Ижил суурьтай логарифмыг хасах жишээнүүд. Натурал логарифм, ln x функц

13.10.2019

(Грек хэлнээс λόγος - "үг", "харилцаа" ба ἀριθμός - "тоо") тоонууд бдээр суурилсан а(лог α б) ийм тоо гэж нэрлэдэг в, Мөн б= а в, өөрөөр хэлбэл α-г бүртгэнэ б=вТэгээд b=aвтэнцүү байна. Хэрэв a > 0, a ≠ 1, b > 0 байвал логарифм утга учиртай болно.

Өөрөөр хэлбэл логарифмтоо бдээр суурилсан Атоог өсгөх ёстой илтгэгч болгон томъёолсон адугаарыг авахын тулд б(логарифм нь зөвхөн эерэг тоонуудад байдаг).

Энэ томьёоллоос харахад x= log α гэсэн тооцоо гарч байна б, a x =b тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй тэнцүү байна.

Жишээ нь:

log 2 8 = 3 учир нь 8 = 2 3 .

Логарифмын заасан томъёолол нь нэн даруй тодорхойлох боломжтой гэдгийг онцлон тэмдэглэе логарифмын утга, логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь суурийн тодорхой чадлын үүргийг гүйцэтгэх үед. Үнэн хэрэгтээ логарифмын томъёолол нь хэрэв гэдгийг зөвтгөх боломжтой болгодог b=a c, дараа нь тооны логарифм бдээр суурилсан атэнцүү байна -тай. Мөн логарифмын сэдэв нь тухайн сэдэвтэй нягт холбоотой болох нь ойлгомжтой тооны хүч.

Логарифмыг тооцоолох гэж нэрлэдэг логарифм. Логарифм гэдэг нь логарифм авах математик үйлдэл юм. Логарифм авахдаа хүчин зүйлийн үржвэрийг нэр томъёоны нийлбэр болгон хувиргадаг.

Потенциацинь логарифмын урвуу математик үйлдэл юм. Потенциацийн үед өгөгдсөн суурь нь потенциацийг гүйцэтгэсэн илэрхийлэлийн зэрэг хүртэл нэмэгддэг. Энэ тохиолдолд нэр томъёоны нийлбэр нь хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.

Бодит логарифмыг ихэвчлэн 2 (хоёртын тоо), Эйлерийн тоо e ≈ 2.718 (натурал логарифм) ба 10 (аравтын тоо) суурьтай ашигладаг.

Энэ үе шатанд үүнийг анхаарч үзэхийг зөвлөж байна логарифмын дээжбүртгэл 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Мөн lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 гэсэн оруулгууд нь утгагүй, учир нь эхнийх нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, хоёрдугаарт сөрөг тоо байна. сууринд, гуравдугаарт логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, суурь дээр нэгж байна.

Логарифмыг тодорхойлох нөхцөл.

Бид олж авах a > 0, a ≠ 1, b > 0 нөхцөлүүдийг тусад нь авч үзэх нь зүйтэй. логарифмын тодорхойлолт.Эдгээр хязгаарлалтыг яагаад авсан бэ гэдгийг харцгаая. Үүнд x = log α хэлбэрийн тэгш байдал бидэнд тусална б, дээр өгөгдсөн логарифмын тодорхойлолтоос шууд гардаг үндсэн логарифмын ижилсэл гэж нэрлэдэг.

Нөхцөлийг авч үзье a≠1. Аль ч зэрэгт нэг нь нэгтэй тэнцүү тул x=log α тэнцүү байна бүед л оршин тогтнох боломжтой b=1, гэхдээ log 1 1 нь ямар ч бодит тоо байх болно. Энэ хоёрдмол байдлыг арилгахын тулд бид авдаг a≠1.

Нөхцөл байдлын зайлшгүй шаардлагатайг баталцгаая a>0. At a=0логарифмын томъёоллын дагуу зөвхөн үед оршин тогтнох боломжтой b=0. Тэгээд үүний дагуу бүртгэл 0 0тэгээс тэгээс өөр ямар ч хүчин чадал нь тэг учраас тэгээс өөр ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ хоёрдмол байдлыг нөхцөлөөр арилгаж болно a≠0. Тэгээд хэзээ а<0 Рационал ба иррациональ илтгэгчтэй зэрэг нь зөвхөн сөрөг бус суурийн хувьд тодорхойлогддог тул бид логарифмын рационал ба иррационал утгын шинжилгээг үгүйсгэх хэрэгтэй болно. Энэ шалтгааны улмаас нөхцөлийг тогтоожээ a>0.

Мөн сүүлчийн нөхцөл b>0тэгш бус байдлаас үүдэлтэй a>0, учир нь x=log α б, эерэг суурьтай зэрэглэлийн утга аүргэлж эерэг байдаг.

Логарифмын онцлог.

Логарифмонцлогтойгоор тодорхойлогддог онцлог, энэ нь нарийн тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөхийн тулд тэдгээрийг өргөнөөр ашиглахад хүргэсэн. "Логарифмын ертөнцөд" шилжих үед үржүүлэх нь илүү хялбар нэмэх, хуваах нь хасах, экспонентаци болон үндсийг задлах нь тус бүр нь экспонентээр үржүүлэх, хуваах болгон хувиргадаг.

Логарифмын томъёолол, тэдгээрийн утгын хүснэгт (нь тригонометрийн функцууд) анх 1614 онд Шотландын математикч Жон Напиер хэвлүүлсэн. Бусад эрдэмтдийн томруулж, нарийвчилсан логарифмын хүснэгтүүд нь шинжлэх ухаан, инженерийн тооцоололд өргөн хэрэглэгддэг байсан бөгөөд электрон тооны машин, компьютер ашиглах хүртэл хамааралтай хэвээр байв.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай гэж үзвэл хуулийн дагуу шүүхийн журам, хуулийн процесст болон/эсвэл олон нийтийн лавлагаа эсвэл хүсэлтийн үндсэн дээр төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

\(a^(b)=c\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\log_(a)(c)=b\)

Үүнийг илүү энгийнээр тайлбарлая. Жишээ нь, \(\log_(2)(8)\) нь \(8\) авахын тулд \(2\)-г өсгөх ёстой чадалтай тэнцүү байна. Эндээс \(\log_(2)(8)=3\) болох нь тодорхой байна.

Жишээ нь:	\(\log_(5)(25)=2\)	учир нь \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	учир нь \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	учир нь \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Логарифмын аргумент ба суурь

Аливаа логарифм нь дараахь "анатоми" -тай байдаг.

Логарифмын аргументыг ихэвчлэн түүний түвшинд бичдэг ба суурь нь логарифмын тэмдэгт ойртсон доод бичгээр бичигддэг. Мөн энэ оруулга нь "хорин таваас тав хүртэлх логарифм" гэсэн утгатай.

Логарифмыг хэрхэн тооцоолох вэ?

Логарифмыг тооцоолохын тулд та асуултанд хариулах хэрэгтэй: аргументыг авахын тулд суурийг ямар хүчээр өсгөх ёстой вэ?

Жишээ нь, логарифмыг тооцоол: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) авахын тулд \(4\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Хоёр дахь нь ойлгомжтой. Тийм учраас:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

в) \(1\) авахын тулд \(\sqrt(5)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Ямар хүч нь аливаа дугаарыг нэг болгодог вэ? Мэдээж тэг!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\)-г авахын тулд \(\sqrt(7)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Нэгдүгээрт, эхний түвшний аль ч тоо нь өөртэй нь тэнцүү байна.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)-г авахын тулд \(3\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Энэ нь бутархай хүч гэдгийг бид мэднэ, энэ нь гэсэн үг квадрат язгуурнь \(\frac(1)(2)\) -ийн хүч юм.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Жишээ : Логарифмыг тооцоолох \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Шийдэл :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Логарифмын утгыг олох хэрэгтэй, үүнийг x гэж тэмдэглэе. Одоо логарифмын тодорхойлолтыг ашиглая: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Зүүн баруун сум\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) болон \(8\)-г юу холбодог вэ? Хоёр, учир нь хоёуланг нь хоёроор илэрхийлж болно: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Зүүн талд бид зэрэглэлийн шинж чанаруудыг ашигладаг: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ба \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Суурь нь тэнцүү, бид шалгуур үзүүлэлтүүдийн тэгш байдал руу шилждэг
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Тэгшитгэлийн хоёр талыг \(\frac(2)(5)\)-аар үржүүл.
		Үүссэн үндэс нь логарифмын утга юм

Хариулт : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Логарифмыг яагаад зохион бүтээсэн бэ?

Үүнийг ойлгохын тулд тэгшитгэлийг шийдье: \(3^(x)=9\). Тэгшитгэл ажиллахын тулд \(x\)-г тааруулахад л хангалттай. Мэдээжийн хэрэг, \(x=2\).

Одоо тэгшитгэлийг шийд: \(3^(x)=8\).Х нь хэдтэй тэнцүү вэ? Гол нь энэ.

Хамгийн ухаантай нь: "Х нь хоёроос арай бага" гэж хэлэх болно. Энэ тоог яг яаж бичих вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд логарифмыг зохион бүтээсэн. Түүний ачаар энд хариултыг \(x=\log_(3)(8)\) гэж бичиж болно.

\(\log_(3)(8)\), like гэдгийг онцлон хэлмээр байна аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Тийм ээ, энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ энэ нь богино байна. Учир нь бид үүнийг маягтаар бичихийг хүссэн бол аравтын, дараа нь дараах байдалтай харагдана: \(1.892789260714.....\)

Жишээ : \(4^(5x-4)=10\) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) болон \(10\)-г нэг суурь руу авчрах боломжгүй. Энэ нь логарифмгүйгээр хийх боломжгүй гэсэн үг юм. Логарифмын тодорхойлолтыг ашиглая: \(a^(b)=c\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		X зүүн талд байхаар тэгшитгэлийг эргүүлье
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Бидний өмнө. \(4\) баруун тийш хөдөлцгөөе. Мөн логарифмаас бүү ай, үүнийг энгийн тоо мэт хар.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Тэгшитгэлийг 5-д хуваа
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Энэ бол бидний үндэс. Тийм ээ, энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ тэд хариултаа сонгодоггүй.

Хариулт : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Аравтын болон натурал логарифм

Логарифмын тодорхойлолтод дурдсанчлан түүний суурь нь нэг \((a>0, a\neq1)\)-аас бусад эерэг тоо байж болно. Боломжит бүх суурийн дотроос хоёр нь маш олон удаа тохиолддог тул логарифмын хувьд тусгай богино тэмдэглэгээг зохион бүтээжээ.

Натурал логарифм: суурь нь Эйлерийн тоо \(e\) (ойролцоогоор \(2.7182818…\)-тай тэнцүү), логарифмыг \(\ln(a)\) гэж бичсэн логарифм.

Энэ нь, \(\ln(a)\) нь \(\log_(e)(a)\)-тай ижил байна

Аравтын логарифм: Суурь нь 10 байх логарифмыг \(\lg(a)\) гэж бичнэ.

Энэ нь, \(\lg(a)\) нь \(\log_(10)(a)\)-тай ижил байна, энд \(a\) нь зарим тоо юм.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифм нь олон шинж чанартай байдаг. Тэдгээрийн нэгийг "Үндсэн логарифмын таних тэмдэг" гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдалтай байна.

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Энэ шинж чанар нь тодорхойлолтоос шууд гардаг. Энэ томъёо яг яаж үүссэнийг харцгаая.

Логарифмын тодорхойлолтын товч тайлбарыг эргэн санацгаая.

хэрэв \(a^(b)=c\), дараа нь \(\log_(a)(c)=b\)

Өөрөөр хэлбэл, \(b\) нь \(\log_(a)(c)\)-тэй ижил байна. Дараа нь \(a^(b)=c\) томъёонд \(b\)-ын оронд \(\log_(a)(c)\) гэж бичиж болно. Энэ нь \(a^(\log_(a)(c))=c\) болсон - гол логарифмын таних тэмдэг.

Та логарифмын бусад шинж чанарыг олж болно. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та шууд тооцоолоход хэцүү логарифм бүхий илэрхийллийн утгыг хялбарчилж, тооцоолж болно.

Жишээ : \(36^(\log_(6)(5))\) илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл :

Хариулт : \(25\)

Тоог логарифм хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Дээр дурдсанчлан аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Мөн эсрэгээр нь үнэн: дурын тоог логарифм хэлбэрээр бичиж болно. Жишээлбэл, \(\log_(2)(4)\) нь хоёртой тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Дараа нь хоёрын оронд \(\log_(2)(4)\) гэж бичиж болно.

Гэхдээ \(\log_(3)(9)\) нь \(2\)-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь бид \(2=\log_(3)(9)\) гэж бичиж болно гэсэн үг. Үүний нэгэн адил \(\log_(5)(25)\), \(\log_(9)(81)\) гэх мэт. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь болж байна

\(2=\лог_(2)(4)=\лог_(3)(9)=\лог_(4)(16)=\лог_(5)(25)=\лог_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Тиймээс, хэрэв шаардлагатай бол бид хоёрыг дурын суурьтай логарифм хэлбэрээр бичиж болно (тэгшитгэлд ч, бүр илэрхийлэлд ч, бүр тэгш бус байдалд ч) - бид зүгээр л квадрат суурийг аргумент болгон бичнэ.

Гурвалсантай адилхан – үүнийг \(\log_(2)(8)\), эсвэл \(\log_(3)(27)\), эсвэл \(\log_(4)( гэж бичиж болно. 64) \)... Энд бид куб дахь суурийг аргумент болгон бичнэ.

\(3=\лог_(2)(8)=\лог_(3)(27)=\лог_(4)(64)=\лог_(5)(125)=\лог_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Мөн дөрөвтэй:

\(4=\лог_(2)(16)=\лог_(3)(81)=\лог_(4)(256)=\лог_(5)(625)=\лог_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Мөн хасах нэгээр:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Мөн гуравны нэг нь:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Дурын тоог \(a\) нь \(b\) суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Жишээ : Илэрхийллийн утгыг олоорой \(\ frac(\log_(2)(14))(1+\лог_(2)(7))\)

Шийдэл :

Хариулт : \(1\)

үндсэн шинж чанарууд.

логакс + логай = лога(х у);
логакс − логай = лога (x: y).

ижил үндэслэлүүд

Log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ

Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-тэй тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та мэдэх болно яг үнэ цэнэүзэсгэлэнд оролцогчид, мөн Лев Толстойн төрсөн он сар өдөр.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

4. Хаана .

Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь яг энгийн тоо биш учраас энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

логакс + логай = лога(х у);
логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!

Эдгээр томъёо нь танд тооцоолоход тусална логарифм илэрхийлэлтүүний бие даасан хэсгүүдийг тооцдоггүй байсан ч ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Олон хүмүүс энэ баримт дээр суурилдаг туршилтууд. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Тэр болтол сүүлчийн мөчбид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томъёо. Логарифмын шийдлийн жишээ.

Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь уламжлалт байдлаар ховор байдаг тоон илэрхийллүүд. Шийдвэрлэх замаар тэд хэр тохиромжтой вэ гэдгийг үнэлэх боломжтой логарифм тэгшитгэлба тэгш бус байдал.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

a суурийн b-ийн логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал хангагдах x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмтай холбоотой бараг бүх асуудал, жишээг тэдгээрийн үндсэн дээр шийддэг тул дээрх шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог (3.4) тооцоолохдоо та маш олон удаа тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр байдаг.
Аравтын суурийн логарифмыг ихэвчлэн аравтын логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бичлэгт үндсэн зүйл бичээгүй нь бичлэгээс тодорхой харагдаж байна. Жишээ нь

Байгалийн логарифмнь илтгэгч суурьтай логарифм юм (ln(x)-ээр тэмдэглэнэ).

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-тэй тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Хоёр дахь суурийг тавих өөр нэг чухал логарифмыг дараах байдлаар тэмдэглэв

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Өгөгдсөн материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн ангиллын асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгоход тань туслахын тулд би цөөн хэдэн энгийн жишээг өгөх болно сургуулийн сургалтын хөтөлбөрболон их дээд сургуулиуд.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгаварын шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

4. Хаана .

Нарийн төвөгтэй мэт санагдах илэрхийлэлийг хэд хэдэн дүрмийг ашиглан хялбаршуулж хэлбэржүүлдэг

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид сүүлийн үеийн 5 ба 13 шинж чанаруудыг хэрэглэнэ

Бид үүнийг бичлэгт оруулж, эмгэнэл илэрхийлдэг

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Элсэлтийн түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Хувьсагчийн логарифмыг авч, түүний нөхцлийн нийлбэрээр логарифмыг бичье.

Энэ бол бидний логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг тань удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид таны мэдлэгийг өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаар өргөжүүлэх болно.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

логакс + логай = лога(х у);
логакс − логай = лога (x: y).

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Шинэ суурь руу шилжих

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Натурал логарифмын үндсэн шинж чанарууд, график, тодорхойлолтын муж, утгын багц, үндсэн томъёо, дериватив, интеграл, тэлэлт эрчим хүчний цуврал ln x функцийг комплекс тоо ашиглан дүрслэх.

Тодорхойлолт

Байгалийн логарифмнь y = функц юм ln x, экспоненциалын урвуу нь x = e y ба e тооны суурийн логарифм юм: ln x = log e x.

Байгалийн логарифм нь математикт өргөн хэрэглэгддэг, учир нь түүний дериватив нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байдаг. (ln x)′ = 1/ x.

Үндэслэн тодорхойлолтууд, натурал логарифмын суурь нь тоо юм д:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

y = функцийн график ln x.

Натурал логарифмын график (функц у = ln x) экспоненциал графикаас гарна толин тусгал дүрс y = x шулуун шугамтай харьцуулахад.

Натурал логарифм нь x хувьсагчийн эерэг утгуудын хувьд тодорхойлогддог.

Энэ нь тодорхойлолтын хүрээнд монотоноор нэмэгддэг. 0 x → дээр

натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй (-∞) юм. x → + ∞ тул натурал логарифмын хязгаар нь хязгааргүй (+ ∞) байна. Том х-ийн хувьд логарифм нэлээд удаан өсдөг. Ямар чэрчим хүчний функц

эерэг үзүүлэлттэй x a логарифмаас хурдан өсдөг.

Натурал логарифмын шинж чанарууд

Тодорхойлолт, утгын багц, экстремум, өсөлт, бууралт

Натурал логарифм нь нэг хэвийн өсөлттэй функц тул экстремумгүй. Байгалийн логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд үзүүлэв.

ln x утгууд

ln 1 = 0

Байгалийн логарифмын үндсэн томъёо

Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үүссэн томъёонууд:

Логарифмын үндсэн шинж чанар ба түүний үр дагавар

Суурь солих томъёо

Аливаа логарифмыг үндсэн орлуулалтын томъёог ашиглан натурал логарифмын хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Эдгээр томъёоны нотолгоог "Логарифм" хэсэгт үзүүлэв.

Урвуу функц

Натурал логарифмын урвуу нь экспонент юм.

Хэрэв бол

Хэрэв, тэгвэл.

Дериватив ln x
.
Натурал логарифмын дериватив:
.
X модулийн натурал логарифмын дериватив:
.
Томьёог гарган авах > > >

Интеграл

Интегралыг хэсгүүдээр интегралд тооцно.
.
Тэгэхээр,

Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл

z цогцолбор хувьсагчийн функцийг авч үзье.
.
Комплекс хувьсагчийг илэрхийлье zмодулиар дамжуулан rболон маргаан φ :
.
Логарифмын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
Эсвэл
.
φ аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв та тавьсан бол
, энд n нь бүхэл тоо,
Энэ нь өөр n-ийн хувьд ижил тоо байх болно.

Тиймээс комплекс хувьсагчийн функц болох натурал логарифм нь нэг утгатай функц биш юм.

Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл

Өргөтгөх үед:

Ашигласан уран зохиол:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.