Miejska budżetowa instytucja oświatowa
„Szkoła Gimnazjum nr 26
z dogłębną nauką poszczególnych przedmiotów”
miasto Niżniekamsk w Republice Tatarstanu
Notatki z lekcji matematyki
w 8 klasie
Rozwiązywanie nierówności z jedną zmienną
i ich systemy
przygotowany
nauczyciel matematyki
pierwsza kategoria kwalifikacyjna
Kungurova Gulnaz Rafaelovna
Niżniekamsk 2014
Podsumowanie planu lekcja
Nauczyciel: Kungurova G.R.
Temat: matematyka
Temat: „Rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną zmienną i ich układami.”
Klasa: 8B
Data: 04.10.2014
Typ lekcji: lekcja uogólniania i systematyzacji badanego materiału.
Cel lekcji: utrwalenie praktycznych umiejętności rozwiązywania nierówności z jedną zmienną i ich układami, nierówności zawierających zmienną pod znakiem modułu.
Cele lekcji:
Edukacyjny:
uogólnienie i usystematyzowanie wiedzy uczniów na temat sposobów rozwiązywania nierówności za pomocą jednej zmiennej;
rozszerzenie typu nierówności: nierówności podwójne, nierówności zawierające zmienną pod znakiem modułu, układy nierówności;
ustanowienie interdyscyplinarnych powiązań między matematyką, językiem rosyjskim i chemią.
Edukacyjny:
aktywacja uwagi, aktywność umysłowa, rozwój mowy matematycznej, zainteresowanie poznawcze u studentów;
opanowanie metod i kryteriów samooceny i samokontroli.
Edukacyjny:
kształtowanie samodzielności, dokładności i umiejętności pracy w zespole
Podstawowe metody stosowane na lekcji: komunikatywna, objaśniająco-ilustracyjna, odtwarzająca, metoda sterowania programowanego.
Sprzęt:
komputer
prezentacja komputerowa
monobloki (wykonanie indywidualnego testu online)
materiały informacyjne (wielopoziomowe zadania indywidualne);
arkusze samokontroli;
Plan lekcji:
4. Samodzielna praca
5. Refleksja
6. Podsumowanie lekcji.
Postęp lekcji:
1. Moment organizacyjny.
(Nauczyciel informuje uczniów o celach i zadaniach lekcji.).
Dziś stoimy przed bardzo ważne zadanie. Musimy podsumować ten temat. Po raz kolejny trzeba będzie bardzo uważnie pracować nad zagadnieniami teoretycznymi, wykonywać obliczenia i rozważać praktyczne zastosowanie tego tematu w naszym życie codzienne. Nigdy nie wolno nam zapominać o tym, jak rozumujemy, analizujemy i budujemy łańcuchy logiczne. Nasza mowa powinna być zawsze piśmienna i poprawna.
Każdy z Was ma na biurku kartę samokontroli. Pamiętaj, aby przez całą lekcję oznaczać swój wkład w tę lekcję znakiem „+”.
Nauczyciel pyta praca domowa komentując to:
№1026(a,b), nr 1019(c,d); dodatkowo - nr 1046(a)
2. Aktualizowanie wiedzy, umiejętności i zdolności
1) Zanim zaczniemy zadania praktyczne, przejdźmy do teorii.
Nauczyciel ogłasza początek definicji, a uczniowie muszą dokończyć sformułowanie.
a) Nierówność jednej zmiennej jest nierównością postaci ax>b, ax<в;
b) Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu wszystkich jej rozwiązań lub udowodnieniu, że rozwiązania nie istnieją;
c) Rozwiązaniem nierówności z jedną zmienną jest wartość zmiennej, która zamienia ją w prawdziwą nierówność;
d) Nierówności nazywamy równoważnymi, jeśli ich zbiory rozwiązań są zbieżne. Jeśli nie mają rozwiązań, nazywa się je również równoważnymi
2) Na tablicy znajdują się nierówności z jedną zmienną, ułożone w jednej kolumnie. A obok, w innej kolumnie, ich rozwiązania są zapisane w postaci przedziałów numerycznych. Zadaniem uczniów jest ustalenie zgodności nierówności z odpowiadającymi im przedziałami.
Ustal zgodność pomiędzy nierównościami i przedziałami liczbowymi:
1. 3x > 6 a) (-∞ ; - 0,2]
2. -5x ≥ 1 b) (- ∞ ; 15)
3. 4x > 3 c) (2; + ∞)
4. 0,2x< 3 г) (0,75; + ∞)
3) Praktyczna praca w notatniku samotestującym.
Uczniowie zapisują na tablicy nierówność liniową jednej zmiennej. Po ukończeniu tego, jeden z uczniów wyraża swoją decyzję, a popełnione błędy są korygowane)
Rozwiąż nierówność:
4 (2x - 1) - 3(x + 6) > x;
8x - 4 - 3x - 18 > x;
8x - 3x – x > 4+18;
4x > 22 ;
x > 5,5.
Odpowiedź. (5,5; +∞)
3. Praktyczne zastosowanie nierówności w życiu codziennym ( eksperyment chemiczny)
Nierówności w naszym codziennym życiu mogą być dobrymi pomocnikami. Poza tym istnieje nierozerwalny związek między przedmiotami szkolnymi. Matematyka idzie w parze nie tylko z językiem rosyjskim, ale także z chemią.
(Na każdym biurku znajduje się skala referencyjna pH w zakresie od 0 do 12)
Jeśli 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;
jeśli pH = 7, wówczas środowisko jest neutralne;
jeśli wskaźnik wynosi 7< pH ≤ 12, то среда щелочная
Nauczyciel wlewa do różnych probówek 3 bezbarwne roztwory. Z kursu chemii studenci proszeni są o zapamiętanie rodzajów roztworów mediów (kwasowy, obojętny, zasadowy). Następnie eksperymentalnie z udziałem studentów wyznaczane jest środowisko każdego z trzech rozwiązań. Aby to zrobić, do każdego rozwiązania obniża się uniwersalny wskaźnik. Dzieje się tak, że każdy wskaźnik jest odpowiednio pokolorowany. A zgodnie ze schematem kolorystycznym, dzięki standardowej skali, uczniowie ustalają otoczenie każdego z proponowanych rozwiązań.
Wniosek:
1 wskaźnik zmienia kolor na czerwony, wskaźnik 0 ≤ pH< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке
2 obroty wskaźnika zielony, pH = 7, co oznacza, że ośrodek drugiego roztworu jest obojętny, czyli w probówce nr 2 mieliśmy wodę
3 obroty wskaźnika niebieski, wskaźnik 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь
Znając granice pH, możesz określić poziom kwasowości gleby, mydła i wielu kosmetyków.
Ciągłe aktualizowanie wiedzy, umiejętności i zdolności.
1) Ponownie nauczyciel zaczyna formułować definicje, a uczniowie muszą je uzupełnić
Kontynuuj definicje:
a) Rozwiązanie układu nierówności liniowych polega na znalezieniu wszystkich jego rozwiązań lub udowodnieniu, że ich nie ma
b) Rozwiązaniem układu nierówności z jedną zmienną jest wartość zmiennej, dla której każda z nierówności jest prawdziwa
c) Aby rozwiązać układ nierówności z jedną zmienną, należy znaleźć rozwiązanie każdej nierówności i znaleźć punkt przecięcia tych przedziałów
Nauczyciel ponownie przypomina uczniom, że umiejętność rozwiązywania nierówności liniowych z jedną zmienną i jej układami to podstawa, podstawa do dalszych złożone nierówności, których będzie się uczyć w klasach wyższych. Położono fundament wiedzy, którego siła będzie musiała zostać potwierdzona na OGE z matematyki po 9. klasie.
Uczniowie wpisują w zeszytach rozwiązania układów nierówności liniowych z jedną zmienną. (2 uczniów rozwiązuje te zadania na tablicy, wyjaśnia ich rozwiązanie, podaje właściwości nierówności stosowanych przy rozwiązywaniu układów).
№1012(d). Rozwiązać układ nierówności liniowych
0,3x+1< 0,4х-2;
1,5 x-3 > 1,3 x-1. Odpowiedź. (30; +∞).
№1028(d). Rozwiąż podwójną nierówność i wypisz wszystkie liczby całkowite będące jej rozwiązaniem
1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0
2) Rozwiązywanie nierówności zawierających zmienną pod znakiem modułu.
Praktyka pokazuje, że nierówności zawierające zmienną pod znakiem modułu powodują u uczniów niepokój i zwątpienie. Często uczniowie po prostu nie godzą się na takie nierówności. Powodem tego jest źle ułożony fundament. Nauczyciel zachęca uczniów, aby w odpowiednim czasie pracowali nad sobą i konsekwentnie uczyli się wszystkich kroków pozwalających skutecznie wypełnić te nierówności.
Wykonywana jest praca ustna. (Ankieta frontowa)
Rozwiązywanie nierówności zawierających zmienną pod znakiem modułu:
1. Moduł liczby x to odległość od początku do punktu o współrzędnej x.
| 35 | = 35,
| - 17 | = 17,
| 0 | = 0
2. Rozwiąż nierówności:
a) | x |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)
b) | x | > 2. Odpowiedź. (- ∞; -2) U (2; +∞)
Postęp rozwiązywania tych nierówności jest szczegółowo wyświetlany na ekranie i zapisywany jest algorytm rozwiązywania nierówności zawierających zmienną pod znakiem modułu.
4. Samodzielna praca
Aby kontrolować stopień opanowania tego tematu, 4 uczniów zajmuje miejsca przy monoblokach i przystępuje do tematycznych testów online. Czas testu wynosi 15 minut. Po zakończeniu przeprowadzany jest autotest zarówno punktowy, jak i procentowy.
Pozostali uczniowie przy swoich biurkach wykonują samodzielną pracę w wariantach.
Samodzielna praca (czas realizacji 13 minut)
Opcja 1
Opcja 2
1. Rozwiąż nierówności:
a) 6+x< 3 - 2х;
b) 0,8(x-3) - 3,2 ≤ 0,3(2 - x).
3(x+1) - (x-2)< х,
2 > 5x - (2x-1) .
-6 < 5х - 1 < 5
4*. (Dodatkowo)
Rozwiąż nierówność:
| 2- 2x | ≤ 1
1. Rozwiąż nierówności:
a) 4+x< 1 - 2х;
b) 0,2(3x - 4) - 1,6 ≥ 0,3(4-3x).
2. Rozwiąż układ nierówności:
2(x+3) - (x - 8)< 4,
6x > 3(x+1) -1.
3. Rozwiąż podwójną nierówność:
-1 < 3х - 1 < 2
4*. (Dodatkowo)
Rozwiąż nierówność:
| 6x-1 | ≤ 1
Po wykonaniu niezależna praca Uczniowie oddają swoje zeszyty do sprawdzenia. Uczniowie, którzy pracowali na monoblokach, przekazują także swoje zeszyty nauczycielowi do sprawdzenia.
5. Refleksja
Nauczyciel przypomina uczniom karty samokontroli, na których mieli oceniać swoją pracę znakiem „+” przez całą lekcję, na poszczególnych jej etapach.
Ale główną ocenę swoich działań uczniowie będą musieli przedstawić dopiero teraz, po wypowiedzeniu jednej starożytnej przypowieści.
Przypowieść.
Szedł mędrzec i spotkały go 3 osoby. Na budowę świątyni nieśli wozy z kamieniami pod gorącym słońcem.
Mędrzec zatrzymał ich i zapytał:
- Co robiłeś przez cały dzień?
„Nosiłem te przeklęte kamienie” – odpowiedział pierwszy.
„Wykonałem swoją pracę sumiennie” – odpowiedział drugi.
„I brałem udział w budowie świątyni” – odpowiedział dumnie trzeci.
W kartach samokontroli w punkcie nr 3 uczniowie muszą wpisać frazę, która będzie odpowiadać ich zachowaniom na tej lekcji.
Arkusz samokontroli __________________________________________
№ N /N
Kroki lekcji
Stopień działalność edukacyjna
Praca ustna na zajęciach
Rozwiązywanie nierówności z jedną zmienną;
rozwiązywanie układów nierówności;
rozwiązywanie podwójnych nierówności;
rozwiązywanie nierówności ze znakiem modułu
Odbicie
W akapitach 1 i 2 zaznacz poprawne odpowiedzi na lekcji znakiem „+”;
w punkcie 3, oceń swoją pracę na zajęciach zgodnie z instrukcją
6. Podsumowanie lekcji.
Nauczyciel podsumowując lekcję, odnotowuje udane momenty i problemy, nad którymi pozostaje jeszcze do wykonania dodatkowa praca.
Studenci proszeni są o ocenę swojej pracy zgodnie z arkuszami samokontroli, a studenci otrzymują jeszcze jedną ocenę na podstawie wyników samodzielnej pracy.
Na zakończenie lekcji nauczyciel zwraca uwagę uczniów na słowa francuskiego naukowca Blaise’a Pascala: „Wielkość człowieka polega na jego zdolności myślenia”.
Referencje:
1 . Algebra. 8 klasa. Yu.N.Makarychev, N.G. Mindyuk, K.E. Neshkov, I.E. Feoktistov.-M.:
Mnemosyne, 2012
2. Algebra.8 klasa. Materiały dydaktyczne. Zalecenia metodyczne/ I.E. Feoktistow.
Wydanie 2., St.-M.: Mnemosyne, 2011
3. Materiały do testowania i pomiaru: klasa 8 / Opracowane przez L.I. Martyszowa.-
M.: VAKO, 2010
Zasoby internetowe:
Temat lekcji: Rozwiązywanie układu nierówności liniowych z jedną zmienną
Data: _______________
Klasa: 6a, 6b, 6c
Typ lekcji: nauka nowego materiału i pierwotna konsolidacja.
Cel dydaktyczny: stworzyć warunki dla świadomości i zrozumienia bloku nowych informacji edukacyjnych.
Cele: 1) Edukacyjne: wprowadzić pojęcia: rozwiązanie systemów nierówności, równoważne systemy nierówności i ich własności; uczyć, jak zastosować te pojęcia przy rozwiązywaniu prostych układów nierówności z jedną zmienną.
2) Rozwojowe: promowanie rozwoju elementów twórczej, samodzielnej aktywności uczniów; rozwijać mowę, umiejętność myślenia, analizowania, uogólniania, jasnego i zwięzłego wyrażania swoich myśli.
3) Edukacyjne: kształtowanie szacunku wobec siebie nawzajem i odpowiedzialnego podejścia do pracy wychowawczej.
Zadania:
powtórzyć teorię na temat nierówności numerycznych i przedziałów liczbowych;
podać przykład problemu, który można rozwiązać za pomocą układu nierówności;
rozważyć przykłady rozwiązywania układów nierówności;
wykonywać samodzielną pracę.
Formy organizacji zajęć edukacyjnych:- frontalny – zbiorowy – indywidualny.
Metody: objaśniający - ilustrujący.
Plan lekcji:
1. Moment organizacyjny, motywacja, wyznaczanie celów
2. Aktualizacja opracowania tematu
3. Nauka nowego materiału
4. Pierwotna konsolidacja i zastosowanie nowego materiału
5. Wykonywanie samodzielnej pracy
7. Podsumowanie lekcji. Odbicie.
Postęp lekcji:
1. Moment organizacyjny
Nierówność może być dobry pomocnik. Trzeba tylko wiedzieć, kiedy zwrócić się do niego o pomoc. Formułowanie problemów w wielu zastosowaniach matematyki często formułuje się w języku nierówności. Na przykład wiele problemów ekonomicznych sprowadza się do badania systemów nierówności liniowych. Dlatego ważna jest umiejętność rozwiązywania układów nierówności. Co to znaczy „rozwiązać system nierówności”? Właśnie temu przyjrzymy się podczas dzisiejszej lekcji.
2. Aktualizowanie wiedzy.
Praca ustna z klasą, troje uczniów pracuje przy użyciu indywidualnych kart.
Aby przejrzeć teorię tematu „Nierówności i ich właściwości”, przeprowadzimy testy, po których nastąpi weryfikacja i rozmowa na temat teorii tego tematu. Każde zadanie testowe wymaga odpowiedzi „Tak” - rysunek, „Nie” - rysunek ____
Wynik testu powinien być jakąś liczbą.
(odpowiedź: ).
Ustal zgodność pomiędzy nierównością a przedziałem liczbowym
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
„Matematyka uczy pokonywania trudności i poprawiania własnych błędów.” Znajdź błąd w rozwiązywaniu nierówności, wyjaśnij, dlaczego popełniono błąd, zapisz prawidłowe rozwiązanie w zeszycie.
2x<8-6
x>-1
3. Studiowanie nowego materiału.
Jak myślisz, co nazywa się rozwiązaniem systemu nierówności?
(Rozwiązaniem układu nierówności z jedną zmienną jest wartość zmiennej, dla której każda z nierówności układu jest prawdziwa)
Co to znaczy „rozwiązać system nierówności”?
(Rozwiązanie układu nierówności oznacza znalezienie wszystkich jego rozwiązań lub udowodnienie, że rozwiązań nie ma)
Co należy zrobić, aby odpowiedzieć na pytanie „jest dana liczba
rozwiązanie układu nierówności?
(Podstaw tę liczbę do obu nierówności układu, jeśli nierówności są prawdziwe, to podana liczba jest rozwiązaniem układu nierówności, jeśli nierówności są błędne, to podana liczba nie jest rozwiązaniem układu nierówności)
Formułować algorytm rozwiązywania układów nierówności
1. Rozwiąż każdą nierówność układu.
2. Przedstaw graficznie rozwiązania każdej nierówności na linii współrzędnych.
3. Znajdź przecięcie rozwiązań nierówności na linii współrzędnych.
4. Zapisz odpowiedź w postaci przedziału liczbowego.
Rozważ przykłady:
Odpowiedź: 
Odpowiedź: brak rozwiązań
4. Zabezpieczenie tematu.
Praca z podręcznikiem nr 1016, nr 1018, nr 1022
5. Samodzielna praca według opcji (Karty zadań dla uczniów na stołach)
Niezależna praca
Opcja 1
Rozwiąż układ nierówności:
1. Pojęcie nierówności z jedną zmienną
2. Nierówności równoważne. Twierdzenia o równoważności nierówności
3. Rozwiązywanie nierówności z jedną zmienną
4. Graficzne rozwiązanie nierówności z jedną zmienną
5. Nierówności zawierające zmienną pod znakiem modułu
6. Główne wnioski
Nierówności z jedną zmienną
Oferty 2 X + 7 > 10-tki, x 2 + 7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 nazywane są nierównościami z jedną zmienną.
W widok ogólny pojęcie to definiuje się następująco:
Definicja. Niech f(x) i g(x) będą dwoma wyrażeniami ze zmienną x i dziedziną X. Wtedy nierówność postaci f(x) > g(x) lub f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Zmienna wartość X od wielu X, w którym nierówność zamienia się w rzeczywistą nierówność liczbową decyzja. Rozwiązanie nierówności oznacza znalezienie wielu rozwiązań.
Zatem rozwiązując nierówność 2 X + 7 > 10 -x, x? R jest numerem X= 5, ponieważ 2 5 + 7 > 10 - 5 jest prawdziwą nierównością numeryczną. A zbiorem jego rozwiązań jest przedział (1, ∞), który wyznaczamy wykonując transformację nierówności: 2 X + 7 > 10-X => 3X >3 => X >1.
Nierówności równoważne. Twierdzenia o równoważności nierówności
Podstawą rozwiązywania nierówności za pomocą jednej zmiennej jest koncepcja równoważności.
Definicja. Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, jeżeli ich zbiory rozwiązań są równe.
Na przykład nierówności 2 X+ 7 > 10 i 2 X> 3 są równoważne, ponieważ ich zbiory rozwiązań są równe i reprezentują przedział (2/3, ∞).
Twierdzenia o równoważności nierówności i wynikające z nich konsekwencje są podobne do odpowiednich twierdzeń o równoważności równań. W ich dowodzie wykorzystuje się własności prawdziwych nierówności numerycznych.
Twierdzenie 3. Niech nierówność f(x) > g(x) zdefiniowany na planie X I H(X) jest wyrażeniem zdefiniowanym w tym samym zestawie. Potem nierówności f(x) > g(x) i f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) są równoważne na zestawie X.
Z tego twierdzenia wynikają wnioski, które są często używane przy rozwiązywaniu nierówności:
1) Jeśli do obu stron nierówności f(x) > g(x) dodaj tę samą liczbę D, wtedy otrzymamy nierówność f(x) + d > g(x)+ d, odpowiednik oryginału.
2) Jeśli dowolny wyraz (wyrażenie liczbowe lub wyrażenie ze zmienną) zostanie przeniesiony z jednej części nierówności do drugiej, zmieniając znak wyrazu na przeciwny, wówczas otrzymamy nierówność równoważną podanej.
Twierdzenie 4. Niech nierówność f(x) > g(x) zdefiniowany na planie X I H(X X od wielu X wyrażenie h(x) przyjmuje wartości dodatnie. Potem nierówności f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) są równoważne na zestawie X.
f(x) > g(x) pomnóż przez tę samą liczbę dodatnią D, wtedy otrzymamy nierówność f(x) d > g(x) d, równoważne temu.
Twierdzenie 5. Niech nierówność f(x) > g(x) zdefiniowany na planie X I H(X) - wyrażenie zdefiniowane na tym samym zbiorze i dla wszystkich X jest ich wielu X wyrażenie H(X) akceptuje wartości ujemne. Potem nierówności f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) są równoważne na zestawie X.
Z tego twierdzenia wynika wniosek: jeśli obie strony nierówności f(x) > g(x) pomnóż przez tę samą liczbę ujemną D i zmień znak nierówności na przeciwny, otrzymamy nierówność f(x) d > g(x) d, równoważne temu.
Rozwiązywanie nierówności z jedną zmienną
Rozwiążmy nierówność 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, a my uzasadnimy wszystkie przekształcenia, które dokonamy w procesie rozwiązania.
Rozwiązanie nierówności X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 to przedział (-∞, 7).
Ćwiczenia
1. Określ, które z poniższych wpisów są nierównościami z jedną zmienną:
a) -12 - 7 X< 3X+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);
b) 15( X+ 2) > 4; e) 17-12,8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3X-4> 0.
2. Czy liczba 3 jest rozwiązaniem nierówności? 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R? A liczba 4,25?
3. Czy następujące pary nierówności są równoważne na zbiorze liczb rzeczywistych:
a) -17 X< -51 и X > 3;
b) (3 X-1)/4 >0 i 3 X-1>0;
c) 6-5 X>-4 i X<2?
4. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe:
a) -7 X < -28 => X>4;
B) X < 6 => X < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Rozwiąż nierówność 3( X - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 i uzasadnij wszystkie przekształcenia, które wykonasz.
6. Udowodnić to rozwiązując nierówność 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) jest dowolną liczbą rzeczywistą.
7. Udowodnić, że nie ma liczby rzeczywistej, która byłaby rozwiązaniem nierówności 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Jeden bok trójkąta ma długość 5 cm, a drugi 8 cm. Jaka może być długość trzeciego boku, jeśli obwód trójkąta wynosi:
a) mniej niż 22 cm;
b) więcej niż 17 cm?
GRAFICZNE ROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCI Z JEDNĄ ZMIENNĄ. Rozwiązać graficznie nierówność fa (x) > g (x) trzeba zbudować wykresy funkcji
y = fa (x) = g (x) i wybierz te przedziały osi odciętych, na których znajduje się wykres funkcji y = f(x) znajduje się nad wykresem funkcji y = g(x).
Przykład 17.8. Rozwiązać graficznie nierówność x 2- 4 > 3X.
| Y - x* - 4 |
Rozwiązanie. Konstruujmy wykresy funkcji w jednym układzie współrzędnych
y = x 2 - 4 i y = Zx (ryc. 17.5). Rysunek pokazuje, że wykresy funkcji Na= x 2- 4 znajduje się nad wykresem funkcji y = 3 X Na X< -1 i x > 4, tj. zbiór rozwiązań pierwotnej nierówności jest zbiorem
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Odpowiedź: x О(- oo; -1) i ( 4; + oo).
Harmonogram funkcja kwadratowa Na= topór 2 + bx + c jest parabolą z gałęziami skierowanymi w górę, jeśli > 0 i w dół, jeśli A< 0. W tym przypadku możliwe są trzy przypadki: parabola przecina oś Oh(tj. równanie aha 2+ bx+ c = 0 ma dwa różne pierwiastki); parabola dotyka osi X(tj. równanie topór 2 + bx+ c = 0 ma jeden pierwiastek); parabola nie przecina osi Oh(tj. równanie aha 2+ bx+ c = 0 nie ma pierwiastków). Zatem istnieje sześć możliwych położeń paraboli, która służy jako wykres funkcji y = aha 2+ b x + c(ryc. 17.6). Korzystając z tych ilustracji, możesz rozwiązać nierówności kwadratowe.
Przykład 17.9. Rozwiąż nierówność: a) 2 x gł+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Rozwiązanie, a) Równanie 2x 2 + 5x -3 = 0 ma dwa pierwiastki: x, = -3, x 2 = 0,5. Parabola służąca jako wykres funkcji Na= 2x 2+ 5x -3, jak pokazano na ryc. A. Nierówność 2x 2+ 5x -3 > 0 jest spełnione dla tych wartości X, dla którego punkty paraboli leżą nad osią Oh: będzie o godz X< х х lub kiedy X> x g> te. Na X< -3 lub o godz x > 0,5. Oznacza to, że zbiorem rozwiązań pierwotnej nierówności jest zbiór (- ¥; -3) i (0,5; + ¥).
b) Równanie -Зх 2 + 2x- 6 = 0 nie ma rzeczywistych pierwiastków. Parabola służąca jako wykres funkcji Na= - 3x 2 - 2x - 6, pokazany na ryc. 17.6 Nierówność -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, dla którego punkty paraboli leżą poniżej osi Oh. Ponieważ cała parabola leży poniżej osi Oh, wówczas zbiorem rozwiązań pierwotnej nierówności jest zbiór R .
NIERÓWNOŚCI ZAWIERAJĄCE ZMIENNĄ POD ZNAKIEM MODUŁU. Rozwiązując te nierówności należy pamiętać, że:
|k(x) | =
k(x), Jeśli k(x) ³ 0,
- k(x), Jeśli k(x) < 0,
W takim przypadku zakres dopuszczalnych wartości nierówności należy podzielić na przedziały, w każdym z których wyrażenia pod znakiem modułu zachowują swój znak. Następnie rozwijając moduły (biorąc pod uwagę znaki wyrażeń), należy rozwiązać nierówność na każdym przedziale i połączyć powstałe rozwiązania w zbiór rozwiązań pierwotnej nierówności.
Przykład 17.10. Rozwiąż nierówność:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
Rozwiązanie. Punkty x = 1 i x = 2 dzielą oś liczbową (ODZ nierówności (17.9)) na trzy przedziały: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Rozwiążmy tę nierówność dla każdego z nich. Jeśli x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; zatem |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Oznacza to, że nierówność (17.9) przyjmuje postać: 1- x + 2 - x > 3 + x, tj. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Jeśli 1 £ x £,2, to x - 1 ³ 0 i 2 – x ³ 0; dlatego | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Oznacza to, że system utrzymuje:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Powstały układ nierówności nie ma rozwiązań. Dlatego na przedziale [ 1; 2] zbiór rozwiązań nierówności (17.9) jest pusty.
Jeśli x > 2, to x - 1 > 0 i 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x – 2 > 3+x,
x > 6 lub
Łącząc rozwiązania znalezione na wszystkich częściach nierówności ODZ (17.9), otrzymujemy jej rozwiązanie - zbiór (-¥; 0) È (6; +oo).
Czasami warto skorzystać z interpretacji geometrycznej modułu liczby rzeczywistej, zgodnie z którą | | oznacza odległość punktu a linii współrzędnych od początku O, a | a - b | oznacza odległość między punktami aib na linii współrzędnych. Alternatywnie można zastosować metodę podniesienia obu stron nierówności do kwadratu.
Twierdzenie 17.5. Jeśli wyrażenia f(x) i g(x) dla dowolnego x przyjmuj tylko wartości nieujemne, a następnie nierówności fa (x) > g (x) I f (x) ² > g (x) ² są równoważne.
58. Główne wnioski § 12
W tej sekcji zdefiniowaliśmy następujące kwestie koncepcje:
Wyrażenie numeryczne;
Oznaczający wyrażenie numeryczne;
Wyrażenie, które nie ma znaczenia;
Wyrażenie ze zmiennymi;
Obszar definicji wyrażenia;
Identycznie równe wyrażenia;
Tożsamość;
Identyczne przekształcenie wyrażenia;
Równość liczbowa;
Nierówność numeryczna;
Równanie z jedną zmienną;
Pierwiastek równania;
Co to znaczy rozwiązać równanie;
Równania równoważne;
Nierówność z jedną zmienną;
Rozwiązywanie nierówności;
Co to znaczy rozwiązać nierówność;
Nierówności równoważne.
Ponadto zbadaliśmy twierdzenia o równoważności równań i nierówności, które są podstawą ich rozwiązania.
Znajomość definicji wszystkich powyższych pojęć i twierdzeń o równoważności równań i nierówności jest warunkiem koniecznym metodologicznie kompetentnego studiowania materiału algebraicznego z uczniami szkół podstawowych.
Temat lekcji brzmi „Rozwiązywanie nierówności i ich układów” (matematyka klasa 9)
Typ lekcji: lekcja systematyzacji i generalizacji wiedzy i umiejętności
Technologia lekcji: technologia dla rozwoju krytycznego myślenia, zróżnicowanego uczenia się, technologie ICT
Cel lekcji: powtarzanie i systematyzowanie wiedzy o właściwościach nierówności i sposobach ich rozwiązywania, stwarzanie warunków do rozwijania umiejętności wykorzystania tej wiedzy przy rozwiązywaniu problemów standardowych i twórczych.
Zadania.
Edukacyjny:
przyczyniają się do rozwoju umiejętności uczniów uogólniania zdobytej wiedzy, przeprowadzania analiz, syntez, porównań i wyciągania niezbędnych wniosków
organizować zajęcia studentów w celu zastosowania zdobytej wiedzy w praktyce
promowanie rozwoju umiejętności zastosowania zdobytej wiedzy w niestandardowych warunkach
Edukacyjny:
kontynuować formację logiczne myślenie, uwaga i pamięć;
doskonalić umiejętności analizy, systematyzacji, uogólniania;
tworzenie warunków zapewniających rozwój umiejętności samokontroli u uczniów;
promować nabywanie umiejętności niezbędnych do samodzielnego uczenia się.
Edukacyjny:
kultywuj dyscyplinę i opanowanie, odpowiedzialność, niezależność, krytyczną postawę wobec siebie i uważność.
Planowane efekty kształcenia.
Osobisty: odpowiedzialne podejście do nauki i kompetencje komunikacyjne w komunikacji i współpracy z rówieśnikami w tym procesie działalność edukacyjna.
Kognitywny: umiejętność definiowania pojęć, tworzenia uogólnień, samodzielnego doboru podstaw i kryteriów klasyfikacji, budowania logicznego rozumowania i wyciągania wniosków;
Przepisy: umiejętność identyfikacji potencjalnych trudności w rozwiązywaniu zadania edukacyjnego i poznawczego oraz znalezienia sposobów ich eliminacji, oceny swoich osiągnięć
Rozmowny: umiejętność formułowania sądów przy użyciu terminów i pojęć matematycznych, formułowania pytań i odpowiedzi w trakcie zadania, wymiany wiedzy pomiędzy członkami grupy w celu podejmowania skutecznych wspólnych decyzji.
Podstawowe terminy i pojęcia: nierówność liniowa, nierówność kwadratowa, układ nierówności.
Sprzęt
Projektor, laptop nauczyciela, kilka netbooków dla uczniów;
Prezentacja;
Karty z podstawową wiedzą i umiejętnościami na temat lekcji (załącznik 1);
Karty z samodzielną pracą (załącznik 2).
Plan lekcji
| Postęp lekcji |
|||
| Etapy technologiczne. Cel. | Działalność nauczyciela | Działalność studencka | |
| Część wprowadzająca i motywacyjna |
|||
| 1.Organizacyjne Cel: psychologiczne przygotowanie do komunikacji. | Cześć. Miło was wszystkich widzieć. Usiąść. Sprawdź, czy masz wszystko przygotowane na lekcję. Jeśli wszystko jest w porządku, spójrz na mnie. | Mówią cześć. Sprawdź akcesoria. Przygotowanie do pracy. | Osobisty. Kształtuje się odpowiedzialna postawa wobec nauki. |
| 2.Aktualizacja wiedzy (2 min) Cel: identyfikacja indywidualnych luk w wiedzy na dany temat | Temat naszej lekcji brzmi: „Rozwiązywanie nierówności za pomocą jednej zmiennej i jej układów”. (slajd 1) Poniżej znajduje się lista podstawowej wiedzy i umiejętności na ten temat. Oceń swoją wiedzę i umiejętności. Umieść odpowiednie ikony. (slajd 2) | Ocenić własną wiedzę i umiejętności. (Załącznik 1) | Regulacyjne Samoocena swojej wiedzy i umiejętności |
| 3. Motywacja (2 minuty) Cel: zapewnienie ćwiczeń pozwalających określić cele lekcji . | W praca OG w matematyce kilka pytań zarówno w pierwszej, jak i drugiej części określa umiejętność rozwiązywania nierówności. Co musimy powtarzać na zajęciach, aby pomyślnie wykonać te zadania? | Rozumują i nazywają pytania do powtórzenia. | Kognitywny. Zidentyfikuj i sformułuj cel poznawczy. |
| Etap koncepcyjny (składnik treści) |
|||
| 4.Poczucie własnej wartości i wybór trajektorii (1-2 minuty) | W zależności od tego, jak oceniłeś swoją wiedzę i umiejętności na dany temat, wybierz formę pracy na lekcji. Ze mną możesz pracować całą klasą. Można pracować indywidualnie na netbookach, korzystając z moich konsultacji, lub w parach, pomagając sobie nawzajem. | Ustalana z indywidualną ścieżką nauki. Jeśli to konieczne, zmień miejsce. | Regulacyjne identyfikować potencjalne trudności w rozwiązywaniu zadania edukacyjnego i poznawczego oraz znajdować sposoby ich eliminacji |
| 5-7 Praca w parach lub indywidualnie (25 min) | Nauczyciel zaleca uczniom samodzielną pracę. | Uczniowie dobrze znający temat pracują indywidualnie lub w parach nad prezentacją (slajdy 4-10). Wykonaj zadania (slajdy 6,9). | Kognitywny umiejętność definiowania pojęć, tworzenia uogólnień, budowania łańcucha logicznego Regulacyjne umiejętność określenia działań zgodnie z zadaniem edukacyjnym i poznawczym Komunikacja umiejętność organizacji współpracy edukacyjnej i wspólne działania, pracuj ze źródłem informacji Osobisty odpowiedzialne podejście do nauki, gotowość i zdolność do samorozwoju i samokształcenia |
| 5. Rozwiązywanie nierówności liniowych. (10 minut) | Jakich własności nierówności używamy do ich rozwiązywania? Czy potrafisz rozróżnić nierówności liniowe i kwadratowe oraz ich układy? (slajd 5) Jak rozwiązać nierówność liniową? Postępuj zgodnie z rozwiązaniem. (slajd 6) Nauczyciel monitoruje rozwiązanie na tablicy. Sprawdź poprawność rozwiązania. | Nazwij właściwości nierówności; po udzieleniu odpowiedzi lub w przypadku trudności nauczyciel otwiera slajd 4. Wymień charakterystyczne cechy nierówności. Korzystanie z własności nierówności. Jeden z uczniów rozwiązuje na tablicy nierówność nr 1. Reszta jest w notesach, po decyzji osoby odpowiadającej. Nierówności nr 2 i 3 są spełnione niezależnie. Sprawdzają przygotowaną odpowiedź. | Kognitywny Komunikacja |
| 6. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych. (10 minut) | Jak rozwiązać nierówność? Co to za nierówność? Jakich metod używa się do rozwiązywania nierówności kwadratowych? Przypomnijmy sobie metodę paraboli (slajd 7). Nauczyciel przypomina etapy rozwiązywania nierówności. Metoda przedziałowa służy do rozwiązywania nierówności sekundy lub więcej wysokie stopnie. (slajd 8) Aby rozwiązać nierówności kwadratowe, możesz wybrać dogodną dla siebie metodę. Rozwiąż nierówności. (slajd 9). Nauczyciel monitoruje postęp rozwiązania i przypomina metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych. Nauczyciel doradza uczniom pracującym indywidualnie. | Odpowiedź: Nierówność kwadratowa Rozwiązujemy metodą paraboli lub metodą przedziałową. Uczniowie korzystają z rozwiązań prezentacyjnych. Przy tablicy uczniowie po kolei rozwiązują nierówności nr 1 i 2. Sprawdzają odpowiedź. (aby rozwiązać nerw nr 2, należy pamiętać o metodzie rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych). Nierówność nr 3 rozwiązuje się niezależnie i sprawdza z odpowiedzią. | Kognitywny umiejętność definiowania pojęć, tworzenia uogólnień, budowania rozumowania od ogólnych wzorców do konkretnych rozwiązań Komunikacja umiejętność przedstawienia szczegółowego planu własnej działalności w formie ustnej i pisemnej; |
| 7. Rozwiązywanie układów nierówności (4-5 minut) | Przypomnij sobie etapy rozwiązywania układu nierówności. Rozwiąż system (slajd 10) | Nazwij etapy rozwiązania Uczeń rozwiązuje zadanie przy tablicy i sprawdza rozwiązanie na slajdzie. | |
| Etap refleksyjno-oceniający |
|||
| 8.Kontrola i sprawdzanie wiedzy (10 minut) Cel: określenie jakości uczenia się materiału. | Sprawdźmy Twoją wiedzę na ten temat. Rozwiąż problemy samodzielnie. Nauczyciel sprawdza wynik korzystając z gotowych odpowiedzi. | Wykonywanie niezależnych prac nad opcjami (załącznik 2) Po zakończeniu pracy uczeń zgłasza to nauczycielowi. Student ustala swoją ocenę według kryteriów (slajd 11). Jeśli praca zakończy się pomyślnie, może rozpocząć dodatkowe zadanie (slajd 11) | Kognitywny. Buduj logiczne łańcuchy rozumowania. |
| 9.Refleksja (2 min) Cel: kształtuje się odpowiednia samoocena własnych możliwości i możliwości, zalet i ograniczeń | Czy jest poprawa wyniku? Jeśli nadal masz pytania, zajrzyj do podręcznika w domu (s. 120) | Ocenić własną wiedzę i umiejętności na tej samej kartce papieru (załącznik nr 1). Na początku lekcji porównaj z samooceną i wyciągnij wnioski. | Regulacyjne Samoocena swoich osiągnięć |
| 10.Zadania domowe (2 min) Cel: utrwalenie badanego materiału. | Ustal zadanie domowe na podstawie wyników samodzielnej pracy (slajd 13) | Ustal i zapisz zadanie indywidualne | Kognitywny. Buduj logiczne łańcuchy rozumowania. Analizuj i przekształcaj informacje. |
Wykaz używanej literatury: Algebra. Podręcznik dla klasy 9. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Edukacja, 2014
Program do rozwiązywania nierówności liniowych, kwadratowych i ułamkowych nie tylko daje odpowiedź na problem, ale daje szczegółowe rozwiązanie z wyjaśnieniami, tj. wyświetla proces rozwiązywania sprawdzający wiedzę z matematyki i/lub algebry.
Ponadto, jeśli w procesie rozwiązywania jednej z nierówności konieczne jest rozwiązanie np. równanie kwadratowe, wyświetli się także jego szczegółowe rozwiązanie (zawiera spoiler).
Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w przygotowaniach do egzaminu testy, rodzicom, aby monitorowali sposoby rozwiązywania nierówności przez swoje dzieci.
Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich szkoły średnie w przygotowaniu do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed Unified State Exam, aby rodzice mogli kontrolować rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry.
A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie za drogi? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić zadanie domowe z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.
Zasady wpisywania nierówności
Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itp.
Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.
Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.
Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem.
Możesz na przykład wejść miejsca dziesiętne w ten sposób: 2,5x - 3,5x^2
Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.
Mianownik nie może być ujemny.
Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5 lat +1/7 lat^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Podczas wprowadzania wyrażeń można używać nawiasów. W tym przypadku przy rozwiązywaniu nierówności najpierw upraszcza się wyrażenia.
Na przykład: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Wybierać właściwy znak nierówności i wpisz wielomiany w polach poniżej.
Rozwiązać układ nierówności Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.
Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...
Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.
Nasze gry, puzzle, emulatory:
Trochę teorii.
Układy nierówności z jedną niewiadomą. Przedziały numeryczne
Z pojęciem układu zapoznałeś się w siódmej klasie i nauczyłeś się rozwiązywać układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Następnie rozważymy układy nierówności liniowych z jedną niewiadomą. Zbiory rozwiązań układów nierówności można zapisać za pomocą przedziałów (przedziałów, półprzedziałów, odcinków, półprostych). Zapoznasz się także z notacją przedziałów liczbowych.
Jeżeli w nierównościach \(4x > 2000\) i \(5x \leq 4000\) nieznana liczba x jest taka sama, to nierówności te rozpatrywane są łącznie i mówi się, że tworzą układ nierówności: $$ \left\ (\begin(tablica)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(tablica)\right $$.
Nawias klamrowy pokazuje, że należy znaleźć wartości x, dla których obie nierówności układu zamieniają się w prawidłowe nierówności numeryczne. Ten system- przykład układu nierówności liniowych z jedną niewiadomą.
Rozwiązaniem układu nierówności z jedną niewiadomą jest wartość niewiadomej, przy której wszystkie nierówności układu zamieniają się w prawdziwe nierówności liczbowe. Rozwiązanie układu nierówności oznacza znalezienie wszystkich rozwiązań tego układu lub stwierdzenie, że ich nie ma.
Nierówności \(x \geq -2 \) i \(x \leq 3 \) można zapisać jako nierówność podwójną: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Rozwiązaniami układów nierówności z jedną niewiadomą są różne zbiory liczbowe. Te zestawy mają nazwy. Zatem na osi liczb zbiór liczb x taki, że \(-2 \leq x \leq 3 \) jest reprezentowany przez odcinek o końcach w punktach -2 i 3.
| -2 | 3 |
Jeśli \(a jest segmentem i jest oznaczone przez [a; b]
Jeśli \(a jest przedziałem i jest oznaczone przez (a; b)
Zbiory liczb \(x\) spełniające nierówności \(a \leq x są półprzedziałami i są oznaczone odpowiednio [a; b) i (a; b]
Nazywa się segmenty, przedziały, półprzedziały i półproste przedziały numeryczne.
Zatem przedziały liczbowe można określić w postaci nierówności.
Rozwiązaniem nierówności z dwiema niewiadomymi jest para liczb (x; y), która zamienia daną nierówność w rzeczywistą nierówność liczbową. Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu zbioru wszystkich jej rozwiązań. Zatem rozwiązaniami nierówności x > y będą np. pary liczb (5; 3), (-1; -1), ponieważ \(5 \geq 3 \) i \(-1 \geq - 1\)
Rozwiązywanie układów nierówności
Nauczyłeś się już, jak rozwiązywać nierówności liniowe z jedną niewiadomą. Czy wiesz co to jest układ nierówności i rozwiązanie tego układu? Dlatego proces rozwiązywania układów nierówności z jedną niewiadomą nie sprawi Ci żadnych trudności.
A jednak przypomnijmy: aby rozwiązać układ nierówności, należy rozwiązać każdą nierówność z osobna, a następnie znaleźć przecięcie tych rozwiązań.
Przykładowo pierwotny układ nierówności został zredukowany do postaci:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Aby rozwiązać ten układ nierówności, zaznacz rozwiązanie każdej nierówności na osi liczbowej i znajdź ich przecięcie:
| -2 | 3 |
Przecięcie to odcinek [-2; 3] - jest to rozwiązanie pierwotnego układu nierówności.