonnée y pour le sommet de la parabole :

y=2x 2 +4x-3=(-1,5) 2 +3*(-1,5)-5;

En conséquence, nous constatons que le sommet de la parabole est situé au point de coordonnées (-1,5 ; -7,25).

Une parabole est une connexion de points qui a une verticale. Pour cette raison, sa construction elle-même n'est pas particulièrement difficile. Le plus difficile est de faire des calculs corrects des coordonnées des points.

Ça vaut le coup de payer Attention particulière aux chances équation quadratique.

Le coefficient a affecte la direction de la parabole. Dans le cas où il a Sens négatif, les branches seront dirigées vers le bas et avec un signe positif - vers le haut.

Le coefficient b indique la largeur du bras de la parabole. Plus sa valeur est élevée, plus elle sera large.

Le coefficient c indique le déplacement de la parabole le long de l'axe op par rapport à l'origine.

Nous avons déjà appris comment trouver le sommet d'une parabole, et pour trouver les racines, il faut se guider par les formules suivantes :

où D est le discriminant nécessaire pour trouver les racines de l’équation.

x 1 =(-b+V - D)/2a

x 2 =(-b-V - D)/2a

Les valeurs x résultantes correspondront à des valeurs y nulles, car ce sont les points d'intersection avec l'axe OX.

Après cela, nous marquons les valeurs résultantes en haut de la parabole. Pour un graphique plus détaillé, vous devez trouver quelques points supplémentaires. Pour ce faire, choisissez n'importe quelle valeur de x autorisée par le domaine de définition et remplacez-la dans l'équation de la fonction. Le résultat des calculs sera la coordonnée du point le long de l'axe de l'ampli opérationnel.

Pour simplifier le processus graphique, vous pouvez tracer une ligne verticale passant par le haut de la parabole et perpendiculaire à l'axe OX. Ce sera à l'aide duquel, ayant un point, vous pourrez en désigner un deuxième, à égale distance de la ligne tracée.

Contenu:

Le sommet d'une parabole est son point le plus haut ou le plus bas. Pour trouver le sommet d'une parabole, vous pouvez utiliser une formule spéciale ou la méthode d'addition de carrés. Vous trouverez ci-dessous comment procéder.

Pas

1 Formule pour trouver le sommet

  1. 1 Trouvez les valeurs de a, b et c. Dans une équation quadratique, le coefficient à x2 = un,à X= b, constant (coefficient sans variable) = c. Par exemple, prenons l'équation : oui = x2 + 9x + 18. Ici un = 1, b= 9, et c = 18.
  2. 2 Utilisez la formule pour calculer la valeur de coordonnée x d'un sommet. Le sommet est aussi le point de symétrie de la parabole. Formule pour trouver la coordonnée x d'une parabole : x = -b/2a. Remplacez-y les valeurs appropriées pour calculer X.
    • x=-b/2a
    • x=-(9)/(2)(1)
    • x=-9/2
  3. 3 Remplacez la valeur x trouvée dans l'équation d'origine pour calculer la valeur y. Maintenant que vous connaissez la valeur de x, branchez-la simplement dans l’équation d’origine pour trouver y. Ainsi, la formule pour trouver le sommet d'une parabole peut s'écrire sous forme de fonction : (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)]. Cela signifie que pour trouver y, vous devez d'abord trouver x à l'aide de la formule, puis remplacer la valeur de x dans l'équation d'origine. Voici comment procéder :
    • y = x 2 + 9x + 18
    • y = (-9/2) 2 + 9(-9/2) +18
    • y = 81/4 -81/2 + 18
    • y = 81/4 -162/4 + 72/4
    • y = (81 - 162 + 72)/4
    • y = -9/4
  4. 4 Écrivez les valeurs x et y sous forme de paire de coordonnées. Maintenant que vous savez que x = -9/2 et y = -9/4, notez-les sous forme de coordonnées sous la forme : (-9/2, -9/4). Le sommet de la parabole est situé aux coordonnées (-9/2, -9/4). Si vous devez dessiner cette parabole, alors son sommet se trouve au point bas, puisque le coefficient x 2 est positif.

2 Complément à un carré parfait

  1. 1 Écrivez l’équation. Compléter un carré parfait est une autre façon de trouver le sommet d’une parabole. En utilisant cette méthode, vous trouverez immédiatement les coordonnées x et y, sans avoir à remplacer x dans l'équation d'origine. Par exemple, étant donné l'équation : x2 + 4x + 1 = 0.
  2. 2 Divisez chaque coefficient par le coefficient de x 2 . Dans notre cas, le coefficient de x 2 est 1, nous pouvons donc sauter cette étape. Diviser par 1 ne changera rien.
  3. 3 Déplacez la constante vers la droite de l’équation. La constante est un coefficient sans variable. Ici, c'est "1". Déplacez 1 vers la droite en soustrayant 1 des deux côtés de l’équation. Voici comment procéder :
    • x2 + 4x + 1 = 0
    • x2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
    • x2 + 4x = - 1
  4. 4 Complétez le côté gauche de l’équation pour en faire un carré parfait. Pour ce faire, il suffit de trouver (b/2)2 et ajoutez le résultat aux deux côtés de l’équation. Remplacez "4" par b, puisque "4x" est le coefficient b de notre équation.
    • (4/2) 2 = 2 2 = 4. Ajoutez maintenant 4 des deux côtés de l'équation et vous obtenez :
      • x2 + 4x + 4 = -1 + 4
      • x2 + 4x + 4 = 3
  5. 5 Simplifions le côté gauche de l'équation. On voit que x 2 + 4x + 4 – un carré parfait. Il peut s'écrire : (x + 2) 2 = 3
  6. 6 Utilisez-le pour trouver les coordonnées x et y. Vous pouvez trouver x en assimilant simplement (x + 2) 2 à 0. Maintenant que (x + 2) 2 = 0, nous calculons x : x = -2. La coordonnée y est une constante du côté droit d’un carré parfait. Donc y = 3. Le sommet de la parabole de l'équation est x 2 + 4x + 1 = (-2, 3)
  • Identifiez correctement a, b et c.
  • Enregistrez les calculs préliminaires. Cela vous aidera non seulement pendant le processus de travail, mais vous permettra également de voir où des erreurs ont été commises.
  • Ne perturbez pas l'ordre des calculs.

Avertissements

  • Vérifie ta réponse!
  • Assurez-vous de savoir comment déterminer les coefficients a, b et c. Si vous ne le savez pas, la réponse sera fausse.
  • Non – résoudre de tels problèmes nécessite de la pratique.

Une fonction de la forme où est appelée fonction quadratique.

Graphique d'une fonction quadratique – parabole.


Considérons les cas :

I CASE, PARABOLE CLASSIQUE

C'est , ,

Pour construire, remplissez le tableau en substituant les valeurs x dans la formule :


Marquez les points (0;0); (1;1); (-1;1), etc. sur avion coordonné(plus on prend de pas les valeurs de x (en dans ce casétape 1), et plus on prend de valeurs x, plus la courbe sera lisse), on obtient une parabole :


Il est facile de voir que si l’on prend le cas , , , alors on obtient une parabole symétrique par rapport à l’axe (oh). Il est facile de le vérifier en remplissant un tableau similaire :


II CAS, « a » EST DIFFÉRENT DE L'UNITÉ

Que se passera-t-il si nous prenons , , ? Comment le comportement de la parabole va-t-il changer ? Avec title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}


Sur la première image (voir ci-dessus) on voit clairement que les points du tableau de la parabole (1;1), (-1;1) ont été transformés en points (1;4), (1;-4), c'est-à-dire qu'avec les mêmes valeurs, l'ordonnée de chaque point est multipliée par 4. Cela arrivera à tous les points clés du tableau d'origine. Nous raisonnons de la même manière dans les cas des images 2 et 3.

Et quand la parabole « devient plus large » que la parabole :


Résumons :

1)Le signe du coefficient détermine la direction des branches. Avec title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valeur absolue Le coefficient (module) est responsable de la « dilatation » et de la « compression » de la parabole. Plus , plus la parabole est étroite ; plus |a| est petite, plus la parabole est large.

CAS III, « C » APPARAÎT

Introduisons maintenant dans le jeu (c'est-à-dire considérons le cas où), nous considérerons des paraboles de la forme . Il n'est pas difficile de deviner (vous pouvez toujours vous référer au tableau) que la parabole se déplacera vers le haut ou vers le bas le long de l'axe selon le signe :



CAS IV, « b » APPARAÎT

Quand la parabole va-t-elle « se détacher » de l'axe et finalement « marcher » le long de tout le plan de coordonnées ? Quand cessera-t-il d’être égal ?

Ici, pour construire une parabole, nous avons besoin formule de calcul du sommet : , .

Donc à ce stade (comme au point (0;0) nouveau système coordonnées), nous allons construire une parabole, ce que nous pouvons déjà faire. Si nous traitons du cas, alors à partir du sommet, nous plaçons un segment unitaire vers la droite, un vers le haut, - le point résultant est le nôtre (de même, un pas vers la gauche, un pas vers le haut est notre point) ; si nous avons affaire, par exemple, à partir du sommet, nous plaçons un segment unitaire vers la droite, deux vers le haut, etc.

Par exemple, le sommet d'une parabole :

Maintenant, la principale chose à comprendre est qu'à ce sommet, nous allons construire une parabole selon le modèle de parabole, car dans notre cas.

Lors de la construction d'une parabole après avoir trouvé les coordonnées du sommet trèsIl convient de considérer les points suivants :

1) parabole je passerai certainement par le point . En effet, en substituant x=0 dans la formule, nous obtenons que . C'est-à-dire que l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) est . Dans notre exemple (ci-dessus), la parabole coupe l'ordonnée au point , puisque .

2) axe de symétrie paraboles est une ligne droite, donc tous les points de la parabole seront symétriques par rapport à elle. Dans notre exemple, on prend immédiatement le point (0 ; -2) et on le construit symétriquement par rapport à l'axe de symétrie de la parabole, on obtient le point (4 ; -2) par lequel passera la parabole.

3) En égalant à , on retrouve les points d'intersection de la parabole avec l'axe (oh). Pour ce faire, nous résolvons l’équation. En fonction du discriminant, nous obtiendrons un (, ), deux ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Dans l'exemple précédent, notre racine du discriminant n'est pas un entier ; lors de la construction, cela n'a pas beaucoup de sens pour nous de trouver les racines, mais on voit bien que nous aurons deux points d'intersection avec l'axe (oh) (depuis title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Alors trouvons une solution

Algorithme de construction d'une parabole si elle est donnée sous la forme

1) déterminer la direction des branches (a>0 – vers le haut, a<0 – вниз)

2) on trouve les coordonnées du sommet de la parabole à l'aide de la formule , .

3) on trouve le point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) à l'aide du terme libre, on construit un point symétrique à ce point par rapport à l'axe de symétrie de la parabole (à noter qu'il arrive qu'il ne soit pas rentable de marquer ce point, par exemple, parce que la valeur est grande... on saute ce point...)

4) Au point trouvé - le sommet de la parabole (comme au point (0;0) du nouveau système de coordonnées), nous construisons une parabole. Si title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) On retrouve les points d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) (s'ils n'ont pas encore « fait surface ») en résolvant l'équation

Exemple 1


Exemple 2


Note 1. Si la parabole nous est initialement donnée sous la forme , où sont des nombres (par exemple ), alors il sera encore plus facile de la construire, car on nous a déjà donné les coordonnées du sommet . Pourquoi?

Prenons trinôme quadratique et sélectionnez-y un carré complet : Regardez, nous avons ça , . Vous et moi appelions auparavant le sommet d'une parabole, c'est-à-dire maintenant.

Par exemple, . On marque le sommet de la parabole sur le plan, on comprend que les branches sont dirigées vers le bas, la parabole est élargie (par rapport à ). C'est-à-dire que nous réalisons les points 1 ; 3 ; 4 ; 5 de l'algorithme de construction d'une parabole (voir ci-dessus).

Note 2. Si la parabole est donnée sous une forme similaire à celle-ci (c'est-à-dire présentée comme le produit de deux facteurs linéaires), alors nous voyons immédiatement les points d'intersection de la parabole avec l'axe (bœuf). Dans ce cas – (0;0) et (4;0). Pour le reste, nous agissons selon l'algorithme en ouvrant les parenthèses.

Tout le monde sait probablement ce qu'est une parabole. Mais nous verrons ci-dessous comment l'utiliser correctement et avec compétence pour résoudre divers problèmes pratiques.

Tout d’abord, décrivons les concepts de base que l’algèbre et la géométrie donnent à ce terme. Considérons tout types possibles ce tableau.

Découvrons toutes les principales caractéristiques de cette fonction. Comprenons les bases de la construction de courbes (géométrie). Apprenons comment trouver les valeurs maximales et autres valeurs de base d'un graphique de ce type.

Découvrons : comment construire correctement la courbe souhaitée à l'aide de l'équation, à quoi vous devez faire attention. Voyons les bases utilisation pratique cette valeur unique dans la vie humaine.

Qu'est-ce qu'une parabole et à quoi ressemble-t-elle ?

Algèbre : Ce terme fait référence au graphique d'une fonction quadratique.

Géométrie : il s'agit d'une courbe du second ordre qui présente un certain nombre de particularités :

Équation canonique de la parabole

La figure montre un système de coordonnées rectangulaires (XOY), un extremum, la direction des branches de la fonction tracée le long de l'axe des abscisses.

L'équation canonique est :

oui 2 = 2 * p * x,

où le coefficient p est le paramètre focal de la parabole (AF).

En algèbre cela s’écrira différemment :

y = a x 2 + b x + c (motif reconnaissable : y = x 2).

Propriétés et graphique d'une fonction quadratique

La fonction a un axe de symétrie et un centre (extremum). Le domaine de définition est constitué de toutes les valeurs de l'axe des abscisses.

La plage de valeurs de la fonction – (-∞, M) ou (M, +∞) dépend du sens des branches de la courbe. Le paramètre M signifie ici la valeur de la fonction en haut de la ligne.

Comment déterminer où sont dirigées les branches d'une parabole

Pour trouver la direction d'une courbe de ce type à partir d'une expression, il faut déterminer le signe avant le premier paramètre expression algébrique. Si un ˃ 0, alors ils sont dirigés vers le haut. Si c'est l'inverse, vers le bas.

Comment trouver le sommet d'une parabole à l'aide de la formule

Trouver l'extremum est l'étape principale pour résoudre de nombreux problèmes pratiques. Bien sûr, vous pouvez ouvrir des offres spéciales calculatrices en ligne, mais il vaut mieux pouvoir le faire soi-même.

Comment le déterminer ? Il existe une formule spéciale. Lorsque b n’est pas égal à 0, il faut chercher les coordonnées de ce point.

Formules pour trouver le sommet :

  • x 0 = -b / (2 * une);
  • oui 0 = oui (x 0).

Exemple.

Il existe une fonction y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Trouvons les sommets de cette fonction.

Pour une ligne comme celle-ci :

  • x = -16 / (2 * 4) = -2 ;
  • y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

On obtient les coordonnées du sommet (-2, -41).

Déplacement de la parabole

Le cas classique est celui où dans une fonction quadratique y = a x 2 + b x + c, les deuxième et troisième paramètres sont égaux à 0, et = 1 - le sommet est au point (0 ; 0).

Le mouvement le long des axes des abscisses ou des ordonnées est provoqué par des changements dans les paramètres b et c, respectivement. La ligne sur le plan sera décalée exactement du nombre d'unités égal à la valeur du paramètre.

Exemple.

On a : b = 2, c = 3.

Cela signifie que la forme classique de la courbe se décalera de 2 segments unitaires le long de l'axe des abscisses et de 3 le long de l'axe des ordonnées.

Comment construire une parabole à l'aide d'une équation quadratique

Il est important que les écoliers apprennent à dessiner correctement une parabole selon des paramètres donnés.

En analysant les expressions et les équations, vous pouvez voir ce qui suit :

  1. Le point d'intersection de la ligne souhaitée avec le vecteur ordonnée aura une valeur égale à c.
  2. Tous les points du graphique (le long de l'axe des x) seront symétriques par rapport à l'extremum principal de la fonction.

De plus, les points d'intersection avec OX peuvent être trouvés en connaissant le discriminant (D) d'une telle fonction :

D = (b 2 - 4 * a * c).

Pour ce faire, vous devez assimiler l'expression à zéro.

La présence de racines d'une parabole dépend du résultat :

  • D ˃ 0, alors x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a) ;
  • D = 0, alors x 1, 2 = -b / (2 * a) ;
  • D ˂ 0, alors il n’y a pas de points d’intersection avec le vecteur OX.

On obtient l'algorithme de construction d'une parabole :

  • déterminer la direction des branches ;
  • trouver les coordonnées du sommet ;
  • trouver l'intersection avec l'axe des ordonnées ;
  • trouver l'intersection avec l'axe des x.

Exemple 1.

Étant donné la fonction y = x 2 - 5 * x + 4. Il faut construire une parabole. Nous suivons l'algorithme :

  1. a = 1, donc les branches sont dirigées vers le haut ;
  2. coordonnées extremum : x = - (-5) / 2 = 5/2 ; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4 ;
  3. coupe l'axe des ordonnées à la valeur y = 4 ;
  4. trouvons le discriminant : D = 25 - 16 = 9 ;
  5. à la recherche de racines :
  • X1 = (5 + 3) / 2 = 4 ; (4, 0);
  • X2 = (5 - 3) / 2 = 1 ; (dix).

Exemple 2.

Pour la fonction y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 vous devez construire une parabole. Nous agissons selon l'algorithme donné :

  1. a = 3, donc les branches sont dirigées vers le haut ;
  2. coordonnées extremum : x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3 ; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3 ;
  3. croisera l'axe y à la valeur y = -1 ;
  4. trouvons le discriminant : D = 4 + 12 = 16. Donc les racines sont :
  • X1 = (2 + 4) / 6 = 1 ; (1;0);
  • X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3 ; (-1/3 ; 0).

En utilisant les points obtenus, vous pouvez construire une parabole.

Directrice, excentricité, foyer d'une parabole

Basé équation canonique, le foyer de F a des coordonnées (p/2, 0).

La droite AB est une directrice (sorte de corde d'une parabole d'une certaine longueur). Son équation est x = -p/2.

Excentricité (constante) = 1.

Conclusion

Nous avons examiné un sujet dans lequel les écoliers étudient lycée. Vous savez maintenant, en regardant la fonction quadratique d'une parabole, comment trouver son sommet, dans quelle direction les branches seront dirigées, s'il y a un déplacement le long des axes et, disposant d'un algorithme de construction, vous pouvez dessiner son graphique.

Instructions

Fonction quadratique sous forme générale il s'écrit par l'équation : y = ax² + bx + c. Le graphique de cette équation est , dont les branches sont dirigées vers le haut (pour a > 0) ou vers le bas (pour a< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

Pour les personnes familiarisées avec la notion de dérivée, il est facile de trouver le sommet d’une parabole. Quelle que soit la position des branches d'une parabole, son sommet est un point (minimum si les branches sont dirigées vers le haut, ou lorsque les branches sont dirigées vers le bas). Pour trouver les points extrêmes supposés de n'importe quel , vous devez calculer sa dérivée première et l'assimiler à zéro. En général, la dérivée est égale à f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b. Équivalent à zéro, vous obtenez 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

Une parabole est une ligne symétrique. L'axe passe par le sommet de la parabole. Connaissant les points de la parabole avec l'axe de coordonnées X, vous pouvez facilement trouver l'abscisse du sommet x0. Soit x1 et x2 les racines de la parabole (les soi-disant points d'intersection de la parabole avec l'axe des x, car ces valeurs font disparaître l'équation quadratique ax² + bx + c). De plus, soit |x2| > |x1|, alors le sommet de la parabole se situe à mi-chemin entre eux et peut être trouvé à partir de l'expression suivante : x0 = ½(|x2| - |x1|).

Vidéo sur le sujet

Sources:

  • Fonction quadratique
  • formule pour trouver le sommet d'une parabole

Une parabole est un graphique d'une fonction quadratique ; en général, l'équation d'une parabole s'écrit y=ax^2+bx+c, où a≠0. Il s'agit d'une courbe universelle du second ordre qui décrit de nombreux phénomènes de la vie, par exemple le mouvement d'un corps secoué puis tombant, la forme d'un arc-en-ciel, donc la capacité de trouver parabole peut être très utile dans la vie.

Tu auras besoin de

  • - formule d'équation quadratique ;
  • - une feuille de papier avec une grille de coordonnées ;
  • - Effaceur;
  • - ordinateur et programme Excel.

Instructions

Tout d’abord, trouvez le sommet de la parabole. Pour trouver l'abscisse de ce point, prenez le coefficient de x, divisez-le par deux fois le coefficient de x^2 et multipliez par -1 (x=-b/2a). Trouvez l'ordonnée en remplaçant la valeur résultante dans l'équation ou en utilisant la formule y=(b^2-4ac)/4a. Vous avez obtenu les coordonnées du point sommet de la parabole.

Le sommet d’une parabole peut être trouvé d’une autre manière. Puisqu'il s'agit de l'extremum de la fonction, pour la calculer, calculez la dérivée première et assimilez-la à zéro. En général, vous obtiendrez la formule f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b. Et en l'assimilant à zéro, vous arriverez à la même formule - x=-b/2a.

Découvrez si les branches de la parabole pointent vers le haut ou vers le bas. Pour ce faire, regardez le coefficient devant x^2, c'est-à-dire a. Si a>0, alors les branches sont dirigées vers le haut, si a

Coordonnées pics des paraboles ont été trouvées. Notez-les comme les coordonnées d'un seul point (x0,y0).

Vidéo sur le sujet

Pour les fonctions (plus précisément leurs graphiques), le concept est utilisé valeur la plus élevée, y compris le maximum local. Le concept de « pic » est plus probablement associé à formes géométriques. Les points maximaux des fonctions lisses (ayant une dérivée) sont faciles à déterminer à l'aide des zéros de la dérivée première.

Instructions

Pour les points où la fonction n'est pas différentiable mais continue, la plus grande valeur sur l'intervalle peut avoir la forme d'une pointe (à y=-|x|). À de tels points les fonctions Vous pouvez dessiner autant de tangentes que vous le souhaitez ; les tangentes n'existent tout simplement pas pour cela. Sami les fonctions Ce type est généralement spécifié sur les segments. Points auxquels la dérivée les fonctionségal à zéro ou n'existe pas sont dits critiques.

Rhéaning. y=x+3 pour x≤-1 et y=((x^2)^(1/3)) –x pour x>-1. La fonction est délibérément spécifiée sur des segments, puisque dans ce cas le but est de tout afficher dans un exemple. Il est facile que pour x=-1 la fonction reste continue.y'=1 pour x≤-1 et y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3( x^ (1/3))/(x^(1/3)) pour x>-1. y'=0 pour x=8/27. y' n'existe pas pour x=-1 et x=0. Dans ce cas, y '>0 si x

Vidéo sur le sujet

Une parabole est une des courbes du second ordre ; ses points sont construits conformément à une équation quadratique. L'essentiel pour construire cette courbe est de trouver haut paraboles. Cela peut être fait de plusieurs manières.

Instructions

Pour trouver les coordonnées d'un sommet paraboles, utilisez la formule suivante : x=-b/2a, où a est le coefficient avant x in et b est le coefficient avant x. Branchez vos valeurs et calculez-les. Remplacez ensuite la valeur résultante de x dans l'équation et calculez l'ordonnée du sommet. Par exemple, si l'on vous donne l'équation y=2x^2-4x+5, recherchez l'abscisse comme suit : x=-(-4)/2*2=1. En remplaçant x=1 dans l'équation, calculez la valeur y pour le sommet paraboles: y=2*1^2-4*1+5=3. Donc le haut paraboles a les coordonnées (1;3).

La valeur de l'ordonnée paraboles peut être trouvé sans calculer au préalable l’abscisse. Pour ce faire, utilisez la formule y=-b^2/4ac+c.

Si vous connaissez le concept de dérivée, trouvez haut paraboles en utilisant des dérivées, en utilisant la propriété suivante de any : la dérivée première d'une fonction, égale à zéro, pointe vers. Depuis le sommet paraboles, que ses branches soient dirigées vers le haut ou vers le bas, pointez , calculez la dérivée de votre fonction. En général, cela ressemblera à f(x)=2ax+b. Égalez-le à zéro et obtenez les coordonnées du sommet paraboles, correspondant à votre fonction.

Essayer de trouver haut paraboles, profitant de sa propriété telle que la symétrie. Pour ce faire, recherchez les points d'intersection paraboles avec l'axe des x, assimilant la fonction à zéro (en remplaçant y = 0). En résolvant l’équation quadratique, vous trouverez x1 et x2. Puisque la parabole est symétrique par rapport à la directrice passant par haut, ces points seront équidistants de l'abscisse du sommet. Pour le trouver, nous divisons