>

Co można znaleźć, aby znaleźć wspólny mianownik. Redukcja ułamków do wspólnego mianownika (Moskalenko M.V.)

Aby rozwiązywać przykłady za pomocą ułamków zwykłych, musisz umieć znaleźć najmniejszy wspólny mianownik. Poniżej znajdują się szczegółowe instrukcje.

Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik - pojęcie

Najmniejszy wspólny mianownik (LCD) w prostych słowach to minimalna liczba podzielna przez mianowniki wszystkich ułamków ten przykład. Innymi słowy, nazywa się to najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM). NOS stosuje się tylko wtedy, gdy mianowniki ułamków są różne.

Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik – przykłady

Przyjrzyjmy się przykładom znajdowania NOC.

Oblicz: 3/5 + 2/15.

Rozwiązanie (sekwencja działań):

  • Patrzymy na mianowniki ułamków, upewniamy się, że są różne i że wyrażenia są jak najkrótsze.
  • Znajdujemy najmniejsza liczba, która jest podzielna zarówno przez 5, jak i 15. Ta liczba będzie wynosić 15. Zatem 3/5 + 2/15 = ?/15.
  • Ustaliliśmy mianownik. Co będzie w liczniku? Dodatkowy mnożnik pomoże nam to rozgryźć. Dodatkowym czynnikiem jest liczba uzyskana poprzez podzielenie NZ przez mianownik danego ułamka. Dla 3/5 dodatkowy współczynnik wynosi 3, ponieważ 15/5 = 3. Dla drugiego ułamka dodatkowy współczynnik wynosi 1, ponieważ 15/15 = 1.
  • Po znalezieniu dodatkowego współczynnika mnożymy go przez liczniki ułamków i dodajemy otrzymane wartości. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.


Odpowiedź: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Jeśli w przykładzie dodano lub odjęto nie 2, ale 3 lub więcej ułamków, wówczas NCD należy przeszukać pod kątem tylu ułamków, ile podano.

Oblicz: 1/2 – 5/12 + 3/6

Rozwiązanie (kolejność działań):

  • Znalezienie najmniejszego wspólnego mianownika. Minimalna liczba podzielna przez 2, 12 i 6 to 12.
  • Otrzymujemy: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
  • Szukamy dodatkowych mnożników. Dla 1/2 – 6; dla 12.05 – 1; dla 3/6 – 2.
  • Mnożymy przez liczniki i przypisujemy odpowiednie znaki: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Odpowiedź: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Aby sprowadzić ułamki do najmniejszego wspólnego mianownika należy: 1) znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników danych ułamków, będzie to najmniejszy wspólny mianownik. 2) znajdź dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka, dzieląc nowy mianownik przez mianownik każdego ułamka. 3) pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez jego dodatkowy współczynnik.

Przykłady. Sprowadź poniższe ułamki do najniższego wspólnego mianownika.

Znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników: LCM(5; 4) = 20, ponieważ 20 jest najmniejszą liczbą podzielną zarówno przez 5, jak i 4. Znajdź dla pierwszego ułamka dodatkowy współczynnik 4 (20 : 5=4). Dla drugiej frakcji dodatkowy współczynnik wynosi 5 (20 : 4=5). Licznik i mianownik pierwszego ułamka mnożymy przez 4, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 5. Sprowadzamy te ułamki do najniższego wspólnego mianownika ( 20 ).

Najniższym wspólnym mianownikiem tych ułamków jest liczba 8, ponieważ 8 dzieli się przez 4 i samą siebie. Dla pierwszego ułamka nie będzie żadnego dodatkowego współczynnika (lub możemy powiedzieć, że jest równy jedności), dla drugiego ułamka dodatkowy współczynnik wynosi 2 (8 : 4=2). Mnożymy licznik i mianownik drugiego ułamka przez 2. Sprowadziliśmy te ułamki do najniższego wspólnego mianownika ( 8 ).

Ułamki te nie są nieredukowalne.

Zmniejszmy pierwszy ułamek o 4, a drugi ułamek o 2. ( zobacz przykłady skrótów zwykłe ułamki: Mapa serwisu → 5.4.2. Przykłady redukcji ułamków zwykłych). Znajdź LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Dodatkowy mnożnik dla pierwszego ułamka wynosi 5 (80 : 16=5). Dodatkowy współczynnik dla drugiego ułamka wynosi 4 (80 : 20=4). Licznik i mianownik pierwszego ułamka mnożymy przez 5, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 4. Sprowadziliśmy te ułamki do najniższego wspólnego mianownika ( 80 ).

Znajdujemy najniższy wspólny mianownik NCD (5 ; 6 i 15)=NOK(5 ; 6 i 15)=30. Dodatkowy współczynnik do pierwszego ułamka wynosi 6 (30 : 5=6), dodatkowy współczynnik do drugiego ułamka wynosi 5 (30 : 6=5), dodatkowy współczynnik do trzeciego ułamka wynosi 2 (30 : 15=2). Mnożymy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez 6, licznik i mianownik drugiego ułamka przez 5, licznik i mianownik trzeciego ułamka przez 2. Sprowadziliśmy te ułamki do najniższego wspólnego mianownika ( 30 ).

Strona 1 z 1 1

Ta metoda ma sens, jeśli stopień wielomianu jest nie mniejszy niż dwa. W tym przypadku wspólnym czynnikiem może być nie tylko dwumian pierwszego stopnia, ale także wyższych stopni.

Aby znaleźć wspólny czynnik względem wielomianu należy dokonać szeregu przekształceń. Najprostszy dwumian lub jednomian, który można wyjąć z nawiasów, będzie jednym z pierwiastków wielomianu. Oczywiście w przypadku, gdy wielomian nie ma wyrazu wolnego, w pierwszym stopniu będzie niewiadoma - wielomian równy 0.

Trudniej znaleźć wspólny czynnik ma miejsce, gdy wolny wyraz nie jest równy zero. Stosuje się wówczas metody prostego doboru lub grupowania. Na przykład, niech wszystkie pierwiastki wielomianu będą wymierne, a wszystkie współczynniki wielomianu będą liczbami całkowitymi: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.

Zapisz wszystkie dzielniki całkowite wyrazu wolnego. Jeśli wielomian ma racjonalne korzenie, to są wśród nich. W wyniku selekcji uzyskuje się pierwiastki 2 i -3. Oznacza to, że wspólnymi czynnikami tego wielomianu będą dwumiany (y - 2) i (y + 3).

Powszechnie stosowana metoda faktoryzacji jest jednym z elementów faktoryzacji. Opisaną powyżej metodę można zastosować, jeśli współczynnik najwyższego stopnia wynosi 1. Jeżeli tak nie jest, należy najpierw wykonać szereg przekształceń. Na przykład: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.

Dokonaj podstawienia postaci t = 2³·y³. W tym celu należy pomnożyć wszystkie współczynniki wielomianu przez 4: 2³·y³ + 19,2²·y² + 82,2·y + 60. Po podstawieniu: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Teraz do znajdź wspólny czynnik, zastosujemy powyższą metodę.

Oprócz, skuteczna metoda Znalezienie wspólnego czynnika to elementy wielomianu. Jest to szczególnie przydatne, gdy pierwsza metoda tego nie robi, tj. wielomian nie ma racjonalne korzenie. Jednak grupowanie nie zawsze jest oczywiste. Na przykład: Wielomian y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 nie ma pierwiastków całkowitych.

Użyj grupowania: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1). Wspólnym czynnikiem elementów tego wielomianu jest (y² - 2).

Mnożenie i dzielenie, podobnie jak dodawanie i odejmowanie, to podstawowe operacje arytmetyczne. Bez nauki rozwiązywania przykładów mnożenia i dzielenia osoba napotka wiele trudności nie tylko podczas studiowania bardziej złożonych gałęzi matematyki, ale nawet w najzwyklejszych codziennych sprawach. Mnożenie i dzielenie są ze sobą ściśle powiązane, a nieznane składniki przykładów i problemów związanych z jedną z tych operacji są obliczane przy użyciu drugiej operacji. Jednocześnie konieczne jest jasne zrozumienie, że przy rozwiązywaniu przykładów nie ma absolutnie żadnego znaczenia, które obiekty dzielisz lub mnożysz.

Będziesz potrzebować

  • - tabliczka mnożenia;
  • - kalkulator lub kartka papieru i ołówek.

Instrukcje

Zapisz potrzebny przykład. Oznacz nieznane czynnik jak x. Przykład może wyglądać następująco: a*x=b. Zamiast czynnika a i iloczynu b w tym przykładzie mogą występować dowolne liczby lub . Pamiętaj o podstawowej zasadzie mnożenia: zmiana miejsc czynników nie powoduje zmiany iloczynu. Tak nieznany czynnik x można umieścić absolutnie wszędzie.

Aby znaleźć nieznane czynnik w przykładzie, w którym istnieją tylko dwa czynniki, wystarczy podzielić iloczyn przez znaną czynnik. Oznacza to, że robi się to w następujący sposób: x=b/a. Jeśli operowanie wielkościami abstrakcyjnymi sprawia ci trudność, spróbuj wyobrazić sobie ten problem w postaci konkretnych obiektów. Ty masz tylko jabłka i ile ich zjesz, ale nie wiesz, ile jabłek wszyscy dostaną. Na przykład masz 5 członków rodziny i jest 15 jabłek. Oznacz liczbę jabłek przeznaczonych dla każdego jako x. Wtedy równanie będzie wyglądało następująco: 5(jabłka)*x=15(jabłka). Nieznany czynnik znajduje się w ten sam sposób, jak w równaniu z literami, czyli dzielimy 15 jabłek pomiędzy pięciu członków rodziny, na koniec okazuje się, że każdy z nich zjadł 3 jabłka.

W ten sam sposób odnajduje się nieznane czynnik z liczbą czynników. Na przykład przykład wygląda następująco: a*b*c*x*=d. Teoretycznie znajdź za pomocą czynnik jest to możliwe analogicznie jak w późniejszym przykładzie: x=d/a*b*c. Ale możesz sprowadzić równanie do prostszej postaci, oznaczając iloczyn znanych czynników inną literą - na przykład m. Znajdź, ile wynosi m, mnożąc liczby a, b i c: m=a*b*c. Wtedy cały przykład można przedstawić jako m*x=d, a nieznana wielkość będzie równa x=d/m.

Jeśli jest znany czynnik i iloczynem są ułamki, przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak w przypadku . Ale w tym przypadku musisz pamiętać o działaniach. Podczas mnożenia ułamków mnożone są ich liczniki i mianowniki. Dzieląc ułamki, licznik dzielnej mnoży się przez mianownik dzielnika, a mianownik dzielnej mnoży się przez licznik dzielnika. Oznacza to, że w tym przypadku przykład będzie wyglądał następująco: a/b*x=c/d. Aby znaleźć nieznaną ilość, należy podzielić produkt przez znaną czynnik. Oznacza to, że x=a/b:c/d =a*d/b*c.

Wideo na ten temat

Uwaga

Rozwiązując przykłady za pomocą ułamków, ułamek znanego czynnika można po prostu odwrócić i wykonać operację w postaci pomnożenia ułamków.

Wielomian jest sumą jednomianów. Jednomian jest iloczynem kilku czynników, którymi są cyfra lub litera. Stopień nie wiadomo, ile razy jest ona mnożona przez samą siebie.

Instrukcje

Proszę o jego podanie, jeżeli nie zostało to jeszcze zrobione. Jednomianami podobnymi są monomiany tego samego typu, czyli jednomiany z tymi samymi niewiadomymi tego samego stopnia.

Weźmy na przykład wielomian 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Wielomian ten ma dwie niewiadome - x i y.

Połącz podobne jednomiany. Jednomiany z drugą potęgą y i trzecią potęgą x przyjmą postać y²*x3, a jednomiany z czwartą potęgą y zostaną anulowane. Okazuje się, że y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.

Weź y jako wiodącą nieznaną literę. Znajdź maksymalny stopień dla nieznanego y. Jest to jednomian y²*x³ i odpowiednio stopień 2.

Wyciągnij wniosek. Stopień wielomian 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² w x równa się trzy, a w y równa się dwa.

Znajdź stopień wielomian√x+5*y o y. Jest równy maksymalnemu stopniowi y, czyli jeden.

Znajdź stopień wielomian√x+5*y w x. Nieznany x znajduje się, co oznacza, że ​​jego stopień będzie ułamkiem. Ponieważ pierwiastek jest pierwiastkiem kwadratowym, potęga x wynosi 1/2.

Wyciągnij wniosek. Dla wielomian√x+5*y potęga x wynosi 1/2, a potęga y wynosi 1.

Wideo na ten temat

Uproszczenie wyrażenia algebraiczne wymagane w wielu obszarach matematyki, w tym w rozwiązywaniu równań wyższe stopnie, różnicowanie i integracja. Stosuje się kilka metod, w tym faktoryzację. Aby zastosować tę metodę, musisz znaleźć i stworzyć generał czynnik Do nawiasy.

Większość operacji na ułamkach algebraicznych, takich jak dodawanie i odejmowanie, wymaga najpierw sprowadzenia tych ułamków do tych samych mianowników. Takie mianowniki są często określane jako „wspólny mianownik”. W tym temacie przyjrzymy się definicji pojęcia „wspólnego mianownika” ułamki algebraiczne„ i „najmniejszy wspólny mianownik ułamków algebraicznych (LCD)”, rozważymy algorytm znajdowania wspólnego mianownika punkt po punkcie i rozwiążemy kilka problemów na ten temat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wspólny mianownik ułamków algebraicznych

Jeśli mówimy o ułamkach zwykłych, to wspólnym mianownikiem jest liczba, która jest podzielna przez dowolny z mianowników pierwotnych ułamków. Dla ułamków zwykłych 1 2 I 5 9 liczba 36 może być wspólnym mianownikiem, ponieważ dzieli się przez 2 i 9 bez reszty.

Wspólny mianownik ułamków algebraicznych wyznacza się w podobny sposób, zamiast liczb stosuje się tylko wielomiany, ponieważ są one licznikami i mianownikami ułamka algebraicznego.

Definicja 1

Wspólny mianownik ułamka algebraicznego jest wielomianem podzielnym przez mianownik dowolnego ułamka.

Ze względu na specyfikę ułamków algebraicznych, która zostanie omówiona poniżej, często będziemy mieli do czynienia ze wspólnymi mianownikami reprezentowanymi jako iloczyn, a nie jako standardowy wielomian.

Przykład 1

Wielomian zapisany jako iloczyn 3 x 2 (x + 1), odpowiada wielomianowi widok standardowy 3x3 + 3x2. Wielomian ten może być wspólnym mianownikiem ułamków algebraicznych 2 x, - 3 x y x 2 i y + 3 x + 1, gdyż jest podzielny przez X, NA x 2 i dalej x+1. Informacje na temat podzielności wielomianów są dostępne w odpowiednim temacie naszego zasobu.

Najmniejszy wspólny mianownik (LCD)

Dla danych ułamków algebraicznych liczba wspólnych mianowników może być nieskończona.

Przykład 2

Weźmy jako przykład ułamki 1 2 x i x + 1 x 2 + 3. Ich wspólnym mianownikiem jest 2 x (x 2 + 3), jak również − 2 x (x 2 + 3), jak również x (x 2 + 3), jak również 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), jak również − 31 x 5 (x 2 + 3) 3 itp.

Rozwiązując problemy, możesz ułatwić sobie pracę, używając wspólnego mianownika, który ma najprostszą postać spośród całego zbioru mianowników. Mianownik ten jest często nazywany najniższym wspólnym mianownikiem.

Definicja 2

Najmniejszy wspólny mianownik ułamków algebraicznych jest wspólnym mianownikiem ułamków algebraicznych, który ma najprostszą postać.

Swoją drogą, określenie „najniższy wspólny mianownik” nie jest powszechnie akceptowane, dlatego lepiej ograniczyć się do określenia „wspólny mianownik”. I oto dlaczego.

Wcześniej skupiliśmy Waszą uwagę na wyrażeniu „mianownik większości”. prosty typ" Główne znaczenie tego wyrażenia jest następujące: mianownik najprostszej postaci musi być podzielny przez dowolny inny wspólny mianownik danych w warunku problemu ułamków algebraicznych. W takim przypadku w iloczynie będącym wspólnym mianownikiem ułamków można zastosować różne współczynniki liczbowe.

Przykład 3

Weźmy ułamki 1 2 · x i x + 1 x 2 + 3 . Przekonaliśmy się już, że najłatwiej będzie nam pracować ze wspólnym mianownikiem postaci 2 · x · (x 2 + 3). Może także być wspólny mianownik tych dwóch ułamków x (x 2 + 3), który nie zawiera współczynnika liczbowego. Pytanie brzmi, który z tych dwóch wspólnych mianowników jest uważany za najmniejszy wspólny mianownik ułamków. Nie ma jednoznacznej odpowiedzi, dlatego lepiej jest po prostu porozmawiać o wspólnym mianowniku i pracować z opcją, z którą będzie najwygodniej pracować. Możemy więc używać takich wspólnych mianowników jak x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) Lub − 15 x 5 (x 2 + 3) 3 którzy mają więcej złożony wygląd, ale podjęcie w ich przypadku działań może być trudniejsze.

Znajdowanie wspólnego mianownika ułamków algebraicznych: algorytm działań

Załóżmy, że mamy kilka ułamków algebraicznych, dla których musimy znaleźć wspólny mianownik. Aby rozwiązać ten problem, możemy zastosować następujący algorytm działań. Najpierw musimy rozłożyć na czynniki mianowniki pierwotnych ułamków. Następnie tworzymy utwór, w którym kolejno uwzględniamy:

  • wszystkie czynniki z mianownika pierwszego ułamka wraz z potęgami;
  • wszystkie czynniki występujące w mianowniku drugiego ułamka, ale których nie ma w iloczynie pisanym lub ich stopień jest niewystarczający;
  • wszystkie brakujące czynniki z mianownika trzeciego ułamka i tak dalej.

Powstały iloczyn będzie wspólnym mianownikiem ułamków algebraicznych.

Jako czynniki iloczynu możemy przyjąć wszystkie mianowniki ułamków podanych w opisie problemu. Jednak mnożnik, który ostatecznie otrzymamy, będzie daleki od NCD w znaczeniu, a jego użycie będzie irracjonalne.

Przykład 4

Znajdź wspólny mianownik ułamków 1 x 2 y, 5 x + 1 i y - 3 x 5 y.

Rozwiązanie

W w tym przypadku nie musimy uwzględniać mianowników pierwotnych ułamków. Dlatego zastosowanie algorytmu zaczniemy od komponowania pracy.

Z mianownika pierwszego ułamka bierzemy mnożnik x 2 lata, z mianownika drugiego ułamka mnożnik x+1. Otrzymujemy produkt x 2 lata (x + 1).

Mianownik trzeciego ułamka może dać nam mnożnik x 5 lat, jednak produkt, który skompilowaliśmy wcześniej, ma już czynniki x 2 I y. Dlatego dodajemy więcej x 5 - 2 = x 3. Otrzymujemy produkt x 2 y (x + 1) x 3, co można sprowadzić do postaci x 5 lat (x + 1). To będzie nasza NOZ ułamków algebraicznych.

Odpowiedź: x 5 · y · (x + 1) .

Przyjrzyjmy się teraz przykładom problemów, w których mianowniki ułamków algebraicznych zawierają całkowite czynniki liczbowe. W takich przypadkach również postępujemy zgodnie z algorytmem, rozkładając wcześniej czynniki liczbowe całkowite na czynniki proste.

Przykład 5

Znajdź wspólny mianownik ułamków 1 12 x i 1 90 x 2.

Rozwiązanie

Dzieląc liczby w mianownikach ułamków na czynniki pierwsze, otrzymujemy 1 2 2 3 x i 1 2 3 2 5 x 2. Teraz możemy przejść do zestawiania wspólnego mianownika. Aby to zrobić, z mianownika pierwszego ułamka bierzemy iloczyn 2 2 3 x i dodaj do tego czynniki 3, 5 i X z mianownika drugiego ułamka. Dostajemy 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. To jest nasz wspólny mianownik.

Odpowiedź: 180x2.

Jeśli przyjrzysz się uważnie wynikom dwóch analizowanych przykładów, zauważysz, że wspólne mianowniki ułamków zawierają wszystkie czynniki obecne w rozwinięciach mianowników, a jeśli pewien czynnik występuje w kilku mianownikach, wówczas przyjmuje się z największym dostępnym wykładnikiem. A jeśli mianowniki mają współczynniki całkowite, wówczas wspólny mianownik zawiera współczynnik liczbowy równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych współczynników liczbowych.

Przykład 6

Mianowniki obu ułamków algebraicznych 1 12 x i 1 90 x 2 mają współczynnik X. W drugim przypadku współczynnik x jest kwadratowy. Aby stworzyć wspólny mianownik, musimy wziąć pod uwagę ten czynnik w największym stopniu, tj. x 2. Nie ma innych mnożników ze zmiennymi. Całkowite współczynniki liczbowe ułamków pierwotnych 12 I 90 , a ich najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 180 . Okazuje się, że pożądany wspólny mianownik ma postać 180x2.

Teraz możemy zapisać kolejny algorytm znajdowania wspólnego czynnika ułamków algebraicznych. W tym celu:

  • uwzględnij mianowniki wszystkich ułamków;
  • tworzymy iloczyn wszystkich czynników literowych (jeśli w kilku rozwinięciach występuje czynnik, bierzemy opcję z największym wykładnikiem);
  • do otrzymanego produktu dodajemy LCM numerycznych współczynników rozszerzeń.

Podane algorytmy są równoważne, zatem do rozwiązywania problemów można zastosować dowolny z nich. Ważne jest, aby zwracać uwagę na szczegóły.

Zdarzają się przypadki, gdy wspólne czynniki w mianownikach ułamków mogą być niewidoczne za współczynnikami liczbowymi. W tym przypadku wskazane jest, aby najpierw umieścić współczynniki liczbowe przy wyższych potęgach zmiennych z nawiasów w każdym z czynników występujących w mianowniku.

Przykład 7

Jaki wspólny mianownik mają ułamki 3 5 - x i 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Rozwiązanie

W pierwszym przypadku minus jeden należy wyjąć z nawiasów. Otrzymujemy 3 - x - 5 . Mnożymy licznik i mianownik przez - 1, aby pozbyć się minusa w mianowniku: - 3 x - 5.

W drugim przypadku usuwamy te dwa z nawiasów. To pozwala nam otrzymać ułamek 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Jest oczywiste, że wspólnym mianownikiem tych ułamków algebraicznych - 3 x - 5 i 5 - x · y 2 2 · x - 5 jest 2 (x - 5).

Odpowiedź:2 (x - 5).

Dane w warunku problemu ułamkowego mogą mieć współczynniki ułamkowe. W takich przypadkach należy najpierw pozbyć się współczynników ułamkowych, mnożąc licznik i mianownik przez określoną liczbę.

Przykład 8

Uprość ułamki algebraiczne 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 i - 2 2 3 x 2 + 1 1 3, a następnie określ ich wspólny mianownik.

Rozwiązanie

Pozbądźmy się współczynników ułamkowych, mnożąc licznik i mianownik w pierwszym przypadku przez 14, w drugim przypadku przez 3. Otrzymujemy:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 i - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Po dokonanych przekształceniach staje się jasne, że wspólnym mianownikiem jest 2 (x 2 + 2).

Odpowiedź: 2 (x 2 + 2).

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Treść:

Aby dodać lub odjąć ułamki za pomocą różne mianowniki(liczby pod linią ułamkową), musisz najpierw znaleźć ich najniższy wspólny mianownik (LCD). Liczba ta będzie najmniejszą wielokrotnością występującą na liście wielokrotności każdego mianownika, to znaczy liczbą, która jest równomiernie podzielna przez każdy mianownik. Można także obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) dwóch lub większej liczby mianowników. W każdym razie mówimy o liczbach całkowitych, a metody ich znajdowania są bardzo podobne. Po określeniu NOS możesz sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, co z kolei pozwala na ich dodawanie i odejmowanie.

Kroki

1 Lista wielokrotności

  1. 1 Wypisz wielokrotności każdego mianownika. Zrób listę wielokrotności każdego mianownika w równaniu. Każda lista musi składać się z iloczynu mianownika przez 1, 2, 3, 4 i tak dalej.
    • Przykład: 1/2 + 1/3 + 1/5
    • Wielokrotność 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; i tak dalej.
    • Wielokrotności 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3*3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; i tak dalej.
    • Wielokrotności 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; i tak dalej.
  2. 2 Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność. Przejrzyj każdą listę i zanotuj wielokrotności wspólne dla wszystkich mianowników. Po zidentyfikowaniu wspólnych wielokrotności określ najniższy mianownik.
    • Pamiętaj, że jeśli nie zostanie znaleziony wspólny mianownik, może być konieczne kontynuowanie zapisywania wielokrotności, aż pojawi się wspólna wielokrotność.
    • Lepiej (i łatwiej) zastosować tę metodę, gdy w mianownikach znajdują się małe liczby.
    • W naszym przykładzie wspólną wielokrotnością wszystkich mianowników jest liczba 30: 2 * 15 = 30 ; 3 * 10 = 30 ; 5 * 6 = 30
    • NOZ = 30
  3. 3 Aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika bez zmiany ich znaczenia, należy pomnożyć każdy licznik (liczbę nad linią ułamkową) przez liczbę równą ilorazowi NZ podzielonemu przez odpowiedni mianownik.
    • Przykład: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
    • Nowe równanie: 15/30 + 10/30 + 6/30
  4. 4 Rozwiąż powstałe równanie. Po znalezieniu NOS i zmianie odpowiednich ułamków wystarczy rozwiązać powstałe równanie. Nie zapomnij uprościć swojej odpowiedzi (jeśli to możliwe).
    • Przykład: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

2 Korzystanie z największego wspólnego dzielnika

  1. 1 Wypisz dzielniki każdego mianownika. Dzielnik to liczba całkowita, która dzieli przez całość podany numer. Na przykład dzielnikami liczby 6 są liczby 6, 3, 2, 1. Dzielnikiem dowolnej liczby jest 1, ponieważ każda liczba jest podzielna przez jeden.
    • Przykład: 3/8 + 5/12
    • Dzielniki 8: 1, 2, 4 , 8
    • Dzielniki 12: 1, 2, 3, 4 , 6, 12
  2. 2 Znajdź największy wspólny dzielnik (NWD) obu mianowników. Po wymienieniu czynników każdego mianownika zanotuj wszystkie wspólne czynniki. Największy wspólny czynnik to największy wspólny czynnik, jaki będzie potrzebny do rozwiązania problemu.
    • W naszym przykładzie wspólne dzielniki dla mianowników 8 i 12 są to liczby 1, 2, 4.
    • NWD = 4.
  3. 3 Pomnóż mianowniki przez siebie. Jeśli chcesz użyć NWD do rozwiązania problemu, najpierw pomnóż mianowniki przez siebie.
    • Przykład: 8 * 12 = 96
  4. 4 Podziel wynikową wartość przez GCD. Po otrzymaniu wyniku mnożenia mianowników podziel go przez obliczoną wartość gcd. Wynikowa liczba będzie najniższym wspólnym mianownikiem (LCD).
    • Przykład: 96/4 = 24
  5. 5
    • Przykład: 24/8 = 3; 24/12 = 2
    • (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
    • 9/24 + 10/24
  6. 6 Rozwiąż powstałe równanie.
    • Przykład: 9/24 + 10/24 = 19/24

3 Rozłożenie każdego mianownika na czynniki pierwsze

  1. 1 Rozłóż każdy mianownik na czynniki pierwsze. Rozłóż każdy mianownik na czynniki pierwsze, tj liczby pierwsze, które po pomnożeniu dają pierwotny mianownik. Przypomnijmy, że czynniki pierwsze to liczby, które dzielą się tylko przez 1 lub same siebie.
    • Przykład: 1/4 + 1/5 + 1/12
    • Czynniki pierwsze 4: 2 * 2
    • Czynniki pierwsze 5: 5
    • Czynniki pierwsze liczby 12: 2 * 2 * 3
  2. 2 Policz, ile razy każdy czynnik pierwszy występuje w każdym mianowniku. Oznacza to, że określ, ile razy każdy czynnik pierwszy pojawia się na liście czynników każdego mianownika.
    • Przykład: Są dwa 2 dla mianownika 4; zero 2 za 5; dwa 2 dla 12
    • Jest zero 3 dla 4 i 5; jeden 3 dla 12
    • Jest zero 5 dla 4 i 12; jeden 5 za 5
  3. 3 Dla każdego weź tylko największą liczbę razy główny czynnik. Określ, ile razy każdy czynnik pierwszy pojawia się w dowolnym mianowniku.
    • Na przykład: największa liczba razy dla mnożnika 2 - 2 razy; Dla 3 – 1 raz; Dla 5 – 1 raz.
  4. 4 Zapisz w odpowiedniej kolejności czynniki pierwsze znalezione w poprzednim kroku. Nie zapisuj, ile razy każdy czynnik pierwszy występuje we wszystkich pierwotnych mianownikach - zrób to, biorąc to pod uwagę największa liczba razy (jak opisano w poprzednim kroku).
    • Przykład: 2, 2, 3, 5
  5. 5 Pomnóż te liczby. Wynik iloczynu tych liczb jest równy NOS.
    • Przykład: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
    • NOZ = 60
  6. 6 Podziel NOZ przez pierwotny mianownik. Aby obliczyć mnożnik wymagany do zredukowania ułamków do wspólnego mianownika, podziel znaleziony NCD przez pierwotny mianownik. Pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez ten współczynnik. Otrzymasz ułamki o wspólnym mianowniku.
    • Przykład: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
    • 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
    • 15/60 + 12/60 + 5/60
  7. 7 Rozwiąż powstałe równanie. Znaleziono NOZ; Możesz teraz dodawać i odejmować ułamki zwykłe. Nie zapomnij uprościć swojej odpowiedzi (jeśli to możliwe).
    • Przykład: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

4 Praca z liczbami mieszanymi

  1. 1 Zamień każdą liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy. Aby to zrobić, pomnóż całą część liczba mieszana do mianownika i dodaj go do licznika - będzie to licznik ułamka niewłaściwego. Zamień także liczbę całkowitą na ułamek zwykły (po prostu wstaw 1 do mianownika).
    • Przykład: 8 + 2 1/4 + 2/3
    • 8 = 8/1
    • 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
    • Przepisane równanie: 8/1 + 9/4 + 2/3
  2. 2 Znajdź najniższy wspólny mianownik. Oblicz wartość NVA za pomocą dowolnej metody opisanej w poprzednich sekcjach. W tym przykładzie użyjemy metody „listing multipleks”, w której zapisuje się wielokrotności każdego mianownika i na ich podstawie obliczany jest NOC.
    • Pamiętaj, że nie musisz podawać wielokrotności dla 1 , ponieważ dowolna liczba pomnożona przez 1 , równy sobie; innymi słowy, każda liczba jest wielokrotnością 1 .
    • Przykład: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12 ; 4 * 4 = 16; itp.
    • 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12 ; itp.
    • NOZ = 12
  3. 3 Przepisz oryginalne równanie. Pomnóż liczniki i mianowniki pierwotnych ułamków przez liczbę równą ilorazowi dzielenia NZ przez odpowiedni mianownik.
    • Na przykład: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
    • 96/12 + 27/12 + 8/12
  4. 4 Rozwiąż równanie. Znaleziono NOZ; Możesz teraz dodawać i odejmować ułamki zwykłe. Nie zapomnij uprościć swojej odpowiedzi (jeśli to możliwe).
    • Przykład: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

Czego będziesz potrzebować

  • Ołówek
  • Papier
  • Kalkulator (opcjonalnie)