W artykule przedstawiono wstępne informacje na temat systemów nierówności. Oto definicja systemu nierówności i definicja rozwiązania systemu nierówności. Wymieniono także główne typy systemów, z którymi najczęściej trzeba pracować na lekcjach algebry w szkole, wraz z podanymi przykładami.
Nawigacja strony.
Co to jest system nierówności?
Wygodnie jest definiować układy nierówności w ten sam sposób, w jaki wprowadziliśmy definicję układu równań, czyli według rodzaju zapisu i zawartego w nim znaczenia.
Definicja.
Układ nierówności jest zapisem reprezentującym pewną liczbę nierówności zapisanych jedna pod drugą, połączonych z lewej strony nawiasem klamrowym i oznacza zbiór wszystkich rozwiązań, które są jednocześnie rozwiązaniami każdej nierówności układu.
Podajmy przykład układu nierówności. Weźmy dwa dowolne, np. 2 x−3>0 i 5−x≥4 x−11, zapiszmy je jedno pod drugim
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
i łączymy ze znakiem systemowym - nawiasem klamrowym, w rezultacie otrzymujemy układ nierówności w postaci:
Podobny pogląd pojawia się w przypadku systemów nierówności w podręcznikach szkolnych. Warto zauważyć, że ich definicje podano w sposób węższy: dla nierówności z jedną zmienną lub z dwiema zmiennymi.
Główne typy systemów nierówności
Jest oczywiste, że można stworzyć nieskończenie wiele różnych systemów nierówności. Aby nie zgubić się w tej różnorodności, wskazane jest rozważenie ich w grupach, które mają swoje własne charakterystyczne cechy. Wszystkie systemy nierówności można podzielić na grupy według następujących kryteriów:
- przez liczbę nierówności w systemie;
- według liczby zmiennych objętych rejestracją;
- ze względu na rodzaj samych nierówności.
Na podstawie liczby nierówności zawartych w zapisie wyróżnia się układy dwa, trzy, cztery itd. nierówności W poprzednim akapicie podaliśmy przykład układu, który jest układem dwóch nierówności. Pokażmy inny przykład układu czterech nierówności 
.
Osobno powiemy, że nie ma sensu mówić o samym systemie nierówności; w tym przypadku w istocie mówimy o samej nierówności, a nie o systemie.
Jeśli spojrzysz na liczbę zmiennych, istnieją systemy nierówności z jednym, dwoma, trzema itd. zmienne (lub, jak to mówią, niewiadome). Spójrz na ostatni układ nierówności zapisany dwa akapity powyżej. Jest to układ z trzema zmiennymi x, y i z. Należy pamiętać, że jej pierwsze dwie nierówności nie zawierają wszystkich trzech zmiennych, a tylko jedną z nich. W kontekście tego układu należy je rozumieć jako nierówności z trójką zmienne formularza odpowiednio x+0·y+0·z≥−2 i 0·x+y+0·z≤5. Należy pamiętać, że szkoła skupia się na nierównościach z jedną zmienną.
Pozostaje omówić, jakie rodzaje nierówności występują w systemach rejestrujących. W szkole rozważają głównie układy dwóch nierówności (rzadziej – trzech, jeszcze rzadziej – czterech i więcej) z jedną lub dwiema zmiennymi, a same nierówności są zazwyczaj całe nierówności I lub II stopień (rzadziej - częściej wysokie stopnie lub częściowo racjonalne). Ale nie zdziw się, jeśli w swoich materiałach przygotowujących do egzaminu Unified State Exam natkniesz się na systemy nierówności zawierające nierówności irracjonalne, logarytmiczne, wykładnicze i inne. Jako przykład podajemy układ nierówności 
, jest pobierane z .
Jakie jest rozwiązanie układu nierówności?
Wprowadźmy kolejną definicję związaną z systemami nierówności - definicję rozwiązania układu nierówności:
Definicja.
Rozwiązywanie układu nierówności z jedną zmienną nazywa się taką wartością zmiennej, która zamienia każdą z nierówności układu w prawdziwą, innymi słowy jest rozwiązaniem każdej nierówności układu.
Wyjaśnijmy na przykładzie. Weźmy układ dwóch nierówności z jedną zmienną. Przyjmijmy wartość zmiennej x równą 8, jest to z definicji rozwiązanie naszego układu nierówności, gdyż podstawienie jej do nierówności układu daje dwie poprawne nierówności numeryczne 8>7 i 2−3·8≤0. Wręcz przeciwnie, jedność nie jest rozwiązaniem układu, gdyż gdy zastąpimy ją zmienną x, pierwsza nierówność zamieni się w niepoprawną nierówność liczbową 1>7.
Podobnie możemy wprowadzić definicję rozwiązania układu nierówności z dwoma, trzema i duża liczba zmienne:
Definicja.
Rozwiązywanie układu nierówności z dwójką, trójką itd. zmienne zwane parą, trójką itd. wartości tych zmiennych, co jednocześnie jest rozwiązaniem każdej nierówności układu, czyli zamienia każdą nierówność układu w poprawną nierówność liczbową.
Przykładowo para wartości x=1, y=2 lub w innym zapisie (1, 2) jest rozwiązaniem układu nierówności z dwiema zmiennymi, gdyż 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .
Układy nierówności mogą nie mieć rozwiązań, mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań lub mogą mieć nieskończoną liczbę rozwiązań. Ludzie często mówią o zbiorze rozwiązań systemu nierówności. Jeżeli układ nie ma rozwiązań, to istnieje pusty zbiór jego rozwiązań. Gdy istnieje skończona liczba rozwiązań, to zbiór rozwiązań zawiera skończoną liczbę elementów, a gdy istnieje nieskończenie wiele rozwiązań, to zbiór rozwiązań składa się z nieskończonej liczby elementów.
Niektóre źródła wprowadzają definicje szczególnego i ogólnego rozwiązania układu nierówności, jak na przykład w podręcznikach Mordkowicza. Pod prywatne rozwiązanie układu nierówności zrozumieć jej jedną decyzję. Z kolei ogólne rozwiązanie układu nierówności- to wszystko są jej prywatne decyzje. Jednak określenia te mają sens tylko wtedy, gdy trzeba konkretnie podkreślić, o jakim rozwiązaniu mówimy, ale zwykle wynika to już z kontekstu, dlatego znacznie częściej mówią po prostu „rozwiązanie układu nierówności”.
Z definicji układu nierówności i jego rozwiązań przedstawionych w tym artykule wynika, że rozwiązaniem układu nierówności jest przecięcie zbiorów rozwiązań wszystkich nierówności tego układu.
Referencje.
- Algebra: podręcznik dla 8 klasy. wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: Klasa 9: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovich A.G. Algebra. 9. klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 13, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovich A.G. Algebra i początki analizy matematycznej. 11 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 2, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.
- Ujednolicony egzamin państwowy-2013. Matematyka: standardowe opcje egzaminu: 30 opcji / wyd. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Wydawnictwo „Edukacja Narodowa”, 2012. – 192 s. – (USE-2013. FIPI - szkoła).
1. Pojęcie nierówności z jedną zmienną
2. Nierówności równoważne. Twierdzenia o równoważności nierówności
3. Rozwiązywanie nierówności z jedną zmienną
4. Graficzne rozwiązanie nierówności z jedną zmienną
5. Nierówności zawierające zmienną pod znakiem modułu
6. Główne wnioski
Nierówności z jedną zmienną
Oferty 2 X + 7 > 10-tki, x 2 + 7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 nazywane są nierównościami z jedną zmienną.
Ogólnie pojęcie to definiuje się w następujący sposób:
Definicja. Niech f(x) i g(x) będą dwoma wyrażeniami ze zmienną x i dziedziną X. Wtedy nierówność postaci f(x) > g(x) lub f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Zmienna wartość X od wielu X, w którym nierówność zamienia się w rzeczywistą nierówność liczbową decyzja. Rozwiązanie nierówności oznacza znalezienie wielu rozwiązań.
Zatem rozwiązując nierówność 2 X + 7 > 10 -x, x? R jest numerem X= 5, ponieważ 2 5 + 7 > 10 - 5 jest prawdziwą nierównością numeryczną. A zbiorem jego rozwiązań jest przedział (1, ∞), który wyznaczamy wykonując transformację nierówności: 2 X + 7 > 10-X => 3X >3 => X >1.
Nierówności równoważne. Twierdzenia o równoważności nierówności
Podstawą rozwiązywania nierówności za pomocą jednej zmiennej jest koncepcja równoważności.
Definicja. Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, jeśli ich zbiory rozwiązań są równe.
Na przykład nierówności 2 X+ 7 > 10 i 2 X> 3 są równoważne, ponieważ ich zbiory rozwiązań są równe i reprezentują przedział (2/3, ∞).
Twierdzenia o równoważności nierówności i wynikające z nich konsekwencje są podobne do odpowiednich twierdzeń o równoważności równań. W ich dowodzie wykorzystuje się własności prawdziwych nierówności numerycznych.
Twierdzenie 3. Niech nierówność f(x) > g(x) zdefiniowany na planie X I H(X) jest wyrażeniem zdefiniowanym w tym samym zestawie. Potem nierówności f(x) > g(x) i f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) są równoważne na zestawie X.
Z tego twierdzenia wynikają wnioski, które są często używane przy rozwiązywaniu nierówności:
1) Jeśli do obu stron nierówności f(x) > g(x) dodaj tę samą liczbę D, wtedy otrzymamy nierówność f(x) + d > g(x)+ d, odpowiednik oryginału.
2) Jeśli dowolny wyraz (wyrażenie liczbowe lub wyrażenie ze zmienną) zostanie przeniesiony z jednej części nierówności do drugiej, zmieniając znak wyrazu na przeciwny, wówczas otrzymamy nierówność równoważną podanej.
Twierdzenie 4. Niech nierówność f(x) > g(x) zdefiniowany na planie X I H(X X od wielu X wyrażenie h(x) przyjmuje wartości dodatnie. Potem nierówności f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) są równoważne na zestawie X.
f(x) > g(x) pomnóż przez tę samą liczbę dodatnią D, wtedy otrzymamy nierówność f(x) d > g(x) d, równoważne temu.
Twierdzenie 5. Niech nierówność f(x) > g(x) zdefiniowany na planie X I H(X) - wyrażenie zdefiniowane na tym samym zbiorze i dla wszystkich X jest ich wielu X wyrażenie H(X) akceptuje wartości ujemne. Potem nierówności f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) są równoważne na zestawie X.
Z tego twierdzenia wynika wniosek: jeśli obie strony nierówności f(x) > g(x) pomnóż przez tę samą liczbę ujemną D i zamieniamy znak nierówności na przeciwny, otrzymujemy nierówność f(x) d > g(x) d, równoważne temu.
Rozwiązywanie nierówności z jedną zmienną
Rozwiążmy nierówność 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, a my uzasadnimy wszystkie przekształcenia, które dokonamy w procesie rozwiązania.
Rozwiązanie nierówności X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 to przedział (-∞, 7).
Ćwiczenia
1. Określ, które z poniższych wpisów są nierównościami z jedną zmienną:
a) -12 - 7 X< 3X+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);
b) 15( X+ 2) > 4; e) 17-12,8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3X-4> 0.
2. Czy liczba 3 jest rozwiązaniem nierówności? 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R? A liczba 4,25?
3. Czy następujące pary nierówności są równoważne na zbiorze liczb rzeczywistych:
a) -17 X< -51 и X > 3;
b) (3 X-1)/4 >0 i 3 X-1>0;
c) 6-5 X>-4 i X<2?
4. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe:
a) -7 X < -28 => X>4;
B) X < 6 => X < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Rozwiąż nierówność 3( X - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 i uzasadnij wszystkie przekształcenia, które wykonasz.
6. Udowodnić to rozwiązując nierówność 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) jest dowolną liczbą rzeczywistą.
7. Udowodnić, że nie ma liczby rzeczywistej, która byłaby rozwiązaniem nierówności 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Jeden bok trójkąta ma długość 5 cm, a drugi 8 cm. Jaka może być długość trzeciego boku, jeśli obwód trójkąta wynosi:
a) mniej niż 22 cm;
b) więcej niż 17 cm?
GRAFICZNE ROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCI Z JEDNĄ ZMIENNĄ. Rozwiązać graficznie nierówność fa (x) > g (x) trzeba zbudować wykresy funkcji
y = fa (x) = g (x) i wybierz te przedziały osi odciętych, na których znajduje się wykres funkcji y = f(x) znajduje się nad wykresem funkcji y = g(x).
Przykład 17.8. Rozwiązać graficznie nierówność x 2- 4 > 3X.
| Y - x* - 4 |
Rozwiązanie. Konstruujmy wykresy funkcji w jednym układzie współrzędnych
y = x 2 - 4 i y = Zx (ryc. 17.5). Rysunek pokazuje, że wykresy funkcji Na= x 2- 4 znajduje się nad wykresem funkcji y = 3 X Na X< -1 i x > 4, tj. zbiór rozwiązań pierwotnej nierówności jest zbiorem
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Odpowiedź: x О(- oo; -1) i ( 4; + oo).
Harmonogram funkcja kwadratowa Na= topór 2 + bx + c jest parabolą z gałęziami skierowanymi w górę, jeśli > 0 i w dół, jeśli A< 0. W tym przypadku możliwe są trzy przypadki: parabola przecina oś Oh(tj. równanie aha 2+ bx+ c = 0 ma dwa różne pierwiastki); parabola dotyka osi X(tj. równanie topór 2 + bx+ c = 0 ma jeden pierwiastek); parabola nie przecina osi Oh(tj. równanie aha 2+ bx+ c = 0 nie ma pierwiastków). Zatem istnieje sześć możliwych położeń paraboli, która służy jako wykres funkcji y = aha 2+ b x + c(ryc. 17.6). Korzystając z tych ilustracji, możesz rozwiązać nierówności kwadratowe.
Przykład 17.9. Rozwiąż nierówność: a) 2 x gł+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Rozwiązanie, a) Równanie 2x 2 + 5x -3 = 0 ma dwa pierwiastki: x, = -3, x 2 = 0,5. Parabola służąca jako wykres funkcji Na= 2x 2+ 5x -3, jak pokazano na ryc. A. Nierówność 2x 2+ 5x -3 > 0 jest spełnione dla tych wartości X, dla którego punkty paraboli leżą nad osią Oh: będzie o godz X< х х lub kiedy X> x g> te. Na X< -3 lub o godz x > 0,5. Oznacza to, że zbiorem rozwiązań pierwotnej nierówności jest zbiór (- ¥; -3) i (0,5; + ¥).
b) Równanie -Зх 2 + 2x- 6 = 0 nie ma rzeczywistych pierwiastków. Parabola służąca jako wykres funkcji Na= - 3x 2 - 2x - 6, pokazany na ryc. 17.6 Nierówność -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, dla którego punkty paraboli leżą poniżej osi Oh. Ponieważ cała parabola leży poniżej osi Oh, wówczas zbiorem rozwiązań pierwotnej nierówności jest zbiór R .
NIERÓWNOŚCI ZAWIERAJĄCE ZMIENNĄ POD ZNAKIEM MODUŁU. Rozwiązując te nierówności należy pamiętać, że:
|k(x) | =
k(x), Jeśli k(x) ³ 0,
- k(x), Jeśli k(x) < 0,
W takim przypadku zakres dopuszczalnych wartości nierówności należy podzielić na przedziały, w każdym z których wyrażenia pod znakiem modułu zachowują swój znak. Następnie rozwijając moduły (biorąc pod uwagę znaki wyrażeń), należy rozwiązać nierówność na każdym przedziale i połączyć powstałe rozwiązania w zbiór rozwiązań pierwotnej nierówności.
Przykład 17.10. Rozwiąż nierówność:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
Rozwiązanie. Punkty x = 1 i x = 2 dzielą oś liczbową (ODZ nierówności (17.9)) na trzy przedziały: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Rozwiążmy tę nierówność dla każdego z nich. Jeśli x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; dlatego |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Oznacza to, że nierówność (17.9) przyjmuje postać: 1- x + 2 - x > 3 + x, tj. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Jeśli 1 £ x £,2, to x - 1 ³ 0 i 2 – x ³ 0; dlatego | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Oznacza to, że system utrzymuje:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Powstały układ nierówności nie ma rozwiązań. Dlatego na przedziale [ 1; 2] zbiór rozwiązań nierówności (17.9) jest pusty.
Jeśli x > 2, to x - 1 > 0 i 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x – 2 > 3+x,
x > 6 lub
Łącząc rozwiązania wszystkich części nierówności ODZ (17.9) otrzymujemy jej rozwiązanie - zbiór (-¥; 0) È (6; +oo).
Czasami warto skorzystać z interpretacji geometrycznej modułu liczby rzeczywistej, zgodnie z którą | | oznacza odległość punktu a linii współrzędnych od początku O, a | a - b | oznacza odległość między punktami aib na linii współrzędnych. Alternatywnie można zastosować metodę podniesienia obu stron nierówności do kwadratu.
Twierdzenie 17.5. Jeśli wyrażenia f(x) i g(x) dla dowolnego x przyjmuj tylko wartości nieujemne, a następnie nierówności fa (x) > g (x) I f (x) ² > g (x) ² są równoważne.
58. Główne wnioski § 12
W tej sekcji zdefiniowaliśmy następujące kwestie koncepcje:
Wyrażenie numeryczne;
Oznaczający wyrażenie numeryczne;
Wyrażenie, które nie ma znaczenia;
Wyrażenie ze zmiennymi;
Zakres definicji wyrażenia;
Identycznie równe wyrażenia;
Tożsamość;
Identyczne przekształcenie wyrażenia;
Równość liczbowa;
Nierówność numeryczna;
Równanie z jedną zmienną;
Pierwiastek równania;
Co to znaczy rozwiązać równanie;
Równania równoważne;
Nierówność z jedną zmienną;
Rozwiązywanie nierówności;
Co to znaczy rozwiązać nierówność;
Nierówności równoważne.
Ponadto zbadaliśmy twierdzenia o równoważności równań i nierówności, które są podstawą ich rozwiązania.
Znajomość definicji wszystkich powyższych pojęć i twierdzeń o równoważności równań i nierówności jest warunkiem koniecznym metodologicznie kompetentnego studiowania materiału algebraicznego z uczniami szkół podstawowych.
Temat lekcji: Rozwiązywanie układu nierówności liniowych z jedną zmienną
Data: _______________
Klasa: 6a, 6b, 6c
Typ lekcji: nauka nowego materiału i pierwotna konsolidacja.
Cel dydaktyczny: stworzyć warunki dla świadomości i zrozumienia bloku nowych informacji edukacyjnych.
Cele: 1) Edukacyjne: wprowadzić pojęcia: rozwiązanie systemów nierówności, równoważne systemy nierówności i ich własności; uczyć, jak zastosować te pojęcia przy rozwiązywaniu prostych układów nierówności z jedną zmienną.
2) Rozwojowe: promowanie rozwoju elementów twórczej, samodzielnej aktywności uczniów; rozwijać mowę, umiejętność myślenia, analizowania, uogólniania, wyrażania swoich myśli w sposób jasny i zwięzły.
3) Edukacyjne: kształtowanie szacunku wobec siebie nawzajem i odpowiedzialnego podejścia do pracy wychowawczej.
Zadania:
powtórzyć teorię na temat nierówności numerycznych i przedziałów liczbowych;
podać przykład problemu, który można rozwiązać za pomocą układu nierówności;
rozważyć przykłady rozwiązywania układów nierówności;
wykonywać samodzielną pracę.
Formy organizacji działalność edukacyjna: - frontalny – zbiorowy – indywidualny.
Metody: objaśniający - ilustrujący.
Plan lekcji:
1. Moment organizacyjny, motywacja, wyznaczanie celów
2. Aktualizacja opracowania tematu
3. Nauka nowego materiału
4. Pierwotna konsolidacja i zastosowanie nowego materiału
5. Wykonanie niezależna praca
7. Podsumowanie lekcji. Odbicie.
Postęp lekcji:
1. Moment organizacyjny
Nierówność może być dobrym pomocnikiem. Trzeba tylko wiedzieć, kiedy zwrócić się do niego o pomoc. Formułowanie problemów w wielu zastosowaniach matematyki często formułuje się w języku nierówności. Na przykład wiele problemów ekonomicznych sprowadza się do badania systemów nierówności liniowych. Dlatego ważna jest umiejętność rozwiązywania układów nierówności. Co to znaczy „rozwiązać system nierówności”? Właśnie temu przyjrzymy się podczas dzisiejszej lekcji.
2. Aktualizowanie wiedzy.
Praca ustna z klasą, troje uczniów pracuje przy użyciu indywidualnych kart.
Aby przejrzeć teorię tematu „Nierówności i ich właściwości”, przeprowadzimy testy, po których nastąpi weryfikacja i rozmowa na temat teorii tego tematu. Każde zadanie testowe wymaga odpowiedzi „Tak” - rysunek, „Nie” - rysunek ____
Wynik testu powinien być jakąś liczbą.
(odpowiedź: ).
Ustal zgodność pomiędzy nierównością a przedziałem liczbowym
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
„Matematyka uczy pokonywania trudności i poprawiania własnych błędów.” Znajdź błąd w rozwiązywaniu nierówności, wyjaśnij, dlaczego popełniono błąd, zapisz prawidłowe rozwiązanie w zeszycie.
2x<8-6
x>-1
3. Studiowanie nowego materiału.
Jak myślisz, co nazywa się rozwiązaniem systemu nierówności?
(Rozwiązaniem układu nierówności z jedną zmienną jest wartość zmiennej, dla której każda z nierówności układu jest prawdziwa)
Co to znaczy „rozwiązać system nierówności”?
(Rozwiązanie układu nierówności oznacza znalezienie wszystkich jego rozwiązań lub udowodnienie, że rozwiązań nie ma)
Co należy zrobić, aby odpowiedzieć na pytanie „jest dana liczba
rozwiązanie układu nierówności?
(Podstaw tę liczbę do obu nierówności układu, jeśli nierówności są poprawne, to podana liczba jest rozwiązaniem układu nierówności, jeśli nierówności są niepoprawne, to podana liczba nie jest rozwiązaniem układu nierówności)
Formułować algorytm rozwiązywania układów nierówności
1. Rozwiąż każdą nierówność układu.
2. Przedstaw graficznie rozwiązania każdej nierówności na linii współrzędnych.
3. Znajdź przecięcie rozwiązań nierówności na linii współrzędnych.
4. Zapisz odpowiedź w postaci przedziału liczbowego.
Rozważ przykłady:
Odpowiedź: 
Odpowiedź: brak rozwiązań
4. Zabezpieczenie tematu.
Praca z podręcznikiem nr 1016, nr 1018, nr 1022
5. Samodzielna praca według opcji (Karty zadań dla uczniów na stołach)
Niezależna praca
Opcja 1
Rozwiąż układ nierówności:
Temat lekcji brzmi „Rozwiązywanie nierówności i ich układów” (matematyka klasa 9)
Typ lekcji: lekcja systematyzacji i generalizacji wiedzy i umiejętności
Technologia lekcji: technologia dla rozwoju krytycznego myślenia, zróżnicowanego uczenia się, technologie ICT
Cel lekcji: powtarzanie i systematyzowanie wiedzy o właściwościach nierówności i sposobach ich rozwiązywania, stwarzanie warunków do rozwijania umiejętności wykorzystania tej wiedzy przy rozwiązywaniu problemów standardowych i twórczych.
Zadania.
Edukacyjny:
przyczyniają się do rozwoju umiejętności uczniów uogólniania zdobytej wiedzy, przeprowadzania analiz, syntez, porównań i wyciągania niezbędnych wniosków
organizować zajęcia studentów w celu zastosowania zdobytej wiedzy w praktyce
promowanie rozwoju umiejętności zastosowania zdobytej wiedzy w niestandardowych warunkach
Edukacyjny:
kontynuować formację logiczne myślenie, uwaga i pamięć;
doskonalić umiejętności analizy, systematyzacji, generalizacji;
tworzenie warunków zapewniających rozwój umiejętności samokontroli u uczniów;
promować nabywanie umiejętności niezbędnych do samodzielnego uczenia się.
Edukacyjny:
kultywuj dyscyplinę i opanowanie, odpowiedzialność, niezależność, krytyczną postawę wobec siebie i uważność.
Planowane efekty kształcenia.
Osobisty: odpowiedzialne podejście do nauki i kompetencje komunikacyjne w komunikacji i współpracy z rówieśnikami w tym procesie działalność edukacyjna.
Kognitywny: umiejętność definiowania pojęć, tworzenia uogólnień, samodzielnego doboru podstaw i kryteriów klasyfikacji, budowania logicznego rozumowania i wyciągania wniosków;
Przepisy: umiejętność identyfikacji potencjalnych trudności w rozwiązywaniu zadania edukacyjnego i poznawczego oraz znalezienia sposobów ich eliminacji, oceny swoich osiągnięć
Rozmowny: umiejętność formułowania sądów przy użyciu terminów i pojęć matematycznych, formułowania pytań i odpowiedzi w trakcie zadania, wymiany wiedzy pomiędzy członkami grupy w celu podejmowania skutecznych wspólnych decyzji.
Podstawowe terminy i pojęcia: nierówność liniowa, nierówność kwadratowa, układ nierówności.
Sprzęt
Projektor, laptop nauczyciela, kilka netbooków dla uczniów;
Prezentacja;
Karty z podstawową wiedzą i umiejętnościami na temat lekcji (załącznik 1);
Karty z samodzielną pracą (załącznik 2).
Plan lekcji
| Postęp lekcji |
|||
| Etapy technologiczne. Cel. | Działalność nauczyciela | Działalność studencka | |
| Część wprowadzająca i motywacyjna |
|||
| 1.Organizacyjne Cel: psychologiczne przygotowanie do komunikacji. | Cześć. Miło was wszystkich widzieć. Usiąść. Sprawdź, czy masz wszystko przygotowane na lekcję. Jeśli wszystko jest w porządku, spójrz na mnie. | Mówią cześć. Sprawdź akcesoria. Przygotowanie do pracy. | Osobisty. Kształtuje się odpowiedzialna postawa wobec nauki. |
| 2.Aktualizacja wiedzy (2 min) Cel: identyfikacja indywidualnych luk w wiedzy na dany temat | Temat naszej lekcji brzmi: „Rozwiązywanie nierówności za pomocą jednej zmiennej i jej układów”. (slajd 1) Poniżej znajduje się lista podstawowej wiedzy i umiejętności na ten temat. Oceń swoją wiedzę i umiejętności. Umieść odpowiednie ikony. (slajd 2) | Ocenić własną wiedzę i umiejętności. (Załącznik 1) | Regulacyjne Samoocena swojej wiedzy i umiejętności |
| 3. Motywacja (2 minuty) Cel: zapewnienie ćwiczeń pozwalających określić cele lekcji . | W praca OG w matematyce kilka pytań zarówno w pierwszej, jak i drugiej części określa umiejętność rozwiązywania nierówności. Co musimy powtarzać na zajęciach, aby pomyślnie wykonać te zadania? | Rozumują i nazywają pytania do powtórzenia. | Kognitywny. Zidentyfikuj i sformułuj cel poznawczy. |
| Etap koncepcyjny (składnik treści) |
|||
| 4.Poczucie własnej wartości i wybór trajektorii (1-2 minuty) | W zależności od tego, jak oceniłeś swoją wiedzę i umiejętności na dany temat, wybierz formę pracy na lekcji. Ze mną możesz pracować całą klasą. Można pracować na netbookach indywidualnie, korzystając z moich konsultacji, lub w parach, pomagając sobie nawzajem. | Ustalana z indywidualną ścieżką nauki. Jeśli to konieczne, zmień miejsce. | Regulacyjne identyfikować potencjalne trudności w rozwiązywaniu zadania edukacyjnego i poznawczego oraz znajdować sposoby ich eliminacji |
| 5-7 Praca w parach lub indywidualnie (25 min) | Nauczyciel zaleca uczniom samodzielną pracę. | Uczniowie dobrze znający temat pracują indywidualnie lub w parach nad prezentacją (slajdy 4-10). Wykonaj zadania (slajdy 6,9). | Kognitywny umiejętność definiowania pojęć, tworzenia uogólnień, budowania łańcucha logicznego Regulacyjne umiejętność określenia działań zgodnie z zadaniem wychowawczym i poznawczym Komunikacja umiejętność organizowania współpracy edukacyjnej i wspólne działania, pracuj ze źródłem informacji Osobisty odpowiedzialne podejście do nauki, gotowość i zdolność do samorozwoju i samokształcenia |
| 5. Rozwiązywanie nierówności liniowych. (10 minut) | Jakich własności nierówności używamy do ich rozwiązywania? Czy potrafisz rozróżnić nierówności liniowe i kwadratowe oraz ich układy? (slajd 5) Jak rozwiązać nierówność liniową? Postępuj zgodnie z rozwiązaniem. (slajd 6) Nauczyciel monitoruje rozwiązanie na tablicy. Sprawdź poprawność rozwiązania. | Nazwij właściwości nierówności; po udzieleniu odpowiedzi lub w przypadku trudności nauczyciel otwiera slajd 4. Wymień charakterystyczne cechy nierówności. Korzystanie z własności nierówności. Jeden z uczniów rozwiązuje na tablicy nierówność nr 1. Reszta jest w notesach, po decyzji osoby odpowiadającej. Nierówności nr 2 i 3 są spełnione niezależnie. Sprawdzają gotową odpowiedź. | Kognitywny Komunikacja |
| 6. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych. (10 minut) | Jak rozwiązać nierówność? Co to za nierówność? Jakich metod używa się do rozwiązywania nierówności kwadratowych? Przypomnijmy sobie metodę paraboli (slajd 7). Nauczyciel przypomina etapy rozwiązywania nierówności. Do rozwiązywania nierówności drugiego i wyższych stopni stosuje się metodę przedziałową. (slajd 8) Aby rozwiązać nierówności kwadratowe, możesz wybrać dogodną dla siebie metodę. Rozwiąż nierówności. (slajd 9). Nauczyciel monitoruje postęp rozwiązania i przypomina metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych. Nauczyciel doradza uczniom pracującym indywidualnie. | Odpowiedź: Nierówność kwadratowa Rozwiązujemy metodą paraboli lub metodą przedziałową. Uczniowie korzystają z rozwiązań prezentacyjnych. Przy tablicy uczniowie po kolei rozwiązują nierówności nr 1 i 2. Sprawdzają odpowiedź. (aby rozwiązać nerw nr 2, należy pamiętać o metodzie rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych). Nierówność nr 3 rozwiązuje się niezależnie i sprawdza z odpowiedzią. | Kognitywny umiejętność definiowania pojęć, tworzenia uogólnień, budowania rozumowania od ogólnych wzorców do konkretnych rozwiązań Komunikacja umiejętność przedstawienia szczegółowego planu własnej działalności w formie ustnej i pisemnej; |
| 7. Rozwiązywanie układów nierówności (4-5 minut) | Przypomnij sobie etapy rozwiązywania układu nierówności. Rozwiąż system (slajd 10) | Nazwij etapy rozwiązania Uczeń rozwiązuje zadanie przy tablicy i sprawdza rozwiązanie na slajdzie. | |
| Etap refleksyjno-oceniający |
|||
| 8.Kontrola i sprawdzanie wiedzy (10 minut) Cel: określenie jakości uczenia się materiału. | Sprawdźmy Twoją wiedzę na ten temat. Rozwiąż problemy samodzielnie. Nauczyciel sprawdza wynik korzystając z gotowych odpowiedzi. | Wykonaj niezależną pracę nad opcjami (załącznik 2) Po zakończeniu pracy uczeń zgłasza to nauczycielowi. Student ustala swoją ocenę według kryteriów (slajd 11). Jeśli praca zakończy się pomyślnie, może rozpocząć dodatkowe zadanie (slajd 11) | Kognitywny. Buduj logiczne łańcuchy rozumowania. |
| 9. Refleksja (2 min) Cel: kształtuje się odpowiednia samoocena własnych możliwości i możliwości, zalet i ograniczeń | Czy jest poprawa wyniku? Jeśli nadal masz pytania, zajrzyj do podręcznika w domu (s. 120) | Ocenić własną wiedzę i umiejętności na tej samej kartce papieru (załącznik nr 1). Na początku lekcji porównaj z samooceną i wyciągnij wnioski. | Regulacyjne Samoocena swoich osiągnięć |
| 10.Zadania domowe (2 min) Cel: utrwalenie badanego materiału. | Ustal zadanie domowe na podstawie wyników samodzielnej pracy (slajd 13) | Ustal i zapisz zadanie indywidualne | Kognitywny. Buduj logiczne łańcuchy rozumowania. Analizuj i przekształcaj informacje. |
Wykaz używanej literatury: Algebra. Podręcznik dla klasy 9. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Edukacja, 2014
Program do rozwiązywania nierówności liniowych, kwadratowych i ułamkowych nie tylko daje odpowiedź na problem, ale daje szczegółowe rozwiązanie z wyjaśnieniami, tj. wyświetla proces rozwiązywania sprawdzający wiedzę z matematyki i/lub algebry.
Ponadto, jeśli w procesie rozwiązywania jednej z nierówności konieczne jest rozwiązanie np. równanie kwadratowe, wyświetli się także jego szczegółowe rozwiązanie (zawiera spoiler).
Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w przygotowaniach do egzaminu testy, rodzicom, aby monitorowali sposoby rozwiązywania nierówności przez swoje dzieci.
Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich szkoły średnie w przygotowaniu do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed Unified State Exam, aby rodzice mogli kontrolować rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? praca domowa
na matematyce lub algebrze? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.
W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.
Zasady wpisywania nierówności
Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itp.
Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.
Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.
Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem. Możesz na przykład wejść dziesiętne
w ten sposób: 2,5x - 3,5x^2
Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.
Mianownik nie może być ujemny. /
Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: &
Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu:
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5 lat +1/7 lat^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Podczas wprowadzania wyrażeń można używać nawiasów. W takim przypadku przy rozwiązywaniu nierówności wyrażenia są najpierw upraszczane. Na przykład:
5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3) właściwy znak nierówności i wpisz wielomiany w polach poniżej.
Rozwiązać układ nierówności Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.
Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...
Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.
Nasze gry, puzzle, emulatory:
Trochę teorii.
Układy nierówności z jedną niewiadomą. Przedziały numeryczne
Z pojęciem układu zapoznałeś się w siódmej klasie i nauczyłeś się rozwiązywać układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Następnie rozważymy układy nierówności liniowych z jedną niewiadomą. Zbiory rozwiązań układów nierówności można zapisać za pomocą przedziałów (przedziałów, półprzedziałów, odcinków, półprostych). Zapoznasz się także z notacją przedziałów liczbowych.
Jeżeli w nierównościach \(4x > 2000\) i \(5x \leq 4000\) nieznana liczba x jest taka sama, to nierówności te rozpatrywane są łącznie i mówi się, że tworzą układ nierówności: $$ \left\ (\begin(tablica)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(tablica)\right $$.
Nawias klamrowy pokazuje, że należy znaleźć wartości x, dla których obie nierówności układu zamieniają się w prawidłowe nierówności numeryczne. Ten system- przykład układu nierówności liniowych z jedną niewiadomą.
Rozwiązaniem układu nierówności z jedną niewiadomą jest wartość niewiadomej, przy której wszystkie nierówności układu zamieniają się w prawdziwe nierówności liczbowe. Rozwiązanie układu nierówności oznacza znalezienie wszystkich rozwiązań tego układu lub stwierdzenie, że ich nie ma.
Nierówności \(x \geq -2 \) i \(x \leq 3 \) można zapisać jako nierówność podwójną: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Rozwiązaniami układów nierówności z jedną niewiadomą są różne zbiory liczbowe. Te zestawy mają nazwy. Zatem na osi liczb zbiór liczb x taki, że \(-2 \leq x \leq 3 \) jest reprezentowany przez odcinek o końcach w punktach -2 i 3.
| -2 | 3 |
Jeśli \(a jest segmentem i jest oznaczone przez [a; b]
Jeśli \(a jest przedziałem i jest oznaczone przez (a; b)
Zbiory liczb \(x\) spełniające nierówności \(a \leq x są półprzedziałami i oznaczane są odpowiednio [a; b) i (a; b]
Nazywa się segmenty, przedziały, półprzedziały i półproste przedziały numeryczne.
Zatem przedziały liczbowe można określić w postaci nierówności.
Rozwiązaniem nierówności z dwiema niewiadomymi jest para liczb (x; y), która zamienia daną nierówność w rzeczywistą nierówność liczbową. Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu zbioru wszystkich jej rozwiązań. Zatem rozwiązaniami nierówności x > y będą np. pary liczb (5; 3), (-1; -1), ponieważ \(5 \geq 3 \) i \(-1 \geq - 1\)
Rozwiązywanie układów nierówności
Decydować nierówności liniowe z jedną niewiadomą, której już się nauczyłeś. Czy wiesz co to jest układ nierówności i rozwiązanie tego układu? Dlatego proces rozwiązywania układów nierówności z jedną niewiadomą nie sprawi Ci żadnych trudności.
A jednak przypomnijmy: aby rozwiązać układ nierówności, należy rozwiązać każdą nierówność z osobna, a następnie znaleźć przecięcie tych rozwiązań.
Przykładowo pierwotny układ nierówności został zredukowany do postaci:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Aby rozwiązać ten układ nierówności, zaznacz rozwiązanie każdej nierówności na osi liczbowej i znajdź ich przecięcie:
| -2 | 3 |
Przecięcie to odcinek [-2; 3] - jest to rozwiązanie pierwotnego układu nierówności.