ΕΓΩ. Προϊόν με τελείεςεξαφανίζεται εάν και μόνο εάν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα είναι μηδέν ή εάν τα διανύσματα είναι κάθετα. Στην πραγματικότητα, εάν ή , ή τότε .

Αντίστροφα, αν τα πολλαπλασιασμένα διανύσματα δεν είναι μηδέν, τότε επειδή από τη συνθήκη

όταν ακολουθεί:

Δεδομένου ότι η κατεύθυνση του μηδενικού διανύσματος είναι αβέβαιη, το μηδενικό διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί κάθετο σε οποιοδήποτε διάνυσμα. Επομένως, η υποδεικνυόμενη ιδιότητα του βαθμωτού γινόμενου μπορεί να διατυπωθεί πιο συνοπτικά: το βαθμωτό γινόμενο εξαφανίζεται εάν και μόνο εάν τα διανύσματα είναι κάθετα.

II. Το κλιμακωτό γινόμενο έχει τη μεταθετική ιδιότητα:

Αυτή η ιδιότητα προκύπτει άμεσα από τον ορισμό:

γιατί διαφορετικοί προσδιορισμοί για την ίδια γωνία.

III. Το διανεμητικό δίκαιο είναι εξαιρετικής σημασίας. Η εφαρμογή του είναι τόσο μεγάλη όσο και στη συνηθισμένη αριθμητική ή άλγεβρα, όπου διατυπώνεται ως εξής: για να πολλαπλασιάσετε ένα άθροισμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο και να προσθέσετε τα γινόμενα που προκύπτουν, δηλ.

Προφανώς, πολλαπλασιασμός πολυψήφιους αριθμούςστην αριθμητική ή πολυώνυμα στην άλγεβρα βασίζεται σε αυτή την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

Αυτός ο νόμος έχει την ίδια βασική σημασία στη διανυσματική άλγεβρα, αφού με βάση αυτόν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον συνήθη κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων στα διανύσματα.

Ας αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε τρία διανύσματα A, B, C ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

Σύμφωνα με τον δεύτερο ορισμό του βαθμωτού γινομένου, που εκφράζεται με τον τύπο, παίρνουμε:

Εφαρμόζοντας τώρα την ιδιότητα 2 προβολών από την § 5, βρίσκουμε:

Q.E.D.

IV. Το κλιμακωτό γινόμενο έχει την ιδιότητα της δυνατότητας συνδυασμού σε σχέση με έναν αριθμητικό παράγοντα. αυτή η ιδιότητα εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο:

δηλαδή για να πολλαπλασιάσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων με έναν αριθμό, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε έναν από τους παράγοντες με αυτόν τον αριθμό.

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων

Συνεχίζουμε να ασχολούμαστε με διανύσματα. Στο πρώτο μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαΕξετάσαμε την έννοια του διανύσματος, τις ενέργειες με διανύσματα, τις συντεταγμένες του διανύσματος και τα απλούστερα προβλήματα με διανύσματα. Εάν ήρθατε σε αυτή τη σελίδα για πρώτη φορά από μηχανή αναζήτησης, σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να διαβάσετε το παραπάνω εισαγωγικό άρθρο, καθώς για να κατανοήσετε το υλικό πρέπει να είστε εξοικειωμένοι με τους όρους και τις σημειώσεις που χρησιμοποιώ, να έχετε βασικές γνώσεις διανυσμάτων και να μπορεί να λύνει βασικά προβλήματα. Αυτό το μάθημαείναι μια λογική συνέχεια του θέματος και σε αυτό θα αναλύσω λεπτομερώς τυπικές εργασίες που χρησιμοποιούν το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων. Αυτή είναι μια ΠΟΛΥ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ δραστηριότητα.. Προσπαθήστε να μην παραλείψετε τα παραδείγματα που συνοδεύουν ένα χρήσιμο μπόνους - η πρακτική θα σας βοηθήσει να εδραιώσετε το υλικό που έχετε καλύψει και να γίνετε καλύτεροι στην επίλυση κοινών προβλημάτων στην αναλυτική γεωμετρία.

Πρόσθεση διανυσμάτων, πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό.... Θα ήταν αφελές να πιστεύουμε ότι οι μαθηματικοί δεν έχουν καταλήξει σε κάτι άλλο. Εκτός από τις ενέργειες που έχουν ήδη συζητηθεί, υπάρχει μια σειρά από άλλες πράξεις με διανύσματα, και συγκεκριμένα: τελείες γινόμενο των διανυσμάτων, διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτωνΚαι μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι γνωστό σε εμάς από το σχολείο, τα άλλα δύο γινόμενα ανήκουν παραδοσιακά στο μάθημα των ανώτερων μαθηματικών. Τα θέματα είναι απλά, ο αλγόριθμος για την επίλυση πολλών προβλημάτων είναι απλός και κατανοητός. Το μόνο πράγμα. Υπάρχει ένας αξιοπρεπής όγκος πληροφοριών, επομένως δεν είναι επιθυμητό να προσπαθήσετε να κατακτήσετε και να λύσετε ΟΛΑ ΤΟΝΟΠΩΣ. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τα ανδρείκελα, πιστέψτε με, ο συγγραφέας δεν θέλει να νιώθει σαν τον Chikatilo από τα μαθηματικά. Λοιπόν, ούτε από τα μαθηματικά, φυσικά, =) Οι πιο προετοιμασμένοι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν επιλεκτικά υλικά, κατά μία έννοια, να "πάρουν" τη γνώση που λείπει για εσάς, θα είμαι ένας ακίνδυνος κόμης Δράκουλας =)

Ας ανοίξουμε επιτέλους την πόρτα και ας παρακολουθήσουμε με ενθουσιασμό τι συμβαίνει όταν δύο φορείς συναντιούνται...

Ορισμός του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων.
Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος. Τυπικές εργασίες

Η έννοια ενός προϊόντος με κουκκίδες

Πρώτα για γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν διαισθητικά ποια είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, αλλά για κάθε περίπτωση, λίγο περισσότερες λεπτομέρειες. Ας εξετάσουμε ελεύθερα μη μηδενικά διανύσματα και . Εάν σχεδιάσετε αυτά τα διανύσματα από ένα αυθαίρετο σημείο, θα πάρετε μια εικόνα που πολλοί έχουν ήδη φανταστεί νοερά:

Ομολογώ, εδώ περιέγραψα την κατάσταση μόνο σε επίπεδο κατανόησης. Εάν χρειάζεστε έναν αυστηρό ορισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, ανατρέξτε στο εγχειρίδιο για πρακτικά προβλήματα, κατ 'αρχήν, δεν το χρειαζόμαστε. Επίσης ΕΔΩ ΚΑΙ ΕΔΩ θα αγνοήσω μηδενικά διανύσματα κατά τόπους λόγω της χαμηλής πρακτικής σημασίας τους. Έκανα μια κράτηση ειδικά για προχωρημένους επισκέπτες του ιστότοπου που μπορεί να με κατηγορήσουν για τη θεωρητική ανεπάρκεια ορισμένων μεταγενέστερων δηλώσεων.

μπορεί να λάβει τιμές από 0 έως 180 μοίρες (0 έως ακτίνια), συμπεριλαμβανομένων. Αναλυτικά αυτό το γεγονόςγράφεται ως διπλή ανισότητα: ή (σε ακτίνια).

Στη βιβλιογραφία, το σύμβολο της γωνίας συχνά παραλείπεται και απλώς γράφεται.

Ορισμός:Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ΑΡΙΘΜΟΣ ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

Τώρα αυτός είναι ένας αρκετά αυστηρός ορισμός.

Εστιάζουμε σε βασικές πληροφορίες:

Ονομασία:το κλιμακωτό γινόμενο συμβολίζεται με ή απλά.

Το αποτέλεσμα της επέμβασης είναι ΑΡΙΘΜΟΣ: Το διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με διάνυσμα και το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός. Πράγματι, αν τα μήκη των διανυσμάτων είναι αριθμοί, το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ένας αριθμός, τότε το γινόμενο τους θα είναι επίσης ένας αριθμός.

Μόνο μερικά παραδείγματα προθέρμανσης:

Παράδειγμα 1

Διάλυμα:Χρησιμοποιούμε τον τύπο . ΣΕ σε αυτή την περίπτωση:

Απάντηση:

Οι τιμές συνημιτόνου μπορούν να βρεθούν στο τριγωνομετρικός πίνακας. Συνιστώ να το εκτυπώσετε - θα χρειαστεί σχεδόν σε όλα τα τμήματα του πύργου και θα χρειαστεί πολλές φορές.

Από καθαρά μαθηματική άποψη, το βαθμωτό γινόμενο είναι αδιάστατο, δηλαδή το αποτέλεσμα, σε αυτή την περίπτωση, είναι απλώς ένας αριθμός και αυτό είναι. Από την άποψη των προβλημάτων φυσικής, ένα κλιμακωτό γινόμενο έχει πάντα μια συγκεκριμένη φυσική σημασία, δηλαδή μετά το αποτέλεσμα πρέπει να υποδεικνύεται μία ή άλλη φυσική μονάδα. Κανονικό παράδειγμασχετικά με τον υπολογισμό του έργου της δύναμης μπορεί να βρεθεί σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο (ο τύπος είναι ακριβώς ένα βαθμωτό γινόμενο). Το έργο μιας δύναμης μετριέται σε Joules, επομένως, η απάντηση θα γραφτεί πολύ συγκεκριμένα, για παράδειγμα, .

Παράδειγμα 2

Βρείτε αν , και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι ίση με .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας, η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων και τιμής προϊόντος κουκκίδας

Στο Παράδειγμα 1 το βαθμωτό γινόμενο αποδείχθηκε θετικό και στο Παράδειγμα 2 αποδείχθηκε αρνητικό. Ας μάθουμε από τι εξαρτάται το πρόσημο του βαθμωτού προϊόντος. Ας δούμε τον τύπο μας: . Τα μήκη των μη μηδενικών διανυσμάτων είναι πάντα θετικά: , οπότε το πρόσημο μπορεί να εξαρτάται μόνο από την τιμή του συνημιτόνου.

Σημείωμα: Για να κατανοήσετε καλύτερα τις παρακάτω πληροφορίες, είναι καλύτερο να μελετήσετε το γράφημα συνημιτόνου στο εγχειρίδιο Γραφήματα συναρτήσεων και ιδιότητες. Δείτε πώς συμπεριφέρεται το συνημίτονο στο τμήμα.

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να ποικίλλει εντός και είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

1) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αρωματώδης: (από 0 έως 90 μοίρες), τότε , Και το προϊόν με κουκκίδες θα είναι θετικό συν-σκηνοθεσία, τότε η γωνία μεταξύ τους θεωρείται μηδέν και το βαθμωτό γινόμενο θα είναι επίσης θετικό. Επειδή , ο τύπος απλοποιεί: .

2) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αμβλύς: (από 90 έως 180 μοίρες), λοιπόν , και, κατά συνέπεια, το προϊόν κουκκίδας είναι αρνητικό: . Ειδική περίπτωση: αν τα διανύσματα αντίθετες κατευθύνσεις, τότε εξετάζεται η γωνία μεταξύ τους αναπτυγμένος: (180 μοίρες). Το κλιμακωτό γινόμενο είναι επίσης αρνητικό, αφού

Οι αντίστροφες δηλώσεις είναι επίσης αληθείς:

1) Αν , τότε η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι οξεία. Εναλλακτικά, τα διανύσματα είναι συνκατευθυντικά.

2) Αν , τότε η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι αμβλεία. Εναλλακτικά, τα διανύσματα είναι σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Όμως η τρίτη περίπτωση παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον:

3) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων απευθείας: (90 μοίρες), λοιπόν το κλιμακωτό γινόμενο είναι μηδέν: . Ισχύει και το αντίστροφο: αν , τότε . Η δήλωση μπορεί να διατυπωθεί συμπαγώς ως εξής: Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι μηδέν αν και μόνο εάν τα διανύσματα είναι ορθογώνια. Σύντομη μαθηματική σημειογραφία:

! Σημείωμα : Ας επαναλάβουμε τα βασικά της μαθηματικής λογικής: Ένα εικονίδιο λογικής συνέπειας διπλής όψης συνήθως διαβάζεται "εάν και μόνο εάν", "εάν και μόνο εάν". Όπως μπορείτε να δείτε, τα βέλη κατευθύνονται και προς τις δύο κατευθύνσεις - "από αυτό ακολουθεί αυτό και αντίστροφα - από αυτό ακολουθεί αυτό." Ποια είναι, παρεμπιπτόντως, η διαφορά από το εικονίδιο μονόδρομης παρακολούθησης; Το εικονίδιο αναφέρει μόνο αυτό, ότι «από αυτό προκύπτει αυτό», και δεν είναι γεγονός ότι ισχύει το αντίθετο. Για παράδειγμα: , αλλά δεν είναι κάθε ζώο πάνθηρας, οπότε σε αυτήν την περίπτωση δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το εικονίδιο. Ταυτόχρονα, αντί για το εικονίδιο Κουτίχρησιμοποιήστε το εικονίδιο μιας όψης. Για παράδειγμα, κατά την επίλυση του προβλήματος, ανακαλύψαμε ότι καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα διανύσματα είναι ορθογώνια: - μια τέτοια καταχώριση θα είναι σωστή και ακόμη πιο κατάλληλη από .

Η τρίτη περίπτωση έχει μεγάλη πρακτική σημασία, καθώς σας επιτρέπει να ελέγξετε εάν τα διανύσματα είναι ορθογώνια ή όχι. Θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος.

Ιδιότητες του προϊόντος με τελείες

Ας επιστρέψουμε στην κατάσταση όταν δύο διανύσματα συν-σκηνοθεσία. Σε αυτήν την περίπτωση, η γωνία μεταξύ τους είναι μηδέν, και ο τύπος του κλιμακωτού γινομένου παίρνει τη μορφή: .

Τι συμβαίνει αν ένα διάνυσμα πολλαπλασιαστεί από τον εαυτό του; Είναι σαφές ότι το διάνυσμα είναι ευθυγραμμισμένο με τον εαυτό του, επομένως χρησιμοποιούμε τον παραπάνω απλοποιημένο τύπο:

Ο αριθμός καλείται κλιμακωτό τετράγωνοδιάνυσμα, και συμβολίζονται ως .

Ετσι, κλιμακωτό τετράγωνοδιάνυσμα ισούται με το τετράγωνο του μήκους του δεδομένου διανύσματος:

Από αυτή την ισότητα μπορούμε να λάβουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του μήκους του διανύσματος:

Μέχρι στιγμής φαίνεται ασαφές, αλλά οι στόχοι του μαθήματος θα βάλουν τα πάντα στη θέση τους. Για να λύσουμε τα προβλήματα χρειαζόμαστε επίσης ιδιότητες του προϊόντος με κουκκίδες.

Για αυθαίρετα διανύσματα και οποιονδήποτε αριθμό, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) – ανταλλακτική ή ανταλλακτικήνόμος κλιμακωτών προϊόντων.

2) – διανομή ή διανεμητικόςνόμος κλιμακωτών προϊόντων. Απλώς, μπορείτε να ανοίξετε τις αγκύλες.

3) – συνειρμική ή συνειρμικόςνόμος κλιμακωτών προϊόντων. Η σταθερά μπορεί να προκύψει από το βαθμωτό γινόμενο.

Συχνά, κάθε είδους ιδιότητες (που πρέπει επίσης να αποδειχθούν!) εκλαμβάνονται από τους μαθητές ως περιττά σκουπίδια, τα οποία χρειάζεται μόνο να απομνημονευθούν και να ξεχαστούν με ασφάλεια αμέσως μετά την εξέταση. Φαίνεται ότι αυτό που είναι σημαντικό εδώ, όλοι γνωρίζουν ήδη από την πρώτη τάξη ότι η αναδιάταξη των παραγόντων δεν αλλάζει το προϊόν: . Πρέπει να σας προειδοποιήσω ότι στα ανώτερα μαθηματικά είναι εύκολο να μπλέξετε τα πράγματα με μια τέτοια προσέγγιση. Έτσι, για παράδειγμα, η ανταλλακτική ιδιότητα δεν ισχύει για αλγεβρικοί πίνακες. Δεν ισχύει επίσης για διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων. Επομένως, τουλάχιστον, είναι καλύτερο να εμβαθύνετε σε όποιες ιδιότητες συναντήσετε σε ένα ανώτερο μάθημα μαθηματικών για να καταλάβετε τι μπορεί να γίνει και τι δεν μπορεί να γίνει.

Παράδειγμα 3

.

Διάλυμα:Αρχικά, ας ξεκαθαρίσουμε την κατάσταση με το διάνυσμα. Τι είναι αυτό τέλος πάντων; Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι ένα καλά καθορισμένο διάνυσμα, το οποίο συμβολίζεται με . Μια γεωμετρική ερμηνεία των ενεργειών με διανύσματα μπορεί να βρεθεί στο άρθρο Διανύσματα για ανδρείκελα. Ο ίδιος μαϊντανός με διάνυσμα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .

Έτσι, σύμφωνα με την προϋπόθεση, απαιτείται να βρεθεί το βαθμωτό γινόμενο. Θεωρητικά, πρέπει να κάνετε αίτηση τύπος εργασίας , αλλά το πρόβλημα είναι ότι δεν γνωρίζουμε τα μήκη των διανυσμάτων και τη γωνία μεταξύ τους. Αλλά η συνθήκη δίνει παρόμοιες παραμέτρους για διανύσματα, οπότε θα ακολουθήσουμε μια διαφορετική διαδρομή:

(1) Αντικαταστήστε τις εκφράσεις για διανύσματα.

(2) Ανοίγουμε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των πολυωνύμων μπορεί να βρεθεί στο άρθρο Μιγαδικοί αριθμοίή Ολοκλήρωση κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης. Δεν θα επαναλάβω τον εαυτό μου =) Παρεμπιπτόντως, η διανεμητική ιδιότητα του βαθμωτού προϊόντος μας επιτρέπει να ανοίξουμε τις αγκύλες. Έχουμε το δικαίωμα.

(3) Στον πρώτο και τον τελευταίο όρο γράφουμε συμπαγώς τα βαθμωτά τετράγωνα των διανυσμάτων: . Στον δεύτερο όρο χρησιμοποιούμε τη δυνατότητα μετατροπής του κλιμακωτού γινομένου: .

(4) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους: .

(5) Στον πρώτο όρο χρησιμοποιούμε τον βαθμωτό τετράγωνο τύπο, ο οποίος αναφέρθηκε όχι πολύ καιρό πριν. Στον τελευταίο όρο, αντίστοιχα, λειτουργεί το ίδιο: . Επεκτείνουμε τον δεύτερο όρο σύμφωνα με τον τυπικό τύπο .

(6) Αντικαταστήστε αυτές τις προϋποθέσεις , και πραγματοποιήστε ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τους τελικούς υπολογισμούς.

Απάντηση:

Αρνητική τιμήΤο βαθμωτό γινόμενο δηλώνει το γεγονός ότι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία.

Το πρόβλημα είναι τυπικό, εδώ είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και αν είναι γνωστό ότι .

Τώρα μια άλλη κοινή εργασία, μόνο για τον νέο τύπο για το μήκος ενός διανύσματος. Η σημείωση εδώ θα είναι λίγο επικαλυπτόμενη, οπότε για λόγους σαφήνειας θα την ξαναγράψω με διαφορετικό γράμμα:

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το μήκος του διανύσματος αν .

Διάλυμαθα είναι ως εξής:

(1) Παρέχουμε την έκφραση για το διάνυσμα .

(2) Χρησιμοποιούμε τον τύπο μήκους: , ενώ ολόκληρη η έκφραση ve λειτουργεί ως διάνυσμα "ve".

(3) Χρησιμοποιούμε τον σχολικό τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος. Παρατηρήστε πώς λειτουργεί εδώ με έναν περίεργο τρόπο: – στην πραγματικότητα, είναι το τετράγωνο της διαφοράς και, στην πραγματικότητα, έτσι είναι. Όσοι επιθυμούν μπορούν να αναδιατάξουν τα διανύσματα: - συμβαίνει το ίδιο, μέχρι την αναδιάταξη των όρων.

(4) Αυτό που ακολουθεί είναι ήδη γνωστό από τα δύο προηγούμενα προβλήματα.

Απάντηση:

Δεδομένου ότι μιλάμε για μήκος, μην ξεχάσετε να υποδείξετε τη διάσταση - "μονάδες".

Παράδειγμα 6

Να βρείτε το μήκος του διανύσματος αν .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Συνεχίζουμε να συμπιέζουμε χρήσιμα πράγματα από το προϊόν κουκίδων. Ας δούμε ξανά τη φόρμουλα μας . Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αναλογίας, επαναφέρουμε τα μήκη των διανυσμάτων στον παρονομαστή της αριστερής πλευράς:

Ας ανταλλάξουμε τα μέρη:

Ποιο είναι το νόημα αυτού του τύπου; Εάν τα μήκη δύο διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο τους είναι γνωστά, τότε μπορεί να υπολογιστεί το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των διανυσμάτων και, κατά συνέπεια, η ίδια η γωνία.

Το γινόμενο με τελείες είναι αριθμός; Αριθμός. Τα διανυσματικά μήκη είναι αριθμοί; Αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι ένα κλάσμα είναι επίσης ένας αριθμός. Και αν το συνημίτονο της γωνίας είναι γνωστό: , στη συνέχεια χρησιμοποιώντας αντίστροφη συνάρτησηΕίναι εύκολο να βρείτε την ίδια τη γωνία: .

Παράδειγμα 7

Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και αν είναι γνωστό ότι .

Διάλυμα:Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Στο τελικό στάδιο των υπολογισμών, χρησιμοποιήσαμε τεχνική τεχνική– εξάλειψη του παραλογισμού στον παρονομαστή. Για να εξαλείψω τον παραλογισμό, πολλαπλασίασα τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί .

Αν λοιπόν , Αυτό:

Αντίστροφες τιμές τριγωνομετρικές συναρτήσειςμπορεί να βρεθεί από τριγωνομετρικός πίνακας. Αν και αυτό συμβαίνει σπάνια. Σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, πολύ πιο συχνά κάποια αδέξια αρκούδα όπως , και η τιμή της γωνίας πρέπει να βρεθεί περίπου χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Στην πραγματικότητα, θα δούμε μια τέτοια εικόνα περισσότερες από μία φορές.

Απάντηση:

Και πάλι, μην ξεχάσετε να υποδείξετε τις διαστάσεις - ακτίνια και μοίρες. Προσωπικά, για να «λύσω όλα τα ερωτήματα» προφανώς, προτιμώ να αναφέρω και τα δύο (εκτός αν η συνθήκη, φυσικά, απαιτεί την παρουσίαση της απάντησης μόνο σε ακτίνια ή μόνο σε μοίρες).

Τώρα μπορείτε να αντιμετωπίσετε ανεξάρτητα μια πιο περίπλοκη εργασία:

Παράδειγμα 7*

Δίνονται τα μήκη των διανυσμάτων και η μεταξύ τους γωνία. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων , .

Η εργασία δεν είναι τόσο δύσκολη όσο είναι πολλαπλών βημάτων.
Ας δούμε τον αλγόριθμο επίλυσης:

1) Σύμφωνα με την συνθήκη, πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και , επομένως πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο .

2) Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο (βλ. Παραδείγματα Νο. 3, 4).

3) Βρείτε το μήκος του διανύσματος και το μήκος του διανύσματος (βλ. Παραδείγματα Νο. 5, 6).

4) Το τέλος της λύσης συμπίπτει με το Παράδειγμα Νο. 7 - γνωρίζουμε τον αριθμό , πράγμα που σημαίνει ότι είναι εύκολο να βρεθεί η ίδια η γωνία:

Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Η δεύτερη ενότητα του μαθήματος είναι αφιερωμένη στο ίδιο βαθμωτό γινόμενο. Συντεταγμένες. Θα είναι ακόμα πιο εύκολο από ότι στο πρώτο μέρος.

Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων,
δίνονται από συντεταγμένες σε ορθοκανονική βάση

Απάντηση:

Περιττό να πούμε ότι η ενασχόληση με συντεταγμένες είναι πολύ πιο ευχάριστη.

Παράδειγμα 14

Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και αν

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συσχέτιση της πράξης, δηλαδή να μην μετράτε , αλλά να βγάλετε αμέσως το τριπλό έξω από το βαθμωτό γινόμενο και να το πολλαπλασιάσετε με το τελευταίο. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Στο τέλος της ενότητας, ένα προκλητικό παράδειγμα για τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος:

Παράδειγμα 15

Να βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων , Αν

Διάλυμα:Η μέθοδος της προηγούμενης ενότητας προτείνεται ξανά: αλλά υπάρχει και άλλος τρόπος:

Ας βρούμε το διάνυσμα:

Και το μήκος του σύμφωνα με τον ασήμαντο τύπο :

Το βαθμωτό προϊόν δεν είναι καθόλου σχετικό εδώ!

Επίσης δεν είναι χρήσιμο κατά τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος:
Στάση. Δεν πρέπει να εκμεταλλευτούμε την προφανή ιδιότητα του διανυσματικού μήκους; Τι μπορείτε να πείτε για το μήκος του διανύσματος; Αυτό το διάνυσμα 5 φορές μεγαλύτερο από το διάνυσμα. Η κατεύθυνση είναι αντίθετη, αλλά αυτό δεν έχει σημασία, γιατί μιλάμε για μήκος. Προφανώς, το μήκος του διανύσματος είναι ίσο με το γινόμενο μονάδα μέτρησηςαριθμοί ανά διάνυσμα μήκος:
– το σύμβολο συντελεστή «τρώει» το πιθανό μείον του αριθμού.

Ετσι:

Απάντηση:

Τύπος για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων που καθορίζονται με συντεταγμένες

Τώρα έχουμε πλήρη ενημέρωση, έτσι ώστε ο τύπος που προέκυψε προηγουμένως για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων εκφράστε μέσω διανυσματικών συντεταγμένων:

Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των επίπεδων διανυσμάτωνκαι , καθορίζεται στο ορθοκανονική βάση , εκφράζεται με τον τύπο:
.

Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων του χώρου, καθορίζεται σε ορθοκανονική βάση, εκφράζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 16

Δίνονται τρεις κορυφές τριγώνου. Βρείτε (γωνία κορυφής).

Διάλυμα:Σύμφωνα με τις συνθήκες, το σχέδιο δεν απαιτείται, αλλά και πάλι:

Η απαιτούμενη γωνία σημειώνεται με πράσινο τόξο. Ας θυμηθούμε αμέσως τον προσδιορισμό του σχολείου για μια γωνία: – ιδιαίτερη προσοχήεπί μέσοςγράμμα - αυτή είναι η κορυφή της γωνίας που χρειαζόμαστε. Για συντομία, μπορείτε επίσης να γράψετε απλά .

Από το σχέδιο είναι προφανές ότι η γωνία του τριγώνου συμπίπτει με τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και, με άλλα λόγια: .

Συνιστάται να μάθετε να κάνετε την ανάλυση διανοητικά.

Ας βρούμε τα διανύσματα:

Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο:

Και τα μήκη των διανυσμάτων:

Συνημίτονο γωνίας:

Αυτή ακριβώς είναι η σειρά ολοκλήρωσης της εργασίας που προτείνω για τα ανδρείκελα. Οι πιο προχωρημένοι αναγνώστες μπορούν να γράψουν τους υπολογισμούς «σε μία γραμμή»:

Εδώ είναι ένα παράδειγμα μιας "κακής" τιμής συνημιτόνου. Η τιμή που προκύπτει δεν είναι τελική, επομένως δεν έχει νόημα να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Ας βρούμε την ίδια τη γωνία:

Αν κοιτάξετε το σχέδιο, το αποτέλεσμα είναι αρκετά εύλογο. Για έλεγχο, η γωνία μπορεί να μετρηθεί και με μοιρογνωμόνιο. Μην καταστρέψετε το κάλυμμα της οθόνης =)

Απάντηση:

Στην απάντηση δεν το ξεχνάμε αυτό ρώτησε για τη γωνία ενός τριγώνου(και όχι για τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων), μην ξεχάσετε να υποδείξετε την ακριβή απάντηση: και την κατά προσέγγιση τιμή της γωνίας: , βρέθηκε χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Όσοι έχουν απολαύσει τη διαδικασία μπορούν να υπολογίσουν τις γωνίες και να επαληθεύσουν την εγκυρότητα της κανονικής ισότητας

Παράδειγμα 17

Ένα τρίγωνο ορίζεται στο διάστημα από τις συντεταγμένες των κορυφών του. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των πλευρών και

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος

Μια σύντομη τελευταία ενότητα θα αφιερωθεί στις προβολές, οι οποίες περιλαμβάνουν επίσης ένα κλιμακωτό προϊόν:

Προβολή ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα. Προβολή ενός διανύσματος σε άξονες συντεταγμένων.
Συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος

Εξετάστε τα διανύσματα και:

Ας προβάλουμε το διάνυσμα στο διάνυσμα για να το κάνουμε αυτό, παραλείπουμε από την αρχή και το τέλος του διανύσματος κάθετεςσε διάνυσμα (πράσινο διακεκομμένες γραμμές). Φανταστείτε ότι οι ακτίνες φωτός πέφτουν κάθετα πάνω στο διάνυσμα. Τότε το τμήμα (κόκκινη γραμμή) θα είναι η «σκιά» του διανύσματος. Στην περίπτωση αυτή, η προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα είναι το ΜΗΚΟΣ του τμήματος. Δηλαδή η ΠΡΟΒΟΛΗ ΕΙΝΑΙ ΑΡΙΘΜΟΣ.

Αυτός ο ΑΡΙΘΜΟΣ συμβολίζεται ως εξής: , "μεγάλο διάνυσμα" υποδηλώνει το διάνυσμα Ο ΟΠΟΙΟΣέργο, το «διάνυσμα μικρού δείκτη» υποδηλώνει το διάνυσμα ΕΠΙπου προβάλλεται.

Το ίδιο το λήμμα έχει ως εξής: "προβολή του διανύσματος "a" στο διάνυσμα "be".

Τι συμβαίνει εάν το διάνυσμα "be" είναι "πολύ μικρό"; Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή που περιέχει το διάνυσμα "be". Και το διάνυσμα "a" θα προβληθεί ήδη προς την κατεύθυνση του διανύσματος "be", απλά - στην ευθεία που περιέχει το διάνυσμα "be". Το ίδιο πράγμα θα συμβεί εάν το διάνυσμα "a" αναβληθεί στο τριακοστό βασίλειο - θα εξακολουθεί να προβάλλεται εύκολα στην ευθεία γραμμή που περιέχει το διάνυσμα "be".

Αν η γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αρωματώδης(όπως στην εικόνα), λοιπόν

Αν οι φορείς ορθογώνιο, τότε (η προβολή είναι ένα σημείο του οποίου οι διαστάσεις θεωρούνται μηδέν).

Αν η γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αμβλύς(στο σχήμα, αναδιατάξτε διανοητικά το διανυσματικό βέλος), στη συνέχεια (το ίδιο μήκος, αλλά λαμβάνεται με το σύμβολο μείον).

Ας σχεδιάσουμε αυτά τα διανύσματα από ένα σημείο:

Προφανώς, όταν ένα διάνυσμα κινείται, η προβολή του δεν αλλάζει

Θα υπάρξουν επίσης προβλήματα που θα λύσετε μόνοι σας, στα οποία μπορείτε να δείτε τις απαντήσεις.

Εάν στο πρόβλημα τόσο τα μήκη των διανυσμάτων όσο και η μεταξύ τους γωνία παρουσιάζονται «σε μια ασημένια πιατέλα», τότε η κατάσταση του προβλήματος και η λύση του μοιάζουν με αυτό:

Παράδειγμα 1.Δίνονται διανύσματα. Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων εάν τα μήκη τους και η μεταξύ τους γωνία αντιπροσωπεύονται από τις ακόλουθες τιμές:

Ένας άλλος ορισμός είναι επίσης έγκυρος, εντελώς ισοδύναμος με τον ορισμό 1.

Ορισμός 2. Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ένας αριθμός (βαθμωτός) ίσος με το γινόμενο του μήκους ενός από αυτά τα διανύσματα και την προβολή ενός άλλου διανύσματος στον άξονα που καθορίζεται από το πρώτο από αυτά τα διανύσματα. Φόρμουλα σύμφωνα με τον ορισμό 2:

Θα λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο μετά το επόμενο σημαντικό θεωρητικό σημείο.

Ορισμός του βαθμωτού γινόμενου των διανυσμάτων ως προς τις συντεταγμένες

Ο ίδιος αριθμός μπορεί να ληφθεί εάν στα διανύσματα που πολλαπλασιάζονται δοθούν οι συντεταγμένες τους.

Ορισμός 3.Το γινόμενο με τελείες των διανυσμάτων είναι ένας αριθμός ίσος με το άθροισμα των κατά ζεύγη γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων τους.

Σε αεροπλάνο

Αν δύο διανύσματα και στο επίπεδο ορίζονται από τα δύο τους Καρτεσιανές ορθογώνιες συντεταγμένες

τότε το κλιμακωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των κατά ζεύγη γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων τους:

.

Παράδειγμα 2.Να βρείτε την αριθμητική τιμή της προβολής του διανύσματος στον παράλληλο προς το διάνυσμα άξονα.

Διάλυμα. Βρίσκουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων προσθέτοντας τα κατά ζεύγη γινόμενα των συντεταγμένων τους:

Τώρα πρέπει να εξισώσουμε το προκύπτον βαθμωτό γινόμενο με το γινόμενο του μήκους του διανύσματος και την προβολή του διανύσματος σε έναν άξονα παράλληλο προς το διάνυσμα (σύμφωνα με τον τύπο).

Βρείτε το μήκος του διανύσματος ως τετραγωνική ρίζααπό το άθροισμα των τετραγώνων των συντεταγμένων του:

.

Δημιουργούμε μια εξίσωση και τη λύνουμε:

Απάντηση. Η απαιτούμενη αριθμητική τιμή είναι μείον 8.

στο διάστημα

Αν δύο διανύσματα και στο διάστημα ορίζονται από τις τρεις καρτεσιανές ορθογώνιες συντεταγμένες τους

,

τότε το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι επίσης ίσο με το άθροισμα των κατά ζεύγη γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων τους, μόνο που υπάρχουν ήδη τρεις συντεταγμένες:

.

Το έργο της εύρεσης του κλιμακωτού γινομένου με τη χρήση της εξεταζόμενης μεθόδου είναι μετά την ανάλυση των ιδιοτήτων του βαθμωτού προϊόντος. Επειδή στο πρόβλημα θα πρέπει να προσδιορίσετε ποια γωνία σχηματίζουν τα πολλαπλασιασμένα διανύσματα.

Ιδιότητες του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων

Αλγεβρικές ιδιότητες

1. (ανταλλακτική ιδιότητα: η αντιστροφή των θέσεων των πολλαπλασιασμένων διανυσμάτων δεν αλλάζει την τιμή του κλιμακωτού γινόμενου τους).

2. (συνειρμική ιδιότητα σε σχέση με έναν αριθμητικό παράγοντα: το κλιμακωτό γινόμενο ενός διανύσματος πολλαπλασιασμένο με έναν ορισμένο παράγοντα και ενός άλλου διανύσματος είναι ίσο με το κλιμακωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο παράγοντα).

3. (κατανεμητική ιδιότητα σε σχέση με το άθροισμα των διανυσμάτων: το κλιμακωτό γινόμενο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων από το τρίτο διάνυσμα είναι ίσο με το άθροισμα των κλιμακωτών γινομένων του πρώτου διανύσματος από το τρίτο διάνυσμα και του δεύτερου διανύσματος από το τρίτο διάνυσμα).

4. (κλιμακωτό τετράγωνο του διανύσματος μεγαλύτερο από μηδέν), αν είναι μη μηδενικό διάνυσμα και, αν είναι μηδενικό διάνυσμα.

Γεωμετρικές ιδιότητες

Στους ορισμούς της υπό μελέτη πράξης έχουμε ήδη θίξει την έννοια της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων. Ήρθε η ώρα να ξεκαθαρίσουμε αυτή την έννοια.

Στο παραπάνω σχήμα μπορείτε να δείτε δύο διανύσματα που μειώνονται σε γενική αρχή. Και το πρώτο πράγμα που πρέπει να προσέξετε είναι ότι υπάρχουν δύο γωνίες μεταξύ αυτών των διανυσμάτων - φ 1 Και φ 2 . Ποια από αυτές τις γωνίες εμφανίζεται στους ορισμούς και τις ιδιότητες του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων; Το άθροισμα των εξεταζόμενων γωνιών είναι 2 π και επομένως τα συνημίτονα αυτών των γωνιών είναι ίσα. Ο ορισμός του γινόμενου κουκκίδων περιλαμβάνει μόνο το συνημίτονο της γωνίας και όχι την τιμή της έκφρασής του. Αλλά οι ιδιότητες λαμβάνουν υπόψη μόνο μία γωνία. Και αυτή είναι η μία από τις δύο γωνίες που δεν υπερβαίνει π , δηλαδή 180 μοίρες. Στο σχήμα αυτή η γωνία υποδεικνύεται ως φ 1 .

1. Καλούνται δύο διανύσματα ορθογώνιο Και η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι ευθεία (90 μοίρες ή π /2), εάν το κλιμακωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι μηδέν :

.

Η ορθογωνία στη διανυσματική άλγεβρα είναι η καθετότητα δύο διανυσμάτων.

2. Απαρτίζουν δύο μη μηδενικά διανύσματα οξεία γωνία (από 0 έως 90 μοίρες, ή, που είναι το ίδιο - λιγότερο π το προϊόν κουκκίδας είναι θετικό .

3. Απαρτίζουν δύο μη μηδενικά διανύσματα αμβλεία γωνία (από 90 έως 180 μοίρες ή, το ίδιο - περισσότερο π /2) εάν και μόνο εάν αυτοί το προϊόν κουκκίδας είναι αρνητικό .

Παράδειγμα 3.Οι συντεταγμένες δίνονται από τα διανύσματα:

.

Υπολογίστε τα βαθμωτά γινόμενα όλων των ζευγών δεδομένων διανυσμάτων. Ποια γωνία (οξεία, ορθή, αμβλεία) σχηματίζουν αυτά τα ζεύγη διανυσμάτων;

Διάλυμα. Θα υπολογίσουμε προσθέτοντας τα γινόμενα των αντίστοιχων συντεταγμένων.

Πήραμε αρνητικό αριθμό, οπότε τα διανύσματα σχηματίζουν αμβλεία γωνία.

Πήραμε θετικό αριθμό, οπότε τα διανύσματα σχηματίζουν οξεία γωνία.

Πήραμε μηδέν, άρα τα διανύσματα σχηματίζουν ορθή γωνία.

Πήραμε θετικό αριθμό, οπότε τα διανύσματα σχηματίζουν οξεία γωνία.

.

Πήραμε θετικό αριθμό, οπότε τα διανύσματα σχηματίζουν οξεία γωνία.

Για αυτοέλεγχο μπορείτε να χρησιμοποιήσετε online αριθμομηχανή Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας .

Παράδειγμα 4.Δίνοντας τα μήκη δύο διανυσμάτων και τη γωνία μεταξύ τους:

.

Να προσδιορίσετε σε ποια τιμή του αριθμού τα διανύσματα και είναι ορθογώνια (κάθετα).

Διάλυμα. Ας πολλαπλασιάσουμε τα διανύσματα χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων:

Τώρα ας υπολογίσουμε κάθε όρο:

.

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση (το γινόμενο ισούται με μηδέν), προσθέτουμε παρόμοιους όρους και λύνουμε την εξίσωση:

Απάντηση: πήραμε την τιμή λ = 1,8, στο οποίο τα διανύσματα είναι ορθογώνια.

Παράδειγμα 5.Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα ορθογώνιο (κάθετο) στο διάνυσμα

Διάλυμα. Για να ελέγξουμε την ορθογωνικότητα, πολλαπλασιάζουμε τα διανύσματα και ως πολυώνυμα, αντικαθιστώντας την έκφραση που δίνεται στη δήλωση προβλήματος:

.

Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο (όρος) του πρώτου πολυωνύμου με κάθε όρο του δεύτερου και να προσθέσετε τα προκύπτοντα γινόμενα:

.

Στο αποτέλεσμα που προκύπτει, το κλάσμα μειώνεται κατά. Προκύπτει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

Συμπέρασμα: ως αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού έχουμε μηδέν, επομένως, αποδεικνύεται η ορθογωνικότητα (καθετότητα) των διανυσμάτων.

Λύστε το πρόβλημα μόνοι σας και μετά δείτε τη λύση

Παράδειγμα 6.Τα μήκη των διανυσμάτων και δίνονται, και η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι π /4. Προσδιορίστε σε ποια τιμή μ διανύσματα και είναι αμοιβαία κάθετα.

Για αυτοέλεγχο μπορείτε να χρησιμοποιήσετε online αριθμομηχανή Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας .

Αναπαράσταση μήτρας του γινομένου κουκίδων των διανυσμάτων και του γινόμενου διανυσμάτων ν-διάστατων

Μερικές φορές είναι πλεονεκτικό για τη σαφήνεια να αναπαριστούν δύο πολλαπλασιασμένα διανύσματα με τη μορφή πινάκων. Στη συνέχεια, το πρώτο διάνυσμα αντιπροσωπεύεται ως πίνακας γραμμής και το δεύτερο - ως πίνακας στήλης:

Τότε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων θα είναι το γινόμενο αυτών των πινάκων :

Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με αυτό που προκύπτει με τη μέθοδο που έχουμε ήδη εξετάσει. Πήραμε έναν μοναδικό αριθμό και το γινόμενο ενός πίνακα σειρών από έναν πίνακα στήλης είναι επίσης ένας απλός αριθμός.

ΣΕ μορφή μήτραςΕίναι βολικό να αναπαραστήσουμε το γινόμενο αφηρημένων ν-διαστάσεων διανυσμάτων. Έτσι, το γινόμενο δύο τετραδιάστατων διανυσμάτων θα είναι το γινόμενο ενός πίνακα σειρών με τέσσερα στοιχεία από έναν πίνακα στήλης επίσης με τέσσερα στοιχεία, το γινόμενο δύο πενταδιάστατων διανυσμάτων θα είναι το γινόμενο ενός πίνακα σειρών με πέντε στοιχεία κατά έναν πίνακα στήλης επίσης με πέντε στοιχεία, και ούτω καθεξής.

Παράδειγμα 7.Βρείτε κλιμακωτά γινόμενα ζευγών διανυσμάτων

,

χρησιμοποιώντας αναπαράσταση μήτρας.

Διάλυμα. Το πρώτο ζεύγος διανυσμάτων. Αντιπροσωπεύουμε το πρώτο διάνυσμα ως πίνακα γραμμής και το δεύτερο ως πίνακα στήλης. Βρίσκουμε το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων ως το γινόμενο ενός πίνακα σειρών και ενός πίνακα στηλών:

Ομοίως αντιπροσωπεύουμε το δεύτερο ζεύγος και βρίσκουμε:

Όπως μπορείτε να δείτε, τα αποτελέσματα ήταν τα ίδια με τα ίδια ζεύγη από το παράδειγμα 2.

Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Η παραγωγή του τύπου για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων είναι πολύ όμορφη και συνοπτική.

Για να εκφράσετε το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων

(1)

σε μορφή συντεταγμένων, βρίσκουμε πρώτα το βαθμωτό γινόμενο των μοναδιαίων διανυσμάτων. Το κλιμακωτό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του εξ ορισμού:

Αυτό που γράφεται στον παραπάνω τύπο σημαίνει: το κλιμακωτό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους του. Το συνημίτονο του μηδέν είναι ίσο με ένα, άρα το τετράγωνο κάθε μονάδας θα είναι ίσο με ένα:

Δεδομένου ότι οι φορείς

είναι κατά ζεύγη κάθετες, τότε τα κατά ζεύγη γινόμενα των μοναδιαίων διανυσμάτων θα είναι ίσα με μηδέν:

Τώρα ας εκτελέσουμε τον πολλαπλασιασμό των διανυσματικών πολυωνύμων:

Αντικαθιστούμε τις τιμές των αντίστοιχων βαθμωτών γινομένων των μοναδιαίων διανυσμάτων στη δεξιά πλευρά της ισότητας:

Λαμβάνουμε τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων:

Παράδειγμα 8.Δίνονται τρεις βαθμοί ΕΝΑ(1;1;1), σι(2;2;1), ντο(2;1;2).

Βρείτε τη γωνία.

Διάλυμα. Εύρεση των συντεταγμένων των διανυσμάτων:

,

.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο συνημιτόνου γωνίας παίρνουμε:

Ως εκ τούτου, .

Για αυτοέλεγχο μπορείτε να χρησιμοποιήσετε online αριθμομηχανή Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας .

Παράδειγμα 9.Δίνονται δύο διανύσματα

Βρείτε το άθροισμα, τη διαφορά, το μήκος, το γινόμενο κουκίδων και τη γωνία μεταξύ τους.