Τετραγωνική συνάρτηση συντεταγμένων κορυφής. Πώς να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής μιας παραβολής

Η παραβολή είναι μια γραφική παράσταση τετραγωνική λειτουργία. Αυτή η γραμμή έχει σημαντική φυσική σημασία. Για να διευκολύνετε την εύρεση της κορυφής της παραβολής, πρέπει να την σχεδιάσετε. Στη συνέχεια, μπορείτε εύκολα να δείτε την κορυφή του στο γράφημα. Αλλά για να κατασκευάσετε μια παραβολή, πρέπει να ξέρετε πώς να βρείτε τα σημεία της παραβολής και πώς να βρείτε τις συντεταγμένες της παραβολής.

Εύρεση των σημείων και της κορυφής της παραβολής

ΣΕ γενική ιδέαη τετραγωνική συνάρτηση έχει την εξής μορφή: y = ax 2 + bx + c. Πρόγραμμα δεδομένη εξίσωσηείναι μια παραβολή. Όταν η τιμή είναι › 0, οι κλάδοι του κατευθύνονται προς τα πάνω και όταν η τιμή είναι ‹ 0, κατευθύνονται προς τα κάτω. Για να κατασκευάσετε μια παραβολή σε ένα γράφημα, πρέπει να γνωρίζετε τρία σημεία εάν αυτή εκτείνεται κατά μήκος του άξονα των τεταγμένων. Διαφορετικά, πρέπει να είναι γνωστά τέσσερα σημεία κατασκευής.

Όταν βρίσκετε την τετμημένη (x), πρέπει να πάρετε τον συντελεστή (x) από τον δεδομένο πολυωνυμικό τύπο και στη συνέχεια να διαιρέσετε με τον διπλό συντελεστή (x 2) και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε με τον αριθμό - 1.

Για να βρείτε τη τεταγμένη, πρέπει να βρείτε τη διάκριση, στη συνέχεια να την πολλαπλασιάσετε με – 1 και στη συνέχεια να διαιρέσετε με τον συντελεστή στο (x 2), αφού τον πολλαπλασιάσετε με το 4.

Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας αριθμητικές τιμές, υπολογίζεται η κορυφή της παραβολής. Για όλους τους υπολογισμούς, συνιστάται να χρησιμοποιείτε μια αριθμομηχανή μηχανικής και όταν σχεδιάζετε γραφήματα και παραβολές, χρησιμοποιείτε χάρακα και λουμογράφο, αυτό θα αυξήσει σημαντικά την ακρίβεια των υπολογισμών σας.

Ας σκεφτούμε επόμενο παράδειγμα, που θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε πώς να βρούμε την κορυφή μιας παραβολής.

x 2 -9=0. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΟι συντεταγμένες κορυφής υπολογίζονται ως εξής: σημείο 1 (-0/(2*1), σημείο 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)). Έτσι, οι συντεταγμένες της κορυφής είναι οι τιμές (0; 9).

Εύρεση της τετμημένης κορυφής

Μόλις μάθετε πώς να βρείτε μια παραβολή και μπορείτε να υπολογίσετε τα σημεία τομής της με τον άξονα συντεταγμένων (x), μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε την τετμημένη της κορυφής.

Έστω (x 1) και (x 2) οι ρίζες της παραβολής. Οι ρίζες μιας παραβολής είναι τα σημεία τομής της με τον άξονα x. Αυτές οι τιμές ορίζονται στο μηδέν τετραγωνική εξίσωσητης παρακάτω μορφής: τσεκούρι 2 + βχ + γ.

Επιπλέον |x 2 | > |x 1 |, που σημαίνει ότι η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στη μέση μεταξύ τους. Έτσι, μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας την ακόλουθη έκφραση: x 0 = ½(|x 2 | - |x 1 |).

Εύρεση του εμβαδού του σχήματος

Για να βρείτε το εμβαδόν μιας φιγούρας επάνω επίπεδο συντεταγμένωνπρέπει να γνωρίζετε το ολοκλήρωμα. Και για να το εφαρμόσετε, αρκεί να γνωρίζετε ορισμένους αλγόριθμους. Για να βρεθεί η περιοχή που οριοθετείται από παραβολές, είναι απαραίτητο να απεικονιστεί σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Αρχικά, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, προσδιορίζεται η συντεταγμένη της κορυφής του άξονα (x) και στη συνέχεια ο άξονας (y), μετά τον οποίο βρίσκεται η κορυφή της παραβολής. Τώρα πρέπει να καθορίσουμε τα όρια της ολοκλήρωσης. Κατά κανόνα, υποδεικνύονται στη δήλωση προβλήματος χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές (α) και (β). Αυτές οι τιμές θα πρέπει να τοποθετούνται στο πάνω και κάτω μέρος του ολοκληρώματος, αντίστοιχα. Στη συνέχεια θα πρέπει να εισέλθετε γενική εικόνατιμή συνάρτησης και πολλαπλασιάστε την με (dx). Στην περίπτωση παραβολής: (x 2)dx.

Στη συνέχεια, πρέπει να υπολογίσετε την αντιπαράγωγη τιμή της συνάρτησης σε γενική μορφή. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν ειδικό πίνακα τιμών. Αντικαθιστώντας εκεί τα όρια ολοκλήρωσης, διαπιστώνεται η διαφορά. Αυτή η διαφορά θα είναι η περιοχή.

Ως παράδειγμα, θεωρήστε το σύστημα των εξισώσεων: y = x 2 +1 και x + y = 3.

Τα τετμημένα των σημείων τομής βρίσκονται: x 1 = -2 και x 2 = 1.

Υποθέτουμε ότι y 2 = 3 και y 1 = x 2 + 1, αντικαθιστούμε τις τιμές στον παραπάνω τύπο και παίρνουμε μια τιμή ίση με 4,5.

Τώρα μάθαμε πώς να βρίσκουμε μια παραβολή και επίσης, με βάση αυτά τα δεδομένα, να υπολογίζουμε το εμβαδόν του αριθμού που περιορίζει.

Η παραβολή είναι μια από τις καμπύλες δεύτερης τάξης. Το κύριο πράγμα στην κατασκευή αυτής της καμπύλης είναι να βρούμε μπλουζα παραβολές. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους.

Οδηγίες

Να βρείτε τις συντεταγμένες μιας κορυφής παραβολές, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο: x=-b/2a, όπου a είναι ο συντελεστής x στο τετράγωνο και b είναι ο συντελεστής x. Συνδέστε τις τιμές σας και υπολογίστε την αξία τους. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε την προκύπτουσα τιμή για το x στην εξίσωση και υπολογίστε την τεταγμένη της κορυφής. Για παράδειγμα, αν σας δοθεί η εξίσωση y=2x^2-4x+5, τότε βρείτε την τετμημένη ως εξής: x=-(-4)/2*2=1. Αντικαθιστώντας x=1 στην εξίσωση, υπολογίστε την τιμή y για την κορυφή παραβολές: y=2*1^2-4*1+5=3. Η κορυφή λοιπόν παραβολέςέχει συντεταγμένες (1-3).

Η αξία της τεταγμένης παραβολέςμπορεί να βρεθεί χωρίς πρώτα να υπολογιστεί η τετμημένη. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο y=-b^2/4ac+c.

Εάν είστε εξοικειωμένοι με την έννοια της παραγώγου, βρείτε μπλουζα παραβολέςχρησιμοποιώντας παραγώγους, εκμεταλλευόμενοι την ακόλουθη ιδιότητα οποιασδήποτε συνάρτησης: η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης, ίση με μηδέν, υποδεικνύει ακραία σημεία. Από την κορυφή παραβολές, ανεξάρτητα από το αν οι κλάδοι του κατευθύνονται προς τα πάνω ή προς τα κάτω, είναι ένα ακραίο σημείο, υπολογίστε την παράγωγο για τη συνάρτησή σας. Γενικά, θα μοιάζει με f(x)=2ax+b. Εξισώστε το με το μηδέν και λάβετε τις συντεταγμένες της κορυφής παραβολές, που αντιστοιχεί στη λειτουργία σας.

Προσπαθώ να βρω μπλουζα παραβολές, εκμεταλλευόμενος την ιδιότητά του όπως η συμμετρία. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε τα σημεία τομής παραβολέςμε τον άξονα x, εξισώνοντας τη συνάρτηση με μηδέν (αντικαθιστώντας το y = 0). Λύνοντας την τετραγωνική εξίσωση, θα βρείτε τα x1 και x2. Δεδομένου ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία που διέρχεται μπλουζα, αυτά τα σημεία θα έχουν ίση απόσταση από την τετμημένη της κορυφής. Για να το βρείτε, διαιρέστε την απόσταση μεταξύ των σημείων στη μέση: x=(Ix1-x2I)/2.

Αν κάποιος από τους συντελεστές είναι μηδέν (εκτός από το α), να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της κορυφής παραβολέςχρησιμοποιώντας απλοποιημένους τύπους. Για παράδειγμα, αν b=0, δηλαδή η εξίσωση έχει τη μορφή y=ax^2+c, τότε η κορυφή θα βρίσκεται στον άξονα oy και οι συντεταγμένες της θα είναι ίσες με (0-c). Αν όχι μόνο ο συντελεστής b=0, αλλά και c=0, τότε η κορυφή παραβολέςβρίσκεται στην αρχή, σημείο (0-0).

Πολλά τεχνικά, οικονομικά και κοινωνικά θέματαπροβλέπονται χρησιμοποιώντας καμπύλες. Ο πιο χρησιμοποιούμενος τύπος ανάμεσά τους είναι η παραβολή, ή ακριβέστερα, η μισή. Ένα σημαντικό συστατικό οποιασδήποτε παραβολικής καμπύλης είναι η κορυφή της, ο προσδιορισμός των ακριβών συντεταγμένων της οποίας μερικές φορές παίζει καθοριστικό ρόλο όχι μόνο στην εμφάνιση της ίδιας της διαδικασίας, αλλά και στα επόμενα συμπεράσματα. Πώς να βρείτε τις ακριβείς συντεταγμένες του θα συζητηθεί σε αυτό το άρθρο.

Ξεκινήστε την αναζήτηση

Πριν προχωρήσουμε στην εύρεση των συντεταγμένων της κορυφής μιας παραβολής, ας εξοικειωθούμε με τον ίδιο τον ορισμό και τις ιδιότητές του. Με την κλασική έννοια, παραβολή είναι μια τέτοια διάταξη σημείων που αφαιρείται στην ίδια απόσταση από ένα συγκεκριμένο σημείο(εστίαση, σημείο ΣΤ), καθώς και από ευθεία που δεν διέρχεται από το σημείο ΣΤ. Σκεφτείτε αυτόν τον ορισμόαναλυτικότερα στο σχήμα 1.

Εικόνα 1. Κλασική όψη παραβολής

Η εικόνα δείχνει την κλασική μορφή. Η εστίαση είναι το σημείο F. Η ευθεία σε αυτή την περίπτωση θα θεωρηθεί η ευθεία γραμμή του άξονα Υ (τονισμένη με κόκκινο χρώμα). Από τον ορισμό, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι απολύτως οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης, χωρίς να υπολογίζεται η εστίαση, έχει ένα παρόμοιο στην άλλη πλευρά, που βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τον άξονα συμμετρίας με το ίδιο. Επιπλέον, η απόσταση από οποιοδήποτε από τα σημεία της παραβολής ίση με την απόσταση από τον σκηνοθέτη. Κοιτώντας μπροστά, ας πούμε ότι το κέντρο της συνάρτησης δεν χρειάζεται να βρίσκεται στην αρχή και οι κλάδοι μπορούν να κατευθύνονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις.

Μια παραβολή, όπως και κάθε άλλη συνάρτηση, έχει τη δική της καταχώρηση με τη μορφή τύπου:

Στον υποδεικνυόμενο τύπο, το γράμμα "s" υποδηλώνει την παράμετρο της παραβολής, η οποία είναι ίση με την απόσταση από την εστίαση έως την κατεύθυνση. Υπάρχει επίσης μια άλλη μορφή εγγραφής, που υποδεικνύεται από το GMT, η οποία έχει τη μορφή:

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται κατά την επίλυση προβλημάτων στον τομέα της μαθηματικής ανάλυσης και χρησιμοποιείται πιο συχνά από τον παραδοσιακό (λόγω ευκολίας). Στο μέλλον θα επικεντρωθούμε στη δεύτερη καταχώρηση.

Αυτό είναι ενδιαφέρον!: απόδειξη

Υπολογισμός συντελεστών και κύριων σημείων παραβολής

Οι κύριες παράμετροι συνήθως περιλαμβάνουν τη θέση της κορυφής στον άξονα της τετμημένης, τις συντεταγμένες της κορυφής στον άξονα των τεταγμένων και την παράμετρο της ευθείας.

Αριθμητική τιμή της συντεταγμένης κορυφής στον άξονα x

Αν η εξίσωση μιας παραβολής δίνεται στην κλασική μορφή (1), τότε η τιμή της τετμημένης στο επιθυμητό σημείο θα ισούται με το ήμισυ της τιμής της παραμέτρου s(η μισή απόσταση μεταξύ του προσανατολισμού και της εστίασης). Εάν η συνάρτηση παρουσιάζεται με τη μορφή (2), τότε το x μηδέν υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Δηλαδή, κοιτάζοντας αυτόν τον τύπο, μπορούμε να πούμε ότι η κορυφή θα βρίσκεται στο δεξί μισό σε σχέση με τον άξονα y εάν ​​μία από τις παραμέτρους a ή b είναι μικρότερη από το μηδέν.

Η εξίσωση directrix ορίζεται από την ακόλουθη εξίσωση:

Τιμή κορυφής στον άξονα τεταγμένων

Η αριθμητική τιμή της θέσης της κορυφής για τον τύπο (2) στον άξονα τεταγμένων μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αν α<0, то η κορυφή της καμπύλης θα βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο, διαφορετικά - στο κάτω μέρος. Σε αυτή την περίπτωση, τα σημεία της παραβολής θα έχουν τις ίδιες ιδιότητες που αναφέρθηκαν προηγουμένως.

Εάν δοθεί η κλασική μορφή σημειογραφίας, τότε θα είναι πιο λογικό να υπολογιστεί η τιμή της θέσης της κορυφής στον άξονα της τετμημένης και μέσω αυτής η μετέπειτα τιμή της τεταγμένης. Σημειώστε ότι για τη μορφή της σημειογραφίας (2), ο άξονας συμμετρίας της παραβολής, στην κλασική παράσταση, θα συμπίπτει με τον άξονα τεταγμένων.

Σπουδαίος!Κατά την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας την εξίσωση παραβολής, πρώτα απ 'όλα, προσδιορίστε τις κύριες τιμές που είναι ήδη γνωστές. Επιπλέον, θα είναι χρήσιμο εάν προσδιοριστούν οι παράμετροι που λείπουν. Αυτή η προσέγγιση θα παρέχει περισσότερο «περιθώριο ελιγμών» εκ των προτέρων και μια πιο ορθολογική απόφαση. Στην πράξη, προσπαθήστε να χρησιμοποιήσετε σημειογραφία (2). Είναι πιο κατανοητό (δεν χρειάζεται να «αντιστρέφετε τις συντεταγμένες του Descartes») και η συντριπτική πλειονότητα των εργασιών προσαρμόζεται ειδικά σε αυτήν τη μορφή σημειογραφίας.

Κατασκευή παραβολικής καμπύλης

Χρησιμοποιώντας μια κοινή μορφή σημειογραφίας, πριν κατασκευάσετε μια παραβολή, πρέπει να βρείτε την κορυφή της. Με απλά λόγια, πρέπει να εκτελέσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:

1. Βρείτε τη συντεταγμένη της κορυφής στον άξονα Χ.
2. Βρείτε τη συντεταγμένη της θέσης της κορυφής στον άξονα Y.
3. Αντικαθιστώντας διαφορετικές τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής X, βρείτε τις αντίστοιχες τιμές του Y και κατασκευάστε μια καμπύλη.

Εκείνοι. Ο αλγόριθμος δεν είναι περίπλοκος, η κύρια έμφαση δίνεται στο πώς να βρείτε την κορυφή μιας παραβολής. Η περαιτέρω διαδικασία κατασκευής μπορεί να θεωρηθεί μηχανική.

Με την προϋπόθεση ότι δίνονται τρία σημεία, οι συντεταγμένες των οποίων είναι γνωστές, πρώτα απ 'όλα είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια εξίσωση για την ίδια την παραβολή και στη συνέχεια να επαναλάβετε τη διαδικασία που περιγράφηκε προηγουμένως. Επειδή στην εξίσωση (2) υπάρχουν 3 συντελεστές, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των σημείων, υπολογίζουμε το καθένα από αυτά:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

Στους τύπους (5.1), (5.2), (5.3), χρησιμοποιούνται αντίστοιχα εκείνα τα σημεία που είναι γνωστά (για παράδειγμα, A (, B (, C (). Με αυτόν τον τρόπο βρίσκουμε την εξίσωση μιας παραβολής χρησιμοποιώντας 3 σημεία. Από πρακτικής πλευράς, αυτή η προσέγγιση δεν είναι η πιο « ευχάριστη», αλλά δίνει ένα σαφές αποτέλεσμα, βάσει του οποίου στη συνέχεια κατασκευάζεται η ίδια η καμπύλη.

Κατά την κατασκευή μιας παραβολής, πάντα πρέπει να υπάρχει ένας άξονας συμμετρίας.Ο τύπος για τον άξονα συμμετρίας για να γράψουμε (2) θα μοιάζει με αυτό:

Εκείνοι. Η εύρεση του άξονα συμμετρίας, προς τον οποίο όλα τα σημεία της καμπύλης είναι συμμετρικά, δεν είναι δύσκολη. Πιο συγκεκριμένα, ισούται με την πρώτη συντεταγμένη της κορυφής.

Ενδεικτικά παραδείγματα

Παράδειγμα 1. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την εξίσωση μιας παραβολής:

Πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής και επίσης να ελέγξετε αν το σημείο D (10; 5) ανήκει στη δεδομένη καμπύλη.

Λύση: Πρώτα απ 'όλα, ας ελέγξουμε ότι το αναφερόμενο σημείο ανήκει στην ίδια την καμπύλη

Από το οποίο συμπεραίνουμε ότι το καθορισμένο σημείο δεν ανήκει στη δεδομένη καμπύλη. Ας βρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής. Από τους τύπους (4) και (5) παίρνουμε την ακόλουθη σειρά:

Αποδεικνύεται ότι οι συντεταγμένες στην κορυφή, στο σημείο Ο, είναι οι εξής (-1,25; -7,625). Αυτό υποδηλώνει ότι μας η παραβολή προέρχεται από το 3ο τέταρτο του καρτεσιανού συστήματοςσυντεταγμένες

Παράδειγμα 2. Να βρείτε την κορυφή μιας παραβολής, γνωρίζοντας τα τρία σημεία που της ανήκουν: Α (2;3), Β (3;5), Γ (6;2). Χρησιμοποιώντας τους τύπους (5.1), (5.2), (5.3), βρίσκουμε τους συντελεστές της εξίσωσης της παραβολής. Παίρνουμε τα εξής:

Χρησιμοποιώντας τις λαμβανόμενες τιμές, λαμβάνουμε την ακόλουθη εξίσωση:

Στο σχήμα, η καθορισμένη συνάρτηση θα μοιάζει με αυτό (Εικόνα 2):

Εικόνα 2. Γράφημα παραβολής που διέρχεται από 3 σημεία

Εκείνοι. Η γραφική παράσταση μιας παραβολής που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία θα έχει κορυφή στο 1ο τέταρτο. Ωστόσο, οι κλάδοι αυτής της καμπύλης κατευθύνονται προς τα κάτω, δηλ. υπάρχει μετατόπιση της παραβολής από την αρχή. Αυτή η κατασκευή θα μπορούσε να είχε προβλεφθεί δίνοντας προσοχή στους συντελεστές a, b, c.

Ειδικότερα, εάν α<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 καμπύλη θα τεντωθεί, και αν είναι μικρότερη από 1, θα συμπιεστεί.

Η σταθερά c είναι υπεύθυνη για την «κίνηση» της καμπύλης κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. Αν c>0, τότε η παραβολή «σέρνεται» προς τα πάνω, αλλιώς – κάτω. Όσον αφορά τον συντελεστή b, ο βαθμός επιρροής μπορεί να προσδιοριστεί μόνο αλλάζοντας τη μορφή γραφής της εξίσωσης, φέρνοντάς την στην ακόλουθη μορφή:

Αν ο συντελεστής b>0, τότε οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής θα μετατοπιστούν προς τα δεξιά κατά b μονάδες, εάν είναι μικρότερες, τότε κατά b μονάδες προς τα αριστερά.

Σπουδαίος!Η χρήση τεχνικών για τον προσδιορισμό της μετατόπισης μιας παραβολής στο επίπεδο συντεταγμένων βοηθά μερικές φορές στην εξοικονόμηση χρόνου κατά την επίλυση προβλημάτων ή στην εύρεση της πιθανής τομής μιας παραβολής με μια άλλη καμπύλη πριν από την κατασκευή. Συνήθως εξετάζουν μόνο τον συντελεστή α, αφού αυτός είναι που δίνει μια σαφή απάντηση στο ερώτημα που τίθεται.

Χρήσιμο βίντεο: πώς να βρείτε την κορυφή μιας παραβολής

Χρήσιμο βίντεο: πώς να δημιουργήσετε εύκολα μια εξίσωση παραβολής από ένα γράφημα

συμπέρασμα

Μια αλγεβρική διαδικασία όπως ο προσδιορισμός των κορυφών μιας παραβολής δεν είναι περίπλοκη, αλλά είναι αρκετά απαιτητική. Στην πράξη, προσπαθούν να χρησιμοποιήσουν τη δεύτερη μορφή σημειογραφίας για να διευκολύνουν την κατανόηση της γραφικής λύσης και της λύσης στο σύνολό της. Επομένως, συνιστούμε ανεπιφύλακτα να χρησιμοποιήσετε αυτήν ακριβώς την προσέγγιση και αν δεν θυμάστε τον τύπο για τις συντεταγμένες κορυφής, τότε τουλάχιστον έχετε ένα φύλλο εξαπάτησης.

Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης ονομάζεται παραβολή. Αυτή η γραμμή έχει σημαντική φυσική σημασία. Μερικοί κινούνται κατά μήκος παραβολών ουράνια σώματα. Μια κεραία σε σχήμα παραβολής εστιάζει τις ακτίνες που τρέχουν παράλληλα με τον άξονα συμμετρίας της παραβολής. Τα σώματα που ρίχνονται προς τα πάνω υπό γωνία φτάνουν στο κορυφαίο σημείο και πέφτουν κάτω, περιγράφοντας επίσης μια παραβολή. Προφανώς, είναι πάντα χρήσιμο να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της κορυφής αυτής της κίνησης.

Οδηγίες

1. Η τετραγωνική συνάρτηση στη γενική της μορφή γράφεται με την εξίσωση: y = ax; + βχ + γ. Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω (για > 0) ή προς τα κάτω (για ένα< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Άτομα που είναι εξοικειωμένα με την παράγωγη αναπαράσταση μπορούν εύκολα να ανιχνεύσουν την κορυφή μιας παραβολής. Ανεξάρτητα από τη θέση των κλάδων της παραβολής, η κορυφή της είναι το σημείο άκρου (ελάχιστο εάν οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω ή μέγιστο όταν οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα κάτω). Για να βρείτε τα υποτιθέμενα ακραία σημεία οποιασδήποτε συνάρτησης, πρέπει να υπολογίσετε την πρώτη της παράγωγο και να την εξισώσετε με το μηδέν. Γενικά, η παράγωγος μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι ίση με f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Εξισώνοντας με το μηδέν, παίρνετε 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2α.

3. Η παραβολή είναι μια συμμετρική γραμμή. Ο άξονας συμμετρίας διέρχεται από την κορυφή της παραβολής. Γνωρίζοντας τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα συντεταγμένων Χ, μπορείτε εύκολα να βρείτε την τετμημένη της κορυφής x0. Έστω x1 και x2 οι ρίζες της παραβολής (τα λεγόμενα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης, επειδή αυτές οι τιμές μηδενίζουν την τετραγωνική εξίσωση ax? + bx + c). Ταυτόχρονα, έστω |x2| > |x1|, τότε η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στη μέση μεταξύ τους και μπορεί να βρεθεί από την περαιτέρω έκφραση: x0 = ?(|x2| – |x1|).

Μια παραβολή είναι μια γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης γενικά, η εξίσωση μιας παραβολής γράφεται y=aх^2+bх+с, όπου a?0. Αυτή είναι μια καθολική καμπύλη δεύτερης τάξης που περιγράφει πολλά φαινόμενα στη ζωή, ας πούμε, την κίνηση ενός σώματος που πέφτει και στη συνέχεια πέφτει, το σχήμα ενός ουράνιου τόξου και επομένως τη γνώση για την ανίχνευση παραβολήΜπορεί να είναι χρήσιμο στην πραγματική ζωή.

Θα χρειαστείτε

• – τύπος τετραγωνικής εξίσωσης.
• – ένα φύλλο χαρτιού με πλέγμα συντεταγμένων.
• – μολύβι, γόμα;
• – υπολογιστή και πρόγραμμα Excel.

Οδηγίες

1. Αρχικά, εντοπίστε την κορυφή της παραβολής. Για να βρείτε την τετμημένη αυτού του σημείου, πάρτε τον εκθέτη πριν από το x, διαιρέστε τον με το διπλάσιο του εκθέτη πριν από το x^2 και πολλαπλασιάστε με -1 (τύπος x=-b/2a). Βρείτε την τεταγμένη αντικαθιστώντας την προκύπτουσα τιμή στην εξίσωση ή χρησιμοποιώντας τον τύπο y=(b^2-4ac)/4a. Έχετε λάβει τις συντεταγμένες του σημείου κορυφής της παραβολής.

2. Η κορυφή μιας παραβολής μπορεί επίσης να ανιχνευθεί χρησιμοποιώντας άλλη μέθοδο. Επειδή η κορυφή είναι το άκρο της συνάρτησης, για να την υπολογίσετε, υπολογίστε την πρώτη παράγωγο και εξισώστε την με το μηδέν. Σε γενική μορφή θα πάρετε τον τύπο f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. Και εξισώνοντάς το με το μηδέν, θα καταλήξετε στον ίδιο τύπο - x = -b/2a.

3. Μάθετε εάν τα κλαδιά της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Για να το κάνετε αυτό, κοιτάξτε τον δείκτη μπροστά από το x^2, δηλαδή α. Αν a>0, τότε οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω, αν α

4. Κατασκευάστε τον άξονα συμμετρίας της παραβολής τέμνει την κορυφή της παραβολής και είναι παράλληλος με τον άξονα y. Όλα τα σημεία της παραβολής θα έχουν ίση απόσταση από αυτήν, επομένως είναι δυνατό να κατασκευαστεί μόνο ένα μέρος και στη συνέχεια να εμφανιστεί συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα της παραβολής.

5. Σχεδιάστε μια γραμμή παραβολής. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε πολλά σημεία αντικαθιστώντας διαφορετικές έννοιες x στις εξισώσεις και επίλυση της ισότητας. Είναι βολικό να ανιχνεύσετε την τομή με τους άξονες για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το x=0 και το y=0 στην ισότητα. Έχοντας σηκώσει τη μία πλευρά, αντανακλάστε την συμμετρικά γύρω από τον άξονα.

6. Επιτρέπεται η κατασκευή παραβολήχρησιμοποιώντας το Excel. Για να το κάνετε αυτό, ανοίξτε το νέο έγγραφο και επιλέξτε δύο στήλες σε αυτό, x και y=f(x). Στην πρώτη στήλη, σημειώστε τις τιμές του x στο επιλεγμένο τμήμα και στη δεύτερη στήλη, σημειώστε τον τύπο, ας πούμε, =2B3*B3-4B3+1 ή =2B3^2-4B3+1. Για να μην γράφετε αυτόν τον τύπο κάθε φορά, «τεντώστε» τον σε κάθε στήλη κάνοντας κλικ στον μικρό σταυρό στην κάτω δεξιά γωνία και σύροντάς τον προς τα κάτω.

7. Αφού έχετε τον πίνακα, κάντε κλικ στο μενού «Εισαγωγή» – «Διάγραμμα». Επιλέξτε το διάγραμμα διασποράς, κάντε κλικ στο Επόμενο. Στο παράθυρο που εμφανίζεται, προσθέστε μια σειρά κάνοντας κλικ στο κουμπί "Προσθήκη". Για να επιλέξετε τα απαιτούμενα κελιά, κάντε κλικ ένα προς ένα στα κουμπιά που είναι κυκλωμένα με κόκκινο οβάλ παρακάτω και, στη συνέχεια, επιλέξτε τις στήλες σας με τιμές. Κάνοντας κλικ στο κουμπί "Τέλος", αξιολογήστε το αποτέλεσμα - το τελικό παραβολή .

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Όταν ψάχνετε για μια τετραγωνική συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι παραβολή, σε ένα από τα σημεία που πρέπει να βρείτε συντεταγμένες κορυφέςπαραβολές. Πώς γίνεται αυτό αναλυτικά χρησιμοποιώντας την εξίσωση που δίνεται για την παραβολή;

Οδηγίες

1. Μια τετραγωνική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της μορφής y=ax^2+bx+c, όπου a είναι ο κύριος εκθέτης (πρέπει αυστηρά να είναι μη μηδενικός), b είναι ο χαμηλότερος εκθέτης, c είναι ελεύθερος όρος. Αυτή η λειτουργίαδίνει στη γραφική της παράσταση μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται είτε προς τα πάνω (αν a>0) είτε προς τα κάτω (εάν α<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Ας βρούμε τη συντεταγμένη x0 κορυφέςπαραβολές. Βρίσκεται με τον τύποx0=-b/a.

3. y0=y(x0).Για την ανίχνευση της συντεταγμένης y0 κορυφέςπαραβολών, πρέπει να αντικαταστήσετε την ανιχνευμένη τιμή x0 στη συνάρτηση αντί για x. Υπολογίστε με τι ισούται το y0.

4. Συντεταγμένες κορυφέςέχουν ανακαλυφθεί παραβολές. Να τις γράψετε ως συντεταγμένες ενός μόνο σημείου (x0,y0).

5. Όταν κατασκευάζετε μια παραβολή, να θυμάστε ότι είναι συμμετρική ως προς τον άξονα συμμετρίας της παραβολής, ο οποίος διέρχεται κατακόρυφα από την κορυφή της παραβολής, επειδή η τετραγωνική συνάρτηση είναι άρτια. Κατά συνέπεια, αρκεί να κατασκευαστεί μόνο ένας κλάδος της παραβολής από σημεία και να συμπληρωθεί ο άλλος συμμετρικά.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Για τις συναρτήσεις (ή μάλλον τα γραφήματα τους), χρησιμοποιείται η αναπαράσταση υψηλότερη τιμή, συμπεριλαμβανομένου του τοπικού μέγιστου. Η ιδέα της «κορυφής» συνδέεται πιθανότερα με γεωμετρικά σχήματα. Τα μέγιστα σημεία ομαλών συναρτήσεων (που έχουν παράγωγο) είναι εύκολο να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τα μηδενικά της πρώτης παραγώγου.

Οδηγίες

1. Για σημεία στα οποία η συνάρτηση δεν είναι διαφοροποιήσιμη αλλά σταθερή, η μεγαλύτερη τιμή στο διάστημα μπορεί να έχει τη μορφή άκρης (για παράδειγμα, y=-|x|). Σε τέτοια σημεία στο γράφημα λειτουργίεςείναι δυνατόν να σχεδιάσουμε όσες εφαπτομένες επιθυμούμε, και δεν υπάρχει εύκολα παράγωγος γι' αυτό. Σάμη λειτουργίεςαυτού του τύπου καθορίζονται συνήθως σε τμήματα. Σημεία στα οποία η παράγωγος λειτουργίεςίσο με μηδέν ή δεν υπάρχει ονομάζονται σκεπτικιστές.

2. Αποδεικνύεται ότι για να βρείτε τα μέγιστα σημεία λειτουργίες y=f(x) είναι απαραίτητο: - για να ανιχνευθούν σκεπτικά σημεία - για να προτιμηθεί το μέγιστο σημείο, είναι απαραίτητο να ανιχνευθεί το πρόσημο της παραγώγου κοντά στο σκεπτικό σημείο. Εάν, κατά τη διέλευση ενός σημείου, το πρόσημο εναλλάσσεται από "+" σε "-", τότε εμφανίζεται ένα μέγιστο.

3. Παράδειγμα. Βρείτε τις μεγαλύτερες τιμές λειτουργίες(βλ. Εικ. 1).y=x+3 για x?-1 και y=((x^2)^(1/3)) –x για x>-1.

4. Rheaning. y=x+3 για x?-1 και y=((x^2)^(1/3)) –x για x>-1. Η συνάρτηση καθορίζεται σε τμήματα σκόπιμα, γιατί σε αυτήν την περίπτωση ο στόχος είναι να εμφανιστούν τα πάντα σε ένα παράδειγμα. Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι στο x=-1 η συνάρτηση παραμένει σταθερή y'=1 στο x?-1 και y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-. 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) για x>-1 y' δεν υπάρχει για x=-1 και x= 0. Στην περίπτωση αυτή y'>0 αν x

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Μια παραβολή είναι μια από τις καμπύλες δεύτερης τάξης. Το κύριο πράγμα στην κατασκευή αυτής της λοξής είναι η ανίχνευση μπλουζα παραβολές. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους.

Οδηγίες

1. Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής παραβολές, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο: x = -b/2a, όπου a είναι ο δείκτης πριν από το x στο τετράγωνο και b είναι ο δείκτης πριν από το x. Συνδέστε τις τιμές σας και υπολογίστε την αξία τους. Μετά από αυτό, αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει με το x στην εξίσωση και υπολογίστε την τεταγμένη της κορυφής. Ας πούμε, εάν σας δίνεται η εξίσωση y=2x^2-4x+5, τότε βρείτε την τετμημένη με τον εξής τρόπο: x=-(-4)/2*2=1. Αντικαθιστώντας x=1 στην εξίσωση, υπολογίστε την τιμή y για την κορυφή παραβολές: y=2*1^2-4*1+5=3. Η κορυφή λοιπόν παραβολέςέχει συντεταγμένες (1;3).

2. Η αξία της τεταγμένης παραβολέςμπορεί να ανιχνευθεί χωρίς εκ των προτέρων υπολογισμό της τετμημένης. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο y=-b^2/4ac+c.

3. Εάν είστε εξοικειωμένοι με την αναπαράσταση παραγώγων, ανακαλύψτε μπλουζα παραβολέςχρησιμοποιώντας παραγώγους, εκμεταλλευόμενοι την περαιτέρω ιδιότητα κάθε συνάρτησης: η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης, ίση με μηδέν, δείχνει τα ακραία σημεία. Γιατί η κορυφή παραβολές, ανεξάρτητα από το αν οι κλάδοι του κατευθύνονται προς τα πάνω ή προς τα κάτω, είναι ένα ακραίο σημείο, υπολογίστε την παράγωγο για τη συνάρτησή σας. Σε γενική μορφή θα μοιάζει με f(x)=2ax+b. Εξισώστε το με το μηδέν και λάβετε τις συντεταγμένες της κορυφής παραβολές, που αντιστοιχεί στη λειτουργία σας.

4. Προσπαθήστε να ανακαλύψετε μπλουζα παραβολές, εκμεταλλευόμενος την ιδιότητά του όπως η συμμετρία. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε τα σημεία τομής παραβολέςμε τον άξονα x, εξισώνοντας τη συνάρτηση με μηδέν (αντικαθιστώντας το y = 0). Όταν λύσετε μια δευτεροβάθμια εξίσωση, θα βρείτε τα x1 και x2. Επειδή η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία που διέρχεται μπλουζα, αυτά τα σημεία θα έχουν ίση απόσταση από την τετμημένη της κορυφής. Για να το εντοπίσουμε, διαιρούμε την απόσταση μεταξύ των σημείων στο μισό: x = (Ix1-x2I)/2.

5. Αν κάποιος από τους εκθέτες είναι μηδέν (εκτός από το α), να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της κορυφής παραβολέςχρησιμοποιώντας απλοποιημένους τύπους. Ας πούμε, εάν b = 0, δηλαδή η εξίσωση έχει τη μορφή y = ax^2 + c, τότε η κορυφή θα βρίσκεται στον άξονα oy και οι συντεταγμένες της θα είναι ίσες με (0; c). Αν όχι μόνο ο εκθέτης b=0, αλλά και c=0, τότε η κορυφή παραβολέςβρίσκεται στην αρχή, σημείο (0;0).

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Ξεκινώντας από ένα σημείο, οι ευθείες γραμμές σχηματίζουν μια γωνία όπου το κοινό τους σημείο είναι η κορυφή. Στο τμήμα της θεωρητικής άλγεβρας, υπάρχουν συχνά προβλήματα όταν πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες αυτού κορυφές, για να προσδιορίσουμε στη συνέχεια την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή.

Οδηγίες

1. Πριν ξεκινήσετε τη διαδικασία εύρεσης συντεταγμένων κορυφές, αποφασίστε για τα αρχικά δεδομένα. Αποδεχτείτε ότι η επιθυμητή κορυφή ανήκει στο τρίγωνο ABC, στο οποίο είναι γνωστές οι συντεταγμένες των άλλων 2 κορυφών, καθώς και οι αριθμητικές τιμές γωνίες, ίσο με «e» και «k» στην πλευρά ΑΒ.

2. Συνδυασμός νέο σύστημασυντεταγμένες σε μία από τις πλευρές του τριγώνου ΑΒ με τέτοιο τρόπο ώστε ο πρόλογος του συστήματος συντεταγμένων να συμπίπτει με το σημείο Α, οι συντεταγμένες του οποίου είναι γνωστές σε εσάς. Η δεύτερη κορυφή Β θα βρίσκεται στον άξονα OX και οι συντεταγμένες της είναι επίσης γνωστές σε εσάς. Προσδιορίστε το μήκος της πλευράς ΑΒ κατά μήκος του άξονα OX σύμφωνα με τις συντεταγμένες και πάρτε το ίσο με "m".

3. Χαμηλώστε την κάθετη από την άγνωστη κορυφέςΓ προς τον άξονα ΟΧ και προς την πλευρά του τριγώνου ΑΒ, αντίστοιχα. Το ύψος "y" που προκύπτει καθορίζει την τιμή μιας από τις συντεταγμένες κορυφές C κατά μήκος του άξονα OY. Ας υποθέσουμε ότι το ύψος «y» χωρίζει την πλευρά ΑΒ σε δύο τμήματα ίσα με «x» και «m – x».

4. Γιατί ξέρεις τις έννοιες όλων γωνίεςτρίγωνο, που σημαίνει ότι είναι γνωστές και οι τιμές των εφαπτομένων τους. Πάρτε τις εφαπτομενικές τιμές για γωνίες, δίπλα στην πλευρά του τριγώνου ΑΒ, ίσο με tan(e) και tan(k).

5. Εισαγάγετε τις εξισώσεις για 2 ευθείες που διέρχονται από τις πλευρές AC και BC αντίστοιχα: y = tan(e) * x και y = tan(k) * (m – x). Στη συνέχεια, βρείτε την τομή αυτών των ευθειών εφαρμόζοντας τις μετασχηματισμένες ευθείες εξισώσεις: tan(e) = y/x και tan(k) = y/(m – x).

6. Αν υποθέσουμε ότι το tan(e)/tan(k) ισούται με (y/x) /(y/ (m – x)) ή αργότερα συντομεύουμε το “y” – (m – x) / x, θα καταλήξετε στο επιθυμητές τιμές συντεταγμένες ίσες με x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​· και y = x * tan(e).

7. Υποκατάστατες τιμές γωνίες(ε) και (k), καθώς και την ανιχνευόμενη τιμή της πλευράς AB = m στις εξισώσεις x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​και y = x * tan(e ).

8. Μετατρέψτε το νέο σύστημα συντεταγμένων σε αρχικό σύστημασυντεταγμένες, από το γεγονός ότι έχει δημιουργηθεί μια αλληλογραφία ένα προς ένα μεταξύ τους και θα λάβετε τις επιθυμητές συντεταγμένες κορυφέςτρίγωνο ABC.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Οδηγίες

Μια τετραγωνική συνάρτηση σε γενική μορφή γράφεται από την εξίσωση: y = ax² + bx + c. Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι , οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω (για > 0) ή προς τα κάτω (για ένα< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

Για άτομα που είναι εξοικειωμένα με την έννοια της παραγώγου, είναι εύκολο να βρουν την κορυφή μιας παραβολής. Ανεξάρτητα από τη θέση των κλάδων μιας παραβολής, η κορυφή της είναι ένα σημείο (ελάχιστο εάν οι κλάδοι είναι στραμμένοι προς τα πάνω ή όταν οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα κάτω). Για να βρείτε τα υποτιθέμενα ακραία σημεία οποιουδήποτε , πρέπει να υπολογίσετε την πρώτη του παράγωγο και να την εξισώσετε με το μηδέν. Γενικά, η παράγωγος είναι ίση με f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b. Εξισώνοντας με το μηδέν, παίρνετε 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

Η παραβολή είναι μια συμμετρική γραμμή. Ο άξονας διέρχεται από την κορυφή της παραβολής. Γνωρίζοντας τα σημεία της παραβολής με τον άξονα συντεταγμένων Χ, μπορείτε εύκολα να βρείτε την τετμημένη της κορυφής x0. Έστω x1 και x2 οι ρίζες της παραβολής (τα λεγόμενα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα x, αφού αυτές οι τιμές εξαφανίζουν την τετραγωνική εξίσωση ax² + bx + c). Επιπλέον, έστω |x2| > |x1|, τότε η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στη μέση μεταξύ τους και μπορεί να βρεθεί από την ακόλουθη παράσταση: x0 = ½(|x2| - |x1|).

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Πηγές:

• Τετραγωνική λειτουργία
• τύπος για την εύρεση της κορυφής μιας παραβολής

Μια παραβολή είναι μια γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης γενικά, η εξίσωση μιας παραβολής γράφεται y=ax^2+bx+c, όπου a≠0. Αυτή είναι μια καθολική καμπύλη δεύτερης τάξης που περιγράφει πολλά φαινόμενα στη ζωή, για παράδειγμα, την κίνηση ενός σώματος που πέφτει και στη συνέχεια πέφτει, το σχήμα ενός ουράνιου τόξου, άρα την ικανότητα εύρεσης παραβολήμπορεί να είναι πολύ χρήσιμο στη ζωή.

Θα χρειαστείτε

• - τύπος τετραγωνικής εξίσωσης.
• - ένα φύλλο χαρτιού με πλέγμα συντεταγμένων.
• - μολύβι, γόμα
• - υπολογιστή και πρόγραμμα Excel.

Οδηγίες

Πρώτα απ 'όλα, βρείτε την κορυφή της παραβολής. Για να βρείτε την τετμημένη αυτού του σημείου, πάρτε τον συντελεστή x, διαιρέστε τον με το διπλάσιο του συντελεστή x^2 και πολλαπλασιάστε με -1 (x=-b/2a). Βρείτε την τεταγμένη αντικαθιστώντας την προκύπτουσα τιμή στην εξίσωση ή χρησιμοποιώντας τον τύπο y=(b^2-4ac)/4a. Έχετε λάβει τις συντεταγμένες του σημείου κορυφής της παραβολής.

Η κορυφή μιας παραβολής μπορεί να βρεθεί με άλλο τρόπο. Εφόσον είναι το άκρο της συνάρτησης, για να το υπολογίσετε, υπολογίστε την πρώτη παράγωγο και εξισώστε την με μηδέν. Γενικά, θα λάβετε τον τύπο f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b. Και εξισώνοντάς το με το μηδέν, θα καταλήξετε στον ίδιο τύπο - x=-b/2a.

Μάθετε εάν τα κλαδιά της παραβολής δείχνουν προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Για να το κάνετε αυτό, κοιτάξτε τον συντελεστή μπροστά από το x^2, δηλαδή α. Αν a>0, τότε οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω, αν α

Συντεταγμένες κορυφέςέχουν βρεθεί παραβολές. Να τις γράψετε ως συντεταγμένες ενός μόνο σημείου (x0,y0).

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Για συναρτήσεις (ακριβέστερα, τα γραφήματα τους), χρησιμοποιείται η έννοια της μεγαλύτερης τιμής, συμπεριλαμβανομένου ενός τοπικού μέγιστου. Η έννοια της «κορυφής» συνδέεται μάλλον με γεωμετρικά σχήματα. Τα μέγιστα σημεία ομαλών συναρτήσεων (που έχουν παράγωγο) είναι εύκολο να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τα μηδενικά της πρώτης παραγώγου.

Οδηγίες

Για σημεία στα οποία η συνάρτηση δεν είναι διαφοροποιήσιμη αλλά συνεχής, η μεγαλύτερη τιμή στο διάστημα μπορεί να έχει τη μορφή αιχμής (στο y=-|x|). Σε τέτοια σημεία λειτουργίεςΜπορείτε να σχεδιάσετε όσες εφαπτομένες θέλετε, οι εφαπτόμενες απλά δεν υπάρχουν. Σάμη λειτουργίεςΑυτός ο τύπος καθορίζεται συνήθως σε τμήματα. Σημεία στα οποία η παράγωγος λειτουργίεςίσο με μηδέν ή δεν υπάρχει ονομάζονται κρίσιμοι.

Rheaning. y=x+3 για x≤-1 και y=((x^2)^(1/3)) –x για x>-1. Η συνάρτηση καθορίζεται σε τμήματα σκόπιμα, αφού σε αυτήν την περίπτωση ο στόχος είναι να εμφανιστούν τα πάντα σε ένα παράδειγμα. Είναι εύκολο για x=-1 η συνάρτηση να παραμένει συνεχής.y'=1 για x≤-1 και y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3( x^ (1/3))/(x^(1/3)) για x>-1 για x=8/27 δεν υπάρχει για x=-1. Σε αυτήν την περίπτωση, y '>0 αν x

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Η παραβολή είναι μια από τις καμπύλες δεύτερης τάξης. Το κύριο πράγμα στην κατασκευή αυτής της καμπύλης είναι να βρούμε μπλουζα παραβολές. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους.

Οδηγίες

Να βρείτε τις συντεταγμένες μιας κορυφής παραβολές, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο: x=-b/2a, όπου a είναι ο συντελεστής πριν από το x in και b είναι ο συντελεστής πριν από το x. Συνδέστε τις τιμές σας και υπολογίστε τις. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε την προκύπτουσα τιμή για το x στην εξίσωση και υπολογίστε την τεταγμένη της κορυφής. Για παράδειγμα, αν σας δοθεί η εξίσωση y=2x^2-4x+5, τότε βρείτε την τετμημένη ως εξής: x=-(-4)/2*2=1. Αντικαθιστώντας x=1 στην εξίσωση, υπολογίστε την τιμή y για την κορυφή παραβολές: y=2*1^2-4*1+5=3. Η κορυφή λοιπόν παραβολέςέχει συντεταγμένες (1;3).

Η αξία της τεταγμένης παραβολέςμπορεί να βρεθεί χωρίς πρώτα να υπολογιστεί η τετμημένη. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο y=-b^2/4ac+c.

Εάν είστε εξοικειωμένοι με την έννοια της παραγώγου, βρείτε μπλουζα παραβολέςχρησιμοποιώντας παραγώγους, χρησιμοποιώντας την ακόλουθη ιδιότητα οποιουδήποτε: η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης, ίση με μηδέν, δείχνει σε. Από την κορυφή παραβολές, ανεξάρτητα από το αν οι κλάδοι του κατευθύνονται προς τα πάνω ή προς τα κάτω, σημαδέψτε , υπολογίστε την παράγωγο για τη συνάρτησή σας. Γενικά, θα μοιάζει με f(x)=2ax+b. Εξισώστε το με το μηδέν και λάβετε τις συντεταγμένες της κορυφής παραβολές, που αντιστοιχεί στη λειτουργία σας.

Προσπαθώ να βρω μπλουζα παραβολές, εκμεταλλευόμενος την ιδιότητά του όπως η συμμετρία. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε τα σημεία τομής παραβολέςμε τον άξονα x, εξισώνοντας τη συνάρτηση με μηδέν (αντικαθιστώντας το y = 0). Λύνοντας την τετραγωνική εξίσωση, θα βρείτε τα x1 και x2. Δεδομένου ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία που διέρχεται μπλουζα, αυτά τα σημεία θα έχουν ίση απόσταση από την τετμημένη της κορυφής. Για να το βρούμε, χωρίζουμε