तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियाँ। तर्क. तर्क कार्य. समीकरण हल करना

सिस्टम को हल करने के तरीके तार्किक समीकरण

किर्गिज़ोवा ई.वी., नेमकोवा ए.ई.

लेसोसिबिर्स्क शैक्षणिक संस्थान -

साइबेरियाई संघीय विश्वविद्यालय, रूस की शाखा

लगातार सोचने, ठोस तर्क करने, परिकल्पना बनाने और नकारात्मक निष्कर्षों का खंडन करने की क्षमता अपने आप नहीं आती है; यह कौशल तर्क विज्ञान द्वारा विकसित किया गया है। तर्कशास्त्र एक विज्ञान है जो अन्य कथनों की सत्यता या असत्यता के आधार पर कुछ कथनों की सत्यता या असत्यता को स्थापित करने की विधियों का अध्ययन करता है।

तार्किक समस्याओं को हल किए बिना इस विज्ञान की मूल बातों में महारत हासिल करना असंभव है। किसी के ज्ञान को नई स्थिति में लागू करने के कौशल के विकास का परीक्षण उत्तीर्ण करने के माध्यम से किया जाता है। खास तौर पर ये है निर्णय लेने की क्षमता तर्क समस्याएं. एकीकृत राज्य परीक्षा में कार्य बी15 बढ़ी हुई जटिलता के कार्य हैं, क्योंकि उनमें तार्किक समीकरणों की प्रणालियाँ शामिल हैं। आप चयन कर सकते हैं विभिन्न तरीकेतार्किक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। यह एक समीकरण में कमी, एक सत्य तालिका का निर्माण, अपघटन, समीकरणों का अनुक्रमिक समाधान इत्यादि है।

काम:तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

आइए विचार करें एक समीकरण में कमी की विधि . इस पद्धति में तार्किक समीकरणों को बदलना शामिल है ताकि उनका दाहिना पक्ष सत्य मान (अर्थात, 1) के बराबर हो। ऐसा करने के लिए, तार्किक निषेध ऑपरेशन का उपयोग करें। फिर, यदि समीकरणों में जटिल तार्किक संक्रियाएं हैं, तो हम उन्हें बुनियादी संक्रियाओं से बदल देते हैं: "और", "या", "नहीं"। अगला कदम तार्किक ऑपरेशन "AND" का उपयोग करके समीकरणों को सिस्टम के समकक्ष एक में संयोजित करना है। इसके बाद, आपको तार्किक बीजगणित के नियमों के आधार पर परिणामी समीकरण को बदलना चाहिए और सिस्टम के लिए एक विशिष्ट समाधान प्राप्त करना चाहिए।

समाधान 1:पहले समीकरण के दोनों पक्षों पर व्युत्क्रम लागू करें:

आइए बुनियादी संक्रियाओं "या" और "नहीं" के माध्यम से निहितार्थ की कल्पना करें:

चूँकि समीकरणों के बाएँ पक्ष 1 के बराबर हैं, हम उन्हें "AND" ऑपरेशन का उपयोग करके एक समीकरण में जोड़ सकते हैं जो मूल प्रणाली के बराबर है:

हम डी मॉर्गन के नियम के अनुसार पहला ब्रैकेट खोलते हैं और प्राप्त परिणाम को बदलते हैं:

परिणामी समीकरण का एक समाधान है:ए= 0, बी = 0 और सी = 1.

अगला तरीका है सत्य तालिकाओं का निर्माण . चूँकि तार्किक मात्राओं के केवल दो मान होते हैं, आप आसानी से सभी विकल्पों पर जा सकते हैं और उनमें से वे खोज सकते हैं जिनके लिए समीकरणों की दी गई प्रणाली संतुष्ट होती है। यानी, हम सिस्टम के सभी समीकरणों के लिए एक सामान्य सत्य तालिका बनाते हैं और आवश्यक मानों के साथ एक रेखा ढूंढते हैं।

समाधान 2:आइए सिस्टम के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

जिस पंक्ति के लिए कार्य की शर्तें पूरी की जाती हैं उसे बोल्ड में हाइलाइट किया गया है। तो ए = 0, बी = 0 और सी = 1।

रास्ता सड़न . विचार यह है कि किसी एक चर का मान निश्चित किया जाए (इसे 0 या 1 के बराबर सेट किया जाए) और इस प्रकार समीकरणों को सरल बनाया जाए। फिर आप दूसरे वेरिएबल का मान ठीक कर सकते हैं, इत्यादि।

समाधान 3:होने देना ए = 0, फिर:

पहले समीकरण से हमें प्राप्त होता हैबी =0, और दूसरे से - C=1. सिस्टम का समाधान: ए = 0, बी = 0 और सी = 1।

आप विधि का भी उपयोग कर सकते हैं समीकरणों का अनुक्रमिक समाधान , प्रत्येक चरण में विचाराधीन सेट में एक चर जोड़ना। ऐसा करने के लिए, समीकरणों को बदलना आवश्यक है ताकि चर वर्णानुक्रम में दर्ज किए जाएं। इसके बाद, हम एक निर्णय वृक्ष बनाते हैं, उसमें क्रमिक रूप से चर जोड़ते हैं।

सिस्टम का पहला समीकरण केवल A और B पर निर्भर करता है, और दूसरा समीकरण A और C पर निर्भर करता है। वेरिएबल ए 2 मान 0 और 1 ले सकता है:

पहले समीकरण से यह पता चलता है कि , तो कब ए = 0 और हमें बी = 0 मिलता है, और ए = 1 के लिए हमें बी = 1 मिलता है। तो, पहले समीकरण में चर A और B के संबंध में दो समाधान हैं।

आइए दूसरे समीकरण को चित्रित करें, जिससे हम प्रत्येक विकल्प के लिए C का मान निर्धारित करते हैं। जब ए =1, निहितार्थ गलत नहीं हो सकता, यानी पेड़ की दूसरी शाखा का कोई समाधान नहीं है। परए= 0 हमें एकमात्र समाधान मिलता हैसी= 1 :

इस प्रकार, हमने सिस्टम का समाधान प्राप्त किया: ए = 0, बी = 0 और सी = 1।

कंप्यूटर विज्ञान में एकीकृत राज्य परीक्षा में, तार्किक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या निर्धारित करना अक्सर आवश्यक होता है, स्वयं समाधान ढूंढे बिना इसके लिए कुछ निश्चित विधियां भी होती हैं; तार्किक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या ज्ञात करने का मुख्य तरीका है चरों को प्रतिस्थापित करना. सबसे पहले, आपको तार्किक बीजगणित के नियमों के आधार पर प्रत्येक समीकरण को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है, और फिर समीकरणों के जटिल भागों को नए चर के साथ बदलें और समाधानों की संख्या निर्धारित करें नई प्रणाली. इसके बाद, प्रतिस्थापन पर वापस लौटें और इसके लिए समाधानों की संख्या निर्धारित करें।

काम:समीकरण के कितने समाधान हैं (ए → बी ) + (सी → डी ) = 1? जहाँ A, B, C, D तार्किक चर हैं।

समाधान:आइए नए वेरिएबल का परिचय दें:एक्स = ए → बी और वाई = सी → डी . नए को ध्यान में रखते हुए परिवर्तनशील समीकरणफॉर्म में लिखा जाएगा:एक्स + वाई = 1.

वियोजन तीन मामलों में सत्य है: (0;1), (1;0) और (1;1), जबकिएक्स और वाई एक निहितार्थ है, अर्थात यह तीन मामलों में सत्य है और एक में गलत है। इसलिए, मामला (0;1) मापदंडों के तीन संभावित संयोजनों के अनुरूप होगा। केस (1;1) - मूल समीकरण के मापदंडों के नौ संभावित संयोजनों के अनुरूप होगा। इसका मतलब है कि कुल संभव समाधान दिया गया समीकरण 3+9=15.

तार्किक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या निर्धारित करने का अगला तरीका है द्विआधारी वृक्ष. आइए एक उदाहरण का उपयोग करके इस विधि को देखें।

काम:तार्किक समीकरणों की प्रणाली में कितने भिन्न समाधान होते हैं:

समीकरणों की दी गई प्रणाली समीकरण के समतुल्य है:

( एक्स 1 → एक्स 2 )*( एक्स 2 → एक्स 3 )*…*( एक्स एम -1 → एक्स एम) = 1.

चलिए मान लेते हैंएक्स 1 - सत्य है, तो पहले समीकरण से हमें वह प्राप्त होता हैएक्स 2 यह भी सच है, दूसरे से -एक्स 3 =1, और इसी तरह जब तक एक्स एम= 1. अतः समुच्चय (1; 1; …; 1) काएम इकाइयाँ प्रणाली का समाधान है। अभी रहने दोएक्स 1 =0, तो पहले समीकरण से हमें प्राप्त होता हैएक्स 2 =0 या एक्स 2 =1.

कब एक्स 2 सच है, हम पाते हैं कि शेष चर भी सत्य हैं, यानी, सेट (0; 1; ...; 1) सिस्टम का एक समाधान है। परएक्स 2 =0 हमें वह मिल गया एक्स 3 =0 या एक्स 3 =, इत्यादि. अंतिम चर को जारी रखते हुए, हम पाते हैं कि समीकरण के समाधान चर के निम्नलिखित सेट हैं (एम प्रत्येक समाधान में +1 समाधानएम परिवर्तनीय मान):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

बाइनरी ट्री का निर्माण करके इस दृष्टिकोण को अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। संभावित समाधानों की संख्या निर्मित वृक्ष की विभिन्न शाखाओं की संख्या है। यह देखना आसान है कि यह बराबर हैएम +1.

तर्क करने और निर्णय वृक्ष बनाने में कठिनाइयों के मामले में, आप इसका उपयोग करके समाधान खोज सकते हैं सत्य सारणी, एक या दो समीकरणों के लिए।

आइए समीकरणों की प्रणाली को इस रूप में फिर से लिखें:

और आइए एक समीकरण के लिए अलग से एक सत्य तालिका बनाएं:

आइए दो समीकरणों के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

इसके बाद, आप देख सकते हैं कि निम्नलिखित तीन मामलों में एक समीकरण सत्य है: (0; 0), (0; 1), (1; 1)। दो समीकरणों की एक प्रणाली चार मामलों (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1) में सत्य है। इस मामले में, यह तुरंत स्पष्ट है कि एक समाधान है जिसमें केवल शून्य और अधिक शामिल हैं एमऐसे समाधान जिनमें प्रारंभ करते हुए एक समय में एक इकाई जोड़ी जाती है अंतिम स्थितिजब तक सभी संभावित स्थान भर न जाएं. ऐसा माना जा सकता है सामान्य समाधानइसका रूप वही होगा, लेकिन समाधान बनने के लिए इस दृष्टिकोण के लिए प्रमाण की आवश्यकता है कि धारणा सत्य है।

उपरोक्त सभी को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा कि चर्चा की गई सभी विधियाँ सार्वभौमिक नहीं हैं। तार्किक समीकरणों की प्रत्येक प्रणाली को हल करते समय उसकी विशेषताओं को ध्यान में रखना चाहिए, जिसके आधार पर समाधान विधि का चयन किया जाना चाहिए।

साहित्य:

1. तार्किक समस्याएँ / ओ.बी. बोगोमोलोव - दूसरा संस्करण। - एम.: बिनोम। ज्ञान की प्रयोगशाला, 2006. - 271 पी.: बीमार।

2. पॉलाकोव के.यू. तार्किक समीकरणों की प्रणाली / कंप्यूटर विज्ञान शिक्षकों के लिए शैक्षिक और पद्धति संबंधी समाचार पत्र: सूचना विज्ञान संख्या 14, 2011।

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, जहां J, K, L, M, N तार्किक चर हैं?

स्पष्टीकरण।

इसलिए, अभिव्यक्ति (N ∨ ¬N) किसी भी N के लिए सत्य है

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

आइए तार्किक समीकरण के दोनों पक्षों पर निषेध लागू करें और डी मॉर्गन के नियम ¬ (ए ∧ बी) = ¬ ए ∨ ¬ बी का उपयोग करें। हमें ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1 मिलता है।

एक तार्किक योग 1 के बराबर होता है यदि इसका कम से कम एक घटक कथन 1 के बराबर है। इसलिए, परिणामी समीकरण तार्किक चर के किसी भी संयोजन से संतुष्ट होता है, सिवाय उस स्थिति के जब समीकरण में शामिल सभी मात्राएँ 0 के बराबर हों। 4 चर या तो 1 या 0 के बराबर हो सकते हैं, इसलिए सभी संभावित संयोजन 2·2·2·2 = 16 हैं। इसलिए, समीकरण में 16 −1 = 15 समाधान हैं।

यह ध्यान रखना बाकी है कि पाए गए 15 समाधान तार्किक चर एन के दो संभावित मानों में से किसी एक के अनुरूप हैं, इसलिए मूल समीकरण में 30 समाधान हैं।

उत्तर: 30

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

((जे → के) → (एम ∧ एन ∧ एल)) ∧ ((जे ∧ ¬K) → ¬ (एम ∧ एन ∧ एल)) ∧ (एम → जे) = 1

जहाँ J, K, L, M, N तार्किक चर हैं?

उत्तर में J, K, L, M और N के मानों के सभी विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता मान्य है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

स्पष्टीकरण।

हम सूत्र A → B = ¬A ∨ B और ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B सूत्र का उपयोग करते हैं

आइए पहले उपसूत्र पर विचार करें:

(जे → के) → (एम ∧ एन ∧ एल) = ¬(¬जे ∨ के) ∨ (एम ∧ एन ∧ एल) = (जे ∧ ¬K) ∨ (एम ∧ एन ∧ एल)

आइए दूसरे उपसूत्र पर विचार करें

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

आइये तीसरे उपसूत्र पर विचार करें

1) एम → जे = 1 इसलिए,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

आइए गठबंधन करें:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 इसलिए 4 समाधान।

(जे ∧ ¬K) ∨ (एम ∧ एन ∧ एल) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ एन ∧ एल) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

आइए गठबंधन करें:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L इसलिए 4 समाधान।

सी) एम = 0 जे = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L।

उत्तर: 4 + 4 = 8.

उत्तर: 8

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

((के ∨ एल) → (एल ∧ एम ∧ एन)) = 0

जहां K, L, M, N तार्किक चर हैं? उत्तर में K, L, M और N के मानों के उन सभी विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता मान्य है। उत्तर के रूप में आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

स्पष्टीकरण।

आइए संक्रियाओं के लिए सरल संकेतन का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें:

((के + एल) → (एल एम एन)) = 0

1) "निहितार्थ" ऑपरेशन की सत्य तालिका से (पहली समस्या देखें) यह इस प्रकार है कि यह समानता सत्य है यदि और केवल यदि एक ही समय में

के + एल = 1 और एल एम एन = 0

2) पहले समीकरण से यह पता चलता है कि कम से कम एक चर, K या L, 1 के बराबर है (या दोनों एक साथ); तो आइए तीन मामलों पर विचार करें

3) यदि K = 1 और L = 0, तो किसी भी M और N के लिए दूसरी समानता संतुष्ट है; चूँकि दो बूलियन वेरिएबल्स (00, 01, 10 और 11) के 4 संयोजन हैं, हमारे पास 4 अलग-अलग समाधान हैं

4) यदि K = 1 और L = 1, तो दूसरी समानता M · ​​N = 0 के लिए मान्य है; ऐसे 3 संयोजन हैं (00, 01 और 10), हमारे पास 3 और समाधान हैं

5) यदि K = 0, तो L = 1 (पहले समीकरण से); इस मामले में, दूसरी समानता तब संतुष्ट होती है जब M · N = 0; ऐसे 3 संयोजन हैं (00, 01 और 10), हमारे पास 3 और समाधान हैं

6) कुल मिलाकर हमें 4 + 3 + 3 = 10 समाधान मिलते हैं।

उत्तर: 10

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

(के ∧ एल) ∨ (एम ∧ एन) = 1

स्पष्टीकरण।

यह अभिव्यक्ति तीन मामलों में सत्य है, जब (K ∧ L) और (M ∧ N) क्रमशः 01, 11, 10 के बराबर हैं।

1) "01" के ∧ एल = 0; एम ∧ एन = 1, => एम, एन 1 के बराबर हैं, और के और एल एक साथ 1 को छोड़कर कुछ भी हैं। इसलिए, 3 समाधान हैं।

2) "11" के ∧ एल = 1; एम ∧ एन = 1. => 1 समाधान.

3) "10" के ∧ एल = 1; एम ∧ एन = 0. => 3 समाधान।

उत्तर: 7.

उत्तर: 7

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

(एक्स ∧ वाई ∨ जेड) ​​→ (जेड ∨ पी) = 0

जहां X, Y, Z, P तार्किक चर हैं? उत्तर में मूल्यों के उन सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता रखती है। उत्तर के रूप में, आपको केवल ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

स्पष्टीकरण।

(X ∧ Y ∨ Z) ​​​​→ (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ​​​​∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

तार्किक OR केवल एक मामले में गलत है: जब दोनों अभिव्यक्तियाँ गलत हों।

इस तरह,

(जेड ∨ पी) = 0 => जेड = 0, पी = 0।

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; वाई = 1.

इसलिए, समीकरण का केवल एक ही समाधान है।

उत्तर: 1

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

(के ∨ एल) ∧ (एम ∨ एन) = 1

जहां K, L, M, N तार्किक चर हैं? उत्तर में K, L, M और N के मानों के सभी विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता मान्य है। उत्तर के रूप में, आपको केवल ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

स्पष्टीकरण।

तार्किक और केवल एक ही स्थिति में सत्य है: जब सभी भाव सत्य हों।

के ∨ एल = 1, एम ∨ एन = 1.

प्रत्येक समीकरण 3 समाधान देता है।

यदि A और B दोनों स्वीकार करते हैं तो समीकरण A ∧ B = 1 पर विचार करें सच्चे मूल्यप्रत्येक तीन मामलों में, तो कुल मिलाकर समीकरण के 9 समाधान हैं।

अतः उत्तर 9 है।

उत्तर: 9

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

((ए → बी)∧ सी) ∨ (डी ∧ ¬D)= 1,

जहां A, B, C, D तार्किक चर हैं?

उत्तर में मान ए, बी, सी, डी के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

स्पष्टीकरण।

तार्किक "OR" सत्य है जब कम से कम एक कथन सत्य है।

(D ∧ ¬D)= किसी भी D के लिए 0.

इस तरह,

(ए → बी)∧ सी) = 1 => सी = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, जो हमें प्रत्येक D के लिए 3 संभावित समाधान देता है।

(D ∧ ¬ D)= किसी भी D के लिए 0, जो हमें दो समाधान देता है (D = 1, D = 0 के लिए)।

इसलिए: कुल समाधान 2*3 = 6.

कुल 6 समाधान.

उत्तर: 6

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

जहां K, L, M, N तार्किक चर हैं? उत्तर में K, L, M और N के मानों के सभी विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता मान्य है। उत्तर के रूप में, आपको केवल ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

स्पष्टीकरण।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों पर निषेधन लागू करें:

(के ∧ एल ∧ एम) ∨ (¬एल ∧ एम ∧ एन) = 1

तार्किक OR तीन मामलों में सत्य है।

विकल्प 1.

K ∧ L ∧ M = 1, फिर K, L, M = 1, और ¬L ∧ M ∧ N = 0. N मनमाना है, अर्थात 2 समाधान।

विकल्प 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1, फिर N, M = 1; एल = 0, के कोई, यानी 2 समाधान।

इसलिए उत्तर 4 है.

उत्तर: 4

A, B और C पूर्णांक हैं जिनके लिए कथन सत्य है

¬ (ए = बी) ∧ ((ए > बी)→(बी > सी)) ∧ ((बी > ए)→(सी > बी)).

यदि A = 45 और C = 43 है तो B किसके बराबर है?

स्पष्टीकरण।

1) ¬(ए = बी); (ए > बी)→(बी > सी); (बी > ए)→(सी > बी);

2) ये सरल कथन ऑपरेशन ∧ (और, संयोजन) द्वारा जुड़े हुए हैं, अर्थात, उन्हें एक साथ निष्पादित किया जाना चाहिए;

3) ¬(A = B)=1 से यह तुरंत अनुसरण करता है कि A B;

4) मान लीजिए कि A > B, तो दूसरी स्थिति से हमें 1→(B > C)=1 प्राप्त होता है; यह अभिव्यक्ति सत्य हो सकती है यदि और केवल यदि B > C = 1;

5) इसलिए हमारे पास A > B > C है, केवल संख्या 44 इस स्थिति से मेल खाती है;

6) बस मामले में, आइए विकल्प A 0 →(B > C)=1 की भी जाँच करें;

यह अभिव्यक्ति किसी भी बी के लिए सत्य है; अब तीसरी शर्त देखिए जो हमें मिलती है

यह अभिव्यक्ति सत्य हो सकती है यदि और केवल यदि C > B, और यहां हमारे पास एक विरोधाभास है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या B नहीं है जिसके लिए C > B > A हो।

उत्तर: 44.

उत्तर: 44

एक तार्किक कार्य के लिए एक सत्य तालिका का निर्माण करें

एक्स = (ए ↔ बी) ∨ ¬(ए → (बी ∨ सी))

जिसमें तर्क A के मानों का स्तंभ संख्या 27 का द्विआधारी प्रतिनिधित्व है, तर्क B के मानों का स्तंभ संख्या 77 है, तर्क C के मानों का स्तंभ संख्या 120 है। कॉलम में सबसे महत्वपूर्ण से लेकर सबसे महत्वपूर्ण (शून्य सेट सहित) तक ऊपर से नीचे तक लिखा जाता है। फ़ंक्शन X के मानों के परिणामी बाइनरी प्रतिनिधित्व को दशमलव संख्या प्रणाली में बदलें।

स्पष्टीकरण।

आइए संक्रियाओं के लिए सरल संकेतन का उपयोग करके समीकरण लिखें:

1) यह तीन चरों वाला एक व्यंजक है, इसलिए सत्य तालिका में पंक्तियाँ होंगी; इसलिए, तालिका कॉलम ए, बी और सी के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याओं के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 8 अंक होने चाहिए

2) संख्याओं 27, 77 और 120 को बाइनरी सिस्टम में बदलें, तुरंत संख्याओं की शुरुआत में शून्य के 8 अंक जोड़ें

3) यह संभावना नहीं है कि आप प्रत्येक संयोजन के लिए एक्स फ़ंक्शन के मान तुरंत लिख पाएंगे, इसलिए मध्यवर्ती परिणामों की गणना करने के लिए तालिका में अतिरिक्त कॉलम जोड़ना सुविधाजनक है (नीचे तालिका देखें)

4) तालिका के कॉलम भरें:

मान केवल उन पंक्तियों में 1 है जहां A = B

उन पंक्तियों में मान 1 है जहां या तो B या C = 1 है

मान केवल उन पंक्तियों में 0 है जहां A = 1 और B + C = 0 है

मान पिछले कॉलम का उलटा है (0 को 1 से बदल दिया गया है, और 1 को 0 से बदल दिया गया है)

X (अंतिम कॉलम) का परिणाम दो कॉलमों का तार्किक योग है

5) उत्तर पाने के लिए, कॉलम X से ऊपर से नीचे तक बिट्स लिखें:

6) इस संख्या को दशमलव प्रणाली में बदलें:

उत्तर: 171

वह सबसे बड़ा पूर्णांक X कौन सा है जिसके लिए कथन (10 (X+1)·(X+2)) सत्य है?

स्पष्टीकरण।

एक समीकरण दो संबंधों के बीच निहितार्थ की एक संक्रिया है:

1) बेशक, यहां आप उदाहरण 2208 जैसी ही विधि लागू कर सकते हैं, लेकिन आपको हल करने की आवश्यकता होगी द्विघातीय समीकरण(मैं नहीं चाहता...);

2) ध्यान दें कि शर्त के अनुसार हम केवल पूर्णांकों में रुचि रखते हैं, इसलिए हम समकक्ष कथन प्राप्त करके किसी तरह मूल अभिव्यक्ति को बदलने का प्रयास कर सकते हैं ( सटीक मानहमें जड़ों में बिल्कुल भी दिलचस्पी नहीं है!);

3) असमानता पर विचार करें: जाहिर है, यह या तो एक सकारात्मक या नकारात्मक संख्या हो सकती है;

4) यह जांचना आसान है कि डोमेन में कथन सभी पूर्णांकों के लिए सत्य है, और डोमेन में - सभी पूर्णांकों के लिए (भ्रमित न होने के लिए, इसके बजाय गैर-सख्त असमानताओं का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है, और और );

5) इसलिए, पूर्णांकों के लिए इसे समकक्ष अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

6) किसी अभिव्यक्ति की सत्यता का क्षेत्र दो अनंत अंतरालों का मिलन है;

7) अब दूसरी असमानता पर विचार करें: यह स्पष्ट है कि यह एक धनात्मक या ऋणात्मक संख्या भी हो सकती है;

8) डोमेन में कथन सभी पूर्णांकों के लिए सत्य है, और डोमेन में - सभी पूर्णांकों के लिए, इसलिए पूर्णांकों के लिए इसे समकक्ष अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

9) अभिव्यक्ति की सत्यता का क्षेत्र एक बंद अंतराल है;

10) दी गई अभिव्यक्ति उन क्षेत्रों को छोड़कर हर जगह सत्य है जहां तथा ;

11) कृपया ध्यान दें कि मान अब उपयुक्त नहीं है, क्योंकि वहां और, यानी, निहितार्थ 0 देता है;

12) 2 को प्रतिस्थापित करते समय, (10 (2+1) · (2+2)), या 0 → 0 जो शर्त को पूरा करता है।

तो उत्तर है 2.

उत्तर: 2

वह सबसे बड़ा पूर्णांक X कौन सा है जिसके लिए कथन सत्य है?

(50 (X+1)·(X+1))?

स्पष्टीकरण।

आइए निहितार्थ परिवर्तन को लागू करें और अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

तार्किक OR सत्य है जब कम से कम एक तार्किक कथन सत्य है। दोनों असमानताओं को हल करने और इसे ध्यान में रखने पर हम देखते हैं कि सबसे बड़ा पूर्णांक जिसके लिए उनमें से कम से कम एक संतुष्ट है वह 7 है (आकृति में, दूसरी असमानता का सकारात्मक समाधान पीले रंग में दिखाया गया है, और पहला नीले रंग में दिखाया गया है)।

उत्तर: 7

चर K, L, M, N के मानों को इंगित करें, जिस पर तार्किक अभिव्यक्ति

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

असत्य। उत्तर को 4 वर्णों की एक स्ट्रिंग के रूप में लिखें: चर K, L, M और N के मान (उसी क्रम में)। इसलिए, उदाहरण के लिए, पंक्ति 1101 इस तथ्य से मेल खाती है कि K=1, L=1, M=0, N=1।

स्पष्टीकरण।

डुप्लिकेट कार्य 3584.

उत्तर: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

स्पष्टीकरण।

आइए निहितार्थ परिवर्तन लागू करें:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

आइए समीकरण के दोनों पक्षों पर निषेधन लागू करें:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

आइए परिवर्तन करें:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

इसलिए, एम = 0, एन = 0, अब विचार करें (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

इस तथ्य से कि एम = 0, एन = 0 यह इस प्रकार है कि एम ∧ एल = 0, तो ¬K ∧ एल = 1, यानी, के = 0, एल = 1।

उत्तर: 0100

चर K, L, M, N के मान निर्दिष्ट करें जिसके लिए तार्किक अभिव्यक्ति

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

असत्य। अपना उत्तर चार वर्णों की एक स्ट्रिंग के रूप में लिखें: चर K, L, M और N के मान (उसी क्रम में)। इसलिए, उदाहरण के लिए, पंक्ति 1101 इस तथ्य से मेल खाती है कि K=1, L=1, M=0, N=1।

स्पष्टीकरण।

आइए संक्रियाओं के सरल अंकन का उपयोग करके समीकरण लिखें (शर्त "अभिव्यक्ति गलत है" का अर्थ है कि यह तार्किक शून्य के बराबर है):

1) शर्त के निरूपण से यह निष्कर्ष निकलता है कि अभिव्यक्ति केवल चर के एक सेट के लिए झूठी होनी चाहिए

2) "निहितार्थ" ऑपरेशन की सत्य तालिका से यह पता चलता है कि यह अभिव्यक्ति झूठी है यदि और केवल यदि एक ही समय में

3) पहली समानता (तार्किक उत्पाद 1 के बराबर है) संतुष्ट है यदि और केवल यदि तथा ; इससे यह निष्कर्ष निकलता है (तार्किक योग शून्य के बराबर है), जो तभी हो सकता है जब; इस प्रकार, हम पहले ही तीन चर परिभाषित कर चुके हैं

4) दूसरी शर्त से, , के लिए और हम प्राप्त करते हैं।

कार्य को डुप्लिकेट करता है

उत्तर: 1000

तार्किक चर P, Q, S, T के मान निर्दिष्ट करें, जिस पर तार्किक अभिव्यक्ति

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) गलत है।

उत्तर को चार वर्णों की एक स्ट्रिंग के रूप में लिखें: चर P, Q, S, T के मान (उसी क्रम में)।

स्पष्टीकरण।

(1) (पी ∨ ¬क्यू) = 0

(2) (क्यू → (एस ∨ टी)) = 0

(1) (पी ∨ ¬क्यू) = 0 => पी = 0, क्यू = 1।

(2) (क्यू → (एस ∨ टी)) = 0 आइए हम निहितार्थ परिवर्तन लागू करें:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.

उत्तर: 0100

चर K, L, M, N के मान निर्दिष्ट करें जिसके लिए तार्किक अभिव्यक्ति

(के → एम) ∨ (एल ∧ के) ∨ ¬एन

असत्य। अपना उत्तर चार वर्णों की एक स्ट्रिंग के रूप में लिखें: चर K, L, M और N के मान (उसी क्रम में)। इसलिए, उदाहरण के लिए, पंक्ति 1101 इस तथ्य से मेल खाती है कि K=1, L=1, M=0, N=1।

स्पष्टीकरण।

तार्किक OR गलत है यदि और केवल तभी जब दोनों कथन गलत हों।

(के → एम) = 0, (एल ∧ के) ∨ ¬एन = 0।

आइए पहली अभिव्यक्ति के लिए निहितार्थ परिवर्तन लागू करें:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

दूसरी अभिव्यक्ति पर विचार करें:

(एल ∧ के) ∨ ¬एन = 0 (पहली अभिव्यक्ति का परिणाम देखें) => एल ∨ ¬एन = 0 => एल = 0, एन = 1।

उत्तर: 1001.

उत्तर: 1001

चर K, L, M, N के मान निर्दिष्ट करें जिसके लिए तार्किक अभिव्यक्ति

(के → एम) ∧ (के → ¬एम) ∧ (¬के → (एम ∧ ¬एल ∧ एन))

सत्य। अपना उत्तर चार वर्णों की एक स्ट्रिंग के रूप में लिखें: चर K, L, M और N के मान (उसी क्रम में)। इसलिए, उदाहरण के लिए, पंक्ति 1101 इस तथ्य से मेल खाती है कि K=1, L=1, M=0, N=1।

स्पष्टीकरण।

तार्किक "AND" तभी सत्य है जब दोनों कथन सत्य हों।

1) (K → M) = 1 निहितार्थ परिवर्तन लागू करें: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 निहितार्थ परिवर्तन लागू करें: ¬K ∨ ¬M = 1

यह इस प्रकार है कि K = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 निहितार्थ परिवर्तन लागू करें: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 इस तथ्य से कि K = 0 हमें प्राप्त होता है:

एम ∧ ¬एल ∧ एन = 1 => एम = 1, एल = 0, एन = 1।

उत्तर: 0011

यह ज्ञात है कि पूर्णांक X, Y और Z के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है:

(Z यदि X=25 और Y=48 है तो Z बराबर क्या है?

स्पष्टीकरण।

संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद, हमें Z = 47 प्राप्त होता है।

कृपया ध्यान दें कि इस जटिल कथन में तीन सरल कथन शामिल हैं

1) (जेड 2) ये सरल कथन ऑपरेशन ∧ (और, संयोजन) द्वारा जुड़े हुए हैं, यानी, उन्हें एक साथ निष्पादित किया जाना चाहिए।

3) ¬(Z+1 24 से, और ¬(Z+1 47) से।

4) से (Z Z उत्तर: 47.

उत्तर: 47

ए, बी और सी पूर्णांक हैं जिनके लिए निम्नलिखित कथन सत्य है:

(C यदि A=45 और B=18 है तो C का मान क्या है?

स्पष्टीकरण।

तार्किक "AND" तभी सत्य है जब दोनों कथन सत्य हों।

आइए अभिव्यक्ति में संख्याओं को प्रतिस्थापित करें:

1) (सी (सी 2) ¬(सी+1, सी ≥ 44.

3) ¬(सी+1, सी ≥ 17.

2) और 1) से यह निष्कर्ष निकलता है कि सी

उत्तर: 44

¬(ए = बी) ∧ ((बी ए)) ∧ ((ए 2सी))

यदि C = 8 और B = 18 है तो A का मान क्या है?

स्पष्टीकरण।

तार्किक "AND" तभी सत्य है जब दोनों कथन सत्य हों।

1) ¬(ए = बी) = 1, यानी ए ≠ 18 = 1.

2) ((बी ए)) निहितार्थ परिवर्तन लागू करें: (18 > ए) ∨ (16 > ए) = 1

3) (ए 2सी) निहितार्थ परिवर्तन लागू करें: (ए > 18) ∨ (ए > 16) = 1

2) और 3) से यह निष्कर्ष निकलता है कि (18 > ए) और (ए > 16), अन्यथा एक विरोधाभास उत्पन्न होता है: ए = 17।

उत्तर: 17

A, B और C पूर्णांक हैं जिनके लिए कथन सत्य है

¬(ए = बी) ∧ ((ए > बी) → (सी = बी)) ∧ ((बी > ए) → (सी = ए))

यदि A = 45 और C = 18 है तो B का मान क्या है?

स्पष्टीकरण।

तार्किक "AND" तभी सत्य है जब सभी कथन सत्य हों।

मान लीजिए n चरों का एक तार्किक फलन है। तार्किक समीकरण इस प्रकार दिखता है:

स्थिरांक C का मान 1 या 0 है।

एक तार्किक समीकरण में 0 से लेकर विभिन्न समाधान हो सकते हैं। यदि C, 1 के बराबर है, तो समाधान सत्य तालिका से चर के वे सभी सेट हैं जिनके लिए फ़ंक्शन F मान सत्य (1) लेता है। शेष सेट शून्य के बराबर C वाले समीकरण के समाधान हैं। आप हमेशा केवल निम्न प्रकार के समीकरणों पर विचार कर सकते हैं:

दरअसल, समीकरण दिया जाए:

इस मामले में, हम समतुल्य समीकरण पर जा सकते हैं:

K तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

किसी सिस्टम का समाधान चरों का एक सेट होता है जिस पर सिस्टम के सभी समीकरण संतुष्ट होते हैं। तार्किक कार्यों के संदर्भ में, तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करने के लिए, किसी को एक सेट ढूंढना चाहिए जिस पर तार्किक फ़ंक्शन Ф सत्य है, जो मूल कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है:

यदि चरों की संख्या छोटी है, उदाहरण के लिए, 5 से कम, तो फ़ंक्शन के लिए एक सत्य तालिका बनाना मुश्किल नहीं है, जो हमें यह कहने की अनुमति देती है कि सिस्टम में कितने समाधान हैं और कौन से सेट हैं जो समाधान प्रदान करते हैं।

कुछ में एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याएँतार्किक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने के लिए, चरों की संख्या 10 तक पहुँच जाती है। तब सत्य तालिका का निर्माण लगभग असंभव कार्य हो जाता है। समस्या के समाधान के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली के लिए कोई नहीं हैं सामान्य विधि, क्रूर बल से भिन्न, जो ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

परीक्षा में प्रस्तावित समस्याओं में, समाधान आमतौर पर समीकरणों की प्रणाली की बारीकियों को ध्यान में रखने पर आधारित होता है। मैं दोहराता हूं, चर के एक सेट के लिए सभी विकल्पों को आज़माने के अलावा, समस्या को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है। समाधान सिस्टम की विशिष्टताओं के आधार पर बनाया जाना चाहिए। तर्क के ज्ञात नियमों का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली का प्रारंभिक सरलीकरण करना अक्सर उपयोगी होता है। एक और उपयोगी युक्तिइस समस्या का समाधान इस प्रकार है. हम सभी सेटों में रुचि नहीं रखते हैं, बल्कि केवल उन सेटों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का मान 1 है। निर्माण के बजाय पूरी मेजसच तो यह है कि हम इसका एनालॉग बनाएंगे - एक बाइनरी डिसीजन ट्री। इस वृक्ष की प्रत्येक शाखा एक समाधान से मेल खाती है और एक सेट निर्दिष्ट करती है जिस पर फ़ंक्शन का मान 1 है। निर्णय वृक्ष में शाखाओं की संख्या समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या से मेल खाती है।

मैं कई समस्याओं के उदाहरणों का उपयोग करके समझाऊंगा कि बाइनरी निर्णय वृक्ष क्या है और इसे कैसे बनाया जाता है।

समस्या 18

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो दो समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं?

उत्तर: सिस्टम में 36 अलग-अलग समाधान हैं।

समाधान: समीकरणों की प्रणाली में दो समीकरण शामिल हैं। आइए 5 चरों के आधार पर पहले समीकरण के समाधानों की संख्या ज्ञात करें -। पहले समीकरण को बदले में 5 समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। जैसा कि दिखाया गया है, समीकरणों की प्रणाली वास्तव में तार्किक कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करती है। विपरीत कथन भी सत्य है - स्थितियों के संयोजन को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है।

आइए निहितार्थ () के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं - संयोजन का पहला पद, जिसे पहला समीकरण माना जा सकता है। इस पेड़ का चित्रमय प्रतिनिधित्व इस प्रकार दिखता है

समीकरण में चरों की संख्या के अनुसार पेड़ में दो स्तर होते हैं। पहला स्तर पहले चर का वर्णन करता है। इस स्तर की दो शाखाएँ इस चर के संभावित मानों को दर्शाती हैं - 1 और 0. दूसरे स्तर पर, पेड़ की शाखाएँ चर के केवल उन संभावित मानों को दर्शाती हैं जिनके लिए समीकरण सत्य का मूल्यांकन करता है। चूँकि समीकरण एक निहितार्थ निर्दिष्ट करता है, एक शाखा जिस पर मान 1 है, के लिए आवश्यक है कि इस शाखा पर 1 का मान हो। एक शाखा जिस पर मान 0 है वह 0 और 1 के बराबर मान वाली दो शाखाएँ उत्पन्न करती है। पेड़ तीन समाधान निर्दिष्ट करता है, जिनमें से निहितार्थ मान 1 लेता है। प्रत्येक शाखा पर, समीकरण का समाधान देते हुए, चर मानों का एक संबंधित सेट लिखा जाता है।

ये सेट हैं: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

आइए निम्नलिखित समीकरण, निम्नलिखित निहितार्थ को जोड़कर निर्णय वृक्ष का निर्माण जारी रखें। हमारी समीकरण प्रणाली की विशिष्टता यह है कि प्रणाली का प्रत्येक नया समीकरण पिछले समीकरण से एक चर का उपयोग करता है, एक नया चर जोड़ता है। चूँकि वेरिएबल का मान पहले से ही ट्री में है, तो सभी शाखाओं पर जहाँ वेरिएबल का मान 1 है, वेरिएबल का मान भी 1 होगा। ऐसी शाखाओं के लिए, ट्री का निर्माण अगले स्तर तक जारी रहता है, परन्तु नई शाखाएँ नहीं निकलतीं। एक एकल शाखा जहां चर का मान 0 है, दो शाखाओं में विभाजित होगी जहां चर को 0 और 1 मान प्राप्त होंगे। इस प्रकार, एक नए समीकरण का प्रत्येक जोड़, इसकी विशिष्टता को देखते हुए, एक समाधान जोड़ता है। मूल पहला समीकरण:

6 समाधान हैं. यह है जो ऐसा लग रहा है पूरा पेड़इस समीकरण के समाधान:

हमारे सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले के समान है:

अंतर केवल इतना है कि समीकरण में Y चर का उपयोग किया गया है। इस समीकरण के भी 6 समाधान हैं। चूँकि प्रत्येक परिवर्तनशील समाधान को प्रत्येक परिवर्तनशील समाधान के साथ जोड़ा जा सकता है कुल गणना 36 समाधान हैं.

कृपया ध्यान दें कि निर्मित निर्णय वृक्ष न केवल समाधानों की संख्या (शाखाओं की संख्या के अनुसार) देता है, बल्कि वृक्ष की प्रत्येक शाखा पर स्वयं लिखे गए समाधान भी देता है।

समस्या 19

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

यह कार्य पिछले कार्य का एक संशोधन है. अंतर यह है कि एक और समीकरण जोड़ा जाता है जो चर X और Y से संबंधित होता है।

समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि जब इसका मान 1 है (ऐसा एक समाधान मौजूद है), तो इसका मान 1 है। इस प्रकार, एक सेट है जिस पर और 1 का मान है। जब 0 के बराबर है, तो यह हो सकता है 0 और 1 दोनों का कोई भी मान है। इसलिए, 0 के बराबर प्रत्येक सेट, और ऐसे 5 सेट हैं, वेरिएबल Y वाले सभी 6 सेटों से मेल खाते हैं। इसलिए, समाधान की कुल संख्या 31 है।

समस्या 20

समाधान: बुनियादी तुल्यताओं को याद रखते हुए, हम अपना समीकरण इस प्रकार लिखते हैं:

निहितार्थों की चक्रीय श्रृंखला का अर्थ है कि चर समान हैं, इसलिए हमारा समीकरण समीकरण के बराबर है:

इस समीकरण के दो समाधान हैं जब सभी 1 या 0 हों।

समस्या 21

समीकरण के कितने हल हैं:

समाधान: समस्या 20 की तरह, हम चक्रीय निहितार्थ से पहचान की ओर बढ़ते हैं, समीकरण को इस रूप में फिर से लिखते हैं:

आइए इस समीकरण के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:

समस्या 22

निम्नलिखित समीकरण प्रणाली के कितने समाधान हैं?

तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के विभिन्न तरीके हैं। यह एक समीकरण में कमी, एक सत्य तालिका का निर्माण और अपघटन है।

काम:तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

आइए विचार करें एक समीकरण में कमी की विधि . इस पद्धति में तार्किक समीकरणों को बदलना शामिल है ताकि उनका दाहिना पक्ष सत्य मान (अर्थात, 1) के बराबर हो। ऐसा करने के लिए, तार्किक निषेध ऑपरेशन का उपयोग करें। फिर, यदि समीकरणों में जटिल तार्किक संक्रियाएं हैं, तो हम उन्हें बुनियादी संक्रियाओं से बदल देते हैं: "और", "या", "नहीं"। अगला कदम तार्किक ऑपरेशन "AND" का उपयोग करके समीकरणों को सिस्टम के समकक्ष एक में संयोजित करना है। इसके बाद, आपको तार्किक बीजगणित के नियमों के आधार पर परिणामी समीकरण को बदलना चाहिए और सिस्टम के लिए एक विशिष्ट समाधान प्राप्त करना चाहिए।

समाधान 1:पहले समीकरण के दोनों पक्षों पर व्युत्क्रम लागू करें:

आइए बुनियादी संक्रियाओं "या" और "नहीं" के माध्यम से निहितार्थ की कल्पना करें:

चूँकि समीकरणों के बाएँ पक्ष 1 के बराबर हैं, हम उन्हें "AND" ऑपरेशन का उपयोग करके एक समीकरण में जोड़ सकते हैं जो मूल प्रणाली के बराबर है:

हम डी मॉर्गन के नियम के अनुसार पहला ब्रैकेट खोलते हैं और प्राप्त परिणाम को बदलते हैं:

परिणामी समीकरण का एक ही हल है: A =0, B=0 और C=1.

अगला तरीका है सत्य तालिकाओं का निर्माण . चूँकि तार्किक मात्राओं के केवल दो मान होते हैं, आप आसानी से सभी विकल्पों पर जा सकते हैं और उनमें से वे खोज सकते हैं जिनके लिए समीकरणों की दी गई प्रणाली संतुष्ट होती है। यानी, हम सिस्टम के सभी समीकरणों के लिए एक सामान्य सत्य तालिका बनाते हैं और आवश्यक मानों के साथ एक रेखा ढूंढते हैं।

समाधान 2:आइए सिस्टम के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

जिस पंक्ति के लिए कार्य की शर्तें पूरी की जाती हैं उसे बोल्ड में हाइलाइट किया गया है। तो A=0, B=0 और C=1।

रास्ता सड़न . विचार यह है कि किसी एक चर का मान निश्चित किया जाए (इसे 0 या 1 के बराबर सेट किया जाए) और इस प्रकार समीकरणों को सरल बनाया जाए। फिर आप दूसरे वेरिएबल का मान ठीक कर सकते हैं, इत्यादि।

समाधान 3:मान लीजिए A = 0, तो:

पहले समीकरण से हमें B = 0, और दूसरे से - C = 1 मिलता है। सिस्टम का समाधान: ए = 0, बी = 0 और सी = 1।

कंप्यूटर विज्ञान में एकीकृत राज्य परीक्षा में, तार्किक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या निर्धारित करना अक्सर आवश्यक होता है, स्वयं समाधान ढूंढे बिना इसके लिए कुछ निश्चित विधियां भी होती हैं; तार्किक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या ज्ञात करने का मुख्य तरीका हैचरों को प्रतिस्थापित करना. सबसे पहले, आपको तार्किक बीजगणित के नियमों के आधार पर प्रत्येक समीकरण को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है, और फिर समीकरणों के जटिल भागों को नए चर के साथ बदलें और नई प्रणाली के समाधानों की संख्या निर्धारित करें। इसके बाद, प्रतिस्थापन पर वापस लौटें और इसके लिए समाधानों की संख्या निर्धारित करें।

काम:समीकरण (A →B) + (C →D) = 1 के कितने समाधान हैं? जहाँ A, B, C, D तार्किक चर हैं।

समाधान:आइए नए चरों का परिचय दें: X = A →B और Y = C →D। नए चरों को ध्यान में रखते हुए, समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा: X + Y = 1.

वियोजन तीन मामलों में सत्य है: (0;1), (1;0) और (1;1), जबकि एक्स और वाई निहितार्थ हैं, अर्थात, यह तीन मामलों में सत्य है और एक में गलत है। इसलिए, मामला (0;1) मापदंडों के तीन संभावित संयोजनों के अनुरूप होगा। केस (1;1) - मूल समीकरण के मापदंडों के नौ संभावित संयोजनों के अनुरूप होगा। इसका मतलब यह है कि इस समीकरण का कुल संभावित समाधान 3+9=15 है।

तार्किक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या निर्धारित करने का अगला तरीका है द्विआधारी वृक्ष. आइए एक उदाहरण का उपयोग करके इस विधि को देखें।

काम:तार्किक समीकरणों की प्रणाली में कितने भिन्न समाधान होते हैं:

समीकरणों की दी गई प्रणाली समीकरण के समतुल्य है:

(एक्स 1 → एक्स 2 )*(एक्स 2 → एक्स 3 )*…*(एक्स एम -1 → एक्स एम) = 1.

चलिए मान लेते हैं एक्स 1 - सत्य है, तो पहले समीकरण से हमें वह प्राप्त होता है एक्स 2 यह भी सच है, दूसरे से - एक्स 3 =1, और इसी तरह जब तक एक्स एम= 1. इसका मतलब है कि m इकाइयों का सेट (1; 1; …; 1) सिस्टम का एक समाधान है। अभी रहने दो एक्स 1 =0, तो पहले समीकरण से हमें प्राप्त होता है एक्स 2 =0 या एक्स 2 =1.

कब एक्स 2 सच है, हम पाते हैं कि शेष चर भी सत्य हैं, यानी, सेट (0; 1; ...; 1) सिस्टम का एक समाधान है। पर एक्स 2 =0 हमें वह मिल गया एक्स 3 =0 या एक्स 3 =, इत्यादि. अंतिम चर को जारी रखते हुए, हम पाते हैं कि समीकरण के समाधान चर के निम्नलिखित सेट हैं (एम +1 समाधान, प्रत्येक समाधान में चर के एम मान शामिल हैं):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

बाइनरी ट्री का निर्माण करके इस दृष्टिकोण को अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। संभावित समाधानों की संख्या निर्मित वृक्ष की विभिन्न शाखाओं की संख्या है। यह देखना आसान है कि यह m +1 के बराबर है।

तर्क करने में कठिनाई होने पर अनुसंधान और निर्माणजिन समाधानों से आप समाधान खोज सकते हैंका उपयोग करते हुए सत्य सारणी, एक या दो समीकरणों के लिए।

आइए समीकरणों की प्रणाली को इस रूप में फिर से लिखें:

और आइए एक समीकरण के लिए अलग से एक सत्य तालिका बनाएं:

आइए दो समीकरणों के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियाँ

आप तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, सत्य तालिका का उपयोग करके (यदि चर की संख्या बहुत बड़ी नहीं है) या निर्णय वृक्ष का उपयोग करके, पहले प्रत्येक समीकरण को सरल बना लें।

1. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि.

नए चर पेश करने से आप समीकरणों की प्रणाली को सरल बना सकते हैं, जिससे अज्ञात की संख्या कम हो जाती है।नये चर एक दूसरे से स्वतंत्र होने चाहिए. सरलीकृत प्रणाली को हल करने के बाद, हमें मूल चर पर वापस लौटना होगा।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके इस पद्धति के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

समाधान:

आइए नए वेरिएबल का परिचय दें: A=(X1≡ X2); बी=(एक्स3 ≡ एक्स4); С=(X5 ≡ X6); डी=(X7 ≡ X8); ई=(X9 ≡ X10).

(ध्यान दें! प्रत्येक चर x1, x2, ..., x10 को नए में से केवल एक में शामिल किया जाना चाहिए चर ए, बी, सी, डी, ई, यानी नए चर एक दूसरे से स्वतंत्र हैं)।

तब समीकरणों की प्रणाली इस तरह दिखेगी:

(ए ∧ बी) ∨ (¬ए ∧ ¬बी)=0

(बी ∧ सी) ∨ (¬बी ∧ ¬सी)=0

(सी ∧ डी) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

आइए परिणामी प्रणाली के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:

समीकरण A=0 पर विचार करें, अर्थात्। (एक्स1≡ X2)=0. इसकी 2 जड़ें हैं:

उसी तालिका से यह देखा जा सकता है कि समीकरण A=1 के भी 2 मूल हैं। आइए निर्णय वृक्ष पर जड़ों की संख्या व्यवस्थित करें:

एक शाखा के समाधानों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको प्रत्येक स्तर पर समाधानों की संख्या को गुणा करना होगा। बाईं शाखा में 2 हैं⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 समाधान; दाहिनी शाखा में भी 32 समाधान हैं। वे। पूरे सिस्टम में 32+32=64 समाधान हैं।

उत्तर: 64.

2. तर्क करने की विधि.

तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की कठिनाई संपूर्ण निर्णय वृक्ष की बोझिलता में निहित है। तर्क विधि आपको पूरे पेड़ का निर्माण करने की अनुमति नहीं देती है, बल्कि यह समझने की अनुमति देती है कि इसकी कितनी शाखाएँ होंगी। आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके इस पद्धति को देखें।

उदाहरण 1. तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

उत्तर में चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है, जिसके लिए समानता की यह प्रणाली संतुष्ट है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान :

पहले और दूसरे समीकरण में स्वतंत्र चर होते हैं जो तीसरी स्थिति से संबंधित होते हैं। आइए पहले और दूसरे समीकरण के लिए एक समाधान वृक्ष बनाएं।

पहले और दूसरे समीकरणों की प्रणाली के लिए एक समाधान वृक्ष का प्रतिनिधित्व करने के लिए, पहले वृक्ष की प्रत्येक शाखा को चर के लिए एक वृक्ष के साथ जारी रखा जाना चाहिएपर . इस प्रकार निर्मित वृक्ष में 36 शाखाएँ होंगी। इनमें से कुछ शाखाएँ प्रणाली के तीसरे समीकरण को संतुष्ट नहीं करती हैं। आइए पहले पेड़ पर पेड़ की शाखाओं की संख्या अंकित करें"य" , जो तीसरे समीकरण को संतुष्ट करता है:

आइए समझाएं: तीसरी शर्त को पूरा करने के लिए, जब x1 = 0, y1 = 1 होना चाहिए, यानी पेड़ की सभी शाखाएं"एक्स" , जहां x1=0 को पेड़ से केवल एक शाखा के साथ जारी रखा जा सकता है"य" . और केवल पेड़ की एक शाखा के लिए"एक्स" (दाएं) पेड़ की सभी शाखाएं फिट हैं"य"। इस प्रकार, पूरे तंत्र के संपूर्ण वृक्ष में 11 शाखाएँ होती हैं। प्रत्येक शाखा समीकरणों की मूल प्रणाली के एक समाधान का प्रतिनिधित्व करती है। इसका मतलब है कि पूरे सिस्टम में 11 समाधान हैं।

उत्तर: 11.

उदाहरण 2. समीकरणों की प्रणाली के कितने भिन्न समाधान हैं?

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)= 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10)= 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10)= 1

(X1 ≡ X10) = 0

जहां x1, x2, …, x10 तार्किक चर हैं? उत्तर में चर मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता रखती है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान : आइए सिस्टम को सरल बनाएं. आइए पहले समीकरण के भाग के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

अंतिम कॉलम पर ध्यान दें, यह कार्रवाई के परिणाम से मेल खाता है X1 ≡ X10.

सरलीकरण के बाद हमें मिलता है:

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1

(X1 ≡ X10) = 0

अंतिम समीकरण पर विचार करें:(X1 ≡ X10) = 0, अर्थात X1 को x10 से मेल नहीं खाना चाहिए. पहला समीकरण 1 के बराबर होने के लिए, समानता सत्य होनी चाहिए(X1 ≡ X2)=1, यानी X1 को x2 से मेल खाना चाहिए.

आइए पहले समीकरण के लिए एक समाधान वृक्ष बनाएं:

दूसरे समीकरण पर विचार करें: x10=1 के लिए और x2=0 के लिए कोष्ठक1 के बराबर होना चाहिए (यानी x2 x3 के साथ मेल खाता है); x10=0 के लिए और x2=1 ब्रैकेट के लिए(X2 ≡ X10)=0, जिसका अर्थ है ब्रैकेट (X2 ≡ X3) 1 के बराबर होना चाहिए (अर्थात x2, x3 से मेल खाता है):

इस प्रकार तर्क करते हुए, हम सभी समीकरणों के लिए एक समाधान वृक्ष बनाते हैं:

इस प्रकार, समीकरणों की प्रणाली के केवल 2 समाधान हैं।

उत्तर: 2.

उदाहरण 3.

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

समाधान:

आइए पहले समीकरण के लिए एक समाधान वृक्ष बनाएं:

दूसरे समीकरण पर विचार करें:

• जब x1=0 : दूसरा और तीसरा कोष्ठक 0 के बराबर होगा; प्रथम कोष्ठक 1 के बराबर होने के लिए, y1=1, z1=1 (अर्थात इस मामले में - 1 समाधान)
• जब x1=1 : पहला ब्रैकेट 0 के बराबर होगा; दूसराया तीसरा कोष्ठक 1 के बराबर होना चाहिए; दूसरा ब्रैकेट 1 के बराबर होगा जब y1=0 और z1=1; तीसरा ब्रैकेट 1 के बराबर होगा जब y1=1 और z1=0 (यानी इस मामले में - 2 समाधान)।

इसी प्रकार शेष समीकरणों के लिए भी। आइए प्रत्येक ट्री नोड के लिए परिणामी समाधानों की संख्या नोट करें:

प्रत्येक शाखा के लिए समाधानों की संख्या जानने के लिए, प्रत्येक शाखा के लिए परिणामी संख्याओं को अलग-अलग गुणा करें (बाएं से दाएं)।

1 शाखा: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 समाधान

शाखा 2: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 =2 समाधान

तीसरी शाखा: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 =4 समाधान

चौथी शाखा: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8 समाधान

5वीं शाखा: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 समाधान

आइए परिणामी संख्याओं को जोड़ें: कुल 31 समाधान हैं।

उत्तर: 31.

3. जड़ों की संख्या में प्राकृतिक वृद्धि

कुछ प्रणालियों में, अगले समीकरण के मूलों की संख्या पिछले समीकरण के मूलों की संख्या पर निर्भर करती है।

उदाहरण 1. तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

आइए सरल करें पहला समीकरण:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). तब सिस्टम यह रूप लेगा:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

वगैरह।

प्रत्येक अगले समीकरण में पिछले वाले की तुलना में 2 अधिक जड़ें हैं।

4 समीकरण के 12 मूल हैं;

समीकरण 5 में 14 मूल हैं

समीकरण 8 में 20 मूल हैं।

उत्तर: 20 जड़ें।

कभी-कभी जड़ों की संख्या फाइबोनैचि नियम के अनुसार बढ़ती है।

तार्किक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए रचनात्मक दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।