En bref sur l'essentiel

Superficie (2019)

Surface du prisme

Existe-t-il une formule générale ? Non, en général, non. Il suffit de rechercher les zones des faces latérales et de les résumer.

La formule peut s'écrire pour prisme droit :

Où est le périmètre de la base.

Mais il est quand même bien plus facile d’additionner tous les domaines dans chaque cas particulier que de mémoriser des formules supplémentaires. Par exemple, calculons la surface totale d'un prisme hexagonal régulier.

Tous faces latérales- des rectangles. Moyens.

Cela a déjà été montré lors du calcul du volume.

On obtient donc :

Superficie de la pyramide

La règle générale s'applique également à la pyramide :

Calculons maintenant la superficie des pyramides les plus populaires.

Superficie d'une pyramide triangulaire régulière

Que le côté de la base soit égal et le bord latéral égal. Nous devons trouver et.

Rappelons-nous maintenant que

C'est l'aire d'un triangle régulier.

Et rappelons-nous comment rechercher cette zone. Nous utilisons la formule de l'aire :

Pour nous, « » c'est ça, et « » c'est aussi ça, hein.

Maintenant, trouvons-le.

En utilisant la formule de l’aire de base et le théorème de Pythagore, nous trouvons

Attention: si vous avez un tétraèdre régulier (c'est-à-dire), alors la formule ressemble à ceci :

Superficie d'une pyramide quadrangulaire régulière

Que le côté de la base soit égal et le bord latéral égal.

La base est un carré, et c'est pourquoi.

Reste à trouver l'aire de la face latérale

Superficie d'une pyramide hexagonale régulière.

Que le côté de la base soit égal et le bord latéral.

Comment trouver ? Un hexagone est constitué exactement de six triangles réguliers identiques. Nous avons déjà recherché l'aire d'un triangle régulier lors du calcul de l'aire d'un triangle régulier. pyramide triangulaire, nous utilisons ici la formule trouvée.

Eh bien, nous avons déjà cherché deux fois la zone de la face latérale.

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L'aire de la surface latérale d'une pyramide arbitraire est égale à la somme des aires de ses faces latérales. Il est logique de donner une formule spéciale pour exprimer cette aire dans le cas d'une pyramide régulière. Soit donc une pyramide régulière, à la base de laquelle se trouve un n-gone régulier de côté égal à a. Soit h la hauteur de la face latérale, également appelée apothème pyramides. L'aire d'une face latérale est égale à 1/2ah, et toute la surface latérale de la pyramide a une aire égale à n/2ha Puisque na est le périmètre de la base de la pyramide, on peut écrire la formule trouvée. sous la forme :

Surface latérale d’une pyramide régulière est égal au produit de son apothème par la moitié du périmètre de la base.

Concernant zone pleine surface , puis on ajoute simplement l'aire de la base à celle du côté.

Sphère et boule inscrites et circonscrites. Il est à noter que le centre de la sphère inscrite dans la pyramide se situe à l'intersection des plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide. Le centre de la sphère décrite près de la pyramide se situe à l'intersection de plans passant par les milieux des arêtes de la pyramide et perpendiculaires à ceux-ci.

Pyramide tronquée. Si une pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base, alors la partie comprise entre le plan de coupe et la base est appelée pyramide tronquée. La figure montre une pyramide ; en écartant sa partie située au-dessus du plan de coupe, on obtient une pyramide tronquée. Il est clair que la petite pyramide écartée est homothétique à la grande pyramide dont le centre d’homothétie est au sommet. Coefficient de similarité égal au rapport hauteurs : k=h 2 /h 1, ou bords latéraux, ou autres dimensions linéaires correspondantes des deux pyramides. Nous savons que les aires de figures semblables sont liées comme des carrés de dimensions linéaires ; donc les aires des bases des deux pyramides (c'est-à-dire l'aire des bases de la pyramide tronquée) sont liées comme

Ici S 1 est l'aire de la base inférieure, et S 2 est l'aire de la base supérieure de la pyramide tronquée. Les surfaces latérales des pyramides sont dans le même rapport. Une règle similaire existe pour les volumes.

Volumes de corps similaires sont liés comme des cubes par leurs dimensions linéaires ; par exemple, les volumes des pyramides sont liés comme le produit de leurs hauteurs et de l'aire des bases, à partir de laquelle notre règle est immédiatement obtenue. Il a absolument caractère général et cela découle directement de ce que le volume a toujours une dimension à la puissance trois de la longueur. En utilisant cette règle, nous dérivons une formule exprimant le volume d'une pyramide tronquée par la hauteur et l'aire des bases.

Soit une pyramide tronquée de hauteur h et d'aires de base S 1 et S 2. Si nous imaginons que cela continue pyramide complète, alors le coefficient de similarité entre la pyramide complète et la petite pyramide est facile à trouver comme racine du rapport S 2 /S 1 . La hauteur d'une pyramide tronquée est exprimée par h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nous avons maintenant pour le volume d'une pyramide tronquée (V 1 et V 2 désignent les volumes des pyramides pleines et petites)

formule pour le volume d'une pyramide tronquée

Dérivons la formule de l'aire S de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière passant par les périmètres P 1 et P 2 des bases et la longueur de l'apothème a. Nous raisonnons exactement de la même manière que pour dériver la formule du volume. Compléter la pyramide partie supérieure, on a P 2 = kP 1, S 2 =k 2 S 1, où k est le coefficient de similarité, P 1 et P 2 sont les périmètres des bases, et S 1 et S 2 sont les aires des surfaces latérales de la totalité de la pyramide résultante et sa partie supérieure, respectivement. Pour la surface latérale on trouve (a 1 et a 2 sont des apothèmes des pyramides, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formule pour la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière

Dans cette leçon :

• Problème 1. Trouver la surface totale de la pyramide
• Problème 2. Trouver la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière

Voir également les documents connexes :
.

Note . Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas ici, écrivez-le sur le forum. Dans les tâches, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt() est utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole racine carrée, et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses. Pour les expressions radicales simples, le signe "√" peut être utilisé.

Problème 1. Trouver la surface totale d'une pyramide régulière

La hauteur de la base d'une pyramide triangulaire régulière est de 3 cm et l'angle entre la face latérale et la base de la pyramide est de 45 degrés.
Trouver la surface totale de la pyramide

Solution.

A la base d'une pyramide triangulaire régulière se trouve triangle équilatéral.
Par conséquent, pour résoudre le problème, nous utiliserons les propriétés d’un triangle régulier :

Nous connaissons la hauteur du triangle, d’où nous pouvons déterminer son aire.
h = √3/2a
une = h / (√3/2)
une = 3 / (√3/2)
une = 6 / √3

D'où l'aire de la base sera égale à :
S = √3/4 une 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Afin de trouver l'aire de la face latérale, on calcule la hauteur KM. Selon le problème, l'angle OKM est de 45 degrés.
Ainsi:
OK/MK = cos 45
Utilisons le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques et remplaçons valeurs connues.

OK / MK = √2/2

Prenons en compte que OK est égal au rayon du cercle inscrit. Alors
OK = √3/6a
D'accord = √3/6 * 6/√3 = 1

Alors
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

L'aire de la face latérale est alors égale à la moitié du produit de la hauteur et de la base du triangle.
Côté = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Ainsi, la surface totale de la pyramide sera égale à
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Répondre: 3√3 + 18/√6

Problème 2. Trouver la surface latérale d'une pyramide régulière

Dans une pyramide triangulaire régulière, la hauteur est de 10 cm et le côté de la base est de 16 cm . Trouver la surface latérale .

Solution.

Puisque la base d’une pyramide triangulaire régulière est un triangle équilatéral, AO est le rayon du cercle circonscrit autour de la base.
(Cela découle de)

On trouve le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle équilatéral à partir de ses propriétés

D’où la longueur des arêtes d’une pyramide triangulaire régulière sera égale à :
AM 2 = MO 2 + AO 2
la hauteur de la pyramide est connue par condition (10 cm), AO = 16√3/3
SUIS 2 = 100 + 256/3
UN M = √(556/3)

Chaque côté de la pyramide est un triangle isocèle. On retrouve l'aire d'un triangle isocèle à partir de la première formule présentée ci-dessous

S = 1/2 * 16 carrés ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 carrés ((556/3) - 64)
S = 8 carrés (364/3)
S = 16 m² (91/3)

Puisque les trois faces d’une pyramide régulière sont égales, la surface latérale sera égale à
3S = 48 √(91/3)

Répondre: 48 √(91/3)

Problème 3. Trouver la surface totale d'une pyramide régulière

Le côté d’une pyramide triangulaire régulière mesure 3 cm et l’angle entre la face latérale et la base de la pyramide est de 45 degrés. Trouver la surface totale de la pyramide.

Solution.
La pyramide étant régulière, il y a à sa base un triangle équilatéral. L’aire de la base est donc


Donc = 9 * √3/4

Afin de trouver l'aire de la face latérale, on calcule la hauteur KM. Selon le problème, l'angle OKM est de 45 degrés.
Ainsi:
OK/MK = cos 45
Profitons

Lors de la préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques, les étudiants doivent systématiser leurs connaissances en algèbre et en géométrie. Je voudrais combiner toutes les informations connues, par exemple sur la façon de calculer l'aire d'une pyramide. De plus, depuis la base et les bords latéraux jusqu'à toute la surface. Si la situation avec les faces latérales est claire, puisqu'il s'agit de triangles, alors la base est toujours différente.

Comment trouver l'aire de la base de la pyramide ?

Il peut s'agir d'absolument n'importe quelle figure : d'un triangle arbitraire à un n-gon. Et cette base, outre la différence du nombre d'angles, peut être une figure régulière ou irrégulière. Dans les tâches de l'examen d'État unifié qui intéressent les écoliers, il n'y a que des tâches avec des chiffres corrects à la base. Par conséquent, nous ne parlerons que d'eux.

Triangle régulier

C'est-à-dire équilatéral. Celui dans lequel tous les côtés sont égaux et sont désignés par la lettre « a ». Dans ce cas, l'aire de la base de la pyramide est calculée par la formule :

S = (une 2 * √3) / 4.

Carré

La formule pour calculer son aire est la plus simple, ici « a » est encore le côté :

N-gon régulier arbitraire

Le côté d'un polygone a la même notation. Pour le nombre d'angles, la lettre latine n est utilisée.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Que faire lors du calcul de la surface latérale et totale ?

Parce qu'à la base se trouve chiffre correct, alors toutes les faces de la pyramide s'avèrent égales. De plus, chacun d'eux est un triangle isocèle, puisque côtes latérales sont égaux. Alors pour calculer zone latérale pyramide, vous aurez besoin d'une formule composée de la somme de monômes identiques. Le nombre de termes est déterminé par le nombre de côtés de la base.

L'aire d'un triangle isocèle est calculée par la formule dans laquelle la moitié du produit de la base est multipliée par la hauteur. Cette hauteur dans la pyramide est appelée apothème. Sa désignation est « A ». La formule générale de la surface latérale est la suivante :

S = ½ P*A, où P est le périmètre de la base de la pyramide.

Il existe des situations où les côtés de la base ne sont pas connus, mais les bords latéraux (c) et l'angle plat à son sommet (α) sont donnés. Ensuite, vous devez utiliser la formule suivante pour calculer l'aire latérale de la pyramide :

S = n/2 * dans 2 sin α .

Tâche n°1

Condition. Trouvez l'aire totale de la pyramide si sa base a un côté de 4 cm et que l'apothème a une valeur de √3 cm.

Solution. Vous devez commencer par calculer le périmètre de la base. Parce que ceci triangle régulier, alors P = 3*4 = 12 cm Puisque l'apothème est connu, on peut immédiatement calculer l'aire de toute la surface latérale : ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Pour le triangle à la base, vous obtenez la valeur d'aire suivante : (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Pour déterminer la surface entière, vous devrez additionner les deux valeurs résultantes : 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Répondre. 10√3cm2.

Problème n°2

Condition. Il y a une pyramide quadrangulaire régulière. La longueur du côté de base est de 7 mm, le bord latéral est de 16 mm. Il faut connaître sa superficie.

Solution. Le polyèdre étant quadrangulaire et régulier, sa base est un carré. Une fois que vous connaîtrez l'aire de la base et des faces latérales, vous pourrez calculer l'aire de la pyramide. La formule du carré est donnée ci-dessus. Et pour les faces latérales, tous les côtés du triangle sont connus. Par conséquent, vous pouvez utiliser la formule de Heron pour calculer leurs aires.

Les premiers calculs sont simples et conduisent au nombre suivant : 49 mm 2. Pour la deuxième valeur, vous devrez calculer le demi-périmètre : (7 + 16*2) : 2 = 19,5 mm. Vous pouvez maintenant calculer l'aire d'un triangle isocèle : √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Il n'y a que quatre triangles de ce type, donc lors du calcul du nombre final, vous devrez le multiplier par 4.

Il s'avère : 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Répondre. La valeur souhaitée est de 267,576 mm 2.

Problème n°3

Condition. Le bon pyramide quadrangulaire vous devez calculer la superficie. Le côté du carré est connu pour mesurer 6 cm et la hauteur est de 4 cm.

Solution. Le moyen le plus simple est d'utiliser la formule avec le produit du périmètre et de l'apothème. La première valeur est facile à trouver. Le second est un peu plus compliqué.

Nous devrons nous souvenir du théorème de Pythagore et considérer qu'il est formé par la hauteur de la pyramide et l'apothème, qui est l'hypoténuse. La deuxième branche est égale à la moitié du côté du carré, puisque la hauteur du polyèdre tombe en son milieu.

L'apothème requis (hypoténuse d'un triangle rectangle) est égal à √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Vous pouvez maintenant calculer la valeur requise : ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Répondre. 96cm2.

Problème n°4

Condition. Dana bon côté ses bases font 22 mm, les nervures latérales font 61 mm. Quelle est la surface latérale de ce polyèdre ?

Solution. Le raisonnement est le même que celui décrit dans la tâche n°2. Seulement, on leur a donné une pyramide avec un carré à la base, et maintenant c'est un hexagone.

Tout d'abord, la surface de base est calculée à l'aide de la formule ci-dessus : (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Vous devez maintenant connaître le demi-périmètre d'un triangle isocèle, qui est la face latérale. (22+61*2) :2 = 72 cm. Il ne reste plus qu'à utiliser la formule de Héron pour calculer l'aire de chacun de ces triangles, puis à la multiplier par six et à l'ajouter à celle obtenue pour la base.

Calculs utilisant la formule de Heron : √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calculs qui donneront la surface latérale : 660 * 6 = 3960 cm 2. Reste à les additionner pour connaître toute la surface : 5217,47≈5217 cm 2.

Répondre. La base mesure 726√3 cm 2, la surface latérale est de 3960 cm 2, la surface totale est de 5217 cm 2.

Superficie de la pyramide. Dans cet article, nous examinerons les problèmes liés aux pyramides régulières. Je vous rappelle qu'une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier, le sommet de la pyramide est projeté au centre de ce polygone.

La face latérale d’une telle pyramide est un triangle isocèle.La hauteur de ce triangle tiré du sommet d'une pyramide régulière est appelée apothème, SF - apothème :

Dans le type de problème présenté ci-dessous, vous devez trouver l'aire de la pyramide entière ou l'aire de sa surface latérale. Le blog a déjà évoqué plusieurs problèmes liés aux pyramides régulières, où la question de la recherche des éléments (hauteur, bord de base, bord latéral) a été posée.

DANS Travaux d'examen d'État unifié En règle générale, les pyramides régulières triangulaires, quadrangulaires et hexagonales sont considérées. Je n’ai vu aucun problème avec les pyramides pentagonales et heptagonales régulières.

La formule pour l'aire de toute la surface est simple - vous devez trouver la somme de l'aire de la base de la pyramide et de l'aire de sa surface latérale :

Considérons les tâches :

Les côtés de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière sont 72, les bords latéraux sont 164. Trouvez l'aire de cette pyramide.

La surface de la pyramide est égale à la somme des aires de la surface latérale et de la base :

*La surface latérale est constituée de quatre triangles de même aire. La base de la pyramide est un carré.

On peut calculer l'aire du côté de la pyramide en utilisant :

Ainsi, la surface de la pyramide est :

Réponse : 28224

Les côtés de la base d'une pyramide hexagonale régulière sont égaux à 22, les bords latéraux sont égaux à 61. Trouvez la surface latérale de cette pyramide.

La base d’une pyramide hexagonale régulière est un hexagone régulier.

La surface latérale de cette pyramide est constituée de six aires de triangles égaux de côtés 61,61 et 22 :

Trouvons l'aire du triangle en utilisant la formule de Heron :

Ainsi, la surface latérale est :

Réponse : 3240

*Dans les problèmes présentés ci-dessus, l'aire de la face latérale pourrait être trouvée à l'aide d'une autre formule triangulaire, mais pour cela, vous devez calculer l'apothème.

27155. Trouvez l'aire d'une pyramide quadrangulaire régulière dont les côtés de base sont 6 et dont la hauteur est 4.

Afin de trouver l'aire de la pyramide, il faut connaître l'aire de la base et l'aire de la surface latérale :

L'aire de la base est de 36 puisqu'il s'agit d'un carré de côté 6.

La surface latérale est constituée de quatre faces, qui sont triangles égaux. Afin de trouver l'aire d'un tel triangle, vous devez connaître sa base et sa hauteur (apothème) :

*L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de la base et de la hauteur tirée à cette base.

La base est connue, elle est égale à six. Trouvons la hauteur. Considérons triangle rectangle(il est surligné en jaune) :

Une jambe est égale à 4, puisque c'est la hauteur de la pyramide, l'autre est égale à 3, puisqu'elle est égale à la moitié du bord de la base. On peut trouver l'hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore :

Cela signifie que l'aire de la surface latérale de la pyramide est :

Ainsi, la superficie de la pyramide entière est :

Réponse : 96

27069. Les côtés de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière sont égaux à 10, les bords latéraux sont égaux à 13. Trouvez l'aire de cette pyramide.

27070. Les côtés de la base d'une pyramide hexagonale régulière sont égaux à 10, les bords latéraux sont égaux à 13. Trouvez la surface latérale de cette pyramide.

Il existe également des formules pour la surface latérale d'une pyramide régulière. Dans une pyramide régulière, la base est une projection orthogonale de la surface latérale, donc :

P.- périmètre de base, je- apothème de la pyramide

*Cette formule est basée sur la formule de l'aire d'un triangle.

Si vous souhaitez en savoir plus sur la façon dont ces formules sont dérivées, ne le manquez pas, suivez la publication des articles.C'est tout. Bonne chance à vous !

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.