निर्देश

यदि वृत्त की त्रिज्या (R) और वांछित केंद्रीय कोण (θ) के अनुरूप चाप (L) की लंबाई ज्ञात है, तो इसकी गणना डिग्री और रेडियन दोनों में की जा सकती है। कुल सूत्र 2*π*R द्वारा निर्धारित किया जाता है और यदि डिग्री के बजाय रेडियन का उपयोग किया जाता है, तो यह 360° या दो पाई संख्याओं के केंद्रीय कोण से मेल खाता है। इसलिए, अनुपात 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ से आगे बढ़ें। इससे केंद्रीय कोण को रेडियन में व्यक्त करें θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R या डिग्री θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π) * आर) और परिणामी सूत्र का उपयोग करके गणना करें।

केंद्रीय कोण (θ) निर्धारित करने वाले बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा (एम) की लंबाई के आधार पर, यदि वृत्त की त्रिज्या (आर) ज्ञात हो तो इसके मान की गणना भी की जा सकती है। ऐसा करने के लिए, दो त्रिज्याओं और से बने एक त्रिभुज पर विचार करें। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, यह तो सभी जानते हैं, लेकिन आपको आधार के विपरीत कोण ज्ञात करना होगा। इसके आधे भाग की ज्या अनुपात के बराबरआधार की लंबाई - जीवा - भुजा की लंबाई से दोगुनी - त्रिज्या। इसलिए, गणना के लिए व्युत्क्रम साइन फ़ंक्शन का उपयोग करें - आर्कसाइन: θ = 2*आर्क्सिन(½*m/R)।

केंद्रीय कोण को क्रांति के अंशों में या घुमाए गए कोण से निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आपको पूर्ण क्रांति के एक चौथाई के अनुरूप केंद्रीय कोण खोजने की आवश्यकता है, तो 360° को चार से विभाजित करें: θ = 360°/4 = 90°। रेडियन में समान मान 2*π/4 ≈ 3.14/2 ≈ 1.57 होना चाहिए। खुला हुआ कोण पूर्ण क्रांति के आधे के बराबर है, इसलिए, उदाहरण के लिए, इसके एक चौथाई के अनुरूप केंद्रीय कोण डिग्री और रेडियन दोनों में ऊपर गणना किए गए मानों का आधा होगा।

साइन के व्युत्क्रम को त्रिकोणमितीय फलन कहा जाता है आर्कसीन. यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों, संख्या Pi के आधे के भीतर मान ले सकता है। नकारात्मक पक्षजब रेडियन में मापा जाता है। जब डिग्री में मापा जाता है, तो ये मान क्रमशः -90° से +90° तक की सीमा में होंगे।

निर्देश

कुछ "गोल" मानों की गणना करने की आवश्यकता नहीं होती है; उन्हें याद रखना आसान होता है। उदाहरण के लिए: - यदि फ़ंक्शन तर्क शून्य है, तो इसका आर्कसाइन भी शून्य है; - 1/2 का मान 30° या 1/6 Pi के बराबर है, यदि मापा जाए - -1/2 का आर्कसाइन -30° है या -1/6 संख्या पाई से; - 1 की आर्कसाइन रेडियन में संख्या पाई के 90° या 1/2 के बराबर है - -1 की आर्कसाइन -90° या -1/2 के बराबर है; रेडियन में पाई संख्या;

इस फ़ंक्शन के मानों को अन्य तर्कों से मापने के लिए, सबसे आसान तरीका एक मानक विंडोज कैलकुलेटर का उपयोग करना है, यदि आपके पास एक है। आरंभ करने के लिए, "प्रारंभ" बटन पर मुख्य मेनू खोलें (या WIN कुंजी दबाकर), "सभी प्रोग्राम" अनुभाग पर जाएं, और फिर "सहायक उपकरण" उपधारा पर जाएं और "कैलकुलेटर" पर क्लिक करें।

कैलकुलेटर इंटरफ़ेस को ऑपरेटिंग मोड पर स्विच करें जो आपको गणना करने की अनुमति देता है त्रिकोणमितीय कार्य. ऐसा करने के लिए, इसके मेनू में "देखें" अनुभाग खोलें और "इंजीनियरिंग" या "वैज्ञानिक" (प्रयुक्त ऑपरेटिंग सिस्टम के आधार पर) चुनें।

उस तर्क का मान दर्ज करें जिससे आर्कटेंजेंट की गणना की जानी चाहिए। यह माउस के साथ कैलकुलेटर इंटरफ़ेस पर बटन क्लिक करके, या कुंजी दबाकर, या मान (CTRL + C) की प्रतिलिपि बनाकर और फिर इसे कैलकुलेटर के इनपुट फ़ील्ड में पेस्ट करके (CTRL + V) करके किया जा सकता है।

माप की उन इकाइयों का चयन करें जिनमें आपको फ़ंक्शन गणना का परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता है। इनपुट फ़ील्ड के नीचे तीन विकल्प हैं, जिनमें से आपको एक का चयन करना होगा (माउस से क्लिक करके) - रेडियन या रेड।

उस चेकबॉक्स को चेक करें जो कैलकुलेटर इंटरफ़ेस बटन पर दर्शाए गए फ़ंक्शन को उलट देता है। इसके आगे एक संक्षिप्त शिलालेख है Inv.

पाप बटन पर क्लिक करें. कैलकुलेटर इससे जुड़े फ़ंक्शन को उलट देगा, गणना करेगा और आपको निर्दिष्ट इकाइयों में परिणाम प्रस्तुत करेगा।

विषय पर वीडियो

सामान्य ज्यामितीय समस्याओं में से एक वृत्ताकार खंड के क्षेत्रफल की गणना करना है - वृत्त का वह भाग जो एक जीवा से घिरा होता है और संबंधित जीवा एक वृत्त के एक चाप से घिरा होता है।

एक वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल संबंधित वृत्ताकार क्षेत्र के क्षेत्रफल और खंड के अनुरूप क्षेत्र की त्रिज्या और खंड को सीमित करने वाली जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल के बीच के अंतर के बराबर होता है।

उदाहरण 1

वृत्त को अंतरित करने वाली जीवा की लंबाई मान a के बराबर होती है। जीवा के संगत चाप की डिग्री माप 60° है। वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

दो त्रिज्याओं और एक जीवा से बना एक त्रिभुज समद्विबाहु होता है, इसलिए शीर्ष से खींची गई ऊँचाई केंद्रीय कोणजीवा द्वारा बनाए गए त्रिभुज की भुजा केंद्रीय कोण का समद्विभाजक भी होगी, जो इसे आधे में विभाजित करेगी, और मध्यिका, जीवा को आधे में विभाजित करेगी। यह जानते हुए कि कोण की ज्या विपरीत पैर और कर्ण के अनुपात के बराबर है, हम त्रिज्या की गणना कर सकते हैं:

पाप 30°= ए/2:आर = 1/2;

एससी = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, जहां h केंद्रीय कोण के शीर्ष से जीवा तक खींची गई ऊंचाई है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

तदनुसार, S▲=√3/4*a²।

खंड का क्षेत्रफल, जिसकी गणना Sreg = Sc - S▲ के रूप में की गई है, इसके बराबर है:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

ए के मान के लिए संख्यात्मक मान प्रतिस्थापित करके, आप आसानी से खंड क्षेत्र के संख्यात्मक मान की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण 2

वृत्त की त्रिज्या a के बराबर है. खंड के अनुरूप चाप की डिग्री माप 60° है। वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

संबंधित सेक्टर का क्षेत्रफल दिया गया कोणनिम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

एससी = πа²/360°*60° = πa²/6,

त्रिज्यखंड के अनुरूप त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

S▲=1/2*ah, जहां h केंद्रीय कोण के शीर्ष से जीवा तक खींची गई ऊंचाई है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

तदनुसार, S▲=√3/4*a²।

और अंत में, खंड का क्षेत्रफल, Sreg = Sc - S▲ के रूप में गणना की गई, इसके बराबर है:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²।

दोनों मामलों में समाधान लगभग समान हैं। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सरलतम मामले में किसी खंड के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, खंड के चाप के अनुरूप कोण का मान और दो मापदंडों में से एक को जानना पर्याप्त है - या तो वृत्त की त्रिज्या या खंड बनाने वाले वृत्त के चाप को अंतरित करने वाली जीवा की लंबाई।

स्रोत:

• खंड - ज्यामिति

अंकित कोण, समस्या का सिद्धांत। दोस्त! इस लेख में हम उन कार्यों के बारे में बात करेंगे जिनके लिए आपको एक अंकित कोण के गुणों को जानना आवश्यक है। यह कार्यों का एक पूरा समूह है, इन्हें एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल किया गया है। उनमें से अधिकांश को बहुत ही सरलता से, एक ही क्रिया में हल किया जा सकता है।

और भी कठिन समस्याएं हैं, लेकिन वे आपके लिए अधिक कठिनाई पेश नहीं करेंगी; आपको एक अंकित कोण के गुणों को जानने की आवश्यकता है। धीरे-धीरे हम कार्यों के सभी प्रोटोटाइप का विश्लेषण करेंगे, मैं आपको ब्लॉग पर आमंत्रित करता हूँ!

अब आवश्यक सिद्धांत. आइए याद रखें कि एक केंद्रीय और खुदा हुआ कोण, एक जीवा, एक चाप क्या होते हैं, जिन पर ये कोण टिके होते हैं:

एक वृत्त में केंद्रीय कोण एक समतल कोण होता हैइसके केंद्र में शीर्ष.

वृत्त का वह भाग जो समतल कोण के अंदर स्थित होता हैवृत्त का चाप कहा जाता है।

वृत्त के चाप की डिग्री माप कहलाती है डिग्री माप संगत केंद्रीय कोण.

एक कोण को वृत्त में अंकित तब कहा जाता है जब कोण का शीर्ष स्थित होएक वृत्त पर, और कोण की भुजाएँ इस वृत्त को काटती हैं।

वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड को कहा जाता हैतार. सबसे बड़ी जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है और कहलाती हैव्यास.

वृत्त में अंकित कोणों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए,आपको निम्नलिखित गुण जानने की आवश्यकता है:

1. अंकित कोण समान चाप के आधार पर, केंद्रीय कोण के आधे के बराबर होता है।

2. एक ही चाप पर अंतरित सभी अंकित कोण बराबर होते हैं।

3. एक ही जीवा पर आधारित सभी अंकित कोण और जिनके शीर्ष इस जीवा के एक ही ओर स्थित हों, बराबर होते हैं।

4. एक ही जीवा पर आधारित कोणों का कोई भी जोड़ा, जिसके शीर्ष जीवा के विपरीत दिशाओं में स्थित हों, का योग 180° होता है।

उपफल: एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

5. किसी व्यास द्वारा अंतरित सभी अंकित कोण समकोण होते हैं।

सामान्य तौर पर, यह संपत्ति संपत्ति (1) का परिणाम है; यह इसका विशेष मामला है। देखिए - केंद्रीय कोण 180 डिग्री के बराबर है (और यह खुला कोण एक व्यास से अधिक कुछ नहीं है), जिसका अर्थ है, पहली संपत्ति के अनुसार, अंकित कोण सी इसके आधे के बराबर है, यानी 90 डिग्री।

इस गुण को जानने से कई समस्याओं को हल करने में मदद मिलती है और अक्सर आप अनावश्यक गणनाओं से बच जाते हैं। इसमें अच्छी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप इस प्रकार की आधी से अधिक समस्याओं को मौखिक रूप से हल करने में सक्षम होंगे। दो निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

उपफल 1: यदि एक वृत्त में एक त्रिभुज अंकित है और उसकी एक भुजा इस वृत्त के व्यास से मेल खाती है, तो त्रिभुज समकोण (शीर्ष) है समकोणवृत्त पर स्थित है)।

परिणाम 2: के बारे में वर्णित का केंद्र सही त्रिकोणवृत्त अपने कर्ण के मध्य से मेल खाता है।

इस संपत्ति और इन परिणामों का उपयोग करके स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं के कई प्रोटोटाइप भी हल किए जाते हैं। तथ्य को स्वयं याद रखें: यदि किसी वृत्त का व्यास एक उत्कीर्ण त्रिभुज की एक भुजा है, तो यह त्रिभुज समकोण है (व्यास के विपरीत कोण 90 डिग्री है)। आप अन्य सभी निष्कर्ष और परिणाम स्वयं निकाल सकते हैं, आपको उन्हें सिखाने की आवश्यकता नहीं है।

एक नियम के रूप में, एक अंकित कोण पर आधी समस्याएं एक रेखाचित्र के साथ दी जाती हैं, लेकिन प्रतीकों के बिना। समस्याओं को हल करते समय तर्क प्रक्रिया को समझने के लिए (लेख में नीचे), शीर्षों (कोणों) के लिए नोटेशन पेश किए गए हैं। आपको एकीकृत राज्य परीक्षा में ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है।आइए कार्यों पर विचार करें:

वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक जीवा द्वारा बनाए गए न्यून कोण का मान क्या होता है? अपना उत्तर डिग्री में दें।

आइए किसी दिए गए खुदे हुए कोण के लिए एक केंद्रीय कोण बनाएं और शीर्षों को नामित करें:

वृत्त में अंकित कोण के गुण के अनुसार:

कोण AOB 60 0 के बराबर है, क्योंकि त्रिभुज AOB समबाहु है, और में समान भुजाओं वाला त्रिकोणसभी कोण 60 0 के बराबर हैं। त्रिभुज की भुजाएँ बराबर हैं, क्योंकि शर्त कहती है कि जीवा त्रिज्या के बराबर है।

इस प्रकार, अंकित कोण ACB 30 0 के बराबर है।

उत्तर: 30

त्रिज्या 3 के एक वृत्त में अंकित 30 0 के कोण द्वारा समर्थित जीवा ज्ञात कीजिए।

यह मूलतः (पिछली समस्या की) उलटी समस्या है। आइए केंद्रीय कोण का निर्माण करें।

यह खुदे हुए से दोगुना बड़ा है, यानी कोण AOB 60 0 के बराबर है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज AOB समबाहु है। इस प्रकार, जीवा त्रिज्या के बराबर है, अर्थात तीन।

उत्तर: 3

वृत्त की त्रिज्या 1 है। दो के मूल के बराबर जीवा द्वारा बनाए गए अधिक कोण का परिमाण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

आइए केंद्रीय कोण का निर्माण करें:

त्रिज्या और जीवा को जानकर, हम केंद्रीय कोण ASV ज्ञात कर सकते हैं। यह कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके किया जा सकता है। केंद्रीय कोण को जानकर हम अंकित कोण ACB को आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

कोसाइन प्रमेय: त्रिभुज की किसी भी भुजा को वर्गाकार करें रकम के बराबरई अन्य दो भुजाओं का वर्ग, उनके बीच के कोण की कोज्या द्वारा इन भुजाओं के गुणनफल के दोगुने के बिना।

इसलिए, दूसरा केंद्रीय कोण 360 0 है – 90 0 = 270 0 .

अंकित कोण के गुण के अनुसार कोण ACB उसके आधे अर्थात 135 डिग्री के बराबर होता है।

उत्तर: 135

तीन के मूल त्रिज्या वाले एक वृत्त में बने 120 डिग्री के कोण द्वारा अंतरित जीवा ज्ञात कीजिए।

आइए बिंदु A और B को वृत्त के केंद्र से जोड़ें। आइए इसे O के रूप में निरूपित करें:

हम त्रिज्या और अंकित कोण ASV जानते हैं। हम केंद्रीय कोण AOB (180 डिग्री से अधिक) ज्ञात कर सकते हैं, फिर त्रिभुज AOB में कोण AOB ज्ञात कर सकते हैं। और फिर, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके, AB की गणना करें।

अंकित कोण के गुण के अनुसार केंद्रीय कोण AOB (जो 180 डिग्री से अधिक है) अंकित कोण के दोगुने अर्थात 240 डिग्री के बराबर होगा। इसका मतलब है कि त्रिभुज AOB में कोण AOB 360 0 - 240 0 = 120 0 के बराबर है।

कोसाइन प्रमेय के अनुसार:

उत्तर:3

एक चाप द्वारा अंतरित कोण ज्ञात कीजिए जो वृत्त का 20% है। अपना उत्तर डिग्री में दें।

अंकित कोण के गुण के अनुसार यह उसी चाप के आधार पर केन्द्रीय कोण के आधे आकार का होता है इस मामले मेंहम आर्क एबी के बारे में बात कर रहे हैं।

ऐसा कहा जाता है कि चाप AB परिधि का 20 प्रतिशत है। इसका मतलब यह है कि केंद्रीय कोण AOB भी 360 0 का 20 प्रतिशत है।*एक वृत्त 360 डिग्री का कोण होता है. मतलब,

इस प्रकार, अंकित कोण ACB 36 डिग्री है।

उत्तर: 36

एक वृत्त का चाप ए.सी., जिसमें कोई बिंदु नहीं है बी, 200 डिग्री है. और एक वृत्त BC का चाप, जिसमें कोई बिंदु नहीं है ए, 80 डिग्री है. अंकित कोण ACB ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

स्पष्टता के लिए, आइए हम उन चापों को निरूपित करें जिनके कोणीय माप दिए गए हैं। 200 डिग्री के अनुरूप चाप - नीला, 80 डिग्री के अनुरूप चाप लाल है, वृत्त का शेष भाग है पीला.

इस प्रकार, चाप AB (पीला) की डिग्री माप, और इसलिए केंद्रीय कोण AOB है: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

अंकित कोण ACB केंद्रीय कोण AOB का आधा आकार है, अर्थात 40 डिग्री के बराबर है।

उत्तर: 40

वृत्त के व्यास द्वारा अंतरित कोण क्या है? अपना उत्तर डिग्री में दें।

मध्यवर्ती स्तर

वृत्त और अंकित कोण. दृश्य मार्गदर्शक (2019)

मूल शर्तें।

आपको मंडली से जुड़े सभी नाम कितनी अच्छी तरह याद हैं? बस मामले में, आइए हम आपको याद दिलाएं - तस्वीरों को देखें - अपने ज्ञान को ताज़ा करें।

खैर, सबसे पहले - वृत्त का केंद्र एक ऐसा बिंदु है जहां से वृत्त के सभी बिंदुओं की दूरी समान होती है।

दूसरा - RADIUS - केंद्र और वृत्त पर एक बिंदु को जोड़ने वाला एक रेखा खंड।

बहुत सारी त्रिज्याएँ हैं (जितनी वृत्त पर बिंदु हैं), लेकिन सभी त्रिज्याओं की लंबाई समान होती है।

कभी-कभी संक्षेप में RADIUSवे इसे बिल्कुल सही कहते हैं खंड की लंबाई"केंद्र वृत्त पर एक बिंदु है," न कि स्वयं खंड।

और यहीं होता है यदि आप एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ते हैं? एक खंड भी?

तो, इस खंड को कहा जाता है "राग".

त्रिज्या के मामले में, व्यास अक्सर एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाले और केंद्र से गुजरने वाले खंड की लंबाई होती है। वैसे, व्यास और त्रिज्या कैसे संबंधित हैं? ध्यान से देखें। बिल्कुल त्रिज्या आधे व्यास के बराबर है.

रागों के अतिरिक्त भी हैं सेकेंट्स

सबसे सरल बात याद है?

केंद्रीय कोण दो त्रिज्याओं के बीच का कोण है।

और अब - अंकित कोण

अंकित कोण - दो जीवाओं के बीच का कोण जो एक वृत्त पर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है.

इस मामले में, वे कहते हैं कि अंकित कोण एक चाप (या एक जीवा पर) पर टिका होता है।

तस्वीर पर देखो:

चापों और कोणों की माप.

परिधि. चाप और कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है। सबसे पहले, डिग्री के बारे में. कोणों के लिए कोई समस्या नहीं है - आपको यह सीखना होगा कि चाप को डिग्री में कैसे मापें।

डिग्री माप (चाप आकार) संबंधित केंद्रीय कोण का मान (डिग्री में) है

यहाँ "उचित" शब्द का क्या अर्थ है? आइए ध्यान से देखें:

क्या आप दो चाप और दो केंद्रीय कोण देखते हैं? खैर, एक बड़ा चाप एक बड़े कोण से मेल खाता है (और यह ठीक है कि यह बड़ा है), और एक छोटा चाप एक छोटे कोण से मेल खाता है।

तो, हम सहमत हुए: चाप में संबंधित केंद्रीय कोण के समान डिग्री होती है।

और अब डरावनी चीज़ के बारे में - रेडियंस के बारे में!

यह "रेडियन" किस प्रकार का जानवर है?

कल्पना करना: रेडियन कोणों को मापने का एक तरीका है... त्रिज्या में!

रेडियन कोण एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

फिर सवाल उठता है - एक सीधे कोण में कितने रेडियन होते हैं?

दूसरे शब्दों में: आधे वृत्त में कितनी त्रिज्याएँ "फिट" होती हैं? या दूसरे तरीके से: आधे वृत्त की लंबाई त्रिज्या से कितनी गुना अधिक है?

प्राचीन ग्रीस में वैज्ञानिकों ने यह प्रश्न पूछा था।

और इसलिए, एक लंबी खोज के बाद, उन्होंने पाया कि परिधि और त्रिज्या का अनुपात "मानव" संख्याओं जैसे, आदि में व्यक्त नहीं होना चाहता।

और इस भाव को जड़ों के माध्यम से व्यक्त करना भी संभव नहीं है। यानी, यह कहना असंभव है कि आधा वृत्त त्रिज्या से कई गुना बड़ा है! क्या आप कल्पना कर सकते हैं कि लोगों के लिए इसे पहली बार खोजना कितना आश्चर्यजनक था?! आधे वृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के लिए, "सामान्य" संख्याएँ पर्याप्त नहीं थीं। मुझे एक पत्र दर्ज करना था.

तो, - यह अर्धवृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात को व्यक्त करने वाली एक संख्या है।

अब हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: एक सीधे कोण में कितने रेडियन होते हैं? इसमें रेडियन होते हैं। ठीक इसलिए क्योंकि आधा वृत्त त्रिज्या से कई गुना बड़ा है।

सदियों से प्राचीन (और इतने प्राचीन नहीं) लोग (!) इस रहस्यमय संख्या की अधिक सटीक गणना करने की कोशिश की गई, ताकि इसे "सामान्य" संख्याओं के माध्यम से बेहतर ढंग से व्यक्त किया जा सके (कम से कम लगभग)। और अब हम अविश्वसनीय रूप से आलसी हैं - एक व्यस्त दिन के बाद दो संकेत हमारे लिए पर्याप्त हैं, हम इसके आदी हैं

इसके बारे में सोचें, उदाहरण के लिए, इसका मतलब है कि एक त्रिज्या वाले वृत्त की लंबाई लगभग बराबर है, लेकिन इस सटीक लंबाई को "मानव" संख्या के साथ लिखना असंभव है - आपको एक पत्र की आवश्यकता है। और तब यह परिधि बराबर हो जायेगी. और निस्संदेह, त्रिज्या की परिधि बराबर है।

आइए रेडियंस पर वापस जाएं।

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक सीधे कोण में रेडियन होते हैं।

हमारे पास क्या है:

तो ख़ुश यानी ख़ुश। उसी प्रकार, सबसे लोकप्रिय कोणों वाली एक प्लेट प्राप्त की जाती है।

अंकित और केंद्रीय कोणों के मानों के बीच संबंध।

एक आश्चर्यजनक तथ्य है:

अंकित कोण संगत केंद्रीय कोण का आधा आकार है।

देखिए तस्वीर में यह बयान कैसा दिखता है। एक "संगत" केंद्रीय कोण वह होता है जिसके सिरे अंकित कोण के सिरों से मेल खाते हैं, और शीर्ष केंद्र में होता है। और साथ ही, "संबंधित" केंद्रीय कोण को अंकित कोण के समान तार () पर "देखना" चाहिए।

ऐसा क्यों है? आइए पहले इसका पता लगाएं साधारण मामला. किसी एक तार को केंद्र से गुजरने दें। ऐसा कभी-कभी होता है, है ना?

यहाँ क्या होता है? आइए विचार करें. यह समद्विबाहु है - आख़िरकार, और - त्रिज्या। तो, (उन्हें लेबल किया गया)।

अब आइए देखें. यह इसके लिए बाहरी कोना है! हम याद करते हैं कि एक बाहरी कोण दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है जो उससे सटे नहीं होते हैं, और लिखते हैं:

वह है! अप्रत्याशित प्रभाव. लेकिन उत्कीर्णन के लिए एक केन्द्रीय कोण भी होता है।

इसका मतलब यह है कि इस मामले के लिए उन्होंने साबित कर दिया कि केंद्रीय कोण अंकित कोण का दोगुना है। लेकिन यह एक दर्दनाक विशेष मामला है: क्या यह सच नहीं है कि तार हमेशा केंद्र से सीधे नहीं जाता है? लेकिन यह ठीक है, अब यह विशेष मामला हमारी बहुत मदद करेगा। देखो: दूसरा मामला: केंद्र को अंदर रहने दो।

आइए ऐसा करें: व्यास बनाएं। और फिर... हम दो तस्वीरें देखते हैं जिनका पहले मामले में पहले ही विश्लेषण किया जा चुका था। इसलिए वह हमारे पास पहले से ही है

इसका मतलब है (चित्र में, ए)

खैर, मैं रुका आखिरी मामला: कोने के बाहर केंद्र.

हम वही काम करते हैं: बिंदु के माध्यम से व्यास खींचें। सब कुछ वैसा ही है, लेकिन योग के बजाय अंतर है।

इतना ही!

आइए अब इस कथन से दो मुख्य और बहुत महत्वपूर्ण परिणाम निकालें कि अंकित कोण केंद्रीय कोण का आधा है।

परिणाम 1

एक चाप पर आधारित सभी अंकित कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

हम वर्णन करते हैं:

एक ही चाप पर आधारित अनगिनत अंकित कोण होते हैं (हमारे पास यह चाप है), वे पूरी तरह से अलग दिख सकते हैं, लेकिन उन सभी का केंद्रीय कोण एक ही है (), जिसका अर्थ है कि ये सभी अंकित कोण आपस में बराबर हैं।

परिणाम 2

व्यास द्वारा अंतरित कोण समकोण होता है।

देखो: कौन सा कोण केन्द्र में है?

निश्चित रूप से, । लेकिन वह बराबर है! खैर, इसलिए (साथ ही कई और अंकित कोण भी टिके हुए हैं) और बराबर है।

दो जीवाओं और छेदक रेखाओं के बीच का कोण

लेकिन क्या होगा यदि जिस कोण में हम रुचि रखते हैं वह अंकित नहीं है और केंद्रीय नहीं है, लेकिन, उदाहरण के लिए, इस तरह:

या इस तरह?

क्या इसे किसी तरह कुछ केंद्रीय कोणों से व्यक्त करना संभव है? यह पता चला कि यह संभव है. देखिए: हमें दिलचस्पी है.

ए) (बाहरी कोने के रूप में)। लेकिन - खुदा हुआ, चाप पर टिका हुआ -। - खुदा हुआ, चाप पर टिका हुआ - .

सुंदरता के लिए वे कहते हैं:

जीवाओं के बीच का कोण इस कोण में घिरे चापों के कोणीय मानों के आधे योग के बराबर होता है।

वे इसे संक्षिप्तता के लिए लिखते हैं, लेकिन निश्चित रूप से, इस सूत्र का उपयोग करते समय आपको केंद्रीय कोणों को ध्यान में रखना होगा

बी) और अब - "बाहर"! यह कैसे हो सकता है? हाँ, लगभग वैसा ही! केवल अब (फिर से हम बाहरी कोण की संपत्ति को लागू करते हैं)। वह तो अभी है.

और उसका अर्थ यह निकलता है... आइए नोट्स और शब्दों में सुंदरता और संक्षिप्तता लाएं:

छेदक रेखाओं के बीच का कोण इस कोण में घिरे चापों के कोणीय मानों के आधे अंतर के बराबर है।

खैर, अब आप वृत्त से संबंधित कोणों के बारे में सभी बुनियादी ज्ञान से लैस हैं। आगे बढ़ें, चुनौतियों का सामना करें!

वृत्त और अंदरुनी कोण. मध्य स्तर

यहां तक ​​कि पांच साल का बच्चा भी जानता है कि वृत्त क्या है, है ना? हमेशा की तरह, गणितज्ञों के पास इस विषय पर एक गूढ़ परिभाषा है, लेकिन हम इसे नहीं देंगे (देखें), बल्कि आइए याद रखें कि एक वृत्त से जुड़े बिंदुओं, रेखाओं और कोणों को क्या कहा जाता है।

महत्वपूर्ण शर्तें

खैर, सबसे पहले:

वृत्त का केंद्र- वह बिंदु जिससे वृत्त के सभी बिंदु समान दूरी पर हों।

दूसरा:

एक और स्वीकृत अभिव्यक्ति है: "राग चाप को सिकोड़ती है।" यहाँ चित्र में, उदाहरण के लिए, जीवा चाप को अंतरित करती है। और यदि कोई राग अचानक केंद्र से होकर गुजरता है, तो उसका एक विशेष नाम होता है: "व्यास"।

वैसे, व्यास और त्रिज्या कैसे संबंधित हैं? ध्यान से देखें। बिल्कुल

और अब - कोनों के नाम.

प्राकृतिक, है ना? कोण की भुजाएँ केंद्र से विस्तारित होती हैं - जिसका अर्थ है कि कोण केंद्रीय है।

यहीं पर कभी-कभी कठिनाइयां उत्पन्न होती हैं। ध्यान देना - वृत्त के अंदर कोई भी कोण अंकित नहीं है,लेकिन केवल वही जिसका शीर्ष वृत्त पर ही "बैठता" है।

आइए तस्वीरों में देखें अंतर:

दूसरे तरीके से वे कहते हैं:

यहाँ एक पेचीदा बिंदु है. "संगत" या "स्वयं" केंद्रीय कोण क्या है? वृत्त के केंद्र पर शीर्ष और चाप के सिरों पर सिरों के साथ बस एक कोण? ज़रूरी नहीं। ड्राइंग को देखो.

हालाँकि, उनमें से एक कोने जैसा भी नहीं दिखता - यह बड़ा है। लेकिन एक त्रिभुज में अधिक कोण नहीं हो सकते, लेकिन एक वृत्त में अधिक कोण हो सकते हैं! तो: छोटा चाप AB छोटे कोण (नारंगी) से मेल खाता है, और बड़ा चाप बड़े कोण से मेल खाता है। बिल्कुल ऐसे ही, है ना?

उत्कीर्ण और केंद्रीय कोणों के बीच संबंध

यह अत्यंत महत्वपूर्ण कथन याद रखें:

पाठ्यपुस्तकों में वे इसी तथ्य को इस तरह लिखना पसंद करते हैं:

क्या यह सच नहीं है कि केंद्रीय कोण के साथ सूत्रीकरण सरल है?

लेकिन फिर भी, आइए दोनों फॉर्मूलेशन के बीच एक पत्राचार ढूंढें, और साथ ही चित्रों में "संबंधित" केंद्रीय कोण और चाप जिस पर अंकित कोण "आराम करता है" ढूंढना सीखें।

देखो: यहाँ एक वृत्त और एक अंकित कोण है:

इसका "संगत" केंद्रीय कोण कहाँ है?

आइए फिर से देखें:

क्या है नियम?

लेकिन! इस मामले में, यह महत्वपूर्ण है कि अंकित और केंद्रीय कोण एक तरफ से चाप पर "देखें"। यहाँ, उदाहरण के लिए:

अजीब बात है, नीला! क्योंकि चाप लंबा है, वृत्त के आधे से भी अधिक लंबा! तो कभी भ्रमित मत होइए!

अंकित कोण के "आधेपन" से क्या परिणाम निकाला जा सकता है?

लेकिन, उदाहरण के लिए:

व्यास द्वारा अंतरित कोण

आप पहले ही देख चुके हैं कि गणितज्ञ उन्हीं चीज़ों के बारे में बात करना पसंद करते हैं। अलग-अलग शब्दों में? उन्हें इसकी आवश्यकता क्यों है? आप देखिए, गणित की भाषा औपचारिक होते हुए भी जीवित है, और इसलिए, सामान्य भाषा की तरह, हर बार आप इसे अधिक सुविधाजनक तरीके से कहना चाहते हैं। खैर, हम पहले ही देख चुके हैं कि "एक कोण एक चाप पर टिका हुआ है" का क्या मतलब है। और कल्पना कीजिए, उसी चित्र को "एक कोण एक तार पर टिका हुआ" कहा जाता है। कौन सा? हाँ, निःसंदेह, उस व्यक्ति के लिए जो इस चाप को कसता है!

चाप की तुलना में जीवा पर भरोसा करना कब अधिक सुविधाजनक होता है?

खैर, विशेष रूप से, जब यह राग एक व्यास है।

ऐसी स्थिति के लिए आश्चर्यजनक रूप से सरल, सुंदर और उपयोगी कथन है!

देखो: यहाँ वृत्त, व्यास और उस पर स्थित कोण है।

वृत्त और अंदरुनी कोण. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

1. बुनियादी अवधारणाएँ।

3. चापों और कोणों की माप.

रेडियन कोण एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

यह एक संख्या है जो अर्धवृत्त की लंबाई और उसकी त्रिज्या के अनुपात को व्यक्त करती है।

त्रिज्या की परिधि बराबर होती है.

4. उत्कीर्ण और केंद्रीय कोणों के मानों के बीच संबंध।

इस लेख में मैं आपको बताऊंगा कि उपयोग में आने वाली समस्याओं को कैसे हल किया जाए।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, आइए उन परिभाषाओं और प्रमेयों को याद करें जिन्हें आपको समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए जानना आवश्यक है।

1.अंकित कोणवह कोण है जिसका शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाएँ वृत्त को काटती हैं:

2.केन्द्रीय कोणवह कोण है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र से मेल खाता है:

एक वृत्ताकार चाप का डिग्री मानउस पर स्थित केंद्रीय कोण के परिमाण से मापा जाता है।

इस स्थिति में, चाप AC का डिग्री मान कोण AOS के मान के बराबर है।

3. यदि उत्कीर्ण एवं केन्द्रीय कोण एक ही चाप पर आधारित हों, तो अंकित कोण केंद्रीय कोण का आधा आकार है:

4. एक चाप पर टिके सभी अंकित कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं:

5. व्यास द्वारा अंतरित अंकित कोण 90° है:

आइए कई समस्याओं का समाधान करें.

1. टास्क बी7 (नंबर 27887)

आइए उसी चाप पर स्थित केंद्रीय कोण का मान ज्ञात करें:

जाहिर है, कोण AOC 90° के बराबर है, इसलिए, कोण ABC 45° के बराबर है

उत्तर: 45°

2.कार्य बी7 (नंबर 27888)

कोण ABC का आकार ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

जाहिर है, कोण AOC 270° है, तो कोण ABC 135° है।

उत्तर: 135°

3. टास्क बी7 (नंबर 27890)

कोण ABC द्वारा अंतरित वृत्त के चाप AC का डिग्री मान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

आइए चाप AC पर स्थित केंद्रीय कोण का मान ज्ञात करें:

कोण AOS का परिमाण 45° है, इसलिए चाप AC का डिग्री माप 45° है।

उत्तर: 45°.

4. टास्क बी7 (नंबर 27885)

कोण ACB ज्ञात करें यदि अंकित कोण ADB और DAE वृत्ताकार चापों पर टिके हैं जिनकी डिग्री मान क्रमशः और के बराबर हैं। अपना उत्तर डिग्री में दें।

कोण ADB चाप AB पर टिका है, इसलिए केंद्रीय कोण AOB का मान 118° के बराबर है, इसलिए कोण BDA 59° के बराबर है, और आसन्न कोण ADC 180°-59° = 121° के बराबर है

इसी प्रकार, कोण DOE 38° है और संगत अंकित कोण DAE 19° है।

त्रिभुज ADC पर विचार करें:

एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

कोण ACB 180°- (121°+19°)=40° के बराबर है

उत्तर: 40°

5. टास्क बी7 (नंबर 27872)

चतुर्भुज एबीसीडी एबी, बीसी, सीडी और एडी की भुजाएं परिबद्ध वृत्त चापों को अंतरित करती हैं जिनकी डिग्री मान क्रमशः, और के बराबर हैं। इस चतुर्भुज का कोण B ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

कोण B चाप ADC पर टिका है, जिसका मान चाप AD और CD के मानों के योग के बराबर है, अर्थात 71°+145°=216°

अंकित कोण B चाप ADC के आधे परिमाण के बराबर है, अर्थात 108°

उत्तर: 108°

6. टास्क बी7 (नंबर 27873)

एक वृत्त पर स्थित बिंदु A, B, C, D, इस वृत्त को चार चाप AB, BC, CD और AD में विभाजित करते हैं, जिनके डिग्री मान क्रमशः 4:2:3:6 के अनुपात में हैं। चतुर्भुज ABCD का कोण A ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

(पिछले कार्य का चित्र देखें)

चूँकि हमने चापों के परिमाण का अनुपात दिया है, हम इकाई तत्व x का परिचय देते हैं। तब प्रत्येक चाप का परिमाण निम्नलिखित अनुपात द्वारा व्यक्त किया जाएगा:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x। सभी चाप एक वृत्त बनाते हैं, अर्थात् उनका योग 360° होता है।

4x+2x+3x+6x=360°, इसलिए x=24°.

कोण A चाप BC और CD द्वारा समर्थित है, जिनका कुल मान 5x=120° है।

इसलिए, कोण A 60° है

उत्तर: 60°

7. टास्क बी7 (नंबर 27874)

अहाता ए बी सी डीएक वृत्त में अंकित. कोना एबीसीके बराबर, कोण पाजी