Από τι πολύγωνα αποτελείται ένα πρίσμα; Ευθύ πρίσμα – Υπεραγορά Γνώσης

Ορισμός. Πρίσμα- αυτό είναι ένα πολύεδρο, του οποίου όλες οι κορυφές βρίσκονται σε δύο παράλληλα επίπεδα και σε αυτά τα δύο επίπεδα βρίσκονται δύο όψεις του πρίσματος, που είναι ίσα πολύγωνα, αντίστοιχα παράλληλες πλευρές, και όλες οι άκρες που δεν βρίσκονται σε αυτά τα επίπεδα είναι παράλληλες.

Δυο ίσα πρόσωπακαλούνται βάσεις πρίσματος(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Όλες οι άλλες όψεις του πρίσματος ονομάζονται πλαϊνά πρόσωπα(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Ολοι πλαϊνά πρόσωπαμορφή πλευρική επιφάνεια του πρίσματος .

Όλες οι πλευρικές όψεις του πρίσματος είναι παραλληλόγραμμες .

Οι ακμές που δεν βρίσκονται στις βάσεις ονομάζονται πλευρικές ακμές του πρίσματος ( ΑΑ 1, ΒΒ 1, CC 1, ΔΔ 1, ΕΕ 1).

Διαγώνιος πρίσματος είναι ένα τμήμα του οποίου τα άκρα είναι δύο κορυφές ενός πρίσματος που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη (AD 1).

Το μήκος του τμήματος που συνδέει τις βάσεις του πρίσματος και είναι κάθετο και στις δύο βάσεις ταυτόχρονα λέγεται ύψος πρίσματος .

Ονομασία:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Πρώτα, σε εγκάρσια σειρά, υποδεικνύονται οι κορυφές μιας βάσης και στη συνέχεια, με την ίδια σειρά, οι κορυφές μιας άλλης· τα άκρα κάθε πλευρικής ακμής ορίζονται με τα ίδια γράμματα, μόνο οι κορυφές που βρίσκονται σε μια βάση ορίζονται με γράμματα χωρίς ευρετήριο και στο άλλο - με ευρετήριο)

Το όνομα του πρίσματος σχετίζεται με τον αριθμό των γωνιών στο σχήμα που βρίσκεται στη βάση του, για παράδειγμα, στο σχήμα 1 υπάρχει ένα πεντάγωνο στη βάση, οπότε το πρίσμα ονομάζεται πενταγωνικό πρίσμα. Επειδή όμως ένα τέτοιο πρίσμα έχει 7 όψεις, τότε αυτό επτάεδρο(2 όψεις - οι βάσεις του πρίσματος, 5 όψεις - παραλληλόγραμμα, - οι πλευρικές όψεις του)

Ανάμεσα στα ευθύγραμμα πρίσματα, ξεχωρίζει ένας συγκεκριμένος τύπος: τα κανονικά πρίσματα.

Το ευθύ πρίσμα ονομάζεται σωστός,αν οι βάσεις του είναι κανονικά πολύγωνα.

Παραλληλεπίπεδο

Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο- ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο.

Ιδιότητες και θεωρήματα:

,

όπου d είναι η διαγώνιος του τετραγώνου.
α είναι η πλευρά του τετραγώνου.

Μια ιδέα ενός πρίσματος δίνεται από:

• διάφορος αρχιτεκτονικές κατασκευές;
• παιδικά παιχνίδια?
• κουτιά συσκευασίας?
• αντικείμενα σχεδιαστών κ.λπ.

Η περιοχή της συνολικής και πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος

S πλήρης = S πλευρά + 2S κύρια,

Οπου S γεμάτο- συνολική επιφάνεια, S πλευρά- πλευρική επιφάνεια, Βάση S- περιοχή βάσης

Η πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίση με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του πρίσματος.

S πλευρά= P βασικό * h,

Οπου S πλευρά- περιοχή της πλευρικής επιφάνειας ενός ευθύγραμμου πρίσματος,

P κύρια - περίμετρος της βάσης ενός ευθύγραμμου πρίσματος,

h είναι το ύψος του ευθύγραμμου πρίσματος, ίσο με το πλευρικό άκρο.

Όγκος πρίσματος

Ο όγκος ενός πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.

1. Ο μικρότερος αριθμόςΤο τετράεδρο έχει 6 άκρες.

2. Ένα πρίσμα έχει n όψεις. Ποιο πολύγωνο βρίσκεται στη βάση του;

(n - 2) - τετράγωνο.

3. Είναι ένα πρίσμα ευθύ, αν οι δύο παρακείμενες πλευρικές του όψεις είναι κάθετες στο επίπεδο της βάσης;

Ναι, είναι.

4. Σε ποιο πρίσμα οι πλευρικές ακμές είναι παράλληλες με το ύψος του;

Σε ευθύ πρίσμα.

5. Είναι ένα πρίσμα κανονικό αν όλες οι ακμές του είναι ίσες μεταξύ τους;

Όχι, μπορεί να μην είναι άμεσο.

6. Μπορεί το ύψος μιας από τις πλευρικές όψεις ενός κεκλιμένου πρίσματος να είναι και το ύψος του πρίσματος;

Ναι, αν αυτή η όψη είναι κάθετη στη βάση.

7. Υπάρχει πρίσμα στο οποίο: α) η πλευρική ακμή είναι κάθετη μόνο σε ένα άκρο της βάσης; β) μόνο η μία πλευρική όψη είναι κάθετη στη βάση;

α) ναι. β) όχι.

8. Ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα χωρίζεται σε δύο πρίσματα από ένα επίπεδο που διέρχεται από τις μεσαίες γραμμές των βάσεων. Ποια είναι η αναλογία των πλευρικών επιφανειών αυτών των πρισμάτων;

Με το θεώρημα 27 βρίσκουμε ότι οι πλευρικές επιφάνειες έχουν αναλογία 5:3

9. Η πυραμίδα θα είναι κανονική αν οι πλευρικές της όψεις είναι κανονικά τρίγωνα;

10. Πόσες όψεις κάθετες στο επίπεδο της βάσης μπορεί να έχει μια πυραμίδα;

11. Υπάρχει τετράπλευρη πυραμίδα της οποίας οι αντίθετες πλευρές είναι κάθετες στη βάση;

Όχι, διαφορετικά θα υπήρχαν τουλάχιστον δύο ευθείες γραμμές που περνούν από την κορυφή της πυραμίδας, κάθετες στις βάσεις.

12. Μπορούν όλες οι όψεις μιας τριγωνικής πυραμίδας να είναι ορθογώνια τρίγωνα;

Ναι (Εικόνα 183).

Γενικές πληροφορίες για το ευθύ πρίσμα

Η πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος (ακριβέστερα, η πλευρική επιφάνεια) ονομάζεται ποσόπεριοχές των πλευρικών όψεων. Πλήρης επιφάνειαπρίσμα ισούται με το άθροισμα της πλευρικής επιφάνειας και των περιοχών των βάσεων.

Θεώρημα 19.1. Η πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίση με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του πρίσματος, δηλαδή το μήκος της πλευρικής ακμής.

Απόδειξη. Οι πλευρικές όψεις ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ορθογώνια. Οι βάσεις αυτών των ορθογωνίων είναι οι πλευρές του πολυγώνου που βρίσκονται στη βάση του πρίσματος και τα ύψη είναι ίσα με το μήκος των πλευρικών άκρων. Από αυτό προκύπτει ότι πλευρική επιφάνειατο πρίσμα είναι ίσο

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

όπου a 1 και n είναι τα μήκη των ακμών της βάσης, p είναι η περίμετρος της βάσης του πρίσματος και I είναι το μήκος των πλευρικών άκρων. Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Πρακτική εργασία

Πρόβλημα (22) . Σε κεκλιμένο πρίσμα διεξάγεται τμήμα, κάθετα στις πλευρικές νευρώσεις και τέμνοντας όλες τις πλευρικές νευρώσεις. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια του πρίσματος αν η περίμετρος της διατομής είναι ίση με p και οι πλευρικές ακμές ίσες με l.

Διάλυμα. Το επίπεδο του σχεδιασμένου τμήματος χωρίζει το πρίσμα σε δύο μέρη (Εικ. 411). Ας υποβάλουμε ένα από αυτά σε παράλληλη μετάφραση, συνδυάζοντας τις βάσεις του πρίσματος. Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνουμε ένα ευθύ πρίσμα, η βάση του οποίου είναι η διατομή του αρχικού πρίσματος και οι πλευρικές ακμές είναι ίσες με l. Αυτό το πρίσμα έχει την ίδια πλευρική επιφάνεια με το αρχικό. Έτσι, η πλευρική επιφάνεια του αρχικού πρίσματος είναι ίση με pl.

Περίληψη του καλυπτόμενου θέματος

Τώρα ας προσπαθήσουμε να συνοψίσουμε το θέμα που καλύψαμε για τα πρίσματα και να θυμηθούμε ποιες ιδιότητες έχει ένα πρίσμα.

Ιδιότητες πρίσματος

Πρώτον, ένα πρίσμα έχει όλες τις βάσεις του ως ίσα πολύγωνα.
Δεύτερον, σε ένα πρίσμα όλες οι πλευρικές του όψεις είναι παραλληλόγραμμες.
Τρίτον, σε ένα τόσο πολύπλευρο σχήμα όπως το πρίσμα, όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες.

Επίσης, πρέπει να θυμόμαστε ότι τα πολύεδρα όπως τα πρίσματα μπορεί να είναι ευθύγραμμα ή κεκλιμένα.

Ποιο πρίσμα ονομάζεται ευθύ πρίσμα;

Αν το πρίσμα πλαϊνή πλευράπου βρίσκεται κάθετα στο επίπεδο της βάσης του, τότε ένα τέτοιο πρίσμα ονομάζεται ευθεία γραμμή.

Δεν θα ήταν περιττό να θυμηθούμε ότι οι πλευρικές όψεις ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ορθογώνια.

Ποιο είδος πρίσματος ονομάζεται λοξό;

Αν όμως η πλευρική ακμή ενός πρίσματος δεν βρίσκεται κάθετα στο επίπεδο της βάσης του, τότε μπορούμε με ασφάλεια να πούμε ότι είναι ένα κεκλιμένο πρίσμα.

Ποιο πρίσμα λέγεται σωστό;

Εάν ένα κανονικό πολύγωνο βρίσκεται στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος, τότε ένα τέτοιο πρίσμα είναι κανονικό.

Ας θυμηθούμε τώρα τις ιδιότητες που έχει ένα κανονικό πρίσμα.

Ιδιότητες κανονικού πρίσματος

Πρώτον, τα κανονικά πολύγωνα χρησιμεύουν πάντα ως βάσεις ενός κανονικού πρίσματος.
Δεύτερον, αν λάβουμε υπόψη τις πλευρικές όψεις ενός κανονικού πρίσματος, είναι πάντα ίσα ορθογώνια.
Τρίτον, αν συγκρίνετε τα μεγέθη των πλευρικών πλευρών, τότε σε ένα κανονικό πρίσμα είναι πάντα ίσα.
Τέταρτον, ένα σωστό πρίσμα είναι πάντα ευθύ.
Πέμπτον, εάν σε ένα κανονικό πρίσμα οι πλευρικές όψεις έχουν σχήμα τετραγώνων, τότε ένα τέτοιο σχήμα συνήθως ονομάζεται ημικανονικό πολύγωνο.

Διατομή πρίσματος

Ας δούμε τώρα τη διατομή του πρίσματος:

Σχολική εργασία στο σπίτι

Τώρα ας προσπαθήσουμε να εμπεδώσουμε το θέμα που μάθαμε λύνοντας προβλήματα.

Ας σχεδιάσουμε ένα κεκλιμένο τριγωνικό πρίσμα, η απόσταση μεταξύ των άκρων του θα είναι ίση με: 3 cm, 4 cm και 5 cm, και η πλευρική επιφάνεια αυτού του πρίσματος θα είναι ίση με 60 cm2. Έχοντας αυτές τις παραμέτρους, βρείτε το πλευρικό άκρο αυτού του πρίσματος.

Το ξέρεις αυτό γεωμετρικά σχήματαμας περιβάλλουν συνεχώς όχι μόνο στα μαθήματα γεωμετρίας, αλλά και σε καθημερινή ζωήΥπάρχουν αντικείμενα που μοιάζουν με το ένα ή το άλλο γεωμετρικό σχήμα.

Κάθε σπίτι, σχολείο ή εργασία έχει έναν υπολογιστή του οποίου η μονάδα συστήματος έχει σχήμα ευθύγραμμου πρίσματος.

Αν σηκώσετε ένα απλό μολύβι, θα δείτε ότι το κύριο μέρος του μολυβιού είναι ένα πρίσμα.

Περπατώντας μαζί κεντρικό δρόμοπόλη, βλέπουμε ότι κάτω από τα πόδια μας βρίσκεται ένα κεραμίδι που έχει σχήμα εξαγωνικού πρίσματος.

A. V. Pogorelov, Γεωμετρία για τάξεις 7-11, Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα