Pyramide. Pyramide tronquée
Pyramide est un polyèdre dont l'une des faces est un polygone ( base ), et toutes les autres faces sont des triangles avec un sommet commun ( faces latérales ) (Fig.15). La pyramide s'appelle correct , si sa base est un polygone régulier et que le sommet de la pyramide est projeté au centre de la base (Fig. 16). Une pyramide triangulaire dont toutes les arêtes sont égales s’appelle tétraèdre .
Côte latérale d'une pyramide est le côté de la face latérale qui n'appartient pas à la base Hauteur la pyramide est la distance entre son sommet et le plan de la base. Toutes les côtes latérales pyramide régulièreégaux les uns aux autres, toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. La hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière tirée du sommet est appelée apothème . Coupe diagonale s'appelle une section d'une pyramide par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.
Surface latérale la pyramide est la somme des aires de toutes les faces latérales. Zone toute la surface est appelée la somme des aires de toutes les faces latérales et de la base.
Théorèmes
1. Si dans une pyramide tous les bords latéraux sont également inclinés par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.
2. Si dans une pyramide tous les bords latéraux ont longueurs égales, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.
3. Si toutes les faces d'une pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre d'un cercle inscrit dans la base.
Pour calculer le volume d’une pyramide arbitraire, la formule correcte est :
Où V- volume;
Socle S– la superficie de base ;
H– hauteur de la pyramide.
Pour une pyramide régulière, les formules suivantes sont correctes :
Où p– périmètre de base ;
ha un– l'apothème ;
H- hauteur;
S plein
Côté S
Socle S– la superficie de base ;
V– volume d'une pyramide régulière.
Pyramide tronquée appelée partie de la pyramide comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide (Fig. 17). Pyramide tronquée régulière est la partie d'une pyramide régulière comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide.
Terrains pyramide tronquée - polygones similaires. Faces latérales – les trapèzes. Hauteur d’une pyramide tronquée est la distance entre ses bases. Diagonale une pyramide tronquée est un segment reliant ses sommets qui ne se trouvent pas sur la même face. Coupe diagonale est une section d'une pyramide tronquée par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.
Pour une pyramide tronquée, les formules suivantes sont valables :
(4)
Où S 1 , S 2 – zones des bases supérieures et inférieures ;
S plein– superficie totale ;
Côté S– surface latérale ;
H- hauteur;
V– volume d’une pyramide tronquée.
Pour une pyramide tronquée régulière, la formule est correcte :
Où p 1 , p 2 – périmètres des bases ;
ha un– apothème d’une pyramide tronquée régulière.
Exemple 1. Dans une pyramide triangulaire régulière, l'angle dièdre à la base est de 60º. Trouvez la tangente de l'angle d'inclinaison du bord latéral au plan de la base.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 18).
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La pyramide est régulière, ce qui signifie qu'à la base il y a un triangle équilatéral et que toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. L'angle dièdre à la base est l'angle d'inclinaison de la face latérale de la pyramide par rapport au plan de la base. L'angle linéaire est l'angle un entre deux perpendiculaires : etc. Le sommet de la pyramide est projeté au centre du triangle (le centre du cercle circonscrit et le cercle inscrit du triangle abc). L'angle d'inclinaison du bord latéral (par exemple S.B.) est l'angle entre le bord lui-même et sa projection sur le plan de la base. Pour la côte S.B. cet angle sera l'angle SBD. Pour trouver la tangente, il faut connaître les jambes DONC Et O.B.. Laissez la longueur du segment BD est égal à 3 UN. Point À PROPOS segment de ligne BD est divisé en parties : et De on trouve DONC: 
De là on retrouve : 
Répondre:
Exemple 2. Trouver le volume du bon tronqué pyramide quadrangulaire, si les diagonales de ses bases sont égales à cm et cm, et sa hauteur est de 4 cm.
Solution. Pour trouver le volume d’une pyramide tronquée, on utilise la formule (4). Pour trouver l'aire des bases, vous devez trouver les côtés des carrés de base, connaissant leurs diagonales. Les côtés des bases sont respectivement égaux à 2 cm et 8 cm. Cela signifie les aires des bases et en remplaçant toutes les données dans la formule, nous calculons le volume de la pyramide tronquée :
Répondre: 112cm3.
Exemple 3. Trouvez l'aire de la face latérale d'une pyramide tronquée triangulaire régulière dont les côtés des bases mesurent 10 cm et 4 cm et la hauteur de la pyramide est de 2 cm.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 19).
La face latérale de cette pyramide est un trapèze isocèle. Pour calculer l'aire d'un trapèze, vous devez connaître la base et la hauteur. Les bases sont données selon la condition, seule la hauteur reste inconnue. Nous la trouverons d'où UN 1 E perpendiculaire à un point UN 1 sur le plan de la base inférieure, UN 1 D– perpendiculaire à UN 1 par CA. UN 1 E= 2 cm, puisque c'est la hauteur de la pyramide. Trouver DE Faisons un dessin supplémentaire montrant la vue de dessus (Fig. 20). Point À PROPOS– projection des centres des bases supérieure et inférieure. depuis (voir fig. 20) et d'autre part D'ACCORD– rayon inscrit dans le cercle et 
OM– rayon inscrit dans un cercle :
MK = DE.
D'après le théorème de Pythagore de
Zone du visage latéral : 
Répondre:
Exemple 4. A la base de la pyramide se trouve un trapèze isocèle dont les bases UN Et b (un> b). Chaque face latérale forme un angle égal au plan de la base de la pyramide j. Trouvez la surface totale de la pyramide.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 21). Superficie totale de la pyramide SABCDégal à la somme des aires et de l'aire du trapèze A B C D.
Utilisons l'affirmation selon laquelle si toutes les faces de la pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet est projeté au centre du cercle inscrit dans la base. Point À PROPOS– projection du sommet Sà la base de la pyramide. Triangle GAZON est la projection orthogonale du triangle CDD au plan de la base. Par le théorème sur l'aire de projection orthogonale silhouette plate on a:
De même, cela signifie 
Ainsi, le problème se réduisait à trouver l'aire du trapèze A B C D. Dessinons un trapèze A B C D séparément (Fig. 22). Point À PROPOS– le centre d'un cercle inscrit dans un trapèze.
Puisqu’un cercle peut s’inscrire dans un trapèze, alors ou Du théorème de Pythagore nous avons
Définition. Bord latéral- il s'agit d'un triangle dont un angle se situe au sommet de la pyramide et le côté opposé coïncide avec le côté de la base (polygone).
Définition. Côtes latérales- ce sont les côtés communs des faces latérales. Une pyramide a autant d’arêtes que d’angles d’un polygone.
Définition. Hauteur de la pyramide- c'est une perpendiculaire abaissée du haut à la base de la pyramide.
Définition. Apothème- il s'agit d'une perpendiculaire à la face latérale de la pyramide, abaissée du sommet de la pyramide jusqu'au côté de la base.
Définition. Coupe diagonale- il s'agit d'une section d'une pyramide par un plan passant par le sommet de la pyramide et la diagonale de la base.
Définition. Pyramide correcte est une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont la hauteur tombe jusqu'au centre de la base.
Volume et superficie de la pyramide
Formule. Volume de la pyramideà travers la surface de base et la hauteur :
Propriétés de la pyramide
Si tous les bords latéraux sont égaux, alors un cercle peut être tracé autour de la base de la pyramide et le centre de la base coïncide avec le centre du cercle. De plus, une perpendiculaire tombant du haut passe par le centre de la base (cercle).
Si tous les bords latéraux sont égaux, ils sont alors inclinés par rapport au plan de base selon les mêmes angles.
Les nervures latérales sont égales lorsqu'elles se forment avec le plan de la base angles égaux ou si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors un cercle peut être inscrit dans la base de la pyramide et le sommet de la pyramide est projeté en son centre.
Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors les apothèmes des faces latérales sont égaux.
Propriétés d'une pyramide régulière
1. Le sommet de la pyramide est à égale distance de tous les coins de la base.
2. Tous les bords latéraux sont égaux.
3. Toutes les nervures latérales sont inclinées à des angles égaux par rapport à la base.
4. Les apothèmes de toutes les faces latérales sont égaux.
5. Les aires de toutes les faces latérales sont égales.
6. Toutes les faces ont les mêmes angles dièdres (plats).
7. Une sphère peut être décrite autour de la pyramide. Le centre de la sphère circonscrite sera le point d’intersection des perpendiculaires passant par le milieu des arêtes.
8. Vous pouvez insérer une sphère dans une pyramide. Le centre de la sphère inscrite sera le point d'intersection des bissectrices issues de l'angle entre le bord et la base.
9. Si le centre de la sphère inscrite coïncide avec le centre de la sphère circonscrite, alors la somme des angles plans au sommet est égale à π ou vice versa, un angle est égal à π/n, où n est le nombre des angles à la base de la pyramide.
Le lien entre la pyramide et la sphère
Une sphère peut être décrite autour d'une pyramide lorsqu'à la base de la pyramide se trouve un polyèdre autour duquel un cercle peut être décrit (condition nécessaire et suffisante). Le centre de la sphère sera le point d’intersection des plans passant perpendiculairement par les milieux des bords latéraux de la pyramide.
Il est toujours possible de décrire une sphère autour de n'importe quelle pyramide triangulaire ou régulière.
Une sphère peut être inscrite dans une pyramide si les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en un point (condition nécessaire et suffisante). Ce point sera le centre de la sphère.
Connexion d'une pyramide avec un cône
Un cône est dit inscrit dans une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est inscrite dans la base de la pyramide.
Un cône peut s'inscrire dans une pyramide si les apothèmes de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Un cône est dit circonscrit à une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est circonscrite à la base de la pyramide.
Un cône peut être décrit autour d’une pyramide si tous les bords latéraux de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Relation entre une pyramide et un cylindre
Une pyramide est dite inscrite dans un cylindre si le sommet de la pyramide repose sur une base du cylindre et que la base de la pyramide est inscrite dans une autre base du cylindre.
Un cylindre peut être décrit autour d’une pyramide si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Un tétraèdre a quatre faces, quatre sommets et six arêtes, deux arêtes n'ayant pas de sommets communs mais ne se touchant pas.
Chaque sommet est constitué de trois faces et arêtes qui forment angle triangulaire.
Le segment reliant le sommet d'un tétraèdre au centre de la face opposée est appelé médiane du tétraèdre(GM).
Bimédian appelé segment reliant les milieux des bords opposés qui ne se touchent pas (KL).
Toutes les bimédianes et médianes d'un tétraèdre se coupent en un point (S). Dans ce cas, les bimédianes sont divisées en deux et les médianes sont divisées dans un rapport de 3 : 1 en partant du haut.
Définition. Pyramide à angle aigu- une pyramide dans laquelle l'apothème fait plus de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. Pyramide obtuse- une pyramide dont l'apothème fait moins de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. Tétraèdre régulier- un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. C'est l'un des cinq polygones réguliers. Dans un tétraèdre régulier, tous les angles dièdres (entre les faces) et les angles trièdres (au sommet) sont égaux.
Définition. Tétraèdre rectangulaire est un tétraèdre avec un angle droit entre trois arêtes au sommet (les arêtes sont perpendiculaires). Trois visages se forment angle triangulaire rectangulaire et les faces sont des triangles rectangles, et la base est un triangle arbitraire. L'apothème d'une face est égal à la moitié du côté de la base sur laquelle tombe l'apothème.
Définition. Tétraèdre isoédrique appelé tétraèdre dont les faces latérales sont égales les unes aux autres et dont la base est triangle régulier. Un tel tétraèdre a des faces qui sont des triangles isocèles.
Définition. Tétraèdre orthocentrique s'appelle un tétraèdre dans lequel toutes les hauteurs (perpendiculaires) qui s'abaissent du haut vers la face opposée se coupent en un point.
Définition. Pyramide étoilée appelé polyèdre dont la base est une étoile.
Une pyramide triangulaire est une pyramide qui a un triangle à sa base. La hauteur de cette pyramide est la perpendiculaire qui descend du sommet de la pyramide jusqu'à sa base.
Trouver la hauteur d'une pyramide
Comment trouver la hauteur d'une pyramide ? Très simple! Pour trouver la hauteur de n'importe quel pyramide triangulaire vous pouvez utiliser la formule du volume : V = (1/3)Sh, où S est l'aire de la base, V est le volume de la pyramide, h est sa hauteur. De cette formule, dérivez la formule de la hauteur : pour trouver la hauteur d'une pyramide triangulaire, vous devez multiplier le volume de la pyramide par 3, puis diviser la valeur obtenue par l'aire de la base, ce sera : h = (3V)/S. Puisque la base d'une pyramide triangulaire est un triangle, vous pouvez utiliser la formule pour calculer l'aire d'un triangle. Si l'on connaît : l'aire du triangle S et son côté z, alors d'après la formule d'aire S=(1/2)γh : h = (2S)/γ, où h est la hauteur de la pyramide, γ est le bord du triangle ; l'angle entre les côtés du triangle et les deux côtés eux-mêmes, puis en utilisant la formule suivante : S = (1/2)γφsinQ, où γ, φ sont les côtés du triangle, on trouve l'aire du triangle. La valeur du sinus de l’angle Q doit être examinée dans le tableau des sinus disponible sur Internet. Ensuite, nous remplaçons la valeur de l'aire dans la formule de hauteur : h = (2S)/γ. Si la tâche nécessite de calculer la hauteur d'une pyramide triangulaire, alors le volume de la pyramide est déjà connu.
Pyramide triangulaire régulière
Trouvez la hauteur d'une pyramide triangulaire régulière, c'est-à-dire une pyramide dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux, connaissant la taille des arêtes γ. Dans ce cas, les arêtes de la pyramide sont les côtés de triangles équilatéraux. La hauteur d'une pyramide triangulaire régulière sera : h = γ√(2/3), où γ est une arête triangle équilatéral, h est la hauteur de la pyramide. Si l'aire de la base (S) est inconnue et que seules la longueur du bord (γ) et le volume (V) du polyèdre sont donnés, alors la variable nécessaire dans la formule de l'étape précédente doit être remplacée par son équivalent, qui s'exprime en termes de longueur du bord. L'aire d'un triangle (régulier) est égale à 1/4 du produit de la longueur du côté de ce triangle au carré par la racine carrée de 3. On substitue cette formule à la place de l'aire de la base dans la précédente formule, et on obtient la formule suivante : h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Le volume d'un tétraèdre peut être exprimé par la longueur de son arête, puis à partir de la formule de calcul de la hauteur d'une figure, vous pouvez supprimer toutes les variables et ne laisser que le côté de la face triangulaire de la figure. Le volume d'une telle pyramide peut être calculé en divisant par 12 le produit de la longueur au cube de sa face par la racine carrée de 2.
En remplaçant cette expression dans la formule précédente, nous obtenons la formule de calcul suivante : h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. C'est également correct prisme triangulaire peut être inscrit dans une sphère, et connaissant seulement le rayon de la sphère (R) on peut trouver la hauteur du tétraèdre lui-même. La longueur de l’arête du tétraèdre est : γ = 4R/√6. On remplace la variable γ par cette expression dans la formule précédente et on obtient la formule : h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. La même formule peut être obtenue en connaissant le rayon (R) d'un cercle inscrit dans un tétraèdre. Dans ce cas, la longueur du bord du triangle sera égale à 12 rapports entre racine carrée de 6 et rayon. On substitue cette expression dans la formule précédente et on a : h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Comment trouver la hauteur d'une pyramide quadrangulaire régulière
Pour répondre à la question de savoir comment trouver la longueur et la hauteur d'une pyramide, vous devez savoir ce qu'est une pyramide régulière. Une pyramide quadrangulaire est une pyramide qui possède un quadrilatère à sa base. Si dans les conditions du problème nous avons : le volume (V) et l'aire de la base (S) de la pyramide, alors la formule de calcul de la hauteur du polyèdre (h) sera la suivante - divisez le volume multiplié par 3 par l'aire S : h = (3V)/S. Étant donné une base carrée d'une pyramide de volume (V) et de longueur de côté γ donnés, remplacez l'aire (S) dans la formule précédente par le carré de la longueur du côté : S = γ 2 ; H = 3V/γ2. La hauteur d’une pyramide régulière h = SO passe exactement par le centre du cercle circonscrit près de la base. Puisque la base de cette pyramide est un carré, le point O est le point d’intersection des diagonales AD et BC. On a : OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Ensuite, nous sommes dans triangle rectangle On trouve SOC (en utilisant le théorème de Pythagore) : SO = √(SC 2 -OC 2). Vous savez maintenant comment trouver la hauteur d’une pyramide régulière.
Nous continuons à considérer les tâches incluses dans l'examen d'État unifié en mathématiques. Nous avons déjà étudié des problèmes où la condition est donnée et il faut trouver la distance entre deux points donnés ou un angle.
Une pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone, les faces restantes sont des triangles et elles ont un sommet commun.
Une pyramide régulière est une pyramide à la base de laquelle se trouve un polygone régulier et dont le sommet est projeté au centre de la base.
Une pyramide quadrangulaire régulière - la base est un carré. Le sommet de la pyramide est projeté au point d'intersection des diagonales de la base (carré).
ML - apothème
∠MLO - angle dièdre à la base de la pyramide
∠MCO - angle entre le bord latéral et le plan de la base de la pyramide
Dans cet article, nous examinerons les problèmes permettant de résoudre une pyramide régulière. Il faut trouver un élément, une surface latérale, un volume, une hauteur. Bien sûr, vous devez connaître le théorème de Pythagore, la formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide et la formule pour trouver le volume d'une pyramide.
Dans l'article "" présente les formules nécessaires pour résoudre des problèmes de stéréométrie. Ainsi, les tâches :
SABCD point Ô- centre de la base,S sommet, DONC = 51, A.C.= 136. Trouvez le bord latéralS.C..
DANS dans ce cas la base est un carré. Cela signifie que les diagonales AC et BD sont égales, elles se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection. Notez que dans une pyramide régulière, la hauteur tombée depuis son sommet passe par le centre de la base de la pyramide. Donc SO est la hauteur et le triangleSOCrectangulaire. Alors selon le théorème de Pythagore :
Comment extraire la racine de grand nombre.
Réponse : 85
Décider vous-même:
Dans une pyramide quadrangulaire régulière SABCD point Ô- centre de la base, S sommet, DONC = 4, A.C.= 6. Trouvez le bord latéral S.C..
Dans une pyramide quadrangulaire régulière SABCD point Ô- centre de la base, S sommet, S.C. = 5, A.C.= 6. Trouvez la longueur du segment DONC.
Dans une pyramide quadrangulaire régulière SABCD point Ô- centre de la base, S sommet, DONC = 4, S.C.= 5. Trouvez la longueur du segment A.C..
SABC R.- milieu de la côte AVANT JC., S- haut. Il est connu que UN B= 7, un S.R.= 16. Trouvez la surface latérale.
L'aire de la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème (l'apothème est la hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière tirée de son sommet) :
Ou on peut dire ceci : l'aire de la surface latérale de la pyramide est égale à la somme trois carrés bords latéraux. Les faces latérales d’une pyramide triangulaire régulière sont des triangles d’égale aire. Dans ce cas:
Réponse : 168
Décider vous-même:
Dans une pyramide triangulaire régulière SABC R.- milieu de la côte AVANT JC., S- haut. Il est connu que UN B= 1, une S.R.= 2. Trouvez la surface latérale.
Dans une pyramide triangulaire régulière SABC R.- milieu de la côte AVANT JC., S- haut. Il est connu que UN B= 1, et l'aire de la surface latérale est 3. Trouvez la longueur du segment S.R..
Dans une pyramide triangulaire régulière SABC L- milieu de la côte AVANT JC., S- haut. Il est connu que SL= 2, et l'aire de la surface latérale est 3. Trouvez la longueur du segment UN B.
Dans une pyramide triangulaire régulière SABC M. Aire d'un triangle abc est de 25, le volume de la pyramide est de 100. Trouvez la longueur du segment MS.
La base de la pyramide est un triangle équilatéral. C'est pourquoi Mest le centre de la base, etMS- hauteur d'une pyramide régulièreSABC. Volume de la pyramide SABC est égal : voir la solution
Dans une pyramide triangulaire régulière SABC les médianes de la base se coupent au point M. Aire d'un triangle abc est égal à 3, MS= 1. Trouvez le volume de la pyramide.
Dans une pyramide triangulaire régulière SABC les médianes de la base se coupent au point M. Le volume de la pyramide est 1, MS= 1. Trouvez l'aire du triangle abc.
Terminons ici. Comme vous pouvez le constater, les problèmes sont résolus en une ou deux étapes. A l’avenir, nous envisagerons d’autres problèmes de cette partie, où sont donnés les corps de révolution, ne la manquez pas !
Je te souhaite du succès!
Cordialement, Alexandre Krutitskikh.
P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.
Définition
Pyramide est un polyèdre composé d'un polygone \(A_1A_2...A_n\) et de \(n\) triangles avec un sommet commun \(P\) (ne se trouvant pas dans le plan du polygone) et des côtés opposés, coïncidant avec le côtés du polygone.
Désignation : \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemple : pyramide pentagonale \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Triangles \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. sont appelés faces latérales pyramides, segments \(PA_1, PA_2\), etc. – côtes latérales, polygone \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, point \(P\) – haut.
Hauteur les pyramides sont une perpendiculaire descendant du sommet de la pyramide jusqu'au plan de la base.
Une pyramide avec un triangle à sa base s'appelle tétraèdre.
La pyramide s'appelle correct, si sa base est un polygone régulier et que l'une des conditions suivantes est remplie :
\((a)\) les bords latéraux de la pyramide sont égaux ;
\((b)\) la hauteur de la pyramide passe par le centre du cercle circonscrit près de la base ;
\((c)\) les nervures latérales sont inclinées par rapport au plan de la base selon le même angle.
\((d)\) les faces latérales sont inclinées par rapport au plan de la base selon le même angle.
Tétraèdre régulier est une pyramide triangulaire dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux égaux.
Théorème
Les conditions \((a), (b), (c), (d)\) sont équivalentes.
Preuve
Trouvons la hauteur de la pyramide \(PH\) . Soit \(\alpha\) le plan de la base de la pyramide.
1) Montrons que \((a)\) implique \((b)\) . Soit \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Parce que \(PH\perp \alpha\), alors \(PH\) est perpendiculaire à toute ligne située dans ce plan, ce qui signifie que les triangles sont rectangles. Cela signifie que ces triangles sont égaux en jambe commune \(PH\) et en hypoténuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Cela signifie \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Cela signifie que les points \(A_1, A_2, ..., A_n\) sont à la même distance du point \(H\), ils se trouvent donc sur le même cercle de rayon \(A_1H\) . Ce cercle, par définition, est circonscrit au polygone \(A_1A_2...A_n\) .
2) Montrons que \((b)\) implique \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulaire et égal sur deux pieds. Cela signifie que leurs angles sont également égaux, donc \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).
3) Montrons que \((c)\) implique \((a)\) .
Semblable au premier point, les triangles \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulaire et le long de la jambe et angle vif. Cela signifie que leurs hypoténuses sont également égales, c'est-à-dire \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Montrons que de \((b)\) il suit \((d)\) .
Parce que dans un polygone régulier les centres des cercles circonscrits et inscrits coïncident (d'une manière générale, ce point est appelé centre d'un polygone régulier), alors \(H\) est le centre du cercle inscrit. Traçons des perpendiculaires du point \(H\) aux côtés de la base : \(HK_1, HK_2\), etc. Ce sont les rayons du cercle inscrit (par définition). Alors, d'après le TTP (\(PH\) est une perpendiculaire au plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sont des projections, perpendiculaire aux côtés) oblique \(PK_1, PK_2\), etc. perpendiculaire aux côtés \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivement. Donc par définition \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)égal aux angles entre les faces latérales et la base. Parce que les triangles \(PK_1H, PK_2H, ...\) sont égaux (comme rectangulaires sur deux côtés), alors les angles \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) sont égaux.
5) Montrons que \((d)\) implique \((b)\) .
Semblable au quatrième point, les triangles \(PK_1H, PK_2H, ...\) sont égaux (comme rectangulaires le long de la jambe et de l'angle aigu), ce qui signifie que les segments \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sont égal. Cela signifie que, par définition, \(H\) est le centre d'un cercle inscrit dans la base. Mais parce que Pour les polygones réguliers, les centres des cercles inscrits et circonscrits coïncident, alors \(H\) est le centre du cercle circonscrit. Chtd.
Conséquence
Les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles égaux.
Définition
La hauteur de la face latérale d’une pyramide régulière tirée de son sommet est appelée apothème.
Les apothèmes de toutes les faces latérales d'une pyramide régulière sont égaux les uns aux autres et sont également médians et bissecteurs.
Notes IMPORTANTES
1. La hauteur d'une pyramide triangulaire régulière tombe au point d'intersection des hauteurs (ou bissectrices, ou médianes) de la base (la base est un triangle régulier).
2. La hauteur d'une pyramide quadrangulaire régulière tombe au point d'intersection des diagonales de la base (la base est un carré).
3. La hauteur d'une pyramide hexagonale régulière tombe au point d'intersection des diagonales de la base (la base est un hexagone régulier).
4. La hauteur de la pyramide est perpendiculaire à toute ligne droite située à la base.
Définition
La pyramide s'appelle rectangulaire, si l'un de ses bords latéraux est perpendiculaire au plan de la base.
Notes IMPORTANTES
1. Dans une pyramide rectangulaire, le bord perpendiculaire à la base correspond à la hauteur de la pyramide. Autrement dit, \(SR\) est la hauteur.
2. Parce que \(SR\) est perpendiculaire à toute ligne partant de la base, alors \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– des triangles rectangles.
3. Triangles \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- également rectangulaire.
Autrement dit, tout triangle formé par cette arête et la diagonale émergeant du sommet de cette arête situé à la base sera rectangulaire.
\[(\Large(\text(Volume et superficie de la pyramide)))\]
Théorème
Le volume de la pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur de la pyramide : \
Conséquences
Soit \(a\) le côté de la base, \(h\) la hauteur de la pyramide.
1. Le volume d’une pyramide triangulaire régulière est \(V_(\text(triangle rectangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Le volume d’une pyramide quadrangulaire régulière est \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Le volume d’une pyramide hexagonale régulière est \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Le volume d'un tétraèdre régulier est \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Théorème
L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale au demi-produit du périmètre de la base et de l'apothème.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Définition
Considérons une pyramide arbitraire \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Passons en revue un point reposant sur côte latérale pyramide, le plan est parallèle à la base de la pyramide. Ce plan divisera la pyramide en deux polyèdres, dont l'un est une pyramide (\(PB_1B_2...B_n\)), et l'autre est appelé pyramide tronquée(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
La pyramide tronquée a deux bases - les polygones \(A_1A_2...A_n\) et \(B_1B_2...B_n\) qui sont similaires les uns aux autres.
La hauteur d'une pyramide tronquée est une perpendiculaire tracée depuis un certain point de la base supérieure jusqu'au plan de la base inférieure.
Notes IMPORTANTES
1. Toutes les faces latérales d’une pyramide tronquée sont des trapèzes.
2. Le segment reliant les centres des bases d'une pyramide tronquée régulière (c'est-à-dire une pyramide obtenue par section transversale d'une pyramide régulière) est la hauteur.