Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα εξοικειωθείτε με την έννοια του επιπέδου, με διάφορα ελάχιστα σχήματα που υπάρχουν στη γεωμετρία και θα μελετήσετε τις ιδιότητές τους. Μάθετε τι είναι η ευθεία γραμμή, το τμήμα, η ακτίνα, η γωνία κ.λπ.
Ολα γεωμετρικά σχήματασχεδιάζουμε σε ένα χαρτί με ένα μολύβι, επάνω ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΧΟΛΕΙΟΥκιμωλία ή μαρκαδόρο. Συχνά το καλοκαίρι σχεδιάζουμε φιγούρες στην άσφαλτο με κιμωλία ή λευκό βότσαλο. Και πάντα, πριν αρχίσουμε να σχεδιάζουμε αυτό που έχουμε σχεδιάσει, αξιολογούμε αν έχουμε αρκετό χώρο. Και επειδή σπάνια γνωρίζουμε τις ακριβείς διαστάσεις του μελλοντικού μας σχεδίου, πρέπει πάντα να παίρνουμε χώρο με περιθώριο, και κατά προτίμηση με μεγάλο περιθώριο. Συνήθως δεν φοβόμαστε μήπως τελειώσει ο χώρος για να σχεδιάσουμε εάν το πεδίο που πρέπει να σχεδιάσουμε είναι πολλές φορές μεγαλύτερο από το ίδιο το σχέδιο. Άρα υπάρχει αρκετή άσφαλτος στην αυλή για να δημιουργηθεί ένα γήπεδο άλματος. Φύλλο σημειωματάριουαρκετά για να σχεδιάσετε δύο τεμνόμενα τμήματα στη μέση.
Στα μαθηματικά, το πεδίο στο οποίο απεικονίζουμε τα πάντα είναι ένα επίπεδο (Εικ. 1).
Ρύζι. 1. Αεροπλάνο
Έχει δύο ιδιότητες:
1. Μπορείτε να απεικονίσετε οποιαδήποτε φιγούρα για την οποία έχουμε ήδη μιλήσει ή θα μιλήσουμε ξανά.
2. Δεν θα φτάσουμε στην άκρη. Οι διαστάσεις του μπορούν να θεωρηθούν πολύ μεγαλύτερες από τις διαστάσεις της εικόνας.
Το γεγονός ότι δεν φτάνουμε ποτέ στην άκρη του επιπέδου μπορεί να γίνει κατανοητό ως η απουσία άκρων. Δεν χρειαζόμαστε τις άκρες του, επομένως συμφωνήσαμε να υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν (Εικ. 2).
Ρύζι. 2. Το αεροπλάνο είναι άπειρο
Με αυτή την έννοια, το επίπεδο είναι άπειρο προς οποιαδήποτε κατεύθυνση.
Μπορούμε να το σκεφτούμε ως μεγάλο φύλλοχαρτί, μια μεγάλη επίπεδη επιφάνεια ασφάλτου ή ένα τεράστιο χαρτόνι.
Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός γεωμετρικών σχημάτων και είναι απολύτως αδύνατο να τα μελετήσουμε όλα. Αλλά η γεωμετρία είναι δομημένη σαν ένα σύνολο κατασκευής. Υπάρχουν διάφοροι τύποι βασικών εξαρτημάτων από τα οποία μπορείτε να κατασκευάσετε οτιδήποτε άλλο, οποιοδήποτε πιο περίπλοκο κτίριο.
Αυτή η αρχή μπορεί να συγκριθεί με λέξεις και γράμματα: γνωρίζουμε όλα τα γράμματα, αλλά δεν γνωρίζουμε όλες τις λέξεις. Όταν συναντάμε μια άγνωστη λέξη, μπορούμε να τη διαβάσουμε γιατί ξέρουμε πώς γράφονται τα γράμματα και πώς προφέρονται οι αντίστοιχοι ήχοι.
Είναι το ίδιο και στα μαθηματικά - υπάρχουν πολύ λίγα βασικά γεωμετρικά σχήματα που εσείς και εγώ πρέπει να γνωρίζουμε καλά.
Ας εξετάσουμε ένα τμήμα (Εικ. 3). Ένα τμήμα είναι συντομότερη γραμμή, συνδέοντας δύο σημεία.
Ρύζι. 3. Τμήμα
Ας συνεχίσουμε το τμήμα και προς τις δύο κατευθύνσεις στο άπειρο. Θα συνεχίσουμε επίσης ευθεία.
Τι σημαίνει «ευθεία»; Ας εξετάσουμε τα τμήματα και (Εικ. 4).
Ρύζι. 4. Τμήματα και
Ας τα συνεχίσουμε και προς τις δύο κατευθύνσεις. Η επάνω γραμμή είναι ευθεία, αλλά η κάτω γραμμή δεν είναι (Εικ. 5).
Ας προσθέσουμε έναν ακόμη πόντο στην επάνω και την κάτω γραμμή (Εικ. 6). Το τμήμα της άνω γραμμής μεταξύ των σημείων είναι επίσης τμήμα, αλλά το τμήμα της κάτω γραμμής μεταξύ των σημείων και του τμήματος δεν είναι, καθώς δεν συνδέει αυτά τα σημεία κατά μήκος της συντομότερης διαδρομής.
Ρύζι. 6. Συνέχιση γραμμών και
Ευθεία είναι μια ευθεία που συνεχίζεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις, κάθε τμήμα της οποίας, περιοριζόμενο από δύο σημεία, είναι τμήμα.
Μια ευθεία γραμμή είναι ένας τύπος γραμμής, και όπως κάθε γραμμή, μια ευθεία είναι ένα σχήμα. Και, όπως για κάθε γραμμή, ένα δεδομένο σημείο είτε ανήκει σε μια δεδομένη γραμμή είτε όχι (Εικ. 7).
Ρύζι. 7. Σημεία και που ανήκουν σε μια γραμμή, και σημεία και δεν ανήκουν σε μια γραμμή
1. Μια ευθεία γραμμή χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη, σε δύο ημιεπίπεδα. Στο σχήμα 8, τα σημεία και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο και και - σε διαφορετικά ημιεπίπεδα.
Ρύζι. 8. Δύο ημι-επίπεδα
2. Μπορείτε πάντα να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή μέσα από δύο σημεία και μόνο ένα (Εικ. 9).
Μια ευθεία γραμμή, όπως κάθε γραμμή, μπορεί να σημειωθεί με ένα πεζό γράμμα του λατινικού αλφαβήτου ή μια ακολουθία σημείων που βρίσκονται πάνω της. Για να ορίσετε μια γραμμή μέσα από τα σημεία που βρίσκονται πάνω της, αρκούν δύο σημεία.
Επεκτείνοντας το τμήμα και προς τις δύο κατευθύνσεις στο άπειρο, έχουμε μια ευθεία γραμμή. Εάν επεκτείνουμε επίσης το τμήμα, αλλά μόνο προς μία κατεύθυνση στο άπειρο, παίρνουμε ένα σχήμα που ονομάζεται ακτίνα (Εικ. 10). Αυτό γεωμετρική δέσμηπολύ παρόμοια με μια δέσμη φωτός, γι' αυτό και ονομάζεται έτσι. Εάν σηκώσετε έναν δείκτη λέιζερ, η δέσμη φωτός θα ξεκινήσει από τον δείκτη και θα πάει στο άπειρο σε ευθεία γραμμή.
Ρύζι. 10. Δοκός
Το σημείο ονομάζεται αρχή της ακτίνας. Η ακτίνα υποδεικνύεται.
Εάν σημειώσετε ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή, τότε χωρίζει αυτήν την ευθεία σε δύο ακτίνες (Εικ. 11). Και οι δύο ακτίνες προέρχονται από το σημείο , αλλά κατευθύνονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Αυτές οι δύο ακτίνες αποτελούν μια ευθεία γραμμή και είναι τα μισά της. Ως εκ τούτου, η δέσμη συχνά ονομάζεται επίσης "μισή άμεση".
Ρύζι. 11. Ένα σημείο χωρίζει μια ευθεία σε δύο ακτίνες
Εξετάστε το σχήμα 12.
Ρύζι. 12. Τμήμα, ευθεία γραμμή και ακτίνα
Ας δούμε πώς ένα τμήμα, μια ευθεία γραμμή και μια ακτίνα είναι παρόμοια και ανόμοια μεταξύ τους:
Το τμήμα και η δοκός μπορούν εύκολα να συμπληρωθούν σε μια ευθεία γραμμή για αυτό, το τμήμα πρέπει να επεκταθεί και στις δύο κατευθύνσεις και η δέσμη προς μία κατεύθυνση.
Μπορείτε πάντα να επιλέξετε ένα τμήμα ή μια ακτίνα σε ευθεία γραμμή.
Το σημείο χωρίζει τη γραμμή σε δύο ακτίνες, σε δύο ημι-γραμμές.
Σημεία και όριο σε ευθύ τμήμα.
Όλα αυτά τα σχήματα: ένα τμήμα, μια ακτίνα, μια ευθεία είναι "ευθείες γραμμές". Διαφέρουν ως προς την παρουσία άκρων. Ένα τμήμα έχει δύο, μια ακτίνα έχει ένα και μια ευθεία δεν έχει κανένα. Ένας άλλος τρόπος για να το θέσουμε είναι ο εξής: τόσο η ακτίνα όσο και το τμήμα αποτελούν μέρος μιας ευθείας γραμμής.
Γνωρίζουμε ότι ένα τμήμα μπορεί να μετρήσει το μήκος του. Δύο τμήματα μπορούν να συγκριθούν για να μάθουμε ποιο είναι μεγαλύτερο.
Η ευθεία συνεχίζεται επ' αόριστον και προς τις δύο κατευθύνσεις, η ακτίνα συνεχίζει προς μία κατεύθυνση. Για το λόγο αυτό, είναι αδύνατο να μετρηθεί το μήκος μιας ευθείας γραμμής ή μιας δοκού, και είναι επίσης αδύνατο να συγκριθεί το μήκος δύο ευθειών ή δύο δοκών. Είναι όλα εξίσου άπειρα.
Δύο ακτίνες, που έχουν την αρχή τους στο ίδιο σημείο, σχηματίζουν ένα άλλο γεωμετρικό σχήμα από το κύριο σύνολο - μια γωνία. Το σημείο στην αρχή και των δύο ακτίνων ονομάζεται κορυφή της γωνίας. Οι ίδιες οι ακτίνες ονομάζονται πλευρές της γωνίας.
Έτσι, μια γωνία είναι ένα σχήμα που αποτελείται από δύο ακτίνες που αναδύονται από ένα σημείο (Εικ. 13).
Ρύζι. 13. Γωνία
Η γωνία ορίζεται με ένα γράμμα που αντιστοιχεί στον προσδιορισμό της κορυφής. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηη γωνία μπορεί να ονομαστεί γωνία (Εικ. 14). Για να καταστεί σαφές ότι μιλάμε για γωνία και όχι για σημείο, πριν από το όνομά του πρέπει να γράψετε τη λέξη "γωνία" ή να βάλετε ένα ειδικό σημάδι γωνίας ("").
Ρύζι. 14. Γωνία
Εάν είναι δύσκολο να καταλάβετε από την κορυφή για ποια γωνία μιλάμε, όπως στο σχήμα 15, τότε χρησιμοποιήστε δύο ακόμη σημεία και στις δύο πλευρές της γωνίας.
Αν ονομάσουμε απλώς τη γωνία σε αυτό το σχήμα, δεν είναι ξεκάθαρο για τι ακριβώς μιλάμε, γιατί με την κορυφή σε ένα σημείο βλέπουμε πολλές γωνίες. Επομένως, θα προσθέσουμε ένα σημείο στις πλευρές της γωνίας που χρειαζόμαστε και θα συμβολίσουμε τη γωνία ως (Εικ. 15).
Ρύζι. 15. Γωνία
Κατά τον ορισμό, μπορείτε να πάτε προς την αντίθετη κατεύθυνση, αλλά έτσι ώστε η κορυφή να καταλήγει και πάλι στη μέση της σημειογραφίας.
Ένας άλλος κοινός προσδιορισμός είναι με ένα ελληνικό γράμμα: άλφα, βήτα, γάμμα, και ούτω καθεξής (Εικ. 16). Σε αυτή την περίπτωση, το γράμμα γράφεται συνήθως μέσα στη γωνία (Εικ. 17).
Ρύζι. 16. Ελληνικό αλφάβητο
Ρύζι. 17. Το όνομα της γωνίας που γράφεται μέσα στη γωνία
Έτσι, στο Σχήμα 18, οι χαρακτηρισμοί , , είναι ισοδύναμοι και δηλώνουν την ίδια γωνία.
Ρύζι. 18... - ίδια γωνία
Ας τέμνονται δύο ευθείες σε ένα σημείο (Εικ. 19). Το σημείο χωρίζει κάθε γραμμή σε δύο ακτίνες, δηλαδή 4 ακτίνες συνολικά. Κάθε ζεύγος ακτίνων θέτει μια γωνία.
Ρύζι. 19. Ευθεία και σχηματίστε 4 δοκάρια
Για παράδειγμα, , , .
Μέσα από δύο σημεία μπορείτε πάντα να τραβήξετε μια ευθεία γραμμή. Αυτό συμβαίνει με τις τρεις τελείες;
Στο Σχήμα 20 μπορείτε να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή σε τρία σημεία, αλλά στο Σχήμα 21 δεν μπορείτε.
Ρύζι. 20. Μέσα από τρία σημεία μπορείτε να τραβήξετε μια ευθεία γραμμή
Ρύζι. 21. Δεν μπορείτε να χαράξετε μια ευθεία γραμμή μέσα από τρία σημεία
Τρία σημεία στο σχήμα λέγεται ότι βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αυτό λέγεται ακόμη κι αν η ίδια η ευθεία δεν είναι σχεδιασμένη, υπονοώντας απλώς ότι μπορεί να σχεδιαστεί. Στη δεύτερη περίπτωση, λένε ότι τα σημεία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, υπονοώντας ότι είναι αδύνατο να τραβήξουμε μια γραμμή και στα τρία σημεία.
Αν συνδέσουμε διαδοχικά πρώτα το 1ο και το 2ο σημείο, μετά το 2ο και το 3ο, τότε η γραμμή που προκύπτει ονομάζεται διακεκομμένη γραμμή (Εικ. 22). Το όνομα προκύπτει από την εμφάνισή του.
Ρύζι. 22. Σπασμένο
Παρόμοια με μια πολύγραμμη, μπορείτε να συνδέσετε οποιονδήποτε αριθμό σημείων. Τα σημεία , , , , λέγονται κορυφές της διακεκομμένης ευθείας, τα τμήματα , , , λέγονται σύνδεσμοι της διακεκομμένης ευθείας.
Μια διακεκομμένη γραμμή υποδεικνύεται από τις κορυφές της.
Ρύζι. 23. Σπασμένο
Εάν το τελευταίο σημείο συνδέεται με το πρώτο, τότε η διακεκομμένη γραμμή που προκύπτει ονομάζεται κλειστή (Εικ. 24).
Ρύζι. 24. Κλειστή πολυγραμμή
Με τι είδους πολυγραμμή μπορεί να κατασκευαστεί ελάχιστο σετκορυφές και συνδέσμους; Εάν υπάρχουν δύο σημεία, τότε μπορούν να συνδεθούν με ένα τμήμα. Αυτό θα είναι το περισσότερο απλό παράδειγμαδιακεκομμένη γραμμή: δύο κορυφές και ένας σύνδεσμος που τις συνδέει. Μπορούμε να πούμε ότι ένα τμήμα είναι μια ελάχιστη διακεκομμένη γραμμή.
Εάν απαιτείται η διακεκομμένη γραμμή να είναι κλειστή, τότε η απλούστερη τέτοια διακεκομμένη γραμμή θα είναι ένα τρίγωνο. Εάν πάρετε δύο σημεία, τότε μπορείτε να συνδέσετε το τελευταίο σημείο με το πρώτο μόνο με το ίδιο τμήμα που υπάρχει ήδη. Δηλαδή, η διακεκομμένη γραμμή θα παραμείνει, όπως και πριν, ανοιχτή. Και αν προσθέσετε ένα ακόμη σημείο που δεν βρίσκεται στην ίδια ευθεία με τα σημεία και συνδέσετε όλα τα σημεία με τρία τμήματα, θα έχετε ένα τρίγωνο (Εικ. 25).
Ρύζι. 25. Τρίγωνο
Ένα τρίγωνο είναι μια κλειστή διακεκομμένη γραμμή με τρεις κορυφές. Ή ακόμα και έτσι: ένα τρίγωνο είναι μια ελάχιστη κλειστή διακεκομμένη γραμμή.
Σημεία , και είναι οι κορυφές του τριγώνου. Τα τμήματα που τα συνδέουν, οι σύνδεσμοι της διακεκομμένης γραμμής, ονομάζονται πλευρές του τριγώνου.
Ένα τρίγωνο χαρακτηρίζεται από τις κορυφές του. Για παράδειγμα, . Πριν από την ονομασία πρέπει να βάλετε τη λέξη "τρίγωνο" ή ένα ειδικό σύμβολο τριγώνου ("").
Ένα τρίγωνο συνεπάγεται τρεις γωνίες. Από κάθε μια από τις κορυφές προέρχονται δύο πλευρές, δηλαδή οι πλευρές του τριγώνου είναι οι πλευρές των γωνιών (Εικ. 26).
Ρύζι. 26. Γωνίες τριγώνου
Έτσι, ένα τρίγωνο έχει τρεις κορυφές (τρία σημεία και), τρεις πλευρές (τρία τμήματα και).
Θα εξετάσουμε κάθε ένα από τα θέματα και στο τέλος θα υπάρξουν τεστ για τα θέματα.
Σημείο στα μαθηματικά
Τι είναι ένα σημείο στα μαθηματικά; Ένα μαθηματικό σημείο δεν έχει διαστάσεις και χαρακτηρίζεται με κεφαλαία λατινικά γράμματα: A, B, C, D, F, κ.λπ.
Στο σχήμα μπορείτε να δείτε μια εικόνα των σημείων A, B, C, D, F, E, M, T, S.
Τμήμα στα μαθηματικά
Τι είναι ένα τμήμα στα μαθηματικά; Στα μαθήματα των μαθηματικών μπορείτε να ακούσετε την ακόλουθη εξήγηση: ένα μαθηματικό τμήμα έχει μήκος και τελειώνει. Ένα τμήμα στα μαθηματικά είναι το σύνολο όλων των σημείων που βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή μεταξύ των άκρων του τμήματος. Τα άκρα του τμήματος είναι δύο οριακά σημεία.
Στο σχήμα βλέπουμε τα εξής: τμήματα ,,,, και , καθώς και δύο σημεία B και S.
Άμεσα στα μαθηματικά
Τι είναι η ευθεία γραμμή στα μαθηματικά; Ο ορισμός της ευθείας γραμμής στα μαθηματικά είναι ότι μια ευθεία δεν έχει άκρα και μπορεί να συνεχίσει και προς τις δύο κατευθύνσεις επ' αόριστον. Μια ευθεία στα μαθηματικά συμβολίζεται με οποιαδήποτε δύο σημεία σε μια ευθεία. Για να εξηγήσετε την έννοια της ευθείας σε έναν μαθητή, μπορείτε να πείτε ότι μια ευθεία είναι ένα τμήμα που δεν έχει δύο άκρα.
Το σχήμα δείχνει δύο ευθείες γραμμές: CD και EF.
Δέσμη στα μαθηματικά
Τι είναι μια ακτίνα; Ορισμός ακτίνας στα μαθηματικά: ακτίνα είναι ένα μέρος μιας γραμμής που έχει αρχή και δεν έχει τέλος. Το όνομα της δέσμης περιέχει δύο γράμματα, για παράδειγμα, DC. Επιπλέον, το πρώτο γράμμα δείχνει πάντα το σημείο εκκίνησης της δέσμης, επομένως τα γράμματα δεν μπορούν να αλλάξουν.
Το σχήμα δείχνει τις ακτίνες: DC, KC, EF, MT, MS. Οι δοκοί KC και KD είναι μία δοκός, γιατί έχουν κοινή καταγωγή.
Αριθμητική γραμμή στα μαθηματικά
Ορισμός αριθμητικής γραμμής στα μαθηματικά: μια ευθεία της οποίας τα σημεία σημειώνουν αριθμούς ονομάζεται αριθμητική γραμμή.
Το σχήμα δείχνει την αριθμητική γραμμή, καθώς και τις ακτίνες OD και ED
Σε αυτό το άρθρο θα σταθούμε λεπτομερώς σε μια από τις κύριες έννοιες της γεωμετρίας - την έννοια της ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο. Αρχικά, ας ορίσουμε τους βασικούς όρους και ονομασίες. Στη συνέχεια, θα συζητήσουμε τη σχετική θέση μιας ευθείας και ενός σημείου, καθώς και δύο ευθειών σε ένα επίπεδο και θα παρουσιάσουμε τα απαραίτητα αξιώματα. Συμπερασματικά, θα εξετάσουμε τρόπους για να ορίσουμε μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο και θα παρέχουμε γραφικές απεικονίσεις.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Η ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο είναι μια έννοια.
Πριν δώσετε την έννοια της ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο, θα πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι είναι ένα επίπεδο. Έννοια ενός αεροπλάνουσας επιτρέπει να αποκτήσετε, για παράδειγμα, μια επίπεδη επιφάνεια σε ένα τραπέζι ή έναν τοίχο στο σπίτι. Θα πρέπει, ωστόσο, να ληφθεί υπόψη ότι οι διαστάσεις του τραπεζιού είναι περιορισμένες και το επίπεδο εκτείνεται πέρα από αυτά τα όρια στο άπειρο (σαν να είχαμε ένα αυθαίρετα μεγάλο τραπέζι).
Αν πάρουμε ένα καλά ακονισμένο μολύβι και αγγίξουμε την άκρη του στην επιφάνεια του «τραπεζιού», θα έχουμε μια εικόνα ενός σημείου. Έτσι φτάνουμε αναπαράσταση ενός σημείου σε ένα επίπεδο.
Τώρα μπορείτε να προχωρήσετε σε η έννοια της ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο.
Τοποθετήστε ένα φύλλο καθαρού χαρτιού στην επιφάνεια του τραπεζιού (σε ένα αεροπλάνο). Για να τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή, πρέπει να πάρουμε έναν χάρακα και να σχεδιάσουμε μια γραμμή με ένα μολύβι όσο μας επιτρέπει το μέγεθος του χάρακα και του φύλλου χαρτιού που χρησιμοποιούμε. Σημειωτέον ότι με αυτόν τον τρόπο θα πάρουμε μόνο μέρος της γραμμής. Μπορούμε μόνο να φανταστούμε μια ολόκληρη ευθεία γραμμή που εκτείνεται στο άπειρο.
Η σχετική θέση μιας ευθείας και ενός σημείου.
Θα πρέπει να ξεκινήσουμε με το αξίωμα: σε κάθε ευθεία γραμμή και σε κάθε επίπεδο υπάρχουν σημεία.
Τα σημεία συνήθως συμβολίζονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα, για παράδειγμα, τα σημεία Α και F. Με τη σειρά τους, οι ευθείες γραμμές σημειώνονται με μικρά λατινικά γράμματα, για παράδειγμα, ευθείες γραμμές a και d.
Δυνατόν δύο επιλογές σχετική θέσηευθεία γραμμή και σημεία στο επίπεδο: είτε το σημείο βρίσκεται στη γραμμή (σε αυτήν την περίπτωση λέγεται επίσης ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο), είτε το σημείο δεν βρίσκεται στη γραμμή (λέγεται επίσης ότι το σημείο δεν ανήκει στη γραμμή ή στο η γραμμή δεν διέρχεται από το σημείο).
Για να υποδείξετε ότι ένα σημείο ανήκει σε μια συγκεκριμένη γραμμή, χρησιμοποιήστε το σύμβολο "". Για παράδειγμα, αν το σημείο Α βρίσκεται στην ευθεία a, τότε μπορούμε να γράψουμε . Αν το σημείο Α δεν ανήκει στην ευθεία α, τότε γράψτε .
Η ακόλουθη πρόταση ισχύει: υπάρχει μόνο μία ευθεία που διέρχεται από οποιαδήποτε δύο σημεία.
Αυτή η δήλωση είναι αξίωμα και πρέπει να γίνει αποδεκτή ως γεγονός. Επιπλέον, αυτό είναι αρκετά προφανές: σημειώνουμε δύο σημεία σε χαρτί, εφαρμόζουμε έναν χάρακα σε αυτά και σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή. Μια ευθεία που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία (για παράδειγμα, από τα σημεία Α και Β) μπορεί να συμβολιστεί με αυτά τα δύο γράμματα (στην περίπτωσή μας, ευθεία ΑΒ ή ΒΑ).
Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι σε μια ευθεία γραμμή που ορίζεται σε ένα επίπεδο υπάρχουν άπειρα πολλά διαφορετικά σημεία και όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Αυτή η δήλωση καθορίζεται από το αξίωμα: εάν δύο σημεία μιας ευθείας βρίσκονται σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο, τότε όλα τα σημεία αυτής της ευθείας βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο.
Το σύνολο όλων των σημείων που βρίσκονται ανάμεσα σε δύο σημεία που δίνονται σε μια ευθεία, μαζί με αυτά τα σημεία, ονομάζεται ευθύγραμμο τμήμαή απλά τμήμα. Τα σημεία που περιορίζουν το τμήμα ονομάζονται άκρα του τμήματος. Ένα τμήμα συμβολίζεται με δύο γράμματα που αντιστοιχούν στα τελικά σημεία του τμήματος. Για παράδειγμα, έστω τα σημεία Α και Β τα άκρα ενός τμήματος, τότε αυτό το τμήμα μπορεί να χαρακτηριστεί ΑΒ ή ΒΑ. Λάβετε υπόψη ότι αυτός ο προσδιορισμός για ένα τμήμα συμπίπτει με τον προσδιορισμό για μια ευθεία γραμμή. Για να αποφευχθεί η σύγχυση, συνιστούμε να προσθέσετε τη λέξη "τμήμα" ή "ευθεία" στον προσδιορισμό.
Για να καταγράψετε εν συντομία εάν ένα συγκεκριμένο σημείο ανήκει ή όχι σε ένα συγκεκριμένο τμήμα, χρησιμοποιούνται τα ίδια σύμβολα και. Για να δείξετε ότι ένα συγκεκριμένο τμήμα βρίσκεται ή όχι σε μια γραμμή, χρησιμοποιήστε τα σύμβολα και, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, εάν το τμήμα AB ανήκει στη γραμμή a, μπορείτε να γράψετε σύντομα .
Θα πρέπει επίσης να σταθούμε στην περίπτωση που τρία διαφορετικά σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία. Σε αυτή την περίπτωση, ένα και μόνο ένα σημείο βρίσκεται ανάμεσα στα άλλα δύο. Αυτή η δήλωση είναι ένα άλλο αξίωμα. Έστω τα σημεία Α, Β και Γ να βρίσκονται στην ίδια ευθεία και το σημείο Β να βρίσκεται μεταξύ των σημείων Α και Γ. Τότε μπορούμε να πούμε ότι τα σημεία Α και Γ βρίσκονται στις αντίθετες πλευρές του σημείου Β. Μπορούμε επίσης να πούμε ότι τα σημεία Β και Γ βρίσκονται στην ίδια πλευρά του σημείου Α και τα σημεία Α και Β βρίσκονται στην ίδια πλευρά του σημείου Γ.
Για να ολοκληρώσουμε την εικόνα, σημειώνουμε ότι οποιοδήποτε σημείο σε μια γραμμή χωρίζει αυτή τη γραμμή σε δύο μέρη - δύο δέσμη. Για αυτήν την περίπτωση, δίνεται ένα αξίωμα: ένα αυθαίρετο σημείο Ο, που ανήκει σε μια ευθεία, διαιρεί αυτήν την ευθεία σε δύο ακτίνες και οποιαδήποτε δύο σημεία μιας ακτίνας βρίσκονται στην ίδια πλευρά του σημείου Ο και οποιαδήποτε δύο σημεία διαφορετικών ακτίνων βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του σημείου Ο.
Η σχετική θέση των γραμμών σε ένα επίπεδο.
Τώρα ας απαντήσουμε στην ερώτηση: "Πώς μπορούν δύο ευθείες γραμμές να βρίσκονται σε ένα επίπεδο η μία σε σχέση με την άλλη;"
Πρώτον, δύο ευθείες γραμμές σε ένα αεροπλάνο μπορεί συμπίπτω.
Αυτό είναι δυνατό όταν οι γραμμές έχουν τουλάχιστον δύο κοινά σημεία. Πράγματι, δυνάμει του αξιώματος που αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, υπάρχει μόνο μία ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία. Με άλλα λόγια, αν δύο ευθείες διέρχονται από δύο δεδομένα σημεία, τότε συμπίπτουν.
Δεύτερον, δύο ευθείες γραμμές σε ένα αεροπλάνο μπορεί σταυρός.
Σε αυτή την περίπτωση, οι ευθείες έχουν ένα κοινό σημείο, το οποίο ονομάζεται σημείο τομής των ευθειών. Η τομή των γραμμών συμβολίζεται με το σύμβολο «», για παράδειγμα, η καταχώρηση σημαίνει ότι οι ευθείες a και b τέμνονται στο σημείο M. Οι τεμνόμενες γραμμές μας οδηγούν στην έννοια της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Ξεχωριστά, αξίζει να εξεταστεί η θέση των ευθειών γραμμών σε ένα επίπεδο όταν η γωνία μεταξύ τους είναι ενενήντα μοίρες. Σε αυτή την περίπτωση, οι γραμμές καλούνται κάθετος(προτείνουμε το άρθρο κάθετες γραμμές, καθετότητα γραμμών). Εάν η γραμμή α είναι κάθετη στη γραμμή β, τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί σύντομη σημειογραφία.
Τρίτον, δύο ευθείες σε ένα επίπεδο μπορούν να είναι παράλληλες.
Από πρακτική άποψη, είναι βολικό να εξετάσουμε μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο μαζί με διανύσματα. Ιδιαίτερο νόημαέχουν μη μηδενικά διανύσματα που βρίσκονται σε μια δεδομένη ευθεία ή σε οποιαδήποτε από τις παράλληλες ευθείες, ονομάζονται κατευθυντικά διανύσματα μιας ευθείας γραμμής. Το άρθρο Κατευθύνοντας διάνυσμα ευθείας γραμμής σε επίπεδο δίνει παραδείγματα κατευθυνόμενων διανυσμάτων και δείχνει επιλογές για τη χρήση τους στην επίλυση προβλημάτων.
Θα πρέπει επίσης να δώσετε προσοχή σε μη μηδενικά διανύσματα που βρίσκονται σε οποιαδήποτε από τις ευθείες κάθετες σε αυτήν. Τέτοια διανύσματα ονομάζονται διανύσματα κανονικής γραμμής. Η χρήση διανυσμάτων κανονικής γραμμής περιγράφεται στο άρθρο Διάνυσμα κανονικής γραμμής σε επίπεδο.
Όταν δίνονται τρεις ή περισσότερες ευθείες σε ένα επίπεδο, τότε προκύπτει ένα σύνολο διάφορες επιλογέςτη σχετική τους θέση. Όλες οι ευθείες μπορεί να είναι παράλληλες, διαφορετικά μερικές ή όλες τέμνονται. Σε αυτήν την περίπτωση, όλες οι γραμμές μπορούν να τέμνονται σε ένα μόνο σημείο (δείτε το άρθρο για μια δέσμη γραμμών) ή μπορεί να έχουν διαφορετικά σημεία τομής.
Δεν θα σταθούμε λεπτομερώς σε αυτό, αλλά θα παρουσιάσουμε χωρίς απόδειξη αρκετά αξιόλογα και πολύ συχνά χρησιμοποιούμενα γεγονότα:
- αν δύο ευθείες είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες μεταξύ τους.
- εάν δύο ευθείες είναι κάθετες σε μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες μεταξύ τους.
- Εάν μια συγκεκριμένη ευθεία σε ένα επίπεδο τέμνει μια από δύο παράλληλες ευθείες, τότε τέμνει και τη δεύτερη ευθεία.
Μέθοδοι καθορισμού ευθείας γραμμής σε επίπεδο.
Τώρα θα απαριθμήσουμε τους κύριους τρόπους με τους οποίους μπορείτε να ορίσετε μια συγκεκριμένη ευθεία σε ένα επίπεδο. Η γνώση αυτή είναι πολύ χρήσιμη από πρακτικής απόψεως, αφού σε αυτήν βασίζεται η λύση πολλών παραδειγμάτων και προβλημάτων.
Πρώτον, μια ευθεία μπορεί να οριστεί προσδιορίζοντας δύο σημεία σε ένα επίπεδο.
Πράγματι, από το αξίωμα που συζητήθηκε στην πρώτη παράγραφο αυτού του άρθρου, γνωρίζουμε ότι μια ευθεία διέρχεται από δύο σημεία και μόνο ένα.
Εάν οι συντεταγμένες δύο αποκλίνων σημείων υποδεικνύονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, τότε είναι δυνατόν να γράψουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.
Δεύτερον, μια ευθεία μπορεί να καθοριστεί προσδιορίζοντας το σημείο από το οποίο διέρχεται και την ευθεία προς την οποία είναι παράλληλη. Αυτή η μέθοδος είναι δίκαιη, αφού μέσα από ένα δεδομένο σημείο του επιπέδου διέρχεται μια ενιαία ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη ευθεία. Η απόδειξη αυτού του γεγονότος έγινε στα μαθήματα γεωμετρίας στο λύκειο.
Εάν μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο ορίζεται με αυτόν τον τρόπο σε σχέση με το εισαγόμενο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, τότε είναι δυνατό να συντεθεί η εξίσωσή της. Αυτό γράφεται στην εξίσωση του άρθρου μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο παράλληλο σε μια δεδομένη ευθεία.
Τρίτον, μια ευθεία γραμμή μπορεί να οριστεί προσδιορίζοντας το σημείο από το οποίο διέρχεται και το διάνυσμα κατεύθυνσής της.
Εάν μια ευθεία δίνεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αυτόν τον τρόπο, τότε είναι εύκολο να κατασκευαστεί η κανονική της εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο και οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο.
Ο τέταρτος τρόπος για να ορίσετε μια ευθεία είναι να υποδείξετε το σημείο από το οποίο διέρχεται και τη γραμμή στην οποία είναι κάθετη. Πράγματι, μέσω δεδομένο σημείοεπίπεδο υπάρχει μόνο μία ευθεία κάθετη στη δεδομένη ευθεία. Ας αφήσουμε αυτό το γεγονός χωρίς αποδείξεις.
Τέλος, μια ευθεία σε ένα επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί προσδιορίζοντας το σημείο από το οποίο διέρχεται και το κανονικό διάνυσμα της ευθείας.
Εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες ενός σημείου που βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία και οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας, τότε είναι δυνατόν να γράψουμε τη γενική εξίσωση της ευθείας.
Βιβλιογραφία.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Γεωμετρία. Τάξεις 7 – 9: εγχειρίδιο για γενικά εκπαιδευτικά ιδρύματα.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Γεωμετρία. Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Ανώτερα μαθηματικά. Τόμος πρώτος: στοιχεία γραμμικής άλγεβρας και αναλυτικής γεωμετρίας.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Αναλυτική γεωμετρία.
Πνευματικά δικαιώματα από έξυπνους μαθητές
Ολα τα δικαιώματα διατηρούνται.
Προστατεύεται από το νόμο περί πνευματικών δικαιωμάτων. Κανένα μέρος του www.site, συμπεριλαμβανομένων των εσωτερικών υλικών και της εμφάνισης, δεν επιτρέπεται να αναπαραχθεί σε οποιαδήποτε μορφή ή να χρησιμοποιηθεί χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του κατόχου των πνευματικών δικαιωμάτων.
Επίσκεψη επιπλέον μαθήματασυνειδητοποιήσαμε ότι δεν ξέρουμε πώς να λειτουργήσουμε με τις έννοιες του σημείου, της γραμμής, της γωνίας, της ακτίνας, του τμήματος, της ευθείας, της καμπύλης, της κλειστής γραμμής και πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να τα σχεδιάσουμε, αλλά δεν μπορούμε να τα αναγνωρίσουμε.
Τα παιδιά πρέπει να αναγνωρίζουν γραμμές, καμπύλες και κύκλους. Αυτό αναπτύσσει τα γραφικά τους και την αίσθηση της ορθότητας κατά την εξάσκηση στο σχέδιο και την εφαρμογή. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ποια βασικά γεωμετρικά σχήματα υπάρχουν και ποια είναι αυτά. Απλώστε τις κάρτες μπροστά στο παιδί και ζητήστε του να ζωγραφίσει ακριβώς όπως στην εικόνα. Επαναλάβετε αρκετές φορές.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων μας δόθηκαν τα ακόλουθα υλικά:
Ένα μικρό παραμύθι.
Στη χώρα της Γεωμετρίας ζούσε μια τελεία. Ήταν μικρή. Το άφησε ένα μολύβι όταν πάτησε ένα κομμάτι χαρτί σημειωματάριου και κανείς δεν το πρόσεξε. Έτσι έζησε μέχρι να έρθει να επισκεφθεί τις γραμμές. (Υπάρχει ένα σχέδιο στον πίνακα.)
Δείτε ποιες ήταν αυτές οι γραμμές. (Ίσια και κυρτή.)
Οι ευθείες γραμμές είναι σαν τεντωμένες χορδές και οι χορδές που δεν τεντώνονται είναι στραβές γραμμές.
Πόσες ευθείες; (2.)
Πόσες καμπύλες; (3.)
Η ευθεία άρχισε να καμαρώνει: «Είμαι ο μακρύς! Δεν έχω ούτε αρχή ούτε τέλος! Είμαι ατελείωτος!
Έγινε πολύ ενδιαφέρον να την κοιτάζω. Το σημείο από μόνο του είναι μικροσκοπικό. Βγήκε έξω και παρασύρθηκε τόσο που δεν πρόσεξε πώς πάτησε σε ευθεία γραμμή. Και ξαφνικά η ευθεία χάθηκε. Στη θέση του εμφανίστηκε ένα δοκάρι.
Ήταν επίσης πολύ μακρύ, αλλά και πάλι όχι τόσο μακρύ όσο μια ευθεία γραμμή. Ξεκίνησε.
Η κουκκίδα φοβήθηκε: «Τι έχω κάνει!» Ήθελε να τρέξει μακριά, αλλά για τύχη πάτησε ξανά το δοκάρι.
Και στη θέση της δοκού εμφανίστηκε ένα τμήμα. Δεν καυχιόταν για το πόσο μεγάλος ήταν, είχε ήδη αρχή και τέλος.
Έτσι μια μικρή κουκκίδα μπόρεσε να αλλάξει τη ζωή μεγάλων γραμμών.
Ποιος μάντεψε λοιπόν ποιος ήρθε να μας επισκεφτεί με τη γάτα (ευθεία γραμμή, ακτίνα, τμήμα και σημείο)
Σωστά, μαζί με τη γάτα ήρθε στο μάθημά μας μια ευθεία, μια ακτίνα, ένα τμήμα και ένα σημείο.
Ποιος μάντεψε τι θα κάνουμε σε αυτό το μάθημα; (Μάθετε να αναγνωρίζετε και να σχεδιάζετε μια ευθεία γραμμή, ακτίνα, τμήμα.)
Για ποιες γραμμές μάθατε; (Σχετικά με μια γραμμή, ακτίνα, τμήμα.)
Τι έμαθες για την ευθεία; (Δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος. Είναι ατελείωτο.)
(Παίρνουμε δύο καρούλια νήματος, τα τραβάμε, απεικονίζοντας μια ευθεία γραμμή, και ξετυλίγουμε πρώτα το ένα και μετά το άλλο, δείχνει ότι η ευθεία γραμμή μπορεί να συνεχιστεί και προς τις δύο κατευθύνσεις επ' άπειρον.)
Τι μάθατε για την ακτίνα; (Έχει αρχή, αλλά όχι τέλος.) (Ο δάσκαλος παίρνει το ψαλίδι, κόβει το νήμα. Δείχνει ότι τώρα η γραμμή μπορεί να συνεχιστεί μόνο προς μία κατεύθυνση.)
Τι μάθατε για το τμήμα; (Έχει και αρχή και τέλος.) (Ο δάσκαλος κόβει την άλλη άκρη του νήματος και δείχνει ότι το νήμα δεν τεντώνεται. Έχει και αρχή και τέλος.)
Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή; (Σχεδιάστε μια γραμμή κατά μήκος του χάρακα.)
Πώς να σχεδιάσετε ένα τμήμα γραμμής; (Βάλτε δύο σημεία και συνδέστε τα.)
Και φυσικά το βιβλίο αντιγράφων:
