Umiejętność obliczania objętości figur przestrzennych jest ważna przy rozwiązywaniu szeregu praktycznych problemów z geometrii. Jedną z najczęstszych postaci jest piramida. W tym artykule rozważymy zarówno piramidy pełne, jak i ścięte.

Piramida jako figura trójwymiarowa

Wszyscy o tym wiedzą Piramidy egipskie, więc ma dobre pojęcie o jakiej figurze będziemy mówić. Jednak egipskie konstrukcje kamienne są tylko szczególnym przypadkiem ogromnej klasy piramid.

W ogólnym przypadku rozważanym obiektem geometrycznym jest podstawa wielokątna, której każdy wierzchołek jest połączony z pewnym punktem w przestrzeni, który nie należy do płaszczyzny podstawy. Ta definicja daje w wyniku figurę składającą się z jednego n-kątu i n trójkątów.

Każda piramida składa się z n+1 ścian, 2*n krawędzi i n+1 wierzchołków. Ponieważ dana figura jest wielościanem doskonałym, liczby zaznaczonych elementów odpowiadają równości Eulera:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Wielokąt znajdujący się u podstawy nadaje nazwę piramidzie, na przykład trójkątnej, pięciokątnej i tak dalej. Zestaw piramid o różnych podstawach pokazano na poniższym zdjęciu.

Punkt, w którym spotyka się n trójkątów figury, nazywa się wierzchołkiem piramidy. Jeśli prostopadła zostanie opuszczona z niej na podstawę i przetnie ją w środku geometrycznym, wówczas taką figurę nazwiemy linią prostą. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, powstaje nachylona piramida.

Figura prawa, której podstawa jest utworzona przez równoboczny (równokątny) n-gon, nazywa się regularną.

Wzór na objętość piramidy

Aby obliczyć objętość piramidy, skorzystamy z rachunku całkowego. Aby to zrobić, dzielimy figurę, przecinając płaszczyzny równoległe do podstawy na nieskończoną liczbę cienkich warstw. Poniższy rysunek przedstawia czworokątną piramidę o wysokości h i długości boku L, w której cienka warstwa przekroju jest oznaczona czworobokiem.

Powierzchnię każdej takiej warstwy można obliczyć za pomocą wzoru:

A(z) = ZA 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Tutaj A 0 to obszar podstawy, z to wartość współrzędnej pionowej. Można zauważyć, że jeśli z = 0, to wzór podaje wartość A 0.

Aby otrzymać wzór na objętość ostrosłupa należy obliczyć całkę po całej wysokości figury, czyli:

V = ∫ godz. 0 (A(z)*dz).

Podstawiając zależność A(z) i obliczając funkcję pierwotną, dochodzimy do wyrażenia:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| godz. 0 = 1/3*A 0 *godz.

Otrzymaliśmy wzór na objętość piramidy. Aby znaleźć wartość V, wystarczy pomnożyć wysokość figury przez pole podstawy, a następnie podzielić wynik przez trzy.

Należy zauważyć, że wynikowe wyrażenie obowiązuje przy obliczaniu objętości piramidy dowolnego typu. Oznacza to, że może być nachylony, a jego podstawą może być dowolny n-gon.

i jego objętość

Ogólny wzór na objętość uzyskany w powyższym akapicie można udoskonalić w przypadku piramidy z właściwy powód. Pole takiej podstawy oblicza się za pomocą następującego wzoru:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Tutaj L jest długością boku wielokąta foremnego o n wierzchołkach. Symbol pi jest liczbą pi.

Zastępując wyrażenie A 0 we wzorze ogólnym, otrzymujemy objętość zwykła piramida:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na przykład w przypadku piramidy trójkątnej formuła ta daje w wyniku następujące wyrażenie:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Dla prawa czworokątna piramida Wzór na objętość ma postać:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Wyznaczanie objętości regularnych piramid wymaga znajomości boku ich podstawy i wysokości figury.

Ścięta piramida

Załóżmy, że wzięliśmy dowolną piramidę i odcięliśmy część jej powierzchni bocznej zawierającej wierzchołek. Pozostała figura nazywana jest piramidą ściętą. Składa się już z dwóch n-gonalnych podstaw i n łączących je trapezoidów. Jeśli płaszczyzna cięcia była równoległa do podstawy figury, wówczas powstaje ścięta piramida o podobnych równoległych podstawach. Oznacza to, że długości boków jednego z nich można uzyskać, mnożąc długości drugiego przez pewien współczynnik k.

Powyższy rysunek przedstawia obcięty regularny. Można zauważyć, że jego górna podstawa, podobnie jak dolna, jest utworzona przez foremny sześciokąt.

Wzór, który można wyprowadzić za pomocą rachunku całkowego podobnego do powyższego, to:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Gdzie A 0 i A 1 to odpowiednio obszary dolnej (dużej) i górnej (małej) podstawy. Zmienna h oznacza wysokość ściętej piramidy.

Objętość piramidy Cheopsa

Interesujące jest rozwiązanie problemu określenia objętości, jaką zawiera w sobie największa egipska piramida.

W 1984 roku brytyjscy egiptolodzy Mark Lehner i Jon Goodman ustalili dokładne wymiary piramidy Cheopsa. Jej pierwotna wysokość wynosiła 146,50 m (obecnie ok. 137 m). Średnia długość każdego z czterech boków budowli wynosiła 230,363 m. Podstawa piramidy jest kwadratowa z dużą precyzją.

Na podstawie podanych liczb określmy objętość tego kamiennego olbrzyma. Ponieważ piramida jest regularna czworokątna, obowiązuje dla niej wzór:

Podstawiając liczby otrzymujemy:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Objętość piramidy Cheopsa wynosi prawie 2,6 miliona m3. Dla porównania zauważamy, że basen olimpijski ma objętość 2,5 tys. m 3. Oznacza to, że aby wypełnić całą piramidę Cheopsa, będziesz potrzebować ponad 1000 takich pul!

Piramida. Ścięta piramida

Piramida jest wielościanem, którego jedna z ścian jest wielokątem ( opierać ), a wszystkie pozostałe ściany są trójkątami ze wspólnym wierzchołkiem ( boczne twarze ) (ryc. 15). Piramida nazywa się prawidłowy , jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy (ryc. 16). Nazywa się ostrosłupem trójkątnym, którego wszystkie krawędzie są równe tetraedr .

Boczne żebro ostrosłupa to bok ściany bocznej, który nie należy do podstawy Wysokość piramida to odległość jej wierzchołka od płaszczyzny podstawy. Wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są sobie równe, wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Nazywa się wysokość ściany bocznej regularnej piramidy narysowanej od wierzchołka apotem . Przekrój ukośny nazywa się przekrojem piramidy płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

Powierzchnia boczna piramida to suma pól wszystkich ścian bocznych. Obszar pełna powierzchnia nazywa się sumą pól wszystkich ścian bocznych i podstawy.

Twierdzenia

1. Jeżeli w piramidzie wszystkie boczne krawędzie są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy rzutuje się na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

2. Jeśli w piramidzie wszystkie boczne krawędzie mają równe długości, następnie wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

3. Jeżeli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy zostanie rzucony na środek okręgu wpisanego w podstawę.

Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, poprawny wzór to:

Gdzie V- tom;

Baza S– powierzchnia podstawy;

H– wysokość piramidy.

W przypadku zwykłej piramidy poprawne są następujące wzory:

Gdzie P– obwód podstawy;

h– apotem;

H- wysokość;

Pełny

Strona S

Baza S– powierzchnia podstawy;

V– objętość regularnej piramidy.

Ścięta piramida nazywana częścią piramidy zamkniętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy (ryc. 17). Regularna ścięta piramida jest częścią regularnej piramidy ujętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy.

Fusyścięta piramida - podobne wielokąty. Boczne twarze – trapezy. Wysokość piramidy ściętej to odległość między jej podstawami. Przekątna ścięta piramida to odcinek łączący jej wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie. Przekrój ukośny to przekrój ściętej piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

W przypadku piramidy ściętej obowiązują następujące wzory:

(4)

Gdzie S 1 , S 2 – obszary podstawy górnej i dolnej;

Pełny– powierzchnia całkowita;

Strona S– powierzchnia boczna;

H- wysokość;

V– objętość ściętej piramidy.

Dla regularnej piramidy ściętej wzór jest poprawny:

Gdzie P 1 , P 2 – obwody podstaw;

h– apotem w kształcie regularnej ściętej piramidy.

Przykład 1. W prawym trójkątna piramida kąt dwuścienny u podstawy wynosi 60°. Znajdź tangens kąta nachylenia żebro boczne do płaszczyzny bazowej.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 18).

Piramida jest poprawna, czyli u podstawy trójkąt równoboczny a wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Kąt dwuścienny u podstawy to kąt nachylenia bocznej ściany piramidy do płaszczyzny podstawy. Kąt liniowy to kąt A pomiędzy dwiema prostopadłymi: itd. Wierzchołek piramidy rzutowany jest na środek trójkąta (środek okręgu opisanego i okrąg wpisany w trójkąt ABC). Kąt nachylenia krawędzi bocznej (np S.B.) to kąt pomiędzy samą krawędzią a jej rzutem na płaszczyznę podstawy. Na żebro S.B. ten kąt będzie kątem SBD. Aby znaleźć styczną, musisz znać nogi WIĘC I O.B.. Niech długość odcinka BD równa się 3 A. Kropka O segment BD jest podzielony na części: i Od znajdujemy WIĘC: Z znajdujemy:

Odpowiedź:

Przykład 2. Znajdź objętość regularnej ściętej czworokątnej piramidy, jeśli przekątne jej podstaw są równe cm i cm, a jej wysokość wynosi 4 cm.

Rozwiązanie. Aby znaleźć objętość ściętej piramidy, używamy wzoru (4). Aby znaleźć obszar podstaw, musisz znaleźć boki kwadratów podstawowych, znając ich przekątne. Boki podstaw wynoszą odpowiednio 2 cm i 8 cm. Oznacza to pola podstaw i Podstawiając wszystkie dane do wzoru, obliczamy objętość ściętej piramidy:

Odpowiedź: 112cm3.

Przykład 3. Znajdź pole powierzchni bocznej regularnej trójkątnej ściętej piramidy, której boki podstaw wynoszą 10 cm i 4 cm, a wysokość piramidy wynosi 2 cm.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 19).

Boczna ściana tej piramidy jest trapezem równoramiennym. Aby obliczyć pole trapezu, musisz znać podstawę i wysokość. Podstawy podano według stanu, nieznana pozostaje jedynie wysokość. Znajdziemy ją skąd A 1 mi prostopadle do punktu A 1 na płaszczyźnie dolnej podstawy, A 1 D– prostopadle od A 1 os AC. A 1 mi= 2 cm, ponieważ jest to wysokość piramidy. Aby znaleźć DE Zróbmy dodatkowy rysunek przedstawiający widok z góry (ryc. 20). Kropka O– rzut środków podstawy górnej i dolnej. ponieważ (patrz ryc. 20) i Z drugiej strony OK– promień wpisany w okrąg i OM– promień wpisany w okrąg:

MK = DE.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa z

Powierzchnia boczna:

Odpowiedź:

Przykład 4. U podstawy piramidy leży trapez równoramienny, którego podstawy A I B (A> B). Każdy krawędź boczna tworzy kąt równy płaszczyźnie podstawy piramidy J. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 21). Całkowita powierzchnia piramidy SABCD równa sumie pól i pola trapezu ABCD.

Skorzystajmy ze stwierdzenia, że ​​jeśli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek jest rzutowany na środek okręgu wpisanego w podstawę. Kropka O– rzut wierzchołkowy S u podstawy piramidy. Trójkąt DARŃ jest rzutem ortogonalnym trójkąta CSD do płaszczyzny podstawy. Według twierdzenia o obszarze rzutu ortogonalnego płaska figura otrzymujemy:

Podobnie to znaczy W ten sposób problem został zredukowany do znalezienia pola trapezu ABCD. Narysujmy trapez ABCD osobno (ryc. 22). Kropka O– środek okręgu wpisanego w trapez.

Ponieważ okrąg można wpisać w trapez, to lub Z twierdzenia Pitagorasa mamy

• 09.10.2014

  Przedwzmacniacz pokazany na rysunku przeznaczony jest do współpracy z 4 rodzajami źródeł dźwięku, np. mikrofonem, odtwarzaczem CD, radiem itp. W tym przypadku przedwzmacniacz posiada jedno wejście, które może zmieniać czułość od 50 mV do 500 mV. napięcie wyjściowe wzmacniacza 1000mV. Złączony różne źródła sygnał przy przełączaniu przełącznika SA1 zawsze dostajemy...

• 20.09.2014

  Zasilacz przystosowany jest do obciążenia 15…20 W. Źródło jest wykonane zgodnie z obwodem jednocyklowego impulsowego przetwornika wysokiej częstotliwości. Tranzystor służy do montażu samooscylatora pracującego na częstotliwości 20…40 kHz. Częstotliwość jest regulowana przez pojemność C5. Elementy VD5, VD6 i C6 tworzą obwód rozruchowy autogeneratora. W obwodzie wtórnym za prostownikiem mostkowym znajduje się konwencjonalny stabilizator liniowy na mikroukładzie, który pozwala na ...

• 28.09.2014

  Rysunek pokazuje generator oparty na mikroukładzie K174XA11, którego częstotliwość jest kontrolowana napięciem. Zmieniając pojemność C1 z 560 na 4700 pF, można uzyskać szeroki zakres częstotliwości, natomiast częstotliwość reguluje się poprzez zmianę rezystancji R4. Na przykład autor odkrył, że przy C1 = 560pF częstotliwość generatora można zmienić za pomocą R4 z 600 Hz na 200 kHz, ...

• 03.10.2014

  Urządzenie jest przeznaczone do zasilania potężnego ULF, jest zaprojektowane na napięcie wyjściowe ±27 V i obciążenie do 3 A na każdym ramieniu. Zasilanie jest dwubiegunowe, wykonane na kompletnych tranzystorach kompozytowych KT825-KT827. Obydwa ramiona stabilizatora wykonane są według tego samego obwodu, z tym że w drugim ramieniu (nie pokazano) zmieniono polaryzację kondensatorów i zastosowano tranzystory innego typu...