Энэ өгүүлэл нь хавтгай дээр байрлах тэгш өнцөгт координатын системийн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийн гарал үүслийг илчилнэ. Тэгш өнцөгт координатын системийн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг гаргая. Бид хамрагдсан материалтай холбоотой хэд хэдэн жишээг тодорхой харуулж, шийдвэрлэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олж авахын өмнө зарим баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хавтгай дээрх хоёр зөрөөтэй цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг шулуун шугам татах боломжтой гэсэн аксиом байдаг. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээрх хоёр өгөгдсөн цэгийг эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамаар тодорхойлно.

Хэрэв хавтгай нь тэгш өнцөгт координатын Oxy системээр тодорхойлогддог бол түүн дээр дүрслэгдсэн аливаа шулуун шугам нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлтэй тохирно. Шулуун шугамын чиглүүлэгч вектортой холболт бас бий. Энэ өгөгдөл нь өгөгдсөн хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүрдүүлэхэд хангалттай.

Үүнтэй төстэй асуудлыг шийдэх жишээг авч үзье. Декартын координатын системд байрлах M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) хоёр салангид цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай.

x - x 1 a x = y - y 1 a y хэлбэртэй хавтгай дээрх шулууны каноник тэгшитгэлд тэгш өнцөгт координатын систем O x y нь координат M 1 (x) цэгт түүнтэй огтлолцох шугамаар тодорхойлогддог. 1, y 1) чиглүүлэгч вектортой a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх a шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай.

Шулуун a нь M 1 ба M 2 цэгүүдийг огтолж байгаа тул координаттай (x 2 - x 1, y 2 - y 1) M 1 M 2 → чиглэлийн вектортой байна. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) чиглэлийн векторын координат ба тэдгээр дээр байрлах M 1 цэгүүдийн координат бүхий каноник тэгшитгэлийг хувиргахын тулд бид шаардлагатай өгөгдлийг олж авсан. (x 1, y 1) ба M 2 (x 2 , y 2) . Бид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна.

Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Тооцооллын дараа бид M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх хавтгай дээрх шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бичнэ. Бид x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ эсвэл x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Хэд хэдэн жишээг шийдвэрлэх талаар нарийвчлан авч үзье.

Жишээ 1

М 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 координаттай өгөгдсөн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

x 1, y 1 ба x 2, y 2 координаттай хоёр цэгт огтлолцох шулууны каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 хэлбэртэй байна. Бодлогын нөхцлийн дагуу бид x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 байна. Тоон утгыг x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 тэгшитгэлд орлуулах шаардлагатай. Эндээс бид каноник тэгшитгэл нь x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 хэлбэртэй болохыг олж мэднэ.

Хариулт: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Хэрэв та өөр төрлийн тэгшитгэлтэй асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол эхлээд каноник руу очиж болно, учир нь үүнээс өөр тэгшитгэл рүү шилжих нь илүү хялбар байдаг.

Жишээ 2

Зохиох ерөнхий тэгшитгэл O xy координатын системийн M 1 (1, 1) ба M 2 (4, 2) координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам.

Шийдэл

Эхлээд та өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх өгөгдсөн шугамын каноник тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. Бид x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

Каноник тэгшитгэлийг хүссэн хэлбэрт аваачъя, тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 у - 1 ⇔ x - 3 у + 2 = 0

Хариулт: x - 3 y + 2 = 0.

Ийм даалгаврын жишээг алгебрийн хичээлийн үеэр сургуулийн сурах бичигт авч үзсэн. Сургуулийн асуудлууд нь шулуун шугамын тэгшитгэлээр ялгаатай байв налуу, y = k x + b хэлбэртэй байна. Хэрэв та y = k x + b тэгшитгэл нь M 1 (x 1, y 1) ба M 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх O x y системийн шугамыг тодорхойлдог k налуу ба b тоог олох шаардлагатай бол. (x 2, y 2) , энд x 1 ≠ x 2. x 1 = x 2 үед , дараа нь өнцгийн коэффициент нь хязгааргүй байдлын утгыг авах ба шулуун шугам M 1 M 2 нь x - x 1 = 0 хэлбэрийн ерөнхий бүрэн бус тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. .

Учир нь оноо М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байгаа бол тэдгээрийн координатууд нь y 1 = k x 1 + b ба y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийг хангана. k ба b-ийн хувьд y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай.

Үүнийг хийхийн тулд бид k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 эсвэл k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = -г олно. y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

k ба b-ийн эдгээр утгуудын хувьд өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь у = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x болно. 1 эсвэл y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Үүнийг даруй санаарай асар их хэмжээтомъёо ажиллахгүй. Үүнийг хийхийн тулд асуудлыг шийдвэрлэхэд давталтын тоог нэмэгдүүлэх шаардлагатай.

Жишээ 3

M 2 (2, 1) ба у = k x + b координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид y = k x + b хэлбэрийн өнцгийн коэффициент бүхий томъёог ашигладаг. k ба b коэффициентүүд нь энэ тэгшитгэл нь M 1 (- 7, - 5) ба M 2 (2, 1) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамтай тохирч байх ёстой.

Оноо М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байрладаг бол тэдгээрийн координатууд нь y = k x + b тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгох ёстой. Эндээс бид үүнийг олж авна - 5 = k · (- 7) + b ба 1 = k · 2 + b. - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b системд тэгшитгэлийг нэгтгэж шийдье.

Орлуулах үед бид үүнийг олж авдаг

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Одоо k = 2 3 ба b = - 1 3 утгуудыг y = k x + b тэгшитгэлд орлуулж байна. Өгөгдсөн цэгүүдийг дайран өнгөрөх шаардлагатай тэгшитгэл нь y = 2 3 x - 1 3 хэлбэрийн тэгшитгэл байх болно гэдгийг бид олж мэдэв.

Энэхүү шийдлийн арга нь зарцуулалтыг урьдчилан тодорхойлдог их хэмжээнийцаг. Даалгаврыг шууд утгаараа хоёр үе шаттайгаар шийддэг арга байдаг.

X - (- 7) 2 - (- 7) = у - (- 5) хэлбэртэй M 2 (2, 1) ба M 1 (- 7, - 5) -ийг дайран өнгөрөх шулууны каноник тэгшитгэлийг бичье. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Одоо налуугийн тэгшитгэл рүү шилжье. Бид үүнийг олж авна: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Хариулт: y = 2 3 x - 1 3 .

Гурван хэмжээст орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) координатуудтай давхцахгүй өгөгдсөн хоёр цэг бүхий тэгш өнцөгт координатын систем O x y z байвал M шулуун шугамыг тэдгээрийн дундуур 1 M 2-ээр дамжуулж, энэ шугамын тэгшитгэлийг олж авах шаардлагатай.

Бидэнд x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z хэлбэрийн каноник тэгшитгэлүүд ба x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z хэлбэрийн параметрт тэгшитгэлүүд байна. 1 + a z · λ нь a → = (a x, a y, a z) чиглэлийн вектор бүхий координаттай (x 1, y 1, z 1) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх O x y z координатын систем дэх шугамыг тодорхойлох боломжтой.

Шулуун М 1 М 2 нь M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) хэлбэрийн чиглэлийн вектортой бөгөөд шулуун шугам нь M 1 (x 1, y 1,) цэгээр дамждаг. z 1) ба M 2 (x 2 , y 2 , z 2), иймээс каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 хэлбэртэй байж болно. z 2 - z 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, эргээд параметрийн x = x 1 + (x 2 - x 1) ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ эсвэл x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2) - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Орон зайд өгөгдсөн 2 цэг болон шулуун шугамын тэгшитгэлийг харуулсан зургийг авч үзье.

Жишээ 4

М 1 (2, - 3, 0) ба M 2 (1, - 3, - 5) координаттай өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын O x y z системд тодорхойлсон шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Энэ нь каноник тэгшитгэлийг олох шаардлагатай. Нэгэнт гурван хэмжээст орон зайн тухай ярьж байгаа тул өгөгдсөн цэгүүдийг дайран өнгөрөх үед хүссэн каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z хэлбэртэй болно гэсэн үг юм. - z 1 z 2 - z 1.

Нөхцөлөөр бид x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 байна. Үүнээс үзэхэд шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Хариулт: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл энэ чиглэлд. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг. Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл. Хоёр шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлох

1. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл А(x 1 , y 1) налуугаар тодорхойлогдсон өгөгдсөн чиглэлд к,

y - y 1 = к(x - x 1). (1)

Энэ тэгшитгэл нь нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугамын харандааг тодорхойлдог А(x 1 , y 1), үүнийг цацрагийн төв гэж нэрлэдэг.

2. Хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэл: А(x 1 , y 1) ба Б(x 2 , y 2) дараах байдлаар бичсэн:

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын өнцгийн коэффициентийг томъёогоор тодорхойлно

3. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг АТэгээд Бэхний шулуун шугамыг эргүүлэх ёстой өнцөг юм Ахоёр дахь шугамтай давхцах хүртэл эдгээр шугамын огтлолцох цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг Б. Хэрэв хоёр шулууныг налуутай тэгшитгэлээр өгвөл

y = к 1 x + Б 1 ,

Тодорхойлолт.Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

Ax + Wu + C = 0,

Түүнээс гадна А ба В тогтмолууд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш юм. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.Үнэт зүйлсээс хамаарна тогтмол A, Bболон C дараах онцгой тохиолдлууд боломжтой:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – шулуун шугам эхийг дайран өнгөрнө

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - Ox тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Oy тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам

B = C = 0, A ≠0 – шулуун шугам нь Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна

A = C = 0, B ≠0 – шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцаж байна

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрээраливаа өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамаарна.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба хэвийн вектор

Тодорхойлолт.Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор нь шулуунтай перпендикуляр, тэгшитгэлээр өгөгдсөн Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. (3, -1) перпендикуляр А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 гэсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x – y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд өгөгдсөн А цэгийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэлд орлуулна. 3 – 2 + C = 0, тиймээс C = -1 . Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x – y – 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) хоёр цэгийг өгвөл эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоо нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой бөгөөд дээр бичсэн шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан болно.

хэрэв x 1 ≠ x 2 ба x = x 1 бол x 1 = x 2 бол.

= k бутархайг дуудна налуушууд.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Дээр бичсэн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба налуу

Хэрэв нийлбэр Ax + Bu + C = 0 байвал дараах хэлбэрийг оруулна уу.

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлк.

Нэг цэгээс шулуун шугам ба чиглэлийн векторын тэгшитгэл

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам болон шулуун шугамын чиглүүлэх векторын тодорхойлолтыг оруулж болно.

Тодорхойлолт.Бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь A α 1 + B α 2 = 0 нөхцөлийг хангасан тэг биш вектор (α 1, α 2) бүрийг шугамын чиглүүлэх вектор гэнэ.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно: Ax + By + C = 0. Тодорхойлолтын дагуу коэффициентүүд нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + Ay + C = 0, эсвэл x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2-ын хувьд бид C/ A = -3, i.e. шаардлагатай тэгшитгэл:

Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ах + Ву + С = 0 С≠0 байвал –С-д хуваавал бид дараахийг авна. эсвэл

Геометрийн утгакоэффициентүүд нь коэффициент юм АШугамын Окс тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат ба б– шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

Жишээ. x – y + 1 = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Шугамын хэвийн тэгшитгэл

Ax + By + C = 0 тэгшитгэлийн хоёр талыг тоогоор үржүүлбэл гэж нэрлэдэг хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

шугамын хэвийн тэгшитгэл. Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг μ * C байхаар сонгох ёстой< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Жишээ. 12x – 5y – 65 = 0 гэсэн шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Энэ мөрөнд янз бүрийн төрлийн тэгшитгэл бичих шаардлагатай.

сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, тэнхлэгтэй параллель эсвэл координатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд.

Жишээ. Шулуун зүсэлт координатын тэнхлэгүүдтэнцүү эерэг сегментүүд. Эдгээр хэрчмүүдээс үүссэн гурвалжны талбай 8 см 2 бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Жишээ. А(-2, -3) цэг ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. Шулуун шугамын тэгшитгэл нь: , энд x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг

Тодорхойлолт.Хоёр шугам өгөгдсөн бол y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тэгвэл хурц өнцөгЭдгээр шулуун шугамын хоорондохыг дараах байдлаар тодорхойлно

.

Хэрэв k 1 = k 2 бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна. k 1 = -1/ k 2 бол хоёр шулуун перпендикуляр байна.

Теорем. A 1 = λA, B 1 = λB коэффициентүүд пропорциональ байх үед Ax + Bу + C = 0 ба A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 шулуунууд параллель байна. Хэрэв мөн C 1 = λC байвал шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгийг дайран өнгөрөх y = kx + b шулуун шугамд перпендикуляр шулуун шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Цэгээс шугам хүртэлх зай

Теорем.Хэрэв M(x 0, y 0) цэг өгөгдсөн бол Ax + Bу + C = 0 шулуун хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно.

.

Баталгаа.М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

(1)

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь дамжин өнгөрөх шугамын тэгшитгэл юм өгсөн оноо M 0 нь өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр байна. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ. Шугаман хоорондын өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Жишээ. 3x – 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y – 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Шийдэл. Бид олох болно: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) гурвалжны оройг өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид AB талын тэгшитгэлийг олно: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Шаардлагатай өндрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b. k =. Дараа нь y =. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрч, дараа нь түүний координатууд хангагдсан болно энэ тэгшитгэл: эндээс b = 17. Нийт: .

Хариулт: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Хоёр оноо өгье М 1 (x 1,y 1)Тэгээд М 2 (х 2, у 2). Шугамын тэгшитгэлийг (5) хэлбэрээр бичье кОдоогоор тодорхойгүй коэффициент:

Гол нь М 2өгөгдсөн шулуунд хамаарах бол координат нь тэгшитгэлийг (5) хангана: . Эндээс илэрхийлж, (5) тэгшитгэлд орлуулснаар бид шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авна.

Хэрэв Энэ тэгшитгэлийг цээжлэхэд илүү тохиромжтой хэлбэрээр дахин бичиж болно.

(6)

Жишээ. M 1 (1,2) ба M 2 (-2,3) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. . Пропорциональ шинж чанарыг ашиглан шаардлагатай хувиргалтыг хийснээр бид шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж авна.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Хоёр шулуун шугамыг авч үзье л 1Тэгээд л 2:

л 1: , , Мөн

л 2: , ,

φ нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг (). 4-р зурагнаас тодорхой байна: .

Эндээс , эсвэл

Томъёо (7) ашиглан та шулуун шугамын хоорондох өнцгийн аль нэгийг тодорхойлж болно. Хоёр дахь өнцөг нь тэнцүү байна.

Жишээ. y=2x+3 ба y=-3x+2 тэгшитгэлээр хоёр шулуун өгөгдсөн. Эдгээр шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл. Тэгшитгэлээс k 1 =2, k 2 =-3 гэдэг нь тодорхой байна. Эдгээр утгыг томъёогоор (7) орлуулснаар бид олдог

. Тиймээс эдгээр шугамын хоорондох өнцөг нь тэнцүү байна.

Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөл

Хэрэв шулуун бол л 1Тэгээд л 2зэрэгцээ байна φ=0 Тэгээд tgφ=0. (7) томъёоноос , хаанаас гэсэн үг гарч байна k 2 =k 1. Тиймээс хоёр шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл нь тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүдийн тэгш байдал юм.

Хэрэв шулуун бол л 1Тэгээд л 2перпендикуляр байна φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Иймд хоёр шулууны перпендикуляр байх нөхцөл нь тэдгээрийн өнцгийн коэффициент нь хэмжээнээсээ урвуу, тэмдгээр эсрэг тэсрэг байх явдал юм.

Цэгээс шугам хүртэлх зай

Теорем. Хэрэв M(x 0, y 0) цэг өгөгдсөн бол Ax + Bу + C = 0 шулуун хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно.

Баталгаа. М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн шугамд перпендикуляр M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл юм.

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ.Шугамануудын хоорондох өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Жишээ. 3x – 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y – 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Бид олох болно: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) гурвалжны оройг өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Бид AB талын тэгшитгэлийг олно: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Шаардлагатай өндрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b.

k=. Дараа нь y =. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана: эндээс b = 17. Нийт: .

Хариулт: 3x + 2y – 34 = 0.

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг тухайн цэгээс шугам хүртэл татсан перпендикулярын уртаар тодорхойлно.

Хэрэв шугам нь проекцын хавтгайтай параллель байвал (h | | P 1), дараа нь цэгээс зайг тодорхойлохын тулд Ашулуун шугам руу hцэгээс перпендикуляр буулгах шаардлагатай Ахэвтээ рүү h.

Шулуун шугам авах үед илүү төвөгтэй жишээг авч үзье ерөнхий байр суурь. Нэг цэгээс зайг тодорхойлох шаардлагатай байг Мшулуун шугам руу Аерөнхий байр суурь.

Тодорхойлох даалгавар зэрэгцээ шугамуудын хоорондох зайөмнөхтэй адил шийдэгддэг. Нэг шулуун дээр цэг авч, түүнээс нөгөө шулуун руу перпендикуляр буулгана. Перпендикулярын урт нь параллель шугамуудын хоорондох зайтай тэнцүү байна.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнь одоогийн декарт координаттай харьцуулахад хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугам юм. Ерөнхий тохиолдолд Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

Энд A, B, C, D, E, F нь бодит тоо бөгөөд A 2 + B 2 + C 2 ≠0 тоонуудын ядаж нэг нь байна.

Тойрог

Тойргийн төв– энэ нь C(a,b) хавтгай дээрх цэгээс ижил зайд орших хавтгай дээрх цэгүүдийн геометрийн байрлал юм.

Тойрог дараах тэгшитгэлээр өгөгдөнө.

Энд x,y нь тойрог дээрх дурын цэгийн координат, R нь тойргийн радиус юм.

Тойргийн тэгшитгэлийн тэмдэг

1. x, y-тэй гишүүн алга байна

2. x 2 ба y 2-ын коэффициентүүд тэнцүү байна

Зууван

ЗууванХавтгай дахь цэгүүдийн геометрийн байрлал гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ хавтгайн өгөгдсөн хоёр цэгээс тус бүрийн зайны нийлбэрийг фокус (тогтмол утга) гэж нэрлэдэг.

Эллипсийн каноник тэгшитгэл:

X ба y нь эллипсэд хамаарна.

a – эллипсийн хагас гол тэнхлэг

b – эллипсийн хагас жижиг тэнхлэг

Эллипс нь OX ба OU тэгш хэмийн 2 тэнхлэгтэй. Эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд нь түүний тэнхлэгүүд, тэдгээрийн огтлолцлын цэг нь эллипсийн төв юм. Голомтууд байрладаг тэнхлэгийг нэрлэдэг фокусын тэнхлэг. Эллипсийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэг нь эллипсийн орой юм.

Шахалтын (хүчдэл) харьцаа: ε = s/a– хазгай байдал (зууван хэлбэрийг тодорхойлдог), энэ нь жижиг байх тусам эллипс нь фокусын тэнхлэгийн дагуу бага сунадаг.

Хэрэв эллипсийн төвүүд C (α, β) төвд байхгүй бол

Гипербола

Гиперболнь хавтгай дахь цэгүүдийн геометрийн байрлал гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ хавтгайн өгөгдсөн хоёр цэгээс тус бүрийг фокус гэж нэрлэдэг зайны зөрүүний үнэмлэхүй утга нь тэгээс ялгаатай тогтмол утга юм.

Каноник гиперболын тэгшитгэл

Гипербол нь 2 тэгш хэмийн тэнхлэгтэй:

a – тэгш хэмийн бодит хагас тэнхлэг

b – симметрийн төсөөллийн хагас тэнхлэг

Гиперболын асимптотууд:

Парабола

Параболань фокус гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн F цэг ба директрикс гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн шулуунаас ижил зайд байрлах хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал юм.

Параболын каноник тэгшитгэл:

У 2 =2рх, энд р нь фокусаас директрикс хүртэлх зай (параболын параметр)

Хэрэв параболын орой нь C (α, β) бол параболын тэгшитгэл (y-β) 2 = 2р(x-α) болно.

Хэрэв фокусын тэнхлэгийг ординатын тэнхлэг болгон авбал параболын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: x 2 =2qу.

Энэ нийтлэл нь хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлийн сэдвийг үргэлжлүүлэх болно: бид энэ төрлийн тэгшитгэлийг шугамын ерөнхий тэгшитгэл гэж үзэх болно. Теоремыг тодорхойлж, түүний нотолгоог өгье; Шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл гэж юу болох, ерөнхий тэгшитгэлээс шугамын бусад төрлийн тэгшитгэл рүү хэрхэн шилжихийг олж мэдье. Бид онолыг бүхэлд нь практик асуудлуудын чимэглэл, шийдлээр бататгах болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тэгш өнцөгт координатын системийг O x y хавтгай дээр зааж өгье.

Теорем 1

A x + B y + C = 0 хэлбэртэй, A, B, C нь зарим бодит тоонууд (A, B нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш) байх эхний зэргийн тэгшитгэл нь шулуун шугамыг тодорхойлдог. хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем. Хариуд нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх аливаа шулуун шугамыг A, B, C тодорхой утгын хувьд A x + B y + C = 0 хэлбэртэй тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Баталгаа

Энэ теорем нь хоёр цэгээс бүрдэнэ.

1. A x + B y + C = 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамыг тодорхойлж байгааг баталцгаая.

Координатууд нь A x + B y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирох M 0 (x 0 , y 0) цэг байг. Тиймээс: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас A x 0 + B y 0 + C = 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг хасвал A (x) шиг харагдах шинэ тэгшитгэлийг олж авна. - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Энэ нь A x + B y + C = 0-тэй тэнцүү байна.

Үүссэн тэгшитгэл A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 нь n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x) векторуудын перпендикуляр байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл юм. 0, y - y 0 ). Ийнхүү M (x, y) цэгүүдийн олонлог нь n → = (A, B) векторын чиглэлд перпендикуляр тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамыг тодорхойлно. Энэ нь тийм биш гэж бид таамаглаж болно, гэхдээ дараа нь n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд перпендикуляр биш, A (x -) тэнцүү байх болно. x 0 ) + B (y - y 0) = 0 нь үнэн биш байх болно.

Иймээс A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх тодорхой шугамыг тодорхойлдог тул A x + B y + C = 0 эквивалент тэгшитгэл нь ижил шугам. Бид теоремын эхний хэсгийг ингэж нотолсон.

1. Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийн дурын шулуун шугамыг A x + B y + C = 0 1-р зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болохыг нотлон харуулъя.

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд шулуун a шулууныг тодорхойлъё; энэ шугам өнгөрөх M 0 (x 0 , y 0) цэг, мөн энэ шулууны хэвийн вектор n → = (A, B) .

Шугаман дээрх хөвөгч цэг болох M (x, y) цэг бас байг. Энэ тохиолдолд n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд хоорондоо перпендикуляр байх ба тэдгээрийн цэгийн бүтээгдэхүүнтэг байна:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 тэгшитгэлийг дахин бичиж, C: C = - A x 0 - B y 0 -ийг тодорхойлж, эцсийн үр дүнд A x + B y + C = тэгшитгэлийг олж авъя. 0.

Ингээд бид теоремын хоёр дахь хэсгийг баталж, бүхэл бүтэн теоремыг баталлаа.

Тодорхойлолт 1

Маягтын тэгшитгэл A x + B y + C = 0 - Энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрОкси.

Батлагдсан теорем дээр үндэслэн бид тэгш өнцөгт координатын тогтмол систем дэх хавтгай дээр тодорхойлогдсон шулуун шугам ба түүний ерөнхий тэгшитгэл нь салшгүй холбоотой гэж дүгнэж болно. Өөрөөр хэлбэл, анхны шугам нь түүний ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна; шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь өгөгдсөн шугамтай тохирч байна.

Теоремын баталгаанаас мөн x ба y хувьсагчийн А ба В коэффициентүүд нь шулууны хэвийн векторын координат болох нь A x + B y + C = шулууны ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн байна. 0.

Ингээд авч үзье тодорхой жишээшулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамд тохирох 2 x + 3 y - 2 = 0 тэгшитгэлийг өгье. Энэ шугамын хэвийн вектор нь вектор юм n → = (2 , 3) ​​. Өгөгдсөн шулуун шугамыг зурган дээр зуръя.

Мөн бид дараахь зүйлийг хэлж болно: зураг дээр бидний харж буй шулуун шугамыг 2 x + 3 y - 2 = 0 ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно, учир нь өгөгдсөн шулуун дээрх бүх цэгүүдийн координатууд энэ тэгшитгэлтэй тохирч байна.

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш λ тоогоор үржүүлснээр бид λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 тэгшитгэлийг гаргаж чадна. Үүссэн тэгшитгэл нь анхны ерөнхий тэгшитгэлтэй тэнцэх тул хавтгай дээрх ижил шулуун шугамыг дүрслэх болно.

Тодорхойлолт 2

Шугамын бүрэн ерөнхий тэгшитгэл– A x + B y + C = 0 шулуун шугамын ийм ерөнхий тэгшитгэл нь A, B, C тоонууд тэгээс ялгаатай. Үгүй бол тэгшитгэл болно бүрэн бус.

Шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн бүх хувилбаруудад дүн шинжилгээ хийцгээе.

1. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 үед ерөнхий тэгшитгэл нь B y + C = 0 хэлбэртэй байна. Ийм бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь O x y тэгш өнцөгт координатын системд O x тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлдог, учир нь x-ийн аливаа бодит утгын хувьд y хувьсагч нь утгыг авна. - С Б. Өөрөөр хэлбэл, A x + B y + C = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь A = 0, B ≠ 0 үед координат нь ижил тоотой тэнцүү (x, y) цэгүүдийн байршлыг зааж өгдөг. - С Б.
2. Хэрэв A = 0, B ≠ 0, C = 0 бол ерөнхий тэгшитгэл нь y = 0 хэлбэрийг авна. Энэ бүрэн бус тэгшитгэлабсцисса тэнхлэгийг тодорхойлно O x .
3. A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 үед ординаттай параллель шулуун шугамыг тодорхойлж, бүрэн бус ерөнхий A x + C = 0 тэгшитгэлийг олж авна.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 байг, тэгвэл бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь x = 0 хэлбэртэй байх ба энэ нь координатын шугамын O y тэгшитгэл юм.
5. Эцэст нь A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0-ийн хувьд бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y = 0 хэлбэртэй байна. Мөн энэ тэгшитгэл нь эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг дүрсэлдэг. Үнэн хэрэгтээ (0, 0) хос тоо нь A x + B y = 0 тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул A · 0 + B · 0 = 0 байна.

Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн дээрх бүх төрлийг графикаар үзүүлье.

Жишээ 1

Өгөгдсөн шулуун шугам нь ординатын тэнхлэгтэй параллель бөгөөд 2 7, - 11 цэгийг дайран өнгөрдөг нь мэдэгдэж байна. Өгөгдсөн шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг A x + C = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгсөн бөгөөд A ≠ 0 байна. Нөхцөл нь мөн шугам өнгөрөх цэгийн координатыг зааж өгсөн бөгөөд энэ цэгийн координат нь бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн нөхцөлийг хангасан A x + C = 0, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал нь үнэн:

A 2 7 + C = 0

Үүнээс А-д тэгээс бусад утгыг өгвөл С-г тодорхойлох боломжтой, жишээлбэл, A = 7. Энэ тохиолдолд бид: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2 болно. Бид A ба C коэффициентийг хоёуланг нь мэдэж, тэдгээрийг A x + C = 0 тэгшитгэлд орлуулж, шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэлийг олоорой: 7 x - 2 = 0

Хариулт: 7 x - 2 = 0

Жишээ 2

Зураг нь шулуун шугамыг харуулж байна, та түүний тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй.

Шийдэл

Өгөгдсөн зураг нь асуудлыг шийдэхийн тулд анхны өгөгдлийг хялбархан авах боломжийг олгодог. Өгөгдсөн шулуун шугам нь O x тэнхлэгтэй параллель бөгөөд (0, 3) цэгийг дайран өнгөрч байгааг бид зургаас харж байна.

Абсциссатай параллель шулуун шугамыг бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл B y + C = 0 тодорхойлно. В ба С-ийн утгыг олъё. (0, 3) цэгийн координатууд нь өгөгдсөн шулуун дундуур өнгөрөх тул B y + C = 0 шулууны тэгшитгэлийг хангана, тэгвэл тэгшитгэл хүчинтэй болно: B · 3 + C = 0. В-г тэгээс өөр утгыг тохируулъя. B = 1 гэж үзье, энэ тохиолдолд B · 3 + C = 0 тэгшитгэлээс бид C: C = - 3-ийг олж болно. Бид ашигладаг мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэ B ба C, бид шулуун шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авна: y - 3 = 0.

Хариулт: y - 3 = 0.

Хавтгайн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны ерөнхий тэгшитгэл

Өгөгдсөн шугамыг M 0 (x 0, y 0) цэгээр дайран өнгөрвөл түүний координатууд нь шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал нь үнэн: A x 0 + B y 0 + C = 0. Шугамын ерөнхий бүрэн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг хасъя. Бид дараахийг авна: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, энэ тэгшитгэл нь анхны ерөнхийтэй тэнцүү, M 0 (x 0, y 0) цэгээр дамжин өнгөрч, хэвийн байна. вектор n → = (A, B) .

Бидний олж авсан үр дүн нь шугамын хэвийн векторын мэдэгдэж буй координат ба энэ шугамын тодорхой цэгийн координат бүхий шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих боломжтой болгож байна.

Жишээ 3

Шугаман өнгөрөх M 0 (- 3, 4) цэг ба энэ шугамын хэвийн вектор өгөгдсөн. n → = (1 , - 2) . Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны нөхцөлүүд нь тэгшитгэлийг бүрдүүлэхэд шаардлагатай өгөгдлийг олж авах боломжийг олгодог: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Дараа нь:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 у (у - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 у + 22 = 0

Асуудлыг өөрөөр шийдэж болох байсан. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y + C = 0 байна. Өгөгдсөн хэвийн вектор нь A ба B коэффициентүүдийн утгыг олж авах боломжийг бидэнд олгоно.

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Одоо шулуун шугам өнгөрөх асуудлын нөхцөлөөр заасан M 0 (- 3, 4) цэгийг ашиглан C-ийн утгыг олъё. Энэ цэгийн координатууд нь x - 2 · y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. - 3 - 2 4 + C = 0. Тиймээс C = 11. Шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: x - 2 · y + 11 = 0.

Хариулт: x - 2 y + 11 = 0.

Жишээ 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 шулуун ба энэ шулуун дээр байрлах M 0 цэг өгөгдсөн. Зөвхөн энэ цэгийн абсцисс нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь - 3-тай тэнцүү байна. Өгөгдсөн цэгийн ординатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

M 0 цэгийн координатыг x 0 ба у 0 гэж тэмдэглэе. Эх сурвалж өгөгдөл нь x 0 = - 3 гэдгийг харуулж байна. Тухайн цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах тул координатууд нь энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна. Дараа нь тэгш байдал үнэн болно:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0-ийг тодорхойлох: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Хариулт: - 5 2

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс шугам ба арын бусад төрлийн тэгшитгэлд шилжих

Бидний мэдэж байгаагаар хавтгай дээрх ижил шулуун шугамын хэд хэдэн төрлийн тэгшитгэл байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг сонгох нь асуудлын нөхцлөөс хамаарна; түүнийг шийдвэрлэхэд илүү тохиромжтойг нь сонгох боломжтой. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг өөр төрлийн тэгшитгэл болгон хувиргах ур чадвар энд маш хэрэгтэй.

Эхлээд A x + B y + C = 0 хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлээс x - x 1 a x = y - y 1 a y каноник тэгшитгэл рүү шилжихийг авч үзье.

Хэрэв A ≠ 0 бол B y гишүүнийг ерөнхий тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлнэ. Зүүн талд бид А-г хаалтнаас гаргаж авдаг. Үүний үр дүнд бид: A x + C A = - B y болно.

Энэ тэгшитгэлийг пропорциональ байдлаар бичиж болно: x + C A - B = y A.

Хэрэв B ≠ 0 байвал ерөнхий тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн A x нэр томъёог үлдээж, бусдыг баруун тал руу шилжүүлж, бид дараахь зүйлийг авна: A x = - B y - C. Бид хаалтнаас – B-г аваад: A x = - B y + C B .

Тэгш байдлыг пропорциональ байдлаар дахин бичье: x - B = y + C B A.

Мэдээжийн хэрэг, үүссэн томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл рүү шилжих үед үйлдлийн алгоритмыг мэдэхэд хангалттай.

Жишээ 5

3 y - 4 = 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв. Үүнийг каноник тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны тэгшитгэлийг 3 у - 4 = 0 гэж бичье. Дараа нь бид алгоритмын дагуу ажиллана: 0 x гэсэн нэр томъёо зүүн талд хэвээр байна; баруун талд нь бид хаалтаас 3-ыг тавьдаг; Бид дараахийг авна: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Үүссэн тэгш байдлыг пропорциональ байдлаар бичье: x - 3 = y - 4 3 0 . Тиймээс бид каноник хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авлаа.

Хариулт: x - 3 = y - 4 3 0.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг параметрт хөрвүүлэхийн тулд эхлээд дараах руу очно уу каноник хэлбэрдараа нь шилжилт каноник тэгшитгэлпараметрийн тэгшитгэл рүү шулуун шугам.

Жишээ 6

Шулуун шугамыг 2 x - 5 y - 1 = 0 тэгшитгэлээр өгөв. Энэ шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл рүү шилжье.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Одоо бид үүссэн каноник тэгшитгэлийн хоёр талыг λ-тэй тэнцүү авбал:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Хариулт:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ерөнхий тэгшитгэлийг y = k · x + b налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл болгон хувиргаж болно, гэхдээ зөвхөн B ≠ 0 үед. Шилжилтийн хувьд бид B y нэр томъёог зүүн талд үлдээж, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ. Бид авна: B y = - A x - C. Үүссэн тэгш байдлын хоёр талыг тэгээс ялгаатай В-д хуваая: y = - A B x - C B.

Жишээ 7

Шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн: 2 x + 7 у = 0. Та энэ тэгшитгэлийг налуугийн тэгшитгэл болгон хувиргах хэрэгтэй.

Шийдэл

Алгоритмын дагуу шаардлагатай үйлдлүүдийг хийцгээе:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Хариулт: y = - 2 7 x .

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс x a + y b = 1 хэлбэрийн сегмент дэх тэгшитгэлийг авахад хангалттай. Ийм шилжилт хийхийн тулд бид C тоог тэгш байдлын баруун талд шилжүүлж, үүссэн тэгш байдлын хоёр талыг - C-д хувааж, эцэст нь x ба y хувьсагчдын коэффициентийг хуваагч руу шилжүүлнэ.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Жишээ 8

X - 7 y + 1 2 = 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шугамын тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

1 2-ыг баруун тийш шилжүүлье: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Тэгш байдлын хоёр талыг -1/2-т хуваая: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Хариулт: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ерөнхийдөө урвуу шилжилт нь бас хялбар байдаг: бусад төрлийн тэгшитгэлээс ерөнхийд шилжих.

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл ба өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг тэгш байдлын зүүн талд байгаа бүх нөхцөлийг цуглуулснаар амархан ерөнхий болгон хувиргаж болно.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Дараах схемийн дагуу каноник тэгшитгэлийг ерөнхий болгон хувиргана.

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Параметрээс шилжихийн тулд эхлээд каноник руу, дараа нь ерөнхий рүү шилжинэ.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Жишээ 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 шугамын параметрт тэгшитгэлүүд өгөгдсөн. Энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Параметрийн тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл рүү шилжье.

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Каноникоос ерөнхий рүү шилжье:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Хариулт: y - 4 = 0

Жишээ 10

x 3 + y 1 2 = 1 хэрчмүүд дэх шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөв. руу шилжих шаардлагатай байна ерөнхий дүр төрхтэгшитгэл

Шийдэл:

Бид тэгшитгэлийг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Хариулт: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зурах

Ерөнхий тэгшитгэлийг хэвийн векторын мэдэгдэж буй координатууд болон шугам өнгөрөх цэгийн координатуудаар бичиж болно гэж бид дээр хэлсэн. Ийм шулуун шугамыг A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Тэнд бид мөн холбогдох жишээнд дүн шинжилгээ хийсэн.

Одоо илүү ихийг харцгаая нарийн төвөгтэй жишээнүүд, үүнд та эхлээд хэвийн векторын координатыг тодорхойлох хэрэгтэй.

Жишээ 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 шулуунтай параллель шугам өгөгдсөн. Өгөгдсөн шугам өнгөрөх M 0 (4, 1) цэг нь мөн мэдэгдэж байна. Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Эхний нөхцөлүүд нь шугамууд параллель байгааг хэлж байгаа бол тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай шулууны хэвийн векторын хувьд бид n → = (2, - 3) шугамын чиглэлийн векторыг авна: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Одоо бид шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бий болгоход шаардлагатай бүх өгөгдлийг мэдэж байна.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 у - 5 = 0

Хариулт: 2 х - 3 у - 5 = 0.

Жишээ 12

Өгөгдсөн шугам нь x - 2 3 = y + 4 5 шулуунтай перпендикуляр эхийг дайран өнгөрдөг. Өгөгдсөн шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн шугамын хэвийн вектор нь х - 2 3 = у + 4 5 шугамын чиглэлийн вектор байх болно.

Дараа нь n → = (3, 5) . Шулуун шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг, өөрөөр хэлбэл. O цэгээр (0, 0). Өгөгдсөн шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулъя:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Хариулах: 3 x + 5 y = 0.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу