Daudzskaldni, kurā viena no tā skaldnēm ir daudzstūris, bet visas pārējās skalas ir trijstūri ar kopīgu virsotni, sauc par piramīdu.

Šos trīsstūrus, kas veido piramīdu, sauc sānu sejas, un atlikušais daudzstūris ir pamats piramīdas.

Piramīdas pamatnē atrodas ģeometriskā figūra– n-gon. Šajā gadījumā piramīdu sauc arī n-ogleklis.

Tiek saukta trīsstūrveida piramīda, kuras visas malas ir vienādas tetraedrs.

Piramīdas malas, kas nepieder pie pamatnes, sauc sānu, un to kopīgā būtība ir virsotne piramīdas. Pārējās piramīdas malas parasti sauc puses uz pamata.

Piramīdu sauc pareizi, ja tā pamatnē ir regulārs daudzstūris un visas sānu malas ir vienādas viena ar otru.

Attālumu no piramīdas virsotnes līdz pamatnes plaknei sauc augstums piramīdas. Varam teikt, ka piramīdas augstums ir pamatnei perpendikulārs segments, kura gali atrodas piramīdas augšpusē un uz pamatnes plaknes.

Jebkurai piramīdai piemēro šādas formulas:

1) S pilna = S puse + S galvenā, Kur

S kopā – platība pilna virsma piramīdas;

S puse – sānu virsmas laukums, t.i. visu piramīdas sānu malu laukumu summa;

S galvenais – piramīdas pamatnes laukums.

2) V = 1/3 S bāzes N, Kur

V – piramīdas tilpums;

H – piramīdas augstums.

Priekš regulāra piramīda notiek:

S puse = 1/2 P galvenā h, Kur

P main – piramīdas pamatnes perimetrs;

h ir apotēmas garums, tas ir, sānu virsmas augstums, kas nolaists no piramīdas augšas.

Piramīdas daļu, kas atrodas starp divām plaknēm - pamatplakni un griešanas plakni, kas ir paralēla pamatnei, sauc. nošķelta piramīda.

Tiek saukts piramīdas pamats un piramīdas šķērsgriezums pa paralēlu plakni iemeslus nošķelta piramīda. Pārējās sejas tiek sauktas sānu. Attālumu starp pamatu plaknēm sauc augstums nošķelta piramīda. Tiek sauktas malas, kas nepieder pie pamatiem sānu.

Turklāt nošķeltas piramīdas pamatne līdzīgi n-goni. Ja nošķeltas piramīdas pamati ir regulāri daudzstūri, un visas sānu malas ir vienādas viena ar otru, tad šādu nošķeltu piramīdu sauc pareizi.

Priekš patvaļīga nošķelta piramīda tiek piemērotas šādas formulas:

1) S pilna = S puse + S 1 + S 2, Kur

S total – kopējais virsmas laukums;

S puse – sānu virsmas laukums, t.i. visu nošķeltas piramīdas sānu malu laukumu summa, kas ir trapeces;

S 1, S 2 – pamatplatības;

2) V = 1/3 (S 1 + S 2 + √ (S 1 · S 2)) H, Kur

V – nošķeltās piramīdas tilpums;

H – nošķeltās piramīdas augstums.

Priekš regulāra nošķelta piramīda mums ir arī:

S puse = 1/2 (P 1 + P 2) h, Kur

P 1, P 2 – pamatu perimetrs;

h – apotēma (sānu virsmas augstums, kas ir trapecveida).

Apskatīsim vairākas problēmas, kas saistītas ar nošķeltu piramīdu.

1. uzdevums.

Trīsstūrveida nošķeltā piramīdā, kuras augstums ir vienāds ar 10, vienas pamatnes malas ir 27, 29 un 52. Nosakiet nošķeltās piramīdas tilpumu, ja otras pamatnes perimetrs ir 72.

Risinājums.

Aplūkosim attēlā parādīto nošķelto piramīdu ABCA 1 B 1 C 1 1. attēls.

1. Nošķeltas piramīdas tilpumu var atrast, izmantojot formulu

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), kur S 1 ir vienas bāzes laukums, var atrast, izmantojot Herona formulu

S = √(p(p–a)(p–b)(p–c)),

jo Uzdevums uzrāda trīsstūra trīs malu garumus.

Mums ir: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54 (54–27) (54–29) (54–52)) = √ (54 27 25 2) = 270.

2. Piramīda ir nošķelta, kas nozīmē, ka līdzīgi daudzstūri atrodas pie pamatiem. Mūsu gadījumā trijstūris ABC ir līdzīgs trīsstūrim A 1 B 1 C 1. Turklāt līdzības koeficientu var atrast kā aplūkojamo trīsstūru perimetru attiecību, un to laukumu attiecība būs vienāda ar līdzības koeficienta kvadrātu. Tādējādi mums ir:

S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 / 72 2 = 9/4. Tādējādi S 2 = 4S 1 / 9 = 4 270/9 = 120.

Tātad, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Atbilde: 1900.

2. uzdevums.

Trīsstūrveida nošķeltā piramīdā caur augšējās pamatnes malu tiek novilkta plakne paralēli pretējai sānu malai. Kādā attiecībā tiek dalīts nošķeltas piramīdas tilpums, ja pamatu atbilstošās malas ir attiecībā 1:2?

Risinājums.

Apsveriet ABCA 1 B 1 C 1 - nošķeltu piramīdu, kas parādīta attēlā rīsi. 2.

Tā kā pamatnēs malas ir attiecībā 1:2, tad pamatu laukumi ir attiecībā 1:4 (trijstūris ABC ir līdzīgs trijstūrim A 1 B 1 C 1).

Tad nošķeltas piramīdas tilpums ir:

V = 1/3 h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3 h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, kur S 2 – augšējās pamatnes laukums, h – augstums.

Bet prizmas ADEA 1 B 1 C 1 tilpums ir V 1 = S 2 h un tāpēc

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Tātad, V 2: V 1 = 3: 4.

Atbilde: 3:4.

3. uzdevums.

Regulāras četrstūrainas nošķeltas piramīdas pamatu malas ir vienādas ar 2 un 1, un augstums ir 3. Caur piramīdas diagonāļu krustošanās punktu paralēli piramīdas pamatiem ir novilkta plakne, kas sadala piramīdu divās daļās. Atrodiet katra no tiem apjomu.

Risinājums.

Aplūkosim attēlā redzamo nošķelto piramīdu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 rīsi. 3.

Apzīmēsim O 1 O 2 = x, tad OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Apsveriet trīsstūri B 1 O 2 D 1 un trīsstūri BO 2 D:

leņķis B 1 O 2 D 1 vienāds ar leņķi VO 2 D kā vertikāls;

leņķis BDO 2 ir vienāds ar leņķi D 1 B 1 O 2 un leņķis O 2 ВD ir vienāds ar leņķi B 1 D 1 O 2, kas atrodas šķērsām B 1 D 1 || Attiecīgi BD un sekanti B₁D un BD₁.

Tāpēc trīsstūris B 1 O 2 D 1 ir līdzīgs trijstūrim BO 2 D un malu attiecība ir:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 vai 1/2 = x/(x – 3), no kurienes x = 1.

Apsveriet trīsstūri B 1 D 1 B un trijstūri LO 2 B: leņķis B ir kopīgs, un pie B 1 D 1 ir arī vienpusēju leņķu pāris || LM, kas nozīmē, ka trijstūris B 1 D 1 B ir līdzīgs trīsstūrim LO 2 B, no kura B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, t.i.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Tad S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Tātad, V 1 = 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Atbilde: 152/27; 37/27.

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

Piramīda. Nocirsta piramīda

Piramīda ir daudzskaldnis, kura viena no skaldnēm ir daudzstūris ( bāze ), un visas pārējās skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni ( sānu sejas ) (15. att.). Piramīdu sauc pareizi , ja tās pamats ir regulārs daudzstūris un piramīdas virsotne ir projicēta pamatnes centrā (16. att.). Tiek saukta trīsstūrveida piramīda ar vienādām malām tetraedrs .

Sānu riba piramīdas ir sānu virsmas puse, kas nepieder pie pamatnes Augstums piramīda ir attālums no tās augšdaļas līdz pamatnes plaknei. Visas regulāras piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru, visas sānu malas ir vienādi vienādsānu trīsstūri. No virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms . Diagonālā sadaļa sauc par piramīdas posmu plaknē, kas iet caur divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.

Sānu virsmas laukums piramīda ir visu sānu virsmu laukumu summa. Kopējais virsmas laukums sauc par visu sānu virsmu un pamatnes laukumu summu.

Teorēmas

1. Ja piramīdā visas sānu malas ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnes tuvumā esošā apļa centrā.

2. Ja piramīdā visām sānu malām ir vienādi garumi, tad piramīdas virsotne tiek projicēta apļa centrā, kas ir norobežots netālu no pamatnes.

3. Ja piramīdā visas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā.

Lai aprēķinātu patvaļīgas piramīdas tilpumu, pareizā formula ir:

Kur V- apjoms;

S bāze– bāzes platība;

H- piramīdas augstums.

Parastai piramīdai pareizas ir šādas formulas:

Kur lpp– bāzes perimetrs;

h a– apotēms;

H- augstums;

S pilns

S pusē

S bāze– bāzes platība;

V– regulāras piramīdas tilpums.

Nocirsta piramīda sauc par piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei (17. att.). Regulāra nošķelta piramīda ir regulāras piramīdas daļa, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei.

Iemesli nošķelta piramīda - līdzīgi daudzstūri. Sānu sejas – trapeces. Augstums nošķeltas piramīdas ir attālums starp tās pamatiem. Diagonāli nošķelta piramīda ir segments, kas savieno tās virsotnes, kas neatrodas uz vienas virsmas. Diagonālā sadaļa ir nošķeltas piramīdas posms ar plakni, kas iet cauri divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.

Atdalītai piramīdai ir derīgas šādas formulas:

(4)

Kur S 1 , S 2 – augšējās un apakšējās pamatnes laukumi;

S pilns– kopējais virsmas laukums;

S pusē– sānu virsmas laukums;

H- augstums;

V– nošķeltas piramīdas tilpums.

Parastai saīsinātai piramīdai formula ir pareiza:

Kur lpp 1 , lpp 2 – pamatu perimetrs;

h a– regulāras nošķeltas piramīdas apotēma.

1. piemērs. Labajā pusē trīsstūrveida piramīda diedrālais leņķis pie pamatnes ir 60º. Atrodiet slīpuma leņķa tangensu sānu riba uz bāzes plakni.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (18. att.).

Piramīda ir pareiza, tas nozīmē, ka tā ir pamatnē vienādmalu trīsstūris un visas sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trīsstūri. Divšķautņu leņķis pie pamatnes ir piramīdas sānu virsmas slīpuma leņķis pret pamatnes plakni. Lineārais leņķis ir leņķis a starp diviem perpendikuliem: utt. Piramīdas virsotne tiek projicēta trijstūra centrā (apļa apļa centrā un trijstūra ierakstītajā aplī ABC). Sānu malas slīpuma leņķis (piemēram S.B.) ir leņķis starp pašu malu un tās projekciju uz pamatnes plakni. Par ribu S.B.šis leņķis būs leņķis SBD. Lai atrastu tangensu, jums jāzina kājas SO Un O.B.. Ļaujiet segmenta garumam BD vienāds ar 3 A. Punkts PAR segmentu BD ir sadalīts daļās: un No mēs atrodam SO: No mēs atrodam:

Atbilde:

2. piemērs. Atrodiet regulāras nošķeltas četrstūra piramīdas tilpumu, ja tās pamatu diagonāles ir vienādas ar cm un cm un augstums ir 4 cm.

Risinājums. Lai atrastu nošķeltas piramīdas tilpumu, mēs izmantojam formulu (4). Lai atrastu pamatu laukumu, jums jāatrod pamatnes kvadrātu malas, zinot to diagonāles. Pamatu malas ir attiecīgi vienādas ar 2 cm un 8 cm. Tas nozīmē pamatu laukumus un, aizstājot visus datus formulā, mēs aprēķinām nošķeltas piramīdas tilpumu:

Atbilde: 112 cm3.

3. piemērs. Atrodiet regulāras trīsstūrveida nošķeltas piramīdas sānu malas laukumu, kuras pamatnes malas ir 10 cm un 4 cm, bet piramīdas augstums ir 2 cm.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (19. att.).

Šīs piramīdas sānu mala ir vienādsānu trapece. Lai aprēķinātu trapeces laukumu, jums jāzina pamatne un augstums. Pamatnes dotas pēc stāvokļa, tikai augstums paliek nezināms. Mēs viņu atradīsim no kurienes A 1 E perpendikulāri no punkta A 1 apakšējās pamatnes plaknē, A 1 D– perpendikulāri no A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, jo ​​tas ir piramīdas augstums. Lai atrastu DE Uztaisīsim papildu zīmējumu, kas parāda augšējo skatu (20. att.). Punkts PAR– augšējās un apakšējās pamatnes centru projekcija. kopš (skat. 20. att.) un No otras puses Labi– rādiuss, kas ierakstīts aplī un OM– rādiuss, kas ierakstīts aplī:

MK = DE.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu no

Sānu sejas zona:

Atbilde:

4. piemērs. Piramīdas pamatnē atrodas vienādsānu trapece, kuras pamati A Un b (a> b). Katrs sānu mala veido leņķi, kas vienāds ar piramīdas pamatnes plakni j. Atrodiet piramīdas kopējo virsmas laukumu.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (21. att.). Piramīdas kopējais virsmas laukums SABCD vienāds ar laukumu summu un trapeces laukumu ABCD.

Izmantosim apgalvojumu, ka, ja visas piramīdas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā. Punkts PAR– virsotņu projekcija S piramīdas pamatnē. Trīsstūris SOD ir trijstūra ortogonālā projekcija CSD līdz pamatnes plaknei. Pēc teorēmas par ortogonālās projekcijas laukumu plakana figūra mēs iegūstam:

Tāpat tas nozīmē Tādējādi problēma tika samazināta līdz trapeces laukuma atrašanai ABCD. Uzzīmēsim trapecveida formu ABCD atsevišķi (22. att.). Punkts PAR– trapecē ierakstīta apļa centrs.

Tā kā apli var ierakstīt trapecē, tad vai No Pitagora teorēmas mums ir

• 09.10.2014

  Attēlā redzamais priekšpastiprinātājs ir paredzēts lietošanai ar 4 veidu skaņas avotiem, piemēram, mikrofonu, CD atskaņotāju, radio u.c. Šajā gadījumā priekšpastiprinātājam ir viena ieeja, kas var mainīt jutību no 50 mV uz 500 mV. pastiprinātāja izejas spriegums 1000mV. Savienojuma izveide dažādi avoti signālu, pārslēdzot slēdzi SA1, mēs vienmēr saņemam ...

• 20.09.2014

  Barošanas avots ir paredzēts 15…20 W slodzei. Avots ir izgatavots saskaņā ar viena cikla impulsu augstfrekvences pārveidotāja ķēdi. Tranzistoru izmanto, lai saliktu pašoscilatoru, kas darbojas ar frekvenci 20…40 kHz. Frekvenci regulē ar kapacitāti C5. Elementi VD5, VD6 un C6 veido oscilatora palaišanas ķēdi. Sekundārajā ķēdē pēc tilta taisngrieža mikroshēmā ir parasts lineārais stabilizators, kas ļauj jums ...

• 28.09.2014

  Attēlā parādīts ģenerators, kura pamatā ir K174XA11 mikroshēma, kuras frekvenci kontrolē spriegums. Mainot kapacitāti C1 no 560 uz 4700 pF, var iegūt plašu frekvenču diapazonu, savukārt frekvence tiek regulēta, mainot pretestību R4. Tā, piemēram, autors uzzināja, ka ar C1 = 560pF ģeneratora frekvenci var mainīt, izmantojot R4 no 600Hz uz 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Ierīce ir paredzēta, lai darbinātu jaudīgu ULF, tā ir paredzēta izejas spriegumam ±27 V un slodzei līdz 3A uz katru roku. Barošanas avots ir bipolārs, izgatavots uz kompozītmateriāla tranzistoriem KT825-KT827. Abas stabilizatora sviras ir izgatavotas pēc vienas shēmas, bet otrā svirā (nav attēlota) tiek mainīta kondensatoru polaritāte un tiek izmantoti cita veida tranzistori...

ir daudzskaldnis, ko veido piramīdas pamatne un tai paralēls posms. Mēs varam teikt, ka nošķelta piramīda ir piramīda ar nogrieztu augšdaļu. Šim skaitlim ir daudz unikālu īpašību:

• Piramīdas sānu malas ir trapeces;
• Regulāras nošķeltas piramīdas sānu malas ir vienāda garuma un slīpas pret pamatni tādā pašā leņķī;
• Pamati ir līdzīgi daudzstūri;
• Parastā nošķeltajā piramīdā sejas ir identiskas vienādsānu trapeces, kuru laukums ir vienāds. Tie ir arī slīpi pret pamatni vienā leņķī.

Nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukuma formula ir tās malu laukumu summa:

Tā kā nošķeltas piramīdas malas ir trapeces, lai aprēķinātu parametrus, jums būs jāizmanto formula trapecveida laukums. Parastai nošķeltai piramīdai laukuma aprēķināšanai varat izmantot citu formulu. Tā kā visas tās malas, skaldnes un leņķi pie pamatnes ir vienādi, ir iespējams pielietot pamatnes un apotēmas perimetrus, kā arī iegūt laukumu caur leņķi pie pamatnes.

Ja saskaņā ar nosacījumiem regulārā nošķeltā piramīdā ir norādīts apotēms (sānu augstums) un pamatnes malu garumi, tad laukumu var aprēķināt caur perimetru summas pusproduktu. bāzes un apotēms:

Apskatīsim piemēru, kā aprēķināt nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumu.
Dota regulāra piecstūra piramīda. Apotēma l= 5 cm, malas garums lielajā pamatnē ir a= 6 cm, un mala atrodas mazākajā pamatnē b= 4 cm Aprēķiniet nošķeltas piramīdas laukumu.

Vispirms noskaidrosim pamatu perimetrus. Tā kā mums ir dota piecstūra piramīda, mēs saprotam, ka pamati ir piecstūri. Tas nozīmē, ka pamatnēs ir figūra ar piecām identiskām malām. Atradīsim lielākās bāzes perimetru:

Tādā pašā veidā mēs atrodam mazākās pamatnes perimetru:

Tagad mēs varam aprēķināt parastās nošķeltas piramīdas laukumu. Aizvietojiet datus formulā:

Tādējādi mēs aprēķinājām regulāras nošķeltas piramīdas laukumu caur perimetru un apotēmu.

Vēl viens veids, kā aprēķināt parastās piramīdas sānu virsmas laukumu, ir formula caur leņķiem pie pamatnes un šo pamatu laukumu.

Apskatīsim aprēķina piemēru. Mēs atceramies, ka šī formula attiecas tikai uz regulāru nošķeltu piramīdu.

Lai tiek dots pareizais četrstūra piramīda. Apakšējās pamatnes mala ir a = 6 cm, bet augšējās pamatnes mala ir b = 4 cm Divšķautņu leņķis pie pamatnes ir β = 60°. Atrodiet regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumu.

Pirmkārt, aprēķināsim pamatu laukumu. Tā kā piramīda ir regulāra, visas pamatu malas ir vienādas viena ar otru. Ņemot vērā, ka bāze ir četrstūris, saprotam, ka būs jāaprēķina laukuma platība. Tas ir platuma un garuma reizinājums, bet kvadrātā šīs vērtības ir vienādas. Atradīsim lielākās bāzes laukumu:


Tagad mēs izmantojam atrastās vērtības, lai aprēķinātu sānu virsmas laukumu.

Zinot dažas vienkāršas formulas, mēs viegli aprēķinājām nošķeltas piramīdas sānu trapeces laukumu, izmantojot dažādas vērtības.