Définition. Prisme- c'est un polyèdre dont tous les sommets sont situés dans deux plans parallèles, et dans ces deux mêmes plans se trouvent deux faces du prisme, qui sont des polygones égaux avec respectivement côtés parallèles, et toutes les arêtes qui ne se trouvent pas dans ces plans sont parallèles.

Deux visages égaux sont appelés bases de prisme(ABCDE, A1B1C1D1E1).

Toutes les autres faces du prisme sont appelées faces latérales(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Toutes les faces latérales se forment surface latérale du prisme .

Toutes les faces latérales du prisme sont des parallélogrammes .

Les arêtes qui ne se trouvent pas aux bases sont appelées arêtes latérales du prisme ( AA1, BB1, CC1, DD1, EE 1).

Diagonale du prisme est un segment dont les extrémités sont deux sommets d'un prisme qui ne se trouvent pas sur la même face (AD 1).

La longueur du segment reliant les bases du prisme et perpendiculaire aux deux bases à la fois est appelée hauteur du prisme .

Désignation:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (D'abord, dans l'ordre de parcours, les sommets d'une base sont indiqués, puis, dans le même ordre, les sommets d'une autre ; les extrémités de chaque arête latérale sont désignées par les mêmes lettres, seuls les sommets situés dans une base sont désignés par des lettres sans index, et dans l'autre - avec un index)

Le nom du prisme est associé au nombre d'angles de la figure situés à sa base, par exemple, sur la figure 1 il y a un pentagone à la base, donc le prisme s'appelle prisme pentagonal. Mais parce que un tel prisme a 7 faces, alors il heptaèdre(2 faces - les bases du prisme, 5 faces - les parallélogrammes, - ses faces latérales)

Parmi les prismes droits, un type particulier se démarque : les prismes réguliers.

Un prisme droit s'appelle correct, si ses bases sont des polygones réguliers.

Parallélépipède

Parallélépipède rectangulaire- un parallélépipède droit dont la base est un rectangle.

Propriétés et théorèmes :

,

où d est la diagonale du carré ;
a est le côté du carré.

Une idée de prisme est donnée par :

• divers structures architecturales;
• jouets pour enfants;
• boîtes d'emballage;
• objets de créateurs, etc.

L'aire de la surface totale et latérale du prisme

S complet = côté S + 2S principal,

Où S plein- superficie totale, Côté S-surface latérale, Socle S- surface de base

La surface latérale d'un prisme droit est égale au produit du périmètre de la base et de la hauteur du prisme.

Côté S= P basique * h,

Où Côté S-aire de la surface latérale d'un prisme droit,

P principal - périmètre de la base d'un prisme droit,

h est la hauteur du prisme droit, égale au bord latéral.

Volume du prisme

Le volume d'un prisme est égal au produit de l'aire de la base et de la hauteur.

DANS programme scolaire Dans un cours de stéréométrie, l'étude des figures tridimensionnelles commence généralement par un corps géométrique simple - le polyèdre d'un prisme. Le rôle de ses bases est assuré par 2 polygones égaux situés dans des plans parallèles. Un cas particulier est un prisme quadrangulaire régulier. Ses bases sont 2 quadrilatères réguliers identiques, auxquels sont perpendiculaires côtés en forme de parallélogrammes (ou de rectangles si le prisme n'est pas incliné).

A quoi ressemble un prisme ?

Un prisme quadrangulaire régulier est un hexagone dont les bases sont 2 carrés et les faces latérales sont représentées par des rectangles. Un autre nom pour ça figure géométrique- parallélépipède droit.

Un dessin montrant un prisme quadrangulaire est présenté ci-dessous.

Vous pouvez également voir sur la photo les éléments les plus importants qui composent corps géométrique . Ceux-ci incluent :

Parfois, dans les problèmes de géométrie, vous pouvez rencontrer le concept de section. La définition ressemblera à ceci : une section est l'ensemble des points d'un corps volumétrique appartenant à un plan de coupe. La section peut être perpendiculaire (coupe les bords de la figure à un angle de 90 degrés). Pour un prisme rectangulaire, une section diagonale est également considérée ( quantité maximale sections constructibles - 2), passant par 2 bords et diagonales de la base.

Si la section est dessinée de telle manière que le plan de coupe n'est parallèle ni aux bases ni aux faces latérales, le résultat est un prisme tronqué.

Pour trouver les éléments prismatiques réduits, diverses relations et formules sont utilisées. Certains d'entre eux sont connus du cours de planimétrie (par exemple, pour trouver l'aire de la base d'un prisme, il suffit de rappeler la formule de l'aire d'un carré).

Superficie et volume

Pour déterminer le volume d'un prisme à l'aide de la formule, vous devez connaître l'aire de sa base et sa hauteur :

V = Sbash

Puisque la base d’un prisme tétraédrique régulier est un carré de côté un, Vous pouvez écrire la formule sous une forme plus détaillée :

V = a²·h

Si nous parlons d'un cube - un prisme régulier avec longueur égale, largeur et hauteur, le volume est calculé comme suit :

Pour comprendre comment trouver la surface latérale d'un prisme, il faut imaginer son évolution.

Sur le dessin, on peut voir que la surface latérale est composée de 4 rectangles égaux. Son aire est calculée comme le produit du périmètre de la base et de la hauteur de la figure :

Côté = Posn h

Sachant que le périmètre du carré est égal à P = 4a, la formule prend la forme :

Côté = 4h

Pour les cubes :

Côté = 4a²

Pour calculer la surface totale du prisme, il faut ajouter 2 surfaces de base à la surface latérale :

Plein = Côté latéral + 2Smain

Par rapport à un prisme régulier quadrangulaire, la formule ressemble à :

Stotal = 4a h + 2a²

Pour la surface d'un cube :

Plein = 6a²

Connaissant le volume ou la surface, vous pouvez calculer les éléments individuels d'un corps géométrique.

Trouver des éléments de prisme

Il existe souvent des problèmes dans lesquels le volume est donné ou la valeur de la surface latérale est connue, où il est nécessaire de déterminer la longueur du côté de la base ou la hauteur. Dans de tels cas, les formules peuvent être dérivées :

• longueur du côté de base : a = Scôté / 4h = √(V / h) ;
• hauteur ou longueur des côtes latérales : h = Scôté / 4a = V / a² ;
• surface de base : Sbas = V/h ;
• zone latérale du visage : Côté gr = Côté / 4.

Pour déterminer la superficie de la section diagonale, vous devez connaître la longueur de la diagonale et la hauteur de la figure. Pour un carré d = une√2. De là il résulte :

Sdiag = ah√2

Pour calculer la diagonale d'un prisme, utilisez la formule :

dprix = √(2a² + h²)

Pour comprendre comment appliquer les relations données, vous pouvez pratiquer et résoudre plusieurs tâches simples.

Exemples de problèmes avec solutions

Voici quelques tâches trouvées lors des examens finaux d’État en mathématiques.

Tâche 1.

Le sable est versé dans une boîte en forme de prisme quadrangulaire régulier. La hauteur de son niveau est de 10 cm. Quel sera le niveau de sable si vous le déplacez dans un récipient de même forme, mais avec une base deux fois plus longue ?

Il convient de raisonner de la manière suivante. La quantité de sable dans les premier et deuxième conteneurs n'a pas changé, c'est-à-dire que son volume est le même. Vous pouvez désigner la longueur de la base par un. Dans ce cas, pour la première case le volume de la substance sera :

V₁ = ha² = 10a²

Pour la deuxième boîte, la longueur de la base est 2a, mais la hauteur du niveau de sable est inconnue :

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Parce que V₁ = V₂, on peut assimiler les expressions :

10a² = 4ha²

Après avoir réduit les deux côtés de l’équation par a², on obtient :

Par conséquent nouveau niveau le sable sera h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Tâche 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ est un prisme correct. On sait que BD = AB₁ = 6√2. Trouvez la surface totale du corps.

Pour mieux comprendre quels éléments sont connus, vous pouvez dessiner une figure.

Puisque nous parlons d’un prisme régulier, nous pouvons conclure qu’à la base se trouve un carré de diagonale 6√2. La diagonale de la face latérale a la même taille, donc la face latérale a également la forme d'un carré égal à la base. Il s’avère que les trois dimensions – longueur, largeur et hauteur – sont égales. On peut conclure que ABCDA₁B₁C₁D₁ est un cube.

La longueur de n'importe quelle arête est déterminée par une diagonale connue :

une = ré / √2 = 6√2 / √2 = 6

La surface totale se trouve à l’aide de la formule d’un cube :

Plein = 6a² = 6 6² = 216

Tâche 3.

La chambre est en cours de rénovation. On sait que son sol a la forme d'un carré d'une superficie de 9 m². La hauteur de la pièce est de 2,5 m. Quel est le coût le plus bas pour tapisser une pièce si 1 m² coûte 50 roubles ?

Puisque le sol et le plafond sont des carrés, c'est-à-dire des quadrangles réguliers, et que ses parois sont perpendiculaires aux surfaces horizontales, on peut conclure qu'il s'agit d'un prisme régulier. Il est nécessaire de déterminer l'aire de sa surface latérale.

La longueur de la pièce est une = √9 = 3 m.

La zone sera recouverte de papier peint Côté = 4 3 2,5 = 30 m².

Le coût le plus bas du papier peint pour cette pièce sera 50·30 = 1500 roubles

Ainsi, pour résoudre des problèmes impliquant un prisme rectangulaire, il suffit de pouvoir calculer l'aire et le périmètre d'un carré et d'un rectangle, ainsi que de connaître les formules pour trouver le volume et l'aire.

Comment trouver l'aire d'un cube

Prisme. Parallélépipède

Prisme est un polyèdre dont les deux faces sont des n-gones égaux (bases) , situés dans des plans parallèles, et les n faces restantes sont des parallélogrammes (faces latérales) . Côte latérale Le côté d’un prisme qui n’appartient pas à la base est appelé côté du prisme.

Un prisme dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux plans des bases est appelé direct prisme (Fig. 1). Si les bords latéraux ne sont pas perpendiculaires aux plans des bases, alors le prisme est appelé incliné . Correct Un prisme est un prisme droit dont les bases sont des polygones réguliers.

Hauteur le prisme est la distance entre les plans des bases. Diagonale Un prisme est un segment reliant deux sommets n'appartenant pas à la même face. Section diagonale s'appelle une section d'un prisme par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face. Coupe perpendiculaire est appelé une section d'un prisme par un plan perpendiculaire au bord latéral du prisme.

Surface latérale d'un prisme est la somme des aires de toutes les faces latérales. Superficie totale est appelée la somme des aires de toutes les faces du prisme (c'est-à-dire la somme des aires des faces latérales et des aires des bases).

Pour un prisme arbitraire, les formules suivantes sont vraies ::

Où je– longueur de la côte latérale ;

H- hauteur;

P.

Q

Côté S

S plein

Socle S– superficie des bases ;

V– le volume du prisme.

Pour un prisme droit, les formules suivantes sont correctes :

Où p– périmètre de base ;

je– longueur de la côte latérale ;

H- hauteur.

parallélépipède appelé prisme dont la base est un parallélogramme. Un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases est appelé direct (Fig.2). Si les bords latéraux ne sont pas perpendiculaires aux bases, alors le parallélépipède est appelé incliné . Un parallélépipède droit dont la base est un rectangle s'appelle rectangulaire. Un parallélépipède rectangle dont toutes les arêtes sont égales s’appelle cube

Les faces d'un parallélépipède qui n'ont pas de sommets communs sont appelées opposé . Les longueurs d'arêtes émanant d'un sommet sont appelées mesures parallélépipède. Puisqu'un parallélépipède est un prisme, ses principaux éléments sont définis de la même manière que pour les prismes.

Théorèmes.

1. Les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point et sont divisées en deux par celui-ci.

2. Dans un parallélépipède rectangle, le carré de la longueur de la diagonale est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions :

3. Les quatre diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales entre elles.

Pour un parallélépipède arbitraire, les formules suivantes sont valables :

Où je– longueur de la côte latérale ;

H- hauteur;

P.– périmètre de section perpendiculaire ;

Q– Aire de coupe transversale perpendiculaire ;

Côté S– surface latérale ;

S plein– superficie totale ;

Socle S– superficie des bases ;

V– le volume du prisme.

Pour un parallélépipède droit, les formules suivantes sont correctes :

Où p– périmètre de base ;

je– longueur de la côte latérale ;

H– hauteur d'un parallélépipède droit.

Pour un parallélépipède rectangle, les formules suivantes sont correctes :

(3)

Où p– périmètre de base ;

H- hauteur;

d– diagonale ;

abc– mesures d'un parallélépipède.

Les formules suivantes sont correctes pour un cube :

Où un– longueur des côtes ;

d- diagonale du cube.

Exemple 1. La diagonale d'un parallélépipède rectangle est de 33 dm et ses dimensions sont dans le rapport 2 : 6 : 9. Trouvez les dimensions du parallélépipède.

Solution. Pour trouver les dimensions du parallélépipède, on utilise la formule (3), c'est-à-dire par le fait que le carré de l'hypoténuse d'un cuboïde est égal à la somme des carrés de ses dimensions. Notons par k facteur de proportionnalité. Alors les dimensions du parallélépipède seront égales à 2 k, 6k et 9 k. Écrivons la formule (3) pour les données du problème :

Résoudre cette équation pour k, on obtient :

Cela signifie que les dimensions du parallélépipède sont 6 dm, 18 dm et 27 dm.

Répondre: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Exemple 2. Trouvez le volume d'un prisme triangulaire incliné dont la base est un triangle équilatéral de 8 cm de côté, si le bord latéral est égal au côté de la base et incliné d'un angle de 60º par rapport à la base.

Solution . Faisons un dessin (Fig. 3).

Afin de trouver le volume d'un prisme incliné, vous devez connaître l'aire de sa base et sa hauteur. L'aire de la base d'un prisme donné est l'aire triangle équilatéral avec un côté de 8 cm Calculons-le :

La hauteur d'un prisme est la distance entre ses bases. Du haut UN 1 de la base supérieure, abaisser la perpendiculaire au plan de la base inférieure UN 1 D. Sa longueur sera la hauteur du prisme. Considérez D UN 1 ANNONCE: puisqu'il s'agit de l'angle d'inclinaison du bord latéral UN 1 UN au plan de base, UN 1 UN= 8 cm. De ce triangle on trouve UN 1 D:

Maintenant, nous calculons le volume à l'aide de la formule (1) :

Répondre: 192cm3.

Exemple 3. Côte latérale correcte prisme hexagonalégal à 14 cm. L'aire de la plus grande section diagonale est égale à 168 cm 2. Trouvez la surface totale du prisme.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 4)

La plus grande section diagonale est un rectangle Les AA 1 DD 1 depuis la diagonale ANNONCE hexagone régulier ABCDEF est le plus grand. Afin de calculer la surface latérale du prisme, il est nécessaire de connaître le côté de la base et la longueur du bord latéral.

Connaissant l'aire de la section diagonale (rectangle), on trouve la diagonale de la base.

Depuis lors

Depuis lors AB= 6 cm.

Alors le périmètre de la base est :

Trouvons l'aire de la surface latérale du prisme :

L'aire d'un hexagone régulier de 6 cm de côté est :

Trouver la surface totale du prisme :

Répondre:

Exemple 4. La base d'un parallélépipède droit est un losange. Les sections transversales diagonales sont de 300 cm2 et 875 cm2. Trouvez l'aire de la surface latérale du parallélépipède.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 5).

Notons le côté du losange par UN, diagonales d'un losange d 1 et d 2, hauteur parallélépipédique h. Pour trouver l'aire de la surface latérale d'un parallélépipède droit, il faut multiplier le périmètre de la base par la hauteur : (formule (2)). Périmètre de base p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, parce que ABCD- losange N = AA 1 = h. Que. Il faut trouver UN Et h.

Considérons les sections diagonales. AA 1 SS 1 – un rectangle dont un côté est la diagonale d’un losange CA = d 1, deuxième – bord latéral AA 1 = h, Alors

De même pour la section BB 1 DD 1 on obtient :

En utilisant la propriété d'un parallélogramme telle que la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés de tous ses côtés, on obtient l'égalité On obtient ce qui suit.

La surface latérale du prisme. Bonjour! Dans cette publication, nous analyserons un groupe de problèmes en stéréométrie. Considérons une combinaison de corps - un prisme et un cylindre. Sur à l'heure actuelle Cet article complète toute la série d'articles liés à la prise en compte des types de tâches en stéréométrie.

Si de nouveaux apparaissent dans la banque de tâches, il y aura bien sûr des ajouts au blog à l'avenir. Mais ce qui existe déjà est largement suffisant pour que vous appreniez à résoudre tous les problèmes avec une réponse courte dans le cadre de l'examen. Il y aura suffisamment de matériel pour les années à venir (le programme de mathématiques est statique).

Les tâches présentées consistent à calculer l'aire d'un prisme. Je note que ci-dessous nous considérons un prisme droit (et, par conséquent, un cylindre droit).

Sans connaître aucune formule, on comprend que la surface latérale d'un prisme est constituée de toutes ses faces latérales. Un prisme droit a des faces latérales rectangulaires.

L'aire de la surface latérale d'un tel prisme est égale à la somme des aires de toutes ses faces latérales (c'est-à-dire des rectangles). Si l'on parle d'un prisme régulier dans lequel est inscrit un cylindre, alors il est clair que toutes les faces de ce prisme sont des rectangles ÉGAUX.

Formellement, la surface latérale d'un prisme régulier peut être reflétée comme suit :

27064. Un prisme quadrangulaire régulier est circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base et la hauteur sont égaux à 1. Trouvez la surface latérale du prisme.

La surface latérale de ce prisme est constituée de quatre rectangles d'égale surface. La hauteur de la face est de 1, le bord de la base du prisme est de 2 (ce sont deux rayons du cylindre), donc l'aire de la face latérale est égale à :

Surface latérale :

73023. Trouvez la surface latérale d'un prisme triangulaire régulier circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base est √0,12 et la hauteur est 3.

La surface latérale de ce prisme est égale à la somme trois carrés faces latérales (rectangles). Pour trouver l'aire de la face latérale, vous devez connaître sa hauteur et la longueur du bord de base. La hauteur est de trois. Trouvons la longueur du bord de base. Considérez la projection (vue de dessus) :

Nous avons triangle régulier dans lequel est inscrit un cercle de rayon √0,12. A partir du triangle rectangle AOC on trouve AC. Et puis AD (AD=2AC). Par définition de tangente :

Cela signifie AD = 2AC = 1,2 Ainsi, la surface latérale est égale à :

27066. Trouvez la surface latérale d'un prisme hexagonal régulier circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base est √75 et la hauteur est 1.

La surface requise est égale à la somme des surfaces de toutes les faces latérales. Un prisme hexagonal régulier a des faces latérales qui sont des rectangles égaux.

Pour trouver l'aire d'un visage, vous devez connaître sa hauteur et la longueur du bord de base. La hauteur est connue, elle est égale à 1.

Trouvons la longueur du bord de base. Considérez la projection (vue de dessus) :

Nous avons un hexagone régulier dans lequel est inscrit un cercle de rayon √75.

Considérons triangle rectangle ABO. On connaît la jambe OB (c'est le rayon du cylindre). On peut aussi déterminer l'angle AOB, il est égal à 300 (le triangle AOC est équilatéral, OB est une bissectrice).

Utilisons la définition de la tangente dans un triangle rectangle :

AC = 2AB, puisque OB est la médiane, c'est-à-dire qu'il divise AC en deux, ce qui signifie AC = 10.

Ainsi, l'aire de la face latérale est 1∙10=10 et l'aire de la surface latérale est :

76485. Trouvez la surface latérale d'un prisme triangulaire régulier inscrit dans un cylindre dont le rayon de base est 8√3 et la hauteur est 6.

L'aire de la surface latérale du prisme spécifié de trois faces de taille égale (rectangles). Pour trouver l'aire, il faut connaître la longueur du bord de la base du prisme (on connaît la hauteur). Si l'on considère la projection (vue de dessus), nous avons un triangle régulier inscrit dans un cercle. Le côté de ce triangle est exprimé en termes de rayon comme suit :

Détails de cette relation. Ce sera donc égal

Alors l'aire de la face latérale est : 24∙6=144. Et la surface requise :

245354. Un prisme quadrangulaire régulier est circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base est de 2. La surface latérale du prisme est de 48. Trouvez la hauteur du cylindre.

C'est simple. Nous avons quatre faces latérales de surface égale, donc l'aire d'une face est de 48:4=12. Puisque le rayon de la base du cylindre est de 2, le bord de la base du prisme sera au début de 4 - il est égal au diamètre du cylindre (ce sont deux rayons). On connaît l'aire du visage et un bord, le second étant la hauteur sera égale à 12:4=3.

27065. Trouvez la surface latérale d'un prisme triangulaire régulier circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base est √3 et la hauteur est 2.

Bien cordialement, Alexandre.