तर्क. तर्क कार्य. समीकरण हल करना. गणित में तार्किक समीकरणों को हल करना

चरों को बदलकर तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

चरों के प्रतिस्थापन की विधि का उपयोग तब किया जाता है जब कुछ चर केवल एक विशिष्ट अभिव्यक्ति के रूप में समीकरणों में शामिल किए जाते हैं, और कुछ नहीं। तब इस अभिव्यक्ति को एक नये चर द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

उदाहरण 1.

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1 → x2) → (x3→ x4) = 1

(x3 → x4) → (x5 → x6) = 1

(x5 → x6) → (x7 → x8) = 1

उत्तर में चर x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 के मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है, जिसके लिए समानता की यह प्रणाली संतुष्ट है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान:

(x1 → x2) = y1; (x3 → x4) = y2; (x5 → x6) = y3; (x7 → x8) = y4.

तब हम सिस्टम को एकल समीकरण के रूप में लिख सकते हैं:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. जब प्रत्येक ऑपरेंड मान 1 लेता है तो संयोजन 1 (सत्य) होता है। प्रत्येक निहितार्थ सत्य होना चाहिए, और यह (1 → 0) को छोड़कर सभी मानों के लिए सत्य है। वे। चर y1, y2, y3, y4 के मानों की तालिका में, कोई शून्य के बाईं ओर नहीं होना चाहिए:

वे। 5 सेट y1-y4 के लिए शर्तें पूरी होती हैं।

क्योंकि y1 = x1 → x2, तो मान y1 = 0 एक सेट x1, x2: (1, 0) पर प्राप्त होता है, और मान y1 = 1 - तीन सेट x1, x2: (0,0), (0) पर प्राप्त होता है ,1), (1.1). इसी प्रकार y2, y3, y4 के लिए।

चूंकि वेरिएबल y1 के लिए प्रत्येक सेट (x1,x2) को वेरिएबल y2 आदि के लिए प्रत्येक सेट (x3,x4) के साथ जोड़ा जाता है, इसलिए वेरिएबल x के सेट की संख्या गुणा की जाती है:

				प्रति x1…x8 सेटों की संख्या

आइए सेटों की संख्या जोड़ें: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121।

उत्तर: 121

उदाहरण 2.

तार्किक चर x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)

(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)

(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)

जवाब में कोई ज़रुरत नहीं हैचर x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 के मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करें जिनके लिए समानता की दी गई प्रणाली संतुष्ट है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान:

आइए चरों में परिवर्तन करें:

(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…। ,(x9 ≡ y9) = z9

सिस्टम को एकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)

समतुल्यता तभी सत्य है जब दोनों ऑपरेंड समान हों। इस समीकरण के समाधान के दो सेट हैं:

जेड 1	z2	जेड 3	z4	z5	z6	z7	z8	z9
0	1	0	1	0	1	0	1	0
1	0	1	0	1	0	1	0	1

क्योंकि zi = (xi ≡ yi), तो मान zi = 0 दो सेट (xi,yi) से मेल खाता है: (0,1) और (1,0), और मान zi = 1 दो सेट (xi,yi) से मेल खाता है ): (0 ,0) और (1,1).

फिर पहला सेट z1, z2,…, z9 2 9 सेट (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9) से मेल खाता है।

वही संख्या दूसरे सेट z1, z2,…, z9 से मेल खाती है। तो कुल 2 9 +2 9 = 1024 सेट हैं।

उत्तर: 1024

पुनरावृत्ति के दृश्य निर्धारण की विधि का उपयोग करके तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब समीकरणों की प्रणाली काफी सरल हो और चर जोड़ने पर सेटों की संख्या बढ़ने का क्रम स्पष्ट हो।

उदाहरण 3.

समीकरणों की प्रणाली के कितने भिन्न समाधान हैं?

¬x9 ∨ x10 = 1,

जहां x1, x2, … x10 तार्किक चर हैं?

उत्तर में x1, x2, ... x10 मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए समानता की यह प्रणाली संतुष्ट है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान:

आइए पहला समीकरण हल करें। एक वियोजन 1 के बराबर होता है यदि इसका कम से कम एक ऑपरेंड 1 के बराबर हो समाधान सेट हैं:

x1=0 के लिए, x2 (0 और 1) के दो मान हैं, और x1=1 के लिए x2 (1) का केवल एक मान है, जैसे कि सेट (x1,x2) समीकरण का एक समाधान है . कुल 3 सेट हैं.

आइए वेरिएबल x3 जोड़ें और दूसरे समीकरण पर विचार करें। यह पहले वाले के समान है, जिसका अर्थ है कि x2=0 के लिए x3 (0 और 1) के दो मान हैं, और x2=1 के लिए केवल एक मान x3 (1) है, जैसे कि सेट (x2) ,x3) समीकरण का एक समाधान है। कुल 4 सेट हैं.

यह देखना आसान है कि दूसरा वेरिएबल जोड़ते समय एक सेट जोड़ा जाता है। वे। (i+1) चर के सेट की संख्या के लिए पुनरावर्ती सूत्र:

एन आई +1 = एन आई + 1. फिर दस चरों के लिए हमें 11 सेट मिलते हैं।

उत्तर: 11

विभिन्न प्रकार के तार्किक समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ

उदाहरण 4.

तार्किक चर x 1, ..., x 4, y 1,..., y 4, z 1,..., z 4 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं ?

(x 1 → x 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) = 1

(y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) = 1

(जेड 1 → जेड 2) ∧ (जेड 2 → जेड 3) ∧ (जेड 3 → जेड 4) = 1

x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0

जवाब में कोई ज़रुरत नहीं हैचर x 1, ..., x 4, y 1, ..., y 4, z 1, ..., z 4 के मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करें जिनके लिए समानता की यह प्रणाली संतुष्ट है।

उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान:

ध्यान दें कि सिस्टम के तीन समीकरण चर के विभिन्न स्वतंत्र सेटों पर समान हैं।

आइए पहले समीकरण पर नजर डालें। एक संयोजन सत्य है (1 के बराबर) केवल तभी जब इसके सभी ऑपरेंड सत्य हों (1 के बराबर)। (1,0) को छोड़कर सभी टुपल्स पर निहितार्थ 1 है। इसका मतलब यह है कि पहले समीकरण का समाधान निम्नलिखित सेट x1, x2, x3, x4 होगा, जिसमें 1 0 (5 सेट) के बाईं ओर स्थित नहीं है:

इसी प्रकार, दूसरे और तीसरे समीकरण के समाधान बिल्कुल समान सेट y1,…,y4 और z1,…, z4 होंगे।

अब आइए सिस्टम के चौथे समीकरण का विश्लेषण करें: x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0. समाधान सभी सेट x4, y4, z4 होगा जिसमें कम से कम एक चर 0 के बराबर है।

वे। x4 = 0 के लिए, सभी संभावित सेट (y4, z4) उपयुक्त हैं, और x4 = 1 के लिए, सेट (y4, z4) उपयुक्त हैं, जिनमें कम से कम एक शून्य है: (0, 0), (0,1) ) , (1, 0).

				सेट की संख्या

सेटों की कुल संख्या 25 + 4*9 = 25 + 36 = 61 है।

उत्तर: 61

आवर्ती सूत्रों का निर्माण करके तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

आवर्ती सूत्रों के निर्माण की विधि का उपयोग जटिल प्रणालियों को हल करते समय किया जाता है जिसमें सेटों की संख्या बढ़ाने का क्रम स्पष्ट नहीं होता है, और वॉल्यूम के कारण पेड़ का निर्माण असंभव है।

उदाहरण 5.

तार्किक चर x1, x2, ... x7, y1, y2, ... y7 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) = 1

(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) = 1

(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) = 1

उत्तर में चर x1, x2, ..., x7, y1, y2, ..., y7 के मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है, जिसके लिए समानता की यह प्रणाली संतुष्ट है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान:

ध्यान दें कि सिस्टम के पहले छह समीकरण समान हैं और केवल चर के सेट में भिन्न हैं। आइए पहले समीकरण पर नजर डालें। इसका समाधान चर के निम्नलिखित सेट होंगे:

आइए निरूपित करें:

ए 1 के माध्यम से चर (x1,y1) पर टुपल्स (0,0) की संख्या,

वेरिएबल्स (x1,y1) से लेकर B 1 तक टुपल्स (0,1) की संख्या,

C 1 के माध्यम से चर (x1,y1) पर टुपल्स (1,0) की संख्या,

वेरिएबल्स (x1,y1) से D 1 तक टुपल्स (1,1) की संख्या।

A 2 के माध्यम से चर (x2,y2) पर टुपल्स (0,0) की संख्या,

चर (x2,y2) से B 2 तक टुपल्स (0,1) की संख्या,

C 2 के माध्यम से चर (x2,y2) पर टुपल्स (1,0) की संख्या,

चर (x2,y2) से D 2 तक टुपल्स (1,1) की संख्या।

निर्णय वृक्ष से हम यह देखते हैं

ए 1 =0, बी 1 =1, सी 1 =1, डी 1 =1।

ध्यान दें कि वेरिएबल्स (x2,y2) पर सेट (0,0) वेरिएबल्स (x1,y1) पर सेट (0,1), (1,0) और (1,1) से प्राप्त किया जाता है। वे। ए 2 =बी 1 +सी 1 +डी 1.

चर (x2,y2) पर सेट (0,1) चर (x1,y1) पर सेट (0,1), (1,0) और (1,1) से प्राप्त किया जाता है। वे। बी 2 =बी 1 +सी 1 +डी 1.

इसी प्रकार तर्क करते हुए, हम ध्यान देते हैं कि C 2 =B 1 +C 1 +D 1. डी2 = डी1.

इस प्रकार, हमें आवर्ती सूत्र प्राप्त होते हैं:

ए आई+1 = बी आई + सी आई + डी आई

बी आई+1 = बी आई + सी आई + डी आई

सी आई+1 = बी आई + सी आई + डी आई

डी आई+1 = ए आई +बी आई + सी आई + डी आई

आइए एक टेबल बनाएं

सेट	पद का नाम.	FORMULA	सेट की संख्या
			मैं=1	मैं=2	मैं=3	मैं=4	मैं=5	मैं=6	मैं=7
(0,0)	ए मैं	ए आई+1 =बी आई +सी आई +डी आई	0	3	7	15	31	63	127
(0,1)	बी मैं	बी आई+1 =बी आई +सी आई +डी आई	1	3	7	15	31	63	127
(1,0)	सी मैं	सी आई+1 =बी आई +सी आई +डी आई	1	3	7	15	31	63	127
(1,1)	डी मैं	डी आई+1 =डी आई	1	1	1	1	1	1	1

अंतिम समीकरण (x7 ∨ y7) = 1 उन सेटों को छोड़कर सभी सेटों से संतुष्ट है जिनमें x7=0 और y7=0 है। हमारी तालिका में ऐसे सेटों की संख्या A 7 है।

तो सेट की कुल संख्या B 7 + C 7 + D 7 = 127+127+1 = 255 है

उत्तर: 255

कंप्यूटर विज्ञान परीक्षा के अनुभाग ए और बी में कुछ समस्याओं को कैसे हल करें

अध्याय 3। तर्क. तर्क कार्य. समीकरण हल करना

बड़ी संख्या में एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याएं प्रस्तावात्मक तर्क के लिए समर्पित हैं। उनमें से अधिकांश को हल करने के लिए, प्रस्ताव तर्क के बुनियादी नियमों को जानना, एक और दो चर के तार्किक कार्यों की सत्य तालिकाओं का ज्ञान पर्याप्त है। मैं प्रस्तावात्मक तर्क के बुनियादी नियम बताऊंगा।

1. विच्छेद और संयोजन की क्रमपरिवर्तनशीलता:
   ए ˅ बी ≡ बी ˅ ए
   a^b ≡ b^a
2. विच्छेद और समुच्चय के संबंध में वितरणात्मक नियम:
   a ˅ (b^с) ≡ (a ˅ b) ^(a ˅ с)
   ए ^ (बी ˅ सी) ≡ (ए ^ बी) ˅ (ए ^ सी)
3. निषेध का निषेध:
   ¬(¬a) ≡ ए
4. स्थिरता:
   a ^ ¬а ≡ असत्य
5. विशेष तीसरा:
   एक ˅ ¬а ≡ सत्य
6. डी मॉर्गन के नियम:
   ¬(a ˅ b) ≡ ¬a ˄ ¬b
   ¬(a ˄ b) ≡ ¬a ˅ ¬b
7. सरलीकरण:
   ए ˄ ए ≡ ए
   ए ˅ ए ≡ ए
   ए ˄ सत्य ≡ ए
   एक ˄ असत्य ≡ असत्य
8. अवशोषण:
   ए ˄ (ए ˅ बी) ≡ ए
   ए ˅ (ए ˄ बी) ≡ ए
9. निहितार्थ का प्रतिस्थापन
   ए → बी ≡ ¬ए ˅ बी
10. पहचान का प्रतिस्थापन
    a ≡ b ≡(a ˄ b) ˅ (¬a ˄ ¬b)

तार्किक कार्यों का प्रतिनिधित्व

n चरों का कोई भी तार्किक कार्य - F(x 1, x 2, ... x n) को सत्य तालिका द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। ऐसी तालिका में चरों के 2n सेट होते हैं, जिनमें से प्रत्येक के लिए इस सेट पर एक फ़ंक्शन का मान निर्दिष्ट होता है। यह विधि तब अच्छी होती है जब चरों की संख्या अपेक्षाकृत कम हो। पहले से ही n > 5 के लिए प्रतिनिधित्व खराब दिखाई देता है।

दूसरा तरीका ज्ञात काफी सरल फ़ंक्शंस का उपयोग करके किसी फ़ार्मूले द्वारा फ़ंक्शन को परिभाषित करना है। फ़ंक्शंस की एक प्रणाली (एफ 1, एफ 2, ... एफ के) को पूर्ण कहा जाता है यदि किसी तार्किक फ़ंक्शन को केवल फ़ंक्शंस वाले सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

फ़ंक्शंस की प्रणाली (¬, ˄, ˅) पूरी हो गई है। नियम 9 और 10 उदाहरण हैं जो प्रदर्शित करते हैं कि निषेध, संयोजन और विच्छेदन के माध्यम से निहितार्थ और पहचान कैसे व्यक्त की जाती है।

वास्तव में, दो कार्यों की एक प्रणाली - निषेध और संयोजन या निषेध और विच्छेदन - भी पूर्ण है। डी मॉर्गन के नियम उन विचारों का अनुसरण करते हैं जो किसी को निषेध और विच्छेद के माध्यम से एक संयोजन को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं और, तदनुसार, निषेध और संयोजन के माध्यम से एक विच्छेदन को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं:

(ए ˅ बी) ≡ ¬(¬ए ˄ ¬बी)
(ए ˄ बी) ≡ ¬(¬ए ˅ ¬बी)

विरोधाभासी रूप से, केवल एक फ़ंक्शन से युक्त प्रणाली पूर्ण होती है। दो द्विआधारी कार्य हैं - एंटीकंजंक्शन और एंटीडिसजंक्शन, जिसे पीयर्स एरो और शेफ़र स्ट्रोक कहा जाता है, जो एक खोखले सिस्टम का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं के मूल कार्यों में आमतौर पर पहचान, निषेध, संयोजन और विच्छेदन शामिल होते हैं। में एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याएँइन कार्यों के साथ-साथ अक्सर निहितार्थ भी पाया जाता है।

आइए कुछ पर नजर डालें सरल कार्यतार्किक कार्यों से संबंधित.

समस्या 15:

सत्य तालिका का एक अंश दिया गया है। दिए गए तीन कार्यों में से कौन सा इस खंड से मेल खाता है?

एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	एक्स 4	एफ
1	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0

1. (एक्स 1 → एक्स 2) ˄ ¬ एक्स 3 ˅ एक्स 4
2. (¬ एक्स 1 ˄ एक्स 2) ˅ (¬ एक्स 3 ˄ एक्स 4)
3. ¬ X 1 ˅ X 2 ˅ (X 3 ˄ X 4)

फंक्शन नंबर 3.

समस्या को हल करने के लिए, आपको बुनियादी कार्यों की सत्य तालिकाओं को जानना होगा और संचालन की प्राथमिकताओं को याद रखना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि संयोजन (तार्किक गुणन) की प्राथमिकता अधिक होती है और इसे वियोजन (तार्किक जोड़) से पहले निष्पादित किया जाता है। गणना के दौरान, यह नोटिस करना आसान है कि तीसरे सेट में संख्या 1 और 2 वाले फ़ंक्शन का मान 1 है और इस कारण से यह खंड के अनुरूप नहीं है।

समस्या 16:

दी गई संख्याओं में से कौन सी संख्या इस शर्त को पूरा करती है:

(अंक, सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू होकर, अवरोही क्रम में हैं) → (संख्या - सम) ˄ (निम्न अंक - सम) ˄ (उच्च अंक - विषम)

यदि ऐसी कई संख्याएँ हैं, तो सबसे बड़ी संख्या दर्शाएँ।

1. 13579
2. 97531
3. 24678
4. 15386

अंक संख्या 4 से शर्त पूरी होती है।

पहली दो संख्याएँ शर्त को पूरा नहीं करतीं क्योंकि सबसे निचला अंक विषम है। शर्तों का एक संयोजन गलत है यदि संयोजन का एक पद गलत है। तीसरे नंबर के लिए, उच्चतम अंक की शर्त पूरी नहीं हुई है। चौथे नंबर के लिए, संख्या के निम्न और उच्च अंक पर लगाई गई शर्तें पूरी होती हैं। संयोजन का पहला पद भी सत्य है, क्योंकि यदि इसका आधार गलत है तो निहितार्थ सत्य है, जो कि यहाँ मामला है।

समस्या 17: दो गवाहों ने निम्नलिखित गवाही दी:

पहला गवाह: यदि A दोषी है, तो B और भी अधिक दोषी है, और C निर्दोष है।

दूसरा गवाह: दो दोषी हैं. और बचे हुए लोगों में से एक निश्चित रूप से दोषी और दोषी है, लेकिन मैं यह नहीं कह सकता कि वास्तव में कौन है।

गवाही से ए, बी और सी के अपराध के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

उत्तर: गवाही से यह पता चलता है कि ए और बी दोषी हैं, और सी निर्दोष है।

समाधान: बेशक, उत्तर सामान्य ज्ञान के आधार पर दिया जा सकता है। लेकिन आइए देखें कि इसे सख्ती से और औपचारिक रूप से कैसे किया जा सकता है।

सबसे पहली चीज़ जो करने की ज़रूरत है वह है बयानों को औपचारिक बनाना। आइए तीन तार्किक चर - ए, बी और सी का परिचय दें, जिनमें से प्रत्येक का मान सत्य है (1) यदि संबंधित संदिग्ध दोषी है। फिर पहले गवाह की गवाही सूत्र द्वारा दी जाती है:

ए → (बी ˄ ¬सी)

दूसरे गवाह की गवाही सूत्र द्वारा दी गई है:

ए ˄ ((बी ˄ ¬सी) ˅ (¬बी ˄ सी))

दोनों गवाहों की गवाही को सत्य माना जाता है और यह संबंधित सूत्रों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है।

आइए इन रीडिंग के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

ए	बी	सी	एफ 1	एफ 2	एफ 1 ˄ एफ 2
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0

सारांश साक्ष्य केवल एक मामले में सत्य है, जिससे स्पष्ट उत्तर मिलता है - ए और बी दोषी हैं, और सी निर्दोष है।

इस तालिका के विश्लेषण से यह भी पता चलता है कि दूसरे गवाह की गवाही अधिक जानकारीपूर्ण है। उसकी गवाही की सच्चाई से केवल दो बातें पता चलती हैं: संभावित विकल्प- ए और बी दोषी हैं, और सी निर्दोष है, या ए और सी दोषी हैं, और बी निर्दोष है। पहले गवाह की गवाही कम जानकारीपूर्ण है - 5 हैं विभिन्न विकल्प, उसकी गवाही के अनुरूप। दोनों गवाहों की गवाही मिलकर संदिग्धों के अपराध के बारे में स्पष्ट उत्तर देती है।

तार्किक समीकरण और समीकरणों की प्रणाली

मान लीजिए F(x 1, x 2, …x n) n चरों का एक तार्किक फलन है। तार्किक समीकरण इस प्रकार दिखता है:

एफ(एक्स 1, एक्स 2, …एक्स एन) = सी,

स्थिरांक C का मान 1 या 0 है।

एक तार्किक समीकरण में 0 से 2 n तक विभिन्न समाधान हो सकते हैं। यदि C, 1 के बराबर है, तो समाधान सत्य तालिका से चर के वे सभी सेट हैं जिनके लिए फ़ंक्शन F मान सत्य (1) लेता है। शेष सेट शून्य के बराबर C वाले समीकरण के समाधान हैं। आप हमेशा केवल निम्न प्रकार के समीकरणों पर विचार कर सकते हैं:

एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , …एक्स एन) = 1

दरअसल, समीकरण दिया जाए:

एफ(एक्स 1, एक्स 2, …एक्स एन) = 0

इस मामले में, हम समतुल्य समीकरण पर जा सकते हैं:

¬F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

K तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

एफ 1 (एक्स 1, एक्स 2, …एक्स एन) = 1

एफ 2 (एक्स 1, एक्स 2, …एक्स एन) = 1

एफ के (एक्स 1 , एक्स 2 , …एक्स एन) = 1

किसी सिस्टम का समाधान चरों का एक सेट होता है जिस पर सिस्टम के सभी समीकरण संतुष्ट होते हैं। तार्किक कार्यों के संदर्भ में, तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करने के लिए, किसी को एक सेट ढूंढना चाहिए जिस पर तार्किक फ़ंक्शन Ф सत्य है, जो मूल कार्यों F के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है:

एफ = एफ 1 ˄ एफ 2 ˄ … एफ के

यदि चरों की संख्या छोटी है, उदाहरण के लिए, 5 से कम, तो फ़ंक्शन Ф के लिए एक सत्य तालिका बनाना मुश्किल नहीं है, जो हमें यह कहने की अनुमति देती है कि सिस्टम में कितने समाधान हैं और समाधान प्रदान करने वाले सेट कौन से हैं।

तार्किक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने पर कुछ यूएसई समस्याओं में, चर की संख्या 10 तक पहुंच जाती है। तब सत्य तालिका का निर्माण लगभग असंभव कार्य हो जाता है। समस्या के समाधान के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली के लिए कोई नहीं हैं सामान्य विधि, क्रूर बल से भिन्न, जो ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

परीक्षा में प्रस्तावित समस्याओं में, समाधान आमतौर पर समीकरणों की प्रणाली की बारीकियों को ध्यान में रखने पर आधारित होता है। मैं दोहराता हूं, चर के एक सेट के लिए सभी विकल्पों को आज़माने के अलावा, समस्या को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है। समाधान सिस्टम की विशिष्टताओं के आधार पर बनाया जाना चाहिए। तर्क के ज्ञात नियमों का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली का प्रारंभिक सरलीकरण करना अक्सर उपयोगी होता है। एक और उपयोगी युक्तिइस समस्या का समाधान इस प्रकार है. हमें सभी सेटों में रुचि नहीं है, बल्कि केवल उन सेटों में रुचि है जिन पर फ़ंक्शन Φ का मान 1 है। पूरी मेजसच तो यह है कि हम इसका एनालॉग बनाएंगे - एक बाइनरी डिसीजन ट्री। इस वृक्ष की प्रत्येक शाखा एक समाधान से मेल खाती है और एक सेट निर्दिष्ट करती है जिस पर फ़ंक्शन Ф का मान 1 है। निर्णय वृक्ष में शाखाओं की संख्या समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या से मेल खाती है।

मैं कई समस्याओं के उदाहरणों का उपयोग करके समझाऊंगा कि बाइनरी निर्णय वृक्ष क्या है और इसे कैसे बनाया जाता है।

समस्या 18

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो दो समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं?

उत्तर: सिस्टम में 36 विभिन्न समाधान हैं।

समाधान: समीकरणों की प्रणाली में दो समीकरण शामिल हैं। आइए 5 चरों के आधार पर पहले समीकरण के समाधानों की संख्या ज्ञात करें - x 1, x 2, ...x 5। पहले समीकरण को बदले में 5 समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। जैसा कि दिखाया गया है, समीकरणों की प्रणाली वास्तव में तार्किक कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करती है। इसका विपरीत भी सत्य है: स्थितियों के संयोजन को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है।

आइए निहितार्थ (x1→ x2) के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं - संयोजन का पहला पद, जिसे पहला समीकरण माना जा सकता है। इस पेड़ का चित्रमय प्रतिनिधित्व इस प्रकार दिखता है:

समीकरण में चरों की संख्या के अनुसार पेड़ में दो स्तर होते हैं। पहला स्तर पहले चर X 1 का वर्णन करता है। इस स्तर की दो शाखाएँ इस चर के संभावित मानों को दर्शाती हैं - 1 और 0. दूसरे स्तर पर, पेड़ की शाखाएँ चर X 2 के केवल उन संभावित मानों को दर्शाती हैं जिनके लिए समीकरण सत्य है। चूँकि समीकरण एक निहितार्थ निर्दिष्ट करता है, एक शाखा जिस पर X 1 का मान 1 है, आवश्यक है कि उस शाखा पर X 2 का मान 1 हो। एक शाखा जिस पर X 1 का मान 0 है, वह X 2 के मानों वाली दो शाखाएँ उत्पन्न करती है। 0 और 1 के बराबर निर्मित वृक्ष तीन समाधानों को परिभाषित करता है, जिस पर निहितार्थ X 1 → X 2 मान 1 लेता है। प्रत्येक शाखा पर, समीकरण का समाधान देते हुए, चर मानों का एक संबंधित सेट लिखा जाता है।

ये सेट हैं: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

आइए निम्नलिखित समीकरण, निम्नलिखित निहितार्थ X 2 → X 3 को जोड़कर निर्णय वृक्ष का निर्माण जारी रखें। हमारी समीकरण प्रणाली की विशिष्टता यह है कि प्रणाली का प्रत्येक नया समीकरण पिछले समीकरण से एक चर का उपयोग करता है, एक नया चर जोड़ता है। चूंकि वेरिएबल X 2 का मान पहले से ही पेड़ में है, तो सभी शाखाओं पर जहां वेरिएबल X 2 का मान 1 है, वेरिएबल X 3 का मान भी 1 होगा। ऐसी शाखाओं के लिए, पेड़ का निर्माण अगले स्तर तक जारी रहता है, लेकिन नई शाखाएँ प्रकट नहीं होती हैं। एकल शाखा जहां चर मूल पहला समीकरण:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
6 समाधान हैं. यह है जो ऐसा लग रहा है पूरा पेड़इस समीकरण के समाधान:

हमारे सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले के समान है:

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

अंतर केवल इतना है कि समीकरण में Y चर का उपयोग किया गया है। इस समीकरण के भी 6 समाधान हैं। चूँकि चर X i के प्रत्येक समाधान को चर Y j के प्रत्येक समाधान के साथ जोड़ा जा सकता है कुल गणना 36 समाधान हैं.

कृपया ध्यान दें कि निर्मित निर्णय वृक्ष न केवल समाधानों की संख्या (शाखाओं की संख्या के अनुसार) देता है, बल्कि वृक्ष की प्रत्येक शाखा पर स्वयं लिखे गए समाधान भी देता है।

समस्या 19

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
(x1→ y1) = 1

यह कार्य पिछले कार्य का एक संशोधन है. अंतर यह है कि एक और समीकरण जोड़ा जाता है जो चर X और Y से संबंधित होता है।

समीकरण ​1. जब X 1 0 के बराबर हो, तो Y 1 का कोई भी मान हो सकता है, 0 और 1 दोनों। इसलिए, X 1 वाला प्रत्येक सेट 0 के बराबर है, और ऐसे 5 सेट हैं, Y चर वाले सभी 6 सेटों से मेल खाते हैं। इसलिए, समाधानों की कुल संख्या 31 है।

समस्या 20

(¬X 1 ˅ X 2) ˄ (¬X 2 ˅ X 3) ˄ (¬X 3 ˅ X 4) ˄ (¬X 4 ˅

समाधान: बुनियादी तुल्यताओं को याद रखते हुए, हम अपना समीकरण इस प्रकार लिखते हैं:

(एक्स 1 → एक्स 2) ˄ (एक्स 2 → एक्स 3) ˄ (एक्स 3 → एक्स 4) ˄ (एक्स 4 → एक्स 5) ˄ (एक्स 5 → एक्स 1) = 1

निहितार्थों की चक्रीय श्रृंखला का अर्थ है कि चर समान हैं, इसलिए हमारा समीकरण समीकरण के बराबर है:

एक्स 1 ≡ एक्स 2 ≡ एक्स 3 ≡ एक्स 4 ≡ एक्स 5 = 1

इस समीकरण के दो समाधान हैं जब सभी X i या तो 1 या 0 हैं।

समस्या 21

(एक्स 1 → एक्स 2) ˄ (एक्स 2 → एक्स 3) ˄ (एक्स 3 → एक्स 4) ˄ (एक्स 4 → एक्स 2) ˄ (एक्स 4 → एक्स 5) = 1

समाधान: समस्या 20 की तरह, हम चक्रीय निहितार्थ से पहचान की ओर बढ़ते हैं, समीकरण को इस रूप में फिर से लिखते हैं:

(एक्स 1 → एक्स 2) ˄ (एक्स 2 ≡ एक्स 3 ≡ एक्स 4) ˄ (एक्स 4 → एक्स 5) = 1

आइए इस समीकरण के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:

समस्या 22

निम्नलिखित समीकरण प्रणाली के कितने समाधान हैं?

((एक्स 1 ≡एक्स 2) ˄ (एक्स 3 ≡एक्स 4)) ˅(¬(एक्स 1 ≡एक्स 2) ¬(एक्स 3 ≡एक्स 4)) = 0

((एक्स 3 ≡एक्स 4) ˄ (एक्स 5 ≡एक्स 6)) ˅(¬(एक्स 3 ≡एक्स 4) ¬(एक्स 5 ≡एक्स 6)) = 0

((एक्स 5 ≡एक्स 6) ˄ (एक्स 7 ≡एक्स 8)) ˅(¬(एक्स 5 ≡एक्स 6) ¬(एक्स 7 ≡एक्स 8)) = 0

((एक्स 7 ≡एक्स 8) ˄ (एक्स 9 ≡एक्स 10)) ˅(¬(एक्स 7 ≡एक्स 8) ¬(एक्स 9 ≡एक्स 10)) = 0

उत्तर: 64

समाधान: आइए चरों में निम्नलिखित परिवर्तन करके 10 चरों से 5 चरों की ओर बढ़ें:

वाई 1 = (एक्स 1 ≡ एक्स 2); वाई 2 = (एक्स 3 ≡ एक्स 4); वाई 3 = (एक्स 5 ≡ एक्स 6); वाई 4 = (एक्स 7 ≡ एक्स 8); वाई 5 = (एक्स 9 ≡ एक्स 10);

तब पहला समीकरण इस प्रकार बनेगा:

(Y 1 ˄ Y 2) ˅ (¬Y 1 ˄ ¬Y 2) = 0

समीकरण को इस प्रकार लिखकर सरल बनाया जा सकता है:

(वाई 1 ≡ वाई 2) = 0

पारंपरिक रूप की ओर बढ़ते हुए, हम सिस्टम को सरलीकरण के बाद इस रूप में लिखते हैं:

¬(Y 1 ≡ Y 2) = 1

¬(Y 2 ≡ Y 3) = 1

¬(Y 3 ≡ Y 4) = 1

¬(Y 4 ≡ Y 5) = 1

इस प्रणाली के लिए निर्णय वृक्ष सरल है और इसमें वैकल्पिक चर मानों वाली दो शाखाएँ हैं:

मूल X चर पर लौटते हुए, ध्यान दें कि Y चर में प्रत्येक मान के लिए X चर में 2 मान हैं, इसलिए Y चर में प्रत्येक समाधान X चर में 2 5 समाधान उत्पन्न करता है 5 समाधान, अतः समाधानों की कुल संख्या 64 है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरणों की प्रणाली को हल करने की प्रत्येक समस्या के लिए अपने स्वयं के दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समीकरणों को सरल बनाने के लिए समतुल्य परिवर्तन करना एक सामान्य तकनीक है। निर्णय वृक्षों का निर्माण करना एक सामान्य तकनीक है। उपयोग किया गया दृष्टिकोण आंशिक रूप से एक सत्य तालिका के निर्माण की याद दिलाता है, जिसकी ख़ासियत यह है कि चर के संभावित मानों के सभी सेटों का निर्माण नहीं किया जाता है, बल्कि केवल उन पर किया जाता है जिन पर फ़ंक्शन मान 1 (सत्य) लेता है। अक्सर प्रस्तावित समस्याओं में पहले से ही पूर्ण निर्णय वृक्ष बनाने की आवश्यकता नहीं होती है प्रारंभिक चरणप्रत्येक अगले स्तर पर नई शाखाओं की उपस्थिति का एक पैटर्न स्थापित करना संभव है, जैसा कि किया गया था, उदाहरण के लिए, समस्या 18 में।

सामान्य तौर पर, तार्किक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने से जुड़ी समस्याएं अच्छे गणितीय अभ्यास हैं।

यदि समस्या को मैन्युअल रूप से हल करना मुश्किल है, तो आप समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एक उपयुक्त प्रोग्राम लिखकर कंप्यूटर को समाधान सौंप सकते हैं।

ऐसा प्रोग्राम लिखना कठिन नहीं है। ऐसा कार्यक्रम एकीकृत राज्य परीक्षा में पेश किए गए सभी कार्यों को आसानी से पूरा कर देगा।

अजीब बात है, तार्किक समीकरणों की प्रणालियों का समाधान खोजने का कार्य कंप्यूटर के लिए कठिन है, और यह पता चला है कि कंप्यूटर की अपनी सीमाएँ हैं। एक कंप्यूटर उन कार्यों को आसानी से पूरा कर सकता है जहां चर की संख्या 20-30 है, लेकिन यह लंबे समय तक समस्याओं के बारे में सोचना शुरू कर देगा बड़ा आकार. तथ्य यह है कि फ़ंक्शन 2 एन, जो सेटों की संख्या निर्दिष्ट करता है, एक घातांक है जो एन बढ़ने के साथ तेजी से बढ़ता है। इतना तेज़ कि एक साधारण पर्सनल कंप्यूटर एक दिन में 40 वेरिएबल वाले कार्य का सामना नहीं कर सकता।

तार्किक समीकरणों को हल करने के लिए C# भाषा में प्रोग्राम

तार्किक समीकरणों को हल करने के लिए एक प्रोग्राम लिखना कई कारणों से उपयोगी है, यदि केवल इसलिए कि आप इसका उपयोग एकीकृत राज्य परीक्षा परीक्षण समस्याओं के अपने स्वयं के समाधान की शुद्धता की जांच करने के लिए कर सकते हैं। दूसरा कारण यह है कि ऐसा प्रोग्राम प्रोग्रामिंग कार्य का एक उत्कृष्ट उदाहरण है जो एकीकृत राज्य परीक्षा में श्रेणी सी कार्यों की आवश्यकताओं को पूरा करता है।

एक प्रोग्राम बनाने का विचार सरल है - यह परिवर्तनीय मानों के सभी संभावित सेटों की संपूर्ण खोज पर आधारित है। चूँकि किसी दिए गए तार्किक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के लिए चर n की संख्या ज्ञात है, तो सेटों की संख्या भी ज्ञात है - 2 n जिन्हें हल करने की आवश्यकता है। का उपयोग करते हुए बुनियादी कार्योंसी # भाषा - निषेध, विच्छेदन, संयोजन और पहचान, एक प्रोग्राम लिखना मुश्किल नहीं है, जो दिए गए चर के सेट के लिए, तार्किक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के अनुरूप तार्किक फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करता है।

ऐसे प्रोग्राम में, आपको सेट की संख्या के आधार पर एक लूप बनाना होगा, लूप के शरीर में, सेट की संख्या का उपयोग करके, सेट स्वयं बनाएं, इस सेट पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें, और यदि यह मान 1 है, तो सेट समीकरण का समाधान देता है।

कार्यक्रम को लागू करते समय जो एकमात्र कठिनाई उत्पन्न होती है वह निर्धारित संख्या के आधार पर परिवर्तनीय मानों के सेट को उत्पन्न करने के कार्य से संबंधित होती है। इस समस्या की ख़ूबसूरती यह है कि यह कठिन प्रतीत होने वाला कार्य वास्तव में एक साधारण समस्या में बदल जाता है जो पहले ही कई बार उत्पन्न हो चुकी है। वास्तव में, यह समझने के लिए पर्याप्त है कि संख्या i के अनुरूप चर मानों का सेट, जिसमें शून्य और एक शामिल हैं, संख्या i के द्विआधारी प्रतिनिधित्व का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए कठिन कार्यसेट संख्या द्वारा परिवर्तनीय मानों का एक सेट प्राप्त करना किसी संख्या को बाइनरी सिस्टम में परिवर्तित करने की प्रसिद्ध समस्या में आता है।

C# में एक फ़ंक्शन इस तरह दिखता है जो हमारी समस्या का समाधान करता है:

///

/// समाधानों की संख्या गिनने का कार्यक्रम

/// तार्किक समीकरण (समीकरणों की प्रणाली)

///

///

/// तार्किक कार्य - विधि,

/// जिसका हस्ताक्षर डीएफ प्रतिनिधि द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

///

/// चरों की संख्या

/// समाधानों की संख्या

स्टेटिक इंट सॉल्वइक्वेशंस (डीएफ फन, इंट एन)

बूल सेट = नया बूल[एन];

int m = (int)Math.Pow(2, n); // सेट की संख्या

पूर्णांक पी = 0, क्यू = 0, के = 0;

// सेट की संख्या के आधार पर पूर्ण खोज

(int i = 0; i के लिए)< m; i++)

//अगले सेट का गठन - सेट,

// संख्या i के द्विआधारी प्रतिनिधित्व द्वारा निर्दिष्ट

(int j = 0; j के लिए)< n; j++)

k = (int)Math.Pow(2, j);

//सेट पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें

कार्यक्रम को समझने के लिए, मुझे आशा है कि कार्यक्रम के विचार और इसके पाठ में दी गई टिप्पणियाँ पर्याप्त हैं। मैं केवल दिए गए फ़ंक्शन के शीर्षक को समझाने पर ध्यान केंद्रित करूंगा। SolveEqations फ़ंक्शन में दो इनपुट पैरामीटर हैं। मज़ेदार पैरामीटर समीकरण या हल किए जा रहे समीकरणों की प्रणाली के अनुरूप एक तार्किक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करता है। n पैरामीटर संख्या निर्दिष्ट करता है फ़ंक्शन चरमज़ा। परिणामस्वरूप, सॉल्वइक्वेशंस फ़ंक्शन तार्किक फ़ंक्शन के समाधानों की संख्या लौटाता है, यानी, उन सेटों की संख्या जिन पर फ़ंक्शन सत्य का मूल्यांकन करता है।

स्कूली बच्चों के लिए यह आम बात है जब किसी फ़ंक्शन F(x) में एक इनपुट पैरामीटर x होता है जो अंकगणित, स्ट्रिंग या तार्किक प्रकार का एक चर होता है। हमारे मामले में, अधिक शक्तिशाली डिज़ाइन का उपयोग किया जाता है। सॉल्वइक्वेशंस फ़ंक्शन उच्च-क्रम वाले फ़ंक्शंस को संदर्भित करता है - प्रकार F(f) के फ़ंक्शंस, जिनके पैरामीटर न केवल सरल चर हो सकते हैं, बल्कि फ़ंक्शंस भी हो सकते हैं।

सॉल्वइक्वेशंस फ़ंक्शन के पैरामीटर के रूप में पारित किए जा सकने वाले फ़ंक्शंस का वर्ग निम्नानुसार निर्दिष्ट किया गया है:

प्रतिनिधि बूल डीएफ(बूल वर्);

यह वर्ग उन सभी कार्यों का स्वामी है जो एक पैरामीटर के रूप में vars सरणी द्वारा निर्दिष्ट तार्किक चर के मानों के एक सेट को पारित करते हैं। परिणाम एक बूलियन मान है जो इस सेट पर फ़ंक्शन के मान का प्रतिनिधित्व करता है।

अंत में, यहां एक प्रोग्राम है जो तार्किक समीकरणों की कई प्रणालियों को हल करने के लिए सॉल्वइक्वेशंस फ़ंक्शन का उपयोग करता है। SolveEqations फ़ंक्शन नीचे दिए गए प्रोग्रामकॉमन वर्ग का हिस्सा है:

क्लास प्रोग्रामकॉमन

प्रतिनिधि बूल डीएफ(बूल वर्);

स्थिर शून्य मुख्य (स्ट्रिंग आर्ग)

कंसोल.राइटलाइन ("और फ़ंक्शंस -" +

समीकरणों को हल करें(FunAnd, 2));

कंसोल.राइटलाइन ("फ़ंक्शन में 51 समाधान हैं -" +

समीकरणों को हल करें(Fun51, 5));

कंसोल.राइटलाइन ("फ़ंक्शन में 53 समाधान हैं -" +

समीकरणों को हल करें(Fun53, 10));

स्थैतिक बूल फ़नएंड(बूल संस्करण)

वापसी संस्करण && संस्करण;

स्टेटिक बूल फ़न51(बूल वर्ज़)

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

स्टेटिक बूल फ़न53(बूल संस्करण)

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && (!((vars == vars) || (vars == vars)));

इस कार्यक्रम के समाधान परिणाम इस प्रकार हैं:

स्वतंत्र कार्य के लिए 10 कार्य

1. तीन कार्यों में से कौन सा समतुल्य है:
   1. (एक्स → वाई) ¬Y
   2. ¬(X ˅ ¬Y) ˄ (X → ¬Y)
   3. ¬X ˄Y
2. सत्य तालिका का एक अंश दिया गया है:

एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	एक्स 4	एफ
1	0	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	1	0	0

यह टुकड़ा तीन कार्यों में से किससे मेल खाता है:

1. (एक्स 1 ¬एक्स 2) ˄ (एक्स 3 → एक्स 4)
2. (एक्स 1 → एक्स 3) ˄ एक्स 2 ˅ एक्स 4
3. एक्स 1 ˄ एक्स 2 ˅ (एक्स 3 → (एक्स 1 ˅ एक्स 4))
4. जूरी में तीन लोग शामिल हैं. निर्णय तब किया जाता है जब जूरी का अध्यक्ष इसके लिए वोट करता है, जिसे जूरी के कम से कम एक सदस्य का समर्थन प्राप्त होता है। अन्यथा, कोई निर्णय नहीं लिया जाता. एक तार्किक कार्य का निर्माण करें जो निर्णय लेने की प्रक्रिया को औपचारिक बनाता है।
5. यदि चार सिक्के उछालने पर तीन बार चित आता है तो X, Y पर जीत जाता है। एक तार्किक फ़ंक्शन को परिभाषित करें जो एक्स के भुगतान का वर्णन करता है।
6. एक वाक्य में शब्दों को एक से शुरू करके क्रमांकित किया जाता है। यदि निम्नलिखित नियम पूरे होते हैं तो एक वाक्य को सही ढंग से निर्मित माना जाता है:
   1. यदि एक सम संख्या वाला शब्द एक स्वर के साथ समाप्त होता है, तो अगला शब्द, यदि यह मौजूद है, तो स्वर से शुरू होना चाहिए।
   2. यदि एक विषम संख्या वाला शब्द एक व्यंजन के साथ समाप्त होता है, तो अगला शब्द, यदि वह मौजूद है, तो एक व्यंजन के साथ शुरू होना चाहिए और एक स्वर के साथ समाप्त होना चाहिए।
      निम्नलिखित में से कौन सा वाक्य सही ढंग से बना है:
   3. माँ ने माशा को साबुन से धोया।
   4. एक नेता हमेशा एक आदर्श होता है.
   5. सत्य अच्छा है, लेकिन खुशी बेहतर है.
7. समीकरण के कितने हल हैं:
   (ए ˄ ¬ बी) ˅ (¬ए ˄ बी) → (सी ˄ डी) = 1
8. समीकरण के सभी समाधान सूचीबद्ध करें:
   (ए → बी) → सी = 0
9. निम्नलिखित समीकरण प्रणाली के कितने समाधान हैं:
   एक्स 0 → एक्स 1 ˄ एक्स 1 → एक्स 2 = 1
   एक्स 2 → एक्स 3 ˄ एक्स 3 → एक्स 4 = 1
   एक्स 5 → एक्स 6 ˄ एक्स 6 → एक्स 7 = 1
   एक्स 7 → एक्स 8 ˄ एक्स 8 → एक्स 9 = 1
   एक्स 0 → एक्स 5 = 1
10. समीकरण के कितने हल हैं:
    ((((एक्स 0 → एक्स 1) → एक्स 2) → एक्स 3) →एक्स 4) →एक्स 5 = 1

समस्याओं के उत्तर:

1. फलन b और c समतुल्य हैं।
2. टुकड़ा फ़ंक्शन बी से मेल खाता है।
3. जब जूरी का अध्यक्ष निर्णय के पक्ष में वोट करता है तो तार्किक चर P को मान 1 लेने दें। वेरिएबल एम 1 और एम 2 जूरी सदस्यों की राय का प्रतिनिधित्व करते हैं। सकारात्मक निर्णय लेने को निर्दिष्ट करने वाला तार्किक कार्य इस प्रकार लिखा जा सकता है:
   पी ˄ (एम 1 ˅ एम 2)
4. मान लीजिए तार्किक चर P i का मान 1 है जब i-वां सिक्का उछालकर सिर पर गिरता है। तार्किक फ़ंक्शन जो भुगतान एक्स को निर्दिष्ट करता है उसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
   ¬((¬P 1 ˄ (¬P 2 ˅ ¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
   (¬P 2 ˄ (¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
   (¬P 3 ˄ ¬P 4))
5. वाक्य बी.
6. समीकरण के 3 समाधान हैं: (a = 1; b = 1; c = 0); (ए = 0; बी = 0; सी = 0); (ए = 0; बी = 1; सी = 0)

तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियाँ

आप तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, सत्य तालिका का उपयोग करके (यदि चर की संख्या बहुत बड़ी नहीं है) या निर्णय वृक्ष का उपयोग करके, पहले प्रत्येक समीकरण को सरल बना लें।

1. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि.

नए चर पेश करने से आप समीकरणों की प्रणाली को सरल बना सकते हैं, जिससे अज्ञात की संख्या कम हो जाती है।नये चर एक दूसरे से स्वतंत्र होने चाहिए. सरलीकृत प्रणाली को हल करने के बाद, हमें मूल चर पर वापस लौटना होगा।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके इस पद्धति के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

समाधान:

आइए नए वेरिएबल का परिचय दें: A=(X1≡ X2); बी=(एक्स3 ≡ एक्स4); С=(X5 ≡ X6); डी=(X7 ≡ X8); ई=(X9 ≡ X10).

(ध्यान दें! प्रत्येक चर x1, x2, ..., x10 को नए में से केवल एक में शामिल किया जाना चाहिए चर ए, बी, सी, डी, ई, यानी नए चर एक दूसरे से स्वतंत्र हैं)।

तब समीकरणों की प्रणाली इस तरह दिखेगी:

(ए ∧ बी) ∨ (¬ए ∧ ¬बी)=0

(बी ∧ सी) ∨ (¬बी ∧ ¬सी)=0

(सी ∧ डी) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

आइए परिणामी प्रणाली के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:

समीकरण A=0 पर विचार करें, अर्थात्। (एक्स1≡ X2)=0. इसकी 2 जड़ें हैं:

		X1 ≡ X2

उसी तालिका से यह देखा जा सकता है कि समीकरण A=1 के भी 2 मूल हैं। आइए निर्णय वृक्ष पर जड़ों की संख्या व्यवस्थित करें:

एक शाखा के समाधानों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको प्रत्येक स्तर पर समाधानों की संख्या को गुणा करना होगा। बाईं शाखा में 2 हैं⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 समाधान; दाहिनी शाखा में भी 32 समाधान हैं। वे। पूरे सिस्टम में 32+32=64 समाधान हैं।

उत्तर: 64.

2. तर्क करने की विधि.

तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की कठिनाई एक पूर्ण निर्णय वृक्ष की बोझिलता में निहित है। तर्क विधि आपको पूरे पेड़ का निर्माण करने की अनुमति नहीं देती है, बल्कि यह समझने की अनुमति देती है कि इसकी कितनी शाखाएँ होंगी। आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके इस पद्धति को देखें।

उदाहरण 1. तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

उत्तर में चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है, जिसके लिए समानता की यह प्रणाली संतुष्ट है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान :

पहले और दूसरे समीकरण में स्वतंत्र चर होते हैं जो तीसरी स्थिति से संबंधित होते हैं। आइए पहले और दूसरे समीकरण के लिए एक समाधान वृक्ष बनाएं।

पहले और दूसरे समीकरणों की प्रणाली के लिए एक समाधान वृक्ष का प्रतिनिधित्व करने के लिए, पहले वृक्ष की प्रत्येक शाखा को चर के लिए एक वृक्ष के साथ जारी रखा जाना चाहिएपर . इस प्रकार निर्मित वृक्ष में 36 शाखाएँ होंगी। इनमें से कुछ शाखाएँ प्रणाली के तीसरे समीकरण को संतुष्ट नहीं करती हैं। आइए पहले पेड़ पर पेड़ की शाखाओं की संख्या अंकित करें"य" , जो तीसरे समीकरण को संतुष्ट करता है:

आइए समझाएं: तीसरी शर्त को पूरा करने के लिए, जब x1 = 0, y1 = 1 होना चाहिए, यानी पेड़ की सभी शाखाएं"एक्स" , जहां x1=0 को पेड़ से केवल एक शाखा के साथ जारी रखा जा सकता है"य" . और केवल पेड़ की एक शाखा के लिए"एक्स" (दाएं) पेड़ की सभी शाखाएं फिट हैं"य"। इस प्रकार, संपूर्ण तंत्र के संपूर्ण वृक्ष में 11 शाखाएँ होती हैं। प्रत्येक शाखा समीकरणों की मूल प्रणाली के एक समाधान का प्रतिनिधित्व करती है। इसका मतलब है कि पूरे सिस्टम में 11 समाधान हैं।

उत्तर: 11.

उदाहरण 2. समीकरणों की प्रणाली के कितने भिन्न समाधान हैं?

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)= 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10)= 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10)= 1

(X1 ≡ X10) = 0

जहां x1, x2, …, x10 तार्किक चर हैं? उत्तर में परिवर्तनीय मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता रखती है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान : आइए सिस्टम को सरल बनाएं. आइए पहले समीकरण के भाग के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

		X1 ∧ X10	¬X1 ∧ ¬X10	(X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)

अंतिम कॉलम पर ध्यान दें, यह कार्रवाई के परिणाम से मेल खाता है X1 ≡ X10.

X1 ≡ X10

सरलीकरण के बाद हमें मिलता है:

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1

(X1 ≡ X10) = 0

अंतिम समीकरण पर विचार करें:(X1 ≡ X10) = 0, अर्थात X1 को x10 से मेल नहीं खाना चाहिए. पहला समीकरण 1 के बराबर होने के लिए, समानता सत्य होनी चाहिए(X1 ≡ X2)=1, यानी X1 को x2 से मेल खाना चाहिए.

आइए पहले समीकरण के लिए एक समाधान वृक्ष बनाएं:

दूसरे समीकरण पर विचार करें: x10=1 के लिए और x2=0 के लिए कोष्ठक1 के बराबर होना चाहिए (यानी x2 x3 के साथ मेल खाता है); x10=0 के लिए और x2=1 ब्रैकेट के लिए(X2 ≡ X10)=0, जिसका अर्थ है ब्रैकेट (X2 ≡ X3) 1 के बराबर होना चाहिए (अर्थात् x2, x3 के समान है):

इस प्रकार तर्क करते हुए, हम सभी समीकरणों के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाते हैं:

इस प्रकार, समीकरणों की प्रणाली के केवल 2 समाधान हैं।

उत्तर: 2.

उदाहरण 3.

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

समाधान:

आइए पहले समीकरण के लिए एक समाधान वृक्ष बनाएं:

दूसरे समीकरण पर विचार करें:

• जब x1=0 : दूसरा और तीसरा कोष्ठक 0 के बराबर होगा; प्रथम कोष्ठक 1 के बराबर होने के लिए, y1=1, z1=1 (अर्थात इस मामले में - 1 समाधान)
• जब x1=1 : पहला कोष्ठक 0 के बराबर होगा; दूसराया तीसरा कोष्ठक 1 के बराबर होना चाहिए; दूसरा ब्रैकेट 1 के बराबर होगा जब y1=0 और z1=1; तीसरा ब्रैकेट 1 के बराबर होगा जब y1=1 और z1=0 (यानी इस मामले में - 2 समाधान)।

इसी प्रकार शेष समीकरणों के लिए भी। आइए प्रत्येक ट्री नोड के लिए परिणामी समाधानों की संख्या नोट करें:

प्रत्येक शाखा के लिए समाधानों की संख्या जानने के लिए, प्रत्येक शाखा के लिए परिणामी संख्याओं को अलग-अलग गुणा करें (बाएं से दाएं)।

1 शाखा: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 समाधान

शाखा 2: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 =2 समाधान

तीसरी शाखा: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 =4 समाधान

चौथी शाखा: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8 समाधान

5वीं शाखा: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 समाधान

आइए परिणामी संख्याओं को जोड़ें: कुल मिलाकर 31 समाधान हैं।

उत्तर: 31.

3. जड़ों की संख्या में प्राकृतिक वृद्धि

कुछ प्रणालियों में, अगले समीकरण के मूलों की संख्या पिछले समीकरण के मूलों की संख्या पर निर्भर करती है।

उदाहरण 1. तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

आइए सरल करें पहला समीकरण:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). तब सिस्टम यह रूप लेगा:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

वगैरह।

प्रत्येक अगले समीकरण में पिछले वाले की तुलना में 2 अधिक जड़ें हैं।

4 समीकरण के 12 मूल हैं;

समीकरण 5 में 14 मूल हैं

समीकरण 8 में 20 मूल हैं।

उत्तर: 20 जड़ें.

कभी-कभी जड़ों की संख्या फाइबोनैचि नियम के अनुसार बढ़ती है।

तार्किक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए रचनात्मक दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

मान लीजिए n चरों का एक तार्किक फलन है। तार्किक समीकरण इस प्रकार दिखता है:

स्थिरांक C का मान 1 या 0 है।

एक तार्किक समीकरण में 0 से लेकर विभिन्न समाधान हो सकते हैं। यदि C, 1 के बराबर है, तो समाधान सत्य तालिका से चर के वे सभी सेट हैं जिनके लिए फ़ंक्शन F मान सत्य (1) लेता है। शेष सेट शून्य के बराबर C वाले समीकरण के समाधान हैं। आप हमेशा केवल निम्न प्रकार के समीकरणों पर विचार कर सकते हैं:

दरअसल, समीकरण दिया जाए:

इस मामले में, हम समतुल्य समीकरण पर जा सकते हैं:

K तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

किसी सिस्टम का समाधान चरों का एक सेट होता है जिस पर सिस्टम के सभी समीकरण संतुष्ट होते हैं। तार्किक कार्यों के संदर्भ में, तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करने के लिए, किसी को एक सेट ढूंढना चाहिए जिस पर तार्किक फ़ंक्शन Ф सत्य है, जो मूल कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है:

यदि चरों की संख्या छोटी है, उदाहरण के लिए, 5 से कम, तो फ़ंक्शन के लिए एक सत्य तालिका बनाना मुश्किल नहीं है, जो हमें यह कहने की अनुमति देती है कि सिस्टम में कितने समाधान हैं और कौन से सेट हैं जो समाधान प्रदान करते हैं।

तार्किक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने पर कुछ यूएसई समस्याओं में, चर की संख्या 10 तक पहुंच जाती है। तब सत्य तालिका का निर्माण लगभग असंभव कार्य हो जाता है। समस्या के समाधान के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली के लिए, गणना के अलावा कोई सामान्य विधि नहीं है जो ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है।

परीक्षा में प्रस्तावित समस्याओं में, समाधान आमतौर पर समीकरणों की प्रणाली की बारीकियों को ध्यान में रखने पर आधारित होता है। मैं दोहराता हूं, चर के एक सेट के लिए सभी विकल्पों को आज़माने के अलावा, समस्या को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है। समाधान सिस्टम की विशिष्टताओं के आधार पर बनाया जाना चाहिए। तर्क के ज्ञात नियमों का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली का प्रारंभिक सरलीकरण करना अक्सर उपयोगी होता है। इस समस्या के समाधान के लिए एक अन्य उपयोगी तकनीक इस प्रकार है। हम सभी सेटों में रुचि नहीं रखते हैं, बल्कि केवल उन सेटों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का मान 1 है। एक पूर्ण सत्य तालिका बनाने के बजाय, हम इसका एनालॉग - एक बाइनरी निर्णय वृक्ष बनाएंगे। इस वृक्ष की प्रत्येक शाखा एक समाधान से मेल खाती है और एक सेट निर्दिष्ट करती है जिस पर फ़ंक्शन का मान 1 है। निर्णय वृक्ष में शाखाओं की संख्या समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या से मेल खाती है।

मैं कई समस्याओं के उदाहरणों का उपयोग करके समझाऊंगा कि बाइनरी निर्णय वृक्ष क्या है और इसे कैसे बनाया जाता है।

समस्या 18

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो दो समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं?

उत्तर: सिस्टम में 36 विभिन्न समाधान हैं।

समाधान: समीकरणों की प्रणाली में दो समीकरण शामिल हैं। आइए 5 चरों के आधार पर पहले समीकरण के समाधानों की संख्या ज्ञात करें -। पहले समीकरण को बदले में 5 समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। जैसा कि दिखाया गया है, समीकरणों की प्रणाली वास्तव में तार्किक कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करती है। विपरीत कथन भी सत्य है - स्थितियों के संयोजन को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है।

आइए निहितार्थ () के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं - संयोजन का पहला पद, जिसे पहला समीकरण माना जा सकता है। इस पेड़ का चित्रमय प्रतिनिधित्व इस प्रकार दिखता है

समीकरण में चरों की संख्या के अनुसार पेड़ में दो स्तर होते हैं। पहला स्तर पहले चर का वर्णन करता है। इस स्तर की दो शाखाएँ इस चर के संभावित मानों को दर्शाती हैं - 1 और 0. दूसरे स्तर पर, पेड़ की शाखाएँ चर के केवल उन संभावित मानों को दर्शाती हैं जिनके लिए समीकरण सत्य का मूल्यांकन करता है। चूँकि समीकरण एक निहितार्थ निर्दिष्ट करता है, एक शाखा जिस पर मान 1 है, के लिए आवश्यक है कि इस शाखा पर 1 का मान हो। एक शाखा जिस पर मान 0 है वह 0 और 1 के बराबर मान वाली दो शाखाएँ उत्पन्न करती है। पेड़ तीन समाधान निर्दिष्ट करता है, जिनमें से निहितार्थ मान 1 लेता है। प्रत्येक शाखा पर, समीकरण का समाधान देते हुए, चर मानों का एक संबंधित सेट लिखा जाता है।

ये सेट हैं: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

आइए निम्नलिखित समीकरण, निम्नलिखित निहितार्थ को जोड़कर निर्णय वृक्ष का निर्माण जारी रखें। हमारी समीकरण प्रणाली की विशिष्टता यह है कि प्रणाली का प्रत्येक नया समीकरण पिछले समीकरण से एक चर का उपयोग करता है, एक नया चर जोड़ता है। चूँकि वेरिएबल का मान पहले से ही ट्री में है, तो सभी शाखाओं पर जहाँ वेरिएबल का मान 1 है, वेरिएबल का मान भी 1 होगा। ऐसी शाखाओं के लिए, ट्री का निर्माण अगले स्तर तक जारी रहता है, लेकिन कोई नई शाखा नहीं दिखती. एक एकल शाखा जहां चर का मान 0 है, दो शाखाओं में विभाजित होगी जहां चर को 0 और 1 मान प्राप्त होंगे। इस प्रकार, एक नए समीकरण का प्रत्येक जोड़, इसकी विशिष्टता को देखते हुए, एक समाधान जोड़ता है। मूल पहला समीकरण:

6 समाधान हैं. इस समीकरण के लिए संपूर्ण निर्णय वृक्ष इस प्रकार दिखता है:

हमारे सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले के समान है:

अंतर केवल इतना है कि समीकरण में Y चर का उपयोग किया गया है। इस समीकरण के भी 6 समाधान हैं। चूँकि प्रत्येक परिवर्तनशील समाधान को प्रत्येक परिवर्तनशील समाधान के साथ जोड़ा जा सकता है, समाधानों की कुल संख्या 36 है।

कृपया ध्यान दें कि निर्मित निर्णय वृक्ष न केवल समाधानों की संख्या (शाखाओं की संख्या के अनुसार) देता है, बल्कि वृक्ष की प्रत्येक शाखा पर स्वयं लिखे गए समाधान भी देता है।

समस्या 19

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

यह कार्य पिछले कार्य का एक संशोधन है. अंतर यह है कि एक और समीकरण जोड़ा जाता है जो चर X और Y से संबंधित होता है।

समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि जब इसका मान 1 है (ऐसा एक समाधान मौजूद है), तो इसका मान 1 है। इस प्रकार, एक सेट है जिस पर और 1 का मान है। जब 0 के बराबर है, तो यह हो सकता है 0 और 1 दोनों का कोई भी मान है। इसलिए, 0 के बराबर प्रत्येक सेट, और ऐसे 5 सेट हैं, वेरिएबल Y वाले सभी 6 सेटों से मेल खाते हैं। इसलिए, समाधान की कुल संख्या 31 है।

समस्या 20

समाधान: बुनियादी तुल्यताओं को याद रखते हुए, हम अपना समीकरण इस प्रकार लिखते हैं:

निहितार्थों की चक्रीय श्रृंखला का अर्थ है कि चर समान हैं, इसलिए हमारा समीकरण समीकरण के बराबर है:

इस समीकरण के दो समाधान हैं जब सभी 1 या 0 हों।

समस्या 21

समीकरण के कितने हल हैं:

समाधान: समस्या 20 की तरह, हम चक्रीय निहितार्थ से पहचान की ओर बढ़ते हैं, समीकरण को इस रूप में फिर से लिखते हैं:

आइए इस समीकरण के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:

समस्या 22

निम्नलिखित समीकरण प्रणाली के कितने समाधान हैं?

आप चयन कर सकते हैं विभिन्न तरीकेतार्किक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। यह एक समीकरण में कमी, एक सत्य तालिका का निर्माण और अपघटन है।

काम:तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

आइए विचार करें एक समीकरण में कमी की विधि . इस पद्धति में तार्किक समीकरणों को बदलना शामिल है ताकि उनका दाहिना पक्ष सत्य मान (अर्थात, 1) के बराबर हो। ऐसा करने के लिए, तार्किक निषेध ऑपरेशन का उपयोग करें। फिर, यदि समीकरणों में जटिल तार्किक संक्रियाएं हैं, तो हम उन्हें बुनियादी संक्रियाओं से बदल देते हैं: "और", "या", "नहीं"। अगला कदम तार्किक ऑपरेशन "AND" का उपयोग करके समीकरणों को सिस्टम के समकक्ष एक में संयोजित करना है। इसके बाद, आपको तार्किक बीजगणित के नियमों के आधार पर परिणामी समीकरण को बदलना चाहिए और सिस्टम के लिए एक विशिष्ट समाधान प्राप्त करना चाहिए।

समाधान 1:पहले समीकरण के दोनों पक्षों पर व्युत्क्रम लागू करें:

आइए बुनियादी संक्रियाओं "या" और "नहीं" के माध्यम से निहितार्थ की कल्पना करें:

चूँकि समीकरणों के बाएँ पक्ष 1 के बराबर हैं, हम उन्हें "AND" ऑपरेशन का उपयोग करके एक समीकरण में जोड़ सकते हैं जो मूल प्रणाली के बराबर है:

हम डी मॉर्गन के नियम के अनुसार पहला ब्रैकेट खोलते हैं और प्राप्त परिणाम को बदलते हैं:

परिणामी समीकरण का एक ही हल है: A =0, B=0 और C=1.

अगला तरीका है सत्य तालिकाओं का निर्माण . चूँकि तार्किक मात्राओं के केवल दो मान होते हैं, आप आसानी से सभी विकल्पों पर जा सकते हैं और उनमें से वे खोज सकते हैं जिनके लिए समीकरणों की दी गई प्रणाली संतुष्ट होती है। यानी, हम सिस्टम के सभी समीकरणों के लिए एक सामान्य सत्य तालिका बनाते हैं और आवश्यक मानों के साथ एक रेखा ढूंढते हैं।

समाधान 2:आइए सिस्टम के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

0	0	1	1	0	1

जिस पंक्ति के लिए कार्य की शर्तें पूरी की जाती हैं उसे बोल्ड में हाइलाइट किया गया है। तो A=0, B=0 और C=1।

रास्ता सड़न . विचार यह है कि किसी एक चर का मान निश्चित किया जाए (इसे 0 या 1 के बराबर सेट किया जाए) और इस प्रकार समीकरणों को सरल बनाया जाए। फिर आप दूसरे वेरिएबल का मान ठीक कर सकते हैं, इत्यादि।

समाधान 3:मान लीजिए A = 0, तो:

पहले समीकरण से हमें B = 0, और दूसरे से - C = 1 मिलता है। सिस्टम का समाधान: ए = 0, बी = 0 और सी = 1।

कंप्यूटर विज्ञान में एकीकृत राज्य परीक्षा में, तार्किक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या निर्धारित करना अक्सर आवश्यक होता है, स्वयं समाधान ढूंढे बिना इसके लिए कुछ निश्चित विधियां भी होती हैं; तार्किक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या ज्ञात करने का मुख्य तरीका हैचरों को प्रतिस्थापित करना. सबसे पहले, आपको तार्किक बीजगणित के नियमों के आधार पर प्रत्येक समीकरण को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है, और फिर समीकरणों के जटिल भागों को नए चर के साथ बदलें और समाधानों की संख्या निर्धारित करें नई प्रणाली. इसके बाद, प्रतिस्थापन पर वापस लौटें और इसके लिए समाधानों की संख्या निर्धारित करें।

काम:समीकरण (A →B) + (C →D) = 1 के कितने समाधान हैं? जहाँ A, B, C, D तार्किक चर हैं।

समाधान:आइए नए चरों का परिचय दें: X = A →B और Y = C →D। नए को ध्यान में रखते हुए परिवर्तनशील समीकरणइस रूप में लिखा जाएगा: X + Y = 1.

वियोजन तीन मामलों में सत्य है: (0;1), (1;0) और (1;1), जबकि एक्स और वाई निहितार्थ हैं, अर्थात, यह तीन मामलों में सत्य है और एक में गलत है। इसलिए, मामला (0;1) मापदंडों के तीन संभावित संयोजनों के अनुरूप होगा। केस (1;1) - मूल समीकरण के मापदंडों के नौ संभावित संयोजनों के अनुरूप होगा। इसका मतलब है कि कुल संभव समाधान दिया गया समीकरण 3+9=15.

तार्किक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या निर्धारित करने का अगला तरीका है द्विआधारी वृक्ष. आइए एक उदाहरण का उपयोग करके इस विधि को देखें।

काम:तार्किक समीकरणों की प्रणाली में कितने भिन्न समाधान होते हैं:

समीकरणों की दी गई प्रणाली समीकरण के समतुल्य है:

(एक्स 1 → एक्स 2 )*(एक्स 2 → एक्स 3 )*…*(एक्स एम -1 → एक्स एम) = 1.

चलिए मान लेते हैं एक्स 1 - सत्य है, तो पहले समीकरण से हमें वह प्राप्त होता है एक्स 2 यह भी सच है, दूसरे से - एक्स 3 =1, और इसी तरह जब तक एक्स एम= 1. इसका मतलब है कि m इकाइयों का सेट (1; 1; …; 1) सिस्टम का एक समाधान है। अभी रहने दो एक्स 1 =0, तो पहले समीकरण से हमें प्राप्त होता है एक्स 2 =0 या एक्स 2 =1.

कब एक्स 2 सच है, हम पाते हैं कि शेष चर भी सत्य हैं, यानी, सेट (0; 1; ...; 1) सिस्टम का एक समाधान है। पर एक्स 2 =0 हमें वह मिल गया एक्स 3 =0 या एक्स 3 =, इत्यादि. अंतिम चर को जारी रखते हुए, हम पाते हैं कि समीकरण के समाधान चर के निम्नलिखित सेट हैं (एम +1 समाधान, प्रत्येक समाधान में चर के एम मान शामिल हैं):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

बाइनरी ट्री का निर्माण करके इस दृष्टिकोण को अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। संभावित समाधानों की संख्या निर्मित वृक्ष की विभिन्न शाखाओं की संख्या है। यह देखना आसान है कि यह m +1 के बराबर है।

	पेड़	समाधानों की संख्या
एक्स 1
एक्स 2
एक्स 3
		…

तर्क करने में कठिनाई होने पर अनुसंधान और निर्माणजिन समाधानों से आप समाधान खोज सकते हैंका उपयोग करते हुए सत्य सारणी, एक या दो समीकरणों के लिए।

आइए समीकरणों की प्रणाली को इस रूप में फिर से लिखें:

और आइए एक समीकरण के लिए अलग से एक सत्य तालिका बनाएं:

एक्स 1	एक्स 2	(एक्स 1 → एक्स 2)

आइए दो समीकरणों के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	एक्स 1 → एक्स 2	एक्स 2 → एक्स 3	(एक्स 1 → एक्स 2) * (एक्स 2 → एक्स 3)