किसी संख्या के मूल की गणना कैसे करें. त्रुटियों के बिना एकीकृत राज्य परीक्षा। हम तेजी से और बिना कैलकुलेटर के गिनती करते हैं

गणित और भौतिकी पाठ्यक्रम से विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, विद्यार्थियों और छात्रों को अक्सर दूसरी, तीसरी या एनवीं डिग्री की जड़ें निकालने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है। बेशक, सदी में सूचान प्रौद्योगिकीकैलकुलेटर का उपयोग करके इस समस्या को हल करना कठिन नहीं होगा। हालाँकि, ऐसी स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं जब इलेक्ट्रॉनिक सहायक का उपयोग करना असंभव होता है।

उदाहरण के लिए, कई परीक्षाएं आपको इलेक्ट्रॉनिक्स लाने की अनुमति नहीं देती हैं। इसके अलावा, हो सकता है कि आपके पास कैलकुलेटर न हो। ऐसे मामलों में, मैन्युअल रूप से रेडिकल की गणना करने के लिए कम से कम कुछ तरीकों को जानना उपयोगी है।

जड़ों की गणना करने का सबसे सरल तरीका है एक विशेष तालिका का उपयोग करना. यह क्या है और इसका सही उपयोग कैसे करें?

तालिका का उपयोग करके, आप 10 से 99 तक किसी भी संख्या का वर्ग ज्ञात कर सकते हैं। तालिका की पंक्तियों में दहाई का मान होता है, और स्तंभों में इकाइयों का मान होता है। पंक्ति और स्तंभ के प्रतिच्छेदन वाले कक्ष में एक वर्ग होता है दोहरे अंक वाली संख्या. 63 के वर्ग की गणना करने के लिए, आपको 6 मान वाली एक पंक्ति और 3 मान वाला एक स्तंभ ढूंढना होगा। चौराहे पर हमें संख्या 3969 वाला एक सेल मिलेगा।

चूंकि मूल निकालना वर्ग बनाने की विपरीत क्रिया है, इस क्रिया को करने के लिए आपको इसका विपरीत करना होगा: पहले उस संख्या के साथ सेल ढूंढें जिसके रेडिकल की आप गणना करना चाहते हैं, फिर उत्तर निर्धारित करने के लिए कॉलम और पंक्ति के मानों का उपयोग करें . उदाहरण के तौर पर गणना पर विचार करें वर्गमूल 169.

हम तालिका में इस संख्या के साथ एक सेल पाते हैं, क्षैतिज रूप से हम दहाई - 1 निर्धारित करते हैं, लंबवत रूप से हम इकाइयाँ पाते हैं - 3। उत्तर: √169 = 13।

इसी प्रकार, आप उपयुक्त तालिकाओं का उपयोग करके घन और nवें मूल की गणना कर सकते हैं।

विधि का लाभ इसकी सादगी और अतिरिक्त गणनाओं की अनुपस्थिति है। नुकसान स्पष्ट हैं: विधि का उपयोग केवल सीमित संख्याओं के लिए किया जा सकता है (जिस संख्या के लिए मूल पाया जाता है वह 100 से 9801 तक की सीमा में होना चाहिए)। इसके अलावा, यदि दी गई संख्या तालिका में नहीं है तो यह काम नहीं करेगा।

मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

यदि वर्गों की तालिका हाथ में नहीं है या उसकी सहायता से मूल ज्ञात करना असंभव है, तो आप प्रयास कर सकते हैं मूल के नीचे की संख्या को इसमें विघटित करें प्रमुख कारक . अभाज्य गुणनखंड वे होते हैं जो पूरी तरह से (शेषफल के बिना) केवल स्वयं या एक से विभाज्य हो सकते हैं। उदाहरण 2, 3, 5, 7, 11, 13 आदि हो सकते हैं।

आइए एक उदाहरण के रूप में √576 का उपयोग करके मूल की गणना देखें। आइए इसे प्रमुख कारकों में विभाजित करें। हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3²। जड़ों की मूल संपत्ति √a² = a का उपयोग करके, हम जड़ों और वर्गों से छुटकारा पा लेंगे, और फिर उत्तर की गणना करेंगे: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24।

यदि किसी गुणक का अपना युग्म न हो तो क्या करें? उदाहरण के लिए, √54 की गणना पर विचार करें। गुणनखंडन के बाद, हम परिणाम को निम्नलिखित रूप में प्राप्त करते हैं: √54 = √(2 ∙ 3 ​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6। गैर-हटाने योग्य भाग को जड़ के नीचे छोड़ा जा सकता है। अधिकांश ज्यामिति और बीजगणित समस्याओं के लिए, इसे अंतिम उत्तर माना जाएगा। लेकिन अगर अनुमानित मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है, तो आप उन तरीकों का उपयोग कर सकते हैं जिनकी चर्चा नीचे की जाएगी।

बगुले की विधि

जब आपको कम से कम लगभग यह जानने की आवश्यकता हो कि निकाली गई जड़ किसके बराबर है (यदि पूर्णांक मान प्राप्त करना असंभव है) तो क्या करें? हेरोन विधि का उपयोग करके एक त्वरित और काफी सटीक परिणाम प्राप्त किया जाता है. इसका सार एक अनुमानित सूत्र का उपयोग करना है:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

जहाँ R वह संख्या है जिसके मूल की गणना करने की आवश्यकता है, a निकटतम संख्या है जिसका मूल मान ज्ञात है।

आइए देखें कि यह विधि व्यवहार में कैसे काम करती है और मूल्यांकन करें कि यह कितनी सटीक है। आइए गणना करें कि √111 किसके बराबर है। 111 के निकटतम संख्या, जिसका मूल ज्ञात है, 121 है। इस प्रकार, आर = 111, ए = 121। मानों को सूत्र में रखें:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

आइए अब विधि की सटीकता की जाँच करें:

10.55² = 111.3025.

विधि की त्रुटि लगभग 0.3 थी। यदि विधि की सटीकता में सुधार की आवश्यकता है, तो आप पहले वर्णित चरणों को दोहरा सकते हैं:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

आइए गणना की सटीकता की जाँच करें:

10.536² = 111.0073.

सूत्र को दोबारा लागू करने के बाद, त्रुटि पूरी तरह से महत्वहीन हो गई।

दीर्घ विभाजन द्वारा मूल की गणना करना

वर्गमूल मान ज्ञात करने की यह विधि पिछली विधियों की तुलना में थोड़ी अधिक जटिल है। हालाँकि, यह कैलकुलेटर के बिना अन्य गणना विधियों में सबसे सटीक है.

मान लीजिए कि आपको दशमलव के 4 स्थानों तक सटीक वर्गमूल ज्ञात करने की आवश्यकता है। आइए एक मनमानी संख्या 1308.1912 के उदाहरण का उपयोग करके गणना एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

1. कागज की शीट को एक ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ 2 भागों में विभाजित करें, और फिर उसमें से दाईं ओर, शीर्ष किनारे से थोड़ा नीचे एक और रेखा खींचें। आइए संख्या को बाईं ओर लिखें, इसे 2 अंकों के समूहों में विभाजित करें, दाईं ओर ले जाएं और बाईं तरफअल्पविराम से. बायीं ओर का पहला अंक बिना जोड़े का हो सकता है। यदि संख्या के दाईं ओर चिह्न गायब है, तो आपको 0 जोड़ना चाहिए। हमारे मामले में, परिणाम 13 08.19 12 होगा।
2. आइए सर्वश्रेष्ठ चुनें बड़ी संख्या, जिसका वर्ग अंकों के पहले समूह से कम या उसके बराबर होगा। हमारे मामले में यह 3 है। आइए इसे ऊपर दाईं ओर लिखें; 3 परिणाम का पहला अंक है. नीचे दाईं ओर हम 3×3 = 9 दर्शाते हैं; बाद की गणनाओं के लिए इसकी आवश्यकता होगी। कॉलम में 13 से हम 9 घटाते हैं, हमें 4 शेष बचता है।
3. आइए शेषफल 4 को संख्याओं का अगला युग्म निर्दिष्ट करें; हमें 408 मिलता है।
4. ऊपर दाईं ओर की संख्या को 2 से गुणा करें और नीचे दाईं ओर _ x _ = जोड़कर इसे लिख लें। हमें 6_ x _ = प्राप्त होता है।
5. डैश के बजाय, आपको वही संख्या, 408 से कम या उसके बराबर, प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हमें 66 × 6 = 396 मिलता है। हम ऊपर दाईं ओर से 6 लिखते हैं, क्योंकि यह परिणाम का दूसरा अंक है। 408 में से 396 घटाने पर 12 प्राप्त होता है।
6. चलिए चरण 3-6 दोहराएँ। चूँकि नीचे खिसकाए गए अंक संख्या के भिन्नात्मक भाग में हैं, इसलिए 6 के बाद शीर्ष दाईं ओर एक दशमलव बिंदु रखना आवश्यक है। आइए दोहरे परिणाम को डैश के साथ लिखें: 72_ x _ =। एक उपयुक्त संख्या 1: 721×1 = 721 होगी। आइए इसे उत्तर के रूप में लिखें। आइए 1219 - 721 = 498 घटाएं।
7. आइए पिछले पैराग्राफ में दी गई क्रियाओं के क्रम को तीन बार और पूरा करें आवश्यक मात्रादशमलव स्थानों। यदि आगे की गणना के लिए पर्याप्त अक्षर नहीं हैं, तो आपको बाईं ओर की वर्तमान संख्या में दो शून्य जोड़ने होंगे।

परिणामस्वरूप, हमें उत्तर मिलता है: √1308.1912 ≈ 36.1689। यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग करके कार्रवाई की जांच करते हैं, तो आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि सभी संकेतों की सही पहचान की गई है।

बिटवाइज़ वर्गमूल गणना

विधि अत्यधिक सटीक है. इसके अलावा, यह काफी समझने योग्य है और इसमें सूत्रों को याद रखने या क्रियाओं के जटिल एल्गोरिदम की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि विधि का सार सही परिणाम का चयन करना है।

आइए संख्या 781 का मूल निकालें। आइए क्रियाओं के क्रम को विस्तार से देखें।

1. आइए जानें कि वर्गमूल मान का कौन सा अंक सबसे महत्वपूर्ण होगा। ऐसा करने के लिए, आइए 0, 10, 100, 1000 आदि का वर्ग करें और पता लगाएं कि उनमें से किसके बीच मूलांक स्थित है। हमें वह 10² मिलता है< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. आइए दहाई का मान चुनें. ऐसा करने के लिए, हम बारी-बारी से 10, 20, ..., 90 की घात तक बढ़ाएंगे जब तक कि हमें 781 से अधिक संख्या न मिल जाए। हमारे मामले के लिए, हमें 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 मिलता है। परिणाम n का मान 20 के भीतर होगा< n <30.
3. पिछले चरण के समान, इकाई अंक का मान चुना जाता है। आइए एक-एक करके 21.22, ..., 29 का वर्ग करें: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784। हम पाते हैं कि 27< n < 28.
4. प्रत्येक अगले अंक (दसवां, सौवां, आदि) की गणना उसी तरह की जाती है जैसे ऊपर दिखाया गया है। आवश्यक सटीकता प्राप्त होने तक गणनाएँ की जाती हैं।

वृत्त ने दिखाया कि आप किसी कॉलम में वर्गमूल कैसे निकाल सकते हैं। आप मनमाने परिशुद्धता के साथ मूल की गणना कर सकते हैं, इसके दशमलव अंकन में किसी भी संख्या में अंक पा सकते हैं, भले ही यह तर्कहीन हो। एल्गोरिदम तो याद आ गया, लेकिन सवाल बने रहे. यह स्पष्ट नहीं था कि यह विधि कहां से आई और इसने सही परिणाम क्यों दिया। यह किताबों में नहीं था, या शायद मैं ग़लत किताबों में देख रहा था। अंत में, जो कुछ मैं जानता हूं और आज कर सकता हूं, उसमें से अधिकांश की तरह, मैं इसे स्वयं लेकर आया हूं। मैं यहां अपना ज्ञान साझा करता हूं। वैसे, मुझे अभी भी नहीं पता कि एल्गोरिदम का औचित्य कहां दिया गया है)))

तो, पहले मैं आपको एक उदाहरण के साथ "सिस्टम कैसे काम करता है" बताता हूं, और फिर मैं समझाता हूं कि यह वास्तव में क्यों काम करता है।

आइए एक संख्या लें (संख्या "हवा से ली गई", यह बस दिमाग में आ गई)।

1. हम इसकी संख्याओं को जोड़ियों में विभाजित करते हैं: जो दशमलव बिंदु के बाईं ओर हैं उन्हें दाएं से बाएं दो समूह में रखा जाता है, और जो दाईं ओर हैं उन्हें बाएं से दाएं दो समूह में रखा जाता है। हम पाते हैं।

2. हम बायीं ओर की संख्याओं के पहले समूह से वर्गमूल निकालते हैं - हमारे मामले में यह है (यह स्पष्ट है कि सटीक मूल नहीं निकाला जा सकता है, हम एक ऐसी संख्या लेते हैं जिसका वर्ग जितना संभव हो सके हमारे द्वारा बनाई गई संख्या के करीब होता है) संख्याओं का पहला समूह, लेकिन उससे अधिक नहीं)। हमारे मामले में यह एक संख्या होगी. हम उत्तर लिखते हैं - यह मूल का सबसे महत्वपूर्ण अंक है।

3. हम उस संख्या का वर्ग करते हैं जो पहले से ही उत्तर में है - यह - और इसे बाईं ओर की संख्याओं के पहले समूह से - संख्या से घटा दें। हमारे मामले में यह बना हुआ है.

4. हम दाईं ओर दो संख्याओं का निम्नलिखित समूह निर्दिष्ट करते हैं: . हम उत्तर में पहले से मौजूद संख्या को से गुणा करते हैं और हमें प्राप्त होता है।

5. अब ध्यान से देखिये. हमें दाईं ओर की संख्या को एक अंक निर्दिष्ट करना होगा, और संख्या को उसी निर्दिष्ट अंक से गुणा करना होगा। परिणाम जितना संभव हो उतना करीब होना चाहिए, लेकिन फिर से इस संख्या से अधिक नहीं। हमारे मामले में, यह संख्या होगी, हम इसे उत्तर में दाईं ओर लिखते हैं। यह हमारे वर्गमूल के दशमलव अंकन में अगला अंक है।

6. उत्पाद घटाने पर हमें प्राप्त होता है।

7. इसके बाद, हम परिचित कार्यों को दोहराते हैं: हम अंकों के निम्नलिखित समूह को दाईं ओर निर्दिष्ट करते हैं, परिणामी संख्या से गुणा करते हैं > हम दाईं ओर एक अंक निर्दिष्ट करते हैं, जैसे कि जब इसे गुणा किया जाता है तो हमें इससे छोटी, लेकिन निकटतम संख्या मिलती है इसके लिए - यह दशमलव रूट नोटेशन में अगला अंक है।

गणना इस प्रकार लिखी जाएगी:

और अब वादा किया गया स्पष्टीकरण। एल्गोरिथम सूत्र पर आधारित है

टिप्पणियाँ: 50

1. 2 एंटोन:

   बहुत अव्यवस्थित और भ्रमित करने वाला. सभी चीज़ों को बिंदुवार व्यवस्थित करें और उन्हें क्रमांकित करें। प्लस: बताएं कि हम प्रत्येक क्रिया में कहां स्थानापन्न करते हैं आवश्यक मान. मैंने पहले कभी मूल मूल की गणना नहीं की है - मुझे इसका पता लगाना कठिन लगा।

2. 5 जूलिया:

3. 6 :

   यूलिया, 23 साल की इस समयदाईं ओर लिखा है, ये उत्तर में मूल के पहले दो (बाईं ओर) पहले से प्राप्त अंक हैं। एल्गोरिथम के अनुसार 2 से गुणा करें। हम बिंदु 4 में वर्णित चरणों को दोहराते हैं।

4. 7 ज़ज़:

   "6" में त्रुटि। 167 से हम गुणनफल 43 * 3 = 123 (129 नाडा) घटाते हैं, हमें 38 प्राप्त होता है।”
   मुझे समझ नहीं आ रहा कि दशमलव बिंदु के बाद यह 08 कैसे हो गया...

5. 9 फेडोटोव अलेक्जेंडर:

   और यहां तक ​​कि प्री-कैलकुलेटर युग में भी, हमें स्कूल में न केवल वर्ग पढ़ाया जाता था, बल्कि यह भी सिखाया जाता था क्युब जड़एक कॉलम में निकालें, लेकिन यह अधिक कठिन और श्रमसाध्य काम है। ब्रैडिस टेबल या स्लाइड नियम का उपयोग करना आसान था, जिसका अध्ययन हम पहले ही हाई स्कूल में कर चुके थे।

6. 10 :

   अलेक्जेंडर, आप सही हैं, आप इसे एक कॉलम और जड़ों में निकाल सकते हैं उच्च डिग्री. मैं सिर्फ घनमूल कैसे ज्ञात करें इसके बारे में लिखने जा रहा हूँ।

7. 12 सर्गेई वैलेंटाइनोविच:

   प्रिय एलिसैवेटा अलेक्जेंड्रोवना! 70 के दशक के उत्तरार्ध में, मैंने क्वाड्रा की स्वचालित (अर्थात, चयन द्वारा नहीं) गणना के लिए एक योजना विकसित की। फ़ेलिक्स जोड़ने वाली मशीन पर रूट करें। यदि आप रुचि रखते हैं, तो मैं आपको एक विवरण भेज सकता हूं।

8. 14 व्लाद ऑस एंगेल्सस्टेड:

   (((स्तंभ का वर्गमूल निकालना)))
   यदि आप दूसरी संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं, तो एल्गोरिदम सरल हो जाता है, जिसका अध्ययन कंप्यूटर विज्ञान में किया जाता है, लेकिन यह गणित में भी उपयोगी है। एक। कोलमोगोरोव ने स्कूली बच्चों के लिए लोकप्रिय व्याख्यानों में इस एल्गोरिदम को प्रस्तुत किया। उनका लेख "चेबीशेव कलेक्शन" (गणितीय जर्नल, इंटरनेट पर इसका लिंक देखें) में पाया जा सकता है।
   वैसे, कहो:
   जी. लीबनिज ने एक समय में शुरुआती (प्राथमिक स्कूली बच्चों) के लिए इसकी सरलता और पहुंच के कारण 10वीं संख्या प्रणाली से बाइनरी प्रणाली में संक्रमण करने का विचार किया था। लेकिन स्थापित परंपराओं को तोड़ना अपने माथे से किले के द्वार को तोड़ने जैसा है: यह संभव है, लेकिन यह बेकार है। तो यह पता चलता है, जैसा कि पुराने दिनों में सबसे उद्धृत दाढ़ी वाले दार्शनिक के अनुसार: सभी मृत पीढ़ियों की परंपराएं जीवित लोगों की चेतना को दबा देती हैं।

   अगली बार तक।

9. 15 व्लाद ऑस एंगेल्सस्टेड:

   ))सर्गेई वैलेंटाइनोविच, हां, मुझे दिलचस्पी है...((

   मैं शर्त लगाता हूं कि यह घोड़े को निकालने की "फेलिक्स" बेबीलोनियाई पद्धति का एक रूपांतर है वर्गाकार विधिक्रमिक सन्निकटन. यह एल्गोरिदम न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि) द्वारा कवर किया गया था

   मुझे आश्चर्य है कि क्या मैं अपने पूर्वानुमान में ग़लत था?

10. 18 :

    2 व्लाद ऑस एंगेल्सस्टेड

    हां, बाइनरी में एल्गोरिदम सरल होना चाहिए, यह बिल्कुल स्पष्ट है।

    न्यूटन की विधि के बारे में. शायद यह सच है, लेकिन यह अभी भी दिलचस्प है

11. 20 किरिल:

    बहुत-बहुत धन्यवाद। लेकिन अभी भी कोई एल्गोरिदम नहीं है, कोई नहीं जानता कि यह कहां से आया है, लेकिन परिणाम सही है। बहुत-बहुत धन्यवाद! मैं काफी समय से इसकी तलाश कर रहा था)

12. 21 अलेक्जेंडर:

    आप उस संख्या से मूल कैसे निकालेंगे जहां बाएं से दाएं दूसरा समूह बहुत छोटा है? उदाहरण के लिए, हर किसी का पसंदीदा नंबर 4,398,046,511,104 है। पहले घटाव के बाद एल्गोरिथम के अनुसार सब कुछ जारी रखना संभव नहीं है। कृपया समझाएँ।

13. 22 एलेक्सी:

    हाँ, मैं यह तरीका जानता हूँ। मुझे इसे किसी पुराने संस्करण की पुस्तक "बीजगणित" में पढ़ना याद है। फिर, सादृश्य द्वारा, उन्होंने स्वयं यह अनुमान लगाया कि एक कॉलम में घनमूल कैसे निकाला जाता है। लेकिन वहां यह पहले से ही अधिक जटिल है: प्रत्येक अंक एक से नहीं (एक वर्ग के लिए), बल्कि दो घटावों से निर्धारित होता है, और वहां भी आपको हर बार लंबी संख्याओं को गुणा करना पड़ता है।

14. 23 आर्टेम:

    56789.321 का वर्गमूल निकालने के उदाहरण में त्रुटियाँ हैं। संख्या 32 के समूह को संख्या 145 और 243 को दो बार सौंपा गया है, संख्या 2388025 में दूसरे 8 को 3 से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। फिर अंतिम घटाव इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: 2431000 - 2383025 = 47975।
    इसके अतिरिक्त, जब शेषफल को उत्तर के दोगुने मान (अल्पविराम को ध्यान में रखे बिना) से विभाजित किया जाता है, तो हमें महत्वपूर्ण अंकों की एक अतिरिक्त संख्या (47975/(2*238305) = 0.100658819...) प्राप्त होती है, जिसे इसमें जोड़ा जाना चाहिए उत्तर (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659)।

15. 24 सर्गेई:

    जाहिर तौर पर एल्गोरिदम आइजैक न्यूटन की पुस्तक "जनरल अरिथमेटिक या अंकगणित संश्लेषण और विश्लेषण पर एक पुस्तक" से आया है। यहाँ इसका एक अंश है:

    जड़ें निकालने के बारे में

    किसी संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए सबसे पहले आपको इकाई से शुरू करते हुए उसके अंकों के ऊपर एक बिंदु लगाना चाहिए। फिर आपको भागफल या मूलांक में वह संख्या लिखनी चाहिए जिसका वर्ग पहले बिंदु से पहले वाली संख्या या संख्या के बराबर या हानि में निकटतम हो। इस वर्ग को घटाने के बाद, मूल के शेष अंक क्रमिक रूप से मूल के पहले से निकाले गए भाग के मूल्य के दोगुने से शेषफल को विभाजित करके और हर बार वर्ग के शेषफल से अंतिम पाए गए अंक और उसके दस गुना उत्पाद को घटाकर प्राप्त किए जाएंगे। नामित भाजक.

16. 25 सर्गेई:

    कृपया पुस्तक का शीर्षक "सामान्य अंकगणित या अंकगणित संश्लेषण और विश्लेषण के बारे में एक पुस्तक" भी सही करें।

17. 26 अलेक्जेंडर:

    रोचक सामग्री के लिए धन्यवाद. लेकिन यह विधि मुझे, उदाहरण के लिए, एक स्कूली छात्र की आवश्यकता से कुछ अधिक जटिल लगती है। मैं अपघटन पर आधारित एक सरल विधि का उपयोग करता हूं द्विघात कार्यपहले दो व्युत्पन्नों का उपयोग करना। इसका सूत्र है:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, कहाँ
    A1 वह पूर्णांक है जिसका वर्ग x के निकटतम है;
    A2 एक भिन्न है, अंश x-A1 है, हर 2*A1 है।
    अधिकांश संख्याओं के लिए स्कूल पाठ्यक्रम, यह परिणाम को सौवें तक सटीक प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है।
    यदि आपको अधिक सटीक परिणाम की आवश्यकता है, तो लें
    A3 एक भिन्न है, अंश A2 वर्ग है, हर 2*A1+1 है।
    बेशक, इसका उपयोग करने के लिए आपको पूर्णांकों के वर्गों की एक तालिका की आवश्यकता होगी, लेकिन स्कूल में यह कोई समस्या नहीं है। इस फॉर्मूले को याद रखना काफी आसान है.
    हालाँकि, यह मुझे भ्रमित करता है कि मैंने स्प्रेडशीट के साथ प्रयोगों के परिणामस्वरूप अनुभवजन्य रूप से A3 प्राप्त किया और मुझे यह समझ में नहीं आ रहा है कि इस सदस्य का ऐसा स्वरूप क्यों है। शायद आप मुझे कुछ सलाह दे सकें?

18. 27 अलेक्जेंडर:

    हाँ, मैंने भी इन विचारों पर विचार किया है, लेकिन शैतान विवरण में है। आप लिखिए:
    "चूंकि a2 और b में बहुत कम अंतर है।" सवाल बिल्कुल यह है कि कितना कम है.
    यह सूत्र दूसरे दस की संख्याओं पर अच्छा काम करता है और पहले दस की संख्याओं पर बहुत खराब (सौवें तक नहीं, केवल दसवें तक) काम करता है। ऐसा क्यों होता है, इसे डेरिवेटिव के उपयोग के बिना समझना मुश्किल है।

19. 28 अलेक्जेंडर:

    मैं स्पष्ट करूँगा कि मेरे प्रस्तावित फ़ॉर्मूले में मुझे क्या फ़ायदा दिखता है। इसमें अंकों के जोड़े में संख्याओं के पूरी तरह से प्राकृतिक विभाजन की आवश्यकता नहीं होती है, जैसा कि अनुभव से पता चलता है, अक्सर त्रुटियों के साथ किया जाता है। इसका अर्थ स्पष्ट है, लेकिन विश्लेषण से परिचित व्यक्ति के लिए यह तुच्छ है। 100 से 1000 तक की संख्याओं पर अच्छा काम करता है, जो स्कूल में मिलने वाली सबसे आम संख्याएँ हैं।

20. 29 अलेक्जेंडर:

    वैसे, मैंने कुछ खोजबीन की और अपने सूत्र में A3 के लिए सटीक अभिव्यक्ति पाई:
    ए3= ए22 /2(ए1+ए2)

21. 30 वासिल स्ट्राइजाक:

    हमारे समय में, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के व्यापक उपयोग के साथ, किसी संख्या से वर्गाकार शूरवीर निकालने का प्रश्न व्यावहारिक दृष्टिकोण से सार्थक नहीं है। लेकिन गणित प्रेमियों के लिए ये निस्संदेह रुचिकर हैं विभिन्न विकल्पइस समस्या का समाधान. में स्कूल के पाठ्यक्रमअतिरिक्त धनराशि की भागीदारी के बिना इस गणना की विधि एक कॉलम में गुणा और भाग के बराबर होनी चाहिए। गणना एल्गोरिथ्म को न केवल याद रखना चाहिए, बल्कि समझने योग्य भी होना चाहिए। में प्रदान की गई क्लासिक विधि पदार्थसार के प्रकटीकरण के साथ चर्चा के लिए, उपरोक्त मानदंडों का पूरी तरह से अनुपालन करता है।
    अलेक्जेंडर द्वारा प्रस्तावित विधि का एक महत्वपूर्ण दोष पूर्णांकों के वर्गों की एक तालिका का उपयोग है। स्कूल पाठ्यक्रम में आने वाली अधिकांश संख्याओं के बारे में लेखक चुप है। जहां तक ​​सूत्र का सवाल है, सामान्य तौर पर गणना की अपेक्षाकृत उच्च सटीकता के कारण मुझे यह पसंद है।

22. 31 अलेक्जेंडर:

    30 वासिल स्ट्राइज़हाक के लिए
    मैंने कुछ भी चुप नहीं रखा. वर्गों की तालिका 1000 तक मानी जाती है। स्कूल में मेरे समय में वे इसे बस याद करते थे और यह सभी गणित की पाठ्यपुस्तकों में था। मैंने स्पष्ट रूप से इस अंतराल को नाम दिया है।
    जहाँ तक कंप्यूटर तकनीक का सवाल है, इसका उपयोग मुख्य रूप से गणित के पाठों में नहीं किया जाता है, जब तक कि कैलकुलेटर के उपयोग के विषय पर विशेष रूप से चर्चा नहीं की जाती है। कैलकुलेटर अब उन उपकरणों में बनाए गए हैं जो एकीकृत राज्य परीक्षा में उपयोग के लिए निषिद्ध हैं।

23. 32 वासिल स्ट्राइजक:

    अलेक्जेंडर, स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद! मैंने सोचा कि प्रस्तावित विधि के लिए सभी दो अंकों की संख्याओं के वर्गों की एक तालिका को याद रखना या उसका उपयोग करना आवश्यक है, फिर 100 से 10000 तक के अंतराल में शामिल नहीं होने वाली मूल संख्याओं के लिए, आप ऐसा कर सकते हैं दशमलव बिंदु को घुमाकर परिमाण के आदेशों की आवश्यक संख्या तक उन्हें बढ़ाने या घटाने की तकनीक का उपयोग करें।

24. 33 वासिल स्ट्राइज़क:

25. 39 अलेक्जेंडर:

    सोवियत मशीन पर IAMB भाषा में मेरा पहला प्रोग्राम "इस्क्रा 555" कॉलम निष्कर्षण एल्गोरिदम का उपयोग करके एक संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए लिखा गया था! और अब मैं भूल गया कि इसे मैन्युअल रूप से कैसे निकालना है!

गणित की उत्पत्ति तब हुई जब मनुष्य स्वयं के प्रति जागरूक हुआ और स्वयं को विश्व की एक स्वायत्त इकाई के रूप में स्थापित करने लगा। आपके चारों ओर जो कुछ भी है उसे मापने, तुलना करने, गिनने की इच्छा - यही वह चीज़ है जो इसका आधार है बुनियादी विज्ञानहमारे दिन। सबसे पहले, ये प्रारंभिक गणित के कण थे, जिससे संख्याओं को उनकी भौतिक अभिव्यक्तियों से जोड़ना संभव हो गया, बाद में निष्कर्ष केवल सैद्धांतिक रूप से प्रस्तुत किए जाने लगे (उनके अमूर्त होने के कारण), लेकिन कुछ समय बाद, जैसा कि एक वैज्ञानिक ने कहा, " गणित जटिलता की चरम सीमा पर पहुँच गया जब उसमें से सभी संख्याएँ गायब हो गईं।" "वर्गमूल" की अवधारणा ऐसे समय में सामने आई जब इसे गणना के स्तर से परे, अनुभवजन्य डेटा द्वारा आसानी से समर्थित किया जा सकता था।

यह सब कहां से शुरू हुआ

मूल का पहला उल्लेख, जिसे वर्तमान में √ के रूप में दर्शाया जाता है, बेबीलोनियाई गणितज्ञों के कार्यों में दर्ज किया गया था, जिन्होंने आधुनिक अंकगणित की नींव रखी थी। बेशक, वे वर्तमान स्वरूप से बहुत कम समानता रखते थे - उन वर्षों के वैज्ञानिकों ने पहली बार भारी गोलियों का इस्तेमाल किया था। लेकिन दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में। ई. उन्होंने एक अनुमानित गणना सूत्र निकाला जिसमें दिखाया गया कि वर्गमूल कैसे निकाला जाता है। नीचे दी गई तस्वीर में एक पत्थर दिखाया गया है जिस पर बेबीलोन के वैज्ञानिकों ने √2 निकालने की प्रक्रिया को उकेरा, और यह इतना सही निकला कि उत्तर में विसंगति केवल दशमलव के दसवें स्थान पर पाई गई।

इसके अलावा, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा ज्ञात करना आवश्यक हो तो मूल का उपयोग किया जाता था, बशर्ते कि अन्य दो ज्ञात हों। खैर, द्विघात समीकरणों को हल करते समय मूल निकालने से कोई बच नहीं सकता।

बेबीलोनियाई कार्यों के साथ-साथ, लेख के उद्देश्य का अध्ययन चीनी कार्य "नौ पुस्तकों में गणित" में भी किया गया था और प्राचीन यूनानी इस निष्कर्ष पर पहुंचे थे कि कोई भी संख्या जिसमें से शेषफल के बिना मूल नहीं निकाला जा सकता है, एक तर्कहीन परिणाम देती है। .

इस शब्द की उत्पत्ति संख्या के अरबी प्रतिनिधित्व से जुड़ी है: प्राचीन वैज्ञानिकों का मानना ​​था कि एक मनमानी संख्या का वर्ग एक पौधे की तरह जड़ से बढ़ता है। लैटिन में, यह शब्द रेडिक्स की तरह लगता है (आप एक पैटर्न का पता लगा सकते हैं - हर चीज जिसका "मूल" अर्थ है वह व्यंजन है, चाहे वह मूली हो या रेडिकुलिटिस)।

बाद की पीढ़ियों के वैज्ञानिकों ने इस विचार को अपनाया और इसे आरएक्स नाम दिया। उदाहरण के लिए, 15वीं शताब्दी में, यह इंगित करने के लिए कि एक मनमानी संख्या a का वर्गमूल लिया गया था, उन्होंने R 2 a लिखा। आधुनिक आँखों से परिचित "टिक", रेने डेसकार्टेस की बदौलत केवल 17वीं शताब्दी में दिखाई दिया।

हमारे दिन

गणितीय शब्दों में, संख्या y का वर्गमूल वह संख्या z है जिसका वर्ग y के बराबर है। दूसरे शब्दों में, z 2 =y, √y=z के बराबर है। तथापि यह परिभाषाकेवल अंकगणितीय मूल के लिए प्रासंगिक है, क्योंकि यह अभिव्यक्ति के गैर-नकारात्मक मान को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, √y=z, जहां z 0 से बड़ा या उसके बराबर है।

सामान्य तौर पर, जो बीजीय मूल निर्धारित करने पर लागू होता है, अभिव्यक्ति का मान या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। इस प्रकार, इस तथ्य के कारण कि z 2 =y और (-z) 2 =y, हमारे पास है: √y=±z या √y=|z|

इस तथ्य के कारण कि गणित के प्रति प्रेम विज्ञान के विकास के साथ ही बढ़ा है, इसके प्रति स्नेह की विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं जो शुष्क गणनाओं में व्यक्त नहीं की जाती हैं। उदाहरण के लिए, पाई दिवस जैसी दिलचस्प घटनाओं के साथ-साथ वर्गमूल छुट्टियां भी मनाई जाती हैं। उन्हें हर सौ साल में नौ बार मनाया जाता है, और निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार निर्धारित किया जाता है: दिन और महीने को इंगित करने वाली संख्याएं वर्ष का वर्गमूल होनी चाहिए। तो, अगली बार हम यह छुट्टी 4 अप्रैल 2016 को मनाएंगे।

फ़ील्ड R पर वर्गमूल के गुण

लगभग सभी गणितीय अभिव्यक्तियाँ पर आधारित हैं ज्यामितीय आधार, यह भाग्य √y से बच नहीं सका, जिसे क्षेत्रफल y वाले एक वर्ग की भुजा के रूप में परिभाषित किया गया है।

किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें?

कई गणना एल्गोरिदम हैं। सबसे सरल, लेकिन साथ ही काफी बोझिल, सामान्य अंकगणितीय गणना है, जो इस प्रकार है:

1) जिस संख्या के मूल की हमें आवश्यकता होती है, उसमें से विषम संख्याओं को बारी-बारी से तब तक घटाया जाता है जब तक कि आउटपुट पर शेषफल घटाए गए एक से कम या शून्य के बराबर न हो जाए। चालों की संख्या अंततः वांछित संख्या बन जाएगी। उदाहरण के लिए, 25 के वर्गमूल की गणना:

निम्नलिखित नहीं है सम संख्या- यह 11 है, शेष इस प्रकार है: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

ऐसे मामलों के लिए टेलर श्रृंखला का विस्तार है:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , जहां n 0 से मान लेता है

+∞, और |y|≤1.

फ़ंक्शन z=√y का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

वास्तविक संख्या R के क्षेत्र पर प्राथमिक फ़ंक्शन z=√y पर विचार करें, जहां y शून्य से बड़ा या उसके बराबर है। इसका शेड्यूल इस प्रकार है:

वक्र मूल बिंदु से बढ़ता है और आवश्यक रूप से बिंदु (1; 1) को काटता है।

वास्तविक संख्या R के क्षेत्र पर फ़ंक्शन z=√y के गुण

1. विचाराधीन फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र शून्य से प्लस अनंत तक का अंतराल है (शून्य शामिल है)।

2. विचाराधीन फ़ंक्शन के मानों की सीमा शून्य से प्लस अनंत तक का अंतराल है (शून्य फिर से शामिल है)।

3. फ़ंक्शन अपना न्यूनतम मान (0) केवल बिंदु (0; 0) पर लेता है। कोई अधिकतम मूल्य नहीं है.

4. फलन z=√y न तो सम है और न ही विषम है।

5. फलन z=√y आवर्त नहीं है।

6. समन्वय अक्षों के साथ फ़ंक्शन z=√y के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन का केवल एक बिंदु है: (0; 0)।

7. फ़ंक्शन z=√y के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु भी इस फ़ंक्शन का शून्य है।

8. फलन z=√y लगातार बढ़ रहा है।

9. फ़ंक्शन z=√y केवल सकारात्मक मान लेता है, इसलिए, इसका ग्राफ पहले समन्वय कोण पर है।

फ़ंक्शन z=√y प्रदर्शित करने के विकल्प

गणित में, जटिल अभिव्यक्तियों की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, कभी-कभी वर्गमूल लिखने के घात रूप का उपयोग किया जाता है: √y=y 1/2। यह विकल्प सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन को घात तक बढ़ाने में: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. यह विधि एकीकरण के साथ विभेदीकरण के लिए भी एक अच्छा प्रतिनिधित्व है, क्योंकि इसके लिए धन्यवाद वर्गमूल को एक सामान्य शक्ति फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जाता है।

और प्रोग्रामिंग में, प्रतीक √ को प्रतिस्थापित करने पर अक्षरों का संयोजन sqrt होता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस क्षेत्र में वर्गमूल की काफी मांग है, क्योंकि यह गणना के लिए आवश्यक अधिकांश ज्यामितीय सूत्रों का हिस्सा है। गिनती एल्गोरिथ्म स्वयं काफी जटिल है और रिकर्सन (एक फ़ंक्शन जो स्वयं को कॉल करता है) पर आधारित है।

जटिल क्षेत्र सी में वर्गमूल

कुल मिलाकर, यह इस लेख का विषय था जिसने सम्मिश्र संख्या C के क्षेत्र की खोज को प्रेरित किया, क्योंकि गणितज्ञों को एक ऋणात्मक संख्या का सम मूल प्राप्त करने का प्रश्न सता रहा था। इस तरह से काल्पनिक इकाई आई दिखाई दी, जो एक बहुत ही दिलचस्प संपत्ति की विशेषता है: इसका वर्ग -1 है। इसके लिए धन्यवाद, नकारात्मक विभेदक के साथ भी द्विघात समीकरण हल किए गए। सी में, आर के समान ही गुण वर्गमूल के लिए प्रासंगिक हैं, केवल एक चीज यह है कि मूल अभिव्यक्ति पर प्रतिबंध हटा दिए गए हैं।

जड़ निकालना किसी शक्ति को बढ़ाने का विपरीत कार्य है। अर्थात्, संख्या X का मूल निकालने पर, हमें एक संख्या प्राप्त होती है जिसका वर्ग करने पर वही संख्या X प्राप्त होगी।

जड़ निकालना काफी सरल ऑपरेशन है। वर्गों की एक तालिका निष्कर्षण कार्य को आसान बना सकती है। क्योंकि सभी वर्गों और मूलों को याद रखना असंभव है, लेकिन संख्याएँ बड़ी हो सकती हैं।

किसी संख्या का मूल निकालना

किसी संख्या का वर्गमूल निकालना आसान है। इसके अलावा, यह तुरंत नहीं, बल्कि धीरे-धीरे किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति √256 लें। प्रारंभ में, किसी अज्ञानी व्यक्ति के लिए तुरंत उत्तर देना कठिन होता है। फिर हम इसे चरण दर चरण करेंगे। सबसे पहले, हम केवल संख्या 4 से भाग देते हैं, जिससे हम चयनित वर्ग को मूल मानते हैं।

आइए प्रतिनिधित्व करें: √(64 4), तो यह 2√64 के बराबर होगा। और जैसा कि आप जानते हैं, गुणन सारणी के अनुसार 64 = 8 8. उत्तर होगा 2*8=16.

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एक जटिल जड़ निकालना

वर्गमूल की गणना ऋणात्मक संख्याओं से नहीं की जा सकती, क्योंकि कोई भी वर्ग संख्या एक धनात्मक संख्या होती है!

एक सम्मिश्र संख्या वह संख्या i है, जिसका वर्ग -1 के बराबर है। यानी, i2=-1.

गणित में एक संख्या होती है जो संख्या का मूल निकालकर -1 प्राप्त की जाती है।

अर्थात्, ऋणात्मक संख्या के मूल की गणना करना संभव है, लेकिन यह पहले से ही उच्च गणित पर लागू होता है, स्कूली गणित पर नहीं।

आइए ऐसे मूल निष्कर्षण के एक उदाहरण पर विचार करें: √(-49)=7*√(-1)=7i.

ऑनलाइन रूट कैलकुलेटर

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रूट ऑपरेशन युक्त अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना

मूल अभिव्यक्तियों को बदलने का सार मूल संख्या को सरल संख्याओं में विघटित करना है, जिससे मूल निकाला जा सकता है। जैसे 4, 9, 25 इत्यादि।

चलिए एक उदाहरण देते हैं, √625. आइए मूल अभिव्यक्ति को संख्या 5 से विभाजित करें। हमें √(125) मिलता है 5), ऑपरेशन दोहराएं √(25 25), लेकिन हम जानते हैं कि 25, 52 है। इसका मतलब है कि उत्तर 5*5=25 होगा।

लेकिन ऐसी संख्याएँ भी हैं जिनके मूल की गणना इस पद्धति का उपयोग करके नहीं की जा सकती है और आपको बस उत्तर जानने की आवश्यकता है या हाथ में वर्गों की एक तालिका होनी चाहिए।

√289=√(17*17)=17

जमीनी स्तर

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